Exercícios Resolvidos-halliday 2

LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Agosto de 2003, a`s 10:14 a.m.

Exerccios Resolvidos de Dinamica ClassicaJason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fsica teorica,

Doutor em Fsica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fsica

Materia para a QUARTA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livroFundamentos de Fsica, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conteudo14 Captulo 14 - OSCILAC OES 2

14.1 QUESTION ARIO . . . . . . . . . . . . 214.2 EXERCICIOS E PROBLEMAS . . . . 214.3 PROBLEMAS ADICIONAIS . . . . . 8

Comentarios/Sugestoes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br(listam3.tex)

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 1


14 Captulo 14 - OSCILAC OES

14.1 QUESTION ARIO

2. Quando a massa e suspensa de uma determina-da mola A e a massa menor e suspensa da molaB, as molas sao distendidas da mesma distancia. Seos sistemas forem colocados em movimento harmonicosimples vertical com a mesma amplitude, qual deles teramais energia?

Da equacao de equilbrio para um corpo suspenso deuma mola, , concluimos que . Aenergia do oscilador e , portanto .

4. Suponhamos que um sistema consiste em um blocode massa desconhecida e uma mola de constante tam-bem desconhecida. Mostre como podemos prever operodo de oscilacao deste sistema bloco-mola simples-mente medindo a extensao da mola produzida, quandopenduramos o bloco nela.

No equilbrio temos . O perodo dooscilador e "!$# %

, onde a razao desconhecida %

pode ser substituda pela razao &(')

.

5. Qualquer mola real tem massa. Se esta massa forlevada em conta, explique qualitativamente como istoafetara o perodo de oscilacao do sistema mola-massa.

7. Que alteracoes voce pode fazer num osciladorharmonico para dobrar a velocidade maxima da mas-sa oscilante?

A velocidade maxima do oscilador e *%

,+.-

%

.

As possibilidades de duplicar essa velocidade seriam (i)duplicando a amplitude -

%

, (ii) trocar a mola de cons-tante por outra de constante / , (iii) trocar a massa por outra massa 0 / . Claro, ha inumeras possibilidadesde alterar e tal que +213 "+ .

10. Tente prever com argumentos qualitativos se operodo de um pendulo ira aumentar ou diminuir, quan-do sua amplitude for aumentada.

Para pequenas amplitudes, o pendulo e isocrono,isto e, o perodo nao depende da amplitude. Contudo,quando as oscilacoes se dao a angulos maiores, paraos quais a aproximacao 45768,9:8 ja nao e valida, operodo torna-se uma funcao crescente de 8"; , o angulode maximo afastamento da posicao de equilbrio. Umadiscussao interessante a esse respeito esta feita no volu-me , captulo < do Moyses Nussenzveig.

11. Um pendulo suspenso do teto de uma cabine deelevador tem um perodo T quando o elevador estaparado. Como o perodo e afetado quando o eleva-dor move-se (a) para cima com velocidade constante,(b) para baixo com velocidade constante, (c) para bai-xo com aceleracao constante para cima, (d) para cimacom aceleracao constante para cima, (e) para cima comaceleracao constante para baixo = , e (f) para bai-xo com aceleracao constante para baixo = ? (g)Em qual caso, se ocorre em algum, o pendulo oscila decabeca para baixo?

16. Um cantor, sustentando uma nota de frequenciaapropriada, pode quebrar uma taca de cristal, se este forde boa qualidade. Isto nao pode ser feito, se o cristalfor de baixa qualidade. Explique por que, em termos daconstante de amortecimento do vidro.

O cristal da taca e um sistema oscilante fortementeamortecido. Quando uma forca externa oscilante e re-movida, as oscilacoes de pequena amplitude no sistemadiminuem rapidamente. Para uma forca externa osci-lante cuja frequencia coincida com uma das frequenciasde ressonancia da taca, a amplitude das oscilacoes elimitada pelo amortecimento. Mas, quando a amplitudemaxima e atingida, o trabalho efetuado pela forca ex-terna supera o amortecimento e a taca pode entao vir aromper-se.

14.2 EXERCICIOS E PROBLEMAS

Secao 14-3 Movimento Harmonico Simples: A Lei deForca

3E. Um bloco de /?>A@B@ kg esta suspenso de uma certamola, estendendo-se a C7DE>A@ cm alem de sua posicao derepouso. (a) Qual e a constante da mola? (b) O bloco



e removido e um corpo com @E>GFH@B@ kg e suspenso damesma mola. Se esta for entao puxada e solta, qual operodo de oscilacao?

(a) No equilbrio, a forca exercida pela mola e igualao peso da massa. Entao

$

JI

/?>A@K@ML

ION

>APQC7L

@QRSC7D

T

/MF N/m

(b) O perodo sera

TH!$U

V"!

U

@ERWFH@K@

/XF

@E>

P s

10E. Uma massa de FH@Q>A@ g e presa a` extremidade infe-rior de uma mola vertical e colocada em vibracao. Se avelocidade maxima da massa e C7FE>A@ cm/s e o perodo@E>GFH@B@ s, ache (a) a constante de elasticidade da mola,(b) a amplitude do movimento e (c) a frequencia deoscilacao.

A temos um exerccio que e aplicacao direta deformulas:(a)

+

H!

"!

@E>GFH@K@

C

>GFBY rad/s

$Z+

[

I

C

>GFBYKL

I

@E>A@MFH@ML

YX>

N

@ N/m

(b)

%

*

%

+

@E>\C]F

C

>GFBY

@Q>A@EC

m

(c) ^

`_

>A@ Hz

16E. Um corpo oscila com movimento harmonico sim-ples de acordo com a equacao

-

I

DE>a@ m LcbdH4feI

A@ s, quais sao (a) o deslocamento, (b) a ve-locidade, (c) a acelera cao e (d) a fase do movimento?Tambem, quais sao (e) a frequencia e (f) o perodo domovimento?

(a)-

I

g

>A@ML

I

DE>A@MLmbdH4

I

D

!

i

!

a@BL

n

I

a@BL347576

I

D

!

i

!

A@ML

pn

I

A@MLqbdH4

I

D

!

i

!

GF m/s

(d)fase D ! i

!

a@Hz. O coeficiente de atrito estatico entre o bloco e asuperfcie e @E>aF . Qual pode ser a maior amplitude doMHS, para que o bloco nao deslize sobre a superfcie?

A forca responsavel pela oscilacao nao deve excedera forca maxima do atrito estatico:

c-

%

Tvxway

+

-

%

zvxwa

/

!

^

-

%

Zvxwa

-

%

vxwG

/

!

^



-

%

\C7@ cm

30P. Certa mola sem massa esta suspensa do teto comum pequeno objeto preso a` sua extremidade inferior.O objeto e mantido inicialmente em repouso, numaposicao K{ tal que a mola nao fique esticada. O objeto eentao liberado e oscila para cima e para baixo, sendo suaposicao mais baixa C7@ cm de K{ . (a) Qual a frequenciada oscilacao? (b) Qual a velocidade do objeto quandoesta PE>a@ cm abaixo da posicao inicial? (c) Um objeto demassa de


C

wqq]{GSwh"tw

i

XK

Para a frequencia teremos entao

^

C

H!T

MB

I

i

L

Considerando as molas iguais, com T , vem^

C

"!

U

H

.

Secao 14-4 Movimento Harmonico Simples:Consideracoes Sobre Energia

42E. Um objeto de FE>A@K@ kg numa superficie horizon-tal sem atrito e ligado a uma mola com constante C@K@B@N/m. O objeto e deslocado FH@Q>A@ cm horizontalmentee empurrado a uma velocidade inicial de C7@E>a@ m/s, nadirecao do ponto de equilbrio. (a) Qual a frequencia domovimento? Quais sao (b) a energia potencial inicial dosistema bloco-mola, (c) a energia cinetica inicial e (d) aamplitude da oscilacao?

(a) A frequencia do movimento e^

+

"!

T

>

F Hz

(b) A energia potencial inicial e

Q-

I

@E>GFH@ML

I

C7@K@B@BL

I

@E>GFKL

C

F J

(c) A energia cinetica inicial e$

*

$

I

@E>GFKL

I

Fc>a@BL

I

C@Q>A@ML

T

FH@ J

(d) Com a conservacao da energia temos

i

$

c-

%

-

m

@E>aPMY m

46P. Uma partcula de A@ kg esta em movimentoharmonico simples em uma dimensao e move-se deacordo com a equacao

-V

I

Fc>a@ m LcbdH4feI

!j0

< rad/s Lqg n!j0 / radkR

(a) Em qual valor de - a energia potencial da partculae igual a` metade da energia total? (b) Quanto tempoleva para que a partcula mova-se para esta posicao - , apartir do ponto de equilbrio?

50P*. Um cilindro solido esta ligado a uma mola ho-rizontal sem massa de forma que ele possa rolar, semdeslizamento, sobre uma superfcie horizontal (Fig. 14-32). A constante da mola e a@ N/m. Se o sistemafor liberado de uma posicao de repouso em que a molaesteja estendida de @Q> F m, ache (a) a energia cineticatranslacional e (b) a energia cinetica rotacional do ci-lindro quando ele passa pela posicao de equilbrio. (c)Mostre que nessas condicoes o centro de massa do ci-lindro executa um movimento harmonico simples comperodo

J"!

U

onde e a massa do cilindro. (Sugestao: Ache a deri-vada da energia mecanica total em relacao ao tempo.) A energia mecanica total do oscilador e

X-

m.

Com os dados fornecidos, obtemos @E>\C7@ J. Naposicao de equilbrio, a energia total e so cinetica

C

*

i

C

s

+

R

Como o cilindro rola sem escorregar, * +2 e a ener-gia cinetica rotacional pode ser expressa em termos davelocidade linear * :

C

*

i

C

I

C

L

I

*

L

C

*

i

C

I

C

*

L

A energia cinetica de rotacao vale a metade da energiacinetica de translacao. Portanto, (a)

translacao

@E>a@KDMY J

(b)

rotacao

@E>A@B


C

*

i

C

I

C

L

I

*

L

i

C

X-

onde

+

I

#

i*

0"

L

nos leva a` frequencia^

.

75P. Uma haste longa e uniforme de comprimento emassa gira livremente no plano horizontal em tor-no de um eixo vertical, atraves do seu centro. Umadeterminada mola com constante de forca e ligadahorizontalmente entre uma extremidade da haste e umaparede fixa, como mostra a Fig. 14-38. Quando a has-te esta em equilbrio, fica paralela a` parede. Qual operodo das pequenas oscilacaoes que resultam, quandoa haste e ligeiramente girada e liberada?

