Exercícios de Estatística - Lista 01 - Resolvida

5/25/2018 Exerc cios de Estat stica - Lista 01 - Resolvida

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EXERCCIOS DE ESTATSTICAREVISO - LISTA 01

1. (TCU-93) Assinale a opo correta:

a) Estatstica Inferencial compreende um conjunto de tcnicas destinadas sntese de dados numricos.

FALSO. Vimos quesntese a palavra que resume as primeiras etapas do processoestatstico (coleta, organizao e descrio dos dados), que fazem parte daEstatstica Dedutiva.

b) O processo utilizado para se medir as caractersticas de todos os membros deuma dada populao recebe o nome de censo.

VERDADEIRO. exatamente o conceito de censo, que abrange a totalidade doselementos da populao investigada.

c) A Estatstica Descritiva compreende as tcnicas por meio das quais so

tomadas decises sobre uma populao com base na observao de umaamostra.

FALSO. Anlise dos dados e tomada de decises so as etapas finais do processoestatstico, e pertencem Estatstica Indutiva ou Inferencial. Percebamos que ositens (a) e (c) vieram com os conceitos invertidos!

d) Uma populao s pode ser caracterizada se forem observados todos os seuscomponentes.

FALSO. Vimos que existe a possibilidade de se trabalhar apenas com uma parteda populao, um subconjunto, que dever ser representativo do todo. Estamos

falando da amostra, e o estudo correspondente, a amostragem.

2. (TCDF-95) Assinale a opo correta:

a) Em Estatstica, entende-se por populao um conjunto de pessoas.FALSO. De graa esta! Faltam aqui as duas caractersticas que definem umapopulao: o interesse em se extrair dela uma informao e que todos os seuselementos tenham ao menos uma caracterstica comum.

b) A varivel discreta quando pode assumir qualquer valor dentro dedeterminado intervalo.

FALSO. esse justamente o conceito de varivel contnua (aquela que se mede!).Contrariamente, a varivel discreta ou descontnua (aquela que se conta) nopode assumir qualquer valor.

c) A srie estatstica cronolgica quando o elemento varivel o tempo.VERDADEIRO. S recordando, outros sinnimos de srie cronolgica so: sriestemporais ou histricas. Nelas, o elemento que sofre variao a poca.

d)Amplitude total a diferena entre dois valores quaisquer do atributo.FALSO.Amplitude total a diferena entre o limite superior da ltima classe deuma distribuio de frequncias menos o limite inferior da primeira classe.


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3. Para o conjunto abaixo, determine o que se pede:

Xi fi

10 |--- 2525 |--- 40

40 |--- 5555 |--- 7070 |--- 8585 |--- 100

27

111384

a)Qual a amplitude da classe?Resp.) h=15 Basta lembrar que amplitude da classe = tamanho da classe. Da:(25-10=15; 40-25=15; ...)

b)Qual a amplitude total?

Resp.) AT=90. Amplitude Total o tamanho de todo o conjunto. Assim, podemosfazer: (LsupLinf)=10010=90, ou ainda AT = h x nmero de classes = 6x15=90

c)Construa a coluna dos Pontos MdiosResp.) Basta fazermos a conta do PM para a primeira classe (a mais de cima), eda, sairmos somando com o valor do h, que 15. Vejamos:

Xi fi PM10 !--- 25

25 !--- 4040 !--- 5555 !--- 7070 !--- 8585 !--- 100

2

7111384

17,5 (10+25)/2

32,5 (17,5 + 15)47,5 (32,5 + 15)62,5 (47,5 + 15)77,5 (62,5 + 15)92,5 (77,5 + 15)

4. Se os pontos mdios de uma distribuio de freqncias dos pesos dosestudantes de uma classe so: 52, 58, 64, 70, 76, 82, determine a amplitude eos limites da quinta classe:

a) 5; (61 !--- 66)b) 6; (73 !--- 79)c) 5; (79 !--- 84)d) 6; (67 !--- 73)

Sol.: Aqui precisamos lembrar dos conceitos e da relao que existe entreAmplitude de Classehe os Pontos MdiosPM.Sabemos que a distncia entre dois Pontos Mdios igual Amplitude da Classe.Assim, j matamos que o h=6. (58-52=6; 64-58=6; 70-64=6 e assim por diante).

Ora, conhecendo o h, trabalharemos para descobrir a primeira classe, cujo PM igual a 52. Faamos o desenho desta classe, para podermos enxergar melhor:


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Da, tomaremos aquelas duas relaes entre PM, Amplitude h e os limites daclasse, quais sejam...

...e chegaremos aos seguintes valores:

lsup = (52 + 3) = 55 e linf = (52

3) = 49Pronto! Conhecendo a primeira classe, praticamente matamos a questo! Vamosdesenhar a estrutura desta Distribuio de Freqncias, e ver o que j temos:

Xi PM49 !--- 55? !--- ?? !--- ?? !--- ?

? !--- ?? !--- ?

52586470

7682

Como j sabemos da aula passada, onde acaba uma classe comea a prxima,ou seja, o limite superior de uma classe igual ao limite inferior da classe seguinte.Logo, na segunda classe, o limite inferior ser 55, ok? Da, ficaremos assim:

Xi PM49 !--- 5555 !--- ?

? !--- ?? !--- ?? !--- ?? !--- ?

5258

64707682

Para completar a segunda classe, ou seja, para descobrir o seu limite superior,bastar somar o limite inferior com a Amplitude da Classe, o h. No claro isso?Teremos que, para esta segunda classe, lsup = 55 + 6 = 61.


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Ficaremos agora com:

Xi PM49 !--- 5555 !--- 61? !--- ?? !--- ?? !--- ?? !--- ?

525864707682

Para determinarmos o restante das classes, s precisaremos continuar comeste mesmo procedimento:

O limite inferior da classe igual ao limite superior da classe anterior; eO limite superior da classe o seu limite inferior somado Amplitude da

Classe, h.Da, ao final, teremos a seguinte Distribuio de Freqncias:

Xi PM49 !--- 5555 !--- 6161 !--- 6767 !--- 7373 !--- 7979 !--- 85

525864707682

A questo perguntou a respeito da quinta classe, e as respostas so as seguintes:Resp.) h=6 ; linf=73 e lsup=79 Letra B

5. Extrado da prova do AFRF/2000:A partir dos dados fornecidos pelo enunciado, tente construir a freqnciaabsoluta simples.

Freqncias Acumuladas de Salrios Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa

Classes de Salrio Freqncias Acumuladas(3 ; 6] 12(6 ; 9] 30(9 ; 12] 50

(12 ; 15] 60(15 ; 18] 65(18 ; 21] 68

Sol.: O cabealho da prova apresentou a distribuio de freqncias acima, comapenas a coluna das classes, e uma coluna de freqncias que foi chamada de

freqncias acumuladas.Quando a prova trouxe uma coluna a quem chamouunicamente de freqncias acumuladas, o candidato vai lembrar-se inicialmenteque h quatro tipos de freqncias acumuladas: duas absolutas acumuladas (fac


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e fad) e duas relativas acumuladas (Fac e Fad). Da, a primeira preocupao saber se trata-se de uma freqncia absoluta ou relativa.

J sabemos que a diferena entre estes dois grupos de freqncias que aabsoluta diz respeito a nmero de elementos, enquanto a relativa trata depercentual de elementos do conjunto. Observando os valores fornecidos pelaprova, constatamos que no so valores percentuais (como 12%, 30% ou 0,12 ,0,30 etc), e tambm vimos que no ttulo da coluna havia apenas freqnciasacumuladas, desacompanhado de um sinal de porcentagem %. Se assim ofosse, estaramos diante de uma freqncia relativa. Como no houve apresena de nenhum desses indicadores, conclumos que a coluna fornecida uma freqncia acumulada absoluta!

Restam assim duas opes: absoluta acumulada crescente ou decrescente. Isto ainda mais fcil de concluir. Basta olharmos para a seqncia dos valorespresentes nesta coluna. Se os valores estiverem aumentando, a freqncia

crescente; se estiverem diminuindo, decrescente.No caso, temos: 12, 30, 50, 60, ... ; da a concluso: estamos trabalhando comuma coluna de freqncia absoluta acumulada crescente! Esta descoberta oprimeiro passo da prova! Agora, resta-nos chegar freqncia absoluta simples.

Classes de Salrio fac fi

( 3 ; 6] 12 12( 6 ; 9] 30 (3012=) 18( 9 ; 12] 50 (5030=) 20

(12 ; 15] 60 (6050=) 10(15 ; 18] 65 (6560=) 5(18 ; 21] 68 (6865=) 3

6. Extrado da prova de AFRF-2002.1:A partir dos dados fornecidos pelo enunciado, tente construir a freqnciaabsoluta simples.

Em um ensaio para o estudo da distribuio de um atributo financeiro (X) foram

examinados 200 itens de natureza contbil do balano de uma empresa. Esseexerccio produziu a tabela de freqncias abaixo. A coluna Classes representaintervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqncia relativaacumulada.

Classes P (%)70-90 590-110 15

110-130 40130-150 70

150-170 85170-190 95190-210 100


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Sol.: Veja que a prova trouxe a distribuio de freqncias com apenas duascolunas: a das classes, e uma chamada de P(%). No enunciado, foi dito que Prepresenta a freqncia relativa acumulada, no deixando com isso qualquerdvida a respeito de a freqncia ser absoluta ou relativa. Agora que sabemosque relativa e que acumulada, basta olhar para os seus valores parapodermos concluir se ser acumulada crescente ou decrescente. A no temsegredo: 5, 15, 40, 70, ... uma seqncia crescente. Concluso: estamos diantede uma coluna de freqncia relativa acumulada crescente, a nossa conhecidaFac!

Lembremo-nos de que, quando queremos chegar fi, partindo de umafreqncia relativa, temos, necessariamente, que conhecer o nmero deelementos do conjunto n. Este foi fornecido no enunciado: ...foramexaminados 200 itens..., ou seja, n=200.Como primeiro passo, passaremos da Fac para a coluna da freqncia relativasimples Fi. Vejamos:

Classes Fac Fi70-90 5% 5% (ou 0,05)90-110 15% (15%-5%=) 10% (ou 0,10)110-130 40% (40%-15%=) 25% (ou 0,25)130-150 70% (70%-40%=) 30% (ou 0,30)150-170 85% (85%-70%=) 15% (ou 0,15)170-190 95% (95%-85%=) 10% (ou 0,10)190-210 100% (100%-95%=) 5% (ou 0,05)

Feito isso, resta encontrar agora a fi, partindo da Fi, usando a relao que hentre estes dois tipos de freqncias, j nossa conhecida:

Fi = fi / n ou, isolando o fi: fi = Fi . n

Esse mtodo s usado se transformarmos a porcentagem (5%), em um valornumrico, isto , 5% 0,05 partes de 100 5 / 100 = 0,05. Neste caso, bastamultiplicar o valor decimal 0,05 por n.

Se no houver transformao, precisaremos descobrir a relao entre n e 100%.Como n = 200 100 x 2 = n, isto =e, 5% x 2 = 10%.

Teremos:1. Classe: fi = 0,05 x 200 = 102. Classe: fi = 0,10 x 200 = 203. Classe: fi = 0,25 x 200 = 50

Mesmo antes de concluir estes clculos, o bom observador j notou que arelao entre estas duas freqncias consiste em multiplicar a Fi por 2 e tirar o

sinal de porcentagem! claro que se o candidato no tivesse essa percepo,iria ainda assim chegar ao mesmo resultado. Continuando as contas:


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4. Classe: fi = 0,30 x 200 = 605. Classe: fi = 0,15 x 200 = 306. Classe: fi = 0,10 x 200 = 207. Classe: fi = 0,05 x 200 = 10

Da, teremos finalmente a nossa coluna da freqncia absoluta simples:

Classes Fac Fi fi70-90 5% 5% (ou 0,05) 1090-110 15% (15%-5%=) 10% (ou 0,10) 20

110-130 40% (40%-15%=) 25% (ou 0,25) 50130-150 70% (70%-40%=) 30% (ou 0,30) 60150-170 85% (85%-70%=) 15% (ou 0,15) 30170-190 95% (95%-85%=) 10% (ou 0,10) 20190-210 100% (100%-95%=) 5% (ou 0,05) 10

7. Extrado da prova de Agente Fiscal de Tributos EstaduaisPI:A partir dos dados fornecidos pelo enunciado, tente construir a freqnciaabsoluta simples.

A Tabela abaixo mostra a distribuio de freqncias obtida de uma amostraaleatria dos salrios anuais em reais de uma firma. As freqncias soacumuladas.

Classes de Salrios Freqncias(5.000-6.500) 12(6.500-8.000) 28(8.000-9.500) 52(9.500-11.000) 74

(11.000-12.500) 89(12.500-14.000) 97(14.000-15.500) 100

Sol.: Vamos tentar descobrir o tipo de freqncia que foi fornecida nesteenunciado. Absoluta ou relativa? Como isso no foi explicitado na questo,temos que buscar os sinais! Se as freqncias no trazem um smbolo depercentagem (%) nem no cabealho da coluna, nem ao lado das freqncias,ento fica patente que se trata de uma freqncia absoluta. exatamente estenosso caso! Da, uma vez que o enunciado j nos disse que as freqncias soacumuladas, resta saber se ser acumulada crescente ou decrescente. A moleza, basta ver os valores da coluna {12, 28, 52, 74,...}, ou seja, uma seqnciacrescente. Da, conclumos: a coluna apresentada na questo uma fac freqncia absoluta acumulada crescente.Para chegarmos freqncia absoluta simples, fi, teremos que percorrer osentidode volta do caminho das pedras, trabalhando com a coluna da fac e fazendosempre prxima fac menos fac anterior.


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Resultado:Classes de Salrios fac fi

(5.000-6.500) 12 12(6.500-8.000) 28 (28-12=) 16(8.000-9.500) 52 (52-28=) 24

(9.500-11.000) 74 (74-52=) 22(11.000-12.500) 89 (89-74=) 15(12.500-14.000) 97 (97-89=) 8(14.000-15.500) 100 (100-97=) 3

8. Extrado da prova de Fiscal de Tributos EstaduaisPA:A partir dos dados fornecidos pelo enunciado, tente construir a freqnciaabsoluta simples.

A tabela de freqncias abaixo deve ser utilizada nas questes 21, 22 e 23 eapresenta as freqncias acumuladas (F) correspondentes a uma amostra dadistribuio dos salrios anuais de economistas (Y) em R$1.000,00, dodepartamento de fiscalizao da Cia. X. No existem realizaes de Ycoincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes F29,539,5 239,549,5 649,5 - 59,5 13

59,569,5 2369,579,5 3679,589,5 4589,599,5 50

Sol.: Alguns enunciados, no intuito de confundir, chamam freqncias simplescom a letra maiscula F. Isso no deve nos iludir. Quando formos iniciar a prova,temos que ter plena certeza do tipo de freqncia que estamos trabalhando!No caso deste enunciado, tambm nada foi explicitado sobre a freqncia serdo tipo absoluta ou relativa. Novamente, procuraremos os sinais que indicariamser uma freqncia relativa. Basicamente fazemos duas observaes:1)Existe o smbolo de % no cabealho da coluna?2)Existe o smbolo de % ao lado das freqncias? Sendo ambas estas respostasnegativas, tudo indica que se trata de freqncias absolutas! este o presentecaso.Disse expressamente o enunciado que estamos com freqncias acumuladas.Como esto dispostas em uma seqncia crescente {2, 6, 13, 23...}, j matamosque a freqncia acumulada crescente. Da, chegamos finalmente nossaconcluso: a prova forneceu uma coluna de freqncias absolutas acumuladascrescentesfac.

