Exercicios - Po

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Lista de exerccios - Alocao

Construir o modelo matemtico de programao linear dos sistemas descritos a seguir. Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula.

1 Uma empresa fabrica dois modelos de bolsas de couro. O modelo B1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricao em relao ao modelo B2. Se todas as bolsas fossem do modelo B2 a empresa poderia produzir 1.200 unidades por dia. A disponibilidade do couro permite fabricar 900 bolsas de ambos os modelos por dia. As bolsas empregam metais decorativos diferentes, cuja disponibilidade diria de 300 para B1 e 500 para B2. Os lucros unitrios so de R$3 para B1 e R$4 para B2. Qual o programa timo para a produo que maximiza o lucro total dirio da empresa? Construa o modelo do sistema descrito.

RESPOSTA:x1 = quantidade a produzir de B1 x2 = quantidade a produzir de B2 Max. Lucro = 3x1 + 4x2 Sujeito :2x1 + x2 1.200 (restrio quanto quantidade mxima de produo por dia) x1 + x2 900 (restrio quanto quantidade de couro por dia) x1 300 (restrio quanto quantidade de fivelas p/ M1) x2 500 (restrio quanto quantidade de fivelas p/ M2) x1 0, x2 0

2 Uma fabrica produz dois tipos de produto: A e B. Cada modelo A requer 4 horas de corte e 2 horas de polimento, cada modelo B requer 2 horas de corte e 5 horas de polimento. A fbrica possui 3 cortadoras e 2 polidoras. Sabendo-se que a semana de trabalho da fbrica de 40 horas e que cada modelo A d um lucro de R$3 e cada modelo B R$4 e que no h restries de demanda, pede-se qual deve ser o modelo de produo da fbrica que maximiza o lucro.

RESPOSTA:x1 = quantidade a produzir do modelo A x2 = quantidade a produzir do modelo B Max. Lucro = 3x1 + 4x2 Sujeito :4x1 + 2x2 120 (restrio quanto horas de corte) 2x1 + 5x2 80 (restrio quanto horas de polimento) x1 0, x2 0

3 Uma pequena fbrica de mveis produz dois modelos de molduras ornamentais, cujos preos de venda so, respectivamente, R$110,00 e R$65,00. Ela possui 7 peas de madeira e dispe de 30 horas de trabalho para confeccionar os dois modelos, sendo que o modelo A requer 2 peas de madeira e 5 horas de trabalho, enquanto o modelo B necessita de 1 pea de madeira e 7 horas de trabalho. Quantas molduras de cada modelo a fbrica deve montar se desejar maximizar o rendimento obtido com as vendas.

RESPOSTA:A = quantidade a produzir da moldura A B = quantidade a produzir da moldura B Max. Lucro = 110A + 65B Sujeito :2A + B 7 (restrio quanto quantidade e madeira) 5A + 7B 30 (restrio quanto horas de trabalho) A 0, B 0

4 Uma fbrica de computadores produz dois modelos de computador: C1 e C2. O modelo C1 fornece um lucro de R$180,00 e C2 um lucro de R$300,00. O modelo C1 requer, na sua produo, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo C2 requer um gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se qual deve ser o esquema de produo que maximiza o lucro?

RESPOSTA:C1 = quantidade a produzir do computador C1 C2 = quantidade a produzir do computador C2 Max. Lucro = 180C1 + 300C2 Sujeito :C1 60 (restrio quanto quantidade de gabinetes pequenos) C2 50 (restrio quanto quantidade de gabinetes grandes) C1 + 2C2 120 (restrio quanto quantidade de unidades de disco) C1 0, C2 0

5 Um fundo de investimentos tem at R$300.000,00 para aplicar em duas aes. A empresa D diversificada (tem 40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-se que fornea bonificaes de 12%. A empresa N no diversificada (produz apenas cerveja) e espera-se que distribua bonificaes de 20%. Para este investimento, considerando a legislao governamental aplicvel, o fundo est sujeito s seguintes restries:

a) O investimento na empresa diversificada pode atingir R$270.000,00; b) O investimento na empresa no-diversificada pode atingir R$150.000,00; c) O investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir R$180.000,00.

Pede-se: Qual o esquema de investimento que maximiza o lucro?

RESPOSTA:D = quantidade a investir nas aes da empresa D N = quantidade a investir nas aes da empresa N Max. Lucro = 0,12D + 0,2NSujeito :D + N 300.000 (restrio quanto total de investimentos) D 270.000 (restrio quanto ao investimento na empresa diversificada) N 150.000 (restrio quanto ao investimento na empresa no-diversificada) 0,4D + N 180.000 (restrio quanto ao investimento em cerveja) 0,6D 180.000 (restrio quanto ao investimento em refrigerante) D 0, N 0

6 Uma empresa no ramo de madeiras produz madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos so 40m3 de pinho e 80m3 de canela. A madeira serrada d um lucro de R$5,00 por m3 e a madeira compensada d um lucro de R$0,70 por m2. Para produzir uma mistura comercivel de 1m3 de madeira serrada so requeridos 1m3 de pinho e 3m3 de canela. Para produzir 100m2 de madeira compensada so requeridos 3m3 de pinho e 5m3 de canela. Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5m3 de madeira serrada e 900m2 de madeira compensada. Qual o esquema de produo que maximiza o lucro de tal forma a usar o mximo possvel do estoque de matria-prima e produzir, no mnimo, o compromisso contratual?

RESPOSTA:S = quantidade a produzir de madeira do tipo serrada C = quantidade a produzir de madeira do tipo compensado Max. Lucro = 5S + 0,7C Sujeito :S + 0,03C 40 (restrio quanto quantidade de pinho) 3S + 0,05C 80 (restrio quanto quantidade de canela) S 5 (compromisso de venda de madeira serrada) C 900 (compromisso de venda de madeira tipo compensado)

7 Uma microempresa produz dois tipos de jogos para adolescentes e sua capacidade de trabalho de 50 horas semanais. O jogo A requer 3 horas para ser confeccionado e propicia um lucro de R$30,00, enquanto o jogo B precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$40,00. Qual o modelo do sistema de produo que maximiza o lucro?RESPOSTA:A = quantidade a produzir do jogo A B = quantidade a produzir do jogo B Max. Lucro = 30A + 40B Sujeito :3A + 5B 50 (restrio quanto quantidade de horas de trabalho) A 0, B 0

8 Uma empresa aps um processo de racionalizao de produo ficou com disponibilidade de trs recursos produtivos, R1, R2, R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar dois produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preo de colocao no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$120 por unidade e P2, R$150 por unidade. O departamento de produo forneceu a seguinte tabela de usos dos recursos:

ProdutoRecurso R1 por unidadeRecurso R2 por unidadeRecurso R3 por unidade

P1235

P2423

Disponibilidade derecursos por ms10090120

Construa o modelo de produo mensal do sistema.

RESPOSTA:x1 = quantidade a produzir de P1 x2 = quantidade a produzir de P2 Max. Lucro = 120x1 + 150x2 Sujeito :2x1 + 4x2 100 (restrio quanto disponibilidade do recurso R1) 3x1 + 2x2 90 (restrio quanto disponibilidade do recurso R2) 5x1 + 3x2 120 (restrio quanto disponibilidade do recurso R3) x1 0, x2 0

9 A empresa MR Mveis fabrica mveis para escritrio e oferece a uma cadeia de lojas trs produtos: mesa para computador, estante e cadeira com regulagem de altura e rodas. O vendedor da MR Mveis fecha um pedido de 1.000 mesas, 800 estantes e 1.200 cadeiras, com prazo de entrega de 45 dias. Um estudo do departamento de produo j tem estimado a necessidade de mo de obra, madeira e componentes metlicos para a fabricao dos trs itens e a disponibilidade desses recursos no perodo de produo:

MesaEstanteCadeiraDisponibilidade derecursos no perodo

Quantidade a fabricar1.0008001.200

Mo de obra (horas/unidade)3427.600 horas

Madeira (m2/unidade)350,57.000 m2

Componentes metlicos (kg/unidade)0,5124.000 kg

A MR Mveis pode repassar seus projetos a outro fabricante e encontrar uma quantidade conveniente desses produtos com a finalidade de suprir o pedido. Aps consulta, chegou-se no quadro:

MesaEstanteCadeira

Custo da fabricao prpria (R$)10013090

Custo da fabricao por terceiros (R$)120150115

O problema consiste, agora, em determinar as quantias que a MR Mveis dever produzir e comprar de cada item, para minimizar o custo total desse pedido. Construa o modelo.

RESPOSTA:xm , xe , xc = quantidades a fabricar de mesas, estantes e cadeiras ym , ye , yc = quantidades a comprar de mesas, estantes e cadeiras Min. custo = 100xm + 130xe + 90 xc + 120ym + 150ye ,+ 115ycSujeito :xm + ym 1.000 (quantidade a fabricar e comprar de mesas) xe + ye 800 (quantidade a fabricar e comprar de estantes) xc + yc 1.200 (quantidade a fabricar e comprar de cadeiras) 3xm + 4xe + 2xc 7.600 (restrio quanto disponibilidade de mo de obra) 3xm + 5xe + 0,5xc 7.000 (restrio quanto disponibilidade de madeira) 0,5xm + xe + 2xc 4.000 (restrio quanto disponibilidade de comp. metlicos) xm 0, xe 0, xc 0, ym 0, ye 0, yc 0

10 Uma determinada empresa fabrica 2 produtos A1 e A2. O lucro por unidade de A1 de R$90 e o lucro unitrio de A2 de R$110. A empresa necessita de 1 hora para fabricar uma unidade de A1 e 2 horas para fabricar 1 unidade de A2. O tempo mensal disponvel para essas atividades de 80 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levam a empresa a decidir que os montantes produzidos de A1 e A2 no devem ultrapassar 30 unidades de A1 e 20 unidades de A2 por ms. Construa o modelo do sistema de produo mensal com o objetivo de maximizar o lucro desta empresa.

RESPOSTA:x1 = quantidade a produzir de A1 x2 = quantidade a produzir de A2 Max. Lucro = 90x1 + 110x2 Sujeito :1x1 + 2x2 80 (restrio quanto disponibilidade de horas)x1 30 (restrio quanto demanda de A1) x2 20 (restrio quanto demanda de A2) x1 0 x2 0

11 Uma empresa fabrica do