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judite-sousa-santos
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Exercícios sobre capacitores,indutores, circuitos RC,RL e RLC.
Carga e descarga de um capacitor - RC
1. O capacitor da figura abaixo está descarregado. A chave desloca-se para posição 1 e em 5 ms, para posição 2, permanecendo nessa posição.
a) Determinar vc e ic enquanto a chave está na posição 1;
b) Calcule vc e ic em t = 5 ms;c) Idem da letra (a) para chave na
posição 2;d) Determine vc e ic em t = 10 ms.
Solução:
a) Chave na posição 1 (0 < t ≤ 5ms) – carga do capacitor, vc(0) = 0 e a solução tem a forma:
Termo ≠ 0
10 0C CC R
v E dvCR dt
i i -+ = Þ + =
11 C C C
Cdv v dvEC RC v Edt R R dt
+ = Þ + =
Const. TempoRCt = ®
1 1( )CK v E= ¥ =
2 1 1K K EÞ =- =-
( )/
1
3
1
1k.4 F = 4 (ms)1 1 1000 250 (1/s)
4.10 4
tCv E e
RC
t
t m
t
-
-
= -= =
= = =
( ) ( )3/4.10 25010 1 10 1 , 0 t 5mst tCv e e
-- -= - = - £ £( )250
/ 250 2501
10 14 .
10 10 (mA), 0 t 5ms1k
t
CC
t t t
d edvi Cdt dtEC e e eRC
t
m-
- - -
é ù-ê úë û= =
= = = £ £
b) Calcule vc e ic em t = 5 ms:
( )3250.5.10t = 5ms 10 1 7,14 VCv e--® = - =
3250.5.10t = 5 ms 10 2,87 (mA)Ci e--® = =
c) Idem da letra (a) para chave na posição 2 – Circuito de recarga:
2t = 0 (0) 7,14 VCv® =
1 2( )CK v E= ¥ =
220 C C C
Cdv v E dvC RC v Edt R dt
-+ = Þ + =
2 7,14 30 22,86 VK = - =-1k.4 F = 4 (ms)RCt m= =
25030 (22,86) , t 5mstCv e-= - ³
250(22,86) (mA), t 5mstCC
dvi C edt
-= = ³
d) Determine vc e ic em t = 10 ms
Neste caso, define-se nova base de tempo, onde t = 5 ms é t = 0 e para t = 10 ms, tem-se t = 5 ms, para a chave na posição 2.
25030 (22,86) , t 5ms (t 0)tCv e-= - ³ ³
250(22,86) (mA), t 5ms(t 0)tCi e-= ³ ³
Então, tem-se:
3250.5.1030 (22,86) 23,45 VCv e--= - =
3250.5.10(22,86) =6,55 (mA)Ci e--=
O circuito da figura abaixo atingiu o estado estacionário. Determinar as tensões do capacitor.
O capacitor é composto de placas condutoras separadas por um isolante, não há caminho condutor de um terminal a outro pelo capacitor. Quando colocado em uma fonte DC, com exceção de um rápido surto transiente, sua corrente é nula.Logo, um capacitor se comporta como em um circuito aberto quando no estado estacionário.
Então, tem-se:
1200 2 A
40 60I = =+
290 1,5 A
40 8 12I = =+ +
1 1120 18 0 138 VV V- - = ® =
2 (8 )(1,5 A) 12 VV = W =
Determinar todas as tensões e correntes no circuito abaixo, imediatamente após a chave ser fechada e no estado estacionário.
Quando colocado em uma fonte DC, com exceção de um rápido surto transiente (máxima tensão), sua tensão é nula.Logo, um indutor se comporta como em um curto circuito quando no estado estacionário.
Modelo para o rápido transiente – momento que a chave é fechada:
1160 VLv =
2 3120 VL Rv v= =
10Rv =
3
60 16020 60
120 V
Rv = +=
2 3160
40 VR Rv v= -=
40Rv =
Tensões:
Modelo para o rápido transiente – momento que a chave é fechada:
1 0i =
3 2 2 ATi i i= = =
2160 2 A
20 60Ti i= = =+
4 0i =
Correntes:
Modelo para o estado estacionário – curto circuito
Tensões
10Lv =
20Lv =
1160 VRv =
3 4
60 / /5 16020 60 / /5
30 V
R Rv v= = +=
2160 30
130 VRv = -=
Modelo para o estado estacionário – curto circuito
Correntes
1160 5,33 A30
i = =
330 0,5 A60
i = =
430 6 A5
i = =
2 3 4 6,5 Ai i i= + =2 1 2 11,83 Ai i i= + =
Para o circuito da figura abaixo, a chave fecha em t = 0:a) Determine as equações para iL e vL;b) Em t = 300 ms, abre-se a chave. Determine as equações para iL e vL
durante a fase de decaimento;c) Determine a tensão e a corrente em t = 100 ms e t = 350 ms;
Solução: Converter o circuito a esquerda de L em seu equivalente de Thévenin.
Converter o circuito a esquerda de L em seu equivalente de Thévenin.
a) Figura ilustra o circuito reduzido
Th Th L L
Th LL
Th Th
E R i vE diLiR R dt
= +
= +LTK:
3
5 = 50 (ms)100
1 1 20 (1/s)50.10
Th
LR
t
t -
= =
= =1 ( ) 2 ATh
LTh
EK iR
= ¥ = =
1 2
2 1
t 0 (0) 02 A
Li K KK K= ® = = +=- =-
( )20
20
2 1 A
200 V
tL
tLL
i e
div L edt
-
-
= -
= =
b) Em t = 300 ms, abre-se a chave. Determine as equações para iL e vL durante a fase de decaimento.O aumento da corrente com o tempo é ilustrado na figura abaixo:
Observar que a constante de tempo é τ = 50 ms, logo, 300 ms correspondem um período de tempo maior que 5τ (250 ms), tendo o indutor atingido o estado estacionário, ou seja, a corrente inicial de descarga é igual a 2 A.
Quando a chave é aberta, a corrente cai a zero através de uma resistência igual a 60 + 80 = 140 Ω
Então:
3
5 = 35,7 (ms)140
1 1 28 (1/s)35,7.10
Th
LR
t
t -
= =
= =
1
2
0 estado estacionário2 condição inicial
KK= ®= ®
282 AtLi e-=
A tensão, logo após a abertura da chave é – 280 V (I0 = 2 A)(estado inicial do decaimento)
/ 280 280 Vt t
Lv V e et- -= =-
c) Tensão e corrente em 100 ms e 350 ms.
t 100ms (2 ) 0,865(2) 1,73 ALit= ® = =
t 100ms (2 )0,135(200) 27 VLv
t== =
Para t = 350 ms, nova escala de tempo, t = 50 ms, para circuito de descarga.
28(50 )2 =0,493 AmsLi e-=
28(50 )280 69 VmsLv e-=- =-
Segunda ordem - RLC
1º Caso – raízes reais e distintas:
1 21 21 ( ) s t s tx t K e K eV> ® = +
SUPERAMORTECIDO2º Caso – raízes reais e iguais: ( )1 21 ( ) nt
ns x t B B t e VwV Vw -= ® =- ® = +CRITICAMENTE AMORTECIDO
3º Caso – raízes complexas conjugadas:
1
22
11
nn d
n d d n
s js j
s VwVw wV
Vw w w w V
ì =ì ï=- +ï ïï< ® Þí íï ï=- - = -ïî ïî
3º Caso – raízes complexas conjugadas:
1
22
11
nn d
n d d n
s js j
s VwVw wV
Vw w w w V
ì =ì ï=- +ï ïï< ® Þí íï ï=- - = -ïî ïî
( )1 2
1 2
1 2
( )
cos sen
s t s t
td d
x t K e K e
e A t A ts w w-= += +
SUBAMORTECIDO
2ª Ordem
( )
3 3 31 2 2
3 31 2 2
( ) 3 3
3 3
t t t
t t
dv t B e B e B tedt
B B t e B e
- - -
- -
=- + -
=- + +