Exercicios de Probabilidade

DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE

A probabilidade de A, anotada porP(A), lê-se pe de A, é definida como sendo: P(A) = m / n

Exemplo 1Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado equilibrado obter-se:(a) Um resultado igual a 4.(b) Um resultado ímpar.Solução:S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n = #(S) = 6(a) A = { 4 } m = #(A) = 1 então P(A) = m / n = 1 / 6 = 16,67%(b) B = { 1, 3, 5 } m = #(B) = 3 então P(B) = m / n = 3 / 6 = 50%

A DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE COMO FREQÜÊNCIA RELATIVA

Então a freqüência relativa do evento A, anotada por frA, é o quociente: frA = m / n = (número de vezes que A ocorre) / (número de vezes que E é repetido)

Seja E um experimento e A e B dois eventos de um espaço amostra associado S. Sejam frA efrB as freqüências relativas de A e B respectivamente. Então.(i) 0 frA 1, isto é, a freqüência relativa do evento A é um número que varia entre 0 e 1.(ii) frA = 1 se e somente se, A ocorre em todas as “n” repetições de E.(iii) frA = 0, se e somente se, A nunca ocorre nas “n” repetições de E.(iv) frAUB = frA + frB se A e B forem eventos mutuamente excludentes.

Exemplo 2(i) Uma moeda foi lançada 200 vezes e forneceu 102 caras. Então a freqüência relativa de “caras” é: frA

= 102 / 200 = 0,51 = 51%(ii) Um dado foi lançado 100 vezes e a face 6 apareceu 18 vezes. Então a freqüência relativa do evento A = { face 6 } é: frA = 18 / 100 = 0,18 = 18%

PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA

Suponha-se que se quer extrair duas peças ao acaso de um lote que contém 100 peças das quais 80 peças são boas e 20 defeituosas, de acordo com os critérios (a) com reposição e (b) sem reposição.Define-se os seguintes eventos:A = { A primeira peça é defeituosa } e B = { A segunda peça é defeituosa }.Então, se a extração for com reposição P(A) = P(B) = 20 / 100 = 1 / 5 = 20%, porque existem 20 peças defeituosas num total de 100.Agora se a extração for sem reposição tem-se ainda que P(A) = 20 / 100 = 20%, mas o mesmo não é verdadeiro para P(B).

P(B/A) = P(A∩B) / P(A)

TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO

Com o conceito de probabilidade condicionada é possível apresentar uma maneira de se calcular a probabilidade da interseção de dois eventos A e B em função destes eventos. Esta expressão é denominada de teorema da multiplicação. P(A∩B) = P(A).P(B/A) = P(A/B).P(B)

INDEPENDÊNCIA DE DOIS EVENTOS

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S. A e B são ditos independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer, isto é, se:P(A/B) = P(A) ouP(B/A) = P(B) ou ainda seP(A∩B) = P(A).P(B)Qualquer uma das 3 relações acima pode ser usada como definição de independência.Exemplo 3Três componentes C1, C2, e C3, de um mecanismo são postos em série (em linhareta). Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatória. Seja R o evento { C2 está à direita de C1 }, e seja S o evento { C3 está à direita de C1 }. Os eventos R e S são independentes? Por quê?Solução: Para que R e S sejam independentes deve-se ter: P(R/S) = P(R).P(S).O espaço amostra para este caso é:S = { C1C2C3, C1C3C2, C2C1C3, C2C3C1, C3C1C2, C3C2C1 }As seqüências em que C2 está à direita de C1 são:R = { C1C2C3, C1C3C2, C3C1C2 }. Logo: P(R) = 3/6 = 50%As seqüências em que C3 está à direita de C1 são:S = { C1C2C3, C1C3C2, C2C1C3 }. Logo P(S) = 3/6 = 50%As seqüências em que C2 está à direita de C1 e C3 está também à direita de C1 são:R/S = { C1C2C3, C1C3C2 }. Logo P(R/S ) = 2/6 = 1/3 = 33,33% ≠P(R).P(S) = 0.5.0,5 = 0,25 = 25% Portanto os eventos R e S não são independentes.

TEOREMAS DA PROBABILIDADE TOTAL E DE BAYES

Exemplo 4Considere-se o espaço amostra obtido pelos números das faces no lançamento de um dadoequilibrado e sejam os eventos: A1 = { 1, 2, 3 }, A2 = { 4, 5 } e A3 = { 6 }Então, pode-se verificar facilmente que, os eventos acima formam um partição do espaçoamostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

obtém-se então o denominado teorema da probabilidade total:P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An)

Exemplo 5Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobrode peças que B e que B e C produzem o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2% das peçasproduzidas por A e por B são defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por C são defeituosas. Todasas peças produzidas são misturadas e colocadas em um depósito. Se do depósito for retirada umapeça ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa?

Solução:Considerem-se os seguintes eventos:D = { A peça é defeituosa }, A = { A peça provém da fábrica A }, B = { A peça provém damáquina B } e C = { A peça provém da máquina C }.Tem-se então que: P(A) = 50%, P(B) = P(C) = 25%, uma vez que só existem as 3 fábricas eque A produz o dobro de B e esta por sua vez produz a mesma quantidade que C. Sabe-se também queP(D/A) = P(D/B) = 2% e que P(D/C) = 4%.Pelo teorema da probabilidade total pode-se escrever que:P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) = 0,5.0,02 + 0,25.0,02 + 0,25.0,04 =2,50%, pois A, B e C formam uma partição do espaço amostra S.

Exemplo 6Considerando a pergunta acima vem então:P(A / D), isto é a probabilidade de ter sido produzida pela máquina A dado que a peça é defeituosaé: P(A / D) = P(A). P(D / A) / P(D) = 0,02.0,50 / (0,5.0,02 + 0,25.0,02 + 0,25.0,04) = 0,40 = 40%

EXERCÍCIOS DIVERSOS

1.) Lance dois dados. Descreva o espaço amostral S, e calcule a probabilidade de ocorrer a soma 7 ? (6/36)

2.) Lance 3 moedas. Descreva o espaço amostral S, utilizando o diagrama da árvore. Qual a probabilidade de a) ocorrerem duas caras ? (3/8) b) ocorrer pelo menos uma cara ? (7/8)

3.) Lance duas moedas e um dado. a) Descreva o espaço amostral S b) Expresse os eventos: A = aparecem duas caras e um número par B = aparece 2 C = aparecem exatamente uma cara e um número primo c) Expresse claramente o evento em que : I) A e B ocorrem II) somente B ocorre III) B ou C ocorrem

4.)Das 10 alunas de uma turma 3 delas têm olhos azuis. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de a) ambas terem olhos azuis b) nenhuma ter olhos azuis c) pelo menos uma ter olhos azuis. ( 1/15 – 7/15 – 8/15)

5.) Três parafusos e três porcas estão numa caixa. Se duas peças forem retiradas ao acaso da caixa, qual a probabilidade de uma ser um parafuso e a outra ser uma porca ? (3/5)

6.) Suponha que numa turma há 6 moças e 10 rapazes. Se uma comissão de 3 pessoas é escolhida aleatoriamente, qual a probabilidade de serem selecionados a) 3 rapazes b) exatamente dois rapazes c) pelo menos um rapaz d) exatamente duas moças (3/14 – 27/56 – 27/28 – 15/56)

7.)O serviço meteorológico informa que, para o final de semana, a probabilidade de chover é de 60%, a de fazer frio é de 70% e a de chover e fazer frio é de 50%. Calcular a probabilidade de que, no final de semana,

a) chova ou faça frio; (80%) b) não chova e não faça frio. 20%8.)A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20

terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de:

a) A ganhar todas as três; (1/8) b) duas partidas terminarem empatadas; (5/72) c) A e B ganharem alternadamente. (5/36)9.) Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários

mínimos(s.m.), 20 que ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de 10 s.m. Três pessoas desta indústria são selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m. ( 0,973)

10.) A probabilidade de que um atleta A ultrapasse 17,30m num único salto triplo é de 0,7. O atleta dá 4 saltos. Qual a probabilidade de que em pelo menos num dos saltos ultrapasse 17,30m ? (0,9919)

11.) Lançamos um dado duas vezes. Seja a o número de pontos obtidos no primeiro lançamento e b os obtidos no segundo lançamento. Determine a probabilidade de a equação ax – b = 0 ter raiz inteira. ( 38,89%)

12.) Três companhias A, B e C disputam a obtenção do contrato de fabricação de um foguete meteorológico. A chefia do departamento de vendas de A estima que sua companhia tem probabilidade igual à da companhia B de obter o contrato, mas que por sua vez é igual a duas vezes a probabilidade de C obter o mesmo contrato. Determine a probabilidade de A ou C obter o contrato. (60%)

13.) Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 são formados números de quatro algarismos distintos. Se um deles é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ele ser:

a) par ? (48/120) b) ímpar ? ( 60%)14.) Um grupo é formado por seis homens e quatro mulheres. Três pessoas são

selecionadas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que ao menos duas sejam do sexo masculino ? (80/120)

15.) Cinco lâmpadas são escolhidas aleatoriamente de um pacote que contém 10 lâmpadas das quais três são defeituosas. Seja W o número de lâmpadas defeituosas escolhidas . Determine a probabilidade de W = 2. (105/252)

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Sejam dois eventos A e B associados a um espaço amostral S. A probabilidade de A ocorrer dado que o evento B ocorreu é definida por:

P(A/B) = onde P(B) 0.

Portanto, quando calculamos P(A/B), tudo se passa como se o evento B fosse um novo espaço amostral reduzido dentro do qual queremos calcular a probabilidade do evento.

Exemplo: Lançar um par de dados não viciados. Se a soma dos números é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido 2 em um deles?

S = { (1,1); (1,2); (1,3);...; (6,6) }B = { soma é 6 } = { (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1) }A = { ocorre 2 em um dos dados } = { (1,2); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,2); (4,2); (5,2); (6,2) }

A B = {(2,4); (4,2) } P(A B) =

P(B) = , portanto : P(A/B) =

Ou

P(A/B) =

TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO (ou do produto)

Da expressão P(A/B) = obtém-se o teorema da multiplicação(ou

produto):

P(A = P(A) . P(B/A) que pode ser generalizado para n eventos:P(A

Exemplo: Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Seja o experimento: retirar 3 peças aleatoriamente uma após a outra. Determinar a probabilidade das 3 peças serem perfeitas.

INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS

Se tivermos dois eventos A e B, tais que P(B/A) = P(B), dizemos que A e B são eventos independentes(caso contrário são eventos dependentes). Isto quer dizer que a ocorrência de um não depende( ou não é condicionada, ou não se vincula) da ocorrência do outro, isto é, a informação adicional de que um dos eventos já ocorreu em nada altera a probabilidade de ocorrência do outro.

Para o caso de dois eventos independentes o teorema da multiplicação é simplificado:

P(A

Generalizando para n eventos independentes entre si, temos:

Exemplo: Lançar uma moeda 3 vezes.

S = { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT }

A = { 1º lançamento é cara } = {HHH, HHT, HTH, HTT} P(A) =

B = { 2º lançamento é cara } = { HHH, HHT, THH, THT } P(B) =

C = {duas caras consecutivas exatamente } = { HHT, THH } P(C ) =

a-) Provar que A e B são independentes.b-) B e C são independentes ?c-) A e C são independentes ?

a-)A {HHH,HHT}

b-)BC = {HHT, THH } P ( BC ) =

P( BC ) = P(B) x P(C) Assim B e C são dependentes.

c-) AC = {HHT}

P ( AC ) = P(A) . P(C) , portanto A e C são independentes.

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

Sejam os eventos A1, A2, A3, ... , An, que constituem uma partição do espaço amostral S, ou seja:

A1 U A2 U A3 ... U An = S P(Ai) > 0, para todo i = 1, 2, 3,..., n. Ai para i jEntão, se B é um evento, temos o seguinte teorema:

P(B) = P( Ai B ) = P(Ai). P(B/Ai)

Exemplo: Considere 3 caixas.Caixa I : 10 lâmpadas com 4 defeituosasCaixa II : 6 lâmpadas com 1 defeituosaCaixa III: 8 lâmpadas com 3 defeituosas.

Qual a probabilidade de uma lâmpada defeituosa ser selecionada desse experimento ?

P(D) = P(ID) + P(IID) + P(IIID)P(D) = P(I). P(D/I) + P(II). (D/II) + P(III) . P(D/III)

P(D) =

TEOREMA DE BAYES

Sejam A1, A2, ... , An eventos que formam partição de S e B um evento qualquer. Para qualquer Ai :

P(Ai/B) =

Exemplo: Do exemplo anterior, se a lâmpada for selecionada ao acaso e for defeituosa, qual a probabilidade de ter vindo da caixa I ?

P(caixa I/D) = 42,47%

EXERCÍCIOS

1-) Um dado é lançado. Se o número é ímpar, qual a probabilidade dele ser primo ? (2/3)

2-) Dois dígitos diferentes são selecionados aleatoriamente dos dígitos de 1 a 9. (i) Se a soma é impar, qual a probabilidade do 2 ser um do números selecionados ? (1/4) (ii) Se o 2 é um dos números selecionados, qual a probabilidade da soma ser ímpar ? (5/8)

3-) Numa certa cidade, 40% da população têm cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e 15% têm olhos e cabelos castanhos. Uma pessoa da cidade é selecionada aleatoriamente. (i) Se ela têm cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter também olhos castanhos ? (3/8) (ii) Se ela têm olhos castanhos, qual a probabilidade de não ter cabelos castanhos ? (2/5) (iii) Qual a probabilidade de não ter olhos nem cabelos castanhos ? (1/2)

4-) São dadas duas urnas. Uma urna A contém 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8 azuis. Uma urna B contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas. Lança-se um dado não viciado: se ocorre 3 ou 6 uma bola é escolhida de B, caso contrário uma bola é escolhida de A . Encontre a probabilidade de (i) uma bola vermelha ser escolhida (1/3) (ii) uma bola branca ser escolhida (1/3) (iii) uma bola azul ser escolhida (1/3)

5-) A caixa A contém 9 cartas numeradas de 1 a 9 e a caixa B contém 5 cartas numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida aleatoriamente e uma carta retirada; se a carta indica um número par, outra carta retirada da mesma caixa; se a carta indica um número ímpar, uma carta é retirada da outra caixa. (i) Qual a probabilidade de ambas as cartas indicarem números pares ? (2/15) (ii) Se ambas as cartas indicam números pares, qual a probabilidade de terem vindo da caixa A ? (5/8) (iii) Qual a probabilidade de ambas as cartas indicarem números ímpares ? (1/3)

6-) Uma caixa contém uma moeda não viciada e uma de duas caras. Uma moeda é selecionada aleatoriamente e lançada. Se ocorre cara, a outra moeda é lançada; se ocorre coroa a mesma moeda é lançada. (i) Encontre a probabilidade de ocorrer

cara no segundo lançamento (5/8) (ii) Se ocorreu cara no segundo lançamento, encontre a probabilidade de ter também aparecido no primeiro lançamento. (4/5)

7-) Uma urna A contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas e uma urna B contém 2 bolas vermelhas e 6 brancas. (i) Se uma bola é retirada de cada urna, qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor ? (7/16) (ii) Se duas bolas são retiradas de cada urna, qual a probabilidade de todas as 4 serem da mesma cor ? (55/784)

8-) A probabilidade de A acertar no alvo é de ¼ e a probabilidade de B acertar é de 1/3. (i) Se cada um atira duas vezes, qual a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez ? (3/4) (ii) Se cada um atira uma vez e o alvo é atingido somente uma vez, qual a probabilidade de A ter atingido o alvo ? (2/5) (iii) Se A pode atirar somente duas vezes, quantas vezes B deve atirar, tal que exista a probabilidade de pelo menos 90% do alvo ser atingido ? (5)

9-) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas bolas da outra cor são colocadas na urna. Uma segunda bola é então selecionada. Encontre a probabilidade (i) da segunda bola ser vermelha (41/72), (ii) de ambas as bolas serem da mesma cor.(13/36)

10-) A Indústria de Automóveis S.A possui 150 empregados, classificados de acordo com a tabela a seguir:Idade(em anos) Sexo

Masc FemTotal

< 25 30 5 3525 |---| 45 40 25 65

> 45 10 40 50Total 80 70 150

Se um empregado é escolhido ao acaso, determine a probabilidade dos seguintes eventos:A : O empregado tem mais de 45 anos (33,33%)B : O empregado tem idade igual ou superior a 25 anos (76,66%)C : O empregado é do sexo masculino (53,33%)D : O empregado tem menos de 25 anos (23,33%)P(D/C) = ? (37,50%)