A mola exerce um torque restaurador sobre a barradado por

nX-

on

I

8BL

Da segunda lei angular,

r

, com

%

, escre-

vemos a equacao para o MHS da barra

8

g

i

/

8

@Q>

na qual identificamos +

%

, do que resulta o perodo

"!U

A@B@ kg), uma mola ( y C7@E>a@ N/m) euma forca de amortecimento ,n * . Inicialmente,ele oscila com uma amplitude de Fc>a@ cm; devido aoamortecimento, a amplitude e reduzida para tres quar-tos do seu valor inicial, quando sao completadas quatrooscilacoes. (a) Qual o valor de ? (b) Quanta energia foi



perdida durante essas oscilacoes?

Considerando `

%

, da equacao para a posicaoobtemos

aPEC s que,levado a` equacao anterior, fornece o valor de @Q>\C@ kg/s.(b) A energia inicial do oscilador e o

X-

m

@E>a\C"Y"D J

Descontando esse valor da energia inicial, teremos aenergia perdida pelo amortecimento, que e @E>CAPQC7L

T

I

@E>C@BL

$

/Q>

N

@BFTC@

N/m

Pressupondo um pequeno valor para , tomamos +

%

N

>

N

@BF rad/s e o perodo

@Q>ADB< s e

levamos estes resultados para a equacao da posicao domovimento amortecido:

@E>aFK@

-

mz-

m 5 _

Tomando o logaritmo natural dos dois lados da equacaochegamos ao valor da constante de amortecimento

CKC7@K@ kg/s

Secao 14-9 Oscilacoes Forcadas e Ressonancia

87P. Um carro de B @B@ libras, transportando quatropessoas de CPB@ libras, viaja em uma estrada de terra co-berta de pequenas ondulacoes (costelas), com salienciasseparadas de C< pes. O carro balanca com amplitudemaxima quando sua velocidade e de C@ milhas/h. O

carro entao para e os quatro passageiros desembarcam.Quanto sobe a carroceria do carro em sua suspensaodevido ao decrescimo de peso?

Vamos resolver o problema em unidades SI. A massatotal e

totalT

carro i

passageiros

total

NBN

Pi

I

/ML

I

PECB>ADMFKL

C7aFK@ kg

A amplitude maxima ocorre quando * /Q>A/XY m/s. Paraa distancia entre as costelas temos -

N

D m. Agorapodemos calcular o perodo

-

* max.

N

D

/?>/cY

@E>aPKPKD s

A frequencia angular e +

YX>a@

N

rsd/s e a cons-tante elastica do sistema de suspensao e $z total +

DBDBFKPK@ N/m. Com os passageiros a bordo, a deformacaoda suspensao e

X

total

CGF(

N

>aPEC

DKDMFHPK@

@Q>\C

N

F m

Sem os passageiros, a deformacao e

Kr

carro

NBN

P.

N

>APQC

DBDBFKPK@

@E>C\/cY m

O quanto a carroceria sobe apos o desembarque dos pas-sageiros, calculamos pela diferenca

n}

@Q>A@H/MP m

Convertendo as unidades para confirmar o resultado,@Q>A@K/BP m correspondem a`s CB>

N

@ polegadas nas respos-tas do livro.

14.3 PROBLEMAS ADICIONAIS

88. Um oscilador harmonico simples consiste em umbloco ligado a uma mola de constante T @K@ N/m.O bloco desliza para frente e para tras ao longo de umalinha reta, numa superfcie sem atrito, com ponto deequilbrio em -Z @ e amplitude @Q> @ m. Um graficoda velocidade * do bloco como uma funcao do tempo ge mostrado na Fig. 14-42. Quais sao (a) o perodo domovimento harmonico simples, (b) a massa do bloco,(c) o deslocamento do bloco em g @ , (d) a aceleracaodo bloco em g @E>C@ s e (e) a energia cinetica maximaalcancada pelo bloco.



(a) Basta observar o grafico para obter o perodo:

@Q>

@ s.

(b) A massa do bloco calculamos pela relacao $Ty+

,

[

H!j0

@K@

C@

!

@Q>

@ kg

(c) O deslocamento do bloco em g @ e-

I

@BL

z-

m

@Q>

@ m

(d) Para a aceleracao em g @Q>\C@ s,

=

I

g

@E>C@ML

on

I

C@B@

!

L

I

@Q>

@MLmbdH4

!

C

N

Yc>/M@ m/s

(e) A energia cinetica maxima alcancada pelo bloco e

m

C

*

m

N

F J

91. Um pendulo fsico consiste em duas hastes com ummetro de comprimento que sao ligadas como mostra aFig. 14-44. Qual o perodo de oscilacao com um eixoinserido no ponto ?

Precisamos primeiro determinar a posicao do centrode massa das duas hastes. Do captulo

N

sabemos que

cm

I

@MLxi

I

n

0H

L

"

n

/

>

onde e sao, respectivamente, o comprimento e amassa de cada uma das hastes. A origem do sistema dereferencia esta colocado no ponto . Entao, o centrode massa do sistema formado pelas duas hastes esta a`distancia 0 / abaixo do ponto . Portanto, a temos adistancia d do centro de massa do pendulo ao pontode suspensao. O momento de inercia do sistema e

i

C

onde 10 e a pressao fora, 1E e a pressao interna, e e aarea da tampa. Isto fornece-nos

E I 0

3

%C 3

9!B

%

J- lb/pol

Observe que como /0 foi dada em lb/pol e e dadaem pol , nao foi necessario converter-se unidades. Aresposta final, e obvio, nao esta no SI.

P 16-8 (15-7/6 edicao)Em 1654, Otto von Guericke, burgomestre (prefeito)de Magdeburg e inventor da bomba de vacuo, deu umademonstracao publica para provar sua tese de que doisgrupos de oito cavalos nao seriam capazes de separardois hemisferios de latao unidos, dentro dos quais se fezvacuo. Realmente, os cavalos nao conseguiram sepa-rar os hemisferios. (a) Pressupondo que os hemisferiostenham paredes finas, de forma que K na Fig. 16-34possa ser considerado o raio interno e externo, mos-tre que a forca necessaria para separar os hemisferiose ?LMK'9 , onde e a diferenca entre as pressoesinterna e externa na esfera. (b) Fazendo K igual a *$! cme a pressao interna como !+N%! atm, encontre a forca queos cavalos teriam de exercer para separar os hemisferios.(c) Por que foram usados dois grupos de cavalos? Ape-nas um grupo nao provaria a tese da mesma forma? Em cada ponto sobre a superfcie dos hemisferiosexiste uma forca lquida para dentro, normal a` su-perfcie, devida a` diferenca de pressao entre o ar dentroe fora da esfera. Para poder separar os dois hemisferioscada conjunto de cavalos precisa exercer uma forca quetenha uma componente horizontal pelo menos igual a`soma das componentes horizontais de todas as forcasque atuam sobre o hemisferio que puxam.Considere uma forca que atua no hemisferio puxado pa-ra a direita e que faca um angulo O com a horizontal.Sua componente horizontal e P6Q$ROS; , onde S; eum elemento infinitesimal de area no ponto onde a forca

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 2 de 7

LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 2 de Janeiro de 2004, a`s 10:50 a.m.

esta aplicada. Tomamos tal area como sendo a area doanel com O constante na superfcie. O raio do anel eK sen O , onde K e o raio da esfera. Se a largura angulardo anel e S$O , em radianos, entao sua largura e K'S$O e suaarea e S;TUVMK' sen OWSO . Com isto, a componentehorizontal lquida a forca do ar e dada por

YX MK

Z\[]

^

sen O P6Q$RO_S$O

MK

sen OM``

`

[]

^

LMK

a

Esta e a forca mnima que deve ser exercida por ca-da conjunto de cavalos para conseguir separar os he-misferios.(b) Lembrando que atm !#%*H&b%!

)

Pa, temos

YXcd :!# *$

:!# ,!$64$ !+9*c&(%!)6 eC#gf$f7&89!$h N

(c) Um conjunto de cavalos teria sido suficiente se umdos hemisferios tivesse sido amarrado a uma arvoregrande ou a um predio. Dois conjuntos de cavalos foramprovavelmente usados para aumentar o efeito dramaticoda demonstracao.

16.2.2 Fluidos em Repouso

E 16-11 (15-9/6 )As saidas dos canos de esgotos de uma casa construdaem uma ladeira estao B#g m abaixo do nvel da rua. Seo cano de esgoto se encontra a m abaixo do nvel darua, encontre a diferenca de pressao mnima que deveser criada pela bomba de recalque para puxar esgoto dedensidade media ,$!! kg/m

h

.

Considere o bombeamento no cano num instantequalquer. A forca mnima da bomba e aquela que ser-ve para equilibrar a forca da gravidade no esgoto com aforca da bomba no cano. Sob tal forca mnima o esgotosera empurrado sem mudar sua energia cinetica.A forca da gravidade no esgoto e i$j;k6 , onde i e a suadensidade, k ( lB#g 3 mn-# m) e o comprimentodo cano, e e a area da seccao reta do cano. Se ^ fora pressao no cano, entao ^ e a forca que empurra oesgoto para baixo no cano. Se for a pressao exercidapela bomba, entao a forca da bomba no esgoto e 1 .A forca lquida no esgoto e dada por

o

3

^

4

3

ij;k6

e sera mnima quando ela anular-se. Portanto, ve-seque a diferenca de pressao que deve ser mantida pelabomba e

3

^

Ji$j$kpD",$!!;",+ B;:-#%qJC# r&89!= Pa

E 16-16 (15-13/6 )Membros da tripulacao tentam escapar de um submari-no danificado, %!! m abaixo da superfcie. Que forcaeles tem de aplicar no alcapao, de $ m por !+ -$! m, pa-ra empurra-lo para fora? Considere a densidade da aguado oceano %!$C kg/m

h

.

A pressao na profundidade S do alcapao e ^1s i$jS ,onde i e a densidade da agua do oceano e ^ e a pressaoatmosferica. A forca para baixo da agua no alcapao e2

^ s

ijS4 , onde e a area do alcapao. Se o ar nosubmarino estiver na pressao atmosferica, entao exer-cera uma forca ^ para cima. A forca mnima que de-ve ser aplicada pela tripulacao para abrir o alcapao temmagnitude dada por

2

^

s

ijS4

3

^

i$jS;

59!$$C6",# B$64%!!$64$ $"!+ -$!$tfgc&(%!

