EXERCÍCIOS VARIADOS

DILATAÇÃO LINEAR 1/28

LISTA DE EXERCÍCIOS –

Considere uma barra metálica, cujo coeficiente

de dilatação linear vale 1,6•10-6 o

C-1

. Ao ser

resfriada de 60oC a 20

oC, a barra contrai 8•10

-4 m

(0,0008 m) de seu comprimento original. Calcule

esse comprimento. Resposta: Li = 12,5 m.

Seja uma barra metálica, cujo coeficiente de

dilatação linear vale 1,25•10-6 o

C-1

, e comprimento

inicial de 20 m. Ao ser aquecida de -20oC a 180

oC,

a barra terá uma expansão de quantos milímetros

em relação ao seu tamanho inicial? Resposta: ∆L

= 5 mm.



C-1

, e comprimento

inicial de 15 m. Ao ser resfriada de 180oC a 0

oC, a

barra apresentará uma contração de quantos

milímetros em relação ao seu tamanho inicial?

Resposta: ∆L = -4,86 mm ≈ -4,9 mm.

Uma barra de comprimento inicial de 10 m, ao

ser aquecida, dilata 0,5 mm. O coeficiente de


C-1

. Calcule a

variação da temperatura da barra. Resposta:

∆T = 40oC.

Uma barra com comprimento de 20 m, ao ser

resfriada, contrai 2 mm de seu tamanho original. O

coeficiente de dilatação linear vale 2,5•10-6 o

C-1

. (a)

Determine o valor da temperatura inicial da

barra, sabendo-se que a temperatura final é de

50oC. Resposta: Ti = 90

oC. (b) Calcule o

percentual dessa contração, em relação ao

comprimento inicial. Resposta: P = -0,01%.

Uma barra metálica com coeficiente de dilatação

linear desconhecido, dilata 0,4 mm ao ser aquecida

de 0oC a 50

oC. (a) Ache este coeficiente, sabendo-

se que a barra tinha 8 metros de comprimento.

Resposta: = 1,0•10-6 o

C-1

. (b) Calcule o

percentual dessa expansão, em relação ao

comprimento inicial. Resposta: P = 0,005%.

Uma barra metálica, dilata 0,010% de seu

tamanho original ao ser aquecida até a temperatura

de 80oC. Sabe-se que coeficiente de dilatação linear

vale 1,25•10-6 o

C-1

. Calcule a temperatura inicial

da barra. Resposta: Ti = 0oC.

Uma barra metálica, dilata 0,005% de seu



vale 1,25•10-6 o

C-1

. Obtenha a temperatura inicial

da barra. Resposta: Ti = 20oC.

Seja uma barra de certo metal, cujo comprimento

inicial vale 8 m, e que contrai 0,6 mm quando

resfriada lentamente. O coeficiente de dilatação

linear do material vale 7,5•10-6 o

C-1

. Sabendo-se que

a temperatura inicial da barra é de 30oC, calcule sua

temperatura final. Resposta: Tf = 20oC.


expansão linear vale 2,4•10-6 o

C-1

, e de comprimento

inicial, 50 m. Ao ser aquecida de -50oC a 150

oC, a

barra terá uma expansão de quantos centímetros

em relação ao seu tamanho inicial? Resposta: ∆L

= 2,4 cm.

Considere uma barra metálica, que contraia

0,02% de seu tamanho original, quando resfriada de

30oC a -10

oC. O coeficiente de dilatação linear da

barra é desconhecido. Ache-o! Resposta: =

5•10-6 o

C-1

.

Uma barra metálica dilata 0,06% de seu

tamanho original, quando aquecida de 0oC a 50

oC.

O coeficiente de dilatação linear da barra é

desconhecido. Encontre-o! Resposta: = 1,2•10-

5 oC

-1.

Uma barra metálica dilata 0,018% de seu

tamanho original, quando aquecida de -40oC a 50

oC.

O coeficiente de dilatação linear da barra é

desconhecido. Determine-o! Resposta: =

2,0•10-6 o

C-1

.

Considere uma barra metálica, que dilata

0,02% de seu tamanho original, quando aquecida de

-20oC a 60

oC. O coeficiente de expansão linear da

barra é desconhecido. Calcule-o! Resp.: =

2,5×10-6 o

C-1

.

Ao aquecermos uma barra metálica de -30oC a

0oC, verificou-se que ela dilatou 0,27 mm em

relação ao seu tamanho original. Sabe-se que o


C-1

. (a)

Encontre o comprimento da barra. Resposta: Li

= 6,0 m. (b) Qual o percentual dessa dilatação, em

relação ao comprimento inicial? Resposta: P =

0,0045%.

DILATAÇÃO LINEAR 2/28

Uma barra metálica é aquecida até 45oC,

dilatando 0,0036% em relação ao seu tamanho

original. Sabe-se que o coeficiente de expansão

linear vale 1,8•10-6 o

C-1

. Calcule a temperatura

inicial. Resposta: T i = 25oC.

Uma barra metálica de 5 metros de

comprimento sofre uma contração de 2,5 mm

quando submetida à redução de temperatura a -

150oC. Sabe-se que o coeficiente de dilatação linear

vale 2•10-6 o

C-1

. Obtenha sua temperatura inicial.

Resposta: Ti = 100oC.

Uma barra metálica de 8 metros de

comprimento sofre uma contração de 0,32 mm

quando submetida à uma redução de temperatura.

Sabe-se que o coeficiente de dilatação linear vale

2•10-6 o

C-1

. Calcule sua temperatura final,

sabendo-se que a temperatura inicial é de 70oC.

Resposta: Tf = 50oC.

Ao aquecermos uma barra metálica de -40oC a

0oC, verificou-se que ela dilatou 1,0 mm em relação

ao seu tamanho original. Sabe-se que o coeficiente

de expansão linear vale 5,0•10-6 o

C-1

. (a) Determine

o comprimento da barra. Resposta: Li = 5 m. (b)

Calcule o percentual dessa dilatação, em relação ao

comprimento inicial. Resposta: P = 0,02%.

Aquecendo uma barra metálica de -60oC a

40oC, verificou-se que ela dilatou 2,0 mm em


coeficiente de expansão linear vale 2,5•10-6 o

C-1

. (a)

Determine o comprimento da barra. Resposta: Li

= 8,0 m. (b) Calcule o percentual dessa dilatação,

em relação ao comprimento inicial. Resposta: P =

0,0025%.

Ao esquentarmos uma barra metálica, de 10 m

de comprimento, inicialmente a 10oC, verificou-se

que ela dilatou 0,25 cm em relação ao seu tamanho

original. Sabe-se que o coeficiente de dilatação

linear vale 5•10-6 o

C-1

. (a) Encontre a temperatura

final da barra. Resposta: Tf = 60oC. (b) Qual o

percentual dessa dilatação, em relação ao

comprimento inicial? Resposta: P = 0,025%.

Uma barra metálica é esquentada até 75oC,

dilatando 0,0075% em relação ao seu tamanho

original. Sabe-se que o coeficiente de expansão


C-1

. Obtenha a temperatura

inicial. Resposta: Ti = 45oC.

Considere uma barra metálica de 0,8 metro de

comprimento sofrendo uma contração de 0,04 mm

quando submetida à uma redução de temperatura.


5•10-6 o

C-1

. (a) Encontre sua temperatura final,


Resposta: Tf = 15oC. (b) Qual o percentual dessa

contração, em relação ao comprimento inicial?

Resposta: P = -0,005%.

Uma barra metálica de 0,75 metro de

comprimento sofre uma expansão de 0,225 mm

quando submetida a um aumento de temperatura.


1,0•10-5 o

C-1

. (a) Encontre sua temperatura final,

sabendo-se que a temperatura inicial é de -30oC.

Resposta: Tf = 0oC. (b) Determine o percentual

dessa contração, em relação ao comprimento inicial.

Resposta: P = 0,03%.

Suponha uma barra metálica de 1,05 metro de

comprimento que sofre uma expansão de 0,210 mm

quando submetida a um aumento de temperatura.

Sabe-se que o coeficiente de expansão térmica


C-1

. (a) Encontre sua

temperatura final, sabendo-se que a temperatura

inicial é de -50oC. Resp.: Tf = 50

oC. (b)

Determine o percentual dessa contração, em

relação ao comprimento inicial. Resposta: P =

0,02 %.

DILATAÇÃO SUPERFICIAL – DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA 3/28

LISTA DE EXERCÍCIOS

DILATAÇÃO SUPERFICIAL: ∆ S = S i • • ∆ T

DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA: ∆ V = V i • • ∆ T

1. Considere uma placa metálica, cujo coeficiente

de dilatação linear vale 1,6•10-6 o

C-1

. Ao ser resfriada

de 60oC a 20

oC, a placa contrai 8•10

-6 m

2 (0,000008

m2) de sua superfície original. Calcule essa

superfície, em cm2. Resposta: Si = 625 cm

2.

2. Seja uma placa metálica, cujo coeficiente de


C-1

, e superfície

inicial de 2,5 m2. Ao ser aquecida de -20

oC a 180

oC,

a placa apresentará uma expansão de quantos

milímetros quadrados em relação ao seu tamanho

inicial? Resposta: ∆S = 12.500 mm2.

3. Seja uma placa metálica, cujo coeficiente de


C-1

, e superfície inicial

de 1,5 m2. Ao ser resfriada de 120

oC a 60

oC, a placa

apresentará uma contração de quantos milímetros

quadrados em relação ao seu tamanho original?

Resposta: ∆S = -324 mm2.

4. Uma placa metálica de superfície inicial de 10

m2, ao ser aquecida, dilata 5 cm

2. O coeficiente de


C-1

. Encontre a

variação da temperatura da placa. Resposta: ∆T

= 20oC.

5. Uma placa metálica de superfície inicial de 1,0

m2, ao ser aquecida, dilata 2,5 cm

2. O coeficiente de


C-1

. Calcule a

variação da temperatura da placa. Resposta: ∆T

= 100oC.

6. Uma placa com superfície de 8 m2, ao ser

resfriada, contrai 20 cm2 de seu tamanho original. O


C-1

.

Ache o valor da temperatura inicial da placa,

sabendo-se que a temperatura final é de 50oC.

