exercicios resolvidos

Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III - 1

1

Lei de Gauss

A Lei de Gauss: Para compreendermos a Lei de Gauss, precisamos entender o significado de fluxo elétrico. A Lei de Gauss está centralizada no que chamamos hipoteticamente de superfície gaussiana. Esta superfície pode ser formada com a forma que quisermos, porém é adequada aquela que apresentar as devidas simetrias que o problema se apresenta. Por exemplo, uma carga pontual possui linhas de força distribuídas esfericamente; então a superfície gaussiana mais adequada é uma esférica.

Fluxo: Definimos como fluxo de um vetor v através de uma superfície de área A o produto:

θcos. vAAv ==Ψ Ou seja, se pega a componente paralela do vetor v ao vetor normal à superfície A e multiplica-se pela área A. Para definirmos o fluxo de um campo elétrico, consideramos uma área A que representa uma superfície gaussiana, sendo atravessada pelas linhas de campo elétrico. Definimos por:

iS

QSdD =⋅= ∫∫ψ

Ou 0εi

S

QSdE =⋅∫∫

ED 0ε= (Para o espaço livre).

Figura 1 – Fluxo através de uma superfície Gaussiana.

O círculo na integração representa que a integral deve ser feita sobre a superfície gaussiana fechada.

A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada com uma distribuição de cargas que estão envolvidas por essa superfície:

∫ =0

. εqAdE

Note que a carga q é a soma de todas as cargas, positivas e negativas, interiores à superfície gaussiana. A Lei de Gauss permite provar um importante teorema sobre condutores isolados: Se um excesso de carga é colocado em um condutor isolado, a carga irá se mover inteiramente sobre a superfície do condutor, nenhuma carga irá se encontrar no interior do corpo de um condutor.

Teorema da Divergência (Teorema Gauss):

Seja

zzyyxx azyxFazyxFazyxFF ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( ++= Seja S uma superfície contida numa região B, na qual as derivadas parciais de Fx, Fy e Fz são contínuas e V uma região limitada por B. Se a é um vetor normal exterior à S, então:

nˆ

dVFdSaFVS

n ∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅ ˆ

ou

dVFSdFVS∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅

Aplicando o Teorema de Gauss:

dVDSdDVS∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅

Como, da Lei de Gauss:

iS

QSdD =⋅= ∫∫ψ

E para uma distribuição volumétrica de carga: dVQ

Vvi ∫∫∫= ρ

Observe que:

dVdVDSdDv

vVS

∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅∇=⋅ ρ

vD ρ=⋅∇ Exemplo 1 - Campo elétrico de uma carga puntiforme: Imagine um superfície esférica que englobe uma carga pontual q. Então:

2412

000

4.rqErE

QSdE qi

Sπεεπ

ε=→=⇒=⋅∫∫


2

Lei de Gauss

Figura 2 – Superfície Gaussiana esférica para calcular o campo elétrico de uma carga puntiforme.

Exemplo 2 - Campo de um condutor plano infinito de densidade de carga superficial rs:

Figura 3 – Superfície Gaussiana cilíndrica para o cálculo

do campo de um plano carregado. Escolhendo uma superfície gaussiana cilíndrica, a carga q está na superfície do condutor: Note que o campo elétrico possui sentido divergente. Então, aplicando a Lei de Gauss:

0)).((. ε

q

S

AEAESdE =−−+=⋅∫∫

02ερ SE =

Exemplo 3 - Campo elétrico de um fio infinito de densidade de carga linear Lρ . Nesse caso, a superfície gaussiana adequada é um cilindro de raio r qualquer:

Figura 4 – Superfície Gaussiana cilíndrica envolvendo o fio com densidade de carga linear.λ=rL.

r L

ρρ

πεερπρ

εLL ELE

QSdE Li

S00 2

1

0

2 =⇒=⇒=⋅∫∫

Exemplo 4 - Esfera condutora de raio R carregada com carga elétrica Q na superfície: No seu interior o campo é nulo; para r > R podemos imaginar que a superfície esférica gaussiana engloba uma carga elétrica puntiforme Q:

Figura 5 – Superfície Gaussiana esférica envolvendo uma casca esférica de raio R

Er R

Qr

r R=<

≥

⎧⎨⎪

⎩⎪

01

4 20

, se

se πε

Exemplo 5 - Distribuição esférica de raio R de carga elétrica Q com densidade volumétrica rv: Devemos imaginar duas superfícies gaussianas, de raios r > R e r < R:


3

Lei de Gauss

Se r R E dA E r r E rq< ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ . . /ερεπ ρ π ε

0 04 2 4

33

0 3

Se r R E dA E r ERr

q R> ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ . .ερε

ρεπ

π

0

43

3

0 04 2

3

3

2

Figura 6 – Superfícies Gaussianas esférica envolvendo uma distribuição volumétrica de carga de raios r > R (a) e r < R (b): Figura 7 – Superfícies Gaussianas para diferentes situações:

(a) Fio.

(b) Plano carregado. (c) Plano carregado de um lado.


4

Lei de Gauss

(d) Capacitor de placas paralelas com

densidades iguais e diferentes nas placas.

Exemplo 6 – (e 3.1 – Hayt pg. 34) Dada uma carga pontual de 60µC, localizada na origem, determine o fluxo elétrico total que passa através:

(a) da porção de uma esfera limitada de r = 26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2.

(b) a superfície fechada definida por ρ = 26 cm e z = ± 26 cm. (c) do plano z = 26 cm. Solução:

iS

QSdD =⋅= ∫∫ψ

Ou 0εi

S

QSdE =⋅∫∫

(a) da porção de uma esfera limitada de r = 26 cm limitada por 0 < θ < π/2 e 0 < φ < π/2.

2 2

22

0 0

ˆ4 r r

S

QD dS a r sen d d ar

π π

ψ θ θ φπ

= ⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫

2 2

0 04Q sen d d

π π

ψ θ θ φπ

= ∫ ∫

2 20 0[ cos ] [ ]

4Q π π

ψ θ φπ

= −

2 2[ cos ( cos 0)][ 0]4Q π πψπ

= − − − −

260 7,5

4 8 8Q Q Cπψ µ µπ

= = = =

(b) a superfície fechada definida por ρ = 26 cm e z = ± 26 cm.

i s

L T Ti s

L T TS S S S

D dS D dS D dS D dSψ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

ˆLdS d dzaρρ φ=

ˆsT zdS d d aρ ρ φ=

( )îT zdS d d aρ ρ φ= −

2ˆ

4 rQD a

rπ=

2

2

2

20

ˆ ˆ4

L

LL

L rS

QD dS a d dzar

π

ρρ φπ

+

−

⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫

2

2

2

20

ˆ ˆ4

L

LL

L rS

QD dS a a d dzr

π

ρρ φ

π

+

−

⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫


5

â sen a sen sen a a

Lei de Gauss

ˆ ˆ ˆcos cosr x y z [ ]( )

22 2

3 20 2 2 2sec

4L

L

LS L

QD dS dtg

π ρφ ρ θ θπ ρ θ ρ

+

−

⋅ =+

∫∫ ∫θ φ θ φ θ= + +

a

ˆ ˆcos x ya a senρ φ φ= + 2 2ˆ ˆ cosra a sen sen senρ θ φ θ⋅ = + φ

( )2 2ˆ ˆ cosra a sen senρ θ φ φ⋅ = +

ˆ ˆra a senρ θ⋅ = Observe da figura que: z ρ z θ r r y φ ρ x

senrρθ =

2 2r x y z= + + 2

2 2x yρ = +

2 2r zρ= + Então:

ˆ ˆra arρρ

⋅ =

Substituindo, teremos: 2

2

2

204

L

LL

LS

QD dS d dzr r

π ρ ρ φπ

+

−

⋅ =∫∫ ∫ ∫

2

2

2 2

304

L

LL

LS

QD dS d dzr

π ρ φπ

+

−

⋅ =∫∫ ∫ ∫

2 2

304

L

L

LS L

QD dS d dzr

π ρφπ

+

−

⋅ =∫∫ ∫ ∫

( )2 2

3 22 204

L

L

LS L

QD dS d dzz

π ρφπ ρ

+

−

⋅ =+

∫∫ ∫ ∫

Chamando: 2secz tg dz dρ θ ρ= ⇔ = θ θ

( )3

23 23 2

2 s4 1L

L

LS L

QD dS dtg

ρ ecπ θ θπ ρ θ

+

−

⋅ =+

∫∫ ∫

23

12 sec4 sec

L

L

LS L

QD dS dπ θ θπ θ

+

−

⋅ =∫∫ ∫

12 sec

L

L

LS L

QD dS dθθ

+

−

⋅ =∫∫ ∫

cos2

L

L

LS L

QD dS dθ θ+

−

⋅ =∫∫ ∫

4L

LS

QD dS senθπ

⋅ =∫∫

Como: 2 21

tg zsentg z 2

θθθ ρ

= =+ +

0.26

2 20.26

2L

z

LS z

Q zD dSz ρ

=

=−

⋅ =+

∫∫

2 2 2 2

0.26 0.262 0.26 0.26 0.26 0.26L

LS

QD dS⎛ ⎞−

⋅ = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∫∫ 0.26 0.26

2 0.26 2 0.26 2L

LS

QD dS ⎛ ⎞⋅ = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫

22 2

L

LS

QD dS⋅ =∫∫

2L

LS

QD dS⋅ =∫∫

2

20 0

1 ˆ ˆ4s

Ts

R

T r zS

QD dS a a d dr

π

ρ ρ φπ

⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫

Observe da figura que:

