410 Capitulo12:IntegraisMúltiplas

Fórmulas de Mudança de Coordenadas

x = r cos ()

y = r sen 8z=z

x = p sen cp cos ()

y = p sen cp sen ()

z = p cos cp

r = p sen cp

z = p cos cp8= 8

Elementos de volume cOITespondentes:

dV= dxdydz

= dz r dr dO

= p2 sen cpdp dcpdO

,EXERCICIOS 12.6

Calculando Integrais em Coordenadas CilíndricasCalcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6.

f21T

fI

Jv'P

1. o o r dz r drde

f21T

f3

JVi8=?

2. dz r dr deo o ,2/3

f21T

f(J/2'Tr

f3+24,2

3. dz rdrdeo o o

f1T

f(Jl'Tr

f3~

4. . zdzrdrdeo o -~

f2'Tr

fl

fllv'P

5. 3 dz r dr deo o r

f21T

fI

I1/2

6. (fl sen2 () + z2)dz r dr deo o -1/2

Mudando a Ordem de Integração emCoordenadas Cilíndricas

As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens pre-ferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outrasordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceisde calcular. Calcule as integrais nos exercícios 7-10.

f2'Tr

f3

fz/3

7. o o o r3dr dz de

f1

f2'Tr

f1+cos6

8. 4r dr de dz-) o o

fI

fVi

f2'Tr

9. o o o (r2 cos2e + Z2)r de.dr dz

f2

J~

f21T

10. (r sen e + 1) rde dz dro r-2 o

11. Seja D a região limitada abaixo pelo plano z = O,acimapelaesfera x?-+ l + Z2 =4 e dos ladospelo cilindrox?-+ l = 1.Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que dãoo volume de D usando as ordens de integração a seguir.

(a) dz dr de

(b) dr dz dO

(c) dedz dr

12. . Seja D a região limitada abaixo pelo cone z = VX2 + y2 eacimapelo parabolóidez = 2 - X2 - y2.Monteas integraistriplas em coordenadas cilíndricas que dão o volume de Dusando as ordens de integração a seguir.

(a) dz dr de

(b) drdz de

(c) de dz dr

13. Dê os limites de integração para calcular a integral

ff f f(r,O,z)dzrdrde

como uma integral iterada sobre a região que é limitada abaixopelo plano z = O, do lado pelo cilindro r = cos ee acima peloparabolóidez = 3r2.

14. Converta a integral

"

f I fY1=?fx

-1 o o (xl + r) dz dx dy

para uma .integral equivalente em coordenadas cilíndricas ecalcule o resultado.

Encontrando Integrais Iteradas em CoordenadasCilíndri"casNos exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcularf f Jvl(r, O,z) dz r dr de sobre a região D dada.

15. D é o cilindro circular reto cuja ôase é a circunferência r =2 sen (}no plano xy e cujo topo está no plano z = 4 - y.

z

L;(=4-Y

x

y.-/\ . 8r=2sm

16. D é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência r =3 cos (}e cujo topo está no plano z = 5 - x.

z

;;z=5-x

x

17. D é o cilindro reto sólido cuja base é a região no plano xy queestá dentro da cardióide r = 1 + cos (Je fora da circunferência

r = 1 e cujo topo está no plano z = 4.

y

x

r = 1~r=1+cos8

18. D é Ocilindro reto sólido cuja base é a região entre as circun-ferências r = cos (} e r = 2 cos (}e cujo topo está no planoz = 3 - y.

z

x

r = 2 cos (}

12.6 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 411

19. D é oprismacujabase é o triângulono planoxy limitadopeloeixo x e pelas retas y = x e x = 1 e cujo topo está no planoz = 2 - y.

z

x

20. D é o prisma cuja base é o triângulo no plano xy limitado peloeixo y e pelas retas y = x e y = 1 e cujo topo está no planoz = 2 - x.

z

x

y

2

y=x

Calculando Integrais em Coordenadas Esfér~ca5Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos exercícios21-26.

f7T

f7l"

f2senq,21. p2 sen c/Jdp dc/JdO

o o o

f27T

f7T/4

f2

22. (p cos c/J)p2 sen c/Jdp dc/Jdeo o o

f27T

f7T

f(l-cos q,)12

23. l sen c/Jdp dc/Jdeo o o

f37Tl2

f7T

fI

24. 5p3 sen3c/Jdp dc/Jdeo o o

f2'"

f7T/3

J2

25. '?Elsen <p dp dc/Jd(Jo o secq,.

f27T

f1r14

fsecq,

26. (p cos c/J)p2 sen c/Jdp dcpdOo o o

Mudando a Ordem de Integração emCoordenadas Esféricas

As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciaisde integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens sãopossíveis e ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as inte-grais nos exercícios 27-30.

412 Capítulo12:IntegraisMúltiplas

f

2

f

o

J

'11"/2

27. l sen 2cpdcpdOdpo -'11" '11"/4

f7f/3

f2 cosec<Pf2'11"

28. p2 sen cpdOdp dcp1T/6 cosec'" o

flf1Tf1T/4 .

29. 12p sen3cpdcpdOdpo o o

J'11"l2

f7f12

J2

30. 5p4 sen3 4> dp dOdcp'11"/6 -?T/2 cosec '"

31. SejaD a região no Exercício 11. Monte as integrais triplas emcoordenadas esféricas que dão o volume de D usando asordens de integração a seguir.

(a) dp dcpde (b) dcpdp de

32. Seja D a região limitada abaixo pelo cone z = V X2 + y2 e

acima pelo plano z = 1. Monte as integrais triplas em coorde-nadas esféricas que dão o volume de D usando as ordens deintegração a seguir.

(a) dp dcp dO (b) dcp dp dO

Encontrando Integrais Iteradas em CoordenadasEsféricasNos exercícios 33-38, (a) encontre os limites de integração emcoordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sóli-do dado e (b) depois calcule a integral.

33. O sólido entre a esfera p = cos 4> e o heTIÚsfério p = 2.z ~ O.

z

x y

34. O sólido limitado abaixo pelo hemisfério p = 1. z ~ Oe acimapela cardióide de revolução p = 1 + cos 4>.

z

p=l+coscJ>/'

p=l

yx

35. O sólido dentro da cardióide de revolução p = 1 - cos 4>.

36. A porção superior cortada do sólido no Exercício 35 peloplano X)'.

37. O sólido limitado abaixo pela esfera p = 2 cos 4>e acima pelocone z = VX2 + y2.

38. O sólido limitado abaixo pelo plano X)'. dos lados pela esferap = 2 e acima pelo cone 4>= 7T/3.

z

x y

Coordenadas Cartesianasr Cilíndricas e Esféricas39. Monte as integrais triplas para o volume da esfera p = 2 em

coordenadas (a) esféricas. (b) cilíndricas e (c) cartesianas.

40. SejaD a regiãono primeirooctantequeé linútadaabaixopelocone 4>= 1T/4e acima pela esfera p = 3. Expresseo volumede D como uma integral tripla iterada em coordenadas (a)cilíndricas e (b) esféricas. Depois (c) encontre V.

41. Seja D a calota menor cortada de uma esfera sólida de raio de.2 unidades por um plano a 1 unidade de distância do centro daesfera. Expresse o volume de D como uma integral tripla itera~da em coordenadas (a) esféricas, (b) cilíndricas e (c) cartesia-nas. Depois (d) encontreo volume calculandouma das trêsintegrais triplas.

42. Expresse o momento de inércia Iz do hemisfério sólido r + l+ i :s; 1, z ~ O, como uma integral iterada em coordenadas(a) cilíndricas e (b) esféricas. Depois (c) encontre Iz.

VolumesEncontre o volume dos sólidos nos exercícios 43-48.

43. 44. zz

x \ """yz = (x2 + y2)2 -1

/x /

r = sen (Jy

x

49. Esferae conesEncontre o volume da porção da esfera sólidap s; a que está entre os cones l/J= 'Tr13e l/J = 2 'Tr13.

50. Esfera e semiplanos Encontre o volume da região cortada daesfera sólida p s; a pelos semiplanos 8 = O e 8 = 'Tr16no pri-meiro octante.

51. Esferae plano Encontre o volume da região menor cortada daesfera sólida p s; 2 pelo plano z = 1.

52. Coneeplanos Encontre o volumedo sólido dentro do conez = y X2 + y2 entre os planos z = 1 e z = 2.

53. Cilindroe parabolóide Encontre o volume da região limitadaabaixo pelo plano z = O, lateralmente pelo cilindro x?-+ l = 1

e acima pélo parabolóide z = X2 + y2.

54. Cilindroe parabolóides Encontre o volume da região limitadaabaixo pelo parabolóide z = x?- + l, lateralmente pelo cilindrox?-+ l = I e acima pelo parabolóide z = x?- + l + 1.

55. Cilindroe conesEncontre o volume do sólido cortado do cilin-

dro espesso 1 s; x?-+ l s; 2 pelos cones z = :!:Y X2 + y2.

56. Esferae cilindroEncontreo volumeda regiãoque está dentroda esfera x?-+ l + r = 2 e fora do cilindro x?-+ l = 1.

57. Cilindroe planosEncontre o volume da região limitada pelocilindro x?-+ l = 4 e pelos planos z = Oe y + z = 4.

58. Cilindroe planosEncontre o volume da região limitada pelocilindro x?- + l = 4 e pelos planos z = Oe x + y + z = 4.

59. Regiãolimitadapor parabolóidesEncontre o volume da regiãolimitada acima pelo parabolóide z = 5 - x?- - l e abaixo peloparabolóide z = 4x?-+ 4l.

60. Parabolóidee cilindroEncontre o volume da região limitadaacima pelo parabolóide z = 9 - x?- - l e abaixo pelo plano xy

e que está fora do cilindro x?-+ l = 1.

61. Cilindroe esferaEncontre o volume da região cortada do cilin-dro sólido x?-+ l s; 1 pela esfera x?-+ l + Z2 =4.

12.6 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 413

62. Esferae parabolóideEncontre o volume da região limitadaacima pela esfera x?- + l + i = 2 e abaixo pelo parabolóideZ = X2 + y2.

Valores Médios

63. Encontre o valor médio da função f(r, 8, z) = r sobre a regiãolimitada pelo cilindro r = 1 entre os planos z = - I e z = 1.

64. Encontre o valor médio da função f(r, 8, z) = r sobre a bolasólida limitada pela esfera ?- + i = 1. (Esta é a esfera x?-+ l+ i = 1.)

65. Encontre o valor médio da função f(p, l/J,8) = p sobre a esferasólida p s; 1.

66. Encontre o valor médio da função f(p, l/J,8) = p cos l/Jsobre asemi-esfera sólida p s; 1, Os; l/Js; 'Tr12.

Massas. Momentos e Centróides67. Centrode massaUm sólido de densidade constante é limitado

abaixo pelo plano z = O, acima pelo cone z = r, r ~ O e doslados pelo cilindro r = 1. Encontre o centro de massa.

68. CentróideEncontre o centróide da região no primeiro octanteque é limitada acimapelo cone z = y X2 + y2, abaixopeloplano z = Oe dos lados pelo cilindro x?-+ l = 4 e pelos pla-nos x = Oe y = O

69. CentróideEncontre o centróide do sólido no Exercício 38.

70. CentróideEncontre o centróide do sólido limitado acima pelaesferap = a e abaixopeloconel/J= 'Tr14.

71. CentróideEncontre o centróide da região que é limitada acimapela superfíCie z = y;., dos lados pelo cilindro r = 4 e abaixopelo plano xy.

72. CentróideEncontreo centróideda regiãocortadada bolasóli-da r2 + Z2s; 1 pelos semiplanos 8 = - 'Tr13,r ;:::Oe 8 = 11"13,r ;:::O.

73. Inérciae raiode rotaçãoEncontre o momento de inércia e o raiode rotação em relação ao eixo z de um cilindro circular retoespesso limitado por dentro pelo cilindro r = 1, por fora pelocilindro r = 2 e acima e abaixo pelos planos z = 4 e z = O.(Tome 8 = 1.)

74. Momentosde inérciade um cilindrocircularsólido Encontreomomento de inércia de um cilindro circular sólido de raio 1 e

altura 2 (a) em relação ao eixo do cilindro e (b) em relação auma reta que passa pelo centróide e é perpendicular ao eixo docilindro. (Tome 8 = 1.)

75. Momentode inérciadeumconesólidoEncontreo momentodeinércia de um cone circular reto com raio da base 1 e altÜfa 1

em relação a um eixo que passa pelo vértice e é paralelo àbase.(Tome8 = 1.)

76. MomentodeinérciadeumaesferasólidaEncontreo momentodeinércia de uma esfera sólida de raio a em relação a um diâme-tro. (Tome 8 = 1.)

77. MomentodeinérciadeumconesólidoEncontreo momentodeinércia de um cone circular reto com raio da base a e altura h

em relação ao seu eixo. (Dica: Coloque o cone com seu vérticena origem e seu eixo ao longo do eixo z.)

45. z 46.

;ir =3 cos (J, y

xx

47. z 48. z

414 Capítulo12:IntegraisMúltiplas

78. Densidadevariável Um sólido é limitado acima pelo parabolói-de z = r, abaixo pelo plano z = O e dos lados pelo cilindro r= 1..Encontreo centrode massa,o momentode inérciae oraioderotaçãoemrelaçãoao eixoz se a densidadefor

(a) 8(r, 8, z) = z

(b) 8(r, O,z) = r.

79. Densidadevariável Um sólido é limitado abaixo pelo conez = V X2 + Y2e acima pelo plano z = 1.Encontreo centrodemassa, o momento de inércia e o raio de rotação em relação aoeixo z se a densidade for

(a) 8(r, 8, z) = z

(b) 8(r, 8, z) = r.80. Densidadevariável Uma bola sólida é limitada pela esfera

p = a. Encontre o momento de inércia e o raio de rotação emrelação ao eixo z se a densidade for

(a) 8(p, cP,O)= p2

(b) 8(p, cP,8) = r = p sen cP.

81. Centróidedeumsemi-elipsóidesólidoMostreque o centróidedosemi-elipsóide de revolução sólido (rla2) + (ilh2) :s; 1, z ;2:O,está no eixo z, três oitavos da distância da base ao topo. O casoespecial h = a dá um hemisfério sólido. Assim, o centróide deum hemisfério _sólidoestá no eixo de simetria, em três oitavosda distância da base ao topo.

82. CentróidedeumcõnesólidoMostreque o centróidede umconecircular reto sólido está em um quarto da distância da base aovértice. (Em geral, o centróide de um cone sólido ou pirâmideestá em um quarto da distância do centróide da base ao vértice.)

83. Densidadevariável Um cilindro circular reto sólido é limitadopelo cilindro r = a e pelos planos z = O e z = h, h > O.Encon-

tre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotaçãoem relação ao eixo z se a densidade for ô (r, 8, z) = z + 1.

84. Massa da atmosfera do planeta Um planeta esférico de raio Rtem uma atmosfera cuja dens~dade é J.L= J-toe-ch,ondeh é aaltitude acima da superfície do planeta, J-toé a densidade aonível do mar e c é uma constante positiva. Encontre a massa daatmosfera do planeta.

85. DensidadenocentrodeumplanetaUmplanetatem o formatodeuma esfera de raio R e massa total M com distribuição de densi-dade esfericamente simétrica que aumenta linearmente à medi-da que nos aproximamos de seu centro. Qual é a densidade nocentro desse planeta se a densidade na sua superfície for zero?

Teoria e Exemplos86. Cilindros circulares verticais em coordenadasesféricas Encontre

uma equação da forma p = !( 8)parao cilindroX2 + l = a2.

87. Planosverticaisemcoordenadascilíndricas

(a) Mostre que planos perpendiculares ao eixo x têm "'equa-ções da forma r = a sec ()em coordenadas cilíndricas.

(b) Mostre que planos perpendiculares ao eixo y têm equa-ções da forma r = b cosec 8.

88. (Continuação do Exercício 87) Encontre uma equação daforma r = !( O)em coordenadas cilíndricas para o plano ax +by = c, c =teO.

89. Escrevendoparaaprender:simetriaQue simetriavocêencontraráem uma superfície com equação da forma r =fez) em coorde-nadas cilíndricas? Justifique sua resposta.

90. Escrevendoparaaprender:simetriaQuesimetriavocêencontraráem uma superfíciecomequaçãoda formap = .f(cP)emcoor-denadas esféricas? Justifique sua resposta.

Substituições em Integrais MúltiplasSubstituiçõesem IntegraisDuplasTriplas

. Substituições em Integrais

Esta seção mostra como calcular integrais múltiplas por meio de substituição.Como ocorre na integração simples, o objetivo da substituição é trocar integraiscomplicadas por integrais mais fáceis de calcular. A substituição realiza isso aosimplificar o integrando, os limites de integração ou ambos.

Substituições em Integrais Duplas ~

A substituição em coordenadas polares da Seção 12.3 é um caso especial de u11lmétodo de substituição mais geral para integrais duplas, um método que descre-ve mudanças de variáveis como transformações de regiões.

Suponha que uma região G no plano uv seja transformada biunivocamentena região R no plano xy por equações da forma