Resposta: T i = 100oC.

7. Uma placa metálica com coeficiente de dilatação

linear desconhecido, dilata 0,4 cm2 ao ser aquecida

em 50oC. Encontre este coeficiente, sabendo-se que

a placa tinha 4 metros quadrados de superfície.

Resposta: = 1,0•10-7 o

C-1

. 8. Uma placa metálica, dilata 0,005% de seu



vale 1,25•10-6 o

C-1

. Encontre a temperatura inicial

da placa. Resposta: Ti = 40oC.

9. Seja uma placa de certo metal, cuja superfície

inicial vale 4 m2, e que contrai 6 cm

2 quando

resfriada lentamente. O coeficiente de dilatação


C-1

. Sabendo-se que

a temperatura final da placa é de 20oC, encontre: (a)

sua temperatura inicial [Resp.: Ti = 30oC], e (b)

o percentual dessa contração em relação ao

tamanho original. Resp.: P = -0,015%.


inicial vale 5 m2, e que dilata 8 cm

2 quando aquecida

lentamente. O coeficiente de dilatação linear do

material vale 5•10-6 o

C-1

. Sabendo-se que a

temperatura final da placa é de 80oC, determine: (a)

sua temperatura inicial [Resp.: Ti = 64oC], e (b)

o percentual dessa dilatação em relação ao tamanho

original. Resp.: P = 0,016%.


inicial vale 2,5 m2, e que dilata 10 cm

2 quando

aquecida lentamente. O coeficiente de dilatação


C-1

. Sabendo-se

que a temperatura inicial da placa é de 20oC, calcule:

(a) sua temperatura final [Resp.: Tf = 36oC], e

(b) o percentual dessa dilatação em relação ao

tamanho original. Resp.: P = 0,04%.

12. Seja um bloco metálico, cujo coeficiente de

expansão linear vale 2,4•10-6 o

C-1

, e de volume

inicial, 0,5 m3. (a) Ao ser aquecido de -50

oC a

150oC, o bloco apresentará uma expansão de

quantos centímetros cúbicos em relação ao seu

tamanho inicial? Resposta: ∆V = 720 cm3. (b)

Qual o percentual desta expansão, em relação ao

volume original? Resposta: P = 0,144%.

13. Considere um bloco metálico, que contraiu

0,02% de seu tamanho original, quando resfriado de

30oC a -10

oC. O coeficiente de dilatação

volumétrica do bloco é desconhecido. Encontre-o!

Resp.: = 5•10-6 o

C-1

. 14. Considere um bloco metálico, que dilata 0,01%

de seu tamanho original, quando aquecido de 20oC a

100oC. O coeficiente de dilatação volumétrica do

bloco é desconhecido. Encontre-o! Resposta: =

1,25•10-6 o

C-1

.

DILATAÇÃO SUPERFICIAL – DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA 4/28

15. Ao resfriarmos um cubo metálico de 75oC a -

25oC, verificou-se que contraiu 0,9 cm

3 em relação

ao seu volume original. Sabe-se que o coeficiente de


C-1

. Qual o volume, em

dm3, do bloco? Resposta: Vi = 2,0 dm

3.

16. Ao aquecermos uma esfera metálica de -20oC a

20oC, verificou-se que ela dilatou 0,27 cm

3 em



C-1

.

Qual o volume da esfera, em litros? Resposta: Vi

= 2,5 litros.

17. Ao aquecermos um cilindro metálico de -40oC

a 60oC, verificou-se que ela dilatou 0,18 dm

3 em



C-1

.

Qual o volume do cilindro, em m3? Resposta: Vi =

0,2 m3.

18. Um bloco metálico de 0,6 metro cúbico de

volume sofre uma contração de 0,36 dm3 quando

submetido à redução de temperatura a -150oC. O

coeficiente de expansão linear vale 2•10-6 o

C-1

. Ache

sua temperatura inicial. Resp.: Ti = 50oC.



submetido à uma redução de temperatura. Sabe-se

que o coeficiente de dilatação linear vale 1,6•10-6 o

C-

1. Calcule sua temperatura final, sabendo-se que a

temperatura inicial é de 70oC. Resp.: Tf = -30

oC.



submetido à uma redução de temperatura. Sabe-se

que o coeficiente de dilatação volumétrica vale

5•10-6 o

C-1

. Encontre sua temperatura final,


Resposta: Tf = 0oC.


volume sofre uma expansão de 0,25 dm3 quando

submetido a um aumento de temperatura. Sabe-se

que o coeficiente de expansão volumétrica vale

25•10-6 o

C-1

. Obtenha sua temperatura final,

sabendo-se que a temperatura inicial é de -20oC.

Resp.: Tf = 0oC.

22. (Unesp, adaptado) – Uma chapa de cobre,

cujo coeficiente de dilatação linear vale 12,5∙10-6

0C

-1, possui a -40

0C, um comprimento de 80

centímetros e uma largura de 50 centímetros. Na

região central a chapa apresenta um furo circular

de superfície Fi. A chapa então é esquentada até

que o furo apresente um aumento de 0,5%. Adote:

∆ S = S i ∙ β ∙ ∆ T e ∆ F = F i ∙ β ∙ ∆ T. Para essas

condições, determine: (a) a temperatura final, Tf,

da chapa nas condições supracitadas. Resp.: Tf =

160oC. (b) A variação da dilatação superficial

dessa chapa, ∆S, em mm2. Resp.: ∆S = 2.000

mm2. (c) A variação da superfície do furo, ∆F,

após a dilatação, em mm2, supondo F

i = 0,005 m

2.

Resp.: ∆F = 25 mm2. (d) O raio da superfície do

furo, R, após a dilatação, em mm. A superfície do

círculo é dada por S = π∙R2 e use π = 3,125, para

facilitar o cálculo. Resp.: R ≈ 2,8 mm.

CALORIMETRIA – EQUILÍBRIO TÉRMICO 5/28

►FÍSICA – CALORIMETRIA – EQUILÍBRIO TÉRMICO◄ Admita para todos os exercícios desta lista, sempre quando houver necessidade: 1,0 cal = 4,0 J; L

fusão = 80 cal/g;

Lsolid

= -80 cal/g; Lvapor

= 540 cal/g; Lcond

= -540 cal/g; cágua

= 1,0 cal/g∙oC; c

gelo = 0,5 cal/g∙

oC; c

vapor = 0,5 cal/g∙

oC.

1. Considere uma massa de 500 g de água,

inicialmente a 15oC. Ao receber uma quantidade de

calor de 7.500 cal, qual será a temperatura

apresentada pela massa de água ao final do

processo?

2. Seja uma massa de 200 g de água, inicialmente a

5oC. Ao receber uma quantidade de energia de 2.000

cal, qual será a temperatura apresentada pela massa

de água ao final do processo?

3. Considere uma massa de 200 g de certo líquido,

cujo calor específico vale 0,8 cal/g∙oC, inicialmente

a 20oC. Ao receber uma quantidade energética de

19.200 J, qual será a temperatura apresentada pela

massa do líquido ao final do processo?

4. Seja uma massa de 300 g de certo líquido, cujo

calor específico vale 3,80 J/g∙oC, inicialmente a -

10oC. Ao receber uma quantidade de calor de 5.700

cal, qual será a temperatura apresentada pela massa

do líquido ao final do processo?

5. Uma massa de certo líquido, cujo calor específico

vale 0,90 cal/g∙oC, tem sua temperatura elevada de

60oC a 80

oC, ao receber 28.800 J. Qual é a massa do

líquido?

6. Uma massa de 800 g de certo fluido sintético,

como por exemplo, lubrificantes de motores de alta

performance, cujo calor específico vale 1,28

cal/g∙oC, tem sua temperatura elevada a 120

oC, ao

receber um incremento energético de 51.200 cal.

Qual era a temperatura apresentada pelo fluido no

início do processo?

7. Uma massa de 1,0 kg de certo fluido sintético,

cujo calor específico vale 1,25 cal/g∙oC, tem sua

temperatura elevada a 60oC, ao receber 3×10

5 J de

energia. Qual era a temperatura apresentada pelo

fluido no início do processo?

8. Determinada massa de certo fluido sintético, cujo

calor específico vale 4,8 J/g∙oC, tem sua temperatura

elevada de 60oC a 110

oC, ao receber um incremento

de energia de 72.000 cal. Qual é a massa, em kg, do

fluido?

9. Seja um bloco de certo metal com massa de 1,25

kg. Ao ceder uma quantidade de energia de 50.000

cal, tem sua temperatura diminuída em 80oC. (a)

Obtenha seu calor específico.

(b) Encontre sua capacidade térmica.

10. Um bloco de certo metal com massa de 520

g ao receber uma quantidade de 7.800 cal tem sua

temperatura aumentada em 100oC. (a) Ache seu

calor específico. (b)

Encontre sua capacidade térmica.

11. Considere um bloco de certo metal com

massa desconhecida, e capacidade térmica 500

cal/oC. Ao ser aquecido tem sua temperatura elevada

de 15oC a 75

oC. (a) Determine a quantidade de

energia, em joule, que o metal recebeu nesta

transformação. (b)

Ache sua massa, em kg, sabendo-se que seu calor

específico é de 0,25 cal/g∙ o

C.

12. Considere um bloco de certo metal com

massa desconhecida, e capacidade térmica 800

cal/oC. Ao ser aquecido tem sua temperatura elevada

de 25oC a 125

oC. (a) Calcule a quantidade de

energia, em joule, que o metal recebeu nesta

transformação. (b)

Encontre sua massa, em kg, sabendo-se que seu

calor específico é de 0,20 cal/g∙ oC.

13. Um bloco de certo metal com massa

desconhecida e capacidade térmica 600 cal/oC, ao

ser resfriado tem sua temperatura diminuída em

80oC. (a) Obtenha a quantidade de calor que o metal

cedeu nesta transformação.

(b) Encontre sua massa, em kg,

sabendo-se que seu calor específico é de 0,15 cal/g∙

oC.

14. Considere um bloco de certo metal com massa

desconhecida, e capacidade térmica 800 cal/oC. Ao

ser resfriado tem sua temperatura diminuída de

100oC a 20

oC. (a) Calcule a quantidade de calor que

o metal cedeu nesta transformação.

