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Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes) Testes e Sebentas

Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes)

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Exercícios resolvidos de

Álgebra Linear

(Matrizes e Determinantes)

Tes

tes

e Se

ben

tas

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Índice:

1. Matrizes

1.1. Igualdade de matrizes … 3

1.2. Transposta de uma matriz … 3

1.3. Multiplicação por um escalar … 3

1.4. Produto entre matrizes … 4

1.5. Propriedades do produto entre matrizes … 5

1.6. Matrizes invertíveis … 6

1.7. Operações elementares sobre uma matriz … 7

1.8. Forma escalonada de uma matriz … 7

1.9. Algoritmo para a inversão de matrizes … 8

2. Determinantes

2.1. Cálculo de determinates … 9

2.2. Propriedades dos determinantes … 10

2.3. Resolução de sistemas … 10

2.4. Sistemas de Cramer … 12

2.5. Sistemas Homogéneos … 12

2.6. Característica da matriz … 13

2.7. Discussão de sistemas … 14

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1. Matrizes

1.1. Igualdade de matrizes:

Para que valores de e de as matrizes A e B são iguais?

A =

B =

Resolução:

A = B =

1.2. Transposta de uma matriz:

Considere as matrizes A, B e C. Calcule se possível:

1. AT + B

2. ( C – AT )T

A = B = C =

Resolução:

1. AT + B Não é possível porque as matrizes têm ordens diferentes.

Ordem: AT (3 2) B (3 2)

2. ( C – AT )T = CT – A = – =

1.3. Multiplicação por um escalar:

Considere as matrizes A e C. Calcule:

3A – ½ CT

A =

B =

Resolução:

3A – ½ CT = – =

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1.4. Produto entre matrizes:

1. Considere as matrizes A e B. Calcule o produto:

a. AB

b. BA

A =

B = T

Resolução:

a. AB = [1 5 + 0 3 + ( 2) 4] = [ 3]

b. BA = =

2. Calcule todos os produtos possíveis (com 2 factores) com as seguintes

matrizes:

A =

3

B = C =

D = E = I =

Resolução:

CD = =

IB = =

CA = = =

BC = = =

DE = =

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EA = = =

BI = = =

1.5. Propriedades do produto entre matrizes:

1. Simplifique: A(BC – 2CB) + A(2C – B)C + (BA – AB)C

Resolução:

A(BC – 2CB) + A(2C – B)C + (BA – AB)C =

ABC – 2ACB + (2AC – AB)C + BAC – ABC =

ABC – 2ACB + 2ACC – ABC + BAC – ABC =

−2ACB + 2ACC – ABC + BAC

2. Sendo A = e AB = , determine a 1ª e 2ª colunas

de B

Resolução:

=

3. Considere A = e B = ; resolva a seguinte equação

matricial: BA + 5X = A

Resolução:

BA + 5X = A 5X = A – BA X = 1/5(A – BA)

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BA = =

A – BA = – =

X = 1/5(A – BA) = 1/5

4. Dizemos que uma matriz M é simétrica se M’ = M. Supondo que A e B são

matrizes simétricas tais que AB = BA, prove que AB também é simétrica.

Resolução:

Hipótese:

– A é simétrica: AT = A

– B é simétrica BT = B

– AB = BA

Tese: AB é simétrica: (AB)T = AB

(AB)T = BTAT = BA = AB ⇒ AB é simétrica, c.q.d.

1.6. Matrizes Invertíveis

1. Simplifique CTB(AB) –1(C–AT)T

Resolução :

CTB(AB) –1(C–AT)T =

CTBB–1A–1(AT)T(C–1)T =

CTIA–1A(C–1)T =

CTII(C–1)T =

CT(C–1)T =

CT(CT)–1 = I

2. Sejam A e B matrizes invertíveis; resolva as seguintes equações matriciais:

a. AX + A2 = B

b. B–1X–1 = AB2

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Resolução:

a. AX + A2 = B A–1AX = A–1(B+A2) X = A–1B – A–1AA

X = A–1B – A

b. B–1X–1 = AB2 BB–1X–1 = BAB2 (X–1) –1 = (BAB2) –1

X = (B2) –1A–1 X = B–2A–1B–1

3. Determine X tal que:

(X–1 – 3I)T = 2

Resolução:

(X–1 – 3I)T = 2 [(X–1 – 3I)T]T = T

X–1 – 3I = X–1 = + 3

X–1 = + (X–1) –1 = –1

X = –1

1.7. Operações elementares sobre uma matriz :

Efectue operações elementares sobre a matriz A = de modo a

obter uma matriz do “tipo” triangular superior.

