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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MATEMÁTICA I

Exercícios para as aulas TP

Ficha TP 0

Conteúdos:Generalidades sobre funções reais de variável real.

Questões:

1. Considere os gráficos correspondentes a duas funções reais de variável real:

-5

0

2

-2 2 4 x

y

-1

0

1

2

3

4

5

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 x

Indique para cada uma delas:

(a) Domínio e contradomínio;

(b) Zeros e sinal;

(c) Paridade e bijectividade;

(d) Intervalos de monotonia e extremos;

(e) Concavidades e pontos de inflexão;

(f) Se são limitadas;

(g) A expressão analítica de uma função cujo gráfico possa ser o representado.

2. A figura representa o gráfico de uma função real de variável real f :

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 1 2 3 x

y

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 1 2 3 x

y

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 1 2 3 x

y

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Indique o valor lógico das seguintes proposições:

(a) f é ímpar;

(b) CDf = R+

0 ;

(c) limx→0f (x) = +∞ e lim

x→−∞f (x) = 0;

(d) f não tem mínimos nem máximos;

(e) f tem a concavidade virada para cima em R−;

(f) f pode ser a função definida por f (x) =

1

x2+ 1 , x �= 0

0 , x = 0.

3. Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções:

(a) f (x) = |x2 − 4| ;

(b) f (x) =

1 + ln x , x > 0

ex , x ≤ 0;

e indique para cada uma:

i. Domínio e contradomínio;

ii. Zeros e sinal;

iii. Paridade e bijectividade;

iv. Monotonia e extremos;

v. Concavidades e pontos de inflexão;

vi. Se são limitadas.

4. Para as funções definidas por f (x) = 1

x2e g (x) =

√x, indique as expressões de f + g, f

g,

f ◦ g, |g|, g−1 e os respectivos domínios.

Fim da Ficha

ii


MATEMÁTICA I


Ficha TP 1

Conteúdos:Introdução ao conceito de limite. Definição de limite segundo Cauchy. Limites laterais.

Questões:

1. Considere a função real de variável real definida por f (x) = x2 + 3.

(a) Represente graficamente a função e indique o valor do seguinte limite

limx→0

�x2 + 3

�;

(b) Escreva e interprete geometricamente a definição segundo Cauchy do limite da alíneaanterior.

2. Seja h a função real de variável real definida por

h (x) =

x , x < 0

x2 , 0 < x ≤ 2

8− x , x > 2

.

Indique, caso existam, os valores dos seguintes limites:

(a) limx→0+

h (x) ;

(b) limx→0−

h (x) ;

(c) limx→0h (x) ;

(d) limx→1h (x) ;

(e) limx→2−

h (x) ;

(f) limx→2+

h (x) ;

(g) limx→2h (x) .

3. Indique o valor de cada um dos limites, escreva e interprete geometricamente a correspon-dente definição segundo Cauchy:

(a) limx→2

1(x−2)2

;

(b) limx→+∞

1x;

(c) limx→−∞

x3.

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 2

Conteúdos:Propriedades dos limites. Indeterminações. Teorema do Encaixe.

Questões:

1. Calcule, caso exista, cada um dos seguintes limites:

(a) limx→1

(3x3 − 2x2 + 4) ;

(b) limx→−3

2x+2;

(c) limx→3

√x+ 1;

(d) limx→π

cos (3x) .

2. Mostre, recorrendo ao teorema do encaixe, que limx→0

senxx= 1.

3. Calcule, caso exista, cada um dos seguintes limites:

(a) limx→2−

x+3x−2 ;

(b) limx→1

x2−xx2−1 ;

(c) limx→+∞

x2+3xx2−1 ;

(d) limx→0

sen(5x)x;

(e) limx→+∞

ex

x10;

(f) limx→+∞

ln(x)√x;

(g) limx→0

e2x−15x;

(h) limx→0

ln(3x+1)4x

;

(i) limx→+∞

cos(x)x.

