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Exercıcios sobre testes de convergencia,
series de potencias e solucoes em serie
Calculo III -Turma B, IMECC - UNICAMP
Mayara Duarte de Araujo Caldas
05/06/2020
Exercıcio sobre teste de convergencia 1
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
1√n
.
Considere a serie divergente∞∑n=1
1
n.
Sabemos que,
n ≥√n ≥ 0, ∀n ∈ N ⇒ 0 ≤ 1
n≤ 1√
n, ∀n ∈ N.
Entao, pelo teste da comparacao a serie∞∑n=1
1√n
diverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 1
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
1√n
.
Considere a serie divergente∞∑n=1
1
n.
Sabemos que,
n ≥√n ≥ 0, ∀n ∈ N ⇒ 0 ≤ 1
n≤ 1√
n, ∀n ∈ N.
Entao, pelo teste da comparacao a serie∞∑n=1
1√n
diverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 1
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
1√n
.
Considere a serie divergente∞∑n=1
1
n.
Sabemos que,
n ≥√n ≥ 0, ∀n ∈ N
⇒ 0 ≤ 1
n≤ 1√
n, ∀n ∈ N.
Entao, pelo teste da comparacao a serie∞∑n=1
1√n
diverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 1
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
1√n
.
Considere a serie divergente∞∑n=1
1
n.
Sabemos que,
n ≥√n ≥ 0, ∀n ∈ N ⇒ 0 ≤ 1
n≤ 1√
n, ∀n ∈ N.
Entao, pelo teste da comparacao a serie∞∑n=1
1√n
diverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 1
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
1√n
.
Considere a serie divergente∞∑n=1
1
n.
Sabemos que,
n ≥√n ≥ 0, ∀n ∈ N ⇒ 0 ≤ 1
n≤ 1√
n, ∀n ∈ N.
Entao, pelo teste da comparacao a serie∞∑n=1
1√n
diverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 2Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nn.
Como a serie envolve potencia de n, um teste que podemosconsiderar para estudar a convergencia e o teste da raiz. Deste
modo, considere a sequencia (an)n dada por an = (n+1)2n
nn , temosque
limn→∞
n
√(n + 1)2n
nn= lim
n→∞
(n + 1)2
n= lim
n→∞
n2 + 2n + 1
n
= limn→∞
n
(1 +
2
n+
1
n2
)=∞ > 1.
Portanto, pelo teste da raiz a serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nndiverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 2Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nn.
Como a serie envolve potencia de n, um teste que podemosconsiderar para estudar a convergencia e o teste da raiz.
Deste
modo, considere a sequencia (an)n dada por an = (n+1)2n
nn , temosque
limn→∞
n
√(n + 1)2n
nn= lim
n→∞
(n + 1)2
n= lim
n→∞
n2 + 2n + 1
n
= limn→∞
n
(1 +
2
n+
1
n2
)=∞ > 1.
Portanto, pelo teste da raiz a serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nndiverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 2Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nn.
Como a serie envolve potencia de n, um teste que podemosconsiderar para estudar a convergencia e o teste da raiz. Deste
modo, considere a sequencia (an)n dada por an = (n+1)2n
nn ,
temosque
limn→∞
n
√(n + 1)2n
nn= lim
n→∞
(n + 1)2
n= lim
n→∞
n2 + 2n + 1
n
= limn→∞
n
(1 +
2
n+
1
n2
)=∞ > 1.
Portanto, pelo teste da raiz a serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nndiverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 2Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nn.
Como a serie envolve potencia de n, um teste que podemosconsiderar para estudar a convergencia e o teste da raiz. Deste
modo, considere a sequencia (an)n dada por an = (n+1)2n
nn , temosque
limn→∞
n
√(n + 1)2n
nn=
limn→∞
(n + 1)2
n= lim
n→∞
n2 + 2n + 1
n
= limn→∞
n
(1 +
2
n+
1
n2
)=∞ > 1.
Portanto, pelo teste da raiz a serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nndiverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 2Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nn.
Como a serie envolve potencia de n, um teste que podemosconsiderar para estudar a convergencia e o teste da raiz. Deste
modo, considere a sequencia (an)n dada por an = (n+1)2n
nn , temosque
limn→∞
n
√(n + 1)2n
nn= lim
n→∞
(n + 1)2
n=
limn→∞
n2 + 2n + 1
n
= limn→∞
n
(1 +
2
n+
1
n2
)=∞ > 1.
Portanto, pelo teste da raiz a serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nndiverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 2Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nn.
Como a serie envolve potencia de n, um teste que podemosconsiderar para estudar a convergencia e o teste da raiz. Deste
modo, considere a sequencia (an)n dada por an = (n+1)2n
nn , temosque
limn→∞
n
√(n + 1)2n
nn= lim
n→∞
(n + 1)2
n= lim
n→∞
n2 + 2n + 1
n
= limn→∞
n
(1 +
2
n+
1
n2
)=∞ > 1.
Portanto, pelo teste da raiz a serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nndiverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 2Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nn.
Como a serie envolve potencia de n, um teste que podemosconsiderar para estudar a convergencia e o teste da raiz. Deste
modo, considere a sequencia (an)n dada por an = (n+1)2n
nn , temosque
limn→∞
n
√(n + 1)2n
nn= lim
n→∞
(n + 1)2
n= lim
n→∞
n2 + 2n + 1
n
= limn→∞
n
(1 +
2
n+
1
n2
)=
∞ > 1.
Portanto, pelo teste da raiz a serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nndiverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 2Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nn.
Como a serie envolve potencia de n, um teste que podemosconsiderar para estudar a convergencia e o teste da raiz. Deste
modo, considere a sequencia (an)n dada por an = (n+1)2n
nn , temosque
limn→∞
n
√(n + 1)2n
nn= lim
n→∞
(n + 1)2
n= lim
n→∞
n2 + 2n + 1
n
= limn→∞
n
(1 +
2
n+
1
n2
)=∞ > 1.
Portanto, pelo teste da raiz a serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nndiverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 2Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nn.
Como a serie envolve potencia de n, um teste que podemosconsiderar para estudar a convergencia e o teste da raiz. Deste
modo, considere a sequencia (an)n dada por an = (n+1)2n
nn , temosque
limn→∞
n
√(n + 1)2n
nn= lim
n→∞
(n + 1)2
n= lim
n→∞
n2 + 2n + 1
n
= limn→∞
n
(1 +
2
n+
1
n2
)=∞ > 1.