)

N

P 16-18 (15-15/6 )Dois vasos cilndricos identicos, com suas bases ao mes-mo nvel, contem um lquido de densidade i . A area dabase e para ambos, mas em um dos vasos a altura dolquido e u/v e no outro e u

. Encontre o trabalho realiza-do pela forca gravitacional ao igualar os nveis, quandoos dois vasos sao conectados. Quando os nveis sao os mesmos a altura do lquido euwu

v

s

u

x , onde u v e u

sao as alturas originais.Suponha que u v e maior do que u

. A situacao final po-de ser atingida tomando-se um porcao de lquido comvolume Hwu1v 3 uF e massa iHwu1v 3 uF , no primeirovaso, e baixando-a por uma distancia u 3 u

. O trabalhofeito pela forca da gravidade e

y

LiHwu

vz3

u1Gj:u

3

u

{

Substituindo-se u|wu v s u

}V nesta expressao acha-mos o resultado pedido:

y

i$jc:u/v

3

u



P 16-22 (15-17/6 )Na Fig. 16-38, o oceano esta a ponto de invadir o conti-nente. Encontre a profundidade u do oceano, usando ometodo do nvel de compensacao mostrado no Problema21. Suponha que a pressao e a mesma em todos pontosa uma distancia S~V! km abaixo da superfcie. Parapontos no lado esquerdo da figura tal presao e dada por

b

^ s

i

^

j#u

s

i}S;S;

s

ijS;H>

onde ^ e a pressao atmosferica, i ^ e a densidade daagua do oceano e u e a profundidade do oceano, i ea densidade da crosta e S a espessura da crosta, e i;e a densidade do manto e S; e a espessura do manto(ate uma profundidade de V! km). Para pontos no ladodireito da figura, e dada por

^

s

i5jS+

Igualando estas duas expressoes para e cancelando jobtemos que

i}ScJi

^

u

s

i}S

s

iS;c

Substituindo S;eS 3 u 3 S , tem-se que

i}Scdi

^

u

s

i}S;

s

iS

3

i'u

3

iS;9>

de onde tiramos

u

ixS

3

i}S

s

iS

3

iS

i

3

i

^

i

3

i

:S

3

S

i

3

i

^

"*+ *

3

B$wV!

3

%$

*+ *

3

!

of km

Observe que na equacao acima substituimos km, nao m.

P 16-23 (15-19/6 )A agua se encontra a uma profundidade abaixo da fa-ce vertical de um dique, como ilustra a Fig. 16-39. Sejay

a largura do dique. (a) Encontre a forca horizontalresultante exercida no dique pela pressao manometricada agua e (b) o torque resultante devido a esta pressaoem relacao ao ponto . (c) Encontre o braco de alavan-ca, em relacao ao ponto , da forca horizontal resultantesobre o dique.

16.2.3 O Princpio de Arquimedes

E 16-31 (15-??/6 )Uma lata tem volume de %V!$! cm

h

e massa de 9*$! g.Quantas gramas de balas de chumbo ela poderia carre-gar, sem que afundasse na agua? A densidade do chum-bo e g/cm

h

.

Seja a massa da lata e a massa do chumbo.A forca da gravidade sobre o sistema lata + chumbo e"

s

Gj e a forca de empuxo da agua e i$j# , ondeirGJ,$,B kg/m

h

) e a densidade da agua e e o volumede agua deslocada.No equilbrio, estas forcas balanceiam-se de modo que

s

Gjrdi$j

A lata ira conter a maior massa de chumbo quando es-tiver quase por afundar de modo que o volume da aguadeslocada coincide entao como o volume da lata. Por-tanto

Li

3

:,,B;5%V!$!H&89!#16

3

!+N%*!

$ !f kg

Perceba que AV!! cmh

DAV!$!H&89!

1

mh

.

E 16-34 (15-25/6 )Uma ancora de ferro, quando totalmente imersa na agua,parece !! N mais leve que no ar. (a) Qual e o volumeda ancora? (b) Qual e o peso no ar? A densidade doferro e fVB;f! kg/m

h

.

(a) O problema diz que a ancora esta totalmente de-baixo da agua. Ela aparenta ser mais leve porque a aguaempurra-a para cima com um empuxo de i

j# , ondei

e a densidade da agua e e o volume da ancora. Seupeso efetivo dentro da agua e

YJ

3

i

j# >

onde e o seu peso verdadeiro (forca da gravidade forada agua). Portanto

3

i

j

!!

",,$B$6",# B$

!V;Cc&89!

mh

(b) A massa da ancora e Ji , onde i e a densidadedo ferro. Seu peso no ar e

?Jj@Li$j wfVB;f!;:,# B$w !VC_&89!



gCVB@&(%! h

N

P 16-43 (15-33/6 )Uma matriz fundidora de ferro, contendo um certonumero de cavidades, pesa -!$!! N no ar e $!$!! N naagua. Qual e o volume das cavidades da fundidora? Adensidade do ferro e f Bf g/cm

h

.

O volume F das cavidades e a diferenca entre o vo-lume F da matriz fundidora como um todo e o volumeF do ferro contido na matriz fundidora:

3

O volume do ferro e dado por +jiY , onde eo peso da matriz fundidora e i; e a densidade do Ferro.

O peso efetivo Y na agua pode ser usado para encontraro volume da matriz fundidora. Ele e menor do que pois a agua empurra a matriz fundidora com uma forcaji

, onde i

representa a densidade da agua. Assimtemos o peso efetivo dado por

J

3

ji

+@

Portanto

3

ji

>

de onde tiramos que

1

3

ji

3

ji

-$!!!

3

$!$!!

",+ B;:!# ,,Bc&89!

h

3

-$!!$!

:,# B$6wf B;fH&89!

h

!#%;f mh

E imprescindvel saber fazer corretamente as conversoesde unidades:

f B;f g/cmh

f B;fH&(%!

h

kg9!

/

mh

ef B;fH&(%!

h kg/mh

16.2.4 Linhas de Corrente e a Equacao da Conti-nuidade

E 16-55 (15-39/6 )Uma mangueira de jardim, de diametro interno !+gfC pol,e conectada a um esguicho que consiste em um canocom furos, cada um com !+ !;CV! pol de diametro. Se

a agua na mangueira tiver velocidade de * pes, com quevelocidade ela saira dos buracos do esguicho? Use a equacao da continuidade. Seja v a velocidadeda agua na mangueira e

sua velocidade quando eladeixa um dos furos. Seja 'v a area da seccao reta damangueira. Como existem furos, podemos imaginara agua na mangueira como formando tubos de fluxo,cada um indo sair atraves de um dos furos. A area decada tubo de fluxo e v . Se

for a area de um furo,a equacao da continuidade fica sendo dada por

v

v

J

Desta expressao tiramos que

v

M

v

K

v >

onde K e o raio da mangueira e e o raio de um furo.Portanto

K'

W

$vp

"!+ *fVC$4

F:!# !$$C

"*+ !; B pes/s

P 16-56 (15-42/6 )A agua e bombeada continuamente para fora de umporao inundado, a uma velocidade de C m/s, atraves deuma mangueira uniforme de raio cm. A mangueirapassa por uma janela * m acima do nvel da agua. Quale a potencia da bomba? Suponha que uma massa c de agua e bombeadanum tempo c . A bomba aumenta a energia poten-cial da agua por Hj#u , onde u e a distancia verticalque a agua e elevada, e aumenta sua energia cinetica de

cW;AV , onde e sua velocidade final. O trabalho quea bomba faz e

y

Jcmj#u

s

cW

>

e sua potencia e, consequentemente,

?

y

c

c

cW

j#u

s

%

A taxa de fluxo de massa e cHeip , onde i e adensidade da agua e e a area da seccao transversal damangueira, isto e,

J

L :!# !#%!$

*#6


Portanto

H

c

j#u

s

4gC$f#G",+ B;:*# !$

s

C

c

J-$- W

16.2.5 Aplicacoes da Equacao de Bernoulli

E 16-58 (15-43/6 )A agua se move com uma velocidade de C m/s atraves deum cano com uma area de secao transversal de cm .A agua desce 9! m gradualmente, enquanto a area docano aumenta para B cm . (a) Qual e a velocidade doescoamento no nvel mais baixo? (b) Se a pressao nonvel mais alto for gC

onde i e a densidade da agua, u1v sua altura inicial e u

sua altura final. Portanto,

v

s

i1"

v

3

s

i$j/wu

v3

u

gCH&89!$)

s

"!# ,,$B@&(%!h6NC

3

:# C$

s

"!+ ,$,B@&89!

h

",+ B;59!$

-c&89!

) Pa

E 16-67 (15-49/6 )Se a velocidade de escoamento, passando por debaixode uma asa, e $9! m/s, que velocidade de escoamentona parte de cima criara uma diferenca de pressao de ,!$!Pa entre as superfcies de cima e de baixo? Considere adensidade do ar iW *r&I%!

h

g/cmh

. (Ver exerccio15-66.)

Use a equacao de Bernoulli desprezando os termosde energia potencial, pois os dois tubos de fluxo estaoessencialmente na mesma altitude:

+

s

i$

b1

s

i;

>

onde e a pressao na superfcie de baixo, a pressaoem superfcie de cima, A a velocidade do ar na su-perfcie de baixo, V a velocidade do ar na superfciede cima, e i a densidade do ar.Desejamos encontrar V de modo que # 3 F\,!$!Pa, ou seja,

#2# 3 F

i

s

#:,!!;

$ *

s

59!;

?$9- m/s

Observe que e imprescindvel usar as unidades corretasde i :

i@?$ *

que foi o numero usado para obter .

P 16-73 (15-??/6 )As janelas de um predio de escritorios tem dimensoesde m por C m. Em um dia tempestuoso, o ar passa pelajanela do 53 andar, paralelo a` janela, com uma veloci-dade de *! m/s. Calcule a forca resultante aplicada najanela. A densidade do ar e $ * kg/m

h

.

Chamando-se de E a pressao interna da sala e de

a pressao de fora da janela, temos que a forca lquidana janela e o1E 3

4 , onde e a area da janela. Adiferenca de pressao pode ser encontrada usando-se aequacao de Bernoulli: ^ s i;;AV_FE , onde e a velo-cidade do ar fora e i e a densidade do ar. Supomos que oar dentro da sala esta parado. Portanto, FE 3

Li$A

sendo a forca e dada por

D

i$

5gV*;"*$!$

"*; D$N$'&(%!V= N

P 16-76 (15-??/6 )Uma placa de B! cm e CV!! g de massa e presa pordobradicas em um de seus lados. Se houver ar soprando



apenas sobre a sua superfcie superior, que velocidadedevera ter o ar para sustentar a placa na posicao hori-zontal? Este exerccio considera uma situacao analoga aquelamostrada na Fig. 16-26, da moca soprando sobre umafolha de papel.Como a pressao e uniforme sobre superfcie o torqueque ela exerce pode ser calculado como se o ar atuasseno centro de massa, o mesmo valendo para a forca dagravidade.O torque lquido anula-se quando a forca do ar iguala aforca da gravidade. Seja + a pressao na superfcie debaixo, F a pressao na superfcie de cima, a velocida-de do ar sobre a superfcie superior, e i a densidade doar. De acordo com a equacao de Bernoulli,

#F

s

i;

> ou seja + 3 1c

i$

A magnitude da forca do ar e o 3 5 , onde e a area da placa. No equilbrio, lj , onde e amassa da placa. Portanto

i$

Lj1>

de onde obtemos

v

Vmj

i

+"!+ C$",+ B;

5gV*;"B$!H&89!

=

J*; m/s

P 16-81 (15-25/6 )Aplicando a equacao de Bernoulli e a equacao da con-tinuidade aos pontos e da Fig. 16-22, mostre que avelocidade do escoamento na entrada (ponto ) e

@

i1:

3

Ambos pontos estao na mesma altitude, de modo quea equacao de Bernoulli e

v

s

i;

v

s

i;

A euqacao da continuidade e v D;

, de modo que

p v 1 Substituindo esta expressao na equacao deBernoulli obtemos

v

s

i;

v

s

i

v

Resolvendo-a, temos que

$v

#2

v3

4

i1:

3

V

i/"

3

>

onde usamos b/v 3

.

16.2.6 Problemas Adicionais


LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 19 de Setembro de 2003, a`s 10:21 a.m.

Exerccios Resolvidos de Dinamica ClassicaJason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fsica teorica,





Conteudo17 MOVIMENTO ONDULAT ORIO 2

17.1 Questionario . . . . . . . . . . . . . . . 217.2 Exerccios e Problemas . . . . . . . . . 317.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . 9

Comentarios/Sugestoes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br(listam3.tex)



17 MOVIMENTO ONDULAT ORIO

17.1 Questionario

17-2. Energia pode ser transferida por partculas bemcomo por ondas. Como podemos distinguir experimen-talmente esses metodos de transferencia de energia?

A energia e transferida entre partculas nos eventosde colisao, como acontece, por exemplo, num jogo combolas de bilhar. Quando a energia e tranferida por onda,tambem se da pelas colisoes das partculas do meio, nocaso das ondas mecanicas, mas as partculas movem-selocalizadamente, enquanto a onda se propaga por umaextensao muito maior. Um exemplo notorio e o das on-das sonoras.

17-6. Compare o comportamento de (a) um sistemamassa-mola oscilando num movimento harmonico sim-ples e (b) um elemento de uma corda esticada onde umaonda senoidal se propaga. Discuta do ponto de vista dodeslocamento, velocidade vetorial, aceleracao e trans-ferencias de energia.

(a) No sistema massa-mola, a energia e localizada,isto e, a massa detem a energia cinetica e a mola, supos-ta sem massa, detem a energia potencial. Se a energiatotal e constante, em algum instante ela e toda da massa,quando esta passa pela posicao de equilbrio e em outroinstante sera toda potencial, quando a mola estiver nasua maxima deformacao. Sendo o deslocamento me-dido em relacao a` posicao de equilbrio, a velocidadenessa posicao e maxima, enquanto a aceleracao e nula.Nos pontos de maximo deslocamento, a velocidade enula e a aceleracao e maxima.(b) Para o elemento da corda esticada, a energia esta dis-tribuida em vez de localizada, porque todas as partculasdo elemento se movem e sofrem a acao da tensao dedeformacao. O elemento esta sob a maxima deformacaoquando esta na posicao de equilbrio do MHS executadopelas partculas e e tambem nessa posicao que a velo-cidade transversal atinge o seu maximo. Nos pontos demaior deslocamento das partculas em relaca a` posicaode equilbrio, elas tem velocidade e aceleracao nulas.

17-8. Quando duas ondas interferem, uma atrapalha apropagacao da outra? Explique.

Nao. As ondas se combinam pelo prinpio desuperposicao formando uma onda progressiva com uma

redistribuicao apropriada da sua energia, ou forman-do uma onda estacionaria, com outra redistribuicao deenergia.

17-9. Quando duas ondas interferem, existe perda deenergia? Justifique sua resposta.

Nao. Existe uma redistribuicao da energia. Nospontos de inter ferencia destrutiva, a energia e nula,mas, consequentemente sera maior nos pontos de inter-ferencia construtiva.

17-11. Se duas ondas diferem somente em amplitude ese propagam em sentidos opostos atraves de um meio,produzirao elas ondas estacionarias? Existira energiatransportada? Existirao nos?

Nao.

17-13. Uma onda transmite energia. Ela tambem trans-fere momento linear. Sera possvel transferir momentoangular?

17-15. Uma corda e esticada entre dois suportes fixosseparados de uma distancia . (a) Para quais harmonicosexistira um no no ponto que dista de um dos su-portes? Existira um no, um antino ou uma condicaointermediaria num ponto que dista de um dos su-portes, se (b) o quinto harmonico foi gerado? (c) odecimo harmonico foi gerado?

(a) Se o no dista de um dos suportes, a corda estavibrando na forma de meios comprimentos de onda.Entao trata-se do terceiro harmonico.(b) No ponto que dista de um dos suportes, exis-tira um no tanto para o quinto quanto para o decimoharmonicos.

17-17. Violonistas sabem que, antes de um concerto,deve-se tocar um pouco o violao e ajustar suas cordasporque, apos alguns minutos de execucao, as cordas seaquecem e cedem ligeiramente. Como esse pequenoafrouxamento afeta as frequencias de ressonancia dascordas?

O afrouxamento das cordas tem como consequenciaa diminuicao da velocidade de propagacao das on-das na corda ( ), alterando o conjunto das



frequencias de ressonancia, isto e, o violao fica desafi-nado.

17.2 Exerccios e Problemas

Secao 17-5 A Velocidade Escalar de Propagacao deuma Onda17-3E. Balancando um barco, um menino produz ondasna superfcie de um lago ate entao quieto. Ele obser-va que o barco realiza oscilacoes em s, cadaoscilacao produzindo uma crista de onda cm acimada superficie do lago. Observa ainda que uma deter-minada crista de onda chega a` terra, a doze metros dedistancia, em s. Quais sao (a) o perodo, (b) a ve-locidade escalar, (c) o comprimento de onda e (d) aamplitude desta onda?

Inicialmente, calculamos a frequencia, que e

Hz. As grandezas pedidas saoaplicacoes diretas de formulas:

(a) !

#"%$

&(' s

(b)

)* +,

-. m/s /

(c)0

.

1 m /

(d)2

m 345 m /

17-6E. Escreva a equacao para uma onda se propagandono sentido negativo do eixo

*

e que tenha uma ampli-tude de 4 m, uma frequencia de Hz e umavelocidade de m/s.

A forma da onda progressiva e2%6

*

+87

2

m 94:5;6=@?

+87

/

Precisamos calcular o numero de onda angular < e afrequencia angular

?

:

`

`

5

1CC(' m/s

?

-A

6

A

7

6

4

7

3IE rad/s

=

9

?

+

95:5;

Q

7

ondeQ

e a diferenca de fase de 2 em relacao a 2 $ . Com-parando as duas formas que temos para 2 , escrevemos

94:5;

Q

:

9

Q

&

onde e um fator de proporcionalidade entre as duasformas da funcao 2 . Dividindo as duas relacoes acimaobtemos a constante de fase

Q

:

+

s

Q

B

Q

H X rad /



Elevando as relacoes acima ao quadrado e somando, ob-temos o fator :

N

6

94:5;

N

QD=

^

9

N

Q

7

-.'IX

C/

Agora podemos explicitar a funcao 2 2 $=

2

N

:

2%6

+87

3E

94:5;

6

?

+

=

X

7

onde 2 m Cnb}R m. Este problematambem pode ser facilmente resolvido pelo metodo dosfasores. Com a escolha de uma escala adequada, a am-plitude e a constante de fase sao diretamente medidascom regua e transferidor. Refaca o problema usando osfasores para confirmar o resultado obtido pelo metodoanaltico.

Secao 17 -13 Ondas Estacionarias e Ressonancia

17-42E. Uma corda sob tensao i oscila no terceiroharmonico com uma frequencia

, e as ondas na cordatem comprimento de onda

0

. Se a tensao for aumenta-da para f Ct i e a corda novamente levada a oscilarno terceiro harmonico, qual sera (a) a frequencia deoscilacao em termos de

e (b) o comprimento de ondaem termos de

0

?

(a) Da relacao i i , obtemos com a tensao fi-nal f -C i que f & i. Entao, para o novo terceiroharmonico teremos

3f

6

i7

-

3i /

(b) Para o comprimento de onda, teremos0

3f i

3i

0

3i

ou seja, a variacao na tensao da corda duplica a veloci-dade e a frequencia, mantendo inalterado o comprimen-to de onda.

17-46E. Uma corda de violao, de nailon, tem uma den-sidade linear de '(J g/m e esta sob uma tensao iguala 5 N. Os suportes fixos estao distanciados X cm.A corda esta oscilando de acordo com o padrao de on-da estacionaria mostrado na Fig. 17-27. Calcule (a)a velocidade escalar, (b) o comprimento de onda e (c)a frequencia das ondas cuja superposicao origina esta

onda estacionaria.

A onda estacionaria indicada esta vibrando no tercei-ro harmonico, ou seja,

;

3 .

(a) Para a velocidade temos

> `

`

5

'(JbT5

"O

^CC m/s /

(b) Para o comprimento de onda,0

n

;

0

6

7

6

X

7

H m /

(c) E para a frequencia,

0

^CC

-CE Hz /

17-48E. Uma corda de 5 cm de comprimento e estica-da entre suportes fixos. Quais sao os tres comprimentosde onda mais longos possveis para ondas estacionariasnessa corda? Esboce as ondas estacionarias correspon-dentes.

O comprimento de onda e dado por0

n &u ; , com

;

J.^/// se a corda esta fixa nas duas extremida-des. Os tres maiores comprimentos de onda serao entao,

0

$

-3.8CE m

0

N

1&J m e

0

3I m /

17-52E. Uma ponta de uma corda de 5 cm e mantidafixa. A outra ponta e presa a um anel sem peso quepode deslizar ao longo de uma haste sem atrito, con-forme mostrado na Fig. 17-28. Quais sao os tres maislongos comprimentos de onda possveis para ondas es-tacionarias nessa corda? Esboce as ondas estacionariascorrespondentes.