Fim da Ficha

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MATEMÁTICA I


Ficha TP 3

Conteúdos:Continuidade e prolongamento por continuidade. Teoremas de Bolzano e de Weierstrass.

Questões:

1. Considere a função real de variável real definida por

f (x) =

ex , x < 0−x2 + 1 , 0 < x < 22 , x ≥ 2

.

(a) Determine o domínio de f .

(b) Estude f quanto à continuidade em todos os pontos do seu domínio.

(c) Determine, se possível, o prolongamento por continuidade da função f ao ponto deabcissa x = 0.


f (x) =

x+ 2a , x ≤ 2

ex−1

−e

x−2, x > 2

, a ∈ R.

(a) Determine o valor de a de forma a que f seja contínua em x = 2.

(b) Considere a = 0.

i. Mostre que, apesar de se ter f (−2) × f (4) < 0, não se pode aplicar o Coroláriodo Teorema de Bolzano no intervalo [−2, 4] .

ii. Prove que a restrição de f ao intervalo [−2, 1] tem nesse intervalo um máximo eum mínimo. Calcule-os.

iii. Prove que a restrição de f ao intervalo [3, 10] tem nesse intervalo um máximo e ummínimo.

3. Considere a função real de variável real definida por f (x) = 6x5 + 13x + 1. Mostre que ftem pelo menos um zero.

4. Prove que existe algum ângulo no intervalo�−π

2, π2

�para o qual o valor do seno é o dobro

do valor do coseno.

Fim da Ficha

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MATEMÁTICA I


Ficha TP 4

Conteúdos:Funções trigonométricas inversas.

Questões:


f (x) = π + 2arccos�x2− 1�.

(a) Determine o domínio e o contradomínio de f .

(b) Caracterize a função inversa de f.

(c) Determine, caso existam, as soluções das seguintes equações:

i. f (x) = π

4;

ii. f (x) = 5π

2.

2. Considerando a restrição principal do seno, caracterize a função inversa da função definidapor

f (x) = 2− sen�π3+ x

�.

3. Calcule

limx→0

arctg x

x.

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 5

Conteúdos:Derivada, recta tangente e taxa de variação instantânea.

Questões:

1. Considere a função real de variável real definida por f(x) = e2x−1. Calcule f ′(2), utilizandoa definição de derivada.

2. Considere a função real de variável real definida por f(x) =√x+ 1.

(a) Calcule f ′(x), utilizando a definição de derivada.

(b) Utilizando a alínea anterior, determine as equações da recta tangente e da recta normalao gráfico da função f no ponto de abcissa x = 8.

3. Considere a função real de variável real definida por f(x) = 1

x.

(a) Calcule f ′(x), utilizando a definição de derivada.

(b) Mostre que o triângulo que é formado por qualquer recta tangente à curva de equação

y =1

x, x > 0,

e os eixos coordenados tem uma área de 2 unidades.

4. A altura, em metros, de uma árvore, t anos após o momento em que foi plantada, é dadapor

h (t) =6t+ 1

t+ 2.

(a) Com que altura a árvore foi plantada?

(b) Determine a taxa média de crescimento da árvore, durante os dois primeiros anos apósa sua plantação.

(c) Diga qual o significado do seguinte limite e calcule-o:

limt→

3

2

h(t)− h�3

2

�

t− 3

2

.

(d) Quanto tempo decorreu entre o instante da plantação e o instante em que a altura daárvore atingiu 5.2 metros ?

Fim da Ficha

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MATEMÁTICA I


Ficha TP 6

Conteúdos:Regras de derivação e diferenciabilidade.

Questões:

1. Considere a função real de variável real f definida por

f(x) =

x2 , se x ≤ 1

√x , se x > 1

.

Verifique se f é diferenciável em x = 1.

2. Estude a diferenciabilidade da função real de variável real definida por f(x) = 5√x2.

3. Considere a função real de variável real f definida por

f(x) =

3x2 , se x ≤ 1

ax+ b , se x > 1, com a e b constantes reais.

(a) Determine os valores de a e b de modo a que f seja diferenciável em x = 1.

(b) Considerando a = 3 e b = 2, indique a expressão de f′

(x).

4. Justifique a diferenciabilidade das seguintes funções e calcule as suas derivadas recorrendoàs regras de derivação:

(a) f (x) = 8

x2+4;

(b) f (x) = sen x cosx;

(c) f (x) = lnx

x;

(d) f (x) = ex−1

ex+x3.

5. Verifique a existência da recta tangente e da recta normal ao gráfico da função f do exercício4 a) no ponto (2, 1) . Determine uma equação de cada uma dessas rectas.

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 7

Conteúdos:Derivação da função composta e derivação da função inversa. Regras de derivação de funçõescompostas.

Questões:

1. Recorrendo ao teorema da derivada da função composta, justifique que a funçãoh(x) = ln (2x) é diferenciável e calcule a sua derivada.

2. Justifique a diferenciabilidade das seguintes funções e calcule as suas derivadas:

(a) f (x) = 15√2x+5

;

(b) f (x) = cos2 (3x) .

3. Recorrendo ao teorema da derivada da função inversa, justifique que a funçãoarcsen (x) é diferenciável em ]−1, 1[ e que a sua derivada é dada por 1√

1−x2.

4. Justifique a diferenciabilidade das seguintes funções e calcule as suas derivadas:

(a) f(x) = arccos(2x2);

(b) f(x) = x2 arctg�x

3

�;

(c) f(x) = ln (arcsen(3x)) .

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 8

Conteúdos:Diferencial e aproximações.

Questões:

1. Utilize o diferencial para fazer uma estimativa da variação em f(x) =5√x2 se:

(a) x varia de 32 para 34;

(b) x varia de 1 para 9

10.

2. Seja f a função real de variável real definida por f(x) =√1− x.

(a) Determine a aproximação linear da função f em torno de 0 e utilize-a para calcularuma aproximação do número

√0.9.

(b) Ilustre o resultado anterior esboçando o gráfico de f e o da recta tangente.

3. O resultado da medição do comprimento do lado de um quadrado foi 12 cm, com um erromáximo de 1

64cm. Estime o possível erro propagado no cálculo da área do quadrado.

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 9

Conteúdos:Teoremas de Rolle e de Lagrange. Regra de Cauchy e indeterminações.

Questões:

1. A altura de uma bola t segundos após ter sido lançada verticalmente de baixo para cima deuma altura de 32m, com velocidade inicial de 48 m/s, é

f(t) = −16t2 + 48t+ 32.

(a) Verifique que f(1) = f(2);

(b) Tendo em conta o Teorema de Rolle, o que pode afirmar sobre a velocidade em alguminstante do intervalo [1, 2]? Determine esse instante.

2. Mostre que a equação 6x5 + 13x+ 1 = 0 tem exactamente uma solução real.

3. A função f(x) = 3

�(x− 2)2 assume valores iguais nos extremos do intervalo [0, 4] . Para esta

função, o teorema de Rolle é válido no intervalo indicado?

4. Verifique a validade das condições do teorema de Lagrange para a função f(x) = x− x3 nointervalo [−2, 1] e determine o valor médio correspondente.

5. Um avião iniciou uma viagem de 2500 milhas às 14h e chegou ao seu destino às 19h 30m.Mostre que existem pelo menos dois instantes durante o voo em que a velocidade do aviãofoi de 400 milhas por hora.

6. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→1

�lnxx2−1

�;

(b) limx→0

x−senxx+senx

;

(c) limx→+∞

x−senxx+senx

;

(d) limx→0

(cos 2x)3/x2

;

(e) limx→0

x2 sen 1

x

senx.

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 10

Conteúdos:Polinómio e fórmula de Taylor e de Mac-Laurin. Resto de Lagrange.

Questões:

1. Determine o polinómio de Taylor de ordem 2, em potências de (x − π), da função definidapor

f(x) = ex sen x.

2. Utilize o polinómio de Mac-Laurin de ordem 2 para calcular um valor aproximado de:

(a)√e;

(b) sen (0.3).


f(x) = ln(1 + x).

(a) Escreva a fórmula de Mac-Laurin da função f com resto de Lagrange de ordem 1.

(b) Escreva a fórmula de Mac-Laurin da função f com resto de Lagrange de ordem 2.

(c) Prove que

x− x2

2≤ ln(1 + x) ≤ x, ∀x ≥ 0.

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 11

Conteúdos:Extremos e estudo de funções. Optimização.

Questões:

1. Determine os extremos da função f(x) = x6 + x4.


f(x) =ln x

x.

(a) Determine o domínio de f e os seus zeros.

(b) Estude f quanto à continuidade no seu domínio.

(c) Determine os extremos relativos de f e os intervalos de monotonia.

(d) Determine os pontos de inflexão do gráfico de f e o sentido das concavidades.

(e) Determine as assímptotas de f.

3. Uma folha rectangular com perímetro igual a 36 cm vai ser enrolada para formar um cilindro.Quais as dimensões da folha para que o volume do cilindro seja máximo?

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 12

Conteúdos:Primitivas.

Questões:

1. Calcule uma primitiva das seguintes funções:

(a) 3;

(b) 4x3;

(c) cos(x+ π).

2. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

(a) As funções F (x) = 1 + arctg x e G (x) = arctg x são ambas primitivas da funçãom (x) = 1

1+x2;

(b) P��√

3− 2x�′�=√3− 2x;

(c)�P�√3− 2x

��′=√3− 2x.

3. Determine as seguintes primitivas:

(a) P�

3√x2 + e2x

�;

(b) P [(1− x) (1 + x)];(c) P

�√4− 3x

�;

(d) P�

x3√1+x2

�;

(e) P�

11+4x2

+ x

1+x2

�;

(f) P�3x− 1√

1−3x2

�;

(g) P (cosx sen x);

(h) P�sen(lnx)

x

�;

(i) P (sen2(x));

(j) P (sen3(5x)).

4. Um carro move-se em linha recta e a sua aceleração é dada por a (t) = 3 + 2t ms−2 (mrepresenta metros e s segundos). Sabendo que o carro partiu da origem e que a sua velocidadepassado um segundo era de v (1) = 6 ms−1, determine qual a posição do carro passado 3segundos.

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 13

Conteúdos:Métodos de primitivação: primitivas por partes, substituição e primitivação de funções racionais.

Questões:

1. Calcule as seguintes primitivas:

(a) P (xex);

(b) P (ln x);

(c) P (x2 cos (x));

(d) P (x arctg x);

(e) P (ex sen x) .


(a) P�ex+e2x

1+e2x

�;

(b) P� √

x√x+1

�;

(c) P�√

x+ 3√x

6√x

�;;

(d) P�

x√x−1

�;

(e) P�√1− x2

�;

(f) P�

x2

√4−x2

�.


(a) P�

1+xx(x−1)2

�;

(b) P�1+xx3+x

�;

(c) P�x4−2x2

x3+x2−2

�.

Fim da Ficha

v2/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 14

Conteúdos:Introdução ao cálculo integral em R. Propriedades gerais. Teorema da Média.

Questões:

1. Sem calcular o integral, mostre que 0 ≤

5�

1

ln xdx ≤ 4 ln 5.

2. Sem calcular o integral, determine o sinal do integral

π

2�

−π

3

x sen xdx.

3. Considere a função definida porf(x) = 2x+ 5.

(a) Esboce uma região cuja área seja dada pelo integral

1�

−1

(2x+5)dx e calcule o seu valor.

(b) Determine o valor médio da função f no intervalo [−1, 1] .

(c) Determine, se possível, o ponto do intervalo onde a função atinge o seu valor médio.

4. Determine, se possível, os pontos do intervalo [0, 2] onde a função

f(x) =

1 , x < 1

4− x , x ≥ 1

atinge o seu valor médio.

5. Considere a função g definida por:

g(x) =

1 + e2x−2 , x ≤ 1

2

1+lnx, x > 1

Justifique que existe um ponto no intervalo [−1, 3] onde a função atinge o seu valor médio.

Fim da Ficha

v01/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 15

Conteúdos:Integral indefinido. Teorema Fundamental do Cálculo Integral e Fórmula de Barrow.

Questões:

1. Calcule os seguintes integrais:

(a)

2�

0

(x+ 1)3dx;

(b)

2�

0

|2x− 3| dx;

(c)

ln 3�

− ln 3

ex

ex+4dx.

2. Considere a função definida por F (x) =

x�

0

f(t)dt , com f(x) = 2x+ 1.

(a) Determine a expressão da função F (x) e, para x > 0, interprete-a geometricamente.

(b) Comprove que F ′(x) = f(x), para qualquer x ∈ R.

3. Seja f a função definida por

f(x) =

x3 , se − 1 ≤ x ≤ 0

ex − 1 , se 0 < x ≤ ln 2.

Determine a expressão de F (x) =

x�

−1

f(t)dt.

4. Calcule, justificando, as derivadas das funções definidas por:

(a)

2x2�

1

1

1+t4dt;

(b)

4x�

e2x

cos(t3)dt.

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 16

Conteúdos:Integração por partes e por substituição.

Questões:

1. Calcule os seguintes integrais:

(a)

1�

−1

x2

(1+x2)2dx;

(b)

2�

1

ln (x2 + 1) dx;

(c)

3�

−3

√9− x2dx;

(d)

2�

1

1x+ 3

√xdx.

2. Seja f uma função contínua no intervalo [−a, a].

(a) Mostre que

0�

−a

f(x)dx =

a�

0

f(−x)dx;

(b) Conclua que:

i. Se f é uma função ímpar, então

a�

−a

f(x)dx = 0;

ii. Se f é uma função par, então

a�

−a

f(x)dx = 2

a�

0

f(x)dx.

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 17

Conteúdos:Cálculo de áreas, volumes e de comprimentos de linha.

Questões:

1. Calcule a área das seguintes regiões do plano:

(a) região limitada pelas curvas y = 1

x, x = 0, y = 1 e y = e;

(b) região definida pelas condições y ≥ x2 − π2

4, y ≤ cosx e x ≥ 0.

2. Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da região do plano limitada pelas seguintescurvas:

y = x2 e y = x3,

(a) em torno do eixo dos xx;

(b) em torno do eixo dos yy.

3. Seja V o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo dos xx da região do planolimitada pelas curvas

y =1

x, y = 0, x = 2, x = b, onde 0 < b < 2.

Determine para que valor b o volume do sólido é igual a 3.

4. Calcule o comprimento da curva y = x3

6+ 1

2xentre os pontos de abcissas x = 1

2e x = 2.

Fim da Ficha

v1/2016


MATEMÁTICA I


Ficha TP 18

Conteúdos:Integrais impróprios.

Questões:

1. Calcule os seguintes integrais impróprios:

(a)

+∞�

0

4

3+x2dx;

(b)

8�

0

13√8−xdx;

(c)

+∞�

0

e

√x

√xdx.

2. Considere a função f definida por f (x) = 1

x.

(a) Determine a área da região plana entre a curva y = f (x) e o eixo dos xx, considerandox ≥ 1.

(b) Calcule o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo dos xx da regiãoplana da alínea anterior.

Fim da Ficha

v1/2016

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