Portanto, pelo teste da raiz a serie∞∑n=1
(n + 1)2n
nndiverge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx = lim
A→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx = lim
A→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2.
Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx = lim
A→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an,
f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx = lim
A→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0
e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx = lim
A→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx = lim
A→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente.
Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx = lim
A→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie.
Assim,∫ ∞1
f (x) dx = limA→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx =
limA→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx = lim
A→∞
∫ A
1
x
ex2dx =
limA→∞
− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx = lim
A→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=
1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx = lim
A→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 3Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
n
en2.
Considere a sequencia (an)n =(
n
en2
)n
e a funcao f : [1,∞)→ Rdada por f (x) = x
ex2. Note que, f (n) = an, f (x) ≥ 0 para x ≥ 0 e
f ′(x) =ex
2 − 2x2ex2
(ex2)2=
(1− 2x2)ex2
e2x2< 0 para
1
2< x2,
entao a funcao e decrescente. Logo, podemos considerar o teste daintegral para estudar a convergencia da serie. Assim,∫ ∞
1f (x) dx = lim
A→∞
∫ A
1
x
ex2dx = lim
A→∞− 1
2ex2
∣∣∣∣A1
=1
2e.
Portanto, pelo teste da integral a serie∞∑n=1
n
en2converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 4
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1.
Considere a sequencia (bn)n dada por bn = 12n+1 , temos que
2(n + 1) + 1 > 2n + 1 ∀n ∈ N⇒ 1
2(n + 1) + 1<
1
2n + 1∀n ∈ N,
entao bn+1 < bn e com isso a sequencia e decrescente, alem disso,
limn→∞
bn = limn→∞
1
2n + 1= 0.
Portanto, pelo criterio de Leibniz a serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 4
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1.
Considere a sequencia (bn)n dada por bn = 12n+1 ,
temos que
2(n + 1) + 1 > 2n + 1 ∀n ∈ N⇒ 1
2(n + 1) + 1<
1
2n + 1∀n ∈ N,
entao bn+1 < bn e com isso a sequencia e decrescente, alem disso,
limn→∞
bn = limn→∞
1
2n + 1= 0.
Portanto, pelo criterio de Leibniz a serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 4
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1.
Considere a sequencia (bn)n dada por bn = 12n+1 , temos que
2(n + 1) + 1 > 2n + 1 ∀n ∈ N
⇒ 1
2(n + 1) + 1<
1
2n + 1∀n ∈ N,
entao bn+1 < bn e com isso a sequencia e decrescente, alem disso,
limn→∞
bn = limn→∞
1
2n + 1= 0.
Portanto, pelo criterio de Leibniz a serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 4
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1.
Considere a sequencia (bn)n dada por bn = 12n+1 , temos que
2(n + 1) + 1 > 2n + 1 ∀n ∈ N⇒ 1
2(n + 1) + 1<
1
2n + 1∀n ∈ N,
entao bn+1 < bn e com isso a sequencia e decrescente, alem disso,
limn→∞
bn = limn→∞
1
2n + 1= 0.
Portanto, pelo criterio de Leibniz a serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 4
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1.
Considere a sequencia (bn)n dada por bn = 12n+1 , temos que
2(n + 1) + 1 > 2n + 1 ∀n ∈ N⇒ 1
2(n + 1) + 1<
1
2n + 1∀n ∈ N,
entao bn+1 < bn e com isso a sequencia e decrescente,
alem disso,
limn→∞
bn = limn→∞
1
2n + 1= 0.
Portanto, pelo criterio de Leibniz a serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 4
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1.
Considere a sequencia (bn)n dada por bn = 12n+1 , temos que
2(n + 1) + 1 > 2n + 1 ∀n ∈ N⇒ 1
2(n + 1) + 1<
1
2n + 1∀n ∈ N,
entao bn+1 < bn e com isso a sequencia e decrescente, alem disso,
limn→∞
bn =
limn→∞
1
2n + 1= 0.
Portanto, pelo criterio de Leibniz a serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 4
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1.
Considere a sequencia (bn)n dada por bn = 12n+1 , temos que
2(n + 1) + 1 > 2n + 1 ∀n ∈ N⇒ 1
2(n + 1) + 1<
1
2n + 1∀n ∈ N,
entao bn+1 < bn e com isso a sequencia e decrescente, alem disso,
limn→∞
bn = limn→∞
1
2n + 1=
0.
Portanto, pelo criterio de Leibniz a serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 4
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1.
Considere a sequencia (bn)n dada por bn = 12n+1 , temos que
2(n + 1) + 1 > 2n + 1 ∀n ∈ N⇒ 1
2(n + 1) + 1<
1
2n + 1∀n ∈ N,
entao bn+1 < bn e com isso a sequencia e decrescente, alem disso,
limn→∞
bn = limn→∞
1
2n + 1= 0.
Portanto, pelo criterio de Leibniz a serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1converge.
Exercıcio sobre teste de convergencia 4
Exercıcio
Estude a convergencia da serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1.
Considere a sequencia (bn)n dada por bn = 12n+1 , temos que
2(n + 1) + 1 > 2n + 1 ∀n ∈ N⇒ 1
2(n + 1) + 1<
1
2n + 1∀n ∈ N,
entao bn+1 < bn e com isso a sequencia e decrescente, alem disso,
limn→∞
bn = limn→∞
1
2n + 1= 0.
Portanto, pelo criterio de Leibniz a serie∞∑n=1
(−1)n+1
2n + 1converge.
Exercıcio sobre serie de potencia 1Exercıcio
Determine o raio de convergencia de∞∑n=0
n
2nxn.
Vamos usar o teste da razao para verificar a convergencia. Temos
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣ n+12n+1 x
n+1
n2n x
n
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣12 n + 1
nx
∣∣∣∣= lim
n→∞
1
2
(1 +
1
n
)|x | =
1
2|x |.
Para a serie convergir devemos ter
1
2|x | < 1⇒ |x | < 2⇒ −2 < x < 2.
Entao, o raio de convergencia e 2.
Exercıcio sobre serie de potencia 1Exercıcio
Determine o raio de convergencia de∞∑n=0
n
2nxn.
Vamos usar o teste da razao para verificar a convergencia.
Temos
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣ n+12n+1 x
n+1
n2n x
n
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣12 n + 1
nx
∣∣∣∣= lim
n→∞
1
2
(1 +
1
n
)|x | =
1
2|x |.
Para a serie convergir devemos ter
1
2|x | < 1⇒ |x | < 2⇒ −2 < x < 2.
Entao, o raio de convergencia e 2.
Exercıcio sobre serie de potencia 1Exercıcio
Determine o raio de convergencia de∞∑n=0
n
2nxn.
Vamos usar o teste da razao para verificar a convergencia. Temos
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣
= limn→∞
∣∣∣∣∣ n+12n+1 x
n+1
n2n x
n
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣12 n + 1
nx
∣∣∣∣= lim
n→∞
1
2
(1 +
1
n
)|x | =
1
2|x |.
Para a serie convergir devemos ter
1
2|x | < 1⇒ |x | < 2⇒ −2 < x < 2.
Entao, o raio de convergencia e 2.
Exercıcio sobre serie de potencia 1Exercıcio
Determine o raio de convergencia de∞∑n=0
n
2nxn.
Vamos usar o teste da razao para verificar a convergencia. Temos
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣ n+12n+1 x
n+1
n2n x
n
∣∣∣∣∣
= limn→∞
∣∣∣∣12 n + 1
nx
∣∣∣∣= lim
n→∞
1
2
(1 +
1
n
)|x | =
1
2|x |.
Para a serie convergir devemos ter
1
2|x | < 1⇒ |x | < 2⇒ −2 < x < 2.
Entao, o raio de convergencia e 2.
Exercıcio sobre serie de potencia 1Exercıcio
Determine o raio de convergencia de∞∑n=0
n
2nxn.
Vamos usar o teste da razao para verificar a convergencia. Temos
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣ n+12n+1 x
n+1
n2n x
n
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣12 n + 1
nx
∣∣∣∣
= limn→∞
1
2
(1 +
1
n
)|x | =
1
2|x |.
Para a serie convergir devemos ter
1
2|x | < 1⇒ |x | < 2⇒ −2 < x < 2.
Entao, o raio de convergencia e 2.
Exercıcio sobre serie de potencia 1Exercıcio
Determine o raio de convergencia de∞∑n=0
n
2nxn.
Vamos usar o teste da razao para verificar a convergencia. Temos
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣ n+12n+1 x
n+1
n2n x
n
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣12 n + 1
nx
∣∣∣∣= lim
n→∞
1
2
(1 +
1
n
)|x |
=1
2|x |.
Para a serie convergir devemos ter
1
2|x | < 1⇒ |x | < 2⇒ −2 < x < 2.
Entao, o raio de convergencia e 2.
Exercıcio sobre serie de potencia 1Exercıcio
Determine o raio de convergencia de∞∑n=0
n
2nxn.
Vamos usar o teste da razao para verificar a convergencia. Temos
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣ n+12n+1 x
n+1
n2n x
n
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣12 n + 1
nx
∣∣∣∣= lim
n→∞
1
2
(1 +
1
n
)|x | =
1
2|x |.
Para a serie convergir devemos ter
1
2|x | < 1⇒ |x | < 2⇒ −2 < x < 2.
Entao, o raio de convergencia e 2.
Exercıcio sobre serie de potencia 1Exercıcio
Determine o raio de convergencia de∞∑n=0
n
2nxn.
Vamos usar o teste da razao para verificar a convergencia. Temos
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣ n+12n+1 x
n+1
n2n x
n
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣12 n + 1
nx
∣∣∣∣= lim
n→∞
1
2
(1 +
1
n
)|x | =
1
2|x |.
Para a serie convergir devemos ter
1
2|x | < 1
⇒ |x | < 2⇒ −2 < x < 2.
Entao, o raio de convergencia e 2.
Exercıcio sobre serie de potencia 1Exercıcio
Determine o raio de convergencia de∞∑n=0
n
2nxn.
Vamos usar o teste da razao para verificar a convergencia. Temos
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣ n+12n+1 x
n+1
n2n x
n
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣12 n + 1
nx
∣∣∣∣= lim
n→∞
1
2
(1 +
1
n
)|x | =
1
2|x |.
Para a serie convergir devemos ter
1
2|x | < 1⇒ |x | < 2
⇒ −2 < x < 2.
Entao, o raio de convergencia e 2.
Exercıcio sobre serie de potencia 1Exercıcio
Determine o raio de convergencia de∞∑n=0
n
2nxn.
Vamos usar o teste da razao para verificar a convergencia. Temos
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣ n+12n+1 x
n+1
n2n x
n
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣12 n + 1
nx
∣∣∣∣= lim
n→∞
1
2
(1 +
1
n
)|x | =
1
2|x |.
Para a serie convergir devemos ter
1
2|x | < 1⇒ |x | < 2⇒ −2 < x < 2.
Entao, o raio de convergencia e 2.
Exercıcio sobre serie de potencia 1Exercıcio
Determine o raio de convergencia de∞∑n=0
n
2nxn.
Vamos usar o teste da razao para verificar a convergencia. Temos
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣ n+12n+1 x
n+1
n2n x
n
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣12 n + 1
nx
∣∣∣∣= lim
n→∞
1
2
(1 +
1
n
)|x | =
1
2|x |.
Para a serie convergir devemos ter
1
2|x | < 1⇒ |x | < 2⇒ −2 < x < 2.
Entao, o raio de convergencia e 2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Note que x0 = 1 e ponto regular, pois P(1) 6= 0, sendo P(x) = x .Entao, a solucao da EDO em torno de x0 = 1 e dada por
y(x) =∞∑n=0
an(x − 1)n.
Temos
y ′(x) =∞∑n=1
nan(x − 1)n−1 e y ′′(x) =∞∑n=2
(n − 1)nan(x − 1)n−2.
Substituindo na EDO, obtemos
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Note que x0 = 1 e ponto regular, pois P(1) 6= 0, sendo P(x) = x .
Entao, a solucao da EDO em torno de x0 = 1 e dada por
y(x) =∞∑n=0
an(x − 1)n.
Temos
y ′(x) =∞∑n=1
nan(x − 1)n−1 e y ′′(x) =∞∑n=2
(n − 1)nan(x − 1)n−2.
Substituindo na EDO, obtemos
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Note que x0 = 1 e ponto regular, pois P(1) 6= 0, sendo P(x) = x .Entao, a solucao da EDO em torno de x0 = 1 e dada por
y(x) =∞∑n=0
an(x − 1)n.
Temos
y ′(x) =∞∑n=1
nan(x − 1)n−1 e y ′′(x) =∞∑n=2
(n − 1)nan(x − 1)n−2.
Substituindo na EDO, obtemos
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Note que x0 = 1 e ponto regular, pois P(1) 6= 0, sendo P(x) = x .Entao, a solucao da EDO em torno de x0 = 1 e dada por
y(x) =∞∑n=0
an(x − 1)n.
Temos
y ′(x) =∞∑n=1
nan(x − 1)n−1
e y ′′(x) =∞∑n=2
(n − 1)nan(x − 1)n−2.
Substituindo na EDO, obtemos
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Note que x0 = 1 e ponto regular, pois P(1) 6= 0, sendo P(x) = x .Entao, a solucao da EDO em torno de x0 = 1 e dada por
y(x) =∞∑n=0
an(x − 1)n.
Temos
y ′(x) =∞∑n=1
nan(x − 1)n−1 e y ′′(x) =∞∑n=2
(n − 1)nan(x − 1)n−2.
Substituindo na EDO, obtemos
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Note que x0 = 1 e ponto regular, pois P(1) 6= 0, sendo P(x) = x .Entao, a solucao da EDO em torno de x0 = 1 e dada por
y(x) =∞∑n=0
an(x − 1)n.
Temos
y ′(x) =∞∑n=1
nan(x − 1)n−1 e y ′′(x) =∞∑n=2
(n − 1)nan(x − 1)n−2.
Substituindo na EDO, obtemos
Exercıcio sobre solucoes em serie 1
Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
x∞∑n=2
(n − 1)nan(x − 1)n−2 +∞∑n=1
nan(x − 1)n−1 + x∞∑n=0
an(x − 1)n = 0
⇒ (x−1)∞∑n=2
(n−1)nan(x−1)n−2+∞∑n=2
(n−1)nan(x−1)n−2+∞∑n=1
nan(x−1)n−1
+(x − 1)∞∑n=0
an(x − 1)n +∞∑n=0
an(x − 1)n = 0
Exercıcio sobre solucoes em serie 1
Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
x∞∑n=2
(n − 1)nan(x − 1)n−2 +∞∑n=1
nan(x − 1)n−1 + x∞∑n=0
an(x − 1)n = 0
⇒ (x−1)∞∑n=2
(n−1)nan(x−1)n−2+∞∑n=2
(n−1)nan(x−1)n−2+∞∑n=1
nan(x−1)n−1
+(x − 1)∞∑n=0
an(x − 1)n +∞∑n=0
an(x − 1)n = 0
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
⇒∞∑n=2
(n−1)nan(x−1)n−1 +∞∑n=2
(n−1)nan(x−1)n−2 +∞∑n=1
nan(x−1)n−1
+∞∑n=0
an(x − 1)n+1 +∞∑n=0
an(x − 1)n = 0
⇒∞∑n=1
n(n+1)an+1(x−1)n+∞∑n=0
(n+1)(n+2)an+2(x−1)n+∞∑n=0
(n+1)an+1(x−1)n
+∞∑n=1
an−1(x − 1)n +∞∑n=0
an(x − 1)n = 0
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
⇒∞∑n=2
(n−1)nan(x−1)n−1 +∞∑n=2
(n−1)nan(x−1)n−2 +∞∑n=1
nan(x−1)n−1
+∞∑n=0
an(x − 1)n+1 +∞∑n=0
an(x − 1)n = 0
⇒∞∑n=1
n(n+1)an+1(x−1)n+∞∑n=0
(n+1)(n+2)an+2(x−1)n+∞∑n=0
(n+1)an+1(x−1)n
+∞∑n=1
an−1(x − 1)n +∞∑n=0
an(x − 1)n = 0
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
⇒ 2a2 + a1 + a0+∞∑n=1
[n(n+1)an+1+(n+1)(n+2)an+2+(n+1)an+1+an−1+an](x−1)n = 0
Igualando todos os coeficientes a zero, temos
2a2 + a1 + a0 = 0⇒ a2 = −a0 + a12
,
n(n + 1)an+1 + (n + 1)(n + 2)an+2 + (n + 1)an+1 + an−1 + an = 0
⇒ an+2 = −an−1 + an + (n + 1)2an+1
(n + 1)(n + 2), ∀n ≥ 3.
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
⇒ 2a2 + a1 + a0+∞∑n=1
[n(n+1)an+1+(n+1)(n+2)an+2+(n+1)an+1+an−1+an](x−1)n = 0
Igualando todos os coeficientes a zero, temos
2a2 + a1 + a0 = 0⇒ a2 = −a0 + a12
,
n(n + 1)an+1 + (n + 1)(n + 2)an+2 + (n + 1)an+1 + an−1 + an = 0
⇒ an+2 = −an−1 + an + (n + 1)2an+1
(n + 1)(n + 2), ∀n ≥ 3.
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
⇒ 2a2 + a1 + a0+∞∑n=1
[n(n+1)an+1+(n+1)(n+2)an+2+(n+1)an+1+an−1+an](x−1)n = 0
Igualando todos os coeficientes a zero, temos
2a2 + a1 + a0 = 0
⇒ a2 = −a0 + a12
,
n(n + 1)an+1 + (n + 1)(n + 2)an+2 + (n + 1)an+1 + an−1 + an = 0
⇒ an+2 = −an−1 + an + (n + 1)2an+1
(n + 1)(n + 2), ∀n ≥ 3.
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
⇒ 2a2 + a1 + a0+∞∑n=1
[n(n+1)an+1+(n+1)(n+2)an+2+(n+1)an+1+an−1+an](x−1)n = 0
Igualando todos os coeficientes a zero, temos
2a2 + a1 + a0 = 0⇒ a2 = −a0 + a12
,
n(n + 1)an+1 + (n + 1)(n + 2)an+2 + (n + 1)an+1 + an−1 + an = 0
⇒ an+2 = −an−1 + an + (n + 1)2an+1
(n + 1)(n + 2), ∀n ≥ 3.
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
⇒ 2a2 + a1 + a0+∞∑n=1
[n(n+1)an+1+(n+1)(n+2)an+2+(n+1)an+1+an−1+an](x−1)n = 0
Igualando todos os coeficientes a zero, temos
2a2 + a1 + a0 = 0⇒ a2 = −a0 + a12
,
n(n + 1)an+1 + (n + 1)(n + 2)an+2 + (n + 1)an+1 + an−1 + an = 0
⇒ an+2 = −an−1 + an + (n + 1)2an+1
(n + 1)(n + 2), ∀n ≥ 3.
Exercıcio sobre solucoes em serie 1Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
⇒ 2a2 + a1 + a0+∞∑n=1
[n(n+1)an+1+(n+1)(n+2)an+2+(n+1)an+1+an−1+an](x−1)n = 0
Igualando todos os coeficientes a zero, temos
2a2 + a1 + a0 = 0⇒ a2 = −a0 + a12
,
n(n + 1)an+1 + (n + 1)(n + 2)an+2 + (n + 1)an+1 + an−1 + an = 0
⇒ an+2 = −an−1 + an + (n + 1)2an+1
(n + 1)(n + 2), ∀n ≥ 3.
Exercıcio sobre solucoes em serie 1
Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Assim,
a3 = −a0 + a1 + 4a22× 3
= −a06− a1
6+
2
3
(a02
+a12
)=
a06
+a16
a4 = −a1 + a2 + 9a33× 4
= − a112
+1
12
(a02
+a12
)− 3
4
(a06
+a16
)= − a0
12− a1
6
Exercıcio sobre solucoes em serie 1
Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Assim,
a3 = −a0 + a1 + 4a22× 3
= −a06− a1
6+
2
3
(a02
+a12
)
=a06
+a16
a4 = −a1 + a2 + 9a33× 4
= − a112
+1
12
(a02
+a12
)− 3
4
(a06
+a16
)= − a0
12− a1
6
Exercıcio sobre solucoes em serie 1
Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Assim,
a3 = −a0 + a1 + 4a22× 3
= −a06− a1
6+
2
3
(a02
+a12
)=
a06
+a16
a4 = −a1 + a2 + 9a33× 4
= − a112
+1
12
(a02
+a12
)− 3
4
(a06
+a16
)= − a0
12− a1
6
Exercıcio sobre solucoes em serie 1
Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Assim,
a3 = −a0 + a1 + 4a22× 3
= −a06− a1
6+
2
3
(a02
+a12
)=
a06
+a16
a4 = −a1 + a2 + 9a33× 4
= − a112
+1
12
(a02
+a12
)− 3
4
(a06
+a16
)= − a0
12− a1
6
Exercıcio sobre solucoes em serie 1
Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Assim,
a3 = −a0 + a1 + 4a22× 3
= −a06− a1
6+
2
3
(a02
+a12
)=
a06
+a16
a4 = −a1 + a2 + 9a33× 4
= − a112
+1
12
(a02
+a12
)− 3
4
(a06
+a16
)
= − a012− a1
6
Exercıcio sobre solucoes em serie 1
Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Assim,
a3 = −a0 + a1 + 4a22× 3
= −a06− a1
6+
2
3
(a02
+a12
)=
a06
+a16
a4 = −a1 + a2 + 9a33× 4
= − a112
+1
12
(a02
+a12
)− 3
4
(a06
+a16
)= − a0
12− a1
6
Exercıcio sobre solucoes em serie 1
Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Portanto a solucao e dada por
y(x) = a0
[1− 1
2(x − 1)2 +
1
6(x − 1)3 − 1
12(x − 1)4 + . . .
]
+a1
[(x − 1)− 1
2(x − 1)2 +
1
6(x − 1)3 − 1
6(x − 1)4 + . . .
].
Exercıcio sobre solucoes em serie 1
Exercıcio
Encontre uma solucao em serie para xy ′′ + y ′ + xy = 0 emtorno de x0 = 1, encontrando a relacao de recorrencia e es-crevendo os 4 primeiros termos da serie. Se possıvel, encontreo termo geral.
Portanto a solucao e dada por
y(x) = a0
[1− 1
2(x − 1)2 +
1
6(x − 1)3 − 1
12(x − 1)4 + . . .
]
+a1
[(x − 1)− 1
2(x − 1)2 +
1
6(x − 1)3 − 1
6(x − 1)4 + . . .
].
Exercıcio sobre solucoes em serie 2
Exercıcio
Determine a solucao geral de x2y ′′+ 4xy ′+ 2y = 0 em tornode x = 0.
Note que x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 e uma equacao de Euler, entao suasolucao e da forma y(x) = x r .Temos que y ′(x) = rx r−1 e y ′′(x) = r(r − 1)x r−2. Substituindo naEDO obtemos
r(r − 1)x r + 4rx r + 2x r = 0⇒ x r [r(r − 1) + 4r + 2] = 0
⇒ r(r − 1) + 4r + 2 = 0⇒ (r + 1)(r + 2) = 0.
Entao, r = −1 e r = −2. Logo a solucao e dada por
y(x) = c |x |−1 + c |x |−2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 2
Exercıcio
Determine a solucao geral de x2y ′′+ 4xy ′+ 2y = 0 em tornode x = 0.
Note que x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 e uma equacao de Euler,
entao suasolucao e da forma y(x) = x r .Temos que y ′(x) = rx r−1 e y ′′(x) = r(r − 1)x r−2. Substituindo naEDO obtemos
r(r − 1)x r + 4rx r + 2x r = 0⇒ x r [r(r − 1) + 4r + 2] = 0
⇒ r(r − 1) + 4r + 2 = 0⇒ (r + 1)(r + 2) = 0.
Entao, r = −1 e r = −2. Logo a solucao e dada por
y(x) = c |x |−1 + c |x |−2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 2
Exercıcio
Determine a solucao geral de x2y ′′+ 4xy ′+ 2y = 0 em tornode x = 0.
Note que x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 e uma equacao de Euler, entao suasolucao e da forma y(x) = x r .
Temos que y ′(x) = rx r−1 e y ′′(x) = r(r − 1)x r−2. Substituindo naEDO obtemos
r(r − 1)x r + 4rx r + 2x r = 0⇒ x r [r(r − 1) + 4r + 2] = 0
⇒ r(r − 1) + 4r + 2 = 0⇒ (r + 1)(r + 2) = 0.
Entao, r = −1 e r = −2. Logo a solucao e dada por
y(x) = c |x |−1 + c |x |−2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 2
Exercıcio
Determine a solucao geral de x2y ′′+ 4xy ′+ 2y = 0 em tornode x = 0.
Note que x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 e uma equacao de Euler, entao suasolucao e da forma y(x) = x r .Temos que y ′(x) = rx r−1 e y ′′(x) = r(r − 1)x r−2.
Substituindo naEDO obtemos
r(r − 1)x r + 4rx r + 2x r = 0⇒ x r [r(r − 1) + 4r + 2] = 0
⇒ r(r − 1) + 4r + 2 = 0⇒ (r + 1)(r + 2) = 0.
Entao, r = −1 e r = −2. Logo a solucao e dada por
y(x) = c |x |−1 + c |x |−2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 2
Exercıcio
Determine a solucao geral de x2y ′′+ 4xy ′+ 2y = 0 em tornode x = 0.
Note que x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 e uma equacao de Euler, entao suasolucao e da forma y(x) = x r .Temos que y ′(x) = rx r−1 e y ′′(x) = r(r − 1)x r−2. Substituindo naEDO obtemos
r(r − 1)x r + 4rx r + 2x r = 0⇒ x r [r(r − 1) + 4r + 2] = 0
⇒ r(r − 1) + 4r + 2 = 0⇒ (r + 1)(r + 2) = 0.
Entao, r = −1 e r = −2. Logo a solucao e dada por
y(x) = c |x |−1 + c |x |−2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 2
Exercıcio
Determine a solucao geral de x2y ′′+ 4xy ′+ 2y = 0 em tornode x = 0.
Note que x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 e uma equacao de Euler, entao suasolucao e da forma y(x) = x r .Temos que y ′(x) = rx r−1 e y ′′(x) = r(r − 1)x r−2. Substituindo naEDO obtemos
r(r − 1)x r + 4rx r + 2x r = 0
⇒ x r [r(r − 1) + 4r + 2] = 0
⇒ r(r − 1) + 4r + 2 = 0⇒ (r + 1)(r + 2) = 0.
Entao, r = −1 e r = −2. Logo a solucao e dada por
y(x) = c |x |−1 + c |x |−2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 2
Exercıcio
Determine a solucao geral de x2y ′′+ 4xy ′+ 2y = 0 em tornode x = 0.
Note que x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 e uma equacao de Euler, entao suasolucao e da forma y(x) = x r .Temos que y ′(x) = rx r−1 e y ′′(x) = r(r − 1)x r−2. Substituindo naEDO obtemos
r(r − 1)x r + 4rx r + 2x r = 0⇒ x r [r(r − 1) + 4r + 2] = 0
⇒ r(r − 1) + 4r + 2 = 0⇒ (r + 1)(r + 2) = 0.
Entao, r = −1 e r = −2. Logo a solucao e dada por
y(x) = c |x |−1 + c |x |−2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 2
Exercıcio
Determine a solucao geral de x2y ′′+ 4xy ′+ 2y = 0 em tornode x = 0.
Note que x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 e uma equacao de Euler, entao suasolucao e da forma y(x) = x r .Temos que y ′(x) = rx r−1 e y ′′(x) = r(r − 1)x r−2. Substituindo naEDO obtemos
r(r − 1)x r + 4rx r + 2x r = 0⇒ x r [r(r − 1) + 4r + 2] = 0
⇒ r(r − 1) + 4r + 2 = 0
⇒ (r + 1)(r + 2) = 0.
Entao, r = −1 e r = −2. Logo a solucao e dada por
y(x) = c |x |−1 + c |x |−2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 2
Exercıcio
Determine a solucao geral de x2y ′′+ 4xy ′+ 2y = 0 em tornode x = 0.
Note que x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 e uma equacao de Euler, entao suasolucao e da forma y(x) = x r .Temos que y ′(x) = rx r−1 e y ′′(x) = r(r − 1)x r−2. Substituindo naEDO obtemos
r(r − 1)x r + 4rx r + 2x r = 0⇒ x r [r(r − 1) + 4r + 2] = 0
⇒ r(r − 1) + 4r + 2 = 0⇒ (r + 1)(r + 2) = 0.
Entao, r = −1 e r = −2. Logo a solucao e dada por
y(x) = c |x |−1 + c |x |−2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 2
Exercıcio
Determine a solucao geral de x2y ′′+ 4xy ′+ 2y = 0 em tornode x = 0.
Note que x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 e uma equacao de Euler, entao suasolucao e da forma y(x) = x r .Temos que y ′(x) = rx r−1 e y ′′(x) = r(r − 1)x r−2. Substituindo naEDO obtemos
r(r − 1)x r + 4rx r + 2x r = 0⇒ x r [r(r − 1) + 4r + 2] = 0
⇒ r(r − 1) + 4r + 2 = 0⇒ (r + 1)(r + 2) = 0.
Entao, r = −1 e r = −2.
Logo a solucao e dada por
y(x) = c |x |−1 + c |x |−2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 2
Exercıcio
Determine a solucao geral de x2y ′′+ 4xy ′+ 2y = 0 em tornode x = 0.
Note que x2y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0 e uma equacao de Euler, entao suasolucao e da forma y(x) = x r .Temos que y ′(x) = rx r−1 e y ′′(x) = r(r − 1)x r−2. Substituindo naEDO obtemos
r(r − 1)x r + 4rx r + 2x r = 0⇒ x r [r(r − 1) + 4r + 2] = 0
⇒ r(r − 1) + 4r + 2 = 0⇒ (r + 1)(r + 2) = 0.
Entao, r = −1 e r = −2. Logo a solucao e dada por
y(x) = c |x |−1 + c |x |−2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Vamos inicialmente mostrar que x = 0 e ponto singular regular.Note que, P(0) = 0, sendo P(x) = x , alem disso
limx→0
xQ(x)
P(x)= lim
x→0x
1
x= 1 e lim
x→0x2
R(x)
P(x)= lim
x→0x2(−1
x
)= 0,
entao x = 0 e ponto singular regular.Temos que a equacao pode ser escrita da formax2y ′′ + xy ′ − xy = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Vamos inicialmente mostrar que x = 0 e ponto singular regular.
Note que, P(0) = 0, sendo P(x) = x , alem disso
limx→0
xQ(x)
P(x)= lim
x→0x
1
x= 1 e lim
x→0x2
R(x)
P(x)= lim
x→0x2(−1
x
)= 0,
entao x = 0 e ponto singular regular.Temos que a equacao pode ser escrita da formax2y ′′ + xy ′ − xy = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Vamos inicialmente mostrar que x = 0 e ponto singular regular.Note que, P(0) = 0, sendo P(x) = x ,
alem disso
limx→0
xQ(x)
P(x)= lim
x→0x
1
x= 1 e lim
x→0x2
R(x)
P(x)= lim
x→0x2(−1
x
)= 0,
entao x = 0 e ponto singular regular.Temos que a equacao pode ser escrita da formax2y ′′ + xy ′ − xy = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Vamos inicialmente mostrar que x = 0 e ponto singular regular.Note que, P(0) = 0, sendo P(x) = x , alem disso
limx→0
xQ(x)
P(x)=
limx→0
x1
x= 1 e lim
x→0x2
R(x)
P(x)= lim
x→0x2(−1
x
)= 0,
entao x = 0 e ponto singular regular.Temos que a equacao pode ser escrita da formax2y ′′ + xy ′ − xy = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Vamos inicialmente mostrar que x = 0 e ponto singular regular.Note que, P(0) = 0, sendo P(x) = x , alem disso
limx→0
xQ(x)
P(x)= lim
x→0x
1
x=
1 e limx→0
x2R(x)
P(x)= lim
x→0x2(−1
x
)= 0,
entao x = 0 e ponto singular regular.Temos que a equacao pode ser escrita da formax2y ′′ + xy ′ − xy = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Vamos inicialmente mostrar que x = 0 e ponto singular regular.Note que, P(0) = 0, sendo P(x) = x , alem disso
limx→0
xQ(x)
P(x)= lim
x→0x
1
x= 1
e limx→0
x2R(x)
P(x)= lim
x→0x2(−1
x
)= 0,
entao x = 0 e ponto singular regular.Temos que a equacao pode ser escrita da formax2y ′′ + xy ′ − xy = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Vamos inicialmente mostrar que x = 0 e ponto singular regular.Note que, P(0) = 0, sendo P(x) = x , alem disso
limx→0
xQ(x)
P(x)= lim
x→0x
1
x= 1 e lim
x→0x2
R(x)
P(x)=
limx→0
x2(−1
x
)= 0,
entao x = 0 e ponto singular regular.Temos que a equacao pode ser escrita da formax2y ′′ + xy ′ − xy = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Vamos inicialmente mostrar que x = 0 e ponto singular regular.Note que, P(0) = 0, sendo P(x) = x , alem disso
limx→0
xQ(x)
P(x)= lim
x→0x
1
x= 1 e lim
x→0x2
R(x)
P(x)= lim
x→0x2(−1
x
)=
0,
entao x = 0 e ponto singular regular.Temos que a equacao pode ser escrita da formax2y ′′ + xy ′ − xy = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Vamos inicialmente mostrar que x = 0 e ponto singular regular.Note que, P(0) = 0, sendo P(x) = x , alem disso
limx→0
xQ(x)
P(x)= lim
x→0x
1
x= 1 e lim
x→0x2
R(x)
P(x)= lim
x→0x2(−1
x
)= 0,
entao x = 0 e ponto singular regular.Temos que a equacao pode ser escrita da formax2y ′′ + xy ′ − xy = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Vamos inicialmente mostrar que x = 0 e ponto singular regular.Note que, P(0) = 0, sendo P(x) = x , alem disso
limx→0
xQ(x)
P(x)= lim
x→0x
1
x= 1 e lim
x→0x2
R(x)
P(x)= lim
x→0x2(−1
x
)= 0,
entao x = 0 e ponto singular regular.
Temos que a equacao pode ser escrita da formax2y ′′ + xy ′ − xy = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Vamos inicialmente mostrar que x = 0 e ponto singular regular.Note que, P(0) = 0, sendo P(x) = x , alem disso
limx→0
xQ(x)
P(x)= lim
x→0x
1
x= 1 e lim
x→0x2
R(x)
P(x)= lim
x→0x2(−1
x
)= 0,
entao x = 0 e ponto singular regular.Temos que a equacao pode ser escrita da formax2y ′′ + xy ′ − xy = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Desta forma, assumimos que a solucao da EDO e dada por
y(x) =∞∑n=0
anxr+n, com a0 6= 0.
Temos que
y ′(x) =∞∑n=0
(r+n)anxr+n−1 e y ′(x) =
∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n−2.
Substituindo na EDO, obtemos
x2∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n−2+x
∞∑n=0
(r+n)anxr+n−1+x
∞∑n=0
anxr+n = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Desta forma, assumimos que a solucao da EDO e dada por
y(x) =∞∑n=0
anxr+n, com a0 6= 0. Temos que
y ′(x) =∞∑n=0
(r+n)anxr+n−1
e y ′(x) =∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n−2.
Substituindo na EDO, obtemos
x2∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n−2+x
∞∑n=0
(r+n)anxr+n−1+x
∞∑n=0
anxr+n = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Desta forma, assumimos que a solucao da EDO e dada por
y(x) =∞∑n=0
anxr+n, com a0 6= 0. Temos que
y ′(x) =∞∑n=0
(r+n)anxr+n−1 e y ′(x) =
∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n−2.
Substituindo na EDO, obtemos
x2∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n−2+x
∞∑n=0
(r+n)anxr+n−1+x
∞∑n=0
anxr+n = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Desta forma, assumimos que a solucao da EDO e dada por
y(x) =∞∑n=0
anxr+n, com a0 6= 0. Temos que
y ′(x) =∞∑n=0
(r+n)anxr+n−1 e y ′(x) =
∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n−2.
Substituindo na EDO, obtemos
x2∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n−2+x
∞∑n=0
(r+n)anxr+n−1+x
∞∑n=0
anxr+n = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Desta forma, assumimos que a solucao da EDO e dada por
y(x) =∞∑n=0
anxr+n, com a0 6= 0. Temos que
y ′(x) =∞∑n=0
(r+n)anxr+n−1 e y ′(x) =
∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n−2.
Substituindo na EDO, obtemos
x2∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n−2+x
∞∑n=0
(r+n)anxr+n−1+x
∞∑n=0
anxr+n = 0.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
⇒∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n+
∞∑n=0
(r+n)anxr+n+
∞∑n=0
anxr+n+1 = 0
⇒∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n+
∞∑n=0
(r+n)anxr+n+
∞∑n=1
an−1xr+n = 0
⇒ [(r−1)r+r ]a0xr+∞∑n=1
[(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1]x r+n = 0
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
⇒∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n+
∞∑n=0
(r+n)anxr+n+
∞∑n=0
anxr+n+1 = 0
⇒∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n+
∞∑n=0
(r+n)anxr+n+
∞∑n=1
an−1xr+n = 0
⇒ [(r−1)r+r ]a0xr+∞∑n=1
[(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1]x r+n = 0
Exercıcio sobre solucoes em serie 3
Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
⇒∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n+
∞∑n=0
(r+n)anxr+n+
∞∑n=0
anxr+n+1 = 0
⇒∞∑n=0
(r+n−1)(r+n)anxr+n+
∞∑n=0
(r+n)anxr+n+
∞∑n=1
an−1xr+n = 0
⇒ [(r−1)r+r ]a0xr+∞∑n=1
[(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1]x r+n = 0
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Com a0 6= 0, temos (r − 1)r + r = 0
⇒ r = 0 que e conhecidacomo equacao indicial. Alem disso,
(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1 = 0⇒ an =an−1
(r + n)2=
an−1n2
.
Com esta relacao de recorrencia obtemos a1 = a0, a2 = a122
= a022
,a3 = a2
32= a0
(2×3)2 , . . . , an = a0(n!)2
.
Portanto, a solucao da EDO e dada por
y(x) = a0
∞∑n=0
xn
(n!)2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Com a0 6= 0, temos (r − 1)r + r = 0⇒ r = 0 que e conhecidacomo equacao indicial.
Alem disso,
(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1 = 0⇒ an =an−1
(r + n)2=
an−1n2
.
Com esta relacao de recorrencia obtemos a1 = a0, a2 = a122
= a022
,a3 = a2
32= a0
(2×3)2 , . . . , an = a0(n!)2
.
Portanto, a solucao da EDO e dada por
y(x) = a0
∞∑n=0
xn
(n!)2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Com a0 6= 0, temos (r − 1)r + r = 0⇒ r = 0 que e conhecidacomo equacao indicial. Alem disso,
(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1 = 0
⇒ an =an−1
(r + n)2=
an−1n2
.
Com esta relacao de recorrencia obtemos a1 = a0, a2 = a122
= a022
,a3 = a2
32= a0
(2×3)2 , . . . , an = a0(n!)2
.
Portanto, a solucao da EDO e dada por
y(x) = a0
∞∑n=0
xn
(n!)2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Com a0 6= 0, temos (r − 1)r + r = 0⇒ r = 0 que e conhecidacomo equacao indicial. Alem disso,
(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1 = 0⇒ an =an−1
(r + n)2=
an−1n2
.
Com esta relacao de recorrencia obtemos a1 = a0, a2 = a122
= a022
,a3 = a2
32= a0
(2×3)2 , . . . , an = a0(n!)2
.
Portanto, a solucao da EDO e dada por
y(x) = a0
∞∑n=0
xn
(n!)2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Com a0 6= 0, temos (r − 1)r + r = 0⇒ r = 0 que e conhecidacomo equacao indicial. Alem disso,
(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1 = 0⇒ an =an−1
(r + n)2=
an−1n2
.
Com esta relacao de recorrencia obtemos a1 = a0,
a2 = a122
= a022
,a3 = a2
32= a0
(2×3)2 , . . . , an = a0(n!)2
.
Portanto, a solucao da EDO e dada por
y(x) = a0
∞∑n=0
xn
(n!)2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Com a0 6= 0, temos (r − 1)r + r = 0⇒ r = 0 que e conhecidacomo equacao indicial. Alem disso,
(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1 = 0⇒ an =an−1
(r + n)2=
an−1n2
.
Com esta relacao de recorrencia obtemos a1 = a0, a2 = a122
= a022
,
a3 = a232
= a0(2×3)2 , . . . , an = a0
(n!)2.
Portanto, a solucao da EDO e dada por
y(x) = a0
∞∑n=0
xn
(n!)2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Com a0 6= 0, temos (r − 1)r + r = 0⇒ r = 0 que e conhecidacomo equacao indicial. Alem disso,
(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1 = 0⇒ an =an−1
(r + n)2=
an−1n2
.
Com esta relacao de recorrencia obtemos a1 = a0, a2 = a122
= a022
,a3 = a2
32= a0
(2×3)2 ,
. . . , an = a0(n!)2
.
Portanto, a solucao da EDO e dada por
y(x) = a0
∞∑n=0
xn
(n!)2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Com a0 6= 0, temos (r − 1)r + r = 0⇒ r = 0 que e conhecidacomo equacao indicial. Alem disso,
(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1 = 0⇒ an =an−1
(r + n)2=
an−1n2
.
Com esta relacao de recorrencia obtemos a1 = a0, a2 = a122
= a022
,a3 = a2
32= a0
(2×3)2 , . . . , an = a0(n!)2
.
Portanto, a solucao da EDO e dada por
y(x) = a0
∞∑n=0
xn
(n!)2.
Exercıcio sobre solucoes em serie 3Exercıcio
Mostre que x = 0 e ponto singular regular, encontre aequacao indicial, a relacao de recorrencia e encontre a solucaoem series referente a maior raiz da equacao indicial, daequacao xy ′′ + y ′ − y = 0.
Com a0 6= 0, temos (r − 1)r + r = 0⇒ r = 0 que e conhecidacomo equacao indicial. Alem disso,
(r+n−1)(r+n)an+(r+n)an+an−1 = 0⇒ an =an−1
(r + n)2=
an−1n2
.
Com esta relacao de recorrencia obtemos a1 = a0, a2 = a122
= a022
,a3 = a2
32= a0
(2×3)2 , . . . , an = a0(n!)2
.
Portanto, a solucao da EDO e dada por
y(x) = a0
∞∑n=0
xn
(n!)2.
