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1 Rafaeli Oleques Pires ALGUMAS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS UTILIZANDO UMA CALCULADORA HP Santa Maria – RS 2008

Exercícios Resolvidos Otimização

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Rafaeli Oleques Pires

ALGUMAS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS UTILIZANDO UMA

CALCULADORA HP

Santa Maria – RS

2008

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Rafaeli Oleques Pires

ALGUMAS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS UTILIZANDO UMA

CALCULADORA HP

Trabalho final de graduação apresentado ao Curso de Matemática – Área de Ciências Naturais

e Tecnológicas, do Centro Universitário Franciscano, como requisito parcial para obtenção do grau

de Licenciado em Matemática.

Orientador: Adilção Cabrini Beust

Santa Maria – RS

2008

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Rafaeli Oleques Pires

ALGUMAS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS UTILIZANDO UMA

CALCULADORA HP

Trabalho final de graduação apresentado ao Curso de Matemática – Área de Ciências Naturais

e Tecnológicas, do Centro Universitário Franciscano, como requisito parcial para obtenção do grau

de Licenciado em Matemática.

_________________________________________________

Adilção Cabrini Beust – Orientador (UNIFRA)

________________________________________________

Ana Maria Beltrame - (UNIFRA)

_______________________________________________

Alcibíades Grazzoni – (UNIFRA)

Aprovado em........ de ....................................... de ...............

4

RESUMO:

Neste trabalho, objetivou-se realizar uma análise de aplicações de derivadas utilizando uma calculadora HP, modelo 48G/GX. Através de sua utilização, fez-se uma tentativa para facilitar e auxiliar a compreensão de cálculos e interpretação de gráficos. Além disso, foram comparadas resoluções de alguns problemas matemáticos com e sem o emprego da calculadora a fim de fazer uma breve discussão dos benefícios da aplicação da calculadora nas derivadas, especificamente, na aplicação dela em problemas de máximos e mínimos. Para atingir esse propósito, foram apresentados alguns pré-requisitos para apresentar a solução de alguns fazendo uso da HP. No trabalho, há também uma introdução sobre os menus mais importantes da calculadora HP, assim como suas definições - para saber qual a opção a ser utilizada - e alguns exemplos - para explicar como aprender a derivar algumas funções. Por último, associam-se os problemas já citados ao uso da calculadora HP.

Palavras-Chave: Derivada. Calculadora HP. Máximos e Mínimos.

ABSTRACT:

In this work, it aimed to do an analysis of the applications in differentiates in a HP calculator, model 48G/GX. Due to its utilization, an attempt was done to simplify and understand calculations and graphic interpretations. Besides, it was compared resolutions of some mathematic problems with and without the use of the calculator in order to do a brief discussion of the benefits in the calculator application on the differentiates, specifically, in its application in maximum and minimum problems. For this purpose, it was enunciated the differentiate definition, together with some requirement in order that the solution of the problems could be applied to it. In the work, there is an introduction about the most important menus of the HP calculator, as well as its definitions – for knowing which option will be used – and some examples – for explaining how to learn to differentiate some functions. In the end, it was associated that problems to the use of the HP calculator.

Keywords: Differentiates.Calculator HP.Maximums and Minimums.

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................6

2 REFERENCIAL TEÓRICO .................................................................................................7

3 METODOLOGIA ..................................................................................................................9

4 A DERIVADA E SUAS APLICAÇÕES ............................................................................10

4.1 Problemas Aplicados a Máximos e Mínimos.....................................................................11

4.2 Problemas Envolvendo Intervalos Finitos e Fechados.......................................................12

4.3 Problemas Envolvendo Intervalos que não são Finitos e Fechados....................................21

5 DERIVANDO COM A CALCULADORA ........................................................................25

5.1 Utilizando o Menu “Symbolic”...........................................................................................25

5.2 Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados....................................................................28

5.3 Calculando os Pontos Críticos............................................................................................29

5.4 Análise dos Pontos Críticos no Gráfico..............................................................................31

6 APLICAÇÃO DA CALCULADORA NAS DERIVADAS E SUAS APL ICAÇÕES....33

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS..............................................................................................49

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................50

6

1 INTRODUÇÃO

Atualmente, devido aos grandes avanços computacionais e à facilidade que temos em

entrar em contato com esses avanços, surgiu a necessidade de se preparar os alunos a utilizar

diversas ferramentas computacionais, como a calculadora Hp48 G/GX. O estudo do cálculo

foi facilitado a partir da premissa que a calculadora serve de ferramenta para acelerar tanto as

operações que se quer realizar quanto os processos mecânicos. Dessa forma, haverá mais

tempo para que sejam explorados os conhecimentos teóricos da matéria e, também poderá ser

feita uma análise crítica dos resultados obtidos na calculadora.

Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam – a velocidade de um

foguete, a inflação da moeda, o número de bactérias em uma cultura, a intensidade dos

tremores de um terremoto, a voltagem de um sinal elétrico e assim por diante. A ferramenta

mais utilizada para estudar taxas nas quais variam essas grandezas físicas é a derivada.

A derivada possui várias aplicações como, por exemplo, problemas cujo objetivo é

encontrar o melhor modo de se desempenhar uma tarefa, os chamados problemas de

otimização, muito dos quais estão ligados ao tempo e ao custo.

A proposta desse trabalho é desenvolver o estudo das derivadas e suas aplicações

juntamente com o uso da calculadora HP. Nele, será analisado o uso da calculadora como

ferramenta de auxilio para os alunos de cálculo. Essa análise será feita a partir da resolução de

alguns problemas matemáticos que em um primeiro momento serão resolvidos sem o auxilio

da máquina e, logo após, com a ferramenta.

7

2 REFERENCIAL TEÓRICO

Há alguns anos atrás, segundo Lilia (2005), os problemas matemáticos eram

resolvidos apenas com o auxílio de tabelas. Com o aparecimento de calculadoras eletrônicas

portáveis cientificas, cada vez mais avançadas, as tabelas deram lugar às fórmulas. Na sua

origem, essas calculadoras eram demonstradas e utilizadas com maior freqüência, tornando,

assim, desnecessária a memorização de fórmulas.

Para Lilia (2005, p. 11) “Mesmo para quem prefere fórmulas para resolução de

problemas restaram cálculos a fazer, e o uso da calculadora científica, financeira, básica e

avançada será imprescindível”. Nesse contexto, nota-se a necessidade de utilizar a calculadora

científica como instrumento mediador de conhecimento capaz de desenvolver habilidades

imprescindíveis para a visualização de objetos e conceitos teóricos para o estudo da

matemática.

Segundo Anton (2000, p.36):

“A tecnologia tornou possível gerar, em segundos, gráficos de equações e funções, os quais levariam horas para serem produzidas. A tecnologia para fazer gráficos inclui calculadoras, sistemas algébricos computacionais e software feito para este propósito(...). As calculadoras produzem gráficos mais mal feitos do que a maior parte de programas de computador, mas têm a vantagem de serem compactas e portáteis”

Esse objeto de aprendizado é um recurso que pode ser utilizado em práticas

pedagógicas, mediante o auxílio do professor, onde ele deve fazer uma reflexão sobre a

importância do emprego dela em sala de aula. É possível conciliar conceitos teóricos e

teoremas com a calculadora. Seguindo essa idéia, Anton menciona: (2000, p. 13) “o uso

intenso de modernas técnicas gráficas computacionais para esclarecer conceitos e ajudar a

desenvolver no estudante a habilidade para visualizar objetos matemáticos, particularmente

em um espaço tridimensional”.

Assim como Anton, Lilia (2005) também relata as vantagens de se utilizar a

calculadora no trecho: “Alguns estudantes que tem calculadoras com maior nível de recursos

serão beneficiados com menor trabalho na resolução de problemas, entretanto, exigirá mais de

si mesmos, procurando dominar melhor os recursos de sua calculadora.”

Com a rápida modernização, faltam recursos em livros que abordem o uso da

calculadora, o que dificulta o aprendizado de quem a possui, afastando ele do material

didático. O assunto abordado acima é descrito por Anton (comentário do autor): “Acrescentar

ao livro um material de calculadora gráfica e CAS, de forma a permitir aos estudantes que

8

possuem essas ferramentas usá-las, sem impedir aos demais o acesso ao livro”. Conforme

descrito, a aplicação da calculadora científica em sala de aula servirá de apoio ao professor,

no ensino de cálculo, nesse caso, ao ensino de Cálculo I. Isso facilitará o aprendizado dos

alunos e também minimizará as dúvidas deles, colaborando para o estudo de cálculos. Desse

modo, será promovido o desenvolvimento do raciocínio e a compreensão de conceitos

matemáticos. Devido às dificuldades que os acadêmicos apresentam ao visualizar gráficos,

através desse artifício, a compreensão aumentará e, conseqüentemente, também o rendimento

da turma.

Percebe-se então a importância de se utilizar a calculadora científica em sala de aula

para a formação de habilidades, para a compreensão de conceitos e aquisição de

competências. Isso faz com que o aluno domine o cálculo ao saber resolver algoritmos e ao

visualizar gráficos tridimensionais.

9

3 METODOLOGIA

Esse trabalho foi desenvolvido a partir dos estudos das derivadas e suas aplicações,

especificamente, o estudo de máximos e mínimos, auxiliados pela calculadora HP 48G/GX.

Nele, foi analisada a utilização da calculadora relacionada ao conteúdo de máximos e

mínimos com a finalidade de auxiliar os alunos na interpretação e compreensão dos cálculos

matemáticos.

Procedimentos realizados:

1° Momento: Estudo das derivadas e suas aplicações;

2° Momento: Encontro com o orientador para discussões e questionamentos do conteúdo

proposto;

3° Momento: Análise das bibliografias indicadas pelo orientador;

4° Momento: Utilização e aplicação da calculadora nas derivadas e suas aplicações.

10

4 A DERIVADA E SUAS APLICAÇÕES

Para iniciar o estudo de derivadas e suas aplicações, foi feita uma breve introdução

sobre derivada.

Definição: A derivada de uma função f é a função 'f definida pela fórmula:

h

xfhxfxf h

)()(lim)(' 0

−+= >−

Também chamada de derivada de f em relação a x , desde que o limite exista. O

domínio de 'f consiste de todo x para o qual o limite existe.

A derivada 'f também pode ser interpretada de duas maneiras:

• Como inclinação da Tangente: a função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente

ao gráfico de )(xfy = , ou seja, o coeficiente angular da tangente ao gráfico de )(xfy =

no ponto ))(,( afa é ).(' af

• Como Taxa de variação: a função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y

em relação a x no ponto x , ou seja, se )(xfy = , a taxa instantânea de variação de y em

relação a x é ).(' xf

Outra maneira de apresentar intuitivamente o conceito de reta tangente é através do

limite de retas secantes.

Admita que uma curva tenha reta tangente em um ponto ( )., 00 yx Considere uma reta

secante à curva passando por dois

pontos distintos sobre a curva:

( )oyx ,0 e ( )., yx A figura ao lado

mostra o esquema da secante

cortando a curva. A idéia é que

para ( )yx, próximo de ( )oyx ,0 a

reta secante esteja próxima da reta

tangente. A derivada é o

coeficiente angular da reta

tangente, quando esta existe e não

é vertical

11

Matematicamente, a derivada é utilizada para o estudo de taxas nas quais variem as

grandezas físicas. De modo geral, ela nos permite aplicar os seus conhecimentos a qualquer

quantidade ou grandeza, desde que ela seja representada por uma função.

As aplicações da derivada são variadas, mas em todos os casos ela está sempre

relacionada a uma taxa de variação. Pensa-se na derivada como o coeficiente angular da reta

tangente, porém é importante lembrar que ela pode ser usado para indicar a taxa que o gráfico

apresenta em uma curva que deve subir ou descer. Entre as numerosas aplicações da derivada,

muitas estão ligados a ela como: tempo, temperatura, volume, custo, pressão, consumo de

gasolina, poluição do ar, lucros e despesas de uma companhia, ou seja, qualquer quantidade

que possa ser representada por uma função. Tais problemas citados são chamados de

problemas de otimização.

Esses problemas de otimização podem ser reduzidos a determinar maior ou menor

valor de uma função em algum intervalo onde esse valor ocorre. Por exemplo, se o tempo for

a questão principal de um problema, pode-se estar interessado em descobrir a maneira mais

rápida de desempenhar curta tarefa (menor valor da função), ou caso o custo seja a

preocupação principal, pode-se também querer saber a forma mais lucrativa de desempenhar

certa tarefa (maior valor da função).

Então, é a partir das aplicações da derivada que serão desenvolvidas as soluções de

certos problemas. De todas as aplicações da derivada, serão enfatizados os problemas

aplicados de máximos e de mínimos.

4.1 Problemas Aplicados a Máximos e Mínimos

Ao imaginar um gráfico de uma função como uma cordilheira bidimensional com

morros e vales, nota-se, então que o topo e a base dos vales serão chamados de máximos e

mínimos relativos. Os máximos e mínimos relativos são os pontos mais altos e mais baixos

em sua vizinhança próxima. Observa-se que nem sempre o máximo relativo é

necessariamente o ponto mais alto, nem o mínimo relativo é o ponto mais baixo. Eles são

somente pontos altos e baixos relativos à vizinhança.

Essas idéias estão relacionadas na seguinte definição.

Definição: Uma função f se diz ter um máximo relativo em 0x se houver um intervalo

aberto contendo 0x , no qual ( )0xf é o maior valor, isto é, ( ) ( )xfxf ≥0 para todo x no

12

intervalo. Analogamente, se diz que f tem um mínimo relativo em 0x se houver um intervalo

aberto contendo 0x , no qual ( )0xf é o menor valor, isto é, ( ) ( )xfxf ≤0 para todo x no

intervalo. Quando f tiver um máximo ou mínimo relativo em 0x , se diz que f tem um

extremo relativo em 0x .

Para entender melhor os problemas desse caso, deve-se classificá-los para começar a

resolver. Nesse episódio, os problemas significantes são:

• Problemas que se reduzem a maximizar ou a minimizar uma função contínua em um

intervalo finito fechado;

• Problemas que se reduzem a maximizar ou a minimizar uma função contínua, em um

intervalo infinito ou finito, mas não fechado.

Nos intervalos finitos e fechados, o Teorema do Valor Extremo garante que o

problema de determinar máximo e mínimo tem solução. Sabe-se que esses valores podem ser

obtidos, examinado os valores da função nos pontos críticos e nos extremos dos intervalos. O

Teorema do Valor Extremo descreve: “Se uma função f for contínua num intervalo fechado

finito ],[ ba , então f tem ambos, um máximo e um mínimo absolutos em ],[ ba .”

Para a resolução de problemas com intervalos finitos, mas não fechados é necessário

saber se existe solução, pois eles podem ou não ter solução. Nesse caso, parte da resolução do

problema é determinar se o mesmo possui realmente solução. Assim, se a função for contínua

e tiver exatamente um extremo relativo no intervalo, ou seja, tiver um mínimo ou máximo

relativo, então há um Teorema que nos descreve:

“Suponha que f é contínua e tem exatamente um extremo relativo em um intervalo I,

digamos em xo :

• Se f tiver um mínimo relativo em ox , então )( oxf é o mínimo absoluto de f em I;

• S f tiver um máximo relativo em ox , então )( oxf é o máximo absoluto de f em I.

4.2 Problemas Envolvendo Intervalos Finitos e Fechados

Nesta seção serão resolvidos os problemas sem a utilização da calculadora HP.

(Problema 1) Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é

a maior possível.

13

Solução:

Sejam x e y dimensões de um retângulo, onde x é o comprimento do retângulo em

metros e y a largura do retângulo em metros. Considera-se A como a área do retângulo em

metros quadrados, então:

yxA .= (1)

Pela hipótese, o perímetro do retângulo é 100m, logo as variáveis x e y estão

relacionadas pela equação:

10022 =+ yx ou xy −= 50 (2)

Substituindo (2) em (1), temos:

250)50( xxxxA −=−= (3)

Como x representa o comprimento, este não pode ser negativo e como os dois lados de

comprimento x não podem ter um comprimento juntos que ultrapasse o perímetro de 100m,

então a variável x está restrita ao intervalo .500 ≤≤ x

Logo, o problema está determinado a encontrar o valor ou valores de x no intervalo

]50,0[ para que A seja máxima. Como A é um polinômio, contínuo em ]50,0[ , logo o

máximo ocorre nos extremos deste intervalo ou em um ponto estacionário.

A partir de (3), temos:

xdx

dA250−=

Ao se equacionar 0=dx

dA, obtém-se:

250250 =⇒=− xx

Assim, o máximo ocorre em um dos pontos:

25,0 == xx ou .50=x

14

Ao substituir os valores acima em (3), encontra-se os valores apresentados na tabela

abaixo, de modo que a área máxima é de 2625m e ocorre em 25=x , que está totalmente de

acordo com o gráfico de (3). A partir de (2), resulta 25=y . Portanto, o retângulo de

perímetro 100m com maior área é um quadrado de lado igual a 25m.

Observação: Nesse caso, incluem-se 0=x e 50=x como possíveis valores de x,

mesmo que esses valores resultem em um retângulo com dois lados de comprimento zero.

Utilizar ou não esses valores dependerá do problema em questão. Se o caso tratar de um

problema concreto, no qual o retângulo é formado com algum material concreto, então os

valores devem ser descartados. Com esse problema matemático, não há nada de errado em

permitir que os lados tenham comprimento igual à zero.

(Problema 2) A figura abaixo mostra um poço de petróleo no mar em um ponto W a

5Km do ponto A mais próximo, em uma praia reta. O petróleo é bombeado de W até um

ponto B na praia a 8Km de A da seguinte forma: de W até o ponto P na praia entre A e B sob

a água, e de P até B através de uma tubulação colocada ao longo da praia. Se o custo em

dólares for $1.000.000/Km sob a água e $500.000/Km por terra, onde P deve estar localizada

para minimizar o custo?

15

Solução:

Considere x como a distância em km de A a P e C como o custo, em milhões de

dólares, para toda a tubulação.

Observe a figura abaixo, o comprimento sob a água é descrito pela distância entre W e

P. Considere o triângulo WAP formado pela figura. Resolvendo pelo Teorema Pitágoras, o

comprimento entre W e P será:

222 5+= xh

2522 += xh

252 += xh (1)

Pela ilustração acima também se retira o dado do comprimento da tubulação em terra,

que é a distância entre P e B, a qual é:

x−8 (2)

De (1) e (2), o custo total c para a tubulação é:

)8.(2

1)25.(1 2 xxC −++=

)8.(2

1252 xxC −++=

Onde o coeficiente 1 representa o custo sob a água e 2

1sob terra, pois o custo sob terra

é a metade do custo sob água.

Como a distância entre A e B é de 8Km, a distância x entre A e P deve satisfazer o

seguinte intervalo:

80 ≤≤ x

16

A partir dos dados obtidos, pode-se encontrar o valor de x no intervalo [0,8] para que

os custos sejam mínimos. Como c é uma função contínua em [0,8], pode-se derivar a função

para encontrar o custo mínimo.

Assim,

))8(2

125( 2 xx

dx

d

dx

dC −++=

)8(.2

1)25( 2 x

dx

dx

dx

d

dx

dC −++=

2

1

252−

+=

x

x

dx

dC

Equacionando 0=dx

dC e resolvendo em função de x , tem-se:

⇒+=

⇒+=

⇒+=

⇒=+

⇒=−+

254

)25()2(

252

2

1

25

02

1

25

22

222

2

2

2

xx

xx

xx

x

x

x

x

⇒=− 254 22 xx

.3

53

25

3

25

253

2

2

±=∴

⇒=

⇒=

⇒=

x

x

x

x

Visto que x varia de [0,8], então o valor encontrado 3

5− deve ser descartado, sendo

assim, tem-se um único ponto crítico, o valor 3

5+ . Logo, como esse valor pertence ao

intervalo [0,8], o mínimo deve ocorrer em um dos seguintes pontos:

3

5,0 == xx ou 8=x

17

x 0

3

5

8

C 9 33,8 43,9

A partir dos possíveis valores de x , percebe-se, pela tabela acima, que o valor de

menos custo é 33,8$=C , e isto somente ocorre quando o ponto P estiver a uma distância de

km89,23

5 ≅ de A.

(Problema 3) Um cartaz de 6m de altura está colocado no alto de um edifício, com sua

parte inferior a 2m acima de nível do olho do observador, conforme a figura abaixo. A que

distância diretamente abaixo do cartaz deve colocar-se um observador de modo a maximizar o

ângulo θ formado pelas linhas de visão do topo e da base do cartaz? (este ângulo deve

resultar na melhor visão do cartaz.)

Solução:

Utiliza-se o esboço do problema na ilustração abaixo. Observe os triângulos

retângulos AôCe BôC, com o lado OC comum, de comprimento x , vê-se que:

18

x

tg26=α e

xtg

20=β

Note que o ângulo βαθ −= . Desse modo:

θα

βαθ

βαθ

tgtg

tgtgtg

tgtg

.1

)(

+−=∴

⇒−=

(1)

Substituindo αtg e βtg em (1), obtém-se:

+

−=

xx

xxtg20

.26

1

2026

θ

+=

2

5201

6

x

xtgθ

+

=520

.6

2

2

x

x

xtgθ

520

62 +

=x

xtgθ (2)

Para encontrar os extremos de θ , deriva-se (2), e logo após equaciona-se a derivada

0=dx

dθ ou 0=θxD , mas para isto, diferencia-se implicitamente em relação a x usando a

regra do quociente. Assim, tem-se:

Como ,0sec2 >θ logo 0=dx

dθse, e somente se,

.13025205200520063120 222 ±=±=⇒=⇒=−⇒=− xxxx

( )

( ) ( )[ ]( )

( ) .520

63120.sec

520

2.65206.sec

520

6

)520

6(

22

22

22

22

2

2

+−=

⇒+

−+=

+=

+=

x

x

dx

d

x

xxx

dx

d

x

x

dx

dtg

dx

d

x

xtg

dx

d

θθ

θθ

θ

θ

19

Logo o único ponto crítico θ é .520=x

Note que o sinal da derivada passa de positivo para negativo em ,520 assim, o valor

de máximo de θ ocorre em mx 8,22520 ≅= .

4.3 Problemas Envolvendo Intervalos que não são Finitos e Fechados:

(Problema 1) Uma lata cilíndrica fechada deve conter um litro( )1000 3cm de líquido.

Como poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na confecção da

lata?

Solução:

Considerando h altura da lata em cm, r o raio da lata em cm e Scomo a área da

superfície da lata em .2cm Supondo que não haverá nenhuma perda nem superposição, a

quantidade necessária para confecção será igual à área da superfície da lata.

A lata consiste em dois discos circulares de raio r e uma folha retangular de dimensão

h por rπ2 , logo a área da superfície é:

rhrS ππ 22 2 += (1)

Tem-se que S depende de duas variáveis r e h , logo tem-se que encontrar uma forma

de expressar uma delas em função da outra.

Visto que o problema descreve que o volume da lata é 1000 3cm , logo, a partir da

fórmula do volume do cilindro rhV π= , tem-se que:

2

2 10001000

rhhr

ππ =⇒= (2)

20

Substituindo o valor da altura em (1), obtém-se a expressão:

rrS

20002 2 += π (3)

Agora, o objetivo é encontrar o valor de r no intervalo de ( )+∞,0 , para o qual S é o

mínimo possível, desde que haja realmente um mínimo. Deve-se desconsiderar o valor 0=r ,

pois lata com raio igual a zero não pode ter um volume de .1000 3cm

Porém se S é uma função contínua de raio no intervalo ( )+∞,0 e

+∞=

++→ rr

ox

20002lim 2π e +∞=

+−∞→ rr

r

20002lim 2π

Então S tem um mínimo no intervalo ( ).,0 +∞

Observação: Uma função contínua pode ter ou não extremos absolutos em um

intervalo aberto. Mas para garantir à existência de extremos absolutos de uma função contínua

em um intervalo qualquer aberto (a,b), deve-se analisar o seu comportamento quando +→ ax

e −

→ bx .

Neste caso, os valores dos limites mostram que f tem um mínimo absoluto, mas

nenhum máximo em ( )+∞,0 , de modo que este mínimo ocorre em um ponto crítico.

Calculando:

2

2

2

20004

20002

20002

rr

dx

dS

rr

dx

d

dx

dS

rrS

dx

d

−=

+=

+=

π

π

π

Equacionando 0=dx

dS, obtém-se:

+=2

2 1000.22

rrrS

πππ

21

.4

2000

20004

20004

02000

4

3

3

2

2

π

π

π

π

=

⇒=

⇒=

⇒=−

r

r

rr

rr

Portanto, .2

103 π

=r

Substituindo o valor encontrado de r em (2), tem-se:

.2

202

1001000

2

10.

1000

3

3

2

3

π

ππ

ππ

=

⇒=

=

h

h

h

Logo, .2rh =

Então, o mínimo ocorre quando a altura é igual ao diâmetro da lata.

Analisando cuidadosamente este problema, percebe-se que ele também possui duas

outras interpretações.

• A conclusão de que o mínimo depende do valor de r, pode ser deduzida do teste da

derivada segunda, observando que 32

2 40004

rdr

Sd += π é positiva se r>0, e logo é positiva

se 3 2

10

π=r . Assim sendo, ocorre no ponto crítico 4,5

2

103

≅=π

r um mínimo relativo e,

portanto, um mínimo absoluto.

• A existência de um mínimo é sugerida pelo gráfico de S versus r na figura abaixo.

Conforme mostrado, este mínimo ocorre em 3 2

10

π=r .

22

Nota-se que S não tem máximo em ( )+∞,0 . Deste modo, caso tivesse sido pedido o

máximo de material na confecção da lata, o problema não teria solução. Problemas de

otimização sem solução são chamados de malcondicionados.

(Problema 2) Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é

vendida a granel a um preço de $200 por unidade. Se o custo da produção, em dólares, para x

unidades for 2003,080000.500)( xxxC ++= e se a capacidade de produção for de, no

máximo, 30.000 unidades em um tempo especificado, quantas unidades de penicilina devem

ser fabricadas e vendidas naquele tempo para minimizar o lucro?

Solução:

Primeiramente, para resolver esse problema devemos considerar três funções que são

muito importantes para um economista ou industrial, são elas:

=)(xC Custo total da produção de x unidades de um produto, durante certo período de

tempo;

=)(xR Rendimento total da venda de x unidades de um produto, durante certo

período de tempo, e =)(xP Lucro total obtido na venda de x unidades de um produto,

durante certo período de tempo.

Elas funções são chamadas de função-custo, de função-rendimento e de função-lucro,

respectivamente. Se todas as unidades produzidas forem vendidas, elas estarão relacionadas

por

)()()( xCxRxP −=

[lucro] = [rendimento] – [custo]

23

Pela hipótese, a forma líquida da penicilina é vendida a um preço de $200 por unidade,

ou seja, o rendimento total da venda de x unidades desse produto é dada pela função

xxR 200)( = . Visto que o problema informa a função custo total de produção para x

unidades, logo o lucro )(xP sobre x unidades será:

( )2003,080000.500200)()()( xxxxCxRxP ++−=−=

Como a capacidade de produção é de no máximo 30.000 unidades, então x deve

pertencer ao intervalo de [0,30.000]. Assim, para descobrir quantas unidades devem ser

fabricadas e vendidas em um determinado tempo para maximizar o lucro, tem-se que derivar a

função lucro e encontrar o possível ponto crítico no intervalo determinado. Assim,

( )( )⇒++−= 2003,08000.500200)( xxxxPdx

d

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

xdx

dP

xdx

dP

xdx

dx

dx

d

dx

dx

dx

d

dx

dP

xxdx

dx

dx

d

dx

dP

xxxdx

d

dx

dP

006,0120

006,0800200

003,08000.500200

003,08000.500200

003,08000.500200

2

2

2

−=

⇒++−=

++−=

⇒++−=

⇒++−=

Equaciona-se 0=dx

dP, para encontrar o valor do ponto crítico, pois como a função

derivada é uma função de primeiro grau, pode-se encontrar apenas um valor de ponto crítico.

