Exercícios - Geometria Descritiva

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UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo

Setor de Representao Grfica e Tecnologia

Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis

Anotaes

Apresentao

A Geometria Descritiva, desenvolvida no sculo XVIII pelo matemtico francs Gaspard Monge, a ferramenta bsica para o domnio do espao tridimensional. Todo o DesenhoTcnico, no que se inclui o Desenho Arquitetnico, o Desenho Mecnico,o Desenho Industrial e o Desenho Topogrfico, como exemplos, tm como base os conceitos da geometria descritiva. Todo processo de representao de uma edificao busca, nas projees mongeanas, sua base conceitual. Se o arquiteto, no exerccio de sua profisso, que tem como uma de suasmais importantes atribuies, a de criar espaos, sem o domnio das trs dimenses, isto se torna extremamente difcil. Mesmo que hoje, com os recursos da informtica, atravs de diversos softwares, existam mais facilidades para o processo representao grfica, os profissionais das reas de arquitetura, engenharia e matemtica no podem prescindir do conhecimento e perfeito domnio do espao tridimensional, o que, sem os conceitos da Geometria Descritiva, se torna superficial e insuficiente. Esta verso de Notas de Aula de Geometria Descritiva, constitui parte do material desenvolvido em 1985 pelos professores Antonio Augusto Bitencourt de Oliveira, Geraldo Browne Ribeiro Filho, Luiz Fernando Reis, Rogrio Fuscaldi Llis, do antigo Setor de Arquitetura e Urbanismo e Virglio da Silva Andrade, do Setor de Estruturas do Departamento de Engenharia Civil. Foi atualizada e modificada pelo professor Luiz Fernando Reis. Espera-se que, com este material, os acadmicos das reas acima citadas, tenham o seu aprendizado facilitado. Viosa, MG, maro de 2007 Luiz Fernando Reis Emmanoel de Moraes Barreto

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Bibliografia

1. CHAHLY, A. T. Descriptive geometry. Moscow: Higher School Publishing House, 1968. 2. FILHO, Oscar Guimares. Geometria descritiva III: caderno de servio. Juiz de Fora: UFJF/ICE, 1983. 3. GOLUBOV, Jayme Kerbel. Estudos de geometria descritiva. Braslia: Editora Universidade de Braslia, 1976. 4. GRANT, Hiram E. Geometra descriptiva pratica. Madrid: del Castillo, 1969. 5. HERRERO, Miguel Bermejo. Geometra descriptive aplicada. Sevilla, Universidad de Sevilla e Urmo Ediciones, 1978. 6. PINHEIRO, Virglio Athayde. Noes de geometria descritiva, v I. Rio de janeiro: Ao Livro Tcnico, 1978. 7. REIS, Luiz Fernando. Geometria descritiva. Governador Valadares: Universidade Santos Dumont, 1980. 8. RODRIGUES, lvaro J. Geometria descritiva. Rio de Janeiro: Imprensa Nacional, 1941.

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Sumrio

Captulo 1 - Projees Captulo 2 - Estudo do Ponto Captulo 3 - Estudo da Reta Captulo 4 - Estudo do Plano Captulo 5 - Estudo dos Poliedros Bibliografia

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(ps)

gp ap (a) (u) (g)

Captulo 1 - Projees

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Anotaes)A( Ponto Objetivo Superfcie de Projeo Projeo Projetante Plano de Projeo (A) Reta Projetante

Ponto Objetivo Projeo

1

2

Captulo 1 - ProjeesCentro de Projees (O) A figura 1 representa um Sistema de Projees, onde: . (A) o Ponto Objetivo em posio original no espao; . a trajetria do ponto (A) at sua interseo com a Superfcie de Projeo (a) denominada de projetante de (A); . a superfcie de projeo (a) onde se determinam as projees dos Pontos Objetivos . a interseo da Projetante com a Superfcie de Projeo denominada de projeo de (A) A figura 2 representa o Sistema de Projeo Reta-Plano, onde a Projetante uma reta e Superfcie de Projeo um Plano. A figura 3 apresenta o Sistema de Projees Cnicas. Esta denominao se d por estar o Centro de Projees (tambm denominado de Plo de Projees), de onde se originam as projetantes, a uma distncia finita do Plano de Projees.

Ponto Objetivo Projeo Plano de Projees (A) (B)

(C)

3

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Setor de Representao Grfica e Tecnologia(O) (O Centro de Projees foi deslocado para o Infinito) (d) (A) (C) (B) Direo das Projetantes (A) (C) (B)

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1

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Captulo 1 - ProjeesA figura 1 mostra o Sistema de Projees Cilndricas Oblquas, onde: . O Centro de Projees est a uma distncia infinita do Plano de Projees. Isto faz com que as projetantes tenham uma nica direo (d), a o o o qual, neste caso especfico, oblqua ao Plano (a). O ngulo de incidncia das projetantes, neste caso ser qualquer um, diferente de 0 , 90 e 180 . A figura 2 mostra o Sistema de Projees Cilndricas Ortogonais, onde: Assim como no caso anterior, o Centro de Projees est a uma distncia infinita do Plano de Projees. Isto faz com que as projetantes tenham uma nica o direo (d), a qual, neste caso especfico, ortogonal ao Plano (a). Dessa forma, o ngulo de incidncia das projetantes ser, neste caso de 90 . O Sistema de Projees Cilndricas Ortogonais mais comumente conhecido com Sistema de Projees Ortogonais, ou simplesmente Projees Ortogonais. Este Sistema ser utilizado pela Geometria Descritiva, ou Sistema Mongeano de Projees. Sua utilizao tambm se faz presente no Desenho Tcnico (Desenho Mecnico, Desenho Topogrfico e Desenho Arquitetnico).

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Captulo 1 - ProjeesExerccios I - Complete: 01. Ponto Objetivo :_________________________________________________________________________________________________________ 02. Projetante : ____________________________________________________________________________________________________________ 03. Superfcie de Projeo : ___________________________________________________________________________________________________ 04. Projeo : _____________________________________________________________________________________________________________ 05. No sistema de projeo reta-plano, a projetante uma _______________ e a superfcie de projeo um ___________________. 06. O Sistema de Projees utilizado pela Geometria Descritiva o __________________________________________________________________ 07. Centro de Projees : ______________________________________________________ 08. Na Projeo Cnica, o Centro de Projees est a uma distncia __________________ do ______________________________ 09. Na Projeo Cilndrica, o Centro de Projees est a uma distncia ________________ do ______________________________. Portanto, todas as _________________________ so paralelas. 10. Existe um tipo de Projeo Cilndrica em que no necessrio indicar a direo das projetantes, posto que todas elas so perpendiculares ao Plano de Projees. Este tipo denominado de _______________________________________________________________.

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Captulo 1 - ProjeesExerccios II - Responda 01. Utilizando-se o Sistema de Projees Cilndricas Oblquas, pode-se afirmar que a projeo de um segmento possa vir a ter maior comprimento que o segmento objetivo? Explique.

02. Mesma pergunta, para o Sistema de Projees Cilndricas Ortogonais.

03. Quando a projeo cilndrica ortogonal de uma reta um ponto?

04. Mesma pergunda para o Sistema de Projees Cilndricas Oblquas.

05. Qual o resultado da projeo cilndrico ortogonal de um segmento de reta paralelo ao plano de projeo?

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gp ap (a) (u) (g)

Captulo 2 - Estudo do Ponto

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Anotaes2o Diedro Plano Vertical de Projees Afastamento Cota Linha de Terra 1o Diedro Plano Horizontal de Projees 3o Diedro 4o Diedro Conforme o ponto objetivo esteja frente ou atrs do Plano Vertical (PV) ou (p), ele ter afastamento positivo ou negativo, respectivamente. Da mesma forma, conforme o ponto esteja acima ou abaixo do Plano Horizontal (PH) ou (p), o ponto ter cota positiva ou negativa, respectivamente. Estando sobre o Plano Vertical, ou sobre o Plano Horizontal, o Ponto ter, respectivamente, afastamento ou cota nulos. O quadro a seguir resumir o sinal das coordenadas descritivas do ponto segundo a sua localizao.

1

2

Posio do Ponto 1o 2o 3o 4o HA HP VS VI LT Afastamento Cota

Captulo 2 - Estudo do PontoGeneralidades Figura 1 - O Sistema Mongeano de Projees composto por dois planos ortogonais entre s. Estes planos so denominados de Plano Horizontal de Projees e Plano Vertical de Projees. Estes dois planos dividem o espao em quartro regies denominadas diedros. Cada diedro delimitado por um par de semi-planos, conforme mostra o quadro a seguir: VS 1o Diedro HA Figura 2 - A colocao de um ponto no Sistema Mo