Resolução:

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1.8. Forma escalonada de uma matriz:

Calcule a forma escalonada da seguinte matriz:

A =

Resolução:

A =

1.9. Algoritmo para a inversão de matrizes:

Calcule a inversa da matriz A = e da matriz B =

Resolução:

[ A | I ] =

= [ I | A–1 ]

A–1 =

[ B | I ] =

forma

escalonada de A

forma escalonada

reduzida de A

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= [ I | B–1 ]

B–1 = 1/2

2. Determinantes

2.1. Cálculo de determinantes:

1. Calcule os seguintes determinantes:

a) A = b) B =

c) C =

Resolução:

a. = 3×(−2)−4×1 = −6−4 = −10

b. Pela Regra de Sarrus:

= 1×0×6+4×8×3+2×0×(−1)−3×0×2−

(−1)×8×1−6×0×4 = 104

c. det B = 0×C11 + 1×C21 + 0×C31 + 0×C41 = −M21 =

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= − = −(−1×C11 + 0×C21 + 1×C31) =

= C11 – C31 = M11 – M31 = − =

= (0−24) – (3−9) = −24 + 6 = −18

2.2. Propriedades dos determinantes:

Sejam A, B ∈ ℳ3×3 (ℝ) tais que det A = −2 e det B = ¼ Calcule:

1. det (2A) 2. det (A4BT) 3. det (−B) 4. det (5ATB) 5. det (AB–1AT) 6. det (B–1A2B) 7. det [1/2 (B–1)T]

Resolução:

1. det (2A) = 23×det A = 8×det A = 8×(−2) = −16 2. det (A4BT) = det (A4)×det (BT) = det(A4)×det B =

= det A×det A×det A×det A×det B = (det A)4×det B = (−2)4 ×1/4 = = 4 3. det (−B) = −13×det B = − det B = −1/4 4. det (5ATB) = 53×det (ATB) = 53×det(AT)×det B =

= 53×det A×det B = 125×(−2)×(1/4) = −125/2 5. det (AB–1AT) = det A×det (B−1)×det (AT) = det A×(1/det B)×det A =

= −2×4×(−2) = 16 6. det (B–1A2B) = det (B−1)×det (A2)×det (B) =

= (1/det B)×(det A)2×det B = (−2)2 = 4 7. det [1/2 (B–1)T] = (1/2)3×det[(B−1)T] = (1/8)×det (B−1) =

= (1/8)×(1/det B) = ½

2.3. Resolução de sistemas :

Resolve os seguintes sistemas:

1.

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2.

3.

Resolução:

1. ↝

C.S. =

2. ↝

↝ SIST. IMP.

C.S. = ∅

3. ↝

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C.S. =

2.4. Sistemas de Cramer:

Verifique se os seguintes sistemas são de Cramer:

1.

2.

Resolução:

1. A =

det A = 2×(−2)−3×1 = −4−3 = −7 ≠ 0 ⇒ É sistema de Cramer.

2. A =

det A = 1×C11 = M11 = = 2−2 = 0 ⇒ Não é sistema de Cramer.

2.5. Sistemas homogéneos:

Considere o sistema

1. Mostre que (-2, 1, 0) é a solução do sistema dado.

2. Determine o conjunto solução desse sistema.

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Resolução:

1. AX = B onde A = , X = e B =

X1 = AX1 = B

AX1 = × = = = B

2. Pela alínea anterior, X1 =

Sistema homogéneo associado: AX = 0

⟶ SIST. POSS. E INDET. (grau de ind. = 1)

C.S.M =

C.S. = =

2.6. Característica da matriz:

Diga qual a característica das seguintes matrizes:

A =

SIST. IMP.

B =

SIST. POSS. E IND.

C =

SIST. POSS. E DET.

Resolução:

A) car A = 2

Car (A|B) = 3

B) car A = 2

car (A|B)=2

n.º inc. = 3

C) car A = 3

car(A|B) = 3

n.º inc. = 3

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2.7. Discussão de Sistemas:

Discute os sistemas em função dos parâmetros:

1.

2. 3.

1. ↝

Caso 1: se (3−5k)/2 = 0 k = 3/5

car A = 2 car(A|A) = 2 n.º inc. = 3

Se k = 3/5 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−2 = 1)

Caso 2: se (3−5k)/2 ≠ 0 k ≠ 3/5

car A = 3

car (A|B) = 3

n.º inc. = 3

Se k∈ℝ\ então SIST. POSS. E DET.

2. ↝

=

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Caso 1: se a−1 = 0 a = 1 então

= car A = 1 car(A|B) = 1 n.º inc. = 3

Se a = 1 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−1 = 2)

Caso 2: se a−1 ≠ 0 a ≠1 então

Caso 2.1: se 2−a− = 0 a = 1 ∨ a = −2

= car A = 2 car(A|B) = 3

Se a = −2 (a ≠ 1) então SIST. IMP.

Caso 2.2: se 2−a− ≠ 0 a ≠ 1 ⋀ a ≠ −2

car A = 3 car(A|B) = 3 n.º inc. = 3

Se a ≠ 1 e a ≠ −2 então SIST. POSS. E DET.

3. ↝ =

Caso 1: se c = 0 então:

=

Caso 1.1: se 1 + (d/2) = 0 d = −2 então

car A = 2 car(A|B) = 2 n.º inc. = 3

Se c = 0 e d = −2 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3−2 = 1)