Captulo 9EXEMPLOS DIVERSOSAgradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Anlise do IME-UERJ,por ceder, gentilmente estes exerccios.9.1 Limites[1] Determine o valor da constantea R para que existalimx01 + x (1 + a x)x2e calcule olimite.Soluo : Primeiramente racionalizemos a expresso:1 + x (1 + a x)x2=1 + x (1 + a x)x21 + x + (1 + a x)1 + x + (1 + a x)=1 + x (1 + a x)2x2(1 + x + (1 + a x))= x_1 2 a a2xx2(1 + x + (1 + a x))=1 2 ax(1 + x + (1 + a x))a2(1 + x + (1 + a x)).Logo, a condio necessria para que o limite exista que a primeira parcela seja nula, isto ,a =12; ento:limx01 + x (1 + a x)x2=limx014 (1 + x + (1 + a x))= 18.[2] Calcule: limx0_sen(x)xsen(x)xsen(x).Soluo : Primeiramente reescrevamos o expoente da expresso:sen(x)x sen(x)=sen(x)x1 sen(x)x.Fazendo t=1 sen(x)x, temos que1 t=sen(x)x. Por outro lado observamos que sex 0,ento t 0 e:sen(x)x sen(x)=1 tt=1t 1.Logo:limx0_sen(x)xsen(x)xsen(x)= limt0(1 t)1t1= limt0(1 t)1t(1 t)1= e1.363364 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS[3] Calcule: limx4_tg(x)tg(2x).Soluo : Primeiramente reescrevamos o expoente da expresso. Fazendo t = 1tg2(x), temosque tg(x) =1 t etg(2 x) =2 tg(x)1 tg2(x)=21 tt.Por outro lado observamos que se x 4, ento t 0 e:limx4_tg(x)tg(2x)= limt0_1 t21tt= limt0__1 t_2t1t= e2.[4] Determine as constantes k,b R tais quelimx+_k x + b x1000+ 1x999+ 1= 0.Soluo : Primeiramente reescrevamos a expresso:_k x + b x1000+ 1x999+ 1=k x1000+ k x + b x999+ b x10001x999+ 1=x1000(k 1) + b x999+ k x + b 1x999+ 1.Sabemos que limx+P(x)Q(x)=0 se grau(Q)>grau(P). Logo, k 1=0 e b=0, ou seja k=1 eb = 0.[5] Calcule:limx+_x +_x +x x.Soluo : Primeiramente racionalizemos a expresso:_x +_x +x x =__x +_x +x x __x +_x +x +x_x +_x +x +x=x +_x +x x_x +_x +x +x=_x +x_x +_x +x +x=x+xxqx+x+xx+ 1=_1 +_1x1 +_1x+_1x3+ 1.Logo:limx+_x +_x +x x = limx+_1 +_1x1 +_1x+_1x3+ 1=12.9.1. LIMITES 365[6] Determine a funo denida por:f(x) = limn+xn+222n+ x2n; x 0.Soluo : Observe que, se x = 0, ento f(0) = 0; se x = 2 temos:f(2) = limn+2n+222n+ 22n= limn+222n2 2n= 22.Se 0 < x < 2, temos:limn+xn+222n+ x2n= limn+xn+22n_1 +_x2_2n= 0,logo f(x) = 0 se 0 x < 2. Agora estudemos o caso x > 2:limn+xn+222n+ x2n= limn+xn+2xn_1 +_2x_2n= limn+x2_1 +_2x_2n= x2.Ento:f(x) =___0 se 0 x < 222 se x = 2x2se x > 2.[7] Calcule:limx1xn+ xn1+ xn2+ . . . . . . + x2+ x nx 1.Soluo : Dividindo os polinmios:xn+ xn1+ xn2+ . . . . . . + x2+ x n = (x 1) Pn(x),onde Pn(x) = xn1+ 2 xn2+ 3 xn3+ . . . + (n 2) x2+ (n 1) x + n. Logo:limx1xn+ xn1+ xn2+ . . . . . . + x2+ x nx 1=limx1Pn(x) = Pn(1).Por outro lado, Pn(1) = 1 + 2 + 3 + . . . . . . + (n 2) + (n 1) + n =n(n+1)2.[8] Calcule: limx0_cos(x) [[sen(x)]]_, 2 x 2.Soluo : Seja f(x) = cos(x) [[sen(x)]]. Se 2 x < 0, ento 1 sen(x) < 0 e [[sen(x)]] == 1,logof(x) =cos(x) + 1. Se0 x 0, ento:ln_1 + ext_= ln_ext_1 +1ext__= ln_ext_+ ln_1 +1ext_= xt + ln_1 +1ext_ln_1 + et_= ln_et_1 +1et__= ln_et_+ ln_1 +1et_= t + ln_1 +1et_.Logo:limt+ln_1 + ext_ln_1 + et_ = limt+x +ln_1+1ext_t1 +ln_1+1et_t= x.Se x = 0, ento limt+2ln_1 + et_= 0. Reescrevendo a funo:f(x) =_0sex 0x, sex > 0.Ento, f contnua emR.368 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS-3 33Figura 9.3: Grco de f.Determine as constantes tais que as seguintes funes sejam contnuas:[1] f(x) =___mx + 3 sex < 3cos_ x3_se3 x 3nx + 3 sex > 3.Soluo : Se x = 3, ento f(3) = cos() = 1. Por outro lado:limx3f(x) = limx3_mx + 3_= 3 m + 3 e limx3+f(x) = limx3cos_ x3_= 1.Como os limites laterais devem ser iguais, temos que 3 m + 3= 1, isto , m=43.Se x=3,ento f(3) = cos() = 1. Por outro lado:limx3f(x) =limx3cos_ x3_= 1 e limx3+f(x) =limx3_nx + 3_= 3 n + 3.e Como os limites laterais devem ser iguais, temos que 3 n + 3 = 1, isto , n = 43. Logo:f(x) =___4 x3+ 3 sex < 3cos_ x3_se3 x 34 x3+ 3 sex > 3.-3 3-11Figura 9.4: Grco de f.[2] f(x) =___sen(11 x22)3 x6sex < 2m sex = 2x3+5 x232 x+36x33 x2+4sex > 2.9.2. CONTINUIDADE 369Soluo : Primeiramente fatoremos os polinmios:x3+ 5 x232 x + 36x33 x2+ 4=(x 2)2(x + 9)(x 2)2(x + 1).Por outro lado:sen(11 x22)3 x6=sen_11 (x2))3 (x2), fazendo t = x 2, temos que x 2, ento t 0,e:sen(11 x 22)3 x 6=sen_11 (x 2))3 (x 2)=sen_11 t_3 t=113_sen_11 t_11 t.Se x = 2, ento f(2) = m. Logo:limx2f(x) = limx2sen_11 (x 2))3 (x 2)=limt0113_sen_11 t_11 t=113limx2+f(x) = limx2+x3+ 5 x232 x + 36x33 x2+ 4= limx2+x + 9x + 1=113.Ento, m =113e:f(x) =___sen(11 x22)3 x6sex < 2113sex = 2x3+5 x232 x+36x33 x2+4sex > 2.-1 1 2 3 4 5 6-11234Figura 9.5: Grco de f.[3] f(x) =___esen(x)1xsex < 0mcos( x) + n se0 x 3x3+11 x293 x+153x34 x23 x+18sex > 3.Soluo : Primeiramente fatoremos os polinmios:x3+ 11 x293 x + 153x34 x23 x + 18=(x 3)2(x + 17)(x 3)2(x + 2).Se x = 0, ento f(0) = m + n, e:limx0f(x) = limx0esen(x)1x= limx0_esen(x)1sen(x) _sen(x)x= 1,limx0+f(x) = limx0+_mcos( x) + n_= m + n,370 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOSlogo, m + n = 1. Se x = 3, ento f(3) = m + n, e:limx3f(x) = limx3_mcos( x) + n_= m + n,limx3+f(x) = limx3+(x 3)2(x + 17)(x 3)2(x + 2)= limx3+x + 17x + 2= 4,logo, m + n = 4. Ento, temos o sistema:_m + n = 1m + n = 4,que tem solues m = 32 e n =52.f(x) =___esen(x)1xsex < 03 cos( x)2+52se0 x 3x3+11 x293 x+153x34 x23 x+18sex > 3.-2 2 4 61234Figura 9.6: Grco de f.[4] f(x) =___x+(m24)marctg(11 x)sex < 0m1 se x = 0sen(nx)ln(1+100 x)sex > 0.Soluo : Se x = 0, ento f(0) = m1. Logo, necessriamente devemos ter que:limx0f(x) =m24m= f(0) = m1,isto , m = 4. Por outro lado:limx0+f(x) = limx0+_sen(nx)nx _nxln(1 + 100 x)= n limx0+_xln(1 + 100 x)= n limx0+_1ln(1 + 100 x)1x.Como: limx0+ln(1 + 100 x)1x= ln_limx0+(1 + 100 x)1x_= ln(e100) = 100, temos, limx0+f(x) =n100;por outro lado, limx0+f(x) = f(0), temos que n = 300 e:f(x) =___x+124arctg(11 x)sex < 03 se x = 0sen(300 x)ln(1+100 x)sex > 0.9.3. DERIVADA 371-0.1 -0.05 0.05 0.1Figura 9.7: Grco de f.9.3 Derivada[1] Considere a funo f(x) = a+b cos(2 x)+c cos(4 x), onde a,b,c R. Sabendo que f_2_= 1,f(0)=f(0)=f(0)=f(3)(0)=0 e que fpode ser escrita na forma f(x)=senn(x), n N,determine a,b,c e n.Soluo : Primeiramente note que f(0)=a + b + c, f(0)=b + 4 c e f_2_=a b + c; logo,obtemos o sistema:___a + b + c = 0a b + c = 1b + 4 c = 0,cuja soluo a =38, b = 12 e c =18; ento:f(x) =38 cos(2 x)2+cos(4 x)8.Por outro lado, cos(4 x) = 2 cos2(2 x) 1 e cos(2 x) = 1 2 sen2(x), logo:f(x) =38 cos(2 x)2+cos(4 x)8=14 cos(2 x)2+cos2(2 x)4= sen4(x).Ento a =38, b = 12, c =18 e n = 4.[2] Determine a equao da reta tangente e a equao da reta normal curva y= arcsen_x12_no ponto onde a curva intersecta o eixo dos x.Soluo : Determinemos a interseo da curva com o eixo dos x. Se y= 0, temos:arcsen_x 12_= 0 x 12= 0 x = 1.Logo, o nico ponto de interseo (1, 0). Por outro lado, os coecientes angulares da retatangente e da reta normal curva so, respectivamente:m1= y=13 + 2 x x2 m1(1) =12m2= 1y= _3 + 2 x x2 m2(1) = 2.372 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOSLogo, as equaes da reta tangente e da reta normal so, respectivamente:y=12 (x 1) x 2 y= 1y= 2 (x 1) 2 x + y= 2.[3] Determine a equao da reta normal curva y= xln(x), que paralela reta 2 x2 y+3 = 0.Soluo : Primeiramente, calculemos os coecientes angulares que precisamos. O coecienteangular da reta 2 x 2 y + 3 = 0 m1= 1. O coeciente angular da reta normal curva :m2= 1y= 11 + ln(x).Como as retas so paralelas, temos que m1= m2, isto :11 + ln(x)= 1 ln(x) = 2 x0= e2;logo, temos que y0=e2ln(e2)= 2 e2. A equao da reta normal curva que passa peloponto (e2, 2 e2) :y + 2 e2= x e2 y x = 3 e2.0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5-0.4-0.20.20.40.6Figura 9.8: A reta y x = 3 e2.[4] Determine os parmetros a, b e c R tais que a parbola y= a x2+ b x + c tangencie a retay= x no ponto de abscissa 1 e passe pelo ponto (1, 0).Soluo: Como o ponto(1, 0) deve pertencer parbola, substituindo na equao,temosque:(1) a b + c = 0.Como a parbola deve tangenciar a reta y= x no ponto de abscissa 1, temos que se y= 1, entox = 1. Isto , o ponto (1, 1) comum reta e parbola; substituindo na equao, temos que:(2) a + b + c = 1.O coeciente angular da reta m1=1 e o coeciente angular da reta tangente parbola m2= y= 2 a x + b, logo m2(1) = 2 a + b. Como m1= m2:(3) 2 a + b = 1.9.3. DERIVADA 373Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:___a b + c = 0a + b + c = 12 a + b = 1,cuja soluo : a = c =14 e b =12.112Figura 9.9: Exemplo [4].[5] A forma de uma colina numa rea de preservao ambiental, pode ser descrita pela equaoy= x2+ 17 x 66, sendo 6 x 11. Um caador, munido de um rie est localizado noponto (2, 0). A partir de que ponto da colina, a fauna estar 100% segura?Soluo : Denotemos por P0=(x0, y0) o ponto alm do qual a fauna no pode ser vista pelocaador, situado no ponto (2, 0).A fauna estar a salvo, alm do ponto P0 onde a reta que liga(2, 0) colina seja tangente mesma.2Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.Observe que y= 2 x + 17 o coeciente angular de qualquer reta tangente parbola; logo,no ponto P0, temos y= 2 x0 + 17 e a equao da reta tangente :y y0= (2 x0 + 17) (x x0).Como a reta passa por (2, 0), temos:(1) y0= (2 x0 + 17) (2 x0).O ponto P0 tambm pertence parbola; ento:(2) y0= x20 + 17 x066.374 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOSIgualando (1) e (2):x204 x032 = (x08) (x0 + 4) = 0 x0= 8 e y0= 6.Ento, P0= (8, 6) e a fauna estar a salvo a partir de x > 8.[6] A reta tangente curva y= x4+ 2 x2+ x no ponto (1, 2) tambm tangente curva emum outro ponto. Ache este ponto.Soluo: O coeciente angular da reta tangente curva y= 4 x3+ 4 x + 1, como(1, 2) um ponto comum reta e a curva, temos y(1)=1. A equao da reta tangente que passapelo ponto (1, 2) : y=x + 1. Para determinar os pontos comuns curva e reta tangente,resolvemos o sistema:_y = x4+ 2 x2+ xy = x + 1,obtendo x42 x2+ 1 = (x21)2= 0 e x = 1. O ponto procurado (1, 0).-1 12Figura 9.11: Exemplo [6][7] O ponto P= (6, 9) pertence parbola x2= 4 y. Determine todos os pontos Q da parbolatais que a normal em Q passe por PSoluo : Um ponto arbitrrio da parbola Q =_a,a24_e o coeciente angular da reta normal curva : m1= 1y= 2x. A equao da reta normal curva no ponto Q :y a24= 2a (x a).Mas a normal passa pelo ponto (6, 9), logo:9 a24= 2a (6 a) a328 a 48 = (a 6) (a + 2) (a + 4) = 0.Os pontos procurados so Q1= (4, 4), Q2= (2, 1) e Q3= (6, 9).9.3. DERIVADA 375-4 -2 6149Figura 9.12: Exemplo[7].[8] Nos pontos de interseo da reta x y + 1=0 com a curva y=x2 4 x + 5, traam-se asnormais curva. Calcule a rea do tringulo formado pelas normais e pela corda que subtendeos referidos pontos de interseo.Soluo : Determinemos os pontos de interseco da reta x y + 1 = 0 com a curva:_y = x24 x + 5y = x + 1.Obtemos x25 x+4 = (x1) (x4) = 0; ento x = 1 e x = 4; logo temos os pontos P1= (1, 2)e P2= (4, 5). Por outro lado, os coecientes angulares das normais so dados por:m = 1y= 12 x 4;m(1) =12 e m(4) = 14. As equaes das normais em P1 e P2, so respectivamente:2 y x = 3,4 y + x = 24.Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de interseco das retas normais:_2 y = x + 34 y = x + 24;obtemos y=92 e x = 6. Seja P3=_6,92_. A rea do tringulo de vrtices P1, P2 e P3 dada porA = |D|2, onde:D =1 1 11 4 62 5 9/2= 152 A =154u.a.376 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS1 4 6246Figura 9.13: Exemplo [8].[9] Esboce o grco da curva y2= x2(x + 3).Soluo : Primeiramente observamos que se mudamos y por y, a equao da curva no muda;logo a curva simtrica em relao ao eixo dos x. Por outro lado, y= f(x) = xx + 3, logoDom(f)=[3, +). Sex= 3, entoy=0 e sey=0, ento x=0 oux= 3. A curvaintersecta os eixos coordenados nos pontos (0, 0) e(3, 0). Determinemos os pontos crticos,derivando y= f(x) e igualando a zero:y=3 (x + 2)2x + 3= 0 x = 2.Note quey(3) no existe ef contnua em x= 3; comoDom(f)=[3, +), no pontox = 3 a reta tangente curva vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinalde y ao redor do ponto x = 2:y> 0 x > 2y< 0 x < 2,logo,x= 2 ponto de mnimo local ey= 2. Pela simetria em relao ao eixo dosx, seconsideramosy= xx + 3,o ponto(2, 2) de mximo. A curva no possui pontos deinexo ou assntotas.-3 -2 -1 1 2-2-112Figura 9.14: Exemplo [9].[10] Dada uma circunferncia de raio r, determine o comprimento de uma corda tal que a somadesse comprimento com a distncia da corda ao centro da circunferncia seja mxima?Soluo :9.3. DERIVADA 377yyrxFigura 9.15: Exemplo [9].Com as notaes do desenho, x2+ y2=r2; ento y=r2x2. O comprimento da corda C= 2 y; logo C= 2r2x2. Logo, a funo que devemos maximizar : f(x) = x+2r2x2.Derivando e igualando a zero:f(x) = 1 2 xr2x2= 0 2 x =_r2x2 5 x2= r2 x =r5.Derivando novamente:f(x) =2 r2(r2x2)3/2 f_r5_= 554 r< 0.Logo,r5 ponto de mximo e f_r5_=5 r.[11]Determineocilindrocircularretodevolumemximoquepodeserinscritonumconecircular reto.Soluo :B E CDAxyFigura 9.16: Seo bidimensional do problema.Com as notaes do desenho, sejam r e h o raio e a altura do cone, respectivamente; x e y o raioa altura do cilindro. Por outro lado, o ABC semelhante ao DEC; temos:ABDE=BCEChy=rr x y=hr(r x) (1).O volume do cilindro V= x2y; logo, de (1) temos que a funo a maximizar :V (x) = hr(r x2x3).378 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOSDerivando e igualando a zero:V(x) = hr(2 r 3 x) x = 0 x = 0 ou x =2 r3.como x = 0, o nico ponto crtico x =2 r3 . Estudemos o sinal de 2 r 3 x:2 r 3 x > 0 0 < x 2 r3.Ento x=2 r3 ponto de mximo. Logo, o cilindro de volume mximo inscrito num cone temraio da base igual a 2/3 do raio da base do cone e altura igual a 1/3 da altura do cone.[12] Determine o trapzio de permetro mximo que pode ser inscrito num semi-crculo de raior.Soluo :BC DAn2ryxhFigura 9.17:O tringulo ADB retngulo pois inscrito num semi-crculo; note que y=2 r 2 n. Sabe-mos que num tringulo retngulo, cada cateto a mdia geomtrica entre a hipotenusa e suaprojeo sobre a hipotenusa; logo:x2= 2 r n n =x22 re y= 2 r 2 n = 2 r x2r.Ento, o permetro P, :P(x) = 2 x + 2 r x2r+ 2 r P(x) = 4 r + 2 x x2r.Derivando e igualando a zero:P(x) = 2 xr+ 2 = 0 x = r.Derivando novamente:P(x) = 2r P(r) < 0.Logo, P= 5 r. O trapzio de permetro mximo que pode ser inscrito num semi-crculo de raior tem base maior igual a 2 r, base menor igual a r e lados no paralelos iguais a r.9.4. INTEGRAO 3799.4 Integrao[1] CalculeI =_ln_tg(x)_sen(x) cos(x) dx.Soluo : Fazendo : u = ln_tg(x)_ du =sec2(x)tg(x)dx du =dxsen(x) cos(x). Ento:I =_udu =u22+ c =ln2_tg(x)_2+ c.[2] CalculeI =_sen(x) cos(x)1 + sen4(x)dx.Soluo : Fazendo : t = sen(x) dt = cos(x) dx. Ento:I =_t1 + t4dt =_t1 +_t2_2dt =arctg(t2)2+ c =arctg_sen2(x)_2+ c.[3] CalculeI =_x_1 + x2+_(1 + x2)3dx.Soluo : Note que 1 + x2+_(1 + x2)3= 1 + x2+ (1 + x2)1 + x2= (1 + x2) (1 +1 + x2),ento;_1 + x2+_(1 + x2)3=_1 + x2_1 +_1 + x2.Agora, fazendo:u = 1 +_1 + x2 du =x1 + x2dx;logo,I =_duu= 2u + c = 2_1 +_1 + x2+ c.[4] CalculeI =_xarctg(x) ln(x2+ 1) dx.Soluo : Integramos por partes:u = ln(x2+ 1) du =2 x1 + x2dxdv= xarctg(x) dx v=_xarctg(x) dx.Denotemos porI1=_xarctg(x) dx. Para achar v, novamente integramos por partes:u = arctg(x) du =dx1 + x2dv= xdx v =x22.Logo:I1=x2arctg(x)212_x21 + x2dx =x2arctg(x)212_ _1 11 + x2_dx=x2arctg(x)212_x arctg(x)=(x2+ 1) arctg(x)2x2.380 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOSVoltando aI: v du =xx2+1_(x2+ 1) arctg(x) x= xarctg(x) x2x2+1 e:_v du =I1 + arctg(x) x,Ento:I = uv _v du =12_(1 + x2) arctg(x) x _ln(x2+ 1) 1arctg(x) + x + c.[5] CalculeI =_0xsen(x)1 + cos2(x) dx.Soluo : Fazendo x = t, dx = dt; se x = 0, ento t = e se x = , ento t = 0. Por ourolado:xsen(x)1 + cos2(x)=( t)sen( t)1 + cos2( t)=( t)sen(t)1 + cos2(t).Logo:I = _0( t) sen(t)1 + cos2(t)dt =_0 sen(t)1 + cos2(t) dt I 2 I =_0 sen(x)1 + cos2(x) dx.Observe que a integral denida no depende da varivel de integrao. Fazendo u=cos(x),ento du = sen(x) dx e:2 I = _11du1 + u2= _11du1 + u2= _arctg(1) arctg(1)=22.LogoI =24 .[6] Verique que:_10(1 x2)ndx =22n_n!_2_2 n + 1)!,n N.Soluo : Fazendo x = sen(t), dx = cos(t) dt; se x = 0, ento t = 0 e se x = 1, ento t =2. Poroutro lado, (1 x2)ndx =_1 sen2(t)_ncos(t) dt = cos2n+1(t) dt, ento:In=_10(1 x2)ndx =_/20cos2n+1(t) dt;integrando por partes:In= cos2n(t) sen(t)/20+ 2 n_/20cos2n1(t) sen2(t) dt= 2 n_/20cos2n1(t) dt 2 n_/20cos2n(t) dt= 2 n_/20cos2n1(t) dt 2 nIn,isto In=2 n2 n + 1In1, comoI0=_/20cos(t) dt = 1, logo:9.4. INTEGRAO 381I1=23I0=23=1 21 3I2=45I1=1 2 41 3 5I3=67I2=1 2 4 61 3 5 7I4=89I3=1 2 4 6 81 3 5 7 9...In=1 2 4 6 . . . (2 n 2) 2 n1 3 5 7 . . . (2 n 1) (2 n + 1)(1).Multipliquemos (1) por1 2 4 6 . . . (2 n 2) 2 n1 2 4 6 . . . (2 n 2) 2 n, ento:In=_(1 2) (2 2) (2 3) (2 4) . . . 2 (n 1) 2 n_21 2 3 4 5 . . . (2 n 2) 2 n(2 n + 1)=22n_1 2 3 4 5 . . . (n 1) n_2_2 n + 1_!=22n_n!_2_2 n + 1)!.[7] Determine a rea da regio limitada pelas curvas x2= 2 p y e x2y= p2(p y), onde p N.Soluo: Se mudamosx por x, as equaes no mudam, logo as curvas so simtricas emrelao ao eixo dos y. Determinemos as intersees das curvas com os eixos coordenados. Sex=0, ento y=0 e p2(p y)=0; se y=0, ento x=0; logo os pontos (0, 0) e (0, p) so ospontos de interseo das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo y=x22 pey=p3x2+p2,determinamos a interseo das curvas, resolvendo o sistema:_y =x22 py =p3x2+p2,donde, x4+ p2x2 2 p4=0; fazendo u=x2temos u2+ p2u 2 p4=0 e x= p. Note quex = 0 o nico ponto crtico de ambas as curvas; para a parbola um ponto de mnimo e paraa outra curva um ponto de mximo.Figura 9.18: Regio do exemplo [7].382 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOSPela simetria da regio, calculamos a rea no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor 2:A = 2_p0_p3x2+ p2 x22 p_dx = p2_2 13u.a.[8] Determine a rea da regio limitada pela curva x6x4+ y2= 0 e pelos eixos coordenados.Soluo: Se mudamosx por x eypor y, a equao no muda, logo a curva simtricaem relao ao eixo dos x e dos y. Determinemos os pontos de interseo da curva com os eixoscoordenados. Se x = 0, ento y= 0 e se y= 0, ento x4(x21) = 0; logo os pontos (0, 0), (1, 0)e (1, 0) so os pontos de interseo da curva com os eixos. Consideramos y= x21 x2; logox [1, 1]. No difcil ver que emx=0 a curva possui um ponto de mnimo local e quex = 63so pontos de mximo local.-1 10.4-1 10.4Figura 9.19: Regio do exemplo [8].Pela simetria da regio, calculamos a rea no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor 2.A = 2_10x2_1 x2dx.Fazendo x = sen(t), ento dx = cos(t) dt e x21 x2dx = sen2(t) cos2(t) dt; ento:A = 2_/20sen2(t) cos2(t) dt =12_/20_2 sen(t) cos(t)_2dt=12_/20sen2(2 t) dt =14_/20_1 cos(4 t)_dt=8u.a.[9] Determine a rea da regio limitada pelas curvas9 y x2 81=0, 4 y x2 16=0,y x21 = 0 e o eixo dos y.Soluo : Determinemos as intersees das curvas:(1)_9 y x2= 814 y x2= 16(2)_9 y x2= 81y x2= 1(3)_4 y x2= 16y x2= 1De (1) obtemos y= 13, logo x=6; de (2) obtemos y=10, logo x= 3 e de (3) obtemos y= 5,logo x = 2.9.4. INTEGRAO 3831 2 3 4 5 6459101 2 3 4 5 645910Figura 9.20: Regio do exemplo [9].Logo:A = 2_54_y 4 dy +_105_y 1 dy 9_109_y 9 dy= 20 u.a.[10] Determine o volume da calota esfrica de altura h se a esfera tem raio R.hRFigura 9.21: Regio do exemplo [10].Soluo: Fazendo uma rotao da esfera se for necessrio, consideramosy=R2x2e aseguinte regio:RR-hFigura 9.22:384 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOSLogo:V= _RRh__R2x2_2dx = _RRh_R2x2_dx = _R2x x33RRh= h2(3 R h)3u.v.Em particular, se h = R, ento V=2 R33 o volume da semi-esfera de raio R; se h = 2 R entoV=4 R33 o volume da esfera de raio R.[11]Calculeovolumedoslidode revoluogerado pela rotaodaregiolimitadapelascurvas y= e2x1, y= ex+ 1 e o eixo dos x, em torno do eixo dos x.Soluo : Determinemos os pontos de interseo das curvas:_y = e2x1y = ex+ 1 e2xex2 = 0 ex= 2 x = ln(2).-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2123-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2123Figura 9.23: Regio do exemplo [11].Logo:V= _0ln(2)__ex+ 1_2_e2x1_2_dx = _0ln(2)_e4x+ 3 e2x+ 2 exdx=11 4u.v.[12] Calcule o comprimento de arco da curvas 5 y3= x2situado dentro do crculo x2+ y2= 6.Soluo : Determinemos os pontos de inteseo das curvas:_5 y3= x2x2+ y2= 6 5 y3+ y26 = (y 1) (5 y2+ 6 y + 6) = 0 y= 1.9.4. INTEGRAO 385-1 -2 1 2-1-212Figura 9.24: Regio do exemplo [12].Pela simetria da curva, consideremos x =5 y3/2, derivando x=352y1/2; ento:L = 2_10_1 +45 y4dy.Fazendo u = 1 +45 y4, obtemos:L =845_1+45/41u du =13427u.c.[13] Calcule a rea da regio determinada por y2=x32 ax e sua assntota, a = 0.Soluo : Se mudamos y por y, a equao no muda, logo a curva simtrica em relao aoeixo dos x. Note que a curva intersecta os eixos na origem.Figura 9.25: Regio do exemplo [13].A equao da assntota x = 2 a; ento consideramos y=_x32 ax e:A = 2_2a0_x32 a x dx = 2 lim2a_0_x32 a x dx.Fazendo x = 2 a sen2(t), temos que dx = 4 a sen(t) cos(t) dt. Por outro lado:_x32 a x dx =xx2 a xdx = 8 a2sen4(t) dt.386 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOSTemos, x = 0 t = 0 e x = sen2(t) =2 a; se 2 a t =2. Ento:2_0_x32 a x dx =a22_sen(4 t) 8 sen(2 t) + 12 t0=a22_sen(4 ) 8 sen(2 ) + 12 .Logo: A = lim/2a22_sen(4 ) 8 sen(2 ) + 12 = 3 a2 u.a.[14] Calcule a rea da regio limitada pela curva y=1x2(x + 1), x 1 e o eixo dos x.Soluo : Devemos calcular a rea da regio ilimitada:Figura 9.26: Regio do exemplo [14].Logo:A =_+1dxx2(x + 1)= limb+_b1dxx2(x + 1)= limb+_b1_1x+1x2+1x + 1_dx = limb+_ln(b) 1b+ 1 + ln(b + 1) ln(2)= limb+_ln_b + 1b_1b+ 1 ln(2)= limb+_ln_1 +1b_1b+ 1 ln(2)=_1 ln(2)_u.a.