Quando a corda esta presa em so em uma extremida-de, os comprimentos de onda possveis sao fornecidospela relacao

0

n CE ; , com ; J'(4/// . Os tresmaiores comprimentos de onda serao

0

$

1CHCI m



0

C

m e

0

C

HX m /

17-54P. Duas ondas estao se propagando na mesma cor-da, muito comprida. Um vibrador no extremo esquerdoda corda gera uma onda dada por

2

6

cm7

9

A

6

m"%$

7

*>=

6

I s"$ ) +

enquanto um outro no extremo direito gera a onda

2

6

cm7

9

A

6

m"$

7

*vK

6

I s"$

7F+

/

(a) Calcule a frequencia, o comprimento de onda e avelocidade escalar de cada onda. (b) Determine os pon-tos onde nao existe movimento (os nos). (c) Em quaispontos o movimento da corda e maximo?

(a) Para obter as grandezas pedidas so precisamosobservar as quantidades fornecidas nas duas ondas da-das:

?

A

CA

A

3 Hz

0

A

/

U

D

=

=

>

?

e chegar ao resultado pedido,

j

/

;

;

D

Veremos mais a` frente que os problemas 18.84P, 18.89Pe 18.101P sao aplicacoes deste resultado.

P 18-84 (18-53/6 edicao)Um alarme acustico contra roubos consiste em uma fon-te que emite ondas a` frequencia de

kHz. Qual sera afrequencia dos batimentos refletidos por um intruso an-dando a uma velocidade media de J 34 m/s, na direcaooposta ao alarme?

Aqui o intruso afasta-se da fonte com uma velocida-de

/

k 3 m/s que satisfaz 4 , onde

65

5

m/s e a velocidade do som no ar a

(veja Tabela 18.1).Portanto, usando o resultado no item (b) do problema18-82 acima, encontramos que

bat

j

/

;

k

;

1

J 34

2

5

5

1

'(

2

Hz

18-89P. Em uma discussao sobre deslocamentos Dop-pler de ondas ultra-sonicas, usados em diagnosticosmedicos, o autor comenta: Para cada milmetro por se-gundo que uma estrutura do corpo se move, a frequencia

das ondas ultra-sonicas incidentes sofre uma variacaode, aproximadamente, 4

5

Hz/MHz. Que velocidadede ondas ultra-sonicas em tecidos voce deduz, a partirdessa afirmativa?

A variacao fracional da frequencia das ondas eK

5

(4

No problema 18.82P obtivemosK

D

@

Com

(

U

m/s, chegamos a` velocidade das ondasultra-sonicas nos tecidos,

@ m/s.

P 18-92 (18-56/6 edicao)Uma sirene de 4 Hz e um oficial da defesa civil estaoem repouso em relacao a` Terra. Que frequencia o oficialira ouvir, se o vento estiver soprando a m/s (a) dafonte para o oficial e (b) do oficial para a fonte? (a) A formula do deslocamento Doppler e valida ape-nas quando as velocidades da sirene e do oficial, ; e

,

forem medidas em relacao a um meio estacionario (i.e.,sem vento). Para modificar a formula de modo a levar ovento em consideracao basta mudar para um novo refe-rencial no qual nao exista vento.Quando o vento sopra da fonte para o observador comuma velocidade , temos ;

no novo re-

ferencial que se move junto com o vento. Como nestereferencial o observador aproxima-se da fonte enquan-to que a fonte dele se afasta, temos, no novo sistema dereferencia

=

=

;

=

=

4 Hz.

(b) Neste caso, basta trocar o sinal de

e ;

. O resul-tado e que, novamente, nao ha deslocamento Doppler:

/

/

;

/

/

4 Hz.

Em geral, nunca existira deslocamento Doppler quandonao houver movimento relativo entre observador e fon-te, independentemente de existir ou nao vento presente.

P 18-94 (18-55/6 edicao)Uma menina esta sentada proxima a uma janela abertade um trem, que esta se movendo a uma velocidade de


LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 30 de Novembro de 2003, a`s 10:57 a.m.

(k 4 m/s para o leste. A tia da menina esta proxima aostrilhos, observando o trem partir. O apito da locomotivaemite um som a` frequencia de 4J Hz. Nao ha ven-tos. (a) Que frequencia a tia da menina ira ouvir? (b)Que frequencia a menina ira ouvir? (c) Com um ventosoprando para oeste a (J m/s, que frequencia a tia damenina ira ouvir? (d) E a menina? (a) Como o trem esta se afastando da observadora,temos

=

5

5

5

5

=

Hz.

(b) Como nao ha movimento relativo entre a fonte e oobservador, a menina ouve a frequencia emitida,

4 Hz.(c) Com o vento soprando para oeste, teremos as velo-cidades relativas

| ar

( m/s e

| ar

m/s.

Como a fonte se afasta da observadora, temos

=

0| ar

=

| ar

4

5

5

=

(

5

5

=

k Hz.

(d) Pela mesma razao do tem (b), a frequencia ouvidapela menina e

Hz.

Secao 18-8 O Efeito Doppler para a Luz18-96E. Certos comprimentos de onda, caractersticosna luz vinda de uma galaxia na constelacao de Virgem,sao J % maiores do que a luz correspondente de fontesterrestres. Qual a velocidade radial dessa galaxia comrespeito a` Terra? Ela esta se aproximando ou se afastan-do?

Aplicando a equacao (18-55), temosK

J

Portanto,

k 4

4 S'(

m/s, afastando-se.

18-99P. O perodo de rotacao do Sol no seu equador ede @

?

d e o seu raio e de % km. Que deslo-camento Doppler no comprimento de onda e esperadopara a luz de nm, emitida da superfcie do Sol?

O perodo dado corresponde a Jq5

s . A ve-locidade de qualquer ponto equatorial da superfcie doSol e

R

c

4'(

m/s,

que vem a ser a velocidade da fonte. Com a equacao(18-55) vem

K

J

'(JU

O deslocamento Doppler e entaoK

B5

pm

18-101P. Microondas, que viajam a` velocidade da luz,sao refletidas por um aviao distante, que esta se aproxi-mando da fonte. Sabe-se que, quando as ondas refletidasse cruzam com as emitidas, a frequencia dos batimentose de 33 Hz. Se as microondas tem Jn( m de compri-mento de onda, qual a velocidade aproximada do aviao?

Este problema e uma aplicacao do resultado doproblema 18.82P, onde substituimos por , a velo-cidade de propagacao das ondas eletromagneticas novacuo,

5

_

m/s. A frequencia das microondas e

-

a5

b

Hz. Escrevemos

D

=

?

sendo

/

334 Hz. Portanto,

D

334

D

43k m/s.


LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a`s 4:48 a.m.

Exerccios Resolvidos de TermodinamicaJason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fsica teorica,





Conteudo19 Temperatura 2

19.1 Questoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

19.2 Exerccios e Problemas . . . . . . . . . 219.2.1 Medindo temperatura . . . . . . 219.2.2 As escalas Celsius e Fahrenheit 319.2.3 Expansao termica . . . . . . . . 3

Comentarios/Sugestoes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br(lista4.tex)



19 Temperatura

19.1 Questoes

Q 19-3.Um pedaco de gelo e um termometro mais quente saocolocados num recipiente hermeticamente fechado, novacuo. O gelo e o termometro estao suspensos de talmaneira, que nao ficam em contato. Por que a leitura dotermometro diminui, apos algum tempo?

O termometro transfere calor por irradiacao. As for-mas de tranferencia de calor serao estudadas no captulo20.

Q 19-7.Embora pareca impossvel atingir o zero absolu-to de temperatura, temperaturas tao baixas quanto

K foram alcancadas em laboratorios. Istonao seria suficiente para todos os fins praticos? Por queos fsicos deveriam (como realmente fazem) tentar obtertemperaturas ainda mais baixas?

Porque a muito baixas temperaturas os materiais exi-bem propriedades nao observadas a temperaturas usuais.A supercondutividade e um exemplo dessas proprieda-des. A motivacao para esse tipo de pesquisa esta na pos-sibilidade de encontrar novos fenomenos e propriedadesfsicas dos materiais. A tentativa de reduzir os limitesfsicos induz o desenvolvimento de instrumentos de me-dida mais e mais sofisticados, que sao posteriormenteusados em outros campos.

Q 19-14.Explique por que, quando colocamos um termometrode mercurio numa chama, a coluna de mercurio desceum pouco, antes de comecar a subir.

Porque o vidro que contem o mercurio inicia seuprocesso de dilatacao primeiro. Depois, a dilatacao domercurio e mais notavel, porque este tem um coeficientede dilatacao maior do que o do vidro.

Q 19-18.Duas laminas, uma de ferro e outra de zinco, sao rebita-das uma na outra, formando uma barra que se encurvaquando e aquecida. Por que a parte de ferro fica sempre

no interior da curva?

Porque o zinco tem coeficiente linear de expansaotermica maior que o ferro. Procure tais valores em algu-ma Tabela.

Q 19-22.Explique por que a dilatacao aparente de um lquidonum tubo de vidro, quando aquecido, nao correspondea` verdadeira expansao do lquido.

Porque o vidro que contem o lquido tambem se ex-pande.


19.2.1 Medindo temperatura

P 19-6.

Dois termometros de gas a volume constante sao usa-dos em conjunto. Um deles usa nitrogenio e o outro,hidrogenio. A pressao do gas em ambos os bulbos e =

mm de Hg. Qual e a diferenca de pressao nos doistermometros, se colocarmos ambos em agua fervendo?Em qual dos termometros a pressao sera mais alta?

Tomamos como sendo mm de mercurio pa-ra ambos termometros. De acordo com a Fig. 19-6, otermometro de N fornece K para o ponto deebulicao da agua. Usamos a Eq. 19-5 para determinar apressao:

"!$#

%

&'

( mm de mercurio

Analogamente, o termometro de hidrogenio fornece

para o ponto de ebulicao da agua e

)

*!

#

%

&+

mm de mercurio

A pressao no termometro de nitrogenio e maior que apressao no termometro de hidrogenio por ' mm demercurio.



19.2.2 As escalas Celsius e Fahrenheit

E 19-14.