Perfazendo o sentido de volta do caminho das pedras, chegaremos fi, daquelaforma que j conhecemos: prxima fac menos fac anterior.Vejamos:


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Classes fac fi29,539,5 2 239,549,5 6 (6-2=) 449,5 - 59,5 13 (13-6=) 759,569,5 23 (23-13=) 10

69,579,5 36 (36-23=) 1379,589,5 45 (45-36=) 989,599,5 50 (50-45=) 5

De acordo com os dados fornecidos por cada uma das questes abaixo,numeradas de 09 a 12, encontre a coluna da freqncia absoluta simples:

9. A tabela abaixo apresenta as freqncias acumuladas (k) relacionadas distribuio de uma amostra de 500 elementos.

Classes k10-20 100%20-30 95%30-40 85%40-50 70%50-60 40%60-70 15%70-80 5%

Resposta: O procedimento desta questo Fad Fi fi:

Classes Fad Fi fi10-20 100% 5% 2520-30 95% 10% 5030-40 85% 15% 7540-50 70% 30% 15050-60 40% 25% 12560-70 15% 10% 5070-80 5% 5% 25

10. A tabela abaixo apresenta as freqncias acumuladas (F) relacionadas seguinte distribuio:

Classes F10-20 520-30 1530-40 4040-50 70

50-60 8560-70 9570-80 100


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Resposta: O procedimento desta questo fac fi:Classes fac fi10-20 5 520-30 15 1030-40 40 25

40-50 70 3050-60 85 1560-70 95 1070-80 100 5

11. A tabela abaixo apresenta as freqncias (W) relacionadas distribuio deuma amostra de 200 elementos.

Classes W (%)10-20 5

20-30 1530-40 4040-50 7050-60 8560-70 9570-80 100

Resposta: O procedimento desta questo Fac Fifi:

Classes Fac Fi fi10-20 5% 5% 1020-30 15% 10% 2030-40 40% 25% 5040-50 70% 30% 6050-60 85% 15% 3060-70 95% 10% 2070-80 100% 5% 10

12. A tabela abaixo apresenta as freqncias acumuladas (Z) relacionadas seguinte distribuio de freqncias:

Classes Z10-20 10020-30 9530-40 8540-50 7050-60 4060-70 1570-80 5


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Resposta: O procedimento desta questo fadfi:

Classes fad fi10-20 100 520-30 95 10

30-40 85 1540-50 70 3050-60 40 2560-70 15 1070-80 55 5

13. Extrada do AFRF-2001:Freqncias acumuladas de salrios anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa.

Classes de salrios Freqncias acumuladas3 ; 6 126 ; 9 309 ; 12 5012 ; 15 6015 ; 18 6518 ; 21 68

Suponha que a tabela de freqncias acumuladas tenha sido construda a partirde uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar,utilizando interpolao linear da ogiva, a freqncia populacional de salriosanuais iguais ou inferiores a R$7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opo quecorresponde a este nmero.a)150b) 120c) 130d) 160e) 180

Soluo.: Esta questo para observadores! Pra comeo de conversa, oenunciado vem falando que as frequncias representam uma amostra de 10%dos empregados, ou seja, apenas 10% dos elementos do conjunto estorepresentados na amostra.

Observado isto, a questo pede um resultado referente frequnciapopulacional. Ora, populacional significa da populao! Se a amostrarepresenta 10% da populao, qualquer resultado encontrado para a amostrater que ser multiplicado por 10, para se chegar ao resultado correspondente dapopulao. Claro:

10%(amostra) x 10 = 100%(populao)

Outra coisa: os limites das classes so valores expressos na casa das unidades (3,6, 9) e das dezenas (12, 15, 18, 21) e o enunciado fala em valores iguais ou


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inferiores a 7.000. A explicao est acima da tabela, quando a questo dizfrequncias... em milhares de reais. Ou seja, onde existe um 3, leia-se 3.000;onde existe um 9, leia-se 9.000, e assim por diante. Tudo isso feito para tentarcomplicar um pouco o raciocnio do aluno, todavia, na essncia, a questo fcil do mesmo jeito!Feitas estas prelees exordiais (!), temos que passar quele trabalho jconhecido nosso, de chegarmos aos valores da freqncia absoluta simples fi.Isso j o fizemos no Ponto n.6 (Exerccios de Colunas de Freqncias), quandotrabalhamos exatamente este enunciado. O resultado foi o seguinte:

Classes de Salrios fac fi(3 ; 6] 12 12(6 ; 9] 30 (3012=) 18

(9 ; 12] 50 (5030=) 20(12 ; 15] 60 (6050=) 10

(15 ; 18] 65 (6560=) 5(18 ; 21] 68 (6865=) 3

Ou seja:

Classes de Salrios fi(3; 6] 12 participa integralmente da resposta!

(6 ; 9] 18 participa parcialmente da resposta!(9 ; 12] 20

(12 ; 15] 10

(15 ; 18] 5(18 ; 21] 3

Da, trabalhando a regra de trs com a segunda classe (naturalmente!), teremos:3 --- 181 --- X

Multiplicando em cruz, chegamos a: X = (1 . 18)/3 X = 6

Acharemos a resposta somando ao X a participao integral da primeira classe.Da:

Primeira classe: (3 |--- 6)12 elementos (fi=12)Segunda classe: (6 |--- 9) 6 elementos (X=6)

Total: 18 elementos!

Conforme a observao que fizemos no incio desta resoluo, os resultadosobtidos para a amostra teriam que ser multiplicados por 10, para chegarmos aosresultados da populao. Em vista disso, faremos:

18 x 10 = 180 Resposta da Questo!


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14. Extrada do AFRF-2002.2:O atributo do tipo contnuo X, observado como um inteiro, numa amostra detamanho 100 obtida de uma populao de 1000 indivduos, produziu a tabela defreqncias seguinte:

Classes Freqncia (f)29,4 --- 39,5 439,5 --- 49,5 849,5 --- 59,5 1459,5 --- 69,5 2069,5 --- 79,5 2679,5 --- 89,5 1889,5 --- 99,5 10

Assinale a opo que corresponde estimativa do nmero de indivduos comvalores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.

a) 700b) 638c) 826d) 995e) 900

Soluo.: Esta questo mais trabalhosa, mas igualmente fcil! Apenas queteremos dois trabalhos, em vez de um! Ou seja, faremos duas regras de trs, comas duas classes que participaro parcialmente do resultado! Vamos l!Novamente nesse enunciado, a questo veio com aquela histria de amostra e

populao! Disse que a amostra de 100 e que a populao de 1000indivduos! Ora, deduzimos que a populao 10 vezes o tamanho da amostra.Logo, qualquer resultado encontrado para a amostra ter que ser multiplicadopor 10, para se chegar ao correspondente resultado da populao! At aqui,tudo bem!

A questo ofereceu ainda algumas facilidades: primeiramente, ela j forneceu afreqncia absoluta simples (fi), e pediu como resposta um nmero deindivduos, ou seja, ela quer que trabalhemos exatamente com esta fi.Valores maiores que 50,5 e menores que 95,5! Quais as classes que participaro

desta resposta? Vejamos:

Classes Freqncia (f)29,4 --- 39,5 439,5 --- 49,5 849,5 --- 59,5 14 participa parcialmente!59,5 --- 69,5 20 participa integralmente!69,5 --- 79,5 26 participa integralmente!79,5 --- 89,5 18 participa integralmente!89,5 --- 99,5 10 participa parcialmente!

Da, teremos que fazer duas regras de trs: uma para cada classe que participaapenas parcialmente da resposta. Ficaro assim:


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Primeira Regra de Trs, referente terceira classe:10 --- 14

9 --- XDa: X = (9 . 14)/10 X = 126/ 10X = 12,6

Segunda Regra de Trs, referente ltima classe:10 --- 10

6 --- YDa: Y = (6 . 10)/10 Y = 60 / 10 Y = 6

Finalmente, passamos composio do resultado:Terceira classe: (49,5|--- 59,5)12,6 elementos (X=12,6)Quarta classe: (59,5|--- 69,5)20 elementos (fi=20)Quinta classe: (69,5|--- 79,5)26 elementos (fi=26)Sexta classe: (79,5 --- 89,5) 18 elementos (fi=18)Stima classe: (89,5 --- 99,5) 6 elementos (Y=6)

Total: 82,6 elementos!

Como pretendemos chegar ao resultado relacionado populao, temos quemultiplicar a resposta da amostra por 10, conforme vimos acima! Ficaremos assim:

82,6 x 10 = 826 Resposta da Questo!

15. Extrada do Fiscal de Tributos Estaduais do PI2001:

A tabela abaixo mostra a distribuio de freqncias obtida de uma amostraaleatria dos salrios anuais em reais de uma firma. As freqncias soacumuladas.

Classes de Salrios Freqncias(5.0006.500) 12(6.5008.000) 28(8.0009.500) 52(9.50011.000) 74

(11.00012.500) 89

(12.50014.000) 97(14.00015.500) 100

Deseja-se estimar, via interpolao da ogiva, o nvel salarial populacional queno ultrapassado por 79% da populao. Assinale a opo que corresponde aessa estimativa.a)R$ 10.000,00b)R$ 9.500,00c)R$ 12.500,00d)R$ 11.000,00

e)R$ 11.500,00


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Soluo.: Novamente aqui se faz necessrio trabalhar as colunas de freqnciaspara se chegar freqncia absoluta simples, fi. Como isso j foi feito no Ponton.06 (Exerccios de Colunas de Freqncias), partiremos para o resultado,como segue abaixo:

Classes de Salrios fac fi(5.000-6.500) 12 12(6.500-8.000) 28 (28-12=) 16(8.000-9.500) 52 (52-28=) 24

(9.500-11.000) 74 (74-52=) 22(11.000-12.500) 89 (89-74=) 15(12.500-14.000) 97 (97-89=) 8(14.000-15.500) 100 (100-97=) 3

Aqui, precisaremos ir alm, uma vez que o enunciado pede os salrios no

ultrapassados por 79% da populao. Quero dizer que precisaremos encontrar acoluna da freqncia relativa simples (Fi). Para isso, usamos a relao que hentre esta Fi e a freqncia absoluta simples (fi). No caso desta questo, serfaclimo este trabalho, pois o nmero de elementos da questo n=100. Da,teremos:

Classes de Salrios fac fi Fi(5.000-6.500) 12 12 12%(6.500-8.000) 28 (28-12=) 16 16%(8.000-9.500) 52 (52-28=) 24 24%

(9.500-11.000) 74 (74-52=) 22 22%(11.000-12.500) 89 (89-74=) 15 15%(12.500-14.000) 97 (97-89=) 8 8%(14.000-15.500) 100 (100-97=) 3 3%

Voc j deve ter percebido que esta questo exatamente semelhantequele exemplo de uma aula, denominado Variao Importante.

Ento, vamos verificar como ficam os valores acumulados da freqnciarelativa Fi -, a fim de descobrirmos com qual das classes trabalharemos nossaregra de trs.Vejamos: na primeira classe, temos 12% dos elementos do conjunto; somando aos28% da segunda classe, passamos a 40%; somando agora esses 40% acumuladoscom os 24% da terceira classe, passaramos ento a 52% dos elementos; somandoa esses 52% acumulados os 22% da quarta classe, chegamos aos 74% do total deelementos; finalmente, somando os 74% j acumulados aos 15% da quinta classe,passaramos j aos 89% dos elementos deste conjunto! Ou seja, quandochegamos quinta classe, se adicionarmos toda a sua freqncia relativa,ultrapassaremos os 79% desejados pelo enunciado! Concluso: trabalharemos aregra de trs com a quinta classe da nossa distribuio!Ateno agora: antes de chegarmos quinta classe, tnhamos acumulados 74%

do total dos elementos. Para chegarmos aos 79% desejados pela questo,teremos que avanar mais quanto? Ora, a diferena: (79% - 74%)=5%. Ou seja:faltam 5% dos elementos da quinta classe para chegarmos a nossa resposta!


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Nossa situao, portanto, a seguinte:

Classes de Salrios fac fi Fi

(5.000-6.500) 12 12 12% 12% acumulados(6.500-8.000) 28 16 16% 28% acumulados

(8.000-9.500) 52 24 24% 52% acumulados(9.500-11.000) 74 22 22% 74% acumulados(11.000-12.500) 89 15 15% faltam 5% para chegarmos aos

79%!(12.500-14.000) 97 8 8%(14.000-15.500) 100 3 3%

Trabalhando a regra de trs na quinta questo, ficaremos com:1500 --- 15%

X --- 5%

Da, teremos:X = (1500.5%)/15%X=500

Traduzindo: 500 elementos representam exatamente 5% do total de elementos doconjunto, que precisaramos avanar nesta quinta classe, para chegarmos aos79% desejados. Cuidado agora para saber o que fazer com esse valorencontrado!

