Exercícios sobre Geometria Analítica

QUESTO (Descritor: Utilizar as equaes algbricas para modelar situaes.)

Nvel de Dificuldade: Mdio

Assunto: Distncia entre dois pontos

Considerando o tringulo da figura seguinte. Marque a afirmativa FALSA.

A)

B) C) O tringulo acutnguloD) O permetro do tringulo aproximadamente 13 cm

E)

RESPOSTA: Letra E

QUESTO (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos de distncia e paralelismo.)


Assunto: Geometria Analtica

Uma reta r paralela ao eixo x e contm a interseo das parbolas y = ( x 1 ) e y = ( x 5 ). A EQUAO da reta r :

A) x = 3B) y = 4 C) y = 3xD) x = 4yE) y = 4x

RESPOSTA: Letra B

QUESTO (Descritor: Identificar, a partir de suas equaes, as posies relativas de retas.)

Nvel de Dificuldade: Fcil


Sobre OS GRFICOS das retas de equaes 3x + 2y = 3, 5x + 2y 7 = 0, x = 2 e y = , pode-se afirmar corretamente que:

A) No se interceptam.B) Interceptam-se em mais de trs pontos.C) Interceptam -se em apenas trs pontos.D) Interceptam-se em apenas dois pontos.E) Interceptam-se em um nico ponto.

RESPOSTA: Letra E

QUESTO (Descritor: Utilizar diferentes formas de representar circunferncias, para decidir se a soluo de um problema requer representao algbrica ou grfica.)



Na figura abaixo, qual ponto, diferente do ponto O, est no INTERIOR de um crculo de centro O ( 2, 3 ) e raio 4?

A) AB) BC) CD) DE) E

RESPOSTA: Letra E

QUESTO (Descritor: Usar modelos algbricos, grficos e geomtricos para resolver problemas.)


Assunto: Geometria Analtica (UFMG 2008) Na figura a seguir est representado um quadrado de vrtices ABCD. Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos A e B so A = ( 0, 0 ) e B = ( 3, 4 ).Ento, CORRETO afirmar que o resultado das somas das coordenadas do vrtice D :

A) - 2B) - 1 C)

D)

RESPOSTA: Letra B

QUESTO (Descritor: Resolver problemas envolvendo distncia.)

Nvel de Dificuldade: Difcil


Se o ponto A ( x1, y1 ) o p da perpendicular baixada de B ( 0, - 5 ) at a reta y = - x +3, ENTO x1 + y1, IGUAL a:

A) - 4B) - 2C) 0D) 2E) 3

RESPOSTA: Letra E

QUESTO (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos de perpendicularismo e distncia.)


Assunto: Retas paralelas e perpendiculares

Uma das diagonais de um quadrado est contida na reta: x y = 3. A equao da RETA SUPORTE DA OUTRA DIAGONAL e que passa pelo ponto V (4, -2) :

A) x y = 2B) x + y = 2 C) x y = -6D) x y = 6E) x + y = -2

RESPOSTA: Letra B




ENCONTRE a REA do tringulo representado na figura seguinte utilizando determinante.

RESPOSTA: A = 41 unidades de rea




Os vrtices da base de um tringulo issceles so os pontos ( 1, - 1 ) e ( - 3, 4 ) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares (plano cartesiano). Qual a ORDENADA DO TERCEIRO VRTICE, se ele pertence ao eixo das ordenadas?

RESPOSTA: y = 2,3

QUESTO (Descritor: Identificar as equaes de uma reta em suas vrias formas e transform-las de uma forma para outra.)



Sabendo-se que a inclinao da reta r que passa pelos pontos ( a, 0 ) e ( 1, -2 ) . ENCONTREa) o VALOR DE a.b) a EQUAO REDUZIDA da reta r.

RESPOSTA:

a) a = 5

b) y =

QUESTO (Descritor: Transformar as linguagens mais especficas umas nas outras, como as geomtricas em algbricas ou grficas e vice-versa.)



Observe a figura a seguir.

a) ENCONTRE a medida do LADO do quadrado.

b) CALCULE a REA do quadriltero ABCD.

RESPOSTA:

a) l = b) A = 13

QUESTO (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos de distncia.)



Dados os pontos A (1, 6), B (-3, 2) e C (5, 6), pode-se afirmar corretamente que a mediana relativa ao lado BC do tringulo MEDE

A)

B)

C)

D)

E)

RESPOSTA: Letra A

QUESTO (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos de equao geral da circunfer.)



Um software muito utilizado na matemtica o Winplot, destinado a construo de figuras geomtricas a partir de suas representaes algbricas.

A figura acima refere-se a uma circunferncia, construda nesse software, por meio da equao :

x + y + 2x 3y k = 0

Como o raio da circunferncia igual a 3, o valor que dever substituir a letra k, na equao da circunferncia, dever ser igual a:

A) 13/4B) 9C) 3D) 23/4

RESPOSTA: Letra D

QUESTO (Descritor: Propor problemas envolvendo conceitos como distncia e paralelismo.)



Encontre a EQUAO GERAL da reta r, paralela reta de equao 3x - y - 10 = 0, sabendo que um dos pontos de interseo de r com a parbola de equao y = x2 - 4 tem abscissa 1.

RESPOSTA: r: 3x y 6 = 0

QUESTO (Descritor: determinar a equao de uma circunferncia circunscrita a um tringulo cujas coordenadas dos vrtices foram fornecidas)



(UNIFEI 2008) O tringulo retngulo , de vrtices , e , est inscrito numa circunferncia. Determine a EQUAO GERAL dessa circunferncia.

RESPOSTA: x + y - 20y + 75 = 0

QUESTO (Descritor: Interpretar modelos algbricos, grficos e geomtricos para resolver problemas.)



A rea de um tringulo de 4 unidades de superfcie, sendo dois de seus vrtices os pontos A ( 2, 1 ) e B ( 3, - 2 ). Sabendo que o terceiro vrtice encontra-se sobre o eixo das abscissas, encontre OS VALORES DE SUAS COORDENADAS.

RESPOSTA: ( 5, 0 )

QUESTO (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos como perpendicularidade e paralelismo.)



QUAL das afirmativas a seguir INCORRETA?

A) Se r: y = 3 e s: x = 4, ento r e s so perpendiculares.B) Se r: 2x + y 3 = 0 e s: x 2y + 4 = 0, ento r e s so perpendiculares.C) Se r: 2x + y 3 = 0 e s: y = 2x + 7, ento r e s so paralelas. D) Se r: -4x + 2y + 6 = 0 e s: x + 2y - 4 = 0, ento r e s so concorrentes e cruzam no ponto (2,1)E) Se r: x + 2y 4 = 0 e s: 6x + 12y - 1 = 0, ento r e s so paralelas.

RESPOSTA: Letra C

QUESTO (Descritor: Diferenciar, a partir de suas equaes, as posies relativas de circunferncias.)



ENCONTRE a posio relativa das circunferncias de equaes x + y - 6x 2y + 6 = 0 e x + y = 1. Caso elas sejam secantes ou tangentes, ENCONTRE OS PONTOS COMUNS.

RESPOSTA: As circunferncias so tangentesO ponto de interseo (1,5; 0,5)

QUESTO (Descritor: Diferenciar, a partir de suas equaes, as posies relativas de retas e circunferncia.)



ENCONTRE as equaes das retas tangentes circunferncia ( x 2 ) + ( y + 1 ) = 1 passando pelo ponto A ( 2, 1 ).

RESPOSTA: y - x + 2 - 1 = 0 e y + x 2 - 1 = 0

QUESTO (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos de distncia.)



Seja um tringulo de vrtices A ( 2, 4 ), B ( 2, 3 ) e C ( 8, 5 ), ento a MEDIDA DA ALTURA relativa ao vrtice A

A)

B)

C)

D)

E)

RESPOSTA: Letra B

QUESTO (UFSM 2006) (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos de perpendicularidade.)



Leia atentamente a tirinha a seguir:

Supondo agora que o percurso feito por voc e o Sr. Jones descrito pela reta r, cuja equao 2x - 3y + 5 = 0, ento, a EQUAO DA RETA PERPENDICULAR a r e que passa pelo ponto P( 5, 10 ),

A) 3x + 2y - 35 = 0B) 2x + 3y - 5 = 0C) 2x + 3y + 35 = 0D) 2x - 3y + 5 = 0E) 3x - 2y + 35 = 0

RESPOSTA: Letra A

QUESTO (Descritor: Associar situaes e problemas geomtricos s suas correspondentes formas algbricas e representaes grficas.)



QUAL das equaes a seguir NO representa uma circunferncia no plano XOY?

A) (x 3) + (y 1) = 3B) x + y - 8 = 0C) x + y - 2x - 6y + 1 = 0D) (x + y) = 4E) (x + y) - 2xy = 9

RESPOSTA: Letra D




Dadas as circunferncias C1: x + (y 1) = 1 e C2: x + y - 4y = 0, pode-se AFIRMAR CORRETAMENTE que:

A) C1 e C2 so tangentes externas.B) C1 e C2 so secantes.C) C1 e C2 so tangentes internas.D) C1 interior C2.E) C1 exterior C2.

RESPOSTA: Letra C




Considerando o plano xOy, INCORRETO afirmar que:

A) A equao representa uma hiprbole.

B) A equao representa uma parbola.

C) A equao representa uma elipse.D) Uma parbola pode ter trs pontos de interseo com uma circunferncia.

E) A equao representa uma elipse.

RESPOSTA: Letra B

QUESTO (Descritor: Identificar dados e relaes geomtricas relevantes na resoluo de situaes problema.)



CALCULE o permetro do tringulo de vrtices A ( 0, 0 ), B ( 2, - 4 ) e C ( 4, 2 ).

RESPOSTA:

QUESTO (UFBA 2010- Adaptada) (Descritor: Interpretar equaes de retas.)



Na figura, considere os pontos A ( 4, 0 ), B ( 4, 2 ), C ( 4, 3 ) e D ( 3, 3 ) e a reta r que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto B.

Com base nessa informao, pode-se AFIRMAR:

A) O tringulo BCD equiltero.

B) A rea do setor circular hachurado igual a

C) A equao representa a reta r. D) O ngulo entre o eixo Ox, no sentido positivo, e a reta r mede 30.E) A imagem do ponto C pela reflexo em relao reta r o ponto de coordenadas (4, 1).

RESPOSTA: Letra C

QUESTO (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos de perpendicularidade.)



As retas m e r da figura seguinte so perpendiculares. Com base nessas informaes CORRETO afirmar que

A) A equao da reta m y = x + 1.B) A equao da reta r y = -x 3.C) A rea do tringulo ABC 16 u.a. D) O segmento AC mede 6.E) O menor ngulo formado pela reta s e segmento AB vale 30.

RESPOSTA: Letra C

QUESTO (UFG 2009) (Descritor: Relacionar equaes, funes e grficos para resolver problemas que exigem o estudo da posio relativa de pontos, retas e circunferncias.)


Assunto: Geometria Analtica Na figura abaixo, a circunferncia C1 tem raio 1 e a circunferncia C2, de centro ( 2, 4 ), tem raio 2. A reta r forma um ngulo de 30 com o eixo das ordenadas e passa pelo centro das duas circunferncias.

Sabendo que a distncia entre os pontos A e B igual a 2, as coordenadas (x0, y0) do centro da circunferncia C1 so:

A)

B)

C)

D)

E)

RESPOSTA: Letra A

QUESTO (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos como perpendicularidade e paralelismo.)



A reta que passa pelo ponto de interseco das retas e 3x + 2y = 10 e paralela ao eixo das ordenadas OY tem por EQUAO:

A) y = 0,5B) x = 3C) x + y = -2D) x - y = 2E) x + 2y = 4

RESPOSTA: Letra B

QUESTO (FUVEST 2010) (Descritor: Interpretar equaes de retas e circunferncias.)



No plano cartesiano xOy, a reta de equao x + y = 2 tangente circunferncia no ponto ( 0, 2 ). Alm disso, o ponto ( 1, 0 ) pertence a C. Ento, o RAIO de C igual a:

A)

B)

C)

D)

E)

RESPOSTA: Letra B

QUESTO 29 (Descritor: Interpretar equaes de retas e circunferncias.)



Dada a equao: 2x + y -1 = 0 faa o que se pede.

a) CONSTRUA seu grfico.

b) DETERMINE t para que T(t, t-2) pertena reta.

RESPOSTA: a) b) t = 1

Leia atentamente o texto a seguir e responda s prximas duas questes a seguir.

Equilbrio no cotidiano

Equilibrista Atravessar um vo caminhando ao longo de um cabo segurando uma longa vara chega a prender a respirao dos observadores. Essa faanha demonstra o senso de equilbrio de alguns artistas de circo. O artista procura incessantemente o equilbrio, fazendo com que, medida que ele se desloca, o centro de gravidade se mantenha num plano que contm o cabo esticado. O uso da vara fundamental para fazer com que, atravs dela (puxando-a para a esquerda ou para a direita), seja mantido o centro de massa acima do cabo. Observe-se que, nesse caso, procura-se manter o equilbrio do sistema homem mais a vara longa.

Equilbrio ao andar O ser humano simtrico em relao a um plano vertical que passa pelo meio do corpo. Isto , podemos trocar o que est esquerda pelo que est direita sem alter-lo (veja diante do espelho). O centro de massa est situado, portanto, numa linha contida nesse plano. Ao transportarmos um objeto, tendemos a alterar a nossa envergadura buscando manter a posio do centro de massa do sistema numa direo vertical acima dos nossos ps.O senso de equilbrio, a manuteno do nosso centro de gravidade na posio adequada requer uma dura aprendizagem na infncia. Levam-se muitos tombos at se adquirir o senso (no sentido intuitivo) do equilbrio.

Mantendo um lpis de p Existem duas formas de manter um lpis de p:a) pela base - nesse caso, o equilbrio relativamente estvel. b) pela ponta - muito difcil de se obter, mas no impossvel. Nesse caso, o equilbrio instvel. Basta um deslocamento diminuto para tir-lo do equilbrio. O lpis exibe ainda um equilbrio indiferente ao ser colocado "deitado" sobre a mesa. Buscando maior equilbrio Uma forma de dotar os objetos de condies melhores de equilbrio baixar o centro de gravidade. O melhor exemplo dessa busca de equilbrio so os carros de corrida. Eles so rebaixados de forma que o piloto corra sentado muito prximo do cho. Assim, eles podem ser inclinados de ngulos relativamente grandes sem perderem o equilbrio. A carga colocada num trem, se rebaixada, ter maior equilbrio.

Transportando cargas As cargas devem ser colocadas num caminho de forma a manterem o centro de gravidade no "centro" do mesmo. Um vago de trem tende a tombar quando o plano vertical que passa pelo centro de gravidade fica fora dos trilhos da ferrovia.

Disponvel em: http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/centro_gravidade/equilibrio. Acesso em 22 nov.2009

Se construdo de mesmo material, ou seja, mesma densidade em qualquer um de seus pontos, o centro de equilbrio de um tringulo coincide com o seu baricentro.

Joo deseja pendurar um tringulo no teto por apenas um fio. O tringulo ser feito de material homogneo e seu projeto foi construdo num plano cartesiano, conforme desenho:

Escala: 1:50 1 cm




a) INDIQUE no desenho o ponto onde deve ser preso o fio de modo que o tringulo fique todo na horizontal.

b) ESCREVA suas coordenadas.

RESPOSTA: a) b) G (2,1)




CALCULE a rea do material utilizado para a construo do tringulo.

RESPOSTA: 675 cm ou 0,0675m

QUESTO (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos de perpendicularidade.)



Dados os pontos A ( 2, 1 ) e B ( 4, -3 ), DETERMINE a equao da mediatriz do segmento AB.

RESPOSTA: y =

QUESTO (Descritor: Utilizar as equaes algbricas para modelar situaes.)



DETERMINE o centro e o raio da circunferncia de equao x + y - 6y = 0

RESPOSTA: C = (0, 3) e raio 3

QUESTO (Descritor: Interpretar equaes de retas e circunferncias.)



Dada a circunferncia : x - 4x + y - 2k = 0, QUAL o valor de k para que a reta r: 4x + 3y 3 = 0 seja tangente a circunferncia ?

RESPOSTA: K =

QUESTO (Descritor: Identificar conceitos geomtricos para a construo de argumentao consistente.)



ESCREVA a equao reduzida da elipse dado os focos ( 3, 0) e vrtices ( 5, 0).

RESPOSTA:




Analise o grfico a seguir.

a) ENCONTRE a equao da parbola expressa pelo grfico.

b) DETERMINE as coordenadas do vrtice dessa parbola.

RESPOSTA: a) y = x - x 6

b) V = (0,5; - 6,25)




Um dos catetos de um tringulo retngulo est sobre a reta de equao x 2y +1 = 0. Sabendo que o ponto de coordenadas ( 1, 1 ) corresponde ao vrtice oposto hipotenusa, A EQUAO DA RETA que contm o outro cateto :

A) 4x + 2y 5 = 0B) x - 2y + 6 = 0C) x + 2y 10 = 0D) 2x + y 3 = 0 E) 2x y + 3 = 0

RESPOSTA: Letra D




Para QUAL VALOR de x da funo f (x) = x + 2x - 8 a reta tangente a f (x) horizontal?

A) x = -1B) x = -2C) x = -2 ou x = 4D) x = -5

RESPOSTA: Letra A

QUESTO (UFMA 2008) (Descritor: Usar modelos algbricos, grficos e geomtricos para resolver problemas.)


Assunto: Geometria Analtica No plano cartesiano, como se v na figura abaixo, uma parbola intersecta a circunferncia x + y =1 nos pontos A e B, e passa pela origem do sistema de coordenadas. Alm disso, o eixo de simetria da parbola perpendicular ao eixo x. Se o segmento AB o lado de um tringulo eqiltero inscrito na circunferncia, QUAL A EQUAO da parbola?

A)B)C)D)E)

RESPOSTA: Letra A

QUESTO (Descritor: identificar, a partir de suas equaes, as posies relativas de retas.)



A mediatriz de um segmento a reta que passa perpendicularmente pelo ponto mdio desse segmento. DETERMINE a equao da mediatriz do segmento de extremidades A ( 1, 2 ) e B ( -3, 4 ).

RESPOSTA: y = 2x + 5

QUESTO (Descritor: Interpretar modelos geomtricos para resolver problemas.)



Sabendo que o circuncentro do tringulo o ponto de encontro das mediatrizes de seus lados, DETERMINE as coordenadas do circuncentro P do tringulo de vrtices A ( 1, 2 ), B ( -3, 4 ) e C ( 0, 3 ).

RESPOSTA: P = (0, 5)

QUESTO (Descritor: Identificar retas e circunferncias dadas por suas equaes.)


Assunto: Interseo de cnicas

Considere uma circunferncia C1 de centro na origem e raio 2 e uma cnica C2: y = x - 2. QUANTOS pontos C1 tm em comum com C2?

RESPOSTA: Trs pontos:

QUESTO (Descritor: Relacionar equaes, funes e grficos para resolver problemas que exigem o estudo da posio relativa de pontos, retas e circunferncias.)



DETERMINE a equao da reta g (x) sabendo-se que ela perpendicular reta f (x).

RESPOSTA: g(x) =

QUESTO (Descritor: Interpretar equaes de circunferncias.)



DETERMINE o centro e o raio da circunferncia de equao x - 4x + y - 10y + 20 = 0.

RESPOSTA: C = (2, 5) e raio 3

QUESTO (Descritor: Identificar conceitos geomtricos para a construo de argumentao consistente.)

Nvel de dificuldade: Difcil


QUAL a menor distncia entre um dos focos da elipse e uma circunferncia de mesmo centro e raio 1?

RESPOSTA: Distam 3 unidades.

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