(b) Encontre sua massa, sabendo-

se que seu calor específico é de 0,25 cal/g∙ o

C.


15. Um bloco de certo metal tem massa de 4,0 kg e

capacidade térmica 800 cal/oC. Ao ser resfriado tem

sua temperatura diminuída de 120oC a 20

oC. (a)

Calcule a quantidade de energia cedida pelo metal

nesta transformação. (b) Encontre seu calor específico.

16. Um bloco de certo metal tem massa

desconhecida e capacidade térmica 750 cal/oC. Ao

ser aquecido tem sua temperatura aumentada em

80oC. (a) Calcule a quantidade de calor que o metal

recebeu nesta transformação.

(b) Encontre sua massa, em kg,

sabendo-se que seu calor específico é 0,5 cal/g∙ o

C.

17. (a) Determine a quantidade de energia necessária, para transformar 600 g de gelo a

inicialmente -20oC em vapor a 120

oC.

(b) Trace o gráfico que representa as transformações.

18. (a) Encontre a quantidade de energia necessária, para transformar 500 g de gelo

inicialmente a -30oC em água a 50

oC.

(b) Trace o gráfico que representa as transformações. 19. (a) Determine a quantidade de energia, em joule, para transformar 800 g de gelo inicialmente a

0oC em vapor a 110

oC.

(b) Trace o gráfico que representa as transformações. 20. (a) Obtenha a quantidade de energia, em joule,

para transformar 750 g de gelo inicialmente a -25oC

em vapor a 105oC.

(b) Trace o gráfico que representa as transformações. 21. (a) Determine a massa de vapor (em kg) a

110oC, formada ao serem fornecidas 7,3×10

5

calorias a um bloco de gelo inicialmente a -10oC.

(b) Sabendo-se que a fonte tinha 1.460 J/s de potência, qual o tempo gasto para a transformação? É dado, para a resolução do

exercício, a relação matemática: t = Q/P.

22. (a) Determine a massa de água (em kg) a 80oC,

formada ao serem fornecidas 3,2×105 calorias a um

bloco de gelo inicialmente a 0oC.

(b) Sabendo-se que a fonte tinha 4.000 J/s de potência, obtenha o tempo gasto para a

transformação.

23. Determine a massa de gelo a -10oC, formada ao

serem retiradas 9.500 calorias de água inicialmente

a 10oC.

24. Determine a massa de gelo (em kg) a -20oC,

formada ao serem retiradas 3,7×105 calorias de

vapor inicialmente a 120oC.

25. Considere um calorímetro de capacidade

térmica 250 cal/oC, inicialmente a 15

oC. São

introduzidos no interior deste calorímetro, 50 g de

água a 0oC e um bloco de 100 g de certo metal, a

120oC. Sabe-se que o equilíbrio térmico acontece a

20oC. Calcule o calor específico do metal.


térmica 500 cal/oC, inicialmente a 5

oC. São



125oC. Sabe-se que o equilíbrio térmico acontece a

25oC. Ache o calor específico do metal.

27. Seja um calorímetro de capacidade térmica

desconhecida, inicialmente a 10oC. São introduzidos

no interior deste calorímetro, 100 g de água a 5oC e

um bloco de 200 g de certo metal, a 101oC e cujo

calor específico vale 0,25 cal/g•oC. Sabe-se que o

equilíbrio térmico acontece a 25oC. Determine a

capacidade térmica do calorímetro.


térmica desconhecida, inicialmente a 20oC. São



100oC e cujo calor específico vale 0,2 cal/g•

oC.

Sabe-se que o equilíbrio térmico acontece a 40oC.

Obtenha a capacidade térmica do calorímetro.


40 cal/oC, e sua temperatura inicial é de 10

oC. São


certo líquido, cujo calor específico vale 0,8 cal/g•oC

e, um bloco de 25 g de certo metal, a 185oC e cujo

calor específico vale 0,40 cal/g•oC. Sabe-se que o

equilíbrio térmico acontece a 25oC. Qual a

temperatura inicial do líquido?


30. Um calorímetro de capacidade térmica 80

cal/oC, com temperatura inicial de 20

oC, tem

introduzidos no seu interior, 100 g de certo líquido,

cujo calor específico vale 0,90 cal/g•oC e, um bloco

de 50 g de certo metal, a 110oC e cujo calor

específico vale 0,2 cal/g•oC. Sabe-se que o

equilíbrio térmico acontece a 40oC. Calcule a

temperatura inicial do líquido.


térmica 500 cal/oC, e sua temperatura inicial é de

10oC. São introduzidos no interior deste

calorímetro, 100 g de certo líquido, com calor

específico de 0,75 cal/g•oC, e cuja temperatura

inicial vale 20oC e também, um bloco de 50 g de

certo metal, a 150oC e cujo calor específico vale 0,2

cal/g•oC. Ache a temperatura de equilíbrio deste

conjunto.


200 cal/oC, e sua temperatura inicial é de 0

oC. São


certo líquido, com calor específico de 0,80 cal/g•oC,

e cuja temperatura inicial vale 10oC e também, um

bloco de 75 g de certo metal, a 200oC e cujo calor

específico vale 0,2 cal/g•oC. Encontre a

temperatura de equilíbrio deste conjunto.



oC, tem

introduzido em seu interior, uma massa de um

líquido, ML, cujo calor específico vale 0,90 cal/g•oC

à temperatura de 10oC e, um bloco de 100 g de certo

metal, a 150oC e cujo calor específico vale 0,3

cal/g•oC. Sabe-se que o equilíbrio térmico acontece

a 30oC. Qual a massa, ML, em gramas, do líquido,

introduzido no calorímetro?


200 cal/oC, e temperatura inicial de 20

oC.

Introduzimos em seu interior, 250 g de um líquido

cujo calor específico vale 0,80 cal/g•oC à

temperatura de 10oC e, um bloco de massa MB, de

certo metal, a 230oC e cujo calor específico vale

0,15 cal/g•oC. Sabe-se que o equilíbrio térmico

acontece a 30oC. Calcule a massa do bloco de

metal, MB, em kg, introduzida no interior do

calorímetro.



oC, tem

introduzido no seu interior, 200 g de um líquido cujo

calor específico vale 0,95 cal/g•oC à temperatura de

0oC e, um bloco de massa MB, de certo metal, a

140oC e cujo calor específico vale 0,1 cal/g•

oC.

Sabe-se que o equilíbrio térmico acontece a 40oC.

Obtenha a massa do bloco de metal, MB, em kg,

introduzida no interior do calorímetro.

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 36. (Unicamp) – Durante uma corrida, um estudante de 72 kg gera potência com uma taxa de 1.200 J/s. Para manter a temperatura do corpo

constante e igual a 37°C, esta energia ser removida pela transpiração ou por outros mecanismos. Caso esses mecanismos falhem e o calor não possa ser removido do corpo do estudante, durante quanto tempo aproximadamente, em minutos, o estudante poderá correr antes que ocorra um dano irreversível ao seu corpo? As estruturas das proteínas no corpo são irreversivelmente danificadas quando a

temperatura do corpo passar de 44°C. O calor específico de um corpo humano típico é igual a

0,875 kcal/kg∙°C, ligeiramente menor do que o da água. A diferença é produzida pela presença de proteínas, gorduras e minerais, que possuem calores específicos menores. 37. (Fuvest, ligeiramente modificado) – Quando água pura é cuidadosamente resfriada, nas condições normais de pressão, pode permanecer no

estado líquido até temperaturas inferiores a 0oC,

num estado instável de “superfusão”. Se o sistema é perturbado, por exemplo, por vibração, parte da água se transforma em gelo e o sistema se aquece

até se estabilizar em 0oC. O calor latente de fusão da

água é Lf = 80 cal/g. Considerando-se um recipiente

termicamente isolado e de capacidade térmica desprezível, contendo um litro de água, à

temperatura de –8oC e à pressão normal, determine:

(a) a massa, M, em gramas, de gelo, formada quando o sistema é perturbado e atinge uma situação

de equilíbrio a 0oC

; (b) a temperatura final, TF, de

equilíbrio do sistema e , (c)

a quantidade de gelo existente, MF, (considerando-

se o sistema inicial no estado de “superfusão” a –

8oC), ao colocar-se, no recipiente, um bloco

metálico cuja capacidade térmica é C = 600 cal/oC,

na temperatura de 120oC.


38. (Unicamp) – O enormus, o normus e o

pequenus são três seres vivos de temperatura maior

que a temperatura ambiente. Eles têm a mesma

densidade e a forma de um cubo de lados 10,0, 1,00

e 0,10 respectivamente. O enormus se alimenta de

normus e este, de pequenus. Porque suas

temperaturas estão acima da ambiente eles

diariamente perdem a quantidade de calor: Q =

(1/1000)×área da superfície. Para cada ser ingerido

eles ganham a energia: E = (1/10)×volume do ser

ingerido. As quantidades anteriores estão em um

mesmo sistema de unidades. (a) Quantos normus

o enormus deve ingerir diariamente só para manter

a sua temperatura constante?

(b) Quantos pequenus o normus deve

ingerir diariamente só para manter a sua temperatura

constante? (c) Que

fração (ou percentual) de sua própria massa o

enormus precisa comer diariamente? E o normus?

39. (Unicamp) – Nas

regiões mais frias do

planeta, camadas de gelo

podem se formar

rapidamente sobre um

volume de água a céu

aberto. A figura ao lado, à

direita, mostra um tanque

cilíndrico de água cuja

área da base é A = 2,0 m2,

havendo uma camada de

gelo de espessura L na

superfície da água. O ar em contato com o gelo está a uma temperatura

Tar = –10oC, enquanto a temperatura da água em

contato com o gelo é Tag = 0oC. Para essas

condições: (a) obtenha o calor conduzido da água ao ar

através do gelo. O fluxo de calor cal, definido

como a quantidade de calor conduzido por unidade

1 Também conhecida como equação de Fourier (Jean-Baptiste

Joseph Fourier, 1768-1830, ou da Difusão do Calor, no entanto

fundamentada e concebida, original e inicialmente pelo notável

Sir. Isaac Newton). Fourier, extraordinário físico e matemático

francês, viveu parte de sua vida a serviço do Império Napoleônico

(o qual se opôs sistematicamente), desvendando vários enigmas,

os quais se fizeram presentes no desenvolvimento da ciência

moderna, entre eles as famosas séries harmônicas de funções

trigonométricas (séries de Fourier) e suas correspondentes no

universo complexo (transformadas de Fourier), que hoje

mostram-se notadamente importantes em computação gráfica e

processamento de sinais [as imagens JPEG, que utilizamos

de tempo, é:

L

TTAk aragcal

1

, onde a

constante k = 4 × 10–3

cal/(s∙cm∙0C) é a

condutividade térmica do gelo. Qual é o fluxo de

calor φcal quando L = 5,0 cm?

(b) Ao solidificar-se, a água a 0oC perde uma

quantidade de calor que é proporcional à massa de água transformada em gelo. A constante de proporcionalidade L

S é chamada de calor latente de

solidificação. Sabendo-se que o calor latente de

solidificação e a densidade do gelo valem,

respectivamente, LS = 80 cal/g e μ = 0,90 g/cm3,

calcule a quantidade de calor (energia) trocado entre a água e o ar para que a espessura do gelo aumente de 5,0 cm para 15 cm.

40. (Fuvest) – Um forno solar simples foi

construído com uma caixa de isopor, forrada

internamente com papel alumínio e fechada com

uma tampa de vidro de 40 cm × 50 cm. Dentro

desse forno, foi colocada uma pequena panela

contendo 1 xícara de arroz e 300 mℓ de água à

temperatura ambiente de 25oC. Suponha que os

raios solares incidam perpendicularmente à tampa

de vidro e que toda a energia incidente na tampa do

forno a atravesse e seja absorvida pela água. Para

essas condições, determine: (a) A potência solar

total P absorvida pela água. Resposta: P = 200 W

= 0,2 kW. (b) A energia ε necessária para aquecer

o conteúdo da panela até 100oC. Resposta: ε =

90.000 J = 90 kJ. (c) O tempo total T necessário

para aquecer o conteúdo da panela até 100oC e

evaporar ⅓ da água nessa temperatura (cozer o

arroz). Resposta: T = 1550 s ≈ 25,8 minutos.

cotidianamente, por exemplo, são aplicações práticas das

transformadas, em um poderoso algoritmo de compressão

(código de Huffman)]. Além disso tudo deve-se também a

Fourier o crédito sobre a descoberta do Efeito Estufa, tão

difundido pela mídia contemporânea acerca do aquecimento

global, em foco especialmente desde o final do século XX. Uma

grande curiosidade, especial e muito especificamente desta

equação é que o desenvolvimento técnico-científico da

humanidade é mais notadamente voltado à maldita barbárie da

espécie humana e sua sede de conquistas do que para as melhorias

das condições de vida da população em geral.

NOTE E ADOTE

Potência solar incidente na superfície da Terra: 1,0 kW/m2

Densidade da água: 1,0 g/cm3

Calor específico da água: 4,0 J/(g•oC)

Calor latente de evaporação da água: 2200 J/g

Desconsidere as capacidades caloríficas do arroz e da panela.

ESCALA DE RICHTER 9/28

INFORMATIVO – ESCALA DE RICHTER

Até 1979, a intensidade dos terremotos era

medida através da conhecida escala Richter,

mas em 1979 ela foi substituída pela escala de

magnitude momentânea, de sigla Mw. Na

prática, entretanto, os resultados são muito

aproximados.

Da mesma forma que a escala Richter, a Mw

também mede a energia liberada pelos

terremotos e também é uma escala logarítmica,

dada pela relação:

0

10 AAlogM , onde A

0

é uma amplitude de referência. Isso significa que

os números da escala medem fatores de 10.

Assim, um terremoto que mede 4 “graus” tem

10 vezes mais amplitude que um que mede 3

graus e 100 vezes maior que um que mede 2.

Em outros textos essa escala é dada por

010 Mlog3

27,10M , onde M

representa a magnitude do terremoto e M0, o

momento sísmico. A unidade de referência é o

dina∙cm e, a equivalência: 1,0 dina∙cm = 10-7

J.

Quanto maior a magnitude de um terremoto,

maior sua energia e capacidade de destruição,

mas os efeitos dependem de vários fatores, entre

eles a distância, profundidade, condições do

terreno e tipo de edificações.

A Mw é uma escala infinita e pode inclusive

apresentar números negativos. No entanto, as

forças naturais envolvidas limitam o topo da

escala em aproximadamente 10, já que

teoricamente (ainda não comprovado na Terra)

não existe energia em um terremoto capaz de

superar esta marca.

Até hoje, o maior terremoto ocorrido na história

foi de 9,5 graus e ocorreu no Chile, em 1960.

Escala Richter

A escala de Richter foi desenvolvida em 1935

pelos sismólogos Charles Francis Richter e Beno

Gutenberg, ambos membros do California

Institute of Technology (Caltech), que

estudavam sismos no Sul da Califórnia. A escala

representa a energia sísmica liberada durante um

terremoto e se baseia em registros sismográficos.

A escala Richter aumenta de forma

logarítmica, dada pela relação:

0

10 EElog

3

2M , em que E

0 é uma energia

de referência, onde E0 = 104,4

J ≈ 25.000 J na sua

forma de referencial dada pela energia de

maneira que cada ponto de incremento significa

um aumento 31,6 vezes maior no registro

sismográfico. Dessa forma, a onda de sismo de

magnitude 4,0 é muito aproximadamente 1.000

vezes maior que a onda de um sismo de 2,0.

Aqui, é importante salientar que o que aumenta

é a energia liberada. A tabela a seguir, à

próxima página, nos dá um comparativo acerca

do montante energético, e da comparação com

os efeitos da natureza e provocados pelo ser

humano em guerras ou construções.


TABELA COMPARATIVA – ENERGIA/MAGNITUDE

OS EXERCÍCIOS A SEGUIR SÃO BASEADOS EM ESTIMATIVA E APROXIMAÇÃO

1. ☺☻☺ - Manipule os itens a seguir: (a) Mostre

que a relação: pode ser

reescrita através da forma exponencial:

. Saber escrever a função inversa pode ser

extremamente útil na hora de resolver vários problemas. (b) Mostre que, quando for duplicado o nível de energia em um terremoto, a magnitude equivalente aumenta em 0,2 ponto. Use, se necessário, log

10(2,0) = 0,30. (c) Verifique que,

quando aumentamos a magnitude de Richter em 2 pontos, o nível energético aumenta em mil vezes. 2. Para os itens a seguir, use, caso necessário, as

aproximações: 100,4

= 2,50; 100,5

= 3,16. (a) Estime o aumento de energia, gerado por uma diferença de

magnitude de 3,6 pontos. Resp.: E/E0 = 2,5×105

vezes = 250 mil vezes. (b) Obtenha a diferença de

magnitude, provocada por um aumento de energia

de um milhão de vezes. Resposta: M = 4 pontos. (c) Estime a diferença de magnitude, provocada por um aumento de energia de 31.600 vezes. Resposta:

M = 3 pontos. 3. Use as seguintes aproximações, sempre quando

houver necessidade: 100,65

≈ 4,5; 100,25

≈ 1,8. (a) Seja um terremoto que marca 7,5 pontos na escala Richter. Qual a quantidade de energia, em joule,

liberada neste abalo sísmico? Resp.: E = 4,5×1015

J. (b) A aniquilação total de 1,0 kg de matéria, com 1,0 kg de antimatéria seria capaz de produzir

1,8×1018

J de energia (desde que dominássemos a tecnologia de produção em larga escala). Estime a magnitude equivalente a essa produção energética. Resposta: M ≈ 9,23.

Descrição Magnitude Efeitos FrequênciaEnergia Média (J) para

M = (2/3)log(E/104,4)Comparativo

Micro < 2,0 Micro tremor de terra, não se sente. ~8000 por dia 4,5E+06

Muito

pequeno2,0-2,9

Geralmente não se sente mas é

detectado/registrado.~1000 por dia 1,4E+08

Bombardeio em Londres, II GM:

1,2E8 J.

Pequeno 3,0-3,9Frequentemente sentido, mas

raramente causa danos.~49000 por ano 4,5E+09 Itaipu: 6,0E10 J.

Ligeiro 4,0-4,9

Tremor notório de objetos no interior

de habitações, ruídos de choque entre

objetos. Danos importantes pouco

comuns.

~6200 por ano 1,4E+11

Moderado 5,0-5,9

Pode causar danos maiores em edifícios

mal concebidos em zonas restritas.

Provoca danos ligeiros nos edifícios

bem construídos.

800 por ano 4,5E+12

Hiroshima II GM, Little Boy,

ago/1945: 5,5E13 J. Bombardeio

em Dresden, fev/1945.

Forte 6,0-6,9

Pode ser destruidor em zonas num raio

de até 180 quilômetros em áreas

habitadas.

120 por ano 1,4E+14Maior registro no Brasil, MT -

1955: M = 6,6.

Grande 7,0-7,9Pode provocar danos graves em zonas

mais vastas.18 por ano 4,5E+15

Yerevan (ex-URSS, 1988, M=7,2);

Meteorito de Chelyabinsk (15-02-

2013): 2,1E15 J.

Importante 8,0-8,9Pode causar danos sérios em zonas num

raio de centenas de quilômetros.1 por ano 1,4E+17

Terremoto México DF, ameaçou

a realização da Copa no ano

seguinte. (1985): M=8,1; 2,7E16 J.

Excepcional 9,0-9,9Devasta zonas num raio de milhares de

quilômetros.1 a cada 20 anos 4,5E+18

Tsar Bomb, ex-URSS, 1961: 2E17

J. Tsunami no Oceano Índico (26-

12-2004): M=9,3; 9,2E17 J.

Extremo >10,0

Nunca registrado. Pode provacar

alteração na estrutura continental,

como a falha de San Andreas, na

Califórnia.

Extremamente raro,

apareceu no filme 10.5.1,4E+20

Possível meteoro de 4 km de

diâmetro, a 30 km/s: 4,0E19 J.

Hipotético >11,5Nunca registrado na Terra, ocorreu no

Sol em 1998 (M = 11,3).

Seria suficientemente (ou

próximo disso) potente para

rachar a Terra ao meio!

4,5E+21

Qtde. de Energia que a Terra

recebe do Sol: M = 12. Yucatán,

65 M. anos, que dizimou os

dinossauros (estimado em grau

13): 8,0E23 J. Cometa Shoemaker-

Levy 9 (julho/94, Júpiter):

8,5E23 J.


4. Qual o grau (magnitude) equivalente à energia

liberada (2×1017

J) na explosão da Tsar-Bomb, maior arma nuclear já detonada pelo ser humano?

Usar a aproximação: 100,30

≈ 2,0. Resp.: M = 8,6. 5. Estime a energia aproximada, liberada no grande

terremoto solar (M = 11,3, em 1.998). Dado: 100,35

≈ 2,25. Resposta: E = 2,25∙1021

J. 6. Calcule, usando a seguinte aproximação, se houver necessidade: log

10(8,50) = 0,93; (a) o grau

(magnitude) equivalente à energia liberada (E =

8,5×1023

J), provocada pelo cometa Shoemaker-

Levy 9, ao se desintegrar na superfície do colossal planeta Júpiter em julho de 1.994 (até à segunda casa decimal), sendo o primeiro grande evento cataclísmico astronômico acompanhado e observado pelo homem, desde o advento da ciência moderna. Resposta: M = 13,02. (b) O número de Tsar-Bomb, necessárias para provocar uma produção energética equivalente. Lembre-se (ou saiba) que esta foi a maior arma de destruição concebida pelo homem, no auge da Guerra Fria, no começo da década de 1.960 (procure no youtube).

Resposta: n = 4,25×106 bombas = 4.250.000

bombas. 7. A erupção de La Garita, situada nas montanhas do sudoeste do estado do Colorado nos Estados Unidos, foi a maior erupção ocorrida na história da Terra. É possivelmente o maior evento energético que aconteceu no planeta desde o impacto que formou a cratera de Chicxulub, causada pelo meteoro da península de Yucatán (vide próximo exercício) e ocorreu entre, aproximadamente, 40 e 25 milhões de anos atrás. A estimativa da erupção

é de 1,0 zettajoule (1,0 ZJ = 1021

J) de energia liberada. Avalie a magnitude de Richter equivalente a essa explosão vulcânica. Resposta:

M ≈ 11,07.

8. ☺☻☺ - Um dos grandes mistérios da vida em

nosso planeta foi como ocorreu a extinção dos dinossauros, suposta e hipoteticamente causada pelo meteoro da península de Yucatán. (a)

Obtenha a magnitude equivalente à energia liberada pelo choque do meteoro em nosso planeta, que ocorreu há cerca de 65 milhões de anos e liberou

extraordinários 4×1023

J de energia, suficientes para dizimar quase por completo, toda a vida existente,

1 Também conhecido como Quantidade de Movimento (Q).

Originalmente Sir. Isaac Newton postulou sua famosa 2ª lei

como F = dP/dt (em uma dimensão sem notação vetorial), onde

a Força resultante é diretamente proporcional à variação

infinitesimal do Momento Linear (P) de um corpo, dP = m∙dv,

mas entanto, não separou a massa e velocidade conforme

conhecemos hoje nos cursos de física, ministrados no ensino

médio. Vale salientar que o Momento Linear em um sistema

não somente àquela época como hoje, caso fosse repetido. Admita a aproximação, caso haja

necessidade: 100,3

= 2,0. Resposta: M = 12,8. (b)

Estime a velocidade de recuo do nosso planeta após o choque. A velocidade de impacto do meteoro era

de 30 km/s, a massa do meteoro, 5×1015

kg e, da

Terra, 6×1024

kg. Adote: momento linear1, P = m•v,

e lembre-se que Pantes = Pdepois. Suponha este

movimento unidimensional. Resposta: vr =

2,5×10-5

m/s. 9. (AMAN) – A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M

W),

introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M

W e M

0 se relacionam

através da fórmula matemática: MW = – 10,7 + (2/3)∙log10 (M0), onde M

0 é o

momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através

dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅cm, onde

1,0 dina∙cm = 10-7

J. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional teve magnitude M

W = 7,3.

U.S. GEOLOGICAL SURVEY.

Historic Earthquakes.

Disponível em: http://earthquake.usgs.gov.

Acesso em: 1-maio-2.010 (adaptado).

U.S. GEOLOGICAL SURVEY.

USGS Earthquake Magnitude Policy.

Disponível em: http://earthquake.usgs.gov.

Acesso em: 1-maio-2.010 (adaptado). (a) Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, calcule o

momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em

dina·cm). Resposta: M0 = 1027

dina·cm.

(b) Qual a energia aproximada estimada, em joule?

Resposta: E = 1020

J.

isolado de forças externas sempre permanece constante. Assim

sendo a outra grandeza de um sistema físico que poderá ser

alterada em virtude de uma colisão é a Energia (E), dissipada

normalmente sob a forma de calor. Outra grandeza que é

utilizada é o Impulso (J), que é nada mais que a variação do

Momento Linear. Também é sabido que Momento Linear (ou

Quantidade de Movimento) e Impulso assim como a Força, são

grandezas vetoriais e Energia é uma grandeza escalar!

http://earthquake.usgs.gov/

http://earthquake.usgs.gov/


10. ☺☻☺ - Outro grande mistério para a ciência

é o de como ocorreu a formação da Lua, através da colisão de um hipotético planeta chamado Theia, que anteriormente fora formado em um fenômeno denominado acreção planetária, e, que durante um período de existência do sistema solar, dividiu a órbita com a Terra, em cerca de 20 ou 30 milhões de anos, isso até aproximadamente, 150 milhões de anos atrás. Com a mesma dimensão de Marte, embora mais massivo e denso, foi “puxado” em direção à Terra por sua órbita caótica e, também, pela força gravitacional desta, e finalmente, acabou chocando-se contra nosso planeta com velocidade de cerca de 11 km/s, afundando seu material (muito provavelmente ferro, em sua totalidade) dentro do núcleo terreno. O restante do mesmo foi disperso no espaço, ganhando estrutura e formando o que é hoje, nossa Lua. Em termos de magnitude foi estimado um “assombroso grau” de 25 pontos para essa colisão. (a) Usando log

10(2,0) = 0,30, avalie a

energia liberada, em joule, neste cataclísmico

processo interplanetário. Resposta: E = 8,0×1041

J. (b) Qual a velocidade de agrupamento (unidimensional) do conjunto “Terra-Theia” imediatamente após a fusão? A massa aproximada

de Theia era de 6,4×1023

kg e, da Terra, 6×1024

kg.

Resposta: va ≈ 1.060 m/s ≈ 3.816 km/h. (c) A

quantidade de água (em volume) nos oceanos da

Terra é de, cerca de, 1,33×109 km

3. Qual,

aproximada e hipoteticamente, a elevação de

temperatura (em oC) provocada na água dos

oceanos pela energia resultante do processo de

colisão? Considere a massa específica da água 103

kg/m3, e, o calor específico da água 4.200 J/kg∙

oC.

Resposta: T ≈ 1,43×1017 o

C. 11. A usina hidrelétrica de Itaipu tem uma

potência instalada de cerca de 6×1010

W = 60 GW. (a) Quanto tempo (em anos terrenos) seria necessário para Itaipu gerar energia equivalente ao Tsunami que ocorreu no Oceano Índico a 26-12-2.004, cuja magnitude foi de 9,3 na escala de

Richter (adote 1 ano = 3,2×107 s). Use: log

10(2,25)

= 0,35. Resposta: t ≈ 1,17 ano. (b) Que número de usinas como Itaipu, seriam necessárias estarem operando simultaneamente, para produzir tal

montante energético? Resposta: n ≈ 3,73×107

usinas. (c) E, se comparássemos a um hipotético tremor na crosta terrestre de 10,5 “graus” na escala de Richter. Qual o tempo necessário, em anos, para

2 Conversão entre Quilowatt-hora e joule: 1,0 kWh = 3,6×10

6J.

3 Leonhard Paul Euler (*Basiléia, 15/04/1.707; †São

Petersburgo, 25/09/1.783), um dos (dois) maiores matemáticos

da história (para muitos, o maior). A função exponencial: y = ex.

Itaipu produzir a energia equivalente? Saiba que um sismo desse porte pode provocar alteração na estrutura de um continente. Suponha, log

10(1,4) =

0,15. Resposta: t ≈ 72,9 anos.

12. Estime: (a) a energia aproximada, em joule, que o Sol nos fornece diariamente (M = 12). Admita: log

10(2,5) =

0,4. Resposta: ESOLAR

= 2,5×1022

J. (b) A

intensidade de radiação solar que esta energia provoca em nossa superfície. Adote o raio da Terra

como sendo 6,4×106 m, 1 dia = 8,64×10

4 s, e que,

intensidade (ou radiação) e energia se relacionam

por:tr4

EI 2 . Resposta: I

SOLAR ≈

562 W/m2. (c) A quantidade de energia produzida

em uma placa fotovoltaica, em formato retangular, cujas dimensões são de 2,5 m × 2,0 m, com eficiência de 10%, durante seis horas de exposição

à luz solar. Resposta: E = 6.069.600 J ≈ 6,07×106

J, ou ainda, E ≈ 1,69 kWh(2)

– verifique!

13. ☺☻☺ - Normalmente na natureza, o

crescimento das populações de seres vivos ou, de algum material com decaimento radioativo, aparece uma lei de base exponencial ℮, número esse

conhecido como número de Euler3 (℮ = 2,718...) na

forma: N(t) = N0∙℮±kt

, com k um número real (-∞ ≤

k ≤ ∞). (a) Baseado neste fato, e usando ℮2,3

= 10,

reescreva a relação M = (2/3)∙log10(E/E0) em

logaritmo de base natural (ou neperiana4). Resp.:

M = 0,29∙ℓn(E/E0) ou M = (2/6,9)∙ℓn(E/E0). (b)

Agora, escreva a relação na base exponencial

correspondente. Resp.: E = E0∙℮M/0,29

ou E =

E0∙℮3,45∙M

. (c) Mude também, o valor de referência,

E0 = 10

4,4 J, para uma unidade de base exponencial.