Como havamos visto na aula passada, este valor X=500 ser somado aolimite inferior da classe na qual trabalhamos a regra de trs. Da, ficaremos com:

11.000 + 500 = 11.500 Resposta da Questo!

16. Extrada do Fiscal de Tributos Estaduais do PA2002:A tabela de freqncias abaixo apresenta as freqncias acumuladas (F)correspondentes a uma amostra da distribuio dos salrios anuais deeconomistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalizao da Cia. X. Noexistem realizaes de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes F

29,4 --- 39,5 239,5 --- 49,5 649,5 --- 59,5 1359,5 --- 69,5 2369,5 --- 79,5 3679,5 --- 89,5 4589,5 --- 99,5 50

Assinale a opo que corresponde ao valor q, obtido por interpolao da ogiva,que, estima-se, no superado por 80% das realizaes de Y.a) 82,0b) 80,0c) 83,9


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d) 74,5e) 84,5

Sol.: Aqui, mais uma questozinha no modelo da anterior! Deseja-se encontrar ovalor no superado por 80% dos elementos. J sabemos, portanto, que vamostrabalhar com a freqncia relativa simples, Fi! A anlise da coluna de freqnciafornecida j foi realizada no Ponto n.06, em que trabalhamos este enunciado,para chegarmos freqncia absoluta simples. O resultado foi o seguinte:

Classes fac fi29,539,5 2 239,549,5 6 (6-2=) 449,5 - 59,5 13 (13-6=) 759,569,5 23 (23-13=) 1069,579,5 36 (36-23=) 13

79,589,5 45 (45-36=) 989,599,5 50 (50-45=) 5

Feito isso, passaremos construo da coluna da Freqncia Relativa Simples.Basta usarmos a relao (Fi=fi/n) para chegarmos ao seguinte:

Classes fac fi Fi29,539,5 2 2 4%39,549,5 6 4 8%49,5 - 59,5 13 7 14%

59,569,5 23 10 20%69,579,5 36 13 26%79,589,5 45 9 18%89,599,5 50 5 10%

Observemos que o n neste caso foi igual a 50, que o valor da fac da ltimaclasse! J sabemos disso, naturalmente!Faremos agora a anlise dos valores acumulados da Fi, para descobrirmos comqual das classes trabalharemos a nossa regra de trs. Na primeira classe, temos4% dos elementos; somando com os 8% da segunda classe, passamos a 12%;somando estes 12% acumulados com os 14% da terceira classe, passamos a 26%;somando estes 26% acumulados com os 20% da quarta classe, chegamos aos46% dos elementos do conjunto; somando os 46% acumulados com os 26% daquinta classe, chegamos a 72% do total dos elementos; finalmente, somandoestes 72% acumulados at aqui com os 18% da sexta classe, j passaramos dos80% desejados pelo enunciado!

Ou seja, at a quinta classe j acumulamos 72% do total dos elementos.Quanto falta avanar para alcanarmos os 80% procurados pela questo?

Apenas a diferena: (80% - 72%) = 8%. Traduzindo: teremos que avanar 8% nasexta classe, para chegarmos resposta!

Ficou evidente que trabalharemos nossa regra de trs na sexta classe destadistribuio. A situao a seguinte:


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Classes fac fi Fi29,539,5 2 2 4% 4% acumulados39,549,5 6 4 8% 12% acumulados49,559,5 13 7 14% 26% acumulados59,569,5 23 10 20% 46% acumulados

69,579,5 36 13 26% 72% acumulados79,589,5 45 9 18% faltam 8% para chegarmos aos 80%!89,599,5 50 5 10%

A regra de trs que faremos a seguinte:10 --- 18%X --- 8%Da, teremos que:X = (10 . 8%)/18% E: X=4,4

Finalmente, somando o valor encontrado ao limite inferior da sexta classe,chegaremos resposta:79,5 + 4,4 = 83,9 Resposta da Questo!

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Exercícios de Estatística - Lista 01 - Resolvida