Assim,

000.20

006,0

120

006,0120

0006,0120

=

⇒=

⇒=⇒=−

x

x

x

x

Como esse valor encontrado pertence ao intervalo [0,30.000], então o lucro máximo

deve ocorrer em um dos pontos:

000.20,0 == xx ou 000.30=x

Substituindo esses valores na função lucro ),(xP obtêm-se os seguintes valores:

• Para ;000.500)(0 −=→= xPx

24

• Para ;000.700)(000.20 =→= xPx

• Para .000.400)(000.30 =→= xPx

Então, a partir dos dados obtidos acima, a qual mostra que o lucro máximo é de

00.700=P e ocorre quando 000.20=x unidades forem fabricadas e vendidas no tempo

especificado. Dados comprovados pela tabela de valores abaixo.

5 DERIVANDO COM A CALCULADORA

Como retratado anteriormente, a derivada de uma função é o coeficiente angular da

reta que tangencia esta função em um ponto dado. Porém, é relevante mencionar que ela

também pode ser interpretada como a taxa de variação relacionada à variável independente.

Vários são os casos nos quais se pode aplicar isso, por exemplo:

• Velocidade Instantânea;

• Número de habitantes de uma cidade;

• A quantidade de água em um reservatório com entrada e vazão variáveis;

• O número de reais em uma conta bancária.

Portanto, infinitas são as aplicações das taxas de variação.

Por agora, determinaremos os valores de máximos e mínimos que uma função pode

obter e suas aplicações.

Nos exemplos anteriores têm-se áreas em função de y, custo em função de x, volume

em função de x, superfície em função de raio e altura e ângulo em relação à variável x,

respectivamente.

Nesses casos, analisam-se:

• Um valor de y cuja área seja a maior possível;

• Um valor de x para minimizar o custo de construção;

• Um valor de x cujo volume seja o máximo possível;

• Um valor de r para minimizar o material de confecção de uma lata;

• O valor de x para que o ângulo seja o máximo possível.

25

Mas para obter esses valores é necessário encontrar seus respectivos pontos críticos.

Mas, em um momento anterior, é importante conhecer alguns comandos indispensáveis para

se derivar com a calculadora científica HP.

5.1 Utilizando o Menu “Symbolic”

Para se derivar com a calculadora, utilizar-se a opção

“Symbolic” ( [] [9]).

Ao selecionar essa opção aparecerá um quadro

com várias alternativas. Então, deve ser selecionada a

opção “Differentiate” (Derivada).

Selecionada está opção, logo aparecerá outra

janela com três campos: EXP,VAR e RESULT.

No campo EXP é onde será colocada a expressão

que vai ser derivada;

VAR: onde deve ser determinada a variável a qual a

função será derivada;

RESULT: a qual aparecerá duas opções “ Symbolic” e “ Numeric”.

A opção “Symbolic” fornecerá o resultado de uma forma simbólica, ou seja, a função

derivada com as variáveis, já a opção “Numeric” produzirá uma resposta em forma numérica.

Quando selecionada, surgirá um novo campo onde se deve

entrar com um valor x o qual queremos determinar a

derivada. Nesse caso, será mais interessante utilizar a

opção “Symbolic”, pois no momento é necessário

determinar a derivada e não a derivada em um certo ponto x. Assim, obtém-se a derivada da

forma geral, como se estivesse resolvendo manualmente.

Além dessas opções, destaca-se a função [ STEP] . Este link mostra “os passos” para

se diferenciar uma função.

Por exemplo, diferenciar x2.

26

Nos campo abaixo digitamos:

EXPR: X^2

VAR: X

RESULT: Symbolic

Após, entra-se com os dados na calculadora, então,

percebe-se a opção [STEP].

Nota-se que algo acontece quando está

alternativa é selecionada.

Dessa forma, surge a tela ao lado. O que é

encontrado? Que tipo de resposta é fornecido pela

calculadora? Na realidade, o que aparece na tela são os

passos para se derivar a função x2. Ao observar

atentamente, note que a máquina utiliza a regra da

potencial generalizada. Tomando por exemplo f(x)= x e

n = 2 , tem-se:

2121 ][)(

][2)(')]([)]([ xDdx

xdxxfxfrxfD x

rrx =⋅== −−

Ressalta-se que isso foi a mesma ação que a calculadora escreveu, visto que a única

diferença é a nomenclatura que a calculadora utiliza. O nosso dx

xd )( e a calculadora “dx(x)”.

Agora será derivada a função anterior (x2). Utilizando-se o menu “Differentiate”,

entra-se com os dados abaixo:

EXPR: X^2

VAR: X

RESULT: Symbolic

Então, seleciona-se a opção [ok] para que a calculadora derive a função x2. A

derivada da função aparecerá no primeiro nível da calculadora. Pode-se salvar essa equação

em uma célula para vários fins, como por exemplo, plotar o seu gráfico ou da derivada.

5.2 Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados

27

No momento que se trabalha com máximos e mínimos, por várias vezes, precisa-se

encontrar os zeros da função. Neste caso, têm-se alguns métodos que se deve conhecer para

obter o valor das outras raízes.

Primeiramente, plota-se o gráfico da função derivada, podendo, assim, utilizar a opção

[ROOT] , que está dentro do leque de opções

[FCN] (abreviação de “function” – função), que

surge quando plota-se um gráfico. Com ela pode-se

encontrar as raízes, desde que o cursor esteja

devidamente posicionado próximo a raiz. Assim, ao

determinar f’ pode-se encontrar os pontos críticos

da função f(x).

Outra maneira para encontrar as raízes é utilizar o “ Solve Equation” onde “Solve

Equation” significa “resolva a equação”, ou seja, ao ativar essa opção, a calculadora

resolverá a função e, deste modo, obtém-se uma resposta. Se opção for encontrar outra

resposta, outro valor de ponto crítico será necessário um “chute” inicial, para que a

calculadora encontre outro valor de raiz da função. Esta necessidade de “chute” ocorre porque

o método numérico utilizado pela calculadora precisa de um valor inicial para que ela comece

a fazer os cálculos e encontre os zeros da função.

5.3 Calculando os Pontos Críticos:

Para calcular os valores dos pontos críticos da função f(x) = 343

3

+− xx

, deriva-se a

função. Para isso, necessita-se entrar o menu “Differentiate”.

Nos campos abaixo colocamos a expressão a ser derivada:

Expr: X^3/3-4*X+3

Var: X

Result: Symbolic

Obtém-se, assim, a função derivada que está

situada no primeiro nível, como mostra a figura anterior.

28

Repare que a calculadora multiplica e divide X^2 por 3. Isso ocorre porque na

calculadora há uma opção que reúne os membros da função, porém o que se aspira são os

pontos críticos, então se utiliza a opção “ Symbolic” para encontrá-los.

Ao selecionar a opção “ Symbolic”, aparecerão várias outras opções e uma delas é a

[COLCT] . Colct é uma derivação da palavra collect que significa

coletar. Ao selecionar esta alternativa, a calculadora irá realizar a

divisão e a multiplicação, ou seja, eliminará casos como este, de

multiplicar e dividir uma variável por um mesmo número.

ANTES DEPOIS

O que aconteceu? Que resposta foi encontrada? A resposta encontrada “-4 +

0.9999999*X^2” indica que a calculadora primeiramente dividiu 1 por 3 e depois multiplicou

o resultado anterior por 3. Isso explica o porquê dela ter obtido o valor de 0.99999 em lugar

de 1. Mas esse valor não importará significativamente para os próximos cálculos.

Salva-se esse resultado na célula A e, para isso, utiliza-se os seguintes procedimentos:

[ `] [α] [A] [enter] [sto]

Agora com a derivada salva na célula A, entra-se no menu “Solve

Equation”

Ao entrar no “Solve Equation”, na barra

superior aparecerá a expressão EQ:(equação) onde é

colocado a equação da derivada encontrada. Mas essa

equação já está salva na célula A.

Então, quando estiver na linha EQ:, seleciona-

se a opção [CHOOS], pois quando ativada aparecerá

29

todas as equações e valores que estão salvas no diretório [HOME], ou em alguns de

seu subdiretório.

Ao selecionar a equação [A] , aparecerá a

linha EQ:. Em seguida, vai aparecer a barra X: nela,

apenas clicar-se na opção [SOLVE] (solução) que será

fornecida a solução da equação, ou seja, o zero da

função.

Obtém-se o valor 2 como solução. Essa resposta é o valor do ponto crítico da função

f(x) = 343

3

+− xx

. Mas a função derivada é um polinômio de segundo grau que possui duas

raízes, ou seja, falta ainda um valor. Para encontrar o outro ponto crítico, tem-se que “chutar”

um valor para x. Por exemplo, o valor -1.

Na barra negra da linha X, coloca-se o valor de -1 e, depois, seleciona-se [SOLVE] .

Dessa maneira teremos o valor da outra raiz.

Assim, a resposta é -2, que é a outra raiz da equação x2 – 4.

Logo para encontrar os pontos de máximo e mínimo, basta substituir os valores de x

encontrados -2 e 2 na primeira equação (f(x) = 343

3

+− xx

e, desta forma, obtêm-se os

valores de f(x).

5.4 Análise dos Pontos Críticos no Gráfico

Será plotada a função f(x) = 343

3

+− xx

e de sua derivada f`(x) = x2 - 4 para a análise

do comportamento de ambos os gráficos, função e derivada.

Para plotar um gráfico deve-se selecionar a opção plot:

30

[ ] [plot].

Na primeira linha de opções é a linha “TYPE” . Nela seleciona-se o tipo de função que

será plotado. Pode-se plotar tanto funções simples de uma variável até gráficos em três

dimensões, passando por funções polares entre outras.

Ao lado dessa linha (TYPE) tem-se um símbolo que indica o tipo de medida de ângulo

que será utilizado, graus (“ degress” ), radianos (“radians” ) ou em grados

(“grads”). Neste caso, utiliza-se radianos.

Abaixo fica uma linha já conhecida

(EQ) . Nessa linha se digita a função que

será plotada. Há duas maneiras para entrar

com a equação. A primeira é digitando

diretamente na janela a equação e a segunda

utilizando uma equação já definida em

alguma célula de memória por meio da tecla [CHOOS].

Em seguida, tem a linha “INDEP” é nela que coloca-se a variável que será

independente.

Ao lado as linhas “H-VIEW” e “V-VIEW”.“H-VIEW” são os intervalos definidos

no eixo x e “V-VIEW” os intervalos definidos no eixo y. Se a opção “autoscale” for

selecionada a posição e dimensão vertical da janela é escolhida automaticamente pela

calculadora. O “autoscale” é utilizado para evitar algumas formas bizarras que, por

eventualidade, podem acontecer ao entrar com algum valor errado. Ele regulará

automaticamente o erro.

Depois desse breve comentário das ferramentas necessárias para plotar um gráfico,

traça-se o gráfico da função f(x) descrita no início.

Entra-se com os dados na calculadora:

EQ:X^3/3-4 *X+3

Indep: X

<: RAD

H-view: -5 a 5

V-view: –10 a 15

31

Ao analisar o gráfico, percebe-se que neste caso se tem um ponto de máximo e o ponto

de mínimo locais.

Para plotar o gráfico da derivada, precisa clicar no botão [FCN] (função) e dentro

dela selecionar a opção [F´] (derivada). Através disso, obtêm-se os gráficos da função e sua

derivada.

As análises dos gráficos mostram que quando f`(x) = 0, tem-se um ponto de máximo ou

de mínimo em f(x). Mas o fato de ter f`(x) = 0 não implica ter pontos de máximo ou mínimo.

Implicam sim em ter pontos críticos. Este ponto crítico pode ser máximo, mínimo ou um

ponto de inflexão.

6 APLICAÇÃO DA CALCULADORA NAS DERIVADAS E SUAS APLIC AÇÕES

Nesta parte, será aplicada a calculadora no estudo mais especifico dos problemas

aplicados de máximos e mínimos, para auxiliar o acadêmico na resolução deles.

Para isso, será utilizado um único exemplo que retrata bem as situações em que

teremos que utilizar a calculador. Os resultados obtidos serão analisados, para no final

considerar a importância da utilização da calculadora como objeto de aprendizado

matemático.

Como já foi descrito anteriormente, são vários os casos em que se tem que determinar

o valor mínimo ou máximo, para que, com esse valor, melhorar ou criar um sistema sem

desperdício, ou seja, com a melhor utilização do material disponível para obter o melhor

resultado possível.

(Problema 1) Um fazendeiro tem 200m de cerca para construir três lados de um

cercado retangular, um muro longo, retilíneo, servirá como o quarto lado. Que dimensões

maximizarão a área do cercado?

32

Solução:

Almeja-se maximizar a área A do cercado do desenho ao lado. Seja:

,.yxA = área do cercado retangular, onde x é

comprimento do cercado em metros e y é a largura do

cercado em metros.

Como o fazendeiro disponibiliza de somente 200

metros de cerca, este valor será o perímetro do cercado. Desta forma, as variáveis x e y

relacionam-se da seguinte forma:

xyyx 22002002 −=⇒=+

Pode-se escrever a área A em função de x e y:

22200)2200.(. xxxxyxA −=−==

Note que x representa o comprimento em metros, então não podendo admitir valores

negativos e também não pode ultrapassar o valor do perímetro que é de 200 metros. Mas,

então qual é o domínio de x? Veja bem, quando se analisa a expressão 2002 =+ yx , percebe-

se que quando 0=y o valor de x será de 100 metros, ou seja, x tem valor máximo e quando

,200=y o valor de x será zero, neste caso x assumirá seu valor de mínimo. Assim, o domínio

de x será: .1000 ≤≤ x

Como o problema pediu para encontrar os valores em que a área encontrada seja

máxima e A é um polinômio em função de x, para encontrar esse valor de máximo, basta

derivar a função A. Para isto, utiliza-se o menu “Differentiate”. Logo:

Expr: 200 *X-2 *X^2 Var :X Result: Symbolic .

Encontrando assim o resultado apresentado

ao lado.

Salva-se este resultado em uma das células da máquina, por exemplo, a célula [A].

[ ` ] [α] [A] [sto]

Agora no menu “Solve Equation” será procurado o valor de x para .0)(' =xf

Obtém-se o valor de .50mx = Determina-se

então que quando 50=x tem-se um ponto crítico; e

33

este ponto crítico será único, pois a função derivada )(' xf é uma equação de primeiro grau,

ou seja, possuindo somente um único valor para .x

Então, o máximo ocorrerá em um dos seguintes pontos abaixo:

50,0 == xx ou .100=x

Para encontrar o valor de maior dimensão, devem-se calcular os valores de A para os

pontos críticos determinados acima. Mas como serão calculados esses valores com a

calculadora?

Há também outra forma de calcular valores de variáveis, sem que você entre no menu

“Solve Equation”, em que se entra com os valores das variáveis independentes e obtêm-se

um valor para ).(xf

Toma-se a função área 22200)( xxxAy −== . Entre na função rocha Equation

[ ][ ]equation← .

Dentro do equation escreve-se a equação área:

22200)( xxxA −= .

Passos:

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]enteryXXXA x ]][][[[.]2][[.]200( →−=→ αααα

Aparecerá no nível 1 a seguinte equação:

2^*2*200)(' XXXA −=

(Tela à esquerda no “equation”)

Agora escreva “DEFINE”, para a calculadora definir y em função de x.

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]enterENIFEDαα .

Pode-se também utilizar uma tecla que já está com este processo pronto; a tecla

[def]. Ela é a função rocha da tecla [sto] . Bastaria então ter a função escrita em função

de x, e apertar essa tecla.

Repare que apareceu uma célula nova “Y”. De agora em diante, todo a vez que

colocar um valor no nível 1 e apertar a célula “Y”, a calculadora lhe dará o resultado da

34

expressão 22200 xx − para o valor de x armazenado no nível 1. Assim, para encontrar o valor

da função no ponto ,0=x basta digitar no primeiro nível o valor 0 e apertar a célula “Y”. Da

mesma forma os outros valores de ponto crítico. Logo, temos:

( )( )( ) .0100

;500050

;00

==

=

A

A

A

Percebe-se que o valor máximo para a área, dá-se quando 50=x . Assim, quando

50=x vê-se que .100=y Portanto, o ponto de máximo da função Aé ( ).100,50 Para justificar

este resultado, traça-se o gráfico da função A , a partir do menu “Plot”:

EQ: 200 *X-2 *X^2

Indep: X

H-view : 0 a 100 (domínio da função)

V-view : -1000 a 6000

Ao traçar o gráfico da função acima, pode-se

traçar juntamente o gráfico da derivada da mesma e

pedir o valor da raiz através da opção [ROOT] .

Além disso, pode-se pedir para a calculadora traçar a reta tangente à função área nesse

ponto 50=x . Mas, para isso, tem-se que verificar se a função a qual está sendo trabalhada é a

função ou sua derivada. Neste caso, a função A. Para verificar, basta selecionar a opção

[VIEW], dentro da opção [FNC], que lhe mostrará

a função em que se está trabalhando.

Pois bem, no ponto 50=x , traça-se a reta

tangente a A através da opção [TLINE].

Repara-se que o coeficiente angular, que é a

derivada da função, é zero no ponto máximo. Por este motivo que se procura às raízes de

).(' xf

Então a área do retângulo pode ser dada pela função:

35

(Problema 2) A figura abaixo mostra um poço de petróleo no mar em um ponto W a 5Km

do ponto A mais próximo, em uma praia reta. O petróleo é bombeado de W até um ponto B na

praia a 8Km de A da seguinte forma: de W até o ponto P na praia entre A e B sob a água, e de

P até B através de uma tubulação colocada ao longo da praia. Se o custo em dólares for

$1.000.000/Km sob a água e $500.000/Km por terra, onde P deve estar localizada para

minimizar o custo?

Solução:

O problema pede para que encontre onde P deve estar localizado para minimizar o

custo, ou seja, encontrar o valor de mínimo.

Primeiramente, será retirado os dados do problema. Seja:

• =x a distância, em ,Km entre A e P;

• =c custo, em milhões de dólares, para toda a tubulação;

Logo, o comprimento sob a água é a distância entre W e P. Considerando o triângulo

formado pela figura acima, pelo Teorema de Pitágoras, este comprimento é:

252 += xh

36

Já o comprimento por terra é representado pela distância entre P e B, a qual é:

x−8

Logo, a função custo total da tubulação é:

)8.(2

1252 xxC −++=

Continuando a análise da figura, percebe-se que a distância entre A e B é .8km .

Entende-se que o valor de x não pode ultrapassar .8km , logo .80 ≤≤ x

Como a função cé contínua em x no intervalo de [0,8], então será utilizado os mesmo

métodos anteriores para encontrar o mínimo.

Para derivar a função c , utiliza-se o menu “Differentiate” .

Na tela abaixo encontra-se derivada da função pedida e logo após, salva- se o valor

encontrado na tela acima na célula [A]:

Anteriormente quando foi calculado sem o uso da calculadora, equacionava-se a

equação encontrada ao derivar a ),(xf ou seja, equaciona-se .0=dx

dC Agora, com o artifício

da calculadora, tem-se que utilizar o menu “Solve Equation” para encontrar os pontos críticos

x da função derivada )(' xf , ou seja, procurar o valor de x para .0)(' =xf

Obtêm-se o valor 5952.88675134=x . Isto significa que quando 5952.88675134=x

tem-se um ponto crítico. Assim como o valor encontrado pertence ao intervalo delimitado de

x [0,8], o mínimo deve ocorrer em:

58867513459.2,0 == xx ou .8=x

Para encontrar o valor de menor custo, devem-se calcular os valores de C para os

pontos críticos determinados acima. Como a função custo não foi salva na calculadora, como

37

foi visto anteriormente, entra-se menu “ Equation” para salvar a expressão, para depois

encontramos o possível valor de mínimo. Logo, foi encontrado os seguintes valores, para os

pontos críticos acima:

64339811320,9)8(

;13301270189,8)58867513459.2(

;9)0(

==

=

C

C

C

Analisando os resultados obtidos acima, o valor de menor custo é 33,8$≅C e isto

ocorre quando o ponto P está a uma distância de aproximadamente km89,2 de A.

(Problema 3) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de

cartolina de 40cm de largura e 52cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada

canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o

tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo.(Desprezar

a espessura da cartolina).

Solução:

O problema quer que encontre o tamanho do lado do quadrado que permite construir

uma caixa de volume máximo, ou seja, quer encontrar o maior valor de x de forma que o

volume seja o máximo possível.

Considerando as dimensões da caixa como as funções a seguir:

• xxC 252)( −= , comprimento da caixa em função de x;

• ,240)( xxL −= largura da caixa em função de x;

• xxh =)( , como a altura da caixa em função de x.

Tem-se que o volume da caixa é o produto das dimensões acima, então

)46520(4

..32 xxxV

hLCV

+−=

⇒=

38

Como x é a variável independente que representa as dimensões da caixa não pode

assumir valores negativos. Então o domínio da função será:

2004020 ≤≤⇒≤≤ xx

Visto que o problema pediu para encontrar o volume máximo no intervalo

determinado acima, para encontrar os pontos críticos basta derivar a função V em função de x

entrando no meu “Differenciate”.

Obtendo a seguinte função derivada, e logo após salvando o resultado na célula [B ],

por exemplo.

Agora para encontrar os pontos críticos tem-se que equacionar a função derivada, e

para isto utiliza-se o menu “Solve Equation”.

Encontrando o primeiro ponto crítico que é .34734492516,7=x Como a derivada é

de grau 2 possui duas raízes, então possui dois pontos crítico. Para encontrar o valor do

segundo ponto crítico precisa-se “chutar um valor” nesse caso “chuta-se” o valor para x.

Coloque 16, por exemplo, da barra negra na linha [X]: selecione [solve]. Obtemos a resposta

23.1932174151.

Lembre-se que o domínio de x pertence ao intervalo de [0,20], então o ponto crítico

15123.1932174=x deve ser descartado, porque não pertence ao intervalo determinado. Logo,

os valores onde pode ocorrer o máximo, são: 47,7,0 == xx ou 20=x .

39

Para encontrar os valores de V para os pontos críticos acima, utiliza-se o menu

“Equation”

Obtendo as seguintes telas:

Para salvar a equação em uma das células da calculadora basta selecionar a tecla

[def] , função rocha da tecla [sto] .

Agora, deve-se procurar os valores da função nos pontos críticos encontrados acima.

Logo, tem-se os possíveis valores de máximos:

( ) 020

;537,15)47,7(

;0)0(

==

=

V

V

V

Assim, o valor 47,7=x é ponto de máximo no intervalo determinado.

Portanto, o tamanho do quadrado deve ter 7,47cm de lado, em cada canto da cartolina

para que a caixa tenha um volume máximo.

(Problema 4) Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é

vendida a granel a um preço de $200 por unidade. Se o custo da produção, em dólares, para x

unidades for 2003,080000.500)( xxxC ++= e se a capacidade de produção for de, no

máximo, 30.000 unidades em um tempo especificado, quantas unidades de penicilina devem

ser fabricadas e vendidas naquele tempo para minimizar o lucro?

Solução:

O rendimento total na venda de x unidades é xxR 200)( = e a função-lucro é

apresentada como a diferença entre o rendimento e custo, tem-se a seguinte expressão:

),003,0120000.500()003,080000.500(200)()()( 22 xxxxxxCxRxP +−−=++−=−=onde x representa as unidades fabricadas na empresa.

Como o capacidade de produção é de 30.000 unidades, o domínio de x pertence ao

intervalo [0,30.000], ou seja, .000.300 ≤≤ x

Derivando a função-lucro em função de x, tem-se a seguinte resposta:

40

Salvando a equação derivada na célula[A], obtém-se:

Agora no menu “Solve Equation” procura-se o valor de x para f’(x)=0.

Obtém-se o valor .20000=x Então, o lucro máximo deve ocorrer em um dos pontos:

20000,0 == xx ou .30000=x

Para encontrar os valores de P(x) nos pontos acima, utiliza-se na função rocha

Equation.

(Tela no equation à esquerda)

Logo, a função R aparecerá na barra negra

A partir disso, calcula-se o valor de R para o ponto crítico e para as extremidades.

Os resultados estão representados pela tabela abaixo:

41

Com os dados da tabela acima, a qual mostra-se que o lucro máximo 000.700=P ,

ocorre quando 000.20=x unidades forem fabricadas e vendidas no tempo especificado.

(Problema 5) Uma lata cilíndrica fechada deve conter um litro( )1000 3cm de líquido.

Como poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na confecção da

lata?

Solução:

Seja

• =h altura da lata (em cm);

• =r raio da lata (em cm);

• =S área da superfície da lata (em )2cm .

Como a lata consiste de dois discos circulares de raio r e uma folha retangular com

dimensões h por rπ2 , pela figura abaixo, a área da superfície será:

.22 2 hrS ππ +=

Ao partir da fórmula hrV 2π= do volume do cilindro, tem-se que

22 1000

1000r

hhrπ

π =⇒= .

Substituindo o valor de h encontrado na função área S, obtêm-se

42

Antes de derivar a função S, salve esta expressão em uma das células na calculadora,

com foi realizado anteriormente.

Ao derivar a função volume, foi encontrada a seguinte expressão:

Salva-se a expressão acima na calculadora.

Agora, para encontrar os pontos críticos da função, equaciona-se a função derivada.

Para isso, será utilizada a função “Solve Equation”, como demonstrado na tela abaixo:

Perceba que a equação S’ tem um único ponto crítico no intervalo ( )+∞,0 . Para

encontrar o valor de mínimo, substitui-se o valor de r na equação 2

1000

rh

π= .

Com isso, o valor de h correspondente ao valor encontrado de r é

Logo, o resultado acima é o valor da altura h, de forma que .2rh = Portanto, o

mínimo ocorre quando a altura da lata é igual ao diâmetro de sua base, o que não é acidental

se analisar o gráfico desta função.

rrS

20002 2 += π

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44

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Analisando o que foi descrito anteriormente, o uso da calculadora pelos acadêmicos é

muito importante, pois permite acelerar tanto as operações que se quer realizar quanto os

processos mecânicos. Dessa forma, haverá mais tempo para que sejam explorados os

conhecimentos teóricos ao conteúdo abordado e, também poderá ser feita uma análise crítica

dos resultados obtidos na calculadora.

A calculadora deve ser utilizada como um artifício computacional para facilitar e

auxiliar a compreensão de cálculos e interpretação de gráficos. Ela não deve ser usada com o

intuito somente de calcular, pois além de calcular deve-se analisar o resultado obtido para

compreender o que foi encontrado por ela.

Com isso, o estudo de algumas das aplicações das derivadas utilizando uma

calculadora HP foi de grande importância, pois para efetuar este estudo e argumentar sobre

ele foi necessário estudar, rever e aprender conceitos referentes ao tema escolhido, o que

contribuiu para a compreensão sobre as derivadas, especificamente, sobre máximos e

mínimos. Além disso, proporcionou a aprendizagem dos métodos de utilização da calculadora

e seus conceitos juntamente com o conteúdo do trabalho e outros conteúdos como: Limites e

Integrais, os quais não foram foco desse trabalho; sendo assim, poderão ser retomados num

próximo trabalho.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

ANTON,Howard. Cálculo Novo Horizonte. 6.ed.Volume 1. Porto Alegre. Editora: Bookman

2000.

COMPANY, hewlett-Packard. Hp 48G Series User’s Guide. 1ª edição; Singapura; 1994;

EDWARD, C.H. Jr; PENNEY, David E. Cálculo com Geometria Analítica. 4.ed. Rio de

Janeiro. Editora: Pretince-Hall do Brasil Ltda., 1997,1994.

FIGUEIREDO, Vera L.X.; SANTOS, Sandra A. Apostila do Cálculo & Geometria

Analítica com Aplicações –PAEG. Primeiro semestre – 1997.

SOWOKOWISK, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. 2.ed.Volume 1. São Paulo:

Editora MAKRON books.,1994.