Resposta: E0 ≈ ℮10,13

J, com 0,01 de ajuste no

expoente! (d) Usando esses valores obtidos

anteriormente em (a), (b) e (c), e supondo: ℮2,14

=

8,5, e ℮1,38

= 4, verifique que, por exemplo, as magnitudes encontradas nos itens (a) das questões 6 e 8, são muito próximas (até a 4.ª casa decimal) se referenciadas em base exponencial! Resposta:

usando esses valores você irá obter, para o item

(a) da questão 6, M ≈ 13,0239, logo um M =

0,0039 e, para o item (a) da questão 8, M ≈

12,8035, logo um M = 0,0035.

4 Em homenagem a John Napier (latinizado João Neper), um

dos inventores dos logaritmos (a função logarítmica natural ou

neperiana: y = ℓn(x)). Logaritmo e exponencial são funções

inversas, uma da outra.

COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA 13/28

COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA Na linguagem da Física um som é considerado de grande intensidade quanto maior a transmissão de energia por unidade de área (espaço superficial). Daí nós temos a famosa definição de onda sonora que diz: “o som é uma perturbação que se propaga em meios materiais, e gera transporte de energia, sem gerar transporte de matéria”. Portanto a intensidade do som é uma propriedade que nosso ouvido tem, e percebe, relacionando a energia à unidade de tempo, na qual a onda transfere a ele, sabendo-se que tanto maior, quanto maior for a amplitude dessa onda sonora. Logo o nosso ouvido é um instrumento extremamente poderoso e sensível, capaz de captar esta energia transportada pelas ondas sonoras. Os cientistas verificaram que os ouvidos dos seres humanos são capazes de perceber os sons de intensidades muito baixas nas quais a amplitude de vibração das moléculas do ar vale cerca de um

bilionésimo de um centímetro (10-9 cm = 10

-11 m). Este valor é menor que o diâmetro da molécula que está oscilando! Sabemos que o decibel (dB), submúltiplo do bel (B), é a denominação da unidade usual de medida no nível sonoro (1 B = 10 dB), relacionado à intensidade1 pela equação (ou relação)

de Weber-Fechner:

0

10I

Ilog10 , β em

decibel2 e I0 = 10-12 W/m

2 representa um valor padrão

de intensidade muito próximo do limiar de audibilidade de um ser humano. Também conhecemos as seguintes relações para potência:

tP

; vFP

3

; SIP , mas no entanto

como o som se propaga em todas as direções do

espaço e, 2D4S , logo

2D4

PI

e

tSI . Podemos ainda relacionar o som (no caso – decibel) com outras grandezas físicas conhecidas:

PRESSÃO SONORA:

0

10pp

plog20 , onde

p0 = 2∙10-5 N/m

2 e, POTÊNCIA SONORA:

0

10PP

Plog10 , onde P0 = 10

-13 W.

1. ☻ – Estabeleça uma relação matemática entre: (i) INTENSIDADE SONORA × POTÊNCIA SONORA [Resposta: I = 10∙P] (ii) PRESSÃO SONORA × INTENSIDADE SONORA

1 Intensidade ou Radiação, unidade no SI: watt por metro

quadrado (W/m2). Não confundir com intensidade de corrente

elétrica, unidade no SI: ampère (A).

[Resposta: p = 20∙I1/2

] e (iii) PRESSÃO SONORA × POTÊNCIA SONORA [Resposta: p =

20∙(10∙P)1/2

] a fim de que os logaritmos sejam eliminados dessas relações! Caso julgar necessário, admita log10(2,0) = 0,30.

Dica: iguale as definições de intensidade, potência e pressão conforme o item e resolva o problema como se fosse uma única equação logarítmica com duas variáveis!

2. Em uma oficina mecânica o nível de intensidade

I do som é 10-3

W/m2. Avalie esta intensidade em

decibel e em bel. Resposta: βI = 90 dB = 9 B.

3. Considere agora uma rua de tráfego intenso, onde o nível de ruído sonoro é de cerca de 80 dB. Estime a amplificação A, entre as intensidades sonoras da oficina mecânica verificada na questão anterior e a intensidade do som obtida nesta rua. Resposta: A =

dez vezes maior! 4. Com um equipamento propício mede-se o nível de intensidade sonora em um ponto das avenidas Ipiranga e São João (no centro da cidade de São Paulo). Uma primeira amostragem obtida às 6 horas acusou 20 dB de nível sonoro. Entretanto uma outra amostragem obtida às 18 horas acusou 100 dB. Determine a amplificação A, obtida entre as duas

amostragens. Resposta: A = 108 vezes maior = cem

milhões de vezes maior! 5. O barulho de um rebitador em uma obra atinge o nível sonoro de 90 dB. Caso houvesse dois rebitadores idênticos estivessem operando simultaneamente, de quanto seria o nível sonoro, em decibel, no local? Use log10(2,0) = 0,30. Resposta: β

= 93 dB. 6. Um coral, com cinquenta vozes, está interpretando uma canção cujo nível sonoro é de 70 dB. Supondo que todas as vozes deste coral tenham a mesma intensidade – como deve ocorrer em corais de boa qualidade – faça uma estimativa do nível sonoro NC, em decibel, de cada uma das vozes dos

componentes deste coral. Dado: log10(2,0) = 0,30.

Resposta: Nc = 53 dB.

7. Nas aberturas das Olimpíadas de Atenas apresentou-se um coral, e nele foi observado que o nível de intensidade sonora foi de 100 dB. Sabendo-se que eram cem os integrantes deste coral e, que este, era um coral de excelente qualidade, calcule NCOMP,

em decibel, o nível sonoro de cada uma das vozes dos componentes deste coral. Resposta: NCOMP = 80 dB.

2 Pode ser (na pior das hipóteses), decibels. Nunca, jamais em

hipótese e circunstância alguma “decibéis”, apesar de ser aceito

pela Academia Brasileira de Letras! 3 Força e velocidade são grandezas vetoriais, caracterizadas por

uma intensidade (ou módulo), uma direção e um sentido.


8. Suponha uma sala tranquila na qual não há ruídos

uma pessoa consegue perceber com dificuldade o

zumbido de um mosquito a um metro de distância

dela. É dado P0 = 10-13

W. (a) Estime a potência

sonora PM, em watts, que o mosquito está emitindo.

(b) Estime o número de mosquitos NM, necessários

para emitir uma potência igual àquela consumida

por uma lâmpada de 100 W.

Resposta: (a) PM = 1,25∙10-11 W; (b) NM = 8∙10

12

mosquitos = 8 trilhões4 de mosquitos.

9. No item (b) da questão anterior, suponha que NM

,

o número de mosquitos ali mencionados emita uma

potência sonora que se irradia por todas as direções

do espaço. Sabendo-se que o limiar da sensação

dolorosa para um ser humano é de 120 dB, estime

DMÍN, a mínima distância (em metros, centímetros e

milímetros) a qual uma pessoa poderá se aproximar

deste enxame de mosquitos sem sentir dor.

Resposta: DMÍN ≈ 2,80 m ≈ 280 cm ≈ 2800 mm.

10. (Fuvest – ligeiramente modificado) – Para o

ouvido humano a mínima intensidade perceptível é

de 10-16 W/cm

2, e a máxima intensidade suportável é

de 10-4

W/cm2. Uma onda sonora propaga-se através

de uma fonte sonora, de maneira uniforme em todas

as direções do espaço, e que começa a ser percebida

no ouvido humano a 1,0 km de distância. Considere

os valores, se necessário: log10(2,0) = 0,30, log10(π)

= 0,50 e P0 = 10-13

W. (a) Estime a potência sonora

PF, da fonte, em watts. Resposta: PF = 1,25∙10-5

W.

(b) Estime o nível sonoro NF, da fonte, em decibel.

Resposta: NF = 81 dB. (c) Estime DMÍN, a menor

distância da fonte a qual uma pessoa poderá se

aproximar sem sentir dor (resposta em centímetros,

milímetros e metros). Resposta: DMÍN = 0,1 cm,

DMÍN = 1,0 mm, DMÍN = 0,001 m.

11. (Tipler, Volume II – Capítulo 12 – pág.

444) – O alto-falante do som de um concerto de rock

gera ondas com intensidade de 10-2

W/m2 a vinte

metros de distância, na frequência de 1,0 kHz.

Admitamos que a energia seja irradiada em todas as

direções do espaço. (a) Qual o nível de intensidade

de som βi, em decibel, a 20 metros de distância?

Resposta: βi = 100 dB. (b) Qual a potência acústica

4 “Será que existem todos esses mosquitos na natureza?” –

Arthur Jansen Ferreira, Prof.º de História, EE Prof.º Alberto

Conte.

total, PM, em watts, emitida pelo alto-falante?

Resposta: PM = 50 W. (c) A que distância D, em

metros, o nível de intensidade sonora atinge o limiar

de sensação dolorosa, 120 dB? Resposta: D = 2,0

m. (d) Qual o nível de intensidade sonora βj, em

decibel, a 30 metros de distância do alto-falante?

Resposta: βj = 96,6 dB.

12. Um observador, situado a uma certa distância

de uma fonte de emissão de som, percebe-o com um

nível sonoro de 36 dB. Estime N2, o nível sonoro,

em decibel, com o qual um observador,

subjetivamente igual ao primeiro, ouve este som

se colocado a uma distância igual ao dobro de onde

se encontra o primeiro observador. Dado: log10(2,0)

= 0,30. Resposta: N2 = 30 dB.

13. Um observador portando um decibelímetro -

aparelho usado para medir o nível sonoro, em

decibel - observa que, estando a cinco metros de

uma fonte sonora recebe um ruído com um nível de

80 dB. Estime D, a distância, em metros, com a qual

esse observador deverá ficar da fonte, para que este

nível sonoro caia para 60 dB. Suponha a onda

propagando-se com potência constante. Resposta:

D = 50 metros.

14. (ITA – 2006) – Colaborando com a campanha

de economia de energia, um grupo de escoteiros

construiu um fogão solar, consistindo de um espelho

de alumínio curvado que foca a energia térmica

incidente sobre uma placa coletora. O espelho tem

um diâmetro efetivo de 1,00 m e 70% da radiação

solar incidente é aproveitada para de fato aquecer

uma certa quantidade de água. Sabemos ainda que o

fogão solar demora 18,4 minutos para aquecer 1,00

ℓ de água desde a temperatura de 20oC até 100

oC, e

que 4,186×103 J é a energia necessária para elevar a

temperatura de 1,00 ℓ de água de 1,000 K. Com base

nos dados, estime a intensidade irradiada pelo Sol

na superfície da Terra, em W/m2. Justifique.

Resposta: ISOLAR

≈ 552 W/m2.

Observação relevante: evidentemente que a parte irradiada

representa metade da superfície voltada para o Sol, no caso

de um planeta como a Terra. Logo o dobro deste valor

calculado (ISOLAR

≈ 1.100 W/m2 ≈ 1,1 kW/m

2), é mais

justificável e plausível, para um valor mais realista!


15. ☺☻☺☻ (DESAFIO MATEMÁTICO) –

Na natureza, as leis de crescimento e, de

decaimento, normalmente não se apresentam em

base decimal. Aparecem de uma outra forma sob

bases exponenciais e logarítmicas que referenciam

ao número de Euler5 (℮ = 2,718...) e cuja definição

fogem ao assunto deste texto. Portanto são

mencionadas sob a relação N(t) = N0∙℮±k∙t

, onde k

é um número real (-∞ ≤ k ≤ ∞). (a) Expresse as

relações logarítmicas de Intensidade, Potência e

Pressão sonora em base neperiana. Resposta

parcial: βI = (10/2,3)∙ℓn(I/I0). (b) Expresse também

as funções inversas em forma de funções

exponenciais de base ℮. Resposta parcial: p =

p0∙℮∙

. (c) Finalmente, mude o valor de

referência dos limiares da audibilidade humana para

base ℮ conveniente. Adote, ℮0,7

= 2,0 e ℮2,3

= 10,

sempre quando houver necessidade. Resposta

parcial: P0 = ℮

W.

16. Uma marcação de intensidade sonora aponta

℮-20

W/m2. Qual é o valor da marcação do nível

sonoro correspondente em decibel? Resp.: β ≈ 33

dB.

17. Uma outra marcação de intensidade sonora

aponta ℮-4,6

W/m2. Qual é o valor da marcação do

nível sonoro correspondente em decibel? Resposta:

β ≈ 100 dB.

18. ☺☻☺ (DESAFIO MATEMÁTICO –

ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Duas

baterias (W e Z) abastecem pequenos circuitos

elétricos, cada qual obedecendo às funções de

decaimento: W(t) = (2∙t)log

4(1/3)

e Z(t) =

(3∙t)log

16(1/2)

,W e Z, referem-se à diferença de

potencial, logo são dadas em volt e t, em horas, t >

0. Determine o instante t, em minutos, em que as

funções apresentam a mesma d.d.p. e a especifique,

com o referido valor, em volt. Utilize nos cálculos,

sempre quando houver necessidade, as seguintes

aproximações: 21,60

≈ 3; 30,625

≈ 2; 20,73

≈ 30,454

≈ 5/3;

(1,2)0,80

≈ (1,8)0,25

≈ 1,16. Procure evitar usar

calculadora ao resolver o exercício! Você seria

capaz de traçar os gráficos que representam essas

curvas de decaimento? Explique. Resposta: t ≈ 36

minutos; W ≈ Z ≈ 0,86 V.

5 Leonhard Paul Euler (*Basiléia, 15/04/1.707; †São

Petersburgo, 25/09/1.783), um dos (dois) maiores matemáticos

da história (para muitos, o maior). A função exponencial: y = ex,

19. ☺☻☺ (DESAFIO MATEMÁTICO) – A bateria de um servidor corporativo obedece a um ciclo de flutuação de cálculos cujo pico máximo de operação é modelado através da função:

Et4 tlog para um intervalo de tempo

definido, tMÍN ≤ t ≤ tMÁX, onde t é expresso em

minutos e, E, em volt. (a) Supondo E = 1,50 V, calcule o intervalo de tempo, em segundos, cujo pico de operação tem sua maior eficiência. Use nos cálculos, caso necessite, as seguintes aproximações:

100,30

= 2,00 e 100,36

= 2,25. (b) Mostre que a função

original pode ser reescrita como: )tlog(

8

Et .

20. ☺☻☺ (DESAFIO MATEMÁTICO – ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Dois receptores (P e Q) transformam energia elétrica em energia térmica, cada qual satisfazendo às funções

de crescimento: P(t) = (2∙t)log

10(2)

e Q(t) =

(3∙t)log

10(3)

,P e Q, referem-se à diferença de potencial, logo são expressas em volt e t, em horas, t ≥ 0. Determine o instante t, em minutos, em que as funções apresentam a mesma d.d.p. e a especifique, com o referido valor, em volt. Utilize nos cálculos,

caso necessário, as seguintes aproximações: 100,30

≈

2; 100,48

≈ 3; 20,48

≈ 30,30

≈ 1,39.

21. ☺☺ (DESAFIO MATEMÁTICO) – Uma

espira retangular com área A, em m2, está em um

campo magnético, cujo módulo é dado através de

variando conforme o tempo t, t ≥ 0,

em horas, B em tesla, e a força eletromotriz (pela lei

de Faraday-Lenz) dada por: ,

em volt e, com B0 e constantes. Sabe-se que B(0)

= 2 T, que B(1) = 0,2 T, que (0) = 4∙B0, e que (2)

= B0/8. Use as aproximações, quando houver

necessidade, ℓn(2,0) = 0,70 e ℓn(10) = 2,3. (a)

Quais os valores de B0, e A? (b) Calcule o valor

de B(2). (c) Qual o máximo valor de ? Resposta:

MÁX

= 8,0 V. (d) Obtenha (4). (e) Para que valores

aproximados de t (em minutos) tem-se (t) = 1,6 V e B(t) = 0,8 T? (f) Demonstre que a lei de Faraday-Lenz pode ser escrita como:

.

OBS.: O exercício é um modelo de descrição da matemática que ocorre na natureza. Portanto, podemos expressar os valores obtidos em forma de frações.

e sua inversa logarítmica y = ℓn(x), ambas com base de número

℮.


22. (Unicamp – 2007) – O nível

sonoro S é medido em decibel

(dB) de acordo com a expressão:

0

10I

Ilog10S , onde I é a

intensidade da onda sonora e I0 =

10–12

W/m2 é a intensidade de

referência padrão correspondente

ao limiar da audição do ouvido

humano. Numa certa construção, o

uso de proteção auditiva é

indicado para trabalhadores

expostos durante um dia de

trabalho a um nível igual ou

superior a 85 dB. O gráfico à

direita mostra o nível sonoro em

função da distância a uma

britadeira em funcionamento na

obra. (a) A que distância mínima

DMÍN, da britadeira os

trabalhadores podem permanecer

sem proteção auditiva? Resp.: DMÍN = 10 metros de distância. (b) A frequência predominante do som emitido

pela britadeira é de 100 Hz. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é de 340 m/s, qual é o comprimento

de onda λ, em metros, para essa frequência? Resposta: λ = 3,4 m. (c) Qual é a intensidade I, em W/m2, da

onda sonora emitida pela britadeira a uma distância de 50m? Resposta: I = 10-5

W/m2.

23. ☺☺ - A primeira escala para a medida do brilho das estrelas foi criada por Hiparco, por volta de 150

a.C. Ele dividiu cerca de 850 estrelas, então visíveis a olho nu e classificou-as de acordo com a intensidade do

brilho, atribuindo, quando vistas da Terra, grandeza 1 às mais brilhantes e 6 às menos brilhantes. Por volta de

1850, um astrônomo inglês chamado Norman Robert Pogson (1823-1891), baseado no trabalho de Hiparco,

propôs uma escala logarítmica para a medida do brilho de uma estrela. Considerando na escala proposta por

Hiparco a estrela mais brilhante como cem vezes mais brilhante que a de brilho visível mais fraco, Pogson

atribui grandeza - ou magnitude - 0 às mais brilhantes e grandeza 5 às menos brilhantes na escala antiga; como

(2,5)5 ≈ 100, ele considerou cada unidade de grandeza maior 2,5 vezes que a de nível imediatamente inferior,

logo criou a tabela:

Grandeza 1 2 3 4 5 n

Brilho 1 (2,5)-1

(2,5)-2

(2,5)-3

(2,5)-4

(2,5)-(n-1)

nos. proporcionais 100 ≈ (2,5)5 40 ≈ (2,5)

4 15,6 ≈ (2,5)

3 6,25 = (2,5)

2 2,5 (2,5)

-(n-5)

Pogson ainda estendeu a escala de modo a classificar a grande quantidade de estrelas e demais corpos celestes

brilhantes, na perspectiva de um observador na Terra. A escala foi estendida tanto para cima quanto para baixo,

incluindo aí os logaritmos não inteiros:

Corpo brilhante Sol Lua Sirius Betelgeuse Antares Deneb

Grandeza aparente -27 -11 -1,50 0,50 1,00 1,25

Corpo brilhante Rigel A Procyon Canopus Altair Pollux Aldebaran

Grandeza aparente 0,00 0,40 -0,72 0,80 1,20 1,80


Existem outras escalas de medida para a grandeza de uma estrela, levando em consideração seu brilho em

relação ao seu sentido absoluto e não apenas o que é percebido por um observador na Terra. A escala de

Pogson fornece a grandeza aparente, ou seja, relativa a um observador da Terra. Em uma escala absoluta,

que leva em consideração as distâncias dos corpos celestes envolvidos, o Sol é uma estrela de 5ª. grandeza,

enquanto Sirius é de 1ª. grandeza. Para os itens do exercício a seguir, use, sempre que houver necessidade,

log10(2,0) = 0,30, log10(2,5) = 0,40, log10(3,0) = 0,48, log10(7,0) = 0,84 e log10(11) = 1,04. Lembre-se

também, que 2,5 = 5/2. (a) Betelgeuse é mais ou menos brilhante que Antares? Quantas vezes? Resposta:

Betelgeuse, 1,6 vezes mais brilhante. (b) Sirius é mais ou menos brilhante que Antares? Quantas vezes?

Resposta: Sirius, 10 vezes mais brilhante. (c) Quantas vezes o Sol é mais brilhante que a Lua? Resposta:

o Sol é 2,5×106 vezes mais brilhante = 2,5 milhões de vezes mais brilhante.

24. (Unicamp – 2008, ampliado) – O ruído sonoro nas proximidades de rodovias resulta

predominantemente da compressão do ar pelos pneus de veículos que trafegam a altas velocidades. O uso

de asfalto emborrachado pode reduzir significativamente esse ruído. O gráfico abaixo, mostra duas curvas

de intensidade do ruído sonoro em função da frequência, uma para asfalto comum e outra para asfalto

emborrachado. Utilize as aproximações: π = 3,0, log10

(2,0) = 0,30 e log10

(3,0) = 0,48.

(a) As intensidades da figura foram obtidas a uma distância r = 10 m da rodovia. Considere que a

intensidade do ruído sonoro é dada por 2

r4

PI

, onde P é a potência de emissão do ruído. Calcule

P na frequência de 1.000 Hz para o caso do asfalto emborrachado. (b) Uma possível explicação para a

origem do pico em torno de 1.000 Hz é que as ranhuras longitudinais dos pneus em contato com o solo

funcionam como tubos sonoros abertos nas extremidades. O modo fundamental de vibração em um tubo

aberto ocorre quando o comprimento de onda é igual ao dobro do comprimento do tubo. Considerando que

a frequência fundamental de vibração seja 1.000 Hz, qual deve ser o comprimento do tubo? A velocidade

de propagação do som no ar é v = 340m/s. (c) Compute o valor do nível sonoro, provocado pela intensidade

em função da frequência de 1.000 Hz, para os asfaltos comum e emborrachado. O nível sonoro () é dado

pela fórmula matemática: = 10∙log10(I/I0), onde é expresso em decibel e I0 = 10-12

W/m2, é o

equivalente ao limiar da audição para um ser humano. Resposta: (a) P = 3,6∙10-3

W = 3,6 mW; (b) L =

0,17 m = 17 cm; (c) C = 70,8 dB e E = 64,8 dB.


25. ☻ – (Unicamp – 1997) – É usual medirmos o nível de uma fonte sonora em decibel (dB). O nível em

dB é relacionado à intensidade I da fonte sonora pela fórmula: [Nível Sonoro] S (dB) = 10∙log10

0I

I,

onde I0 = 10

-12 W/m2 é um valor padrão de intensidade muito próximo do limite de audibilidade humana.

Os níveis sonoros necessários para uma pessoa ouvir variam de indivíduo para indivíduo. No gráfico abaixo,

estes níveis estão representados em função da frequência do som para dois indivíduos, A e B. O nível sonoro

acima do qual um ser humano começa a sentir dor é aproximadamente 120 dB, independentemente da

frequência.

(a) Quais as frequências que o indivíduo A consegue ouvir melhor que o indivíduo B? (b) Qual a

intensidade I mínima de um som (em W/m2) que causa dor em um ser humano? (c) Um beija-flor bate as

asas 100 vezes por segundo, emitindo um ruído que atinge o ouvinte com um nível de 10 dB. Quanto a

intensidade I deste ruído precisa ser amplificada para ser audível pelo indivíduo B?

Resposta: (a)Todas compreendidas no intervalo de frequência entre 20 Hz e 200 Hz ou If = [20 Hz;

200 Hz]. (b) I = 1,0 W/m2. (c) Deve ser amplificada em 100 vezes para ser audível pelo indivíduo B.

26. (UEL – 2004 – adaptado para analítico-

discursivo) – A tomografia foi concebida pelos

cientistas Godfrey N. Hamsfield e Allan

McLeod Cormack que, em 1956, desenvolveram

o modelo matemático de como a projeção de

múltiplos feixes de raios X sobre um corpo

poderia levar à construção de uma imagem mais

completa que a obtida pela técnica até então

utilizada, que gerava a imagem radiográfica a

partir de um único feixe. O tomógrafo, construído

por Hamsfield, usa uma fonte de raios X que,

girando em torno do paciente, produz um feixe

colimado que, ao emergir do corpo, atinge

sensores que convertem a radiação numa corrente

elétrica. Essa corrente é proporcional à energia

dos raios recebidos, sendo, então, analisada por

um computador e convertida numa imagem

detalhada do corpo. A radiação que atinge cada

detector I está relacionada à radiação da fonte I0

por uma equação da forma I(x) = I0∙℮-k∙x

, onde k é

um número real positivo que caracteriza a

densidade de matéria encontrada ao longo do

caminho percorrido pelo feixe, sendo maior

quanto maior for essa densidade e x é a distância

(em nanômetros, 1 nm = 10-9

m) percorrida pelo

feixe. (a) Mostre que a relação I(x) = I0∙℮-k∙x

pode

ser reescrita como ℓn(I/I0) = -k∙x, ou então, como

ℓn(I0/I) = k∙x. (b) Sabendo-se que I(3) = I0/2,

determine o valor da constante κ. Use, se

necessário, ℓn(2,0) = 0,693. Resposta: κ = 0,231.

(c) Para que valor de x (em nm) tem-se I(x) = I0/5?

Use ℓn(5,0) = 1,61. Resp.: x = 6,96 nm ≈ 7 nm.


27. Um cachorro ao latir emite ondas com

potência sonora aproximada de 1,0 mW (10-3

W). Suponha que esta potência aproximada seja distribuída uniformemente em uma superfície hemisférica (cujo centro se situa exatamente na boca do cachorro). Adote log10(2,0) = 0,30, log10(π)

= 0,50, log10(5,0) = 0,70 e log10(7,0) = 0,84, sempre

que houver necessidade. (a) Estime NCÃO, o nível

sonoro, em decibel, a cinco metros do cão. Resposta: NCÃO = 65 dB. (b) Estime NMAT, o nível

sonoro, em decibel, de uma matilha composta por cinco cães. Resposta: NMAT = 72 dB.

28. Uma fonte sonora irradia 0,1 W de potência

sonora em espaço livre. Adote I0 = 10-12

W/m2, P0

= 10-13

W, log10(2,0) = 0,30 e log10(π) = 0,50. (a)

Avalie NF, este nível de potência sonora da fonte,

em decibel. Resp.: NF = 120 dB. (b) Estime N10, o

nível de som em um ponto situado a dez metros da fonte, em decibel. Resp.: N10 = 79 dB.

29. (UEL – 2005 – adaptado para analítico-discursivo) – No século XIX, o trabalho dos fisiologistas Ernest e Gustav Fechner levou à quantificação da relação entre as sensações percebidas pelos sentidos humanos e as intensidades dos estímulos que as produziam. Eles afirmaram que não existe uma relação linear entre elas, mas logarítmica; o aumento do estímulo I através da sensação S é proporcional ao logaritmo do estímulo, isto é, S – S0 = k∙log10(I/I0), onde S0 é

a intensidade auditiva adotada como referência, I0 é

a intensidade física auditiva, adotada como referência associada a S0 e k é uma constante de

proporcionalidade. Quando aplicada à intensidade auditiva (ou sonoridade), a intensidade auditiva S recebeu o nome de bel (B) e 1 decibel (dB) = 0,1 B, em homenagem a Alexander Graham Bell, o “inventor do telefone”, situação em que foi assumido que k = 1. Com base no texto: (a) se um som é mil vezes mais intenso que a intensidade I0,

do menor estímulo perceptível, de quanto será a diferença da intensidade auditiva entre esses sons? Resposta: ΔS = 3 B = 30 dB. (b) Se um som for 200 vezes mais intenso que a intensidade I0, do

menor estímulo perceptível, qual será a diferença entre as intensidades auditivas desses sons? Dado:

log10(2,0) = 0,30. Resposta: S = 2,3 B = 23 dB.

(c) Demonstre que, para k = 10, quando duplicamos uma intensidade de referência I0, o nível sonoro

aumenta de 3 dB.

30. ☺☻☺ – Usando as relações de Weber-Fechner para a intensidade sonora e adotando, se

necessário, 100,3

≈ 2,0, manipule os itens a seguir. (a) Mostre que para I = I0, o nível sonoro, β = 0.

(b) Demonstre que, quando duplicamos a intensidade do som de referência, o nível sonoro aumenta de 3,0 dB. (c) Prove que, quando o som é cinco vezes mais intenso que a intensidade de referência, ele aumenta de 7,0 dB. (d) Verifique que, para I = 10∙I0, o nível sonoro é amplificado em

dez vezes. (e) Calcule a intensidade sonora, IDOR,

para o limiar de sensação dolorosa para um ser

humano, 120 dB. Resposta: IDOR = 1,0 W/m2.

31. ☺☻☺ – A relação do nível sonoro com a diferença de potencial (d.d.p.) é expressa através da fórmula: , onde V

0 = 1,0 V

representa o equivalente em d.d.p. (ou voltagem) ao padrão do limiar de audibilidade de um ser humano, e é dado em decibel. Adote, quando necessário,

as seguintes aproximações, 100,3

≈ 2,0, 100,5

≈ 3,2 e

100,9

≈ 8,0. (a) Mostre que para V = V0, o nível

sonoro, β = 0. (b) Prove que, quando duplicamos a d.d.p., o nível sonoro aumenta de 6,0 dB. (c) Demonstre que, quando o som é cinco vezes mais intenso que a voltagem de referência, ele aumenta de 14 dB. (d) Calcule o equivalente em nível sonoro , para uma d.d.p. de 32.000 V. (e) Compute a d.d.p., em volt, do equivalente do nível de ruído sonoro = 78 dB. (f) Compute a d.d.p. sonora equivalente, VDOR, para o limiar de sensação de dor

para um ser humano, 120 dB. (g) Imagine agora um “trovão” numa tempestade cujo nível de ruído sonoro produzido é de, aproximadamente, 130 dB. Estime a d.d.p. equivalente ao som provocado por esse “trovão”. Resp.: (d) = 90 dB; (e) V = 8.000

V; (f) VDOR = 1,0×106 V; (g) VTr = 3,2×10

6 V.

32. ☺☻☺☻ (DESAFIO – ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Considere agora um trovão que formado em uma tempestