Cbservando os elemenLos do Lrlnaulo ao lado vemos que as leLras represenLam os seaulnLes elemenLos LalLura x evas pro[eces dos caLeLosAaora vamos procurar nas relaces orlalnals qual a que envolve esses elemenLos vemos enLo que e h2 m n porLanLo e s subsLlLulr as leLras t2 x y Lembra que ns vlmos quem + n 16? LnLo subsLlLulndo m 4 Leremos 4 + n 16 n 16 4n 12 xkclclO5 u M41M41lc4 k5OLvluO5 P465 21 e 22 LIVk 4 cONOul514 u4 M41M41lc4 1 Lscreva Lodas as relaces meLrlcas que voc pode formar com as medldas lndlcadas no Lrlnaulo reLnaulo A8C da flaura abalxo 2 Cual a relaco meLrlca que voc pode formar envolvendo as medldas x e y lndlcadas no Lrlnaulo reLnaulo abalxo? eLermlne as medldas e lndlcadas no Lrlnaulo reLnaulo rlmelramenLe vamos ldenLlflcar os elemenLos do Lrlnaulo hlpoLenusa ( x ) caLeLos ( y e t ) alLura ( p ) pro[eces dos caLeLos ( r e s ) Aaora vamos assoclar esses elemenLos com as frmulas conhecldas vamos fazer lsso usando duas colunas na coluna da esquerda esLo as frmulas orlalnals e na coluna da dlrelLa as frmulas com as leLras da flaura da quesLo a2 b2 + c2x2 v2 + z2 b2 a mv2 x r c2 a n z2 x s h2 m n z2 r s b c a hv z x p C searedo para resolver esse Llpo de quesLo e Ler sempre em menLe as relaces orlalnals Lm seaulda assoclar os elemenLos dados na quesLo com as relaces no Lrlnaulo A8C da flaura ao lado verlflcamos poeso 1 Lambem podemos dlzer que + 1 C caLeLo

mede 8 e a pro[eco dessecaLeLo sobre a hlpoLenusa e 82 16 m 64 16 m 16 m 64 m

4 LxlsLe uma relaco que envolve caLeLo pro[eco e hlpoLenusa b2 a m SubsLlLulndo os elemenLos do Lrlnaulo nessa frmula Leremos 4 Asslm m + 48 34 m 34 48 m 6 Aaora eu posso usar a relaco h2 m n onde m 6 e n 48 h2 6 48

h2 288h V88

4 no Lrlnaulo reLnaulo deLermlne as medldaselndlcadas 3 eLermlne as medldas o e lndlcadas no Lrlnaulo reLnaulo abalxo 6 As medldas lndlcadas no Lrlnaulo reLnaulo A8C so Lomadas em mlllmeLros eLermlne as medlas o e c lndlcadas As medldaseso respecLlvamenLe caLeLo e alLura a hlpoLenusa mede 34 e a pro[eco do ouLro caLeLo mede 48 novamenLe Lemos que recorrer s frmulas orlalnals (ve[a no exerclclo 1) Mas observamos que no h nenhuma relaco que envolva ao mesmo Lempo os dols elemenLos que buscamos Mas ve[a que se a hlpoLenusa Loda mede 34 e uma parLe dela mede 48 a ouLra parLe mede a dlferenca enLre 34 e 48 vamos chamar essa parLe de Aaora ns preclsamos faLorar o 288h V2 .2 . .2Slmpllflcamosh 2 2Vos expoenLes 12V2com o lndlce

2882 1442 722 62182 9 1 288 22 22 2 2 ns preclsamos aaora calcula o valo de ou se[a de um dos caLeLos volLando s relaces orlalnals observamos que o caLeLoesL presenLe em Lrs ralaces(b2 a n a2 b2 + c2 b c a h) essas Lrs a que melhor nos serve e a prlmelrab2 a m pols eu Lenho a medlda da hlpoLenusa f 54 e a medlda da pro[eco do caLeLo sobre a hlpoLenusa 6 8asLa subsLlLulr os valores b2 a mb2 34 6b2 24bV2 Se voc no lembrar a ralz quadra exaLa de 24 basLa faLor o 24 bV2. 2. 22 Slmpllflcamosb2 os expoenLes 18 com os lndlces 242 1622 81 279 1 24 22 2 2 Cs elemenLos que esLo envolvldos no problema so hlpoLenusa (a) alLura (h) e as pro[eces n e 9 A relaco h2 m n envolve a alLura e as pro[eces esses Lrs elemenLos ns Lemos dols h e 9 8asLa enLo subsLlLulr os valores132 9n223 9n n 2259 n 25 Aaora flcou fcll calcular a hlpoLenusa o basLa somar os valores a m + na 9 + 23 f 34

A hlpoLenusa o[ fol dada no problema basLa somar as medldas das pro[eces e a m+ n a 6 + 64 f 100

A relaco h2 m n h2 6 64 h V .2 h 6 8 48

Aqul ns podemos mulLlpllcar os dols faLores ( 6 64 24) e depols exLralr a ralz quadrada de 24 ou podemos exLralr a ralz quadrada de cada um dos faLores separadamenLe

Aaora vamos usar as relaces que envolvem os caLeLos as suas pro[eces sobre a hlpoLenusa e a hlpoLenusa b2 a mc2 a n b2 1 64c2 1 6 b V . c V . b 1 8c 1 6 80 c 60

Aaora que conhecemos as medlas dos Lrs lados do Lrlnaulo podemos usar a relaco nf 7 24 23 h 168 23h h

25 62 c

h a b c h f 20 b 1 c n 15m 3 vamos usar o modelo ao lado para vlsuallzarmos as medldas Se Lemos a medlda de um caLeLo e a medlda de sua pro[eco sobre a hlpoLenusa podemos usar a relacob2 a m

b2 a m12 a 3 1 3aa

5 f 20 c

odemos faLora o ou slmplesmenLe subsLlLullo por 1 e exLralr a ralz quadrada do 1

h2 m n h2 13 3 h2 73 h Vh V . 5V3

Lembra da faLoraco? ols e aqul ns faLoramos o 73

Amlaos esse exerclclo Lraz uma lnformaco nova a respelLo de lnscrlco de pollaonos A esse respelLo lel a noLa de roda pe

ols bem se o enunclado dlz que o ralo mede 8 cm o dlmeLro

mede 16 cmLnLo ve[a que no Lrlnaulo reLnaulo A8C ns Lemos o caLeLo

que mede x" a sua pro[eco sobre a hlpoLenusa

que mede 9 cm e a hlpoLenusa

que mede16 cm 8 cm8 cm16 cm9 cmAaora e s lembrar a relaco que envolve caLeLo pro[eco e hlpoLenusa ( ex 1 lembra?) L fundamenLal Ler essas relaces em menLeA relaco ec2 a n 8asLa subsLlLulr os valores x2 16 9x V . 9 x 4 x 12 cAqul voc pode mulLlpllcar os dols faLores que d 144 e depols exLralr a ralz quadrada ou exLralr a ralz do 16 e do 9 separadamenLe

7 Lm um Lrlnaulo reLnaulo os caLeLos medem 7 cm e 24 cm eLermlne a medlda da a) PlpoLenusa b) AlLura relaLlva hlpoLenusa 8 L um Lrlnaulo reLnaulo um caLeLo mede 1 cm e sua pro[eco sobre a hlpoLenusa mede 3 cm nessas condlces deLermlne a medlda a) a hlpoLenusa b) o ouLro caLeLo c) a alLura relaLlva hlpoLenusa 9 1odo Lrlnaulo lnscrlLo em uma semlclrcunferncla e reLnaulo na flaura ao lado uma corda

e pro[eLada orLoaonalmenLe sobre o dlmeLro

deLermlnando um seamenLo

que mede 9 cm Se o ralo da clrcunferncla mede 8 cm calcule a medldada corda

1

1 um pollaono e conslderado lnscrlLo em ouLro quando Lodos os seus verLlces so ponLos do ouLro pollaono So fornecldas duas medldas os caLeLos 7cm e 24cm LnLo vamos usar o 1eorema de lLaoras que envolve as medldas dos Lrs lados de um Lrlnaulo

a2 b2 + c2 a2 72 + 242 a2 49 + 376a2 623 a Vf 25 c

Conhecldos o e podemos usar o 1eorema de lLaoraspara calcular a medlda do caLe c a2 b2 + c2 22 12 + c2 4 1 + c2 c2 4 1 c2 c Vc V . c 10V3 cC ulLlmo passo e calcular a alLura relaLlva hlpoLenusa ( h ) vamos calcular o valor do e subsLlLulr na relaco h2 m n

novamenLe o problema Lraz um Lrlnaulo reLnaulo 48c lnscrlLo em uma semlclrcunferncla ns preclsamos ldenLlflcar os elemenLos desse LrlnauloA hlpoLenusa e

que esL separada em dols seamenLos H

que mede 4 cm e H

que mede 9 cmLoao a hlpoLenusa mede 4 + 9 1 cm Lsses dols seamenLos so as pro[eces dos caLeLos H

e a pro[eco do caLeLo

e H

ea pro[eco do caLeLo

4 cm

9 cm

C problema pede para calcular as medldas x da alLura e y e t dos caLeLos Cra exlsLe uma relaco que envolve a alLura e as pro[eces dos caLeLos ( h2 m n )

ara calcular as medldas dos caLeLos ( v e z)vamos usar as relaces que envolvem o caLeLo sua pro[eco sobre a hlpoLenusa e a hlpoLenusa Lembrase da quesLo anLerlor?( b2 a m )

SubsLlLulndo os valores v2 4 1 v V . y 2V13 c

z2 9 1 v V9 . 3V13 c

Aqul ns exLralmos as ralzes somenLe do 4 e do 9 porque o 1 no Lem ralz exaLa e no pode ser faLorado pols e prlmo

Ao lado Lemos uma represenLaco arflca do problema para melhor compreenso (Cbs as dlsLnclas orlalnals no correspondem aos valores do problema so apenas llusLraLlvas)

LsLrada a ser consLrulda

8 C n nossa Larefa e calcula a medlda do seamenLoH

que represenLa a esLrada a ser consLrulda Lsse seamenLo represenLa a alLura relaLlva hlpoLenusa Lembrando das relaces vemos que a alLura esL presenLe nas seaulnLesb c a h h2 m n lnfellzmenLe eu no posso usar nenhuma das duas dlreLamenLe porque falLam elemenLos na prlmelra ns Lemos o (hlpoLenusa 1)(um caLeLo8) mas no Lemos c o ouLro caLeLo na seaunda relaco ns no Lemos as medldas de nenhuma das pro[ecesnesLe caso ns preclsamos usar ouLra relaco que me permlLa calcular um dos elemenLos que falLam Como na prlmelra relaco s falLa um elemenLo (c) e mals fcll calcular Cra se Lemos duas medldas (o e ) usamos o 1eorema de lLaoras para calcular a Lercelra medlda (c)a2 b2 + c2 12 82 + c2 1 64 + c2 c2 1 64c2 6 c V c 60 Aaora subsLlLulmos na relaco b c a h 8 6 1 h48 1 h h

48 k 1 or um ponLo 4 de uma clrcunferncla Lracase o seamenLo H

perpendlcular a um dlmeLro

conforme a flaura abalxo Se o ponLodeLermlna no dlmeLro seamenLos de 4 cm e 9 cm deLermlne a medlda x do seamenLo H

a medlda y da corda

e a medla t da corda

2 11 Lm um mapa as cldades 4 8 e c so os verLlces de um Lrlnaulo reLnaulo e o naulo reLo esL em 4 A esLrada

Lem 8 km e a esLrada

Lem 1 km um rlo lmpede a consLruco de uma esLrada que llaue dlreLamenLe a cldade 4 com a cldade c or esse moLlvo pro[eLouse uma esLrada salndo da cldade 4 e perpendlcular esLrada

para que ele se[a a mals curLa posslvel Cual ser o comprlmenLo da esLrada que ser consLrulda?

2 numero prlmo e o numero que apresenLa apenas dols dlvlsores o 1 e ele mesmo SubsLlLulndo as medldas nessa relaco ( h2 m n ) Lemos x2 4 9 x2 6x V x 6 c

80k 100k k|o |f|nr|o 8 C 64 cm 6 cm 13 cm n 16 cm x 12 Lm um reLnaulo a perpendlcular Lracada de um verLlce sobre uma dlaaonal deLermlna sobre essa dlaaonal seamenLos de 64 cm e 6 cm Calcule o perlmeLro desse reLnaulo 1 no Lrlnaulo reLnaulo a flaura o caLeLo

mede 13 cm e o seamenLo H

mede 16 cm eLermlne a medlda x da hlpoLenusa do Lrlnaulo 8C

Cbserve o Lrlnaulo reLnaulo 8C Cs caLeLos ()

e (c)

correspondem aos lados do reLnaulo a hlpoLenusa (f)

uma dlaaonal do reLnaulo que mede 64 + 6 1 e as medldas 64 e 6 so as pro[eces dos caLeLos Cual relaco suaere a voc caLeLo hlpoLenusa e pro[eco? ! usamos anLerlormenLe Lalco que e b2 a m S nos resLa subsLlLulr os valores b2 1 64b2 64 b V 80 c 80 c c2 1 6c2 6 c V c 60 c 60 c Aaora que Lemos as medldas dos lados do reLnaulo basLa somalas para calcular o perlmeLro sollclLado 2p 82 + 62 2p 16 + 12 2p 280 c 2p e o slmbolo de perlmeLro nesLe caso ns vamos preclsar usar um arLlflclo de Lrabalhar com duas relaces slmulLaneamenLea2 b2 + c2 a2 132 + c2 vamos dar um para nesLe ponLo e conLlnuar com ouLra relaco c2 a n c2 16a (vamos subsLlLulr o valor de c2 na prlmelra equaco) a2 132 + 16a a2 223 + 6a a2 16a 223 equaco do 2 arauusar a frmula de 8haskara .(-)2-()(-). V +9 V x +32x 52 x cm A ouLra soluco e neaaLlva porLanLo no preclsamos calculla