EXERCÍCIO SOBRE FUNÇÃO QUADRATICA

1 - (ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:a) 11000b) 22000c) 33000d) 38000e) 44000

Solução: Sendo P = 44 000 temos R(x) = kx(44 000 – x)R(x) = -kx$$$^2$$$ + 44 000kxPara se obter o número de pessoas onde teremos a máxima rapidez de propagação, basta utilizar o xv = - b/2a = -44 000/-2 = 22 000Letra B. 

Questão 1

Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4ax² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.

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Questão 2

Determine os valores de m, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.

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Questão 3

(Vunesp-SP)

O gráfico da função quadrática definida por y = x² – mx + (m – 1), em que m Є R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Determine y associado ao valor de x = 2.

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Questão 4

(UCSal-BA)

Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas.

 

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Respostas

Resposta Questão 1

∆ < 0b² – 4ac < 0(–4)² – 4 * 4 * (–k) < 016 + 16k < 016k < – 16k < –1

O valor de k para que a função não tenha raízes reais deve ser menor que – 1. 

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Resposta Questão 2

Para essa situação temos que ∆ ≥ 0.

∆ ≥ 0b² – 4ac ≥ 0(–2)² – 4 * (m – 2) * 6 ≥ 04 – 4 * (6m – 12) ≥ 04 – 24m + 48 ≥ 0– 24m ≥ – 48 – 4– 24m ≥ – 5224m ≤ 52m ≤ 52/24m ≤ 13/6

O valor de m que satisfaça a condição exigida é m ≤ 13/6. 

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Resposta Questão 3

Um ponto em comum significa dizer uma única raiz, então ∆ = 0.

y = x² – mx + (m – 1)

Substituir m = 2, no intuito de obter a lei da funçãoy = x² – 2x + (2 – 1)y = x² – 2x +1

Substituindo x = 2, para determinarmos o valor de yy = 2² – 2 * 2 + 1y = 4 – 4 + 1y = 1

Temos que a equação possui a lei de formação y = x² – 2x +1. E quando x = 2, o valor de y se torna igual a 1. 

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Resposta Questão 4

No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto:

f(x) = 02x² – 3x + 1 = 0

 

Os pontos de interseção são:

x = 1 e y = 0x = 1/2 e y = 0 

1. Construa o gráfico das funções abaixo, determinando: Domínio, imagem e zero da função.

a) f ( x ) = − 2 + x 2

Solução:

x f ( x )

-2 2

-1 -10 -21 -12 2

Raiz: f ( x ) = 0

0 = − 2 + x 2

2 = x 2

± 2 = x

Logo x 1 = − 1,42 e x 2 = 1,42

Im ( f ) = ] − 2, ∞ [ e D ( f ) =  .

b) f ( x ) = − x 2 + 4 x − 3

2. Uma ponte suspensa é construída com seu cabo pendurado, na forma de uma parábola, entre duas torres verticais. As torres estão distantes 400 metros e se erguem 100 metros acima da rodovia horizontal, enquanto o ponto central do cabo está a 10 metros acima da rodovia. Introduza um sistema de coordenadas.

a) Encontre a equação da parábola no sistema de coordenadas.

b) Calcule a altura acima da rodovia de um ponto 50 metros distante do centro da ponte.

Solução:Para determinar a altura acima da rodovia de um ponto 50 metros distante do centro da ponte, deve-se substituir a informação de 50 m na abcissa x e encontrar a ordenada y, a qual corresponde a altura procurada, ou seja, ( 50, y ) :y = 9 4000 ( 2500 ) + 10y = 9 4000 ( 2500 ) + 10y = 22500 4000 + 10y = 5,625 + 10y = 15,625 mLogo, a altura procurada corresponde a 15,625 m.

3. Suponha que t horas após a meia-noite, a temperatura em certa cidade era C ( t ) = − 1 6 t 2 + 4 t +10 graus Celcius. Pergunta-se:

a) Qual a temperatura às 14 horas?

b) De quanto tempo a temperatura aumentou ou diminui entre 18 e 21 horas?

Solução:

C ( 18 ) = − 1 6 ( 18 ) 2 + 4 ⋅ 18 + 10

C ( 18 ) = − 324 6 + 72 + 10

C ( 21 ) = − 1 6 ( 21 ) 2 + 4 ⋅ 21 + 10

C ( 21 ) = − 441 6 + 84 + 10

C ( 18 ) = 28 ° C C ( 21 ) = 20,5 ° C

Portanto a temperatura diminuiu 7,5 ° C   ( 28 − 20,5 ) das 18 horas para as 21 horas.

c) Qual o horário que ocorreu a temperatura máxima? E qual esta temperatura?

4. Uma empresa tem a função lucro dada por L T = -x 2 + 3 x -2 . A relação entre o preço e a quantidade é dada por y = 5 − x , onde x é a quantidade em milhares, e y, preço em 1000 unidades monetárias. Sabendo-se que a função receita é obtida através da relação: R = preço   ×   quantidade e a função lucro: L = Receita   −   Custo , pede-se:

a) A função receita total;

Solução:Função receita: R = preço   ×   quantidadeR = ( 5 − x ) xR = 5 x − x 2

b) A função custo total;

c) O esboço do gráfico L T ,   R T   e   C T no mesmo sistema de eixos.

d) O ponto de equilíbrio;

e) O Lucro na venda de x = 2 e x = 3 mil unidades.

1) Esboce o gráfico da função  :

- Desenvolvimento:

            Vamos primeiro calcular as raízes usando Bhaskara. Os coeficientes são: a=1, b=-1 e c=-2.Colocando na fórmula de Bhaskara, temos:

As duas raízes são 2 e –1, então já sabemos os pontos por onde a parábola corta o eixo X. No gráfico, fica:

Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o “c”. Ele vale –2, então o gráfico da parábola com certeza corta o eixo Y no ponto –2. Vamos marcá-lo:

Pelo coeficiente “a” sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo “b” sabemos que logo após o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traçando o esboço, temos o seguinte:

1) A representação cartesiana da função   é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:

(A) a<0, b<0 e c>0(B) a>0, b>0 e c<0(C) a>0, b>0 e c>0(D) a<0, b>0 e c<0(E) a<0, b>0 e c>0

2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?

(A) (B) (C) (D) (E) 

3) O valor mínimo do polinômio  , cujo gráfico é mostrado na figura, é:

(A) (B) 

(C) 

(D) 

(E) 

4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade   são os números x, tais que

(A) (B) (C) 

(D) (E) 

5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação  . Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a

(A) 6,25 m, 5s(B) 250 m, 0 s(C) 250 m, 5s(D) 250 m, 200 s(E) 10.000 m , 5s

6) (UFRGS) Considere a função  , definida por  , com   e  . O gráfico de f

(A) não intercepta o eixo das abscissas(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.

7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 

8) A solução de   é

(A) (0, 1)(B) (-∞, 0)U(1, +∞)(C) (-1, 1)(D) (-∞, -1)U(1,+∞)(E) R

9) (UFRGS) Para que a prábola da equação   contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,

(A)   e 

(B)   e 

(C)   e 

(D)   e 

(E)   e 

10) O vértice da parábola que corresponde à função   é

(A) (-2, -2)(B) (-2, 0)(C) (-2, 2)(D) (2, -2)(E) (2, 2)

11) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.

Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, a altura de DH é:

(A) 17,5m (B) 15,0m (C) 12,5m (D) 10,0m (E) 7,5m

GABARITO

01-E 04-D 07-A 10-E

02-C 05-C 08-A 11 - B

03-C 06-B 09-B  

1) A representação cartesiana da função   é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:

(A) a<0, b<0 e c>0(B) a>0, b>0 e c<0(C) a>0, b>0 e c>0(D) a<0, b>0 e c<0(E) a<0, b>0 e c>0

        Isto é apenas análise de coeficientes:        - a concavidade da parábola está para baixo, portanto, o coeficiente "a" é negativo (a<0);        - a parábola corta o eixo Y (eixo vertical) em um ponto acima da origem, logo "c" é positivo (c>0);        - após o ponto de corte do eixo Y, a parábola sobe, então "b" é positivo;        - resposta certa letra "E".

2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?

(A) (B) (C) (D) (E) 

        - no  gráfico é indicado quais são as raízes da função (-3/2 e 3), então sabemos quais são os fatores da equação (x+3/2) e (x-3). Agora efetuando a multiplicação entre estes dois fatores, achamos uma suposta equação para este gráfico:

        

        - mas esta é somente uma suposta equação, pois veja quanto vale seu coeficiente "c". Ele vale -9/2, e no gráfico mostra que ele deve valer "-9". Então, o que devemos fazer para -9/2 virar -9? Isso mesmo, multiplicar TUDO por 2. Daí teremos a equação certa.

2x2-3x-9         Letra "C"

3) O valor mínimo do polinômio  , cujo gráfico é mostrado na figura, é:

(A) (B) 

(C) 

(D) 

(E) 

      - este exercício envolve dois tópicos de equações quadráticas: calcular a equação e calcular o vértice;      - é dada uma equação incompleta, sendo indicado somente o valor de "a" (a=1). Porém, no gráfico podemos descobrir as raízes e achar os fatores da função. As raízes são 0 e 3, portanto os fatores, (x-0) e (x-3). Vamos multiplicar os fatores:

        

        - agora sabemos qual é a equação, e é pedido o valor mínimo da função (Yv). Colocando na fórmula:

  Resposta certa, letra "C"

4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade   são os números x, tais que

(A) (B) (C) (D) (E) 

        - esta é uma questão de análise de sinal, pois a equação dada pode ser escrita da seguinte forma:

x2+1>2x      =>    x2-2x+1>0

        - agora, o que está sendo perguntado é: quando a equação x2-2x+1 é positiva? Vamos fazer a análise de sinal, para isso devemos calcular as raízes. Aplicando Bhaskara, achamos 1 e 1 (raízes idênticas). Portanto, o esboço do gráfico é assim:

        - o exercício pede quando ela é positiva. Veja que ela está toda em cima da origem, mas atenção no ponto x=1. Ela vale ZERO, e zero não é positivo nem negativo, portanto ela será positiva em todos os números, menos no 1. Resposta certa letra "D"

5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o

lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a

(A) 6,25 m, 5s(B) 250 m, 0s(C) 250 m, 5s(D) 250 m, 200s(E) 10.000 m , 5s

        - primeiro devemos fazer o esboço do gráfico. Veja como é:

        - sabendo que o eixo X representa o tempo e o eixo Y representa a altura, então calculando o Yv teremos a altura máxima atingida, e a outra raiz será o tempo que o projétil permanece no ar.

   Resposta certa letra "C"

6) (UFRGS) Considere a função  , definida por  , com   e  . O gráfico de f

(A) não intercepta o eixo das abscissas(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.

        - é dito que o coeficiente "a" é menor que zero, e o "c" é maior que zero. Portanto, deve ter concavidade para baixo (boca triste) e cortar o eixo Y em um ponto acima da origem. Podemos fazer um esboço gráfico da seguinte maneira:

        - este é um gráfico que poderia ser da função dada. A única alternativa que bate com este gráfico é a

letra "B".

        - P.S.: Eixo das Abscissas é o eixo X e eixo das ordenadas é o eixo Y.

7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

(E) 

        - a soma vale 7/2 e o produto vale 3/2, portanto a razão entre a soma e o produto vale:

  Resposta certa letra "A"

        - Obs.: Sempre que for pedido razão de dois termos, o que vai em cima da divisão é o que foi dito primeiro, portanto ele pede a "soma" dividida pelo "produto".

8) A solução de   é

(A) (0, 1)(B) (-∞, 0)U(1, +∞)(C) (-1, 1)(D) (-∞, -1)U(1,+∞)(E) R

        - aqui é outro exercício de "análise de sinal". A equação dada só está um pouco "bagunçada". Vamos arrumá-la:

        - agora, o que é pedido é: quando a função é positiva?        - vamos fazer a análise dos sinais, primeiro calculando as raízes, que são 0 e 1. Portanto o esboço do gráfico é o seguinte:

        - portanto, ela é positiva no intervalo de zero até um (0,1). Resposta certa letra "A".

9) (UFRGS) Para que a prábola da equação   contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,

(A)   e 

(B)   e 

(C)   e 

(D)   e 

(E)   e 

        - os pontos dados são coordenadas (X, Y) então o que devemos fazer é substituir cada um deles em uma equação:

        - achamos duas equações com duas incógnitas. Agora devemos resolver o sisteminha formado pelas duas:

        - substituimos o valor de a na primeira equação e substituímos na segunda:

Agora substituindo o valor de "a" na segunda equação:

Voltamos para a primeira equação e substituimos o valor de "b" para

achar o valor de "a":

Resposta certa letra "B".

10) O vértice da parábola que corresponde à função  é

(A) (-2, -2)(B) (-2, 0)(C) (-2, 2)(D) (2, -2)(E) (2, 2)

        - a única dificuldade deste exercício é achar a função escrita de um modo mais organizado. Vamos calcular o parênteses, que está ao quadrado:

    - agora é só calcular o valor das coordenadas do vértice, sabendo que a=1 b=-4 e c=6.

   Resposta certa letra "E"

11) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.

Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, a altura de DH é:

(A) 17,5m (B) 15,0m (C) 12,5m 

(D) 10,0m (E) 7,5m