A que temperatura os seguintes pares de escalas dao amesma leitura: (a) Fahrenheit e Celsius (veja Tabela19-2), (b) Fahrenheit e Kelvin e (c) Celsius e Kelvin? (a) As temperaturas Fahrenheit e Celsius estao rela-cionadas pela formula *, & "-/. 102 . Dizer que aleitura de ambas escalas e a mesma significa dizer que ,

-

. Substituindo esta condicao na expressao aci-ma temos

-

&

- .

304

de onde tiramos

-

5

(

#

%

653(

7 C

(b) Analogamente, a condicao para as escalas Fahre-nheit e Kelvin e

",

, fornecendo

&

#

5

%

04

98

ou seja,

(;:

#

&%

#

%

5=

? K

(c) Como as escala Celsius e Kelvin estao relacionadaspor

-

5

, vemos que nao existe nenhumatemperatura para a qual essas duas escalas possam for-necer a mesma leitura.

P 19-17.

Observamos, no dia-a-dia, que objetos, quentes ou frios,esfriam ou aquecem ate adquirir a temperatura ambien-te. Se a diferenca de temperatura @ entre o objeto eo ambiente nao for muito grande, a taxa de esfriamentoou aquecimento sera proporcional a` diferenca de tempe-ratura, isto e, A

@

AB

C5ED

#

@

%F8

onde A e uma constante. O sinal menos aparece porque@

diminui com o tempo, se for positivo, e aumenta, senegativo. Esta e a lei de Newton do resfriamento. (a) Deque fatores depende A? Qual a sua dimensao? (b) Seno instante

B

a diferenca de temperatura for @ *G ,mostre que

@

?@

GIHJLKNM

num instante posterior t.

(a) Mudancas na temperaturam ocorrem atraves deradiacao, conducao e conveccao. O valor de D pode serreduzido isolando os objetos atraves de uma camada devacuo, por exemplo. Isto reduz conducao e conveccao.Absorcao de radiacao pode ser reduzida polindo-se a su-perfcie ate ter a aparencia de um espelho. Claramente Ddepende da condicao da superfcie do objeto e da capa-cidade do ambiente de conduzir ou convectar energia doe para o objeto. Como podemos reconhecer da equacaodiferencial acima, D tem dimensao de (tempo) J"O .(b) Rearranjando a equacao diferencial dada obtemos

@

A

@

AB

P5ND

Integrando-a em relacao a

B

e observando queQ

@

A

@

AB

AB

Q

@

A

#

@

%R8

temosQTSVU

SVU W

@

A

#

@

%

5

Q

M

G

D

AB

XY

@

[Z

Z

Z

SVU

SVU>W

5ND

B

XY

@

@

G 5ND

B

8

que reescrita de modo equivalente fornece o resultadodesejado:

@

@

GNH

J3K3M\

19.2.3 Expansao termica

E 19-24.Uma barra feita com uma liga de alumnio mede cma

7 C e cm no ponto de ebulicao da agua. (a)Qual o seu comprimento no ponto de congelamento daagua? (b) Qual a sua temperatura, se o seu comprimentoe' &

cm? (a) A relacao para a variacao do comprimento, @^]4]`_$@

, permite calcular o coeficiente de expansao li-near da barra: _ = ba Jc37dbJ"O .Portanto, partindo-se dos cm a 7 C, vemos que aobaixarmos a temperatura ate o ponto de congelamentoda agua a barra sofre uma variacao de comprimento da-da por

@^] ]e_

#

Bgf

5

Bih

%

#

%

#

ba

J*c

%

#

5

%

5

'

cm



Portanto o comprimento procurado e

]kjl]m0n@^]4

5

'

o

&' &&

cm

(b) Partindo-se novamente dos cm a 7 C, perce-bemos logo que para chegar a & cm a temperaturatera que aumentar. A matematica nos fornece sempre osinal correto. Como ]

hqp

] , da relacao

@^]Tr]

f

5


podemos afirmar imediatamente que o aumento percen-tual na area sera o dobro do aumento percentual linear,ou seja .Mais formalmente, podemos ver isto comparando asformulas

@^]

]

_m@

'

@^D

D

_m@

#

%

#

'

%

(b) A espessura da moeda varia linearmente e, por-tanto, sua variacao percentual coincide com a do itemanterior:

@

r_^@

'

'

k

(c) A variacao no volume e:@

?_s@

#

%

#

'

%

(

(d) Nao ha variacao na massa da moeda.(e) Qualquer das relacoes acima pode ser usada para de-terminar _ . Por exemplo, usando a do item (a) temos:

@

A

A

?_$@

r_

#

%

'

8

donde tiramos que

_

^a

J*v`7

d

JwO

Perceba que para responder aos itens (a)-(d) nao e ne-cessario conhecer-se _ . Esta e a razao do livro pedirpara determinar _ apenas ao final do exerccio.

P-46.(a) Mostre que, se os comprimentos de duas barras demateriais diferentes sao inversamente proporcionais aosseus respectivos coeficientes de dilatacao linear, a` mes-ma temperatura inicial, a diferenca em comprimento en-tre elas sera a mesma, a todas as temperaturas. (b) Quaisdevem ser os comprimentos de uma barra de aco e ou-tra de latao a 7 C, tais que, a qualquer temperatura, adiferenca de comprimento seja ' m? (a) `A temperatura inicial, considere-se os compri-mentos das duas barras dados por:

]

O7

_

O

e ]/ 7 _

8

onde

e a constante de proporcionalidade.Quando a temperatura varia de um @ , tem-se:

]

O

_

O

0

@

e ]/1_

0

@

A diferenca entre os comprimentos iniciais das barras e:

@^]

7

r]

Og7

5


(a) A variacao no comprimento da barra composta edada por

@^] @^]

O

0n@^]/

]

O

_

O

@

0T]/w_$q@

#

]

O

_

O

0T]/"_$

%

@

Por outro lado, tambem temos que

@^]T?][_;@

#

]

O

0T]

%

_b@

Igualando-se as duas expressoes para @b] obtemos que]

O

_

O

0T] _

#

]

O

04]

%

_ , ou seja, que

_


onde usamos o fato que @ l 5 l K. Solucao alternativa: Para o bloco flutuando nomercurio a K, pelo Princpio de Arquimedes, tem-se:

K

)/V]

K

]

)ks]

8

ou seja,{

K

)/

]

(1)

Para K

a

.>

e )k?

ma

.

, a equacao (1) fornece 4 ( m, ou seja, ocubo esta com % da sua aresta submersa. Mas todasas quantidades envolvidas na equacao (1) variam com atemperatura:

@b)/s0n@b/)/ @b

K

]m0T@^]{

K

(2)E claro que a massa do cubo nao varia com a tempera-tura:

K

K

]

8

@b

K

@b

K

]

04I]

@^]I

K

u

I]

@^]{

K

5@;

K

]

]`@b

K

5Eo

K

w@^] (3)

Substituindo a Eq. (3) na Eq. (2) temos:

@b )/ 0n@bk )/ 5E/@^]{

K

0n@^]{

K

@b)/$0n@bk)/ 5

@^]{

K

@b)/ 5)/V@

5u)ks@

0n@bk)/ 5

@^]{

K

Trazendo o resultado da Eq. (1) para y:

5w)k@

!

K

)/

]

!

0n@;k)k 5

@^]{

K

@b

]I

K

@

5

]k_

K

@

K

)k

@b

K

)k

]

E5

_

K

!

@

Introduzindo os valores das quantidades na equacao aci-ma, obtem-se, finalmente,

@b

a

J

m +

mm








Conteudo

20 Calor e a Lei da Termodinamica 220.1 Questoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 220.2 Exerccios e Problemas . . . . . . . . . 2

20.2.1 A absorcao de calor por solidose lquidos . . . . . . . . . . . . 2

20.2.2 Alguns casos especiais da pri-meira lei da termodinamica . . . 4

20.2.3 A transferencia de calor . . . . 520.2.4 Problemas Adicionais . . . . . 6




20 Calor e a Lei da Termodinamica

20.1 Questoes

Q-4.O calor pode ser absorvido por uma substancia sem queesta mude sua temperatura. Esta afirmacao contradizo conceito do calor como uma energia no processo detransferencia, devido a uma diferenca de temperatura?

Nao. Um sistema pode absorver calor e utilizar es-sa energia na realizacao de um trabalho; a temperaturado sistema nao muda e nao e violado o princpio daconservacao da energia.

Q-7.Um ventilador nao esfria o ar que circula, mas o esquen-ta levemente. Como pode, entao, lhe refrescar?

O movimento do ar estabelece uma corrente deconveccao, com o ar mais quente subindo, e o ar maisfrio ocupando-lhe o lugar, refrescando o ambiente.

Q-14.Voce poe a mao dentro de um forno quente para tiraruma forma e queima seus dedos nela. Entretanto, o arem torno dela esta a` mesma temperatura, mas nao quie-ma seus dedos. Por que?

Porque a forma, feita de metal como o alumnio, porexemplo, conduz muito melhor o calor do que o ar.

Q-20.Os mecanismos fisiologicos, que mantem a temperaturainterna de um ser humano, operam dentro de uma faixalimitada de temperatura externa. Explique como essafaixa pode ser aumentada, para os dois extremos, com ouso de roupas.

No verao, usam-se roupas claras, que refletem aradiacao, e soltas, que favorecem a conveccao do ar,ventilando o corpo. Com as roupas mais grossas deinverno, a camada de ar junto da pele, aquecida porirradiacao do corpo, funciona como isolante termico.

Q-27.

Discuta o processo pelo o qual a agua congela, do pontode vista da primeira lei da termodinamica. Lembre-seque o gelo ocupa um volume maior do que a mesmamassa de agua.

Pela primeira lei, tem-se para o processo

. O calor Q e removido da agua, e, portanto,igual a

, o calor de fusao do gelo. O trabalho e da-do por

, sendo p a pressao atmosferica. e maior que , sendo o trabalho positivo. Entao, avariacao da energia interna e

, sendo,portanto, negativa.

Q-31.Por que as panelas de aco frequentemente possuem umaplaca de cobre ou alumnio no fundo?

Porque o cobre e o alumnio conduzem mais eficien-temente o calor do que o aco.


20.2.1 A absorcao de calor por solidos e lquidos

E-6.

Quanta agua permanece lquida apos !#"$&% kJ de calorserem extrados de %('(" g de agua, inicialmente no pontode congelamento?

E necessario extrair

*)

+,"$&%#'-"-.,/(/-/-012*3$4'-'65879"(: J

para solidificar toda a massa de agua. Com os !1$4";%":

J extrados, so e possvel solidificar parte da agua:

)@?

?

!A$&"-%65 7>"

:

/1$&/(/B5 7>"(C

"1$.7D!#" kg

Portanto,

6)EF)

)@?*%('("

7>!#"GH7(7>" g

permanecem no estado lquido.

E-13.

Um objeto de massa de '$4"-" kg cai de uma altura de!("1$&" m e, por meio de uma engrenagem mecanica, gira



uma roda que desloca "$4'-"(" kg de agua. A agua estainicialmente a 7D!JI2K . Qual o aumento maximo da tem-peratura da agua?

A energia potencial gravitacional perdida pelo objetona queda e:

F)JLAMN+,'$4"-"-OQP1$&3("-.Q!("-R%#P(S-"1T1$

que correspondem a

VUW";%A$&/#S cal. O aumento detemperatura produzido na agua sera de:

)@?9X3("hIiK , e colocada den-tro da agua. O recipiente e a agua tinham inicialmentea temperatura de 7>'IiK e a final do sistema foi de 7>3IWK .

A agua absorve parte do calor cedido pela peca:

agua ) agua X agua 6Y

j7.S;"("("]LA.k7($&"

XOZ_[

Ll`'("-"^X metal

Reunindo as quantidades calculadas, vem:

agua y

metal

peca

%(3("("-"

y

U#%("("^X metal %#P17>'("-"^X metal

%#3-"("-"z %#3#S-S-"-"^X metal

X

nporq,svt

"1$4"-P(3^X.Z;[r{>L

`

bgf

P-24.Um bloco de gelo, em seu ponto de fusao e com massainicial de !("1$4" kg, desliza sobre uma superfcie horizon-tal, comecando a` velocidade de !A$4/-3 m/s e finalmenteparando, depois de percorrer %#31$&/ m. Calcule a massade gelo derretido como resultado do atrito entre o blocoe a superfcie. (Suponha que todo o calor produzidopelo atrito seja absorvido pelo bloco de gelo.) A desaceleracao do bloco e dada por:

|;}

|_}

`

%^Z~

ZB

!A$4/-3-

}

%(O%#3$4/(";

F"1$v!A7-7){#

}

f

O calor produzido pelo atrito e dado por:

)Z~

!#"$4"0;L1OQ"1$v!A7(7){(

}

O%#3$4/("^)

U(%#/$4'17hT

A massa de gelo derretido e:

)

)

U(%#/1$&'17]T

/1$&/(/B5 7>"

C

T{#0_L

) "1$&"("-%0;Lf

P-30.(a) Dois cubos de gelo de !#" g sao colocados num vidrocontendo %#"-" g de agua. Se a agua estava inicialmentea` temperatura de %(!I2K e se o gelo veio diretamentedo freezer a 7>!mIiK , qual sera a temperatura final dosistema quando a agua e o gelo atingirem a mesma tem-peratura? (b) Supondo que somente um cubo de gelofoi usado em (a), qual a temperatura final do sistema?Ignore a capacidade termica do vidro.

(a)Se a agua resfriar ate "]I>K , o calor fornecido porela sera de

agua F) agua X agua 6Y Q%("("iL1Oj7($&"XOZ_[

L`.b

.Q%(!

`

bm

!#"-"("gXOZ_[

Para o gelo chegar a " ` b , necessita-se:muot

`

)

Oort

`

X

Oort

`

6Y

j79"-"iLA.,"$&!#/

XOZ_[

Ll`9b

Oj7>!

`

bm

U#P-!gXOZ_[



Para fundir o gelo seriam necessarias:

?F)

Oort

`

+k7>"("iL1OrUWP$&!]XOZ_[r{>L1U#P-!#"gXOZ_[

Entao o calor fornecido derretera so parte do gelo. Ocalor disponvel sera:

!#"-"("

UWP-!mFS;%#";!X.Z;[

Com essa quantidade de calor, pode-se fundir

)

Oort

`

S_%#";!

UWP$&!

R!#/hL

Portanto, ter-se-a uma mistura de agua e gelo a " ` b ,restando 79"-"

!#/ SAU g de gelo. (b) Se apenas umcubo de gelo for adicionado a agua: Oort

`

F)

Oort

`

X

uot

`

6Y Q!("-.,"1$v!#/;O,"

7D!(j

/(P_U_$v!hX.Z;[

Fusao F)Oort

`

!#"iL1OrUWP1$v!]XOZ_[{DLA

/-P;U#!hXOZ_[

Oort

`

y

Fusao FS;/;U#%1$&!("XOZ_[kf

Agora o calor fornecido pela agua sera suficiente paraderreter todo o gelo. A temperatura final do sistema es-tara algo acima da temperatura de fusao:

?

uot

`

)

Oort

`

X agua 6Y

!#"iL1Oj7($&"

XOZ_[

L

`

b

.dY

"

`

!("]Y

Gc2;v^

muot

`

y

Fusao y

?

uot

`

S;/;U(%A$&!("

y

!#"^Y fm

^v^

) agua X agua 6Y

%#"-"iLA.k7-$4"

XOZ_[

L

`

b

.dY

%(!

`

c2;"

OdY

SAU

`

"1$4"-"("-/

/("B5879"

Y

7($jS75 7>"

"1$4"-"("-/

Y"A

/("B5879"

F/;U

`

b

Equacionando os calores, cedido e absorvido, vem:m

^v^

y

ci-


/-"G*/-'

'1$4"XOZ_[

(b) Dado > 79/XOZ_[ e sabendo-se do tem (a) queB

q

>

/-"gX.Z;[ , vem

/("m

>

79/;

>

S-/gXOZ_[

(c) Dado o valor B q 79"XOZ_[ , com o valorB

q

F/("XOZ_[ do tem (a), vemB=

q

B=

q

2/("XOZ_[

B=

q

x*S-"XOZ_[

(d) Dado o valor B q +%(%BXOZ_[ , para o processo ibtem-se:

B

q

R%(%

7>"G7D%hX.Z;[

B

q

7>%

'$4"

7>3XOZ_[

E para o processo bf tem-se:B

q

r

RB

q2

B

q

*/-"

7D%m793XOZ_[

*"$

r

*B

q

r

H793XOZ_[kf

P- S-/1fUm cilindro possui um pistao de metal bem ajustadode %1$4" kg, cuja area da secao reta e de %A$&"O } (Fig.20-24). O cilindro contem agua e vapor a` temperaturaconstante. Observa-se que o pistao desce lentamente, a`taxa de "1$&/(" cm/s, pois o calor escapa do cilindro pelassuas paredes. Enquanto o processo ocorre, algum vaporse condensa na camara. A densidade do vapor dentrodela e de '$4"5@79"1

:]

{WO e a pressao atmosferica, de7($&" atm. (a) Calcule a taxa de condensacao do vapor.(b) A que razao o calor deixa a camara? (c) Qual a taxade variacao da energia interna do vapor e da agua dentroda camara?

(a) Expressando a massa de vapor em termos da den-sidade e do volume ocupado,

)

c"

){#D

)


(b) Da equacao para a conducao do calor vem:

(

)

Oort

`

-

)

Oort

`

-

7>'1$&"lT{#

/(/(/0T{#0;L

"1$4"(S-3L1{(-f

P-55

Um grande tanque cilndrico de agua com fundo de 7($uUm de diametro e feito de ferro galvanizado de !A$v% mmde espessura. Quando a agua esquenta, o aquecedor agas embaixo mantem a diferenca de temperatura entreas superfcies superior e inferior, da chapa do fundo, em%A$&/

` C. Quanto calor e conduzido atraves dessa placaem !A$&" minutos? O ferro tem condutividade termicaigual a ';Up{Dw .

A area da chapa e RF

}

{DS6R%A$&%;U m } . A taxa deconducao do calor e

0l6Y

Q';U#.Q%1$&%-U(O%A$4/;

"1$4"-"-!-%

';U(%-UA7

O calor conduzido no intervalo de !1$4" minutos sera:

Q';U#%;U_7

.,/-"("D

%1$4"-%65879"

J \%("1$&% MJ

P-58.

Formou-se gelo em um chafariz e foi alcancado o estadoestacionario, com ar acima do gelo a

!1$4"

` C e o fundodo chafariz a S$4" ` C. Se a profundidade total do gelo +agua for 7-$jS m, qual a espessura do gelo? Suponhaque as condutividades termicas do gelo e da agua sejam"1$4S-" e "1$97>%p9#d{DIDKJ , respectivamente.

No regime estacionario, as taxas de conducao do ca-lor atraves do gelo e da agua igualam-se:

0 agua dYc

Yc-

aguaR0

Oort

`

dYc

Y

^Oort

`

Mas Yc , a temperatura na interface, e " ` C:

,"$.7>%-O,S$4";

7($jS

Oort

`

,"$jS;"-O!A$&"-

Oort

`

Oort

`

7($979/h) f

20.2.4 Problemas Adicionais

P-62.

Quantos cubos de gelo de %#"$4" g, cuja temperatura ini-cial e

7>"

` C, precisam ser colocados em 7($&" L de chaquente, com temperatura inicial de P(" ` C, para que amistura final tenha a temperatura de 79" ` C? Suponhaque todo o gelo estara derretido na mistura final e que ocalor especifico do cha seja o mesmo da agua. Considerando os valores para os calores especficosda agua e do gelo, X agua S7>P("T{#0_L e X

uot

`

%-%(%("8T{(0;L , o calor extrado do gelo para traze-lo atemperatura de fusao e:

F)

X

6Y)

Q%(%-%#";Ok7>"-8\%(%(%("("])

T

Para fundir o gelo:

}

F)

\/(/-/("-"("])

kTu

Para aquecer o gelo derretido de " ` C a 79" ` C:

)

X agua 6Y

)

dS7>P("xT{#0;L8Oj79"^8

S79P("-"])

uot

`

Tuf

O calor removido do cha e:

:

) agua X agua xY

j7($&"0_LA.dS7>P("xT{#0;L8O

3("^8

/-/-!-%#"(" J f

Reunindo todos os valores calculados acima, vem:

y

}

y

:

*"

Q%-%(%#"-"

y

/-/(/("-"("

y

S79P("-"-_)

/(/-!-%#"-"

/-P;UW"-"("])

\/-/-!-%#"("

)

\"$43#S-S0_Lf

Como cada cubo tem )

"1$&"-%#" kg, deve-se acres-centar ao cha E :4:

}

S_% cubos de gelo.

P-63.

Uma amostra de gas se expande a partir de uma pressaoe um volume iniciais de 79" Pa e 7($&"a para um volumefinal de %A$&"g . Durante a expansao, a pressao e o vo-lume sao obtidos pela equacao HZl } , onde ZJ7>"

{D

. Determine o trabalho realizado pelo gas durante



a expansao.

O trabalho realizado pela gas na expansao e dado por

Za

}

Integrando do volume inicial ate o volume final :

Z

D

9

}

Zl

G

/

>

\Z@

x

/

m

/

j79"^N{D)

3

/

7

/

,)@>

%(/1$4/-/GT1f








Conteudo21 A Teoria Cinetica dos Gases 2

21.1 Questoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2 Exerccios e Problemas . . . . . . . . . 321.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . 9




21 A Teoria Cinetica dos Gases

21.1 Questoes

Q-5.Duas salas de mesmo tamanho se comunicam por umaporta aberta. Entretanto, a media de temperatura nasduas salas e mantida a valores diferentes. Em qual salaha mais ar?

Pela equacao do gas ideal

constante, se apressao e a mesma nas duas salas. Entao .Se , tem-se , ou seja, ha mais ar nasala cuja temperatura e mais baixa.

Q-12.Por que a temperatura de ebulicao de um lquido au-menta com a pressao?

Com a pressao externa maior aplicada sobre o lquido,as moleculas precisam ter uma energia cinetica maiorpara vencer as forcas (fracas) que as unem e escaparou evaporar. Uma energia cinetica maior das moleculassignifica uma temperatura maior. A grandes altitudesacima do nvel do mar, no topo das montanhas, on-de a pressao atmosferica e menor, a agua, por exemplo,pode ferver a uns C; ao nvel do mar, ferve a C.

Q-19.Que evidencia direta temos para a existencia dosatomos? E indireta?

Nao percebemos diretamente a existencia dos atomos,mas indiretamente sim, e de muitas formas. Quandosentimos o vento no rosto ou o interceptamos com apalma da mao, sabemos que se trata de um gas, cu-jas partculas em movimento, exercem forca sobre asuperfcie em que incidem. Fenomenos observados co-mo o movimento Browniano ou o efeito fotoeletricotambem indicam claramente que todas as substanciassao formadas por estas minusculas partculas.

Q-25.De uma explicacao qualitativa da conexao entre o livrecaminho medio das moleculas de amonia no ar e o tem-po que se leva para sentir o cheiro da amonia, quando

um vidro e aberto do outro lado de uma sala.

O tempo tpico para se sentir o cheiro e de cerca deum minuto. As moleculas de amonia difundem-se noar, tendo um livre caminho medio da ordem de m,sofrendo da ordem de ! colisoes por segundo. Comoas moleculas movem-se em todas as direcoes devido a`scolisoes, precisam deste tempo para atravessar uma sa-la. O movimento das moleculas tambem e afetado pelascorrentes de convecao do ar, em geral presentes numasala.

Q-28.As duas paredes opostas de um recipiente de gas saomantidas a diferentes temperaturas. O ar entre os vidrosde uma janela contra tempestade e um bom exemplo.Descreva, em termos de teoria cinetica, o mecanismo deconducao do calor atraves do gas.

O calor e transferido no gas por um mecanismo com-binado de conducao e conveccao. As moleculas de arpro ximas da parede mais quente tem energia maior quea energia media e perdem energia nas colisoes com asmoleculas que tem energia mais baixa, que estao maisproximas da parede mais fria. Mas ha tambem um trans-porte de massa no processo, porque o ar junto da paredequente expande-se, tendo sua densidade diminuda. Oar mais frio vai ocupando o lugar deixado pelo ar maisquente, estabelecendo-se uma corrente de convecao en-tre as paredes.

Q-32.Que tipo de observacao forneceria boa evidencia de quenem todas as moleculas de um corpo estao se movendocom a mesma velocidade a uma dada temperatura?

Um fenomeno que fornece boa evidencia de que asmoleculas nao se movem a` mesma velocidade a umadada temperatura, e o processo de evaporacao de umlquido, em que as moleculas mais rapidas sao as quemais facilmente escapam da sua superfcie.

Q-37.Explique como podemos manter um gas a uma tempe-ratura constante, durante um processo termodinamico.

O processo no qual a temperatura mantem-se cons-tante, chama-se isotermico. Para que a temperatura semantenha constante durante o processo, as variacoes nas



outras grandezas (pressao, volume) devem ser efetuadasmuito lentamente e deve haver transferencia de calor.De um modo geral, as grandezas Q, W e "$# int nao saonulas nos processos termodinamicos. Para o gas ideala energia interna so depende da temperatura; se esta econstante, "$# int e nula e % '& .

Q-40.Explique por que a temperatura de um gas diminui emuma expansao adiabatica.

Nao havendo qualquer troca de calor, pela primeiralei da termodinamica, a variacao da energia interna eigual ao trabalho realizado na expansao, que e positivo.Portanto, a energia interna do gas diminui, o que corres-ponde a uma diminuicao da temperatura do gas.


P-3.Se as moleculas de agua em () g de agua fossemdistribudas uniformemente pela superfcie da Terra,quantas moleculas haveria em () cm da superfcie?

A massa molar M da agua e de *+() g/mol. O numeroN de moleculas na massa de (, g e dado por:

-

/.

0

-

A

1

()32

154

()36879

,:

2

;

(

;=*

)

moleculas

A area A da Terra e ? @*

):

2

1

T(

;

I2

1

6U

;

2

6T(

C

7>*

K moleculas/m :

(b) As massas molares sao 0WVX 4 () g/mol e 0FYZX

*

:

.~

e2

1

;

*Kylz2

1

*

:

.

:

2

1

T(

;

|{_}

.~

e

H

2

1

6

L

;

2


O calor efetivo transferido no ciclo e:

% Total %8laW%ll:a%l:

;

L

E

>

N

E

>\9

;N

O]V^C.Y

-

Z

E

>

2

NF

9

E

Z

Og&O J

b

bc

'ih

int

*ed]f

'

?>

E

>

N

E

>U9

;N

POWVX&C/Y

-

Z

E

>

2

N

E

Z

Og J

b

ca

_

>

_

8

E

`>

NX

PO)3G

Q

T"@E

>

9

E3R2

5


E.7

Para fazer gelo, um freezer extrai O kcal de calor de um reservaorio a

C em cada ciclo. O coeficiente deperformance do freezer e

g . A temperatura do ambiente e v

C. (a) Quanto calor, por ciclo, e rejeitado para oambiente? (b) Qual a quantidade de trabalho por ciclo necessaria para manter o freezer em funcionamento? (a) A performance do freezer e dada por:

Z

C

b

E o trabalho externo necessario e:b

C

Z

Oaw6xy@

-

g

g

;N

g kcal

H

b

m

C

H

`>

g

;N

g

m

OEMw6xy@

-

O

n

MN

g kcal

(b) b gMN

g kcal N

kJ.

E-10.

Num ciclo de Carnot, a expansao isotermica de um gas ideal acontece a O K e a compressao isotermica aN

K.Durante a expansao, cal de calor sao transferidas pelo gas. Calcule (a) o trabalho realizado pelo gas durantea expansao termica; (b) o calor rejeitado pelo gas durante a compressao isotermica e (c) o trabalho realizado pelogas durante a compressao isotermica.

(a) Na expansao isotermica, '[h int e b

. Portanto,b

cal nN

J.(b) Na compressao isotermica tambem

b

, mas o calor e liberado:

C

C

H

H

N

O

N

g

cal g J

(c)

b

N

g

cal g& J.

E-15.

Para o ciclo de Carnot ilustrado na Fig. 22-9, mostre que o trabalho realizado pelo gas durante o processo bc (passo ) tem o mesmo valor absoluto que o realizado durante o processo da (passo O ). O processo bc e a expansao adiabatica, a temperatura inicial e H e a final e

C e

. Entao, pela primeiralei,

'[h

int

b

.

'[h

int*ed

V

'

j*ed

V>

C

H E

b

m

*ed

V>

H

C E

O processo da e a compressao adiabatica, a temperatura inicial e C e a final e

H.'[h

int

b

e'[h

int

*ed

V>

H

C E . O trabalho eb

*ed

V>

H

C E . Portanto,

b

bc

b

da

.

P-20.

Uma bomba termica e usada para aquecer um edifcio. Do lado de fora a temperatura e

A C e dentro do edifciodeve ser mantida a C. O coeficiente de performance e

NF

9 e a bomba injeta

9 Mcal de calor no edifcio porhora. A que taxa devemos realizar trabalho para manter a bomba operando?



O calor injetado, expresso em J/s, e:

H

>

9

3G

K

E

>

O

9

v

VzE

Nv

|{

n

N

J/s

O coeficiente de performance da bomba e dada por:

Z

C

b

H

b

b

}

H

b

A taxa de realizacao de trabalho necessaria para operar a bomba vai ser entao

b

B

H

B

Z

m

n

N

NX

9

m

O

Nv

W

P-24.

(a) Mostre que, quando um ciclo de Carnot e tracado num diagrama temperatura (Kelvin) versus entropia (T - S), oresultado e um retangulo. Para o ciclo de Carnot mostrado na Fig. 22-19, calcule (b) o calor ganho e (c) o trabalhorealizado pelo sistema.

(a) Os dois processos isotermicos do ciclo de Carnot vao produzir dois segmentos de reta, perpendiculares aoeixo T no diagrama (T - S), e os dois processos adiabaticos ocorrem sem trocas de calor, produzindo dois segmentosperpendiculares ao eixo S.(b) No diagrama T - S, a area sob o segmento de reta ab fornece

H e sob o segmento cd, fornece

C:

Hl>

O

Z

E

>

;v

E~V^

Z

J

(c) Calculando

C:

Cl>

Z

E

>

;v

EJVX

Z

2

J

E, finalmente, o trabalho realizado pelo sistema e:

b

H&

C

2

g

J

P-25.

Numa maquina de Carnot de dois estagios, uma quantidade

H

de calor e absorvida a` temperatura

H

, o trabalhob

H

e feito e uma quantidade

u

e rejeitada a` temperatura u

pelo primeiro estagio. O segundo estagio absorveo calor rejeitado pelo primeiro, realiza um trabalho b

u

, e rejeita uma quantidade de calor

7

a` temperatura

7

.

Prove que a eficiencia desta combinacao e 5

.

Para o primeiro estagio da maquina pode-se escrever, de acordo com a equacao (22-11),

H

u

u

H

Para o segundo estagio, igualmente,

7

u

7

u

Essas relacoes permitem vincular

H

e

7

atraves de

u

:

7

7

u

u

H

H


LISTA 4 -

Documents

Exercícios Resolvidos-halliday 2