ˆ ˆ cosr zza ar

θ⋅ = =

2

20 0

14s

Ts

R

TS

Q zD dS d dr r

π

ρ ρ φπ

⋅ =∫∫ ∫ ∫

( )2

3 22 20 04s

Ts

R

TS

Q zD dS d dz

π ρ ρ φπ ρ

⋅ =+

∫∫ ∫ ∫


6

Lei de Gauss

( )2

3 22 20 04s

Ts

R

TS

Q zD dS d dz

π ρφ ρπ ρ

⋅ =+

∫∫ ∫ ∫

Chamando de

2 2 2

2

u z dudud

dρ ρ ρ

ρ ρ

= + ⇔ =

=

( )23 22

0

24s

Ts

R du

TS

zQD dSu

ππ

⋅ =∫∫ ∫

32

04s

Ts

R

TS

QD dS z u du−⋅ =∫∫ ∫

3 12

34 12

s

Ts

TS

Q uD dS z− +

⋅ =− +

∫∫

12

142

s

Ts

TS

Q uD dS z−

⋅ =−

∫∫

124s

Ts

TS

QD dS zu−

⋅ =∫∫

0.26

2 20

12s

Ts

TS

QD dS zz

ρ

ρρ

=

=

⎡ ⎤⋅ = − ⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫

2 2 2

1 10.262 0.26 0.26 0.26 0s

Ts

TS

QD dS⎡ ⎤

⋅ =− −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

∫∫ 2

1 10.262 0.260.26 2s

Ts

TS

QD dS ⎡ ⎤⋅ =− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫

0.26 1 12 0.26 2s

Ts

TS

QD dS ⎡ ⎤⋅ =− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫

112 2s

Ts

TS

QD dS ⎡ ⎤⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫

112 2s

Ts

TS

QD dS ⎡ ⎤⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫

O fluxo na tampa inferior é calculado de

maneira análoga, fornecendo o resultado:

112 2i

Ti

TS

QD dS ⎡ ⎤⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫

i s

L T Ti s

L T TS S S S

D dS D dS D dS D dSψ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

12 122 2S

Q QD dSψ ⎡ ⎤= ⋅ = + −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫

2 2S

Q QD dS Qψ = ⋅ = + −∫∫

S

D dS Qψ = ⋅ =∫∫

60

S

D dS Cψ µ= ⋅ =∫∫

(c) do plano z = 26 cm. Pela simetria do problema:

2S

QD dSψ = ⋅ =∫∫

30

S

D dS Cψ µ= ⋅ =∫∫

Ou:

2ˆ ˆ

4 r zS

QD dS a a dxdyr

ψπ

+∞ +∞

−∞ −∞

= ⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫

24S

Q zD dS dxdyr r

ψπ

+∞ +∞

−∞ −∞

= ⋅ =∫∫ ∫ ∫

( )3 22 2 2

14S

QzD dS dxdyx y z

ψπ

+∞ +∞

−∞ −∞

= ⋅ =+ +

∫∫ ∫ ∫

Exemplo 7 – (e 3.2 – Hayt pg. 34) Calcule D em coordenadas retangulares no

ponto P (2, -3, 6) produzido por: (a) uma carga pontual QA = 55 mC em Q(-2, 3,

-6). (b) uma linha de cargas uniforme de ρLB = 20

mC/m no eixo x. (c) uma densidade superficial de carga de ρSC

= 120 µC/m2 no plano z = -5m. Solução:


7

Lei de Gauss

(a) uma carga pontual QA = 55 mC em Q(-2, 3, -6).

2

ˆ4

A R

P A

Q aDr rπ

=′−

ˆ ˆ2 3 6 Â x yr a a′ = − + − za

ˆza

ˆ ˆ2 3 6P x yr a a= − +

ˆ PR

P P

r rar r

′−=

′−

ˆ ˆ ˆ4 6 12 4 6 12ˆ ˆ14 14 14ˆ ˆ ˆ4 6 12

x y zR x

x y z

a a aa a

a a a− +

= = −− +

ˆ ˆy za a+

2

55 4 6 12ˆ ˆ ˆ4 14 14 14 14x y z

mD a a aπ

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2ˆ ˆ ˆ6.38 9.57 19.14 Cx y z m

D a a a µ= − +

(b) uma linha de cargas uniforme de ρLB = 20 mC/m no eixo x.

ˆ2

L aD ρρ

π ρ=

( )2 23 6 4ρ = − + = 5

3 6ˆ ˆ3 5 3 5y za aρ = − + a

3 6ˆ ˆ20 3 5 3 52 3 5

y za amDπ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦=

20 3 6ˆ ˆ2 45 45y z

mD aπ

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦a

2ˆ ˆ212 424y zCD a a

mµ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

(c) uma densidade superficial de carga de ρSC = 120 µC/m2 no plano z = -5m.

ˆ2

SND aρ

=

120 ˆ2 ZD aµ

=

( )2ˆ60 CZ m

D a µ=

Exemplo 8 – (e 3.3 – Hayt pg. 36)

Dada a densidade de fluxo elétrico D =0,3r2ar nC/m2 no espaço livre:

(a) determine E no ponto P(r = 2, θ =25°,φ = 90°). (b) determine a carga total dentro da esfera r =

3. (c) determine o fluxo elétrico total que deixa a

esfera r = 4. Solução:

(a) 0

1E Dε

=

2

0

1 ˆ0.3 rE nr aε

=

9 212

1 ˆ0.3 10 28.85 10 rE a−

−= ⋅⋅

⋅

( )ˆ135,5 Vr mE a=

(b) S

Q D dS= Ψ = ⋅∫∫

2 2ˆ0.3 rS

Q nr a r sen d dθ θ φ= Ψ = ⋅∫∫

24

0 0

0.3Q nr sen d dπ π

θ θ φ= ∫ ∫

40.3 3 4Q n π= 305Q n= C

(c) S

D dSΨ = ⋅∫∫

2 2ˆ0.3 rS

nr a r sen d dθ θ φΨ = ⋅∫∫

40.3 4 4n πΨ = 965.09nCΨ =

Exemplo 9 – (e 3.3 – Hayt pg. 36) Calcule o fluxo elétrico total deixando uma

superfície cúbica formada por seis planos x, y, z = ±5, se a distribuição de cargas é:

(a) duas cargas pontuais, uma de 0,1 µC em (1,-2,3) e outra de 1

7 Cµ em (-1, 2, -2); (b) uma linha de cargas uniforme de πµC/m

em x = -2, y = 3; (c) uma superfície de cargas uniforme de

0,1µC/m2 no plano y = 3x. Solução:


8

Lei de Gauss

(a) 1 2S

D dS Q QΨ = ⋅ = +∫∫17

1,70,17

µ µ µΨ = + =

0, 243 CµΨ = (b) i

S

D dS QΨ = ⋅ =∫∫ z -2 d 3 y x O comprimento da linha que está dentro do

cubo possui uma carga de:

LS

D dS dρΨ = ⋅ =∫∫

10πµΨ = 31, 4 CµΨ =

(c) uma superfície de cargas uniforme de

0,1µC/m2 no plano y = 3x.

A interseção do cubo de lado 10 com o plano

dá um retângulo, de dimensões: d/2 y=5 x=5/3 5 5/3 x

2 22 5 25 25

2 3d⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠5

9

2 225 25 2504 9

d += =

9

4 2509

d ⋅=

10 103

d =

A Carga interna ao cubo será: 2i s sQ S d lρ ρ= = ⋅ ⋅

10 10 10 100,1 2 53 3iQ µ µ= ⋅ ⋅ ⋅ =

10,54iQ CµΨ = =

Exemplo 10 – (e 3.5 – Hayt pg. 39) Uma carga pontual de 0,25µC está localizada

em r=0, e duas densidades superficiais de cargas uniformes estão localizadas como se segue: uma de 2mC/m2 em r = 1cm e outra de -0,6 mC/m2 em r = 1,8 cm. Calcule D em:

(a) r = 0,5 cm. (b) r = 1,5 cm. (c) r = 2,5 cm. (d) Que densidade superficial de carga

uniforme deve ser estabelecida em r = 3 cm para causar D = 0 em r = 3,5 cm?

Solução: (a) r = 0,5 cm


9

Lei de Gauss

2ˆ

4 rQD a

rπ=

( )22

0, 25 ˆ4 0,5 10

rD aµ

π −=

⋅

( )2ˆ796 Cr m

D a µ=

(b) r = 1,5 cm

2 2ˆ ˆ4 4

sr r

s

QQD ar rπ π

= + a

1

21

2 2

4ˆ ˆ

4 4s

r r

rQD a ar r

ρ ππ π

= +

( )( )

( )

22

2 22 2

2 4 1,0 100,25 ˆ ˆ4 1,5 10 4 1,5 10

r r

mD a

πµ

π π

−

− −

⋅ ⋅= +

⋅ ⋅6 6ˆ ˆ88, 4 10 888,88 10r r

a

D a a− −= ⋅ + ⋅

( )2ˆ977,3 Cr m

D a µ=

(c) r = 2,5 cm.

1 1

2 21 2

2 2 2

4 4ˆ ˆ ˆ

4 4 4s s

r r

r rQrD a a a

r r rρ π ρ π

π π π= + +

( )( )

( )( )

( )

2 22 2

2 22 2

2 4 1,0 10 0,6 4 1,8 100, 25 ˆ ˆ4 2,5 10 4 2,5 10 4 2,5 10

r r

m mD a a

π πµ

π π π

− −

− − −

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= + +

⋅ ⋅ ⋅22

ˆra

ˆra

ˆ ˆ31,83 320 311,04r rD a aµ µ µ= + −

( )2ˆ40,79 Cr m

D a µ=

(d) Que densidade superficial de carga uniforme deve ser estabelecida em r = 3 cm para causar D = 0 em r = 3,5 cm?

1 1

2 2 21 2

2 2 2

4 4 4ˆ ˆ ˆ4 4 4 4

s s s sr r r

r r rQ2 ˆrD a a a

r r r rρ π ρ π ρ π a

π π π π= + + +

3 2 2

2 2 2 2

2 10 4 (1,0 10 )ˆ ˆ4 (3,5 10 ) 4 (3,5 10 )r r

QD a aππ π

− −

− −

⋅ ⋅ ⋅= +

⋅ ⋅2 23 2 2

2 2 2 2

4 (3 10 )0,6 10 4 (1,8 10 ) ˆ ˆ 04 (3,5 10 ) 4 (3,5 10 )

sr ra aρ ππ

π π

−− −

− −

⋅− ⋅ ⋅ ⋅+ + =

⋅ ⋅ˆ ˆ16,24 163,265r rD a aµ µ= +

ˆ ˆ158,69 0,7346 0r sa aµ ρ− + r =

( )228,33 Cs m

µρ = −

Exemplo 11 – (e 3.6 – Hayt pg. 41) No espaço livre,

( )24 2 4 2 3ˆ ˆ ˆ8 4 16 pC

x y z mD xyz a x z a x yz a= + + .

(a) Determine o fluxo elétrico total que atravessa a superfície retangular

z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 na direção az; (b) Determine E em P(2, -1, 3); (c) Determine um valor aproximado para a

carga total contida em uma esfera incremental localizada em P(2, -1, 3) e tendo um volume de 10-12 m3.

Solução: (a) Fluxo elétrico total que atravessa a

superfície retangular z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3 na direção az;

ˆzdS dxdya=

S

D dSΨ = ⋅∫∫

2 316D dS x yz dxdy⋅ = 2 3

2 3 2 3

0 1

16 16S

x yz dxdy x yz dydxΨ = =∫∫ ∫ ∫

2 33 2

0 1

16z x dx ydyΨ = ∫ ∫

2 33 23

20 1

163 2zx yz =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 2 22 3 116 83 2 2⎡ ⎤

Ψ = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

32 9 11283 2 2⎡ ⎤Ψ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

1365,33pCΨ = (b) Determine E em P(2, -1, 3);

( )2

4 2 4 2 3

0 0

ˆ ˆ ˆ8 4 16x y z pCm

xyz a x z a x yz aDEε ε

+ += =

( ) ( )2 34 2 4

0

16 2 1 38 2 ( 1)3 4 2 3ˆ ˆ ˆ8,85 8,85 8,85

Nx y C

DE a aε

⋅ −⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= = + + za

( )ˆ ˆ ˆ146,44 146, 44 195, 25 Nx y z CE a a a= − + −

(c) Determine um valor aproximado para a

carga total contida em uma esfera incremental localizada em P(2, -1, 3) e tendo um volume de 10-12 m3.


10

Lei de Gauss

v vV

QQ dV DV

ρ ρ= ⇔∇⋅ = ≅∆∫∫∫

Q V= ∆ ⋅∇ ⋅D

( )24 2 4 2 3ˆ ˆ ˆ8 4 16 pC

x y z mD xyz a x z a x yz a= + +

( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 2 38 4 16D xyz x z x yz px y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ ⋅ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

4 28 0 48D yz p x yz p∇⋅ = + + 2

( )( )4 2 28( 1)3 0 48 2 ( 1)3 10D −∇ ⋅ = − + + ⋅ −

( )12

( )4 2 28( 1)3 0 48 2 ( 1)3 10D −∇ ⋅ = − + + ⋅ − 12

212,376 10Q V D C−= ∆ ⋅∇ ⋅ = − ⋅ Exemplo 12 – (e 3.7 – Hayt pg. 42) Para cada um dos seguintes itens, determine

um valor numérico para div D no ponto especificado:

(a) ( ) ( ) ( )22 2 2ˆ ˆ2 2 C

x y mD xyz y a x z xy a x ya= − + − + ˆz em

PA(2, 3, -1).

(b) ( )22 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ2 2 2 C

z mD z sen a z sen a zsen aρ φρ φ ρ φ ρ φ= + +

em PB(ρ = 2, φ = 110°, z =-1).

(c) ( )2ˆ ˆ2 cos cos cos Cr m

D rsen a r a rsen aθ φθ φ θ φ φ= + − ˆ em

PB(r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°).

Solução:

(a) ( ) ( ) ( )22 2 2ˆ ˆ2 2 C

x y mD xyz y a x z xy a x ya= − + − + ˆz em

PA(2, 3, -1). Em coordenadas cartesianas:

yx zDD DD

x y z∂∂ ∂

∇⋅ = + +∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )2 2 22 2xyz y x z xy x yD

x y z∂ − ∂ − ∂

∇⋅ = + +∂ ∂

2 2 0D yz x∇⋅ = − +

∂

( )(2, 3, -1) 2 3 1 2 2D∇ ⋅ = ⋅ ⋅ − − ⋅

( )3(2, 3, -1) 10 Cm

D∇⋅ = −

(b) ( )22 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ2 2 2 C

z mD z sen a z sen a zsen aρ φρ φ ρ φ ρ φ= + +

em PB(ρ = 2, φ = 110°, z =-1).

( )z

DDDD z

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇φρ

ρρρ

φρ

11

( ) ( ) ( )2 22 2

2 21 12z sen zsen

D z senz

2ρ φ ρρ ρ φ

ρ ρ ρ φ

∂ ∂∂∇⋅ = + +

∂ ∂

φ

∂

( ) ( ) ( )2 2 22 222 2 2sen zz sen zD sen

zφφ ρρ ρ

ρ ρ ρ φ∂ ∂∂

∇⋅ = + + φ∂ ∂ ∂

2 22 2 22 2 2cos2 2 1z senD z senφ ρ φ ρ φ

ρ∇⋅ = + + ⋅

2 2 2 2 24 2 cos2 2D z sen z senφ φ ρ φ∇⋅ = + +

( )2 2( 2, 110 , -1) 4 1 110ºD z senρ φ∇⋅ = = ° = = − +

( ) ( )2 2 22 1 cos 2 110 2 2 110sen− ⋅ ° + ⋅ °

( )2 2( 2, 110 , -1) 4 1 110ºD z senρ φ∇⋅ = = ° = = − +

( ) ( )2 2 22 1 cos 2 110 2 2 110sen− ⋅ ° + ⋅ °

( )3( 2, 110 , -1) 9.06 Cm

D zρ φ∇⋅ = = ° = =

(c) ( )2ˆ ˆ ˆ2 cos cos cos Cr m

rsen a r a rsen aθ φθ φ θ φ φ= + −D em

PB(r = 1,5; θ = 30°, φ = 50°).

( ) ( )22

1 1 1r

Dsen DD r D

r r rsen rsenφθθ

θ θ θ φ∂∂∂

∇⋅ = + +∂ ∂ ∂

( ) ( )22

cos cos1 12 cossen r

D r rsenr r rsen

θ θ φθ φ

θ θ∂∂

∇⋅ = + +∂ ∂

( )1 rsenrsen

φθ φ∂ −

∂

( )32

22 cos cos 2

sensen rD r

r r rsen

θθ φ φ

θ θ

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∇⋅ = + +∂ ∂

( )senrrsen

φθ φ∂−∂

22

2 cos cos 2cos232

sen rD rr rsenθ φ φ θ

θ⎛ ⎞∇⋅ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 cossen

φθ

−

cos cos2 cos6 cosD sensen senφ θ φθ φ

θ θ∇⋅ = + −

26 cos cos2 cos cossenDsen

θ φ θ φθ

+ −∇⋅ =

φ

( )2 2 26 cos cos cos cossen senD

senθ φ θ θ φ

θ

+ − −∇⋅ =

φ


11

Lei de Gauss

2 2 26 cos cos cos cos cossen senDsen

θ φ θ φ θ φθ

+ − −∇⋅ =

(

φ

)2 2 26 cos 1 cos cos cossen sen senD

senθ φ θ φ θ φ

θ

+ − − −∇⋅ =

φ

2 2 26 cos cos cos cos cossen sen senDsen

θ φ φ θ φ θ φθ

+ − − −∇⋅ =

φ

24 cossenDsenθ φθ

∇⋅ =

4 cosD senθ φ∇⋅ =

4 30 cos50D sen∇⋅ = ° ° 14 0.64272

D∇⋅ =

( )31,28 Cm

D∇⋅ =

Exemplo 13– (e 3.8 – Hayt pg. 41) Determine a expressão para a densidade

volumétrica de carga associada com cada campo D a seguir:

(a) ( )2

2 2

2

4 4 2ˆ ˆ ˆ Cx y z m

xy x x yD a a az z z

= + + .

(b) ( )2ˆ ˆ ˆcos Cz m

D zsen a z a sen aρ φφ φ ρ φ= + +

(c) ( )2ˆ ˆ ˆcos cos Cr m

D sen sen a sen a aθ φθ φ θ φ φ= + +

Solução:

(a) ( )2

2 2

2

4 4 2ˆ ˆ ˆ Cx y z m

xy x x yD a a az z z

= + + .

Em coordenadas cartesianas:

yx zv

DD DDx y z

ρ∂∂ ∂

= ∇⋅ = + +∂ ∂ ∂

2 2

2

4 4 2xy x xDx z y z z z

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇ ⋅ = + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

y ⎞⎟⎠

2

3

4 40y x yDz z

∇⋅ = + −

2 2

3

4 4v

yz x yDz

ρ −= ∇⋅ =

( )( )32 2

3

4(2, 3, -1) Cm

yD z xz

∇⋅ = −

(b) ( )2ˆ ˆ ˆcos Cz m

D zsen a z a sen aρ φφ φ ρ φ= + + .

( )1 1 zv

D DD Dz

φρρ ρ

ρ ρ ρ φ∂ ∂∂

= ∇⋅ = + +∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )cos1 1 z senD zsen

zφ ρ φ

ρ φρ ρ ρ φ

∂ ∂∂∇⋅ = + +

∂ ∂ ∂

( ) ( )cos0zsen zD

φφ ρρ ρ ρ φ

∂∂∇⋅ = + +

∂ ∂

zsen zsenD φ φρ ρ

∇⋅ = −

( )30 Cv m

Dρ =∇⋅ =

(c) ( )2ˆ ˆ ˆcos cos Cr m

D sen sen a sen a aθ φθ φ θ φ φ= + + .

( ) ( )22

1 1 1r

Dsen DD r D

r r rsen rsenφθθ

θ θ θ φ∂∂∂

∇⋅ = + +∂ ∂ ∂

( ) ( )22

cos1 1 sen senD r sen sen

r r rsenθ θ φ

θ φθ θ∂∂

∇⋅ = + +∂ ∂

( )cos1rsen

φθ φ∂∂

( )22

22

sensen sen senD r

r r rsen

θθ φ φ

θ θ

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∇⋅ = + +∂ ∂

( )cos1rsen

φθ φ∂∂

2

2cos222

sen sen senD rr rsenθ φ φ θ

θ⎛ ⎞∇⋅ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1 senrsen

φθ

−

2 cos2sen sen sen senDr rsen rsenθ φ φ θ φ

θ θ∇⋅ = + −

( )2 22 cos2 sen sensen sen senDrsen rsen rsen

φ θ θθ φ φθ θ θ

−∇⋅ = + −

( )22 1 22 sen sensen sen senDrsen rsen rsen

φ θθ φ φθ θ θ

−∇⋅ = + −

2 22 2sen sen sen sen sen senDrsen rsen rsenθ φ φ θ φ φθ θ θ

−∇⋅ = + −

( )30 Cv m

Dρ =∇⋅ =

Exemplo 13– (e 3.9 – Hayt pg. 45) Dado o campo: ( )2

1 12 2ˆ ˆ6 1,5 cos C

mD sen a aρ φρ φ ρ φ= +

calcule ambos os lados do teorema da divergência para a região limitada por:

2, 0, , 0zρ φ φ π= = = = e z = 5. Solução:

iS V

D dS Q DdVΨ = ⋅ = = ∇⋅∫∫ ∫∫∫


12

Lei de Gauss

A região formada é composta por quatro superfícies SL, STs, STi e Sp, como ilustramos abaixo,

juntamente com os vetores para cada superfície: dS Superfície lateral SL:

ˆ ˆNa aρ=

ˆ ˆL LdS dS a d dzaρ ρρ φ= =

ˆ ˆLNa aρ=

Superfícies inferior e superior (STs, STi):

ˆ ˆsT T zdS dS a d d azρ ρ φ= =

ˆ ˆTsN za a=

( )ˆ îT T zdS dS a d d azρ ρ φ= − = −

ˆ ˆTiN za a= −

Superfície plana lateral Sp:

( )ˆ ˆp pdS dS a d dzaφ φρ= − = −

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ; p pN Na a a aφ φφ φ π= − = = =

Superfície fechada S:


13

Lei de Gauss

Assim:

L T T pi s iS S S S S

D dS D dS D dS D dS D dS⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

( ) (5

1 12 2

0 0

ˆ ˆ ˆ6 1,5 cosL

LS

)D dS sen a a d dzaπ

ρ φ ρρ φ ρ φ ρ φ⋅ = + ⋅∫∫ ∫ ∫Como: ˆ ˆ ˆ ˆ1 0a a a aρ ρ ρ φ⋅ = ∴ ⋅ =

52 1

20 0

6L

LS

D dS sen d dzπ

ρ φ φ⋅ =∫∫ ∫ ∫

52 1

20 0

6L

LS

D dS dz sen dπ

ρ φ φ⋅ =∫∫ ∫ ∫

[ ] [ ]52 120 0

6 2 2cosL

zL z

S

D dS z φ π

φφ ==

= =⋅ = ⋅ −∫∫

[ ] ( ) ( )( )1 12 224 5 0 2cos 2cos 0

L

LS

D dS π⎡ ⎤⋅ = − − − −⎣ ⎦∫∫

[ ]24 5 2L

LS

D dS⋅ = ⋅∫∫

240LS

D dS C⋅ =∫∫

( ) ( )2

1 12 2

0 0

ˆ ˆ ˆ6 1,5 cosi

Ti

T zS

D dS sen a a d d aπ

ρ φρ φ ρ φ ρ ρ φ⋅ = + ⋅ −∫∫ ∫ ∫

Como: ˆ ˆ ˆ ˆ0 0z za a a aρ φ⋅ = ∴ ⋅ =

0TiS

D dS C⋅ =∫∫

( ) ( )2

1 12 2

0 0

ˆ ˆ6 1,5 cosi

Ts

T zS

ˆD dS sen a a d d aπ

ρ φρ φ ρ φ ρ ρ φ⋅ = + ⋅∫∫ ∫ ∫

Como: ˆ ˆ ˆ ˆ0 0z za a a aρ φ⋅ = ∴ ⋅ =

0TsS

D dS C⋅ =∫∫

( )5 2

1 12 2

0 0

ˆ ˆ6 1,5 cospS

D dS sen a a d dza( )ˆρ φ φρ φ ρ φ ρ⋅ = + ⋅ −∫∫ ∫ ∫ Como: ˆ ˆ ˆ ˆ1 0a a a aφ φ ρ φ⋅ = ∴ ⋅ =

5 212

0 0

1,5 cospS

D dS d dzρ φ ρ⋅ = −∫∫ ∫∫

5 212

0 0

1,5cospS

D dS dz dφ ρ ρ⋅ = −∫∫ ∫ ∫

( )[ ]22

512 0

0

1,5cos 02

p

z

zS

D dS zρ

ρ

ρ=

=

==

⎡ ⎤⋅ = − ⎢ ⎥

⎣ ⎦∫∫

( )[ ]2 22 01,5cos 0 5 0

2 2pS

D dS⎡ ⎤

⋅ = − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫

[ ][ ]1,5 1 5 2pS

D dS⋅ = − ⋅∫∫

15pS

D dS C⋅ = −∫∫

L T T pi s iS S S S S

D dS D dS D dS D dS D dS⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

240 0 0 15S

D dS⋅ = + + −∫∫

225S

D dS C⋅ =∫∫

Integral de volume:

V

DdVΨ = ∇⋅∫∫∫

( )1 1 zD DD Dz

φρρ

ρ ρ ρ φ∂ ∂∂

∇⋅ = + +∂ ∂ ∂

( )21 12 2ˆ ˆ6 1,5 cos C

mD sen a aρ φρ φ ρ φ= +


14

Lei de Gauss

( ) ( )1 12 2

1 16 1,5 cosD senz

ρ ρ φ ρ φρ ρ ρ φ

∂ ∂∇⋅ = + +

∂ ∂0∂∂

( ) ( )1

22 12

6 1,5 cossenD φ ρρ φρ ρ ρ φ

∂ ∂∇⋅ = +

∂ ∂

12 1

26 1,5 12

2senD sφ ρ enρ φρ ρ

⎛ ⎞∇⋅ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

1 12 2

1,5122

D sen senφ φ∇ ⋅ = −

12

22,52

D sen φ∇ ⋅ =

5 212

0 0 0

22,52V

DdV sen d d dzπ

φρ ρ φ∇ ⋅ =∫∫∫ ∫ ∫ ∫

5 212

0 0 0

22,52V

DdV dz d sen dπ

ρ ρ φ∇ ⋅ =∫∫∫ ∫ ∫ ∫ φ

[ ] [ ]22

5 120 0

0

22,5 2cos2 2

z

zV

DdV zρ

φ π

φρ

ρ φ=

==

= ==

⎡ ⎤∇ ⋅ = −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫∫∫

[ ] ( ) ( )( )2 2

1 12 2

22,5 2 05 0 2cos 2cos 02 2 2V

DdV π⎡ ⎤⎡ ⎤∇⋅ = − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫∫∫

[ ][ ][ ]22,5 5 2 22V

DdV∇⋅ =∫∫∫

225V

DdV C∇⋅ =∫∫∫


15

Lei de Gauss

Exercícios – Capítulo 3 - Hayt 1. Uma lata de pintura de metal vazia é

colocada em uma mesa de mármore, sua tampa é retirada, e ambas as partes são descarregadas conectando-as à terra. Um fio isolante de náilon é colado no centro da tampa e três moedas, de 5, 10 e 50 centavos são coladas ao fio de forma que não se toquem. A moeda de 50 centavos é aplicada uma carga de +5 nC e as moedas de 5 e 10 centavos permanecem descarregadas. A montagem é descida até a lata de forma que as moedas fiquem suspensas e longe das paredes, estando a tampa presa. O lado de fora da lata é temporariamente conectado de novo a terra. O dispositivo é cuidadosamente desmontado com luvas e ferramentas isolantes.

(a) Que cargas são encontradas em cada uma das cinco peças metálicas?

(b) Se fosse aplicada à moeda de 50 centavos uma carga de + 5 nC, à de l0 centavos uma carga de - 2 nC e à de 5 centavos uma carga de - l nC, qual seria a distribuição final de cargas?

2. Uma carga pontual de 12 nC está localizada na origem. Quatro linhas de cargas uniformes estão localizadas no plano x = O como se segue: 80 nC/m em y = - l e -5 m, -50nC/m e y = -2e -4m.

(a) Determine D em P(0, -3, 2); (b) Quanto fluxo elétrico atravessa o plano x

= -3 e em que direção? (c) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície da

esfera de 4 m de raio centrada em C(0, -3, 0) ?

3. A superfície cilíndrica r = 8 cm contém

uma densidade superficial de carga zS e 205 −=ρ

nC/m2. (a) Qual a quantidade de carga total presente? (b) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície r = 8 cm, l cm < z < 5 cm, 30° < f < 90°? Solução:

dSQS

S∫∫= ρ

dzdeQ z φρπ

∫ ∫+∞

∞−

−−⋅=2

0

209105

dzedQ z∫∫+∞

∞−

−−⋅= 2092

0

105ρφπ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⋅= ∫∫

+∞−

∞−

−−− dzedzeQ zz

0

200

)(202

0

9105 ρφπ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+⋅⋅⋅⋅=

+∞→

=

−

−∞→

−−

z

z

z

z

z eeQ0

2002029

20201081010π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅= −

201

2011080 11πQ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅= −

2021080 11πQ

11108 −⋅= πQ

nCQ 25,0102513,0 9 =⋅= − (b) – Cálculo do fluxo: z 5 1

dSQR

S∫∫= ρ

dzdQ S φρρπ

π∫ ∫=2

6

05,0

01,0

∫∫ −−⋅=05,0

01,0

2091052

6

dzedQ z

π

π

φρ

05,0

01,0

209

2010508,0 2

6 −⋅⋅⋅=

−−

zeQπ

πφ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

⋅−⋅−−

202062104

01,02005,02010 eeQ ππ


16

Lei de Gauss

( )12,010

310

204 −−− −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅= eeQ π

CQ 12104384,9 −⋅= pCQ 4384,9=

4. As superfícies cilíndricas r = l, 2 e 3 cm possuem densidades superficiais de carga uniformes de 20, - 8 e 5 nC/m2, respectivamente, (a) Quanto fluxo elétrico passa através da superfície fechada r = 5 cm, 0 < z < l m? (b) Determine D em P(l cm, 2 cm, 3 cm).

5. Seja: 222 ˆ4ˆ)(2ˆ4 mCayzazxaxyD zyx +++=

Calcule as integrais de superfície para determinar a carga total contida no paralelepípedo retângulo 0 < .x: < 2. 0 < y < 3, 0 < z < 5 m. Solução: Observando a figura: z Sxy 5 Sxz Syz 0 3 y 2 x

( )∫∫∫∫∫∫==

−⋅+⋅=⋅=

50

ˆˆ

zxy

zxy S

zS

zS

i aDaDSdDQ

( )∫∫∫∫==

−⋅+⋅+

03

ˆˆ

yxz

yxz S

yS

y aDaD

( )∫∫∫∫==

−⋅+⋅+

02

ˆˆ

xzy

xzy S

xS

x aDaD

dydxzydydxzyQzzi ∫ ∫∫ ∫ ==

+−=2

0

3

05

2

0

3

00

44

dzdxzxdzdxzx ∫ ∫∫ ∫ +−++2

0

5

0

222

0

5

0

22 )(2)(2

dzdyxydzdyyxxx ∫ ∫∫ ∫ == −++

3

0

5

00

3

0

5

02 44

dyydxQi ∫∫−=3

0

2

0

200 085

0

3

0

++ ∫∫ dzdyy

( ) 5

0

3

0

23

0

2

28

20220 zyyQi ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

5298

2940 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅=iQ

180180+=iQ

CQi 360= 6. Duas linhas de cargas uniformes de 20 nC/m

cada estão localizadas em y = l., z = ± l m. Determine o fluxo elétrico total deixando a superfície da esfera de raio 2 m, se ela está centrada em: (a) A(3. l. 0); B(3, 2, 0).

7. Uma densidade volumétrica de carga está localizada no espaço livre com:

rv e 10002 −=ρ nC/m3 para 0< r < l mm e rv=

O em qualquer outra parte, (a) Determine a carga total contida na

superfície esférica r = l mm. (b) Usando a lei de Gauss, calcule o valor de

D, na superfície r = l mm. Solução: (a) A carga total será dada por:

θφθρρ ddrdsenrQdVQV

viv

vi2∫∫∫∫∫∫ =⇒=

∫∫∫ −−⋅=ππ

φθθ2

00

001.0

0

100029102 ddsendrerQ ri

[ ] [ ] ππ φθ 200

001.0

0

210009 cos

50000000050000010001102 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−⋅= −− rreQ r

i

π2210606,1102 109 ⋅⋅⋅= −−iQ

CQi191036,40 −⋅= nCQi

910036,4 −⋅= (b) Usando a lei de Gauss: i

SS QSdD =⋅= ∫ψ

ir QddsenrD =∫ ∫ φθθππ

22

0 0

24 rQD i

r π=

( )12

23

18

1032117,0104

10036,4 −

−

−

⋅=⋅

=π

rD


17

Lei de Gauss

213102117,3 mCDr−⋅=

24102117,3 mnCDr−⋅=

8. Duas linhas de cargas uniformes de 5 nC/m

estão localizadas no espaço livre em x =1, y = 1 e z = l.

(a) Obtenha a expressão para D em coordenadas cartesianas em P(0, O, z);

(b) Esboce |D| versus z em -3< z < 10.

9. Uma densidade volumétrica de carga uniforme de 80 mC/rn3 está presente na região 8 mm < r < 10 mm. Seja rv = 0 para 0 < r < 8 mm.

(a) Determine a carga total dentro da superfície esférica r = 10 mm;

(b) Determine D, em r = 10 mm; (c) Se não há carga para r > 10 mm, determine D, em r = 20 mm. Solução:

(a) A carga total será dada por: θφθρρ ddrdsenrQdVQ

Vvi

vvi

2∫∫∫∫∫∫ =⇒=

θφθ ddrdsenrQV

i261080∫∫∫ −⋅=

θθφππ

dsenddrrQi ∫∫∫−⋅=0

2

0

01.0

0

261080

( )ππ θφ0

2

0

01.0

008.0

36 cos

31080 −⋅= − rQi

223

008.001,0108033

6 ⋅−

⋅= − πiQ

π41062667,11080 76 ⋅⋅⋅⋅= −−iQ

π41062667,11080 76 ⋅⋅⋅⋅= −−iQ

CQi1310307,1635 −⋅=

pCQi 5307,163= (b) D, em r = 10 mm

iS

S QSdD =⋅= ∫ψ

ir QddsenrD =∫ ∫ φθθππ

22

0 0

2

12

2 01,041053,163

4 ⋅⋅

==−

ππrQD i

r

81001,13 −⋅=rD 9101,130 −⋅=rD

21,130 mnCDr =

10. Seja rs = 8 mC/m2 na região onde x = 0, -4 < z < 4 m e rs = 0 em qualquer outra parte. Determine D em P(x, 0, z), onde x > 0.

11. Em coordenadas cilíndricas, seja rs = 0 para

r < l mm, πρρ 20002senv = (nC/m3) para l mm < r < l ,5 mm e rs = 0 para r > 1,5 mm. Determine D em toda parte.

Solução:

VD ρ=⋅∇ Em coordenadas cilíndricas:

( )z

DDDD z

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇φρ

ρρρ

φρ

11

( ) ( )πρρρρ ρ 200021 nsenD =∂∂

( ) ( )πρρρρ ρ 20002 sennD =∂∂

( ) ( ) ρπρρρ ρ dsennD ∫= 20002

( ) ( ) CsennD +

+−=

2400000020002000cos20002

ππρπρπρρ ρ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−= CsennD

ππρπρρ

πρρ 2000)2000()2000cos(

20002

( )[ ]ππρπρπρ

πρρ 2000)2000()2000cos(20002000

22 CsennD ++−=

[ ])2000())2000cos((2000104

10262

9

πρπρρπρπρ senCD +−

⋅⋅

=−

[ ])2000())2000cos(1010(2210 33

2

15

πρπρρπρπρ senCD +−=

−

12. Uma densidade volumétrica de carga não - uniforme de rv = 120r C/m3 está situada dentro de uma superfície esférica de r = l m e rv = 0 em qualquer outra parte, (a) Determine D, em toda parte; (b) Qual densidade superficial de carga rs2 deve estar presente na superfície r= 2 m de modo que Dr’r= Drr’

+? (c.) Esboce Dr versus r para 0 < r < 5 com ambas as distribuições presentes.


18

D

Lei de Gauss

13. Três superfícies esféricas em r =2. 4 e 6 m possuem densidades superficiais de carga de 20 nC/m2, -4nC/m2 e rs0,. Respectivamente.

(a) Determine D em r = 1, 3 e 5 m: (b) Determine rs0, de modo que D = 0 em r =

7m. Solução:

(a) a Lei de Gauss:

iS

QSdD =⋅∫∫

r = 1ï Como não há carga internamente à essa superfície: Dr = 0. r = 3 ï Escolhendo uma superfície Gaussiana de raio r > 3

22 2441

⋅= πρπ SrD

221

144

44

rrD S

S

ρππρ =⋅=

292

9

10889.8310204)3( mCrD −

−

⋅=⋅

===

r = 5 ï Escolhendo uma superfície Gaussiana de raio r > 5

iS

QSdD =⋅∫∫

222 4424421πρπρπ SSrD +⋅=

164444204 2 πππ nnrD −⋅=

πππ nnrD 2563204 2 −=

2464

rnDππ

=

2102

9

104,654

6410 mCDD −−

⋅=⇒=π

π

(b) Escolhendo uma superfície de raio > 7, teremos envolvido três cargas:

321 QQQSdDS

++=⋅∫∫

321 32124 sssr AAADr ρρρπ ++=

0646440

22 =+= sr nDr ρπππ

2910

9464364

00 mCn ss

−⋅−=⇒−= ρπρπ

14. Se rv = 5 nC/rn3 para 0 < r < l mm e não há outras cargas presentes:

(a) determine D, para r < l mm:

(b) determine Dr para r > l mm: (c) Que densidade linear de carga rL em r = 0

daria o mesmo resultado que o do item b? 15 Duas densidades volumétricas de carga estão

localizadas como se segue: rv = 0 para r < l mm e para r > 2 mm e rv = 4rmC/m2 para l < r < 2 mm.

(a) Calcule a carga total na região 0 < r < r1; 0 < z < L, onde l < r1 < 2 mm;

(b) Use a lei de Gauss para determinar Dr em r = r1;

(c) Calcule Dr em r = 0,8mm; 1.6 mm e 2.4 mm. Solução:

{ mm 21 4 3 <<⇒= ρρρ µm

Cv

⎩⎨⎧

><

⇒=mm 2mm 1

0 3 ρρ

ρ µm

Cv

(a) Carga para:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<<<<<

2100

1

1

ρ

ρρLz

∫ ∫ ∫∫∫∫ ==L

Vv dzdddVQ

0 001.0

2

0

1

4ρ π

ρφρρµρ

∫∫∫=L

dzddQ0001.0

22

0

1

4 ρρφµρπ

LzQ0

001.0

32

0

1

34

ρπ ρφπ=

( ) LQ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−

31024

3331ρπµ

( ) CLQ µρπ 931 10

38 −−=

(b) Lei de Gauss par determinar Da r em r = r1;

QSdDS

=⋅∫∫

( )µρπφρπ

ρ93

10

2

0

103

8 −−=∫ ∫LdzdD

L

( )( )CLLD µρπρπ ρ93

11 103

82 −−=


19

Lei de Gauss

( )( )2931

11

1032

8 mCL

LD µρρππ

ρ−−=

( )( )2931

11

1034 mCD µρρρ

−−=

(c) Calculo de: Dr em r = 0,8mm=8.10-4m

0)8( 1 == mmD ρρ Pois não há carga interna a uma superfície

Gaussiana cilíndrica de raio r1 = 0,8mm. A distribuição de carga é nula para r1 < 1mm.

Dr em r = 1.6 mm Dr em r = 2.4 mm.

QSdDS

=⋅∫∫

( )( )( )CLdzdDL

µπφρπ

ρ933

0

2

0

101023

8 −− −⋅=∫ ∫

( )( )2910)18(32

8 mCL

LD µρπ

πρ

−−=

( )( )2910)18(34 mCD µρρ

−−=

Substituindo: r = 2.4 mm=2.4.10-3m

( )( )293 10)18(

104,234 mCD µρ

−− −

⋅⋅=

( )261088.3 mCD µρ−⋅=

16. Dada a densidade de fluxo elétrico

(C/mzyx azaxaxyD 32 6ˆˆ2 ++= 2) use a lei de Gauss para calcular a carga total contida no volume 0 < x,y,z < a;

(b) Use Eq. 8 para determinar um valor aproximado para a carga acima. Calcule as derivadas em P(a, a/2, a/2);

(c) Mostre que os resultados dos itens a e b são equivalentes no limite aö0.

17. Um cubo é definido por l < x,y,z < 1.2. Se

(C/myx ayxayxD ˆ3ˆ2 222 += 2): (a) aplique a lei de Gauss para determinar o

Fluxo total deixando a superfície fechada do cubo.

(b) calcule x

Dx

Dx

D zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

no centro do

cubo.

(c) Estime a carga total contida dentro do cubo usando a Eq. 8.

Solução:

z S y x (a) Fluxo total no cubo de superfície S de superfícies S1, S2, S3, S4, S5 e S6 especificadas por:

⎩⎨⎧

==⇔=⇒=−=⇒=

dydzdSdSaaxSaaxS

xn

xn21

2

1

ˆˆ2.1:ˆˆ1:

2

1

⎩⎨⎧

==⇔=⇒=−=⇒=

dxdzdSdSaaySaayS

yn

yn43

4

3

ˆˆ2.1:ˆˆ1:

4

3

⎩⎨⎧

==⇔=⇒=−=⇒=

dxdydSdSaazSaazS

zn

zn65

6

5

ˆˆ2.1:ˆˆ1:

6

5

Escrevendo a integral fechada sobre a superfície S na soma de todas as 6 faces:

+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫ 21

2

2

1

1ˆˆ dSaDdSaDSdD

Sn

Sn

S

543

5

5

4

4

3

3ˆˆˆ dSaDdSaDdSaD

Sn

Sn

Sn ∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅

6

6

6ˆ dSaD

Sn∫∫ ⋅+


20

Lei de Gauss

Como: , ilustramos esse campo vetorial na região abaixo:

yx ayxayxD ˆ3ˆ2 222 +=

Fazemos os produtos escalares: ( ) yxaDaD xn

22ˆˆ1

−=−⋅=⋅

yxaDaD xn22ˆˆ

2=⋅=⋅

( ) 223ˆˆ3

yxaDaD yn −=−⋅=⋅ 223ˆˆ

4yxaDaD yn =⋅=⋅

( ) 0ˆˆ5

=−⋅=⋅ zn aDaD

0ˆˆ6

=⋅=⋅ zn aDaD

dydzydydzySdDS

∫ ∫∫ ∫∫∫ ⋅⋅+⋅⋅−=⋅2.1

1

2.1

1

22.1

1

2.1

1

2 2.1212

dxdzxdxdzx ∫ ∫∫ ∫ ⋅++⋅⋅−+2.1

1

2.1

1

222.1

1

2.1

1

22 2.1313

∫∫∫∫∫∫ +−=⋅2.1

1

2.1

1

2.1

1

2.1

1

82 dzdyydzydySdDS

∫∫∫∫ +−2.1

1

2.1

1

22.1

1

2.1

1

2 32.43 dzdxxdzdxx

2.1

1

2.1

1

22.1

1

2.1

1

2

244.12

22 zyzySdD

S

⋅+−=⋅∫∫

2.1

1

2.1

1

32.1

1

2.1

1

3

332.4

33 zxzx

+−

( )( ) ( )( )12.112.144.112.112.1 222 −−+−−−=⋅∫∫S

SdD

( )( ) ( )( )12.112.1332.412.112.1 3333 −−+−−−

( )( ) ( )( )2.0728.044.02.044.044.0 +=⋅∫∫S

SdD

( )( ) ( )( )2.0728.044.02.044.044.0 +−=⋅∫∫S

SdD

( )( ) ( )( 2.01728.1332.42.01728.1 −+−− )

( )( ) )2.0)(728.0(44.02.044.044.0 +=⋅∫∫S

SdD

064064.003872.0 +=⋅∫∫S

SdD

2102784.0 mCSdDS

=⋅∫∫

(b) y

Dx

DD =⋅∇ yx

∂∂

+∂∂

( ) ( )

yyx

xyxD

∂∂

+∂

∂=⋅∇

222 32

2264 yxxyD +=⋅∇

( ) 22 1.11.161.11.141.1,1.1,1.1 ⋅+⋅⋅=⋅∇ D

( ) 826.121.1,1.1,1.1 =⋅∇ D

(c) DVQVQD v ⋅∇⋅=⇔==⋅∇ ρ

CQQ 1026.0826.122.0 3 =⇒⋅=

18. Seja um campo vetorial dado por

yazyxG ˆ5 444= .Calcule ambos os lados da Eq. 8 para este campo G o volume definido por x = 3 e 3,1, y = 1 e 1,1 e z = 2 e 2.1. Calcule as derivadas parciais no centro do volume.

19. Uma superfície esférica de raio 3 mm está centrada em P(4, l, 5) no espaço livre. Seja

xaxD ˆ= C/m2. Use os resultados da Seção 3.4 para estimar o fluxo elétrico líquido que deixa a superfície esférica.


21

Lei de Gauss

Solução:

-4.002

-4

-3.998

-1.002-1

-0.998

-5.002

-5

-4.998

1.002-1

-0.998

Esfera: raio r = 3mm centrada em P(4, 1, 5):

Campo vetorial: xaxD ˆ= Fluxo que deixa a seção:

QSdDS

=⋅=Ψ ∫∫

vD ρ=⋅∇

11 =⇒=∂∂

=⋅∇ vxxD ρ

3

34 RQ

VQ

vv πρρ ⋅=⇒=

( ) nCQ 09.1131009.113103341 933 =⋅=⋅⋅= −−π

20. Um cubo de volume a3 possui suas faces

paralelas às superfícies do sistema de coordenadas cartesianas e está centrado cm P(3, - 2, 4). Dado o

campo xaxD ˆ2 3= C/ m2

(a) calcule div D cm P; (b) calcule a fração mais à direita da Eq. 13 para

a = l m. 0.1 m e l mm.

21. Calcule a divergência de D no ponto especificado se (a) ( )[ ]zyx ayxzazxaxyz

zD ˆ52ˆ5ˆ101 232

2 −++=

em P(-2, 3, 5); (b) zazazD ˆ10ˆ5 2 ρρ += em P(3, -450, 5); (c)

φθ φφθφθ arasenrasenrsenD r ˆcosˆcosˆ2 ++= em P(3, 450, -45°). Solução:

(a) Nas coordenadas cartesianas:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⋅∇ 2

23

2

2

252510

zyxz

zzzx

yzxyz

xD

( )222

52510 −−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⋅∇ yzxzzz

xyz

xyx

D

( )222

52510 −−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⋅∇ yzxzzz

xyz

xyx

D

3

2102010z

yxzyD +++=⋅∇

3

2

53)2(102

5310)5,3,2( −

++⋅

=−⋅∇ D

25242

530)5,3,2( ++=−⋅∇ D

25224

252450150)5,3,2( =

++=−⋅∇ D

96.8)5,3,2( =−⋅∇ D


22

Lei de Gauss

Ilustração do vetor D num cubo -4 ≤ x,y,z ≤4.

(b) Nas coordenadas cilíndricas:

( )z

DDDD z

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇φρ

ρρρ

φρ

11

⎩⎨⎧

==

⇔+=zD

zDazazD

zz ρ

ρ ρρ 10

5ˆ10ˆ52

2

( )z

zzD∂

∂+

∂∂

+∂∂

=⋅∇)10()0(1)5(1 2 ρ

φρρ

ρρ

ρρ

1005 2

++=⋅∇zD

)3(1003)5(5)5,45,3(

20 ++=−⋅∇ D

3215

390125)5,45,3( 0 =

+=−⋅∇ D

67.71)5,45,3( 0 =−⋅∇ D

(c) Nas coordenadas esféricas:

( ) ( )φθ

θθθ

φθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=⋅∇D

rsensenD

rsenDr

rrD r

111 22

φθ φφθφθ arasenrasenrsenD r ˆcosˆcosˆ2 ++=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

φφθφθ

φ

θ

coscos

2

rDsenrDsenrsenDr

( +∂∂

=⋅∇ )2(1 22 φθsenrsenr )

rrD

( )φφ

θθφθ

θθ ∂∂

+∂∂ )cos(1)cos(1 r

rsensensenr

rsen

( )+∂∂

=⋅∇ φθsensenrrr

D 32 21

( ) )(1cos1 φθ

φθθθθ

rsenrsen

sensenrrsen

−+∂∂

+=⋅∇ φθsensenrr

D 22 61

)coscos(1 θθθθφθ

+− sensenrsenrsen

θφ

sensen

−

+=⋅∇ φθsensenD 6

)cos( 22 θθθφ

+−sensensen

θφ

sensen

−

( ) +−=−⋅∇ )45(45645,45,3 0000 sensenD

)45cos45(45

)45( 02020

0

+−− sen

sensen

0

0

45)45(

sensen −

−

( ) +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=−⋅∇

22

22645,45,3 00D

)21

21(1 +−−

2222−

−

( ) 10345,45,3 00 ++−=−⋅∇ D

( ) 245,45,3 00 −=−⋅∇ D

22. Seja φρ φρφρ aasenD ˆcos4ˆ8 += . C/m2.

(a) Determine div D. (b) Determine a densidade volumétrica de carga

cm P(2,6, 380; -6,1); (c) Quanta carga esta localizada dentro da região

definida por 0 < r < 1,8; 200 < f < 700 e 2,4 < z < 3, l? 23 (a) Uma carga pontual Q está situada na

origem. Mostre que div D = 0 por toda parte, exceto na origem. (b) Substitua a carga pontual por uma densidade volumétrica de carga uniforme rv0 para 0 ≤ r ≤ a. Relacione rv0 a Q e a de modo que a carga total seja a mesma. Determine div D por toda a parte.

Solução:

( ) ( )φθ

θθθ

φθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=⋅∇D

rsensenD

rsenDr

rrD r

111 22

24 rQDr π

=

( )φθ

θθθπ ∂

∂+

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⋅∇0101

41

22

2 rsensen

rsenrQr

rrD

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⋅∇π4

12

Qrr

D


23

Lei de Gauss

012r

D=⋅∇

0=⋅∇ D (b) Densidade de carga uniforme:

00

334

334 vv aQ

aQ

VQ ρπ

πρ =⇒==

⎪⎩

⎪⎨⎧

><

=⋅∫∫ araarr

SdDv

v

S se se

0

03

34

334

ρπρπ

⎪⎩

⎪⎨⎧

><

=araarr

rDv

vr se

se 4

0

03

34

334

2

ρπρπ

π

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<=

arra

arrD

v

v

r se

se

0

0

2

3

31

31

ρ

ρ

( ) ( )φθ

θθθ

φθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=⋅∇D

rsensenD

rsenDr

rrD r

111 22

arD >=⋅∇ se 0

arr

rr

D v >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⋅∇ se 3r

1 022

ρ

( ) arrr

D v >∂∂

=⋅∇ se r

3

320

ρ

arrr

D v >=⋅∇ se 3 3

220

ρ

arD v >=⋅∇ se 0

ρ

24. Dentro da casca cilíndrica 3 < r < 4 m. a densidade de fluxo elétrico é dada por:

C/m( ) ρρ aD ˆ35 3−= 2. Qual e a densidade volumétrica de carga em r = 4?

(b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r = r =m?

(c) Quanto fluxo elétrico deixa a superfície fechada: 3 < r < 4, 0 < f < 2π, -2,5 < z < 2,5?

(d) Quanta carga está contida dentro do volume 3 < r < 4, 0 < f < 2π, -2,5 < z < 2,5 ?

25. Dentro da casca esférica 3 < r < 4 m. a

densidade de fluxo elétrico é dada por C/m( ) rarD ˆ35 3−= 2.

(a) Qual é a densidade volumétrica de carga em r = 4?

(b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r =- 4 m?

(c) Quanto fluxo elétrico deixa a esfera de r =- 4 m?

(d) Quanta carga está contida dentro da esfera r =- 4 m?

Solução:

(a) Densidade em r = 4m:

( ) rarD ˆ35 3−=

( )335 −= rDr

( )+−∂∂

=⋅∇ ))3(5(1 322 rr

rrD

( )φθ

θθθ ∂

∂+

∂∂ )0(1)0(1

rsensen

rsen

( )( )2232 )3(3325

−+−=⋅∇ rrrrr

D

( ))65()3(5 222 rrr

rD −−=⋅∇

( ))65()3(5 2 −−=⋅∇ rrr

D

( ))645()34(45)4( 2 −⋅−==⋅∇ rD

( )23514

45)4( ===⋅∇ rD

25,17)4( mCrD ==⋅∇

(b) Densidade do fluxo elétrico: r = 4m:

( ) rarD ˆ35 3−=

( ) rarD ˆ345)4( 3−==

( )2ˆ5)4( mCarD r==

(c) Fluxo elétrico que deixa a esfera:

QSdDS

=⋅=Ψ ∫∫

( )32 354 −= rrQ π

( )32 34544)4( −== πrQπ320)4( ==rQ (C)

(d) Carga contida na esfera r = 4m?


24

Lei de Gauss

dVQv

v∫∫∫= ρ

( ))65()3(5 2 −−=⋅∇ rrr

D

( ))65()3(5 2 −−=⋅∇= rrr

Dvρ

drddsenrr

rrQ θφθπ π

24

3 0

2

0

2 )65()3(5∫ ∫ ∫

−−=

drrrrQ ∫ −−=4

3

2 )65()3(54π

drrrrQ ∫ −−=4

3

2 )65()3(20π

( )[ ] 4

332 320

=

=−=r

rrrQ π ( )[ ]3232 )33(334420 −−−= πQ

1620 ⋅= πQ

)(320 CQ π=

26. Dado o campo rar

senD ˆcos5 φθ=

C/m2, determine: (a) a densidade volumétrica de carga rv. (b) a carga total contida na região r < 2 m; (c) o valor de D na superfície r = 2. (d) o fluxo elétrico total que deixa a superfície r

= 2. 27. Seja mC/mrarD ˆ5 2= 2 para r < 0,08 m e

( ) rarD ˆ1,0 2= C/m2 para r > 0.08 m. (a) Determine rv, para r = 0.06 m; (b) Determine rv para r = 0.1 m. (c) Que densidade superficial de carga deve ser

colocada em r = 0.08 m para que D = 0 para r > 0,08m?

Solução: (a) Cálculo de rv, para r = 0.06 m:

vD ρ=⋅∇

rarD ˆ5 2=

( ))5(1 222 mrr

rrD

∂∂

=⋅∇

( ) mrrrmr

rrmD 20455 3

24

2 =⋅=∂∂

=⋅∇

mrv 6.020)06.0( ⋅==ρ 32.1)06.0( mmCrv ==ρ

(b) Cálculo de rv, para r = 0.1 m:

( ) rarD ˆ1,0 2=

( ))1.0(1 222 rr

rrD

∂∂

=⋅∇

( ) 01.052 =∂∂

=⋅∇rr

mD

0)1.0( ==rvρ 3/0)1.0( mCrv ==ρ

(c) Densidade superficial em r = 0,08

para que D =0 para r > 0,08m?

iS

QSdD =⋅∫∫

dSdVQS

sv

vi ∫∫∫∫∫ += ρρ

mrDv 20=⋅∇=ρ

φθθππ

ddrdsenrmrQi2

2

0 0

08.0

0

20∫ ∫ ∫=

φθθρπ π

ddsenrs∫ ∫+2

0 0

2

208.0

0

3 08.04420 ⋅+⋅= ∫ πρπ si drrmQ

208.0

0

4

08.044

420 ⋅+⋅= πρπ sirmQ

πρπ 0256.00008192.0 si mQ +=

0==⋅∫∫ iS

QSdD

00256.00008192.0 =+= πρπ si mQ2032.0

0256.00008192.0 mmCm

s −=−=π

πρ


25

Lei de Gauss

232 mCs µρ −= 28. A densidade de fluxo elétrico é dada por

C/mρρ aD ˆ20 3= 2, para r < 100 mm e

para r > 100 mm. ρakD ˆ=(a) Determine k de modo que D seja contínua

em r = 100 mm; (b) Determine e esboce rv, como uma função

de r. 29. Em uma região do espaço livre que inclui o volume:2 < x,y,z < 3,

[ ] 22

ˆ2ˆˆ2 mCaxyaxzayzz

D zyx −+= .

(a) Calcule a integral de volume do teorema da divergência para o volume definido por: 2 < x,y,z < 3;

(b) Calcule a integral de superfície para a superfície fechada correspondente.

Solução: (a) – Integral de volume:

dVDV∫∫∫ ⋅∇

z

Dy

Dx

DD zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇

[ ] 22


D zyx −+=

2

422zxyD

zxD

zyD zyx −=⇔=⇔=⇔

( ) ( ) ( )zyx

D zxy

zx

zy

∂

−∂+

∂∂

+∂∂

=⋅∇2

422

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+=⋅∇ 3

2400zxyD

3

8zxyD =⋅∇

dVzxydVD

VV∫∫∫∫∫∫ =⋅∇ 3

8

dxdydzzxydVD

V∫ ∫ ∫∫∫∫ =⋅∇3

2

3

2

3

23

8

dzzdyydxxdVDV

∫∫∫∫∫∫ −=⋅∇3

2

33

2

3

2

8

3

22

3

2

23

2

2

21

228 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅∇∫∫∫ z

yxdVDV

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅−

−⋅−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⋅∇∫∫∫ 22

2222

221

321

223

2238dVD

V

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=⋅∇∫∫∫ 9

14155

88dVD

V

94525

⋅⋅

=⋅∇∫∫∫ dVDV

36125

=⋅∇∫∫∫ dVDV

C

(b) Integral de superfície para a superfície fechada correspondente. Escrevendo a integral sobre a superfície fechada S

na soma de to as as 6 faces: d +⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫ 21

2

2

1

1ˆˆ dSaDdSaDSdD

Sn

Sn

S

543

5

5

4

4

3

3ˆˆˆ dSaDdSaDdSaD

Sn

Sn

Sn ∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅

6

6

6ˆ dSaD

Sn∫∫ ⋅+

Como: [ ] 22


D zyx −+= ,

ilustramos esse campo vetorial na região abaixo: Fazemos os produtos escalares:

Definindo as tampas do cubo:

⎩⎨⎧

==⇔=⇒=−=⇒=

dydzdSdSaaxSaaxS

xn

xn21

2

1

ˆˆ3:ˆˆ2:

2

1

⎩⎨⎧

==⇔=⇒=−=⇒=

dxdzdSdSaaySaayS

yn

yn43

4

3

ˆˆ3:ˆˆ2:

4

3

⎩⎨⎧

==⇔=⇒=−=⇒=

dxdydSdSaazSaazS

zn

zn65

6

5

ˆˆ3:ˆˆ2:

6

5

( )zyaDaD xn 2ˆˆ

1−=−⋅=⋅

zyaDaD xn 2ˆˆ

2=⋅=⋅


26

Lei de Gauss

( )zxaDaD yn 2ˆˆ

3−=−⋅=⋅

zxaDaD yn 2ˆˆ

4=⋅=⋅

( ) 24ˆˆ5 z

xyaDaD zn =−⋅=⋅

24ˆˆ6 z

xyaDaD zn −=⋅=⋅

dydzzydydz

zySdD

S∫ ∫∫ ∫∫∫ +⋅−=⋅3

2

3

2

2

2

3

2

22

dxdzzxdxdz

zx

∫ ∫∫ ∫ +−+3

2

3

2

3

2

3

2

22

dxdyzxydxdy

zxy

∫ ∫∫ ∫ −++3

2

3

2

3

2

3

22 44

dyyxdxdyyxdxSdDS

∫ ∫∫ ∫∫∫ −=⋅3

2

3

22

3

2

3

22 3

424

3

2

23

2

23

2

23

2

2

2294

2244

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅∫∫

yxyxSdDS

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⋅∫∫ 2

232

2312222

S

SdD

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

223

223

94 2222

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⋅∫∫ 2

525

94

25

25

S

SdD

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⋅∫∫ 9

414

25

S

SdD

95

425

=⋅∫∫S

SdD

36125

=⋅∫∫S

SdD C

30. Se:

φρ φρφρ aasenD ˆ2cos10ˆ15 22 += calcule ambos os lados do teorema da divergência para a região 1 < r < 2m, 1 <f < 2 rad, 1 < z < 2 m. 31. Dada a densidade de fluxo:

θθar

D ˆ2cos16= (C/m2)

, use dois métodos diferentes para determinar a carga dentro da região:

1 < r < 2m, 1 < θ < 2 rad, 1 < f < 2 rad.

Solução: Determinação por :

vD ρ=⋅∇

( ) ( )φθ

θθθ

φθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=⋅∇D

rsensenD

rsenDr

rrD r

111 22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

0

2cos160

φ

θ θ

Dr

D

Dr

( )φθ

θθθθ ∂

∂+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=⋅∇012cos16101 2

2 rsensen

rrsenr

rrD

( )θθθθ

sensenr

D 2cos162 ∂

∂=⋅∇

( )θθθθθ

cos2cos22162 +−=⋅∇ sensensenr

D

( )θθθ ctgsenr

D 2cos22162 +−=⋅∇

( )θθθρ ctgsenrv 2cos2216

2 +−=

Cálculo da carga:

dVQv

v∫∫∫= ρ

( )dVctgsenr

Qv∫∫∫ +−= θθθ 2cos2216

2

( ) φθθθθθ ddrdsenrctgsenr

Qv

22 2cos2216

∫∫∫ +−=

( ) θθθθθφ dsensenddrQ ∫∫∫ +−=2

1

2

1

2

1

cos2cos2216

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅= ∫∫ θθθθθθφ ddsensenrQ cos2cos2216

2

1

2

1

2

1

2

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅= ∫∫ θθθθθθ ddsensenQ cos2cos2216

2

1

2

1

θθθθθθ ddsensenQ ∫∫ +−=2

1

2

1

cos2cos16232


27

Lei de Gauss

2

1

2

1

3

63

2216

3232 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

θθθ sensensenQ

CQ 9069.3−=

32. Se: (C/mrarD ˆ2= 2), determine o fluxo elétrico total deixando a superfície do cubo 0 ≤ x,y,z ≤ 0,4;

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exercicios resolvidos