11 - EXERCCIOS RESOLVIDOS1. Simplifique cada uma das seguintes funes usando as propriedades das operaes lgicas:__________________________ ________________

a)

F =A B + C + A Lei de Morgan. A negao est aplicada disjuno______________________ ________________

= (A B + C) A A negao de uma negao. = (A B + C) A distributividade da conjuno em relao disjuno =A A B + C A A A = 0 e elemento absorvente da conjuno (0 B = 0) = 0 + C A Elemento neutro da disjuno (0 + C A = C A) =CA F=CA

b)

F =A BCD +A BC D +ABC D +AB C D EvidenciarAC =AC (BD + B D +B D) +AB C D Evidenciar B =AC (B (D + D) +B D) +AB C D D + D = 1 =AC (B +B D) +AB C D B +B D = B + D =AC (B + D) +AB C D =AC B +AC D +AB C D ColocarA em evidncia =A (C B +C D +B C D) Evidenciar D =A (C B + D (C + CB)) C + CB =C +B =A (C B + D (C +B)) Distributiva F = A (C B + DC + DB)

c)

F = A B C (D + D) + A C D (B + A + C) + A C (B + D) D + D = 1 e 1 . A B C = A B C = A B C + A C D (B + A + C) + A C (B + D) Distributividade = A B C + A C D B + A C D A + A C D C + A C B + A C D Evidenciar ACB = ABC (D + 1 + 1) + ACDA + ACDC + ACD D + 1 + 1 = D =ABC+ACD+ADC+ACDACD+ADC+ACD=ACD = A B C + A C D Evidenciar A C F = A C (B + D) ___ F = (A + A C A B) (A B) Tirar o XOR ___ ___ ___ = (A + A C . A B + A C + A B) (A B) X Y = XY + X Y = (A + A C (A +B) + (A +C) A B) (A +B) Lei de Morgan = (A + A CA + A CB +A A B + C A B) (A +B) Distributiva = (A + A CB +C A B) (A +B) AA X = 0 = (A (1 + CB +C B)) (A +B) Evidenciar A = A (A +B) 1 + X = 1 e Y . 1 = Y = AA + AB Distributiva = AB AA = 0 F = AB

d)

2. Desenhe os simplificao:

circuitos

lgicos

das

funes

anteriores

aps

a

a)

b)

c)

d)

3. Para as seguintes expresses desenhe as suas tabelas de verdade e simplifique-as usando mapas de Karnaugh e desenhe os seus circuitos lgicos. a) F = AB C + A BC + ABC + A B C + AB C + A B C Esta funo tem trs variveis, logo o seu mapa de Karnaugh ter dois elevado e trs casos possveis ou seja oito pores:

Vamos agora colocar os uns nos locais onde a funo toma o valor de verdadeira:

O grupo de quatro uns foi feito porque existiam quatro uns contguos. Depois fizeram-se dois grupos de uns. O primeiro fez-se porque o mapa esfrico e os cantos inferiores esto pegados, logo podem-se agrupar os dois uns dos cantos inferiores. Ficou assim, s um um sem grupo, mas como ele se encontra pegado a outro um, agrupou-se com ele apesar deste ltimo j pertencer ao grupo de quatro uns. Falta s retirar as expresses dos grupos e fazer a expresso final de F j simplificada. O grupo de quatro representa a poro do mapa que pertence a C. O grupo dos cantos representa a poro do mapa que pertence a A e aB. O outro grupo de dois uns representa a poro do mapa que pertence a B e aA. Logo a expresso final de F : F = C + AB +A B.

O circuito lgico de F :

b)

F =ABCD + ABCD + ADBC + ABCD + A B DC + A B DC + A B C D + A C DB

Esta funo j depende de quatro variveis, logo o mapa ter de ter dois elevado a quatro (dezasseis) pores, uma para cada combinao das entradas.

Colocando agora os uns da funo F nos respectivos locais ficamos com o seguinte mapa e os seguintes grupos:

O grupo de quatro uns surgiu porque se podem agrupar grupos de quatro uns contguos. O grupo de dois uns dos cantos surgiu porque o mapa esfrico o que pega os cantos. Os outros grupos de dois uns surgiram do agrupamento de uns isolados com uns do grupo de quatro (claro que estavam contguos aos isolados). Assim, temos as expresses dos grupos: O grupo de quatro a poro do mapa que pertence a D e a A, logo D A. O grupo dos cantos a poro do mapa que pertence a B,D eC, logo BCD. O grupo de dois uns vertical a poro do mapa que pertence a D, B e C, logo B DC. Por ltimo, o grupo de dois uns horizontal a poro do mapa que pertence a A, B e C, logo A B C.

A expresso de F finalmente: F = D A + BDC + D BC + A B C

O circuito lgico de F o seguinte:

4. Desenhe s com portas NAND o circuito seguinte:

Transformando os AND em NAND, temos de negar as suas sadas. Para a funo se manter equivalente, temos de negar as entradas do OR. Um OR com as entradas negadas um NAND segundo as Leis de Morgan. O circuito fica:

5. Desenhe s com portas NOR o circuito seguinte:

Transformando os OR em NOR basta negar os OR. Para a funo no se alterar, temos de negar as entradas do AND. Um AND com as entradas negadas um NOR segundo as Leis de Morgan, logo o circuito fica:

6. Extraia as expresses simplificadas dos seguintes mapas de Karnaugh:

a)

Fazemos neste mapa dois grupos de uns: um grupo dos quatro uns dos cantos, pois o mapa esfrico e um grupo de dois uns do meio do mapa.

A expresso do grupo de quatro uns BD porque eles ocupam o espao que no pertence a D e no pertence a B. A expresso do grupo de dois uns CDB pois eles ocupam o espao comum a D, a B e a no C. Sendo assim, a expresso final de F : F =BD +C D B.

b)

Fazemos neste mapa os seguintes grupos: um grupo de quatro uns envolvendo os uns das extremidades direita e esquerda. Outro grupo de dois uns envolvendo os dois uns mais abaixo. Outro grupo de dois uns envolvendo os uns mais acima.

Do grupo de quatro uns tira-se a expressoB, pois eles ocupam o espao deB. Do grupo de dois uns mais acima, tira-se AC, pois eles ocupam o espao que comum a A e aC. Do grupo de dois uns mais abaixo, tira-se CA, pois eles ocupam o espao comum a C e aA. Logo, a expresso de F : F =B +A C + AC.

7. O Conselho de Administrao de uma Empresa formado por quatro pessoas (um Presidente (P) e trs Vogais (V1, V2 e V3)). Na mesa onde eles se renem, existe um interruptor para cada um deles, e uma lmpada. Durante as votaes cada uma das pessoas exerce o seu direito de voto ativando ou no o seu interruptor para votar a favor ou contra. O Presidente tem direito de veto, ou seja, se ele votar contra, a proposta no poder ser aprovada. Se o Presidente votar a favor, a proposta dever ser aprovada por maioria dos quatro votantes. Implemente um circuito que permita acender a lmpada quando a proposta for aprovada. O primeiro passo o desenho da caixa preta. As entradas deste circuito so os interruptores P, V1, V2 e V3. A sada deste circuito a lmpada S.

Depois de bem identificadas, as entradas e as sadas do circuito, vamos desenhar a tabela de verdades para extrairmos a expresso da sada S e a simplificarmos num mapa de Karnaugh.

P 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

V1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

V2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

V3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1

Quando P = 0, a proposta no pode ser aprovada, pois o Presidente votou contra. Nos outros casos, a proposta aprovada quando houver pelo menos trs votos a favor. O mapa da Karnaugh o seguinte:

A expresso da lmpada S resulta da extraco do mapa de Karnaugh: S = P V1 V2 + P V2 V3 + P V1 V3

O circuito lgico da sada S :

8. Numa equipa de atletismo existe a necessidade de seleccionar alguns atletas para uma prova internacional. Devido preparao fsica dos atletas de nomes A, B, C e D, tm de ser respeitadas as seguintes condies: Tm de participar pelo menos dois atletas Se A participar, ento C tambm tem de participar Se A e D participarem, ento no pode participar o C Se B participar, foroso que participe D, mas no pode participar A

Desenhe um circuito que permita acender uma lmpada quando for escolhida uma seleco possvel. Vamos ento desenhar a caixa preta do circuito:

Onde A, B, C e D representam as participaes dos atletas e S representa a sada para a lmpada S.

Passemos ento tabela de verdades da sada S

Entradas A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Sada S 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

Posto isto, vamos passar ao mapa de Karnaugh da sada S:

Do grupo vertical, tira-se B DA. Do grupo horizontal tira-se C DA Do grupo de um um tira-se A CBD Logo a expresso de S : S = A D (B + C) + A CBD

O circuito lgico de S ento: