UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DELGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA (sistemas de equaes lineares e outros exerccios) REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 1/22 1. Exerccios sobre sistemas: Exerccio1: Uma empresa que presta servios de engenharia civil tem trs tipos de contentores I, II, eIII,quecarregamcargas,emtrstiposderecipientesA,BeC.Onmeroderecipientespor contentor dado pelo quadro: Tipo de recipienteABC I434 II423 III222 Quantoscontentores 1 2, x x e 3x decadatipoI,IIeIII,sonecessrioseaempresanecessitatransportar 38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C? Resoluo: Este problema pode ser resolvido por meio do seguinte sistema de equaes lineares 1 2 31 2 31 2 34 4 2 383 2 2 244 3 2 32x x xx x xx x x+ + = + + =+ + =. Comecemos por classific-lo, como 4 4 23 2 2 | | 2 04 3 2A A ( (= = ( ( , o sistema diz-se de Cramer e, como tal, possvel e determinado. Vamos aplicar o mtodo de Gauss para o resolver, a condensao da matriz ampliada pode ser 4 4 2 38 2 4 4 38 1 2 2 19 1 2 2 19[ | ] 3 2 2 24 2 2 3 24 0 2 1 14 0 1 2 14 [ | ]4 3 2 32 2 3 4 32 0 1 0 6 0 0 1 6A B C D (((( ((((= = (((( (((( . Devemosterematenoquenestacondensaotrocmosalgumascolunas,portanto,comocada umadestascorrespondeaumavarivel,mudmosaposiodasmesmas.Noprimeiropasso,as colunas 1 e 3 trocaram, ou seja, a varivel 3xpassou a estar na 1 coluna e a varivel 1xpassou a estarna3coluna;noquartopassoa2colunatrocoucoma3passandoavarivel 1x paraa2 colunae avarivel 2x passouaestarna3 coluna. Porisso,quandoseutilizaomtododeGauss para a resoluo de sistema de equaes lineares mais directo condensar a matriz por linhas. Qualquertrocadecolunasdeveserregistadaporqueumatrocadeincgnitas(exceptoB); qualquer troca de linhas no altera o sistema pois uma troca de equaes. REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 2/22 Tendo em conta o que foi dito, o sistema original equivalente a 1 2 3 3 1 2 11 2 3 1 2 22 3 1 2 34 4 2 38 2 2 19 23 2 2 24 2 14 66 3 4 3 2 32x x x x x x xx x x x x xx x x x x+ + = + + = = + + = = = = = + + = . Resposta: Para que a empresa transporte 38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C, so necessrios 2 contentores do tipo I, 6 do tipo II e 3 do tipo III. Exerccio2: Resolva os sistemas do exerccio anterior: 2.1) Condensando a matriz ampliada por linhas. 2.2) Utilizando o mtodo da matriz inversa. 2.3) Utilizando a regra de Cramer. Exerccio3: Um bilogo colocou trs espcies de bactrias (denotadas porI, II e III) num tubode ensaio, onde elas sero alimentadas por trs fontes diferentes de alimentos (A, B e C). Em cada dia sero colocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C. Cadabactriaconsomeumcertonmerodeunidadesdecadaalimentopordia,comomostraa tabela. Quantas bactrias podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? Tipo de bactriaIIIIII Alimento A111 Alimento B123 Alimento C135 Resoluo:Sejam 1 2, x x e 3x osnmerosdebactriasdasespciesI,IIeIII,respectivamente. Como cada umas das bactrias da espcie I consome uma unidade de A por dia, o grupo I consome um total de 1xpor dia. Analogamente, os grupos II e III consomem um total de 2xe 3xunidades do alimentoAdiariamente.Comoqueremosusartodasas1500unidadesdeA,temosaequao 1 2 31500 x x x + + = .Demodoanlogo,obtemosasequaes 1 2 32 3 3000 x x x + + = e 1 2 33 5 4500 x x x + + =para os alimentos B e C, respectivamente. Assim, resulta um sistema de trs equaes lineares com trs variveis, 1 2 31 2 31 2 315002 3 30003 5 4500x x xx x xx x x+ + = + + =+ + =. REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 3/22 A condensao, por linhas, da matriz ampliada associada ao sistema fornece 1 1 1 1500 1 1 1 1500 1 1 1 1500 1 0 1 0[ | ] 1 2 3 3000 0 1 2 1500 0 1 2 1500 0 1 2 1500 | ]1 3 5 4500 0 2 4 3000 0 0 0 0 0 0 0 0A B C D ((( ( ((((= = (((( (((( , observa-seque( ) 2 r A m n = = < ,osistemapossveleindeterminandodegrau3 2 1 d = = .A linha de zeros da matriz corresponde a uma equao redundante, que, consequentemente, pode ser eliminada do sistema. Neste termos o sistema original equivalente a 1 2 3 1 3 1 31 2 3 2 3 2 31 2 3 31500 02 3 3000 2 1500 1500 23 5 4500 0 0x x x x x x xx x x x x x xx x x x+ + = = = + + = + = = + + = =

. Considermos as variveis 1xe 2xcomo principais e a varivel 3xcomo livre. Fazendo 3x t = , obtemos 1x t = e 21500 2 x t = .Emqualquerproblemaaplicado,devemossercuidadosospara interpretarmosassoluesadequadamente.Comobvio,onmerodebactriasnopodeser negativo.Assim,0 t e1500 2 0 750 t t ,temos,portanto,0 750 t .Onmerode bactriasdeveserinteiro,logo,hexactamente751valores(porqu?)detquesatisfazema desigualdade. A expresso geral das solues do problema da forma1230 11500 2 1500 20 1x tx t tt x (((( ((((= = + (((( (((( , o que fornece uma soluo particular para cada valor inteiro de t tal que0 750 t . Assim, embora matematicamente este sistema tenha infinitas solues, fisicamente h uma quantidade finita. Resposta: Tendo em conta o nmero de bactrias no tubo de ensaio, teremos uma resposta diferente paraoproblema.Porexemplo,seexistirem500bactriasdotipoI,notubodeensaio,devero existir 500 dos tipos II e III (porqu?), de modo a consumir todo o alimento. Repare-sequeonmerodebactriasdostiposIeIIIdeverocoexistiremigualnmero.Por exemplo,seexistirem750bactriasdostiposIeIII,paraoalimentosertodoconsumidono devero existir bactrias do tipo II. Exerccio4: A soma das idades da Ana, do Jos e da Sara 60 anos. A Ana mais velha que o Jos pelo mesmo nmero de anos que o Jos mais velho que a Sara. Quando o Jos tiver a idade que a Ana tem hoje, a Ana ter trs vezes a idade que a Sara tem hoje. Quais so as suas idades? Resposta: Ana: 28; Jos: 20; Sara: 12.REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 4/22 Exerccio5:Umcomerciantedecafvendetrsmisturasdegros.Umpacotecomamisturada casa contm 300 gramas de caf colombiano e 200 gramas de caf tostado tipo francs. Um pacote com a mistura especial contm 200 gramas de caf colombiano, 200 gramas de caf queniano e 100 gramas de caf tostado tipo francs. Um pacote com mistura gourmet contm 100 gramas de cafcolombiano,200gramasdecafquenianoe200gramasdecaftostadotipofrancs.O comerciante tem 30 quilos de caf colombiano, 15 de caf queniano e 25 de caf tipo francs. Se ele deseja utilizar todos os gros de caf, quantos pacotes de cada mistura deve preparar. Resposta: Mistura da casa: 65; mistura especial: 30; mistura gourmet: 45. Exerccio6: Classifique o seguinte sistema em funo dos parmetros reais k e t, 1( 1)2 4 0x ky zx y k z tx y kz+ + = + + =+ + =. Resoluo: Este sistema tem 3 variveis e 3 equaes que dependem do parmetrok e um dos termos independentes t . Vamos condensar a matriz ampliada 1 1 1 1 1 1[ | ] 1 1 1 0 1 2 1 [ | ]2 4 0 0 4 2 2 2k kA B k t k k t C Dk k k (( ((= = (( (( . A partir da matriz [ | ] C Dvemos que a classificao do sistema depende dos parmetros k e t. Discusso: Se1 k = , obtemos 1 1 1 1 1 1 1 1[ | ] 0 0 1 1 0 2 1 20 2 1 2 0 0 1 1C D tt (( ((= (( (( , o sistema possvel e determinando, qualquer que seja ot (porqu?). Se1 k , vem 2 1 2 11 1 1 1( 2)( 3) ( 1)(2 4) 2(1 )1 11 1 1 1 1 1 1 1 1[ | ] 0 1 2 1 0 1 0 10 4 2 2 2 0 4 2 2 2 0 0k t k tk k k kk k t k kk kk k kC D k k tk k k k ((( (((= ((( ((( , paraseclassificarosistematemosqueteremcontaosvaloresde 33( 2)( 3)1k kck = (porqu?). Tendo em conta que( 2)( 3)0 2 31k kk kk = = =(porqu?): REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 5/22 i) Se2 k = ,1 2 1 1[ | ] 0 1 0 10 0 0 2C D t ( (= ( ( , o sistema impossvel qualquer que seja ot (porqu?). ii) Se3 k = , 1 12 21 3 1 1[ | ] 0 10 0 0 1tC Dt ( (= ( ( , Se1 t = ,osistemapossveleindeterminando,degrau1,qualquerque seja ot (porqu?); Se1 t , o sistema impossvel (porqu?); Se2 3 k k ,osistemapossveledeterminado,qualquerquesejao t (porqu?). Esquematizando: 2,sistema impossvel, 1,sistema possvel e indeterminado (grau1) 3se1, sistema impossvel2 3, sistema possvel e determinado, k ttktk k t= = =

. Exerccio7: Caso seja possvel, resolva o sistema resultante do exerccio 3: 7.1) Pelo mtodo de Gauss-Jordan; 7.2) Utilizando o mtodo da matriz inversa; 7.3) Utilizando a regra de Cramer. Exerccio8: Uma florista vende trs tamanhos de arranjos de flores com rosas, margaridas e cravos. Cada arranjo pequeno contm uma rosa, trs margaridas e trs cravos. Cada arranjo mdio contm duasrosas,quatromargaridaseseiscravos.Cadaarranjograndecontmquatrorosas,oito margaridaseseiscravos.Umdia,afloristanotouquehaviausadoumtotalde24rosas,50 margaridas e 48 cravos ao preparas as encomendas desses trs tipos de arranjos. Quanto arranjos de cada tipo fez a florista? Resposta: Pequenos: 2; mdios: 3; grandes: 4. REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 6/22 Exerccio9: Classifique o sistema o 2 22 2 034 4 2 83 3 11x z tx y tx y z tx y z tx y z t+ = + = + + = + + =+ = utilizando o mtodo dos determinantes. Resoluo: Relativamente a este sistema, tendo em conta a matriz dos coeficientes,1 0 2 12 1 0 21 1 1 14 1 4 23 1 3 1A( ( ( ( = ( ( ( , omaiordeterminantequesepodeextrairdeordem4(porqu?).Seexistirumdeterminantede ordem 4 diferente de zero esse ser o determinante principal. Como41 0 2 12 1 0 234 01 1 1 14 1 4 2 = = , consideramos este como sendo o determinante principal.Tendoemconta 4 ,as4primeirasequaesdosistemaetodasas4incgnitassoprincipais. Comoaltimaequaonoprincipal,apenashumdeterminantecaracterstico(porqu?),que corresponde ao determinante da matriz ampliada. Por outro lado, como1 0 2 1 22 1 0 2 0det[ | ] 0 1 1 1 1 34 1 4 2 83 1 3 1 11cA B = = = , osistemapossvel(acaractersticadamatrizampliadaigualcaractersticadeA,4 r r = = , porqu?).Umavezque,todasasincgnitassoprincipais,osistemapossveledeterminando. At aqui apenas classificmos o sistema, para a sua resoluo deveremos utilizarum dos processo referido,comadesvantagemdamatrizdoscoeficientesestarnasuaformaoriginal.Paraa resoluo do sistema podemos desprezar a 5 equao, vindo2, 0, 1 x y z = = = e2 t = . Obs.:Repare-seque, 2 1 0 21 1 1 104 1 4 23 1 3 1 = = ,altimalinhaumacombinaolineardas restantes.Ficando,assim,patentequeparasecalcularodeterminanteprincipalbastaqueumda mesma ordem seja diferente de zero. Quantos determinantes de ordem 4 poderamos calcular neste caso?. REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 7/22 Exerccio10:Resolvaossistemasqueresultamdedesprezarcadaumadasoutrasequaesdo sistema do exerccio9, pode comear por resolver todos os determinantes de ordem 4. Exerccio11: Classifique e resolva o sistema 42 13 2 54 2 2 2 2x y z tx y z tx tx y z t+ + + = =+ = + =. Exerccio12: Classifique e resolva o sistema 2 13 3 22 12 0x y z wy z wx z wx y z w+ + + = + + = + + =+ + =. Resoluo: Neste sistema temos 4 variveis, , xyzew e 4 equaes, ou seja,m n =(que tipo de sistemapodemoster?).VamosutilizaromtododeGauss,queclassificaeresolveosistema.A matriz dos coeficientes quadrada ( 4 4 ), aps condensao resulta da matriz ampliada 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 10 1 3 3 2 0 1 3 3 2 0 1 3 3 2[ | ] [ | ]1 0 1 2 1 0 1 3 3 2 0 0 0 0 02 1 1 1 0 0 1 3 3 2 0 0 0 0 0A B C D ((( ((( (((= = ((( ((( ((( . A matriz[ | ] C Dtem duas linhas de zeros (que podem ser eliminadas), as linhas que restam,2 m = , so linearmente independentes e do a caracterstica de A,( ) 2 r A= , que menor que o nmero de variveis, isto ,( ) 2 4 r A m n = = < = . Portanto, atravs da condensao da matriz ampliada, vimos que podemos eliminar duas equaes do sistema (que se dizem redundantes, uma vez que no vo terinfluncianaresoluodosistema),portanto,osistemapossveleindeterminadodegrau 2 d n r = = . O sistema original equivalente a 2 1 ( 3 3 2) 2 1 2 1,3 3 2 3 3 2 3 3 2x y z w x z w z w x z wzwy z w y z w y z w+ + + = = + + = + + + = = + = + (livres). O que significa o sistema ser possvel e indeterminado? Exerccio13: Troque algumas equaes do sistema anterior e estude-o.REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 8/22 Exerccio14: Classifique o sistema anterior, pela regra de Cramer e pelo mtodo dos determinantes. Resolva-o pela regra de Cramer. Exerccio15: Resolva, pela regra de Cramer, o sistema 1 2 3 51 3 42 3 4 52 2 111x x x xx x xx x x x+ + + = + + = + =. Resoluo:Osistematemmaisincgnitasdoqueequaes(hvariveissecundrias),portanto pode ser indeterminado ou impossvel. A matriz do sistema 2 1 1 0 21 0 1 1 00 1 1 1 1A ( (= ( ( . Omaiordeterminantequesepodeextrairdeordem3,seexistiralgumdiferentedezerosero determinante principal, 32 1 01 0 1 3 00 1 1 = = . Como no existem determinantes caractersticos (porqu?) o sistema possvel (teorema Rouch) e por haver variveis secundrias o sistema indeterminado. Uma vez que, usmos as colunas 1, 2 e 3 no clculo de 3 , as variveis principais so 1 2, x xe 3x(claro que poderiam ser outras, desde que odeterminantequeenvolveosseuscoeficientessejadiferentedezero)easvariveislivres(no principais)so 4x e 5x .Naresoluodosistemaasprimeirasvmemfunodaslivres.Como queremos resolver o sistema pela regra de Cramer, neste contexto, podemos considerar: 12 1 01 0 10 1 1A ( (= ( ( a matriz dos coeficientes das variveis principais; 21 21 01 1A ( (= ( ( a matriz dos coeficientes das variveis no principais; 11 24xX xx ( (= ( ( a matriz das variveis principais e 325xXx (=( a matriz das variveis livres. REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 9/22 Como o sistema possvel e indeterminado, para a aplicao da regra de Cramer devemos, passar para o 2 membro as variveis no principais. Assim, o sistema original equivalente a 1 2 3 51 4 32 4 3 52 1 211x x x xx x xx x x x+ = + = + = + + , e, pela regra de Cramer, tem-se 3 533 51 3 51 2 1 01 0 11 1 113 3x xxx xx x x + += = ,3 533 51 32 1 2 01 1 10 1 113 3x xxx xx x + += = + e 3 533 51 52 1 1 21 0 10 1 123 3x xxx xx x + += = +, donde11 3 5 312 3 3 1 2 3 521 4 3 4 5 32 4 3 5 3 3 35 5 52 1 211 ( )( )x x xx x x x x xx x x x xx x x x x x xx x x= = + + = + = = + + = + + = =

. Repare-se que132542 1 0 1 1 21 0 1 1 1 00 1 1 1 1 1xxAX B xxx (((( ( ((((= = ( (((( (((( , ou seja, 1 1 2 2AX B A X B A X = = , como as variveis principais esto em 1X , resolvemos 1 11 1 2 2 1 1 1 2 2A X B A X X A B A A X = = (porqu?), como 111 1 111 2 231 2 1A( (= ( ( ,vem 3 1 11 1 1 2 251 1 1 1 1 1 1 1 21 11 2 2 1 1 2 2 1 03 31 2 1 1 1 2 1 1 1xX A B A A Xx (((( ( ((((= = ( (((( (((( , ou seja 1 3 5 3 532 3 3 3 554 5 51 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 0 1 1 0 1 1 03 3 3 32 0 1 2 2 0 2 0 1x x x x xxx x x x xxx x x ((((((((((( ( (((((((((((= = = + = + + ( ((((((((((( ((((((((((( REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 10/22 Finalmente 1243 5351 1 11 1 012 0 130 1 00 0 1xxxx xxx (((( (((( (((( ((((= + + (((( (((( (((( , a expressogeral das solues sistema. Esta representao indica que as variveis 1 2, x xe 3x so principais e que as variveis 4xe 5xso livres. Exerccio16: Resolva o sistema anterior pelo mtodo de Gauss. Exerccio17:Considereoseguintesistemadeequaeslineares, 1 22 31 312ax bx cbx xx cx+ = = =.Determinea relao entre, a becde forma que o sistema admita uma nica varivel livre. Resoluo: Para que o sistema proposto contenha apenas uma varivel livre necessrio que tenha grau de indeterminao1 d = . Para isso ter de se verificar( ) ( | ) 2 3 r A r A B n = = < =(porqu?). Condensando a matriz ampliada do sistema vem 0 1 0 2[ | ] 0 1 1 0 1 11 0 2 0 0 1 2 1a b c cA B b bc ac a c (( ((= (( (( + . Paraque( | ) 2 r A B =a relao pretendida 2 121 0 1 2 1 0,2 1 0 1 2 2 1a ac a a aba c c c c a= = = + = + = = = = + . Exerccio18: Discuta, em funo dos parmetros reais, a, b e c os seguintes sistemas de equaes: 18.1)1( 1) ( 1) 3( 1) 1x y zx a y a zx y a z a+ + = + + + =+ + = , Soluo:2 a = (SPI);0 a = (SI);0 a e2 a (SPD). 1.8.2)2 ( 3) 312 4 3x a y bzx bzx y bz b + + = + =+ + = , Soluo: 1, 1: (SPI); 1, 1: (SI);0, 1: (SPI); 0, 1: (SI);1, 0 : (SPD).a b a bb a b aa b= = = = = = 18.3)11ax by zx aby z bx by az+ + = + + =+ + =, Soluo: 1: (SPI); 1, 1: (SI);2 : (SPI); 2, 2 : (SI);1, 2, 0 : (SI); 1, 2, 0 : (SPD).a b a ba b a ba b a b= = = = = = = REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 11/22 18.4) 11( ) 1x y zy cz ayx ay a cz b+ + = + = ++ + = , Soluo: 1, 1: (SI) ; 1, 0 : (SI);1, 0 : (SPI); 1: (SPD) , .a b c a b ca b c a b c= = = == = 18.5)2 4 2( 2) 12 12x y bzx a yx y azx y c+ + = + + =+ + =+ =,Soluo: c b a = = , c b a = , c a b = (SPI); a b , a c , b c (SPD). 18.6) 2 32 32 3x ay az ax by bz bx cy cz c + + =+ + =+ + =, Soluo: c b a = = , c b a = , c a b = (SPI); a b , a c , b c (SPD). Exerccio19:Considereafunopolinomial 3 2( ) f x ax bx cx d = + + + .Determineoscoeficientes , , a b c ed porformaaqueogrficodafunopassepelospontos 1( 1,1) P= , 2(1, 2) P= , 3(2, 1) P= e 4( 2, 0) P= .Resoluo: Substituindo os pontos na funo, obtemos o seguinte sistema 512231261210 28 4 2 18 4 2 0aa b c db a b c dc a b c da b c d d= + + = = + + + = = + + + = + + = = . Portanto,ogrficodafuno 35 23 612 12 12( ) f x x x = passanospontosreferidos,comosepode verificar na seguinte figura REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 12/22 Exemplo20: Considere o sistema 42 13 2 54 2 2 2 2x y z tx y z tx tx y z t+ + + = =+ = + =. 20.1) Calcule o determinante principal do sistema. 20.2) Com base na alnea anterior determine a caracterstica da matriz do sistema. 20.3) Calcule, caso exista, os determinantes caractersticos do sistema. 20.4) Com base nas alneas anteriores determine a caracterstica da matriz ampliada do sistema. 20.5) Classifique o sistema pelo teorema de Rouch. 20.6) Resolva o sistema. Resoluo:20.1) A matriz dos coeficientes (4 4)1 1 1 12 1 1 13 0 0 24 2 2 2A ( ( (= ( ( . Como (4 4)A,omaiordeterminantequesepodeextrairde4ordem, 4| | A = .Prova-seque 40 = (verifique!).Passemos,aosdeterminantesdeordem3,vamosconsiderar,porexemplo,o determinante que envolve as incgnitas x, z e t, nas 3 primeiras equaes. Como,31 1 12 1 1 6 03 0 2 = = , odeterminanteprincipalde3ordem.Assim,consideramosa1,a2ea3comoequaes principaisex,zetcomoasincgnitasprincipais(oquesignifica?).Repare-sequehoutros determinantesde3ordemdiferentesdezero,econsequentemente,outrasequaeseincgnitas principais. 20.2) Como (4 4)A ento( ) 4 r A . Contudo, 40 ( ) 4 r A = < , e como o determinante principal de ordem 3 (30 ) temos( ) 3 r A= . 20.3) Como 40 =e 30 , existe um determinante caracterstico de ordem 4 (porqu?),1 1 1 42 1 1 103 0 2 54 2 2 2c = = . REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 13/22 20.4) Como (4 4)A ento ( | ) 4 r A B , uma vez que, 30 e0c =temos,( | ) 3 r A B = . 20.5)Como0c = osistemapossvel,poroutrolado,existemincgnitasnoprincipais, ( ) ( | ) 3 4 r A r A B n = = < = , donde o sistema possvel e indeterminando. 20.6)Asoluodosistema 5 73 3{( , , , ) ( , , , 0), } S xyz t y y y = = + (verifique!).Como considermos y como a incgnita livre, as outras vm em funo desta. Exerccio21:UtilizandooteoremadeRouchverifiqueseaequao 1 2 34 2 3 1 x x x + + = compatvel com o sistema 1 2 31 2 32 32 422 3x x xx x xx x+ = + + =+ =. Resoluo:Umaequaocompatvelcomumsistemaseverificaasoluodosistema. Poderamos resolver o sistema e verificar se a equao verifica a sua soluo, que existe (porqu?).Como o sistema possvel,pelo teorema de Rouch, ou no existem determinantes caractersticos ou,seexistem,sonulos.Odeterminanteprincipaldosistemadeordem4(porqu?),coma equao dada formamos um determinante caracterstico c . Uma vez que 2 1 1 41 1 1 240 00 1 2 34 2 3 1c = = a equao no compatvel com o sistema porque no se verifica o teorema de Rouch. De facto, a soluo do sistema 13 4 15 5 5{( , , )} S = , que no verifica a equao 1 2 34 2 3 1 x x x + + = . Considerando esta equao no sistema, o sistema impossvel,( ) 3 ( | ) 4 r A r AB = < = . Por outro lado, a equao 1 2 35 5 5 18 x x x + + =verifica a soluo 13 4 15 5 5{( , , )} S = , ou seja, a equao compatvelcomosistema.Defacto,0c = (verifique!).Verifiquequesubstituindoqualquer equaodosistemaporestaltimaasuasoluonosealtera(porqu?).Portanto,sequisemos resolve o sistema envolvendo as 4 equaes, basta utilizar 3 delas (porqu?). REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 14/22 Exerccio22: Calcule o ncleo do sistema 1 3 42 3 412 1x x xAX Bx x x + = = + = . Resoluo:Pretendemoscalcular 4( ) { : 0} NA X AX = =,ouseja,asoluodosistema 0 AX=associado. Condensando a matriz do sistema, obtemos 1 1 1 0 1 0 1 12 1 0 1 0 1 2 1A((= (( donde 1 3 41 3 4 2 3 42 3 4 340 202 0x x xx x x x x xAXx x x xx= + = = + = + =

. Fazendo 3x t = e 4x s = , vem 1 12 23 34 41 12 2 2 2 100 1 00 0 1x t s x t s t sx t s x t s t sAX X t sx t x t ts s x s x= ((((((((((((= + + ((((((= = = = + = + (((((( = ((((((= , ou seja, 1 12 11 00 1X t s(( (( ((= + (( (( , a soluo geral do sistema homogneo0 AX= , constitui, portanto, o ncleo do sistemaAX B = .Porexemplo,considerando1 t s = = ,obtemosumasoluoparticulardosistemahomogneo [ ]10 1 1 1 TX = (um elemento de( ) NA ). Observe-se que [ ] [ ]11 1 1 00 1 1 1 0 02 1 0 1T TAX O (= = = ( . REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 15/22 Exerccio23:Resolva o sistema2 02 2 003 3 04 4 2 0x z tx y tx y z tx y z tx y z t+ = + = + + =+ =+ + = . Resoluo: Repare-se quem n >(o nmero que equaes superiorao n de variveis, o que significa?). Tratando-se de um sistema homogneo sempre possvel, admite pelo menos a soluo trivial. Da condensao da matriz ampliada resulta: 433431 0 2 1 0 1 0 2 1 02 1 0 2 0 0 1 4 4 0[ | ] [ | ]. 1 1 1 1 0 0 0 1 03 1 3 1 0 0 0 0 04 1 4 2 0 0 0 0 0 0A B C D (( (( (( ((= = (( (( (( O sistema possvel determinado, admite a soluo trivial,0, 0, 0 x y z = = = e0 t =(porqu?). Exerccio24: Considere o seguinte sistema de equaes lineares, 200x ay azax y zx y az a + + =+ + =+ + =. 24.1) Discuta o sistema em funo do parmetroa . 24.2)Considereosistemahomogneoassociadofazendo1 a = edeterminedoisconjuntos fundamentais de solues. Resoluo:24.1) Condensando a matriz ampliada do sistema vem 2 22 21 0 1 01 1 0 0 1 1 01 1 0 0 1a a a aa a aa a a a (( (( (( (( Discusso: Se1 a = , como( ) 1 r A=e( | ) 2 r A B = , o sistema impossvel porque( | ) ( ) r A B r A > ; Se1 a = ,( | ) ( ) 2 r A B r A = = eosistemapossveleindeterminado,comgraude indeterminao1 d n r = = ; Paraosrestantesvaloresdea,1 a ,tem-seumsistemadeCramer,pois ( | ) ( ) 3 r A B r A = = . O sistema ento possvel e determinado. REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 16/22 24.2) Neste caso o sistema homogneo associado ao sistema dado com1 a = 000x y zx y zx y z = + + =+ =. Para obter um conjunto fundamental de solues, necessrio resolver o sistema homogneo 0 ,002 0 00 0x y z x k kx y z x zx y z z ky yx y z y = = = = + + = = = = + = =

, resolvendoosistemadestemodo,considermosasvariveisxeycomoprincipaiseavarivelz comonoprincipal.Ograudeindeterminao1 d = e,consequentemente,umconjunto fundamental de solues constitudo por uma soluo. Fazendo1 x z = = ,como0 y = ,obtm-seumconjuntofundamentaldesolues[ ]{ }1 0 1 Te qualquer soluo do sistema proposto combinao linear desta soluo [ ] [1 0 1] ,T Tx y z = . Fazendo1 x z = = , como0 y = , outro conjunto fundamental de solues [ ]{ }1 0 1 T e do mesmo modo, qualquer soluo do sistema proposto combinao linear desta soluo [ ] [ 1 0 1] ,T Tx y z = . Exerccio25: Considere o seguinte sistema de equaes lineares 1 2 3 41 3 42 3 42 3 12 23 44 8 8x x x x ax x x bx x x c+ + = + =+ + =. 25.1) Classifique o sistema tendo em conta os valores dos parmetros a, b e c. 25.2)Determineasoluogeraldosistemaindicado,sabendoqueumasoluoparticular 1 2 31, 1/ 3, 0 x x x = = =e 40 x = . Resoluo: 25.1) A matriz ampliada do sistema 8 43 32 3 12 2 1 0 3 4[ | ] 1 0 3 4 0 3 6 6 20 4 8 8 0 0 0 0a bA B b b ac a b c ( ( ((= + (( (( + .

REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 17/22 Discusso: Se 8 43 30 a b c + = , o sistema possvel( ) ( | ) r A r A B = , mas indeterminado, porqu?. Se 8 43 30 a b c + , o sistema impossvel, porqu?. Obs.:Umsistemadeequaescommaisincgnitasdoqueequaesouindeterminadoou impossvel. 25.2)Determineasoluogeraldosistemaindicado,sabendoqueumasoluoparticular 1 2 31, 1/ 3, 0 x x x = = =e 40 x = . Sabe-se que todas as solues do sistemaAX B =podem obter-se somando uma soluo particular deste sistema com cada soluo do sistema homogneo associado. Como 1 2 31, 1/ 3, 0 x x x = = =e 40 x = umasoluoparticulardosistemaAX B = ,vamosresolverAX O = .Condensandoa matriz ampliada resulta 2 3 12 2 0 1 0 3 4 0[ | ] 1 0 3 4 0 0 1 2 2 0 [ | ]0 4 8 8 0 0 0 0 0 0AO C O ( ( ((= = (( (( , portanto( ) ( | ) 2 r A r AO = = . Daqui sai que a 3 equao redundante, as incgnitas 3xe 4xso livres, ou seja, o sistema homogneo original equivalente a 1 2 3 42 3 4 1 3 41 3 41 3 4 2 3 42 3 42 3 12 2 02 2 0 3 43 4 03 4 0 2 24 8 8 0x x x xx x x x x xx x xx x x x x xx x x+ + = + + = = + + = + = = + + =. Fazendo 3 41, 0 x x = = e 3 40, 1 x x = = ,obtm-seoseguinteconjuntofundamentaldesolues 1 2 3 43, 2, 1, 0 x x x x = = = =e 1 2 3 44, 2, 0, 1 x x x x = = = = . A soluo do sistema 112 31 2341 3 4- 2 21 0 00 1 0xxxx (((( (((( ((((= + + (((( (((( , com 1 2, . REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 18/22 2. Outros Exerccios: (Alguns exerccios podero ser de difcil ou trabalhosa resoluo!) Exerccio1: Considere as matrizes 0 2 00 02 12 2 4 2 3ab aAa a aa a a a( ( (= ( ( + + e 102 12 3Bab a( ( (= ( ( ,, a b . 1.1) Discuta o sistema associado equao matricialAX B = , em funo dos parmetros a e b. 1.2) Determine o conjunto soluo do sistemaAX B = , em que[ ] 1 0 1 2TB = ,a . Exerccio2:Considereamatriz 1 1 1 11 3 22 2 2 2 3 13 2 3 2 1aAa a aa a ( ( (= ( (+ + ,a .Determineoconjunto soluo do sistemaAX B = , em que[ ] 4 3 1 6TB = , para todos os valores de a. Exerccio3: Considere o sistema x y azx ay z aax y z a+ + =+ + =+ + =12,a . 3.1) Estude a caracterstica da matriz do sistema em funo do parmetro a. 3.2) Indique para que valor do parmetro,a , a matriz do sistema invertvel. 3.3) Resolva o sistema, pelo mtodo da matriz inversa, para0 a = . Exerccio4: Considere o sistema de equaes lineares 32 3 12 2x y z bx y zax y+ = + =+ =,, a b . 4.1) Discuta o sistema em funo dos parmetros a e b. 4.2)Resolva-o,pelomtododeCramer,para4 a = e0 b = ,calculandoainversadamatrizdo sistema pelo mtodo da matriz adjunta. Exerccio5: Considere a seguinte matriz ((((

+ =1 11 3 20 0aaaA , a . 5.1) Determine os valores de a, para os quais a matriz A admite inversa. 5.2)Considere1 a = esejam[ ] 1 10 2TB = e[ ]Tz y x W= ,com, , xyz ,resolvao sistema de equaes lineares, AW AB = . REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 19/22 Exerccio6:Considere o sistema 10 x zx y zy z + = + =+ =, . 6.1) Em funo de , determine o determinante da matriz do sistema. 6.2) Em funo de , determine a caracterstica das matrizes do sistema e ampliada. 6.3) Discuta o sistema, em funo dos valores reais do parmetro . 6.4) Para1 = , calcule a inversa da matriz do sistema. 6.5) Resolva o sistema , pelo mtodo de explicitao e pelo o mtodo de Jordan para1 = . Exerccios7: Considere os sistema lineares 2 122= 3x zax z bx y bz = =+ e = = = +1 223 2z yb z aybz y x,, a b . 7.1) Indique para que valores dos parmetros a e b as matrizes dos sistemas so invertveis. 7.2) Discuta os sistemas, em funo dos valores dos parmetros a e b. 7.3) Se possvel, para1 a = e0 b = , resolva os sistemas usando os mtodos: de Gauss; de Gauss-Jordan; da explicitao; Regra de Cramer.

Exerccio8: Considere as matrizes 0 1 10 1 10 0 2 20 1aaMa a ( ( (= ( ( e 110Bb ( ( (= ( ( ,, a b . 8.1) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz M, para2 a = . 8.2) Tendo em conta o parmetroa , indique a caracterstica da matriz M.8.3) Discuta o sistema correspondente equao matricialMX B = .8.4) Para2 a = , determineb tal que[ ]1 12 20 0T seja soluo do sistemaMX B = . Exerccio9: Considere (((((

=a a a a aa aA230 0 1 00 2 3 02 5 3 3, 3010B ( ( (= ( ( e (((((

=1 3 2 10 2 1 00 1 1 02 5 3 1C . 9.1) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz C. 9.2) Utilizando a matriz ampliada [ | ] C Idetermine a inversa da matriz C. 9.3) Tendo em conta o parmetroa , calcule a caracterstica da matriz A.9.4) Classifique o sistema correspondente equao matricialAX B = . REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 20/22 Exerccio10: Considere as matrizes 3 0 0 00 2 0 08 28 9 2 2 5 2aaAa a b bb a b a b ( ( (= ( ( e 6 31a bbBa+( ( (= ( ( . 10.1) Tendo em conta os parmetros, a b, calcule a caracterstica da matriz A. 10.2) Classifique em funo dos parmetros, a b , o sistemaAX B = . 10.3)CalculeodeterminantedamatrizApara1 a = e2 b = ,oquepodeconcluirquanto classificao do sistemaAX B = .10.4) Determine a inversa da matriz A para1 a = e2 b = .10.5) Resolva o sistemaAX B =fazendo1 a = e2 b = . Exerccio11: Considere as matrizes (((((

=1 01 1 1 01 1 1 22 0a aaa aA, (((((

=bB101 e (((((

=1 2 2 02 2 0 01 1 2 01 1 0 2C . 11.1) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz C. 11.2) Calcule a caracterstica da matriz A em funo do parmetroa . 11.3) Classifique o sistemaAX CB =em funo dos parmetros, a b ? 11.4) Se2 a = , determine o valor deb tal que 3 1 14 4 4, , , 0T( seja soluo do sistemaAX B = . Exerccio12. Considere as matrizes ((((

=1 11 11 1aaaAe ((((

=bbbB ,, a b . 12.1) Tendo em conta o parmetroa , determine a caracterstica da matriz A. 12.2)Discutaosistema deequaescorrespondente equaomatricialAX B = ,tendo em conta os parmetros reais a e b. 12.3) Para0 a = , determine o valor de b tal que [ 1 1 1]T seja soluo do sistemaAX B = . Exerccio13: Para (((((

+ + =3 2 2 01 0 1 12 12 2 2 1 1a aab ab a aA ,(((((

=babaB222 e ((((((

=8 0 2 01 0 1 12 0 0 11 02121M . 13.1) Discuta o sistema correspondente equao matricialAX B = , em funo de, a b . 13.2) Faa0 a =e2 b =em A, e determine, utilizando o teorema de Laplace, o seu determinante.13.3) Considere a matriz C obtida de M por eliminao da 1 linha e da 3 coluna. Determine a sua inversa, utilizando o mtodo da matriz adjunta. REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 21/22 Exerccio14: Considere as seguintes matrizes(((((

+=b a b ab bb a a bA00 2 02 2 10 1 0 0 e (((((

+=1 2110aB .14.1) Tendo em conta os parmetros a e b, indique o determinante da matriz A 14.2) Tendo em conta a alnea anterior,indique a caracterstica da matriz A . 14.3) Tendo em conta os parmetros a e b, indique a caracterstica da matriz ampliada do sistema. 14.4) Discuta o sistemaAX B =, de acordo com os parmetros, a b .14.5) Para0 a =e1 b = , calcule o determinante da matriz A.14.6) Para0 a =e1 b = , calcule a inversa da matriz A, pelo mtodo da matriz ampliada. Exerccio15: Considere as seguintes matrizes (((((

+ =220 1 21 2 53 1 1 22 1 0a aa a aa aaA e (((((

+ + =b aaaB12 110. 15.1) Calcule o valor do determinante de A em funo dea .15.2) Tendo em conta a alnea anterior determine a caracterstica de A. 15.3) Determine a caracterstica da matriz ampliada em funo de, a b . 15.4) Utilizando o teorema de Rouch, discuta o sistemaAX B = , em funo de, a b . 15.5) Para0 a = , calcule determinante da matriz A e a sua caracterstica. 15.6) Para0 a =e0 b = , calcule a caracterstica da matriz ampliada do sistema. 15.7) Para0 a =e0 b = , resolva, se possvel o sistemaAX B =pela regra Cramer. Exerccios16: Considere as matrizes (((((

=0 1 11 2 2 10 1 01 0 22a aa aabA e (((((

+=1210bB . 16.1) Discuta o sistema correspondente equao matricialAX B = , em funo de, a b .16.2) Para2 a =e1 b = , usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz A. Exerccios17: Considere as seguintes matrizes 1 1 02 2 13 2 2 10 2 0 2aa a bAaa ( (+ (= ( ( e 2102aBb ( ( (= ( ( . 17.1) Indique a caracterstica da matriz A, em funo dos valores de a e b. 17.2) Discuta o sistema correspondente equao matricialAX B =em funo de, a b . 17.3) Resolva o sistemapara1 a =e0 b = , pelo mtodo de explicitao epelo mtodo de Jordan. REA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCCIOS DE LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALTICA 22/22 Exerccio18: Considere as seguintes matrizes0 2 1 22 2 13 2 2 11 1 0a aa aAaa( ( (= ( ( e 210bBa ( ( (= ( ( ,, a b . 18.1) Indique a caracterstica da matriz A e de [ | ] A B , em funo dos valores de a e b. 18.2) Discuta o sistema correspondente equao matricialAX B =em funo de, a b. 18.3) Resolva o sistema,AX B = , para1 a =e1 b = , pelo mtodo de Gauss-Jordan. 18.4) Discuta em funo dea o sistema homogneo associado. 18.5) Calcule o ncleo do sistemaAX B =em funo dea . 18.6) Para0 a = , determine na matriz A os valores tais que0 Xque satisfazAX X = . 18.7) Para cada valor de encontrados na alnea anterior, encontre a soluo geral do sistema AX X = . Exerccio19: Para as matrizes22 21 1 21 1 1 30 1 1 2( 1) 1 0aa aAa aa a( ( + (= ( ( ,012Ba b ( ( (= ( (+ e 2 1 10 1 11 2 4C( (= ( ( . 19.1) Indique a caracterstica da matriz A e da matriz ampliada em funo dos valores de a e b. 19.2) Discuta o sistemaAX B =em funo dos valores de, a b . 19.3)ConsidereamatrizD,obtidadeB,poreliminaodaquartalinha.Classifiqueeresolvao sistema correspondente equao matricial CX D = , utilizando a regra de Cramer. 19.4) Discuta em funo dea o sistema homogneo associado. 19.5) Calcule o ncleo do sistemaAX B =em funo dea . 19.6) Determine na matriz C os valores tais que0 Xque satisfazAX X = . 19.7) Para cada valor de encontrados na alnea anterior, encontre a soluo geral do sistema AX X = . 19.8) Para1 a = , determine na matriz A os valores tais que0 Xque satisfazAX X = . 19.9) Para cada valor de encontrados na alnea anterior, encontre a soluo geral do sistema AX X = .