EXERCíCIOS11.1

Encontrando Extremos Locais

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de selanas funções dos exercícios 1-20.

1. J(x, y) = X2 + xy + / + 3x - 3y + 4

2. J(x, y) = 2xy - 5r - 2/ + 4x + 4y - 4

3. J(x, y) = X2+ xy + 3x + 2y + 5

4. f(x, y) = 5xy - 7X2+ 3x - 6y + 2

5. f(x, y) = 3.r2+ 6xy + 7/ - 2x + 4y

6. f(x, y) = 2X2+ 3xy + 4/ - 5x + 2y

7. f(x, y) = X2- / - 2x + 4y + 6

8. }(x, y) = X2- 2xy + 2/ - 2x + 2y + 1

9. f(x, y) = 3 + 2x + 2)' - 2X2- 2xy - i

,~

10. f(x, y) ==x.1 - y' - 2xy + 6

11. f(x, y) ==x.1 + 3.ry + y.1

12. f(x, y) = 6X2 - 2x.1+ 3l + 6xy

13. f(x, y) ==9x' + //3 - 4xy

14. f(x, y) ==x.1 + y-' + 3x2 - 3y2 - 8

15. f(x, y) = 4xy - X4 - l16. f(x, y) = x4 + y-l + 4x)'

I17. f(x, y) ==_2 ?

X +y--l

19. f(x, y) = y sen x

I 118. f(x, y) ==X + xy + y

20. f(x, y) = e2rcos y

Encontrando Extremos AbsolutosNos exercícios 21-26, encontre os máximos e n1ínimosabsolufbSdas funções nos domínios dados.

21. f(x, y) = 2X2 - 4x + / - 4)' + I na placa triangular fechada elimitada pelas retas x = O,Y = 2, )' = 2x no primeiro qua-drante.

22. f(x, y) == X2 + / na placa triangular fechada e limitada pelasretas x ==O,Y= O,Y + 2x ==2 no primeiro quadrante.

23. T(x, y) ==X2 + xy + / - 6x + 2 na placa retangular O :$ X :$5, - 3 ::; y ::; O.

24. f(x, y) = 48x)' - 32x.1- 241 na placa retangular O ::; x ::; 1,O::; y ::; 1.

25. f(x, y) ==(4x - X2) cos y na placa retangular 1 ::; x ::; 3,- rr/4 ::; y ::; 1i/4.

z.= (4x - x2) cosy z

íU.!'!roEli>

.cro~oa;c.

A função e seu domínio do Exercício 25.

26. f(x, y) ==4x - 8xy+ 2y + 1naplacatriangularlimitadapelasretas x ==O, Y ==O, x + y == 1 no primeiro quadrante.

27. Maximizandouma integral Encontre dois números a e b coma ::; b tais que

f/1

(6 - x - X2)dxa

tenha seu valor máximo

28. Maximizandouma integral Encontre dois números a e b coma ::; b tais que

f"

a (24 - 2x - X2)1/Jdx

tenha seu valor máximo.

11.7 ValoresExtremose Pontosde Sela 325

29. TemperaturasextremasA placa circularplana da Figura 11.54tem o formato da região X2 + l ::; 1. A placa, incluindo afronteira onde x2 + i = 1, é aquecida de tal modo que a tem-peratura no ponto (x, y) é

T(x, y) = X2+ 2)'2- x.

Encontre as temperaturas nos pontos mais quentes e mais frioselaplaca.

)'

íU.!'!ro

x EQ).cro~oa;c.o"Omli>~

FIGURA 1 1.54 Curvas de temperatura constante sãochamadas de isotermas. A figura mostra isotermas da funçãotemperatura T (x,y) = x2 + 2i - x no disco X2 + l ~ 1 noplano xy. O Exercício 29 pede a você que localize as tem-peraturas extremas. .

30. IdentificandopontoscríticosEncontreopontocríticode

f(x, y) == x)' + 2x- ln X2)'

no primeiro quadrante abe110(x > O,y > O)e mostre que f as-sume um valor mínimo lá (Figura 11.55).

y

/rn!,!roEQ).cro~oa;c.o"O<;SQj

x Q.o

FIGURA11.55 A funçãofix, y) = .:\:'y+ 2x - lnx2y (curvasde nível selecionadas são mostradas aqui) assume um valormínimo em algum lugar no primeiro quadran'teaberto x >O,Y > O(Exercício 30).

Teoria e Exemplos31. Escrevendopara aprender Encontre os máximos, mínimos e

pontos de sela def(x, y), se existirem, dados

(a) J.. ==2x - 4y e /;. ==2y - 4x

(b) f\. = 2x - 2 e /;. ==2y - 4

(c) ir = 9X2- 9 e /;. = 2)' + 4.Descreva seu raciocínio em cada caso.

32. Escrevendo para aprender: quando a derivada segunda é inconclu-dente O discriminante fxx/;'y- i-/ é zero na origem para cadauma das funções a seguir, de modo que o teste da derivada se-

326 Capitulo 11: Funçõesde VáriasVariáveise SuasDerivadas

gunda falha. Determine se a função tem um máximo, um mí-nimo ou nenhum dos dois na origem, imaginando como é a su-perfície z =f(x, y). Descreva seu raciocínio em cada caso.

(a) f(x, y) = x2i

(c) f(;r, y) =xi(e) f(x, y) = x3l

(b) f(x, y) = 1 - x2i

(d) f(x, y) = X\,2

(n f(x, y) = x4l

33. Mostre que (O,O)é um ponto crítico def(x, y) = X2 + kxy +y2, não importando o valor da constante k. (Dica: Consideredois casos: k = Oe k "*O.)

34. EscrevendoparaaprenderPara quais valores da constantek oteste da derivada segunda garante quef(x, y) = X2+ kxy + lterá um ponto de sela em (O, O)? E um mínimo local em (O, O)?

Para quais valores de k o teste da derivada segunda é inconc1u-sivo? Justifique suas respostas.

35. (a) Escrevendopara aprenderSej~(a,b) = i/a, b) = O,f pre-cisa ter um valor máximo ou mínimo local em (a, b)? Jus-tifique sua resposta.

(b) Escrevendoparaaprender Pode-se concluir algo sobre j(o,b) seI, sua derivada parcial de primeira ordem e sua deri-vada parcial de segunda ordem forem contínuas em um

disco centrado em (o, b) e fr.la, b) e /;/a, b) diferirem nosinal? Justifique sua resposta.

36. ProvandooTeorema10paraummínimolocal Usandoa provadoTeorema 10 dada no texto para o caso no qual f tem um má-ximo local em (a, b), prove o teorema para o caso no qual ftem um mínimo local em (a, b).

37. Distânciamáximadeumplano Entretodosospontosdo gráficode z = 10 - x2 - i que estão acima do plano x + 2)' + 3z =O, encontre o ponto mais afastado do plano.

38. Distânciamínimaa Llmplano Encontre o ponto no gráfico de z =.r + / + 10 mais próximo do plano x + 2y - z = O.

39. Escrevendopara aprender A função j(x, y) = x + y não tem umvalor máximo absoluto no primeiro quadrante fechado (x 2: Oe)' ;:::O).Isso contradiz a discussão sobre a procura de um ex-tremo absoluto feita no texto? Justifique sua resposta.

40. Considerea funçãof(x, y) = X2 + y2 + 2xy - x - y + 1 noquadrado O:::;x:::; 1 e O:::;y :::;1.

(a) Minimo CIOlongo de Llmsegmentode reta Mostrequef temum mínimo absoluto ao longo do segmento de reta 2x +2y = 1 nesse quadrado. Qual é o valor mínimo absoluto?

(b) Móximo absoluto Encontre o valor máximo absoluto de f

no quadrado.

Valores Extremos em CurvasParametrizadas

Para encontrarmos os valores extremos de uma função j(x, .1')emuma curva x = x(t), )' = y(t), tratamos f como uma função de umavariável t e usamos a Regra da Cadeia para descobrir onde dfldt ézero. Como em qualquer caso de uma variável, os valores extremosdef são então encontrados entre os valores nos

(a) Pontos críticos (pontos onde dfldEé zero ou não existe)

(b) Pontos extremos do domínio do parâmetro.

Nos exercícios 41-44, encontre os valores máximos e mínimos ab-solutos das funções nas curvas.

41. Funções:

(a) f(x, y) = x + Y

(c) lI(x, y) = 2X2+ /Curvas:

(b) g(x, y) =xy

i. A semicircunferência X2 + / = 4, )' 2: O

ii. O quarto ele circunferência X2 + / =4, x 2: O, Y 2: O

Use as eqllHções para métricas x = 2 cos E,Y = 2 sen E.

42. Funções:

(a) f(x, y) = 2x + 3y

(c) h(x, y) = X2 + 3/

(b) g(x, y) = xy

Curvas:

i. A semi-eJipse (x2/9) + (/ / 4) = 1, Y 2: O

ii. O quartode elipse(x2/9)+ (//4) = 1, x 2: O, Y 2: O

Use as equações paramétricas x = 3 cos t, Y = 2 seu t.

43. Função: f(x, y) = xyCurvas:

i. A reta x = 2E, y=t+1

ii. O segmento de reta x = 2E,

iii. O segmento de reta x = 2t,

Y=E+1, ~-l:::;t:::;O

y = E+ 1, O :::; E :::; 1 ~

44. Funções:

(a) f(x, y) = X2+ / (b) g(x, y) = 1/(x2 + /)

Curvas:

i. A retax = t, y = 2 - 2t

ii. O segmento de reta x = t, O :::; t :::; 1y = 2 - 2l,

)'P"(X,,,)',,)

/

PI(XI, )'1)

I.......-

."'.'" 'X

o,

FIGUHA11.56 Para ajustarmos uma reta a pontos não coli-neares, escolhemos a reta que minimiza a soma dos quadra-dos dos desVios.

45. Minimos quadradose regressãolinear Quando tentamos ajustaruma reta y = II/X + b aum conjunto de pontos de dados numé-ricos (XI' YI), (X2' .1'2),..., (X", )',,) (Figura 11.56), geralmente es-colhemos a reta que minimiza a soma dos quadrados das dis-tâncias verticais dos pontos à reta. Em teoria, isso significa

encontrar os valores de 111e b que minimizam o valor da função 4i

\11= (11Ix] + b - )'1)2+ . ..+ (11IX" + b - )',,)2.

Use os testesdas derivadasprimeirae segundaparamostrarqueessesvaloressão

(2:Xk)(2:)'k) - 1/ 2:Xk)'k

111 = , (2:X,)'- 112:X,'

b= ir (2:)'k - 1112:Xk) .

46. Craterasde Mo/le Uma teoria para a formação de crateras su-gere que a freqÜência de crateras grandes diminui com o qua-drado do diâmetro (MarclIs, Sciellce, 21 jun. 1968, p. 1334).

Fotos tiradas a partir da Mariner IV mostram as freqÜências {c-lacionadas na Tabela 11.1. Use os resultados do Exercíci6 f45

para ajustar uma reta da forma F = m( 11D2) + b aos dados.Represente graficamente os dados e trace a reta.

. ,'i," é< ,. 'f"" ':;V~1'>~, '~':"" J' "" '"

1.1 Tam~nho~.cla~cr~tfra$"em:'f.Marte;_,Jr.."'" ~".';~,:,~~~l;~L,,"~,L/~';H ~~:jJ}

1/ D2 (para o lado

esquerdo do

intervalo de classe) Frequência, F

Diâmetro em

km,D

11.8 Multiplicadores de Lagrange 327

,;\1~' "",,'[.~ ~, USANDOO COMPUTADOR

Explorando Extremos Locaisem Pontos CríticosNos exercícios 47-52, você explorará funções para identificar ex-tremos locais em pontos críticos. Use um sistema de álgebra porcomputador (SAC) para executar os passos a seguir.

(a) Trace a função no retângulo dado.

(b) Trace algumas curvas de nível no retângulo.

(c) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da funçãoe use a resolução de equações de um SAC para encontraros pontos críticos. Como os pontos críticos se relacionamàs curvas de nível representadas no item (b)? Quais pontoscríticos, se algum, parecem fomecer um ponto de sela?Justifique sua resposta.

(d) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da funçãoe encontre o discriminante J,riy.'"- J,/.

(c) Usando os testes de máximo e mínimo, classifique os pon-tos críticos encontrados no item (c). Seus resultados sãocoerentes com sua discussão no item (c)?

47. f(x, y) = X2+)'3 - 3x)', -5:::; x:::; 5, -5:::; y:::;5

48. f(x, y) = x' - 3xl + )'2, - 2 :::;x :5 2, - 2 s; y :::;2

49.f(x, y) = x4 +)'2 - 8x2 - 6y + 16, -3:::; x:::; 3.

-6:::; y S; 6

50. f(x, y) = 2X4 + l- 2X2 - 2/ + 3, -3/2:::; x:::; 3/2,- 3/2 :::;)' :::;3/2

51. f(x, )') = 5X6 + 18x5 - 30x4 + 30X)'2 - 120X3, -4 :::;x :::;3.- 2 :::;)' :::;2

. , -{

X5 ln (x2 + )'2), - (x, y) =1=(O, O)

52. f(}:., )) - O, (x, y) = (O,O)

- 2 :::;x :::; 2, - 2 :::; )' :::; 2

32-45 0,001 51

45- 64 0,0005 22

64- 90 0,00024 14

90-128 0,000123 4