Exercício bioestatística

UNIDADE III: MEDIDAS DE POSIO: MEDIDAS SEPARATRIZES

UNIDADE III: MEDIDAS DE POSIO: MEDIDAS SEPARATRIZES

OBJETIVO DA UNIDADE:

- Perceber a necessidade dessas medidas para a interpretao dos dados analisados;

- Identificar medidas separatrizes;

- Calcular as medidas separatrizes e saber interpret-las.

Muitas vezes torna-se necessrio conhecermos outras medidas, alm das de Tendncia Central. Assim, nesta Unidade estaremos estudando medidas de posio chamadas Separatrizes: Mediana, quartis, decis e percentis.

Mediana uma medida de posio que simultaneamente, medida de tendncia central e medida separatriz. Por esse motivo a mediana foi estudada na Unidade VI, assim passaremos ao estudo do quartis, posteriormente do decis e percentis.

J estudamos que a mediana separa a srie em duas partes iguais, e que cada parte contm o mesmo nmero de elementos. Contudo, uma mesma srie pode ser dividida em duas ou mais partes que contenham a mesma quantidade de elementos. O nome da medida de posio separatriz ser de acordo com a quantidade de partes em que dividida a srie.

Mediana: divide a srie em duas partes iguais (Xmd);

Quartis: divide a srie em quatro partes iguais (Q1, Q2, Q3);

Decis: divide a srie em 10 partes iguais (D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9);

Percentis: divide a srie em 100 partes iguais (P1, P2, P3, ..., P99).

3.1 Quartis (QK)

Nos quartis, a srie dividida em quatro partes iguais. Os elementos separatrizes da serie so Q1, Q2, e Q3.

25% 50% 75%

Q1 Q2 Q3Q1: o primeiro quartil, corresponde separao dos primeiros 25% de elementos da serie.

Q2: o segundo quartil, coincide com a mediana (Q2 = Md).

Q3: o terceiro quartil, corresponde separao dos ltimos 25% de elementos da srie, ou seja, os 75% dos elementos da srie.

Para o clculo dos quartis utilizam-se tcnicas semelhantes quelas do clculo da mediana. Consequentemente, podem-se utilizar as mesmas frmulas do calculo da mediana, levando em conta que onde houver a expresso ser substituda por , sendo K o nmero da ordem do quartil, em que K =1 corresponde ao primeiro quartil; K = 2 corresponde ao segundo quartil e K = 3 ao terceiro quartil.3.1.1 Clculo do quartil para o rol

1 Passo: Determina-se a posio do Quartil.

2 Passo: Identifica-se a posio mais prxima do rol.

3 Passo: Verifica-se quem est naquela posio.

Exemplo: Calcule Q1, Q2 e Q3 para o seguinte conjunto de valores:

Inicialmente precisamos colocar os valores em ordem (rol)

a) Vamos utilizar os passos para o clculo do 1 quartil:1 Passo: Determina-se a posio do 1 quartil:

2 Passo: Identificar a posio 3

3 Passo: Procura-se no rol o valor do nmero que est na posio identificada.

012467889101112

O nmero que corresponde a 25% do rol o valor 2

b) Vamos utilizar os passos para o clculo do 2 quartil:

1 Passo: Determina-se a posio do 2 quartil:



012467889101112

012467889101112

O nmero que corresponde a 50% do rol o valor 7c) Vamos utilizar os passos para o clculo do 3 quartil:




012467889101112

012467889101112

O nmero que corresponde a 75% do rol o valor 9

3.1.2 Clculo do quartil para a tabela sem intervalo de classe1 Passo: Calcula-se a posio do quartil.

2 Passo: necessrio inserir a coluna da frequncia acumulada, e nela procurar o valor da posio do quartil .

3 Passo: O Valor do quartil ser o valor da varivel que corresponde quela classe.Exemplo: Calcular os valores do Q1, Q2 e Q3 da tabela seguinte:

Tabela 3.1 Nmeros de acidentes /ms no Cruzamento X em CG/07

N de acidentes / mesffa

044

1610

2919

3524

4428

a) Vamos calcular inicialmente Q1! Passo: Determinar a posio do 1 quartil (25%)

2 Passo: Procurar na coluna da fa a posio do 7 elemento3 Passo: A varivel que corresponde posio do 7 elemento 1 (na segunda classe).

25% da pesquisa mostrou que este cruzamento teve 1 acidente / ms.b) Vamos calcular o Q2

! Passo: Determinar a posio do 2 quartil (50%)

2 Passo: Procurar na coluna da fa a posio do 14 elemento

3 Passo: A varivel que corresponde posio do 14 elemento 2 (na terceira classe).

50% da pesquisa mostrou que este cruzamento teve 2 acidentes / ms.c) Vamos calcular o Q3



3 Passo: A varivel que corresponde posio do 21 elemento 3 (na quarta classe).

75% da pesquisa mostrou que este cruzamento teve 3 acidentes / ms.3.1.3 Clculo do quartil em tabelas com intervalo de classeDetermina-se, inicialmente, a classe que contm o valor quartil a ser calculado. A identificao da classe feita por meio do termo da ordem calculada pela expresso:

Essa expresso determina a posio do referente quartil ou classe que contm o quartil. Assim, temos:

Sendo:

lQk = limite inferior da classe do quartil considerado.

Fant = freqncia acumulada da classe anterior classe do quartil considerado.

aQK = amplitude do intervalo de classe do quartil considerado.

fQK = freqncia simples da classe do quartil considerado.

Exemplo:Para o clculo dos quartis de dados agrupados com intervalos de classe, consideramos a distribuio dos pesos de um grupo de turistas que visita um parque temtico em Fortaleza/CE/Julho/06. Ser acrescentada uma coluna com os valores da freqncia acumulada.

Tabela 3.2 - Pesos de um grupo de turistas do Parque Temtico Fortaleza/CE/Julho/06.iPesos

(kg)Freqncia (fi)Freqncia acumulada (Fa)

110 301010

230 502434

350 705791

470 9044135

5 90 11029164

6110 13016180

Primeiro, calcula-se a classe a que pertence o quartil Q1 (k=1), ou seja, a posio:

P Q1 =

Observando a coluna de freqncia acumulada, verificamos que o quadragsimo quinto termo pertence terceira classe (a freqncia acumulada da teceria classe abrange do 35 termo ao 91 termo). Sabendo que a classe do primeiro quartil a terceira classe, podemos verificar qual o valor numrico do primeiro quartil utilizando a expresso:

= 50 +

Os clculos para os quartis Q2 e Q3 processam-se de forma anloga ao clculo do primeiro quartil.

2 quartil (o segundo quartil pertence terceira classe).

3 quartil (o terceiro quartil pertence quarta classe)

Assim temos: Q1 = 53,9 kg; Q2 = 69,7 kge Q3 = 90,0 kg

Pratique resolvendo mais alguns exemplos.

1) Determinao dos quarts para o conjunto:

Colocando os valores em ordem (rol), temos

a) Vamos utilizar os passos para o clculo do 1 quartil:


2 Passo: Identificar a posio 43 Passo: Procura-se no rol o valor do nmero que est na posio identificada.

1013141515161818

1920212224252729

O nmero que corresponde a 25% do rol o valor 15b) Vamos utilizar os passos para o clculo do 2 quartil:



1013141515161818

1013141515161818

1920212224252729

1920212224252729

O nmero que corresponde a 50% do rol o valor 18c) Vamos utilizar os passos para o clculo do 3 quartil:



1013141515161818

1920212224252729

O nmero que corresponde a 75% do rol o valor 222) Calcular os valores do Q1, Q2 e Q3 da tabela seguinte:

Tabela 3.3 Nmeros de faltas de acadmicos do primeiro semestre.

N de faltasffa

168

3814

41327

6734

7438

a) Vamos calcular inicialmente Q1! Passo: Determinar a posio do 1 quartil (25%)

2 Passo: Procurar na coluna da fa a posio do 9,5 elemento

3 Passo: A varivel que corresponde posio do 9,5 elemento 3 (na segunda classe).

25% dos acadmicos tiveram 3 faltas

b) Vamos calcular o Q2



3 Passo: A varivel que corresponde posio do 19 elemento 4 (na terceira classe).

50% dos acadmicos tiveram 4 faltas.c) Vamos calcular o Q3


2 Passo: Procurar na coluna da fa a posio do 28,5 elemento

3 Passo: A varivel que corresponde posio do 28,5 elemento 6 (na quarta classe).

75% dos acadmicos tiveram 6 faltas.3 Calcular os valores do Q1, Q2 e Q3 da tabela seguinte:

Tabela 3.4 Pontos obtidos em teste de ateno por candidatos a um emprego.iPontos)Freqncia (fi)Freqncia acumulada (Fa)

10 4033

240 80811

3 80 1201829

4 120 1601544

5160 2001054

a) Vamos calcular a classe a que pertence o quartil Q1 (k=1), ou seja, a posio:

P Q1 =

Observando a coluna de freqncia acumulada, verificamos que o 13,5 termo pertence terceira classe (a freqncia acumulada da teceria classe abrange do 12 termo ao 29 termo). Sabendo que a classe do primeiro quartil a terceira classe, podemos verificar qual o valor numrico do primeiro quartil utilizando a expresso:

=

25% dos candidatos fizeram no mximo 85,56 pontos.Clculos para os quartis Q2 e Q3 processamos da mesma forma do clculo do primeiro quartil.

2 quartil (o segundo quartil pertence terceira classe).

50% dos candidatos fizeram no mximo 115,56 pontos.

3 quartil (o terceiro quartil pertence quarta classe)

75% dos candidatos fizeram no mximo 150,67 pontos.

Assim temos: Q1 = 85,56 pontos Q2 = 115,56 pontos e Q3 = 150,673.2 Decis (DK)

Nos decis, a srie dividida em 10 partes iguais (D1, D2, D3, ...D9). 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9D1: o primeiro decil, corresponde separao dos primeiros 10 % de elementos da srie.

D5: o quinto decil, coincide com a mediana (D5 = Md).

D9: o nono decil, corresponde separao dos ltimos 10% elementos da srie.

3.2.1 Calculo do Decil para o rol

Os passos so os mesmos para o clculo do quartil para o rol

Exemplo: Calcular D1 e D8 do conjunto dado:

Inicialmente vamos colocar o conjunto em ordem crescente:

X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10

2467101215182024

a) Calcular D11 Passo: determina-se a posio do primeiro Decil.

2 Passo: Procura-se no rol o valor do primeiro elemento;3 passo: O valor do D1=2 que corresponde a 10% do rol

b) Calculo do D81 Passo: determina-se a posio do oitavo Decil.

2 Passo: Procura-se no rol o valor do oitavo elemento;

3 passo: O valor do D8=18 que corresponde a 80% do rol

3.2.2 Clculo do Decil para tabela sem Intervalo de Classe.Os procedimentos so os mesmos utilizados para o clculo dos quarts.

Exemplos: Calcular D3 e D7 usando a seguinte tabela:

Tabela 3.5 Quantidade de filhos dos funcionrios de uma pequena empresa.

filhosffa

01818

13553

24699

328127

425152

510162

65167

73170

a) Clculo do D31 Passo: Calcula-se a posio do D3

2 passo: Procura-se a posio do D3 pela coluna da frequncia acumulada, o D3 est na 2 classe (fa 53)

3 Passo: O valor da varivel na segunda classe 1 filho, que corresponde a 30% da pesquisa.

b) Clculo do D31 Passo: Calcula-se a posio do D8

2 passo: Procura-se a posio do D8 pela coluna da frequncia acumulada, o D8 est na 5 classe (fa 152)

3 Passo: O valor da varivel na segunda classe 4 filhos, que corresponde a 80% da pesquisa.

3.2.3 Clculo do decil para tabela com intervalo de classePrimeiramente, determina-se a classe que contm o valor do decil a ser calculado pela expresso:

Esse termo est localizado numa classe que recebe o nome de classe decil. Para o clculo dos decis, utilizamos tcnicas semelhantes s do clculo dos quartis. Isto , utilizamos a frmula:

Sendo:

= limite inferior da classe de decil considerado

Fant = freqncia acumulada da classe anterior classe de decil considerado

hDK = amplitude do intervalo de classe do decil considerado

fDK = freqncia simples da classe do decil considerado

Exemplo : O calculo dos decis ser exemplificado com os dados da Tabela 3.6 que organiza as estaturas de adolescentes, colhidas durante o perodo em que participaram de um acampamento, durante as frias.

Tabela 3.6 - Estaturas dos participantes de um acampamento infantil/Bonito/Julho/06.iEstaturas (cm)Freqncia (fi)Freqncia acumulada (Fi)

1120 12866

2128 1361218

3136 1441634

4144 1521347

5152 160754

Calculam-se os decis D1, D2, ...D7, ..., de forma semelhante ao clculo dos quartis.

Primeiro decil (K=1): (o primeiro decil pertence primeira classe).

Segundo decil (K=2): (o segundo decil pertence segunda classe).

Dessa forma, podemos calcular os outros decis. Por exemplo, clculo do stimo decil (K=7):

(o stimo decil pertence quarta classe)

3.3 Percentis (Pk)

Nos percentis, a srie divida em 100 partes iguais (P1, P2, P3, ... P99).

P1: o primeiro percentil, corresponde separao do primeiro 1% de elementos da srie.

P50: o qinquagsimo percentil, coincide com a mediana (P50 = D5 = Q2 = Md).

Para o clculo dos percentis, utilizamos tcnicas semelhantes s do clculo dos quartis e decis. Inicialmente, determina-se a classe que contm o valor percentil a ser calculado pela expresso:

(K = 1; 2; 3;...; 98; 99)

3.3.1 Clculo de Percentil para rol

Verificamos que o raciocnio o mesmo utilizado para o clculo do Quartil e Decil. Consideremos o exemplo abaixo:

1) Calcular o P28 e P82 do conjunto

Devemos inicialmente ordenar os valores:

X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11

246710121315182021

a) Clculo do P281 Passo: Determinar a posio do P28

2 Passo: procura-se no rol o valor da posio do 3 elemento;3 Passo: A varivel que corresponde posio desejada o nmero 6

b) Clculo do P821 Passo: Determinar a posio do P82

2 Passo: procura-se no rol o valor da posio do 9 elemento;

3 Passo: A varivel que corresponde posio desejada o nmero 18

3.3.2 Clculo do Percentil para Tabela sem Intervalo de ClasseO clculo do Percentil para a tabela sem intervalo de classe o mesmo que para os clculos dos Quarts e Decs. Estudemos esses clculos atravs do exemplo a seguir:Exemplo: Calcular P45 e P93 da tabela

Tabela 3.7. Nmero de quartos/chals em Bonito/MS/07Nmero de quartos/chalsffa

11515

23045

32065

41277

51087

6895

a) Calcular P451 Passo: Determinar a posio do P45

2 Passo: Procurar a posio do 43 elemento pela coluna da frequncia acumulada, podemos observar que o elemento de posio 43 est na segunda classe;3 Passo O valor da varivel que corresponde a 45% da pesquisa revelou que os pesquisados preferem at dois quartos por chal.

b) Calcular P931 Passo: Determinar a posio do P93

2 Passo: Procurar a posio do 88 elemento pela coluna da frequncia acumulada, podemos observar que o elemento de posio 88 est na sexta classe;

3 Passo O valor da varivel que corresponde a 93% da pesquisa revelou que os pesquisados preferem at seis quartos por chal.

3.3.3 Clculo para Percentil em Tabelas com Intervalo de ClassePara o clculo dos percents, utilizamos tcnicas semelhantes s do clculo dos quarts e decs. Inicialmente, determina-se a classe que contm o valor percentil a ser calculado pela expresso:

Para obteno do percentil, utilizamos a frmula:

Sendo:

limite inferior da classe do percentil considerado

Fant = freqncia acumulada da classe anterior do percentil considerado

amplitude do intervalo de classe do percentil considerado

= freqncia simples da classe do percentil considerado

Exemplo: Na tabela 3.6 vamos calcular o 46 percentil (K=36) e o 76 percentil (K=76):Tabela 3.6 - Estaturas dos participantes de um acampamento infantil/Bonito/Julho/06.iEstaturas (cm)Freqncia (fi)Freqncia acumulada (Fi)

1120 12866

2128 1361218

3136 1441634

4144 1521347

5152 160754

a) Calculo do P46

(o quadragsimo sexto percentil pertence terceira classe)

b) Calculo do P76

(o percentil 76 pertence quarta classe)

Lista de exerccios 3.1Considere o conjunto de valores que representa as idades de um grupo de crianas de uma comunidade:

1.1 Qual a idade que corresponde a 25% das crianas (Q1)?a) Q1=3

b) Q1=5

c) Q1=4

d) Q1=6

1.2 Qual a idade que corresponde a 70% das crianas (D7)?

a) D7=6b) D7=8c) D7=5d) D7=91.3 Qual a idade que corresponde a 45% das crianas (P45)?

a) P45 = 4b) P45 = 8c) P45 = 5d) P45 = 6Considere a tabela 3.7 que representa os valores economizados por crianas para a compra do presente do dia das mes.

Tabela 3.7 Valores economizados pelas crianas

Valores (R$)Num. de crianas(fi)fa

102

156

208

2515

3013

3511

405

2.1.Qual o valor economizado por 75% das crianas (Q3)?a) Q3= 30

b) Q3= 40

c) Q3= 35

d) Q3= 25

2.2. Qual o valor economizado por 40% das crianas (D4)?

a) D4 = 25

b) D4 = 20

c) D4 = 35

d) D4 = 30

2.3. Qual o valor economizado por 92% das crianas (P92)?

a) P92 = 35

b) P92 = 30c) P92 = 40d)P92 = 38Considere a tabela 3.8 que representa os salrios de funcionrios de uma empresa de reciclagem.

Tabela 3.8 Salrios da empresa de reciclagem Coisas &Tal

Salriosfuncionrios

500 6003

600 7008

700 80012

800 90017

900 100010

1000 11008

1100 12006

3.1. Qual o salrio de 25% dos funcionrios que ganham menos(Q1)?a) Q1=742,68b) Q1=741,67c) Q1=678,97d) Q1=698,853.2 Qual o salrio de 60% dos funcionrios que ganham menos(D6)?

a) D6 = 835,80

b) D6= 829,78

c) D6 = 890,59

d) D6 = 895,86

3.3. Qual o salrio de 90% dos funcionrios que ganham menos(P90)?

a) P90 = 1095,00b) P90 = 1105,00c) P90 = 1085,00d)P90 = 1056,00ATIVIDADE 3.1 DA APOSTILA ATUAL

_1302959835.unknown

_1302961143.unknown

_1303028142.unknown

_1303042763.unknown

_1303044545.unknown

_1303045925.unknown

_1303047423.unknown

_1303047596.unknown

_1303107717.unknown

_1303108502.unknown

_1303106784.unknown

_1303047578.unknown

_1303046850.unknown

_1303045340.unknown

_1303045551.unknown

_1303044806.unknown

_1303043470.unknown

_1303044197.unknown

_1303043114.unknown

_1303029613.unknown

_1303042109.unknown

_1303042549.unknown

_1303041786.unknown

_1303028285.unknown

_1303028428.unknown

_1303028182.unknown

_1303027175.unknown

_1303027727.unknown

_1303027870.unknown

_1303027717.unknown

_1303026906.unknown

_1303027061.unknown

_1303026819.unknown

_1302960853.unknown

_1302960944.unknown

_1302961065.unknown

_1302961142.unknown

_1302961055.unknown

_1302960872.unknown

_1302960887.unknown

_1302960859.unknown

_1302960194.unknown

_1302960400.unknown

_1302960750.unknown

_1302960398.unknown

_1302960399.unknown

_1302960397.unknown

_1302959983.unknown

_1302958156.unknown

_1302958557.unknown

_1302958640.unknown

_1302958208.unknown

_1302958019.unknown

_1302956153.unknown

_1302957079.unknown

_1302955070.unknown

_1302955718.unknown

_1302955779.unknown

_1302955896.unknown

_1302955799.unknown

_1302955808.unknown

_1302955895.unknown

_1302955789.unknown

_1302955745.unknown

_1302955766.unknown

_1302955724.unknown

_1302955652.unknown

_1302955698.unknown

_1302955411.unknown

_1302955202.unknown

_1218379702.unknown

_1218442406.unknown

_1218442908.unknown

_1218443033.unknown

_1302954880.unknown

_1218443093.unknown

_1218443006.unknown

_1218442819.unknown

_1218442862.unknown

_1218442427.unknown

_1218382702.unknown

_1218382851.unknown

_1218442344.unknown

_1218382747.unknown

_1218379768.unknown

_913587125.unknown

_913588262.unknown

_1218379160.unknown

_1218379614.unknown

_913588611.unknown

_913588794.unknown

_913587436.unknown

_913587713.unknown

_913584946.unknown

_913586376.unknown

_913586928.unknown

_913584869.unknown

Documents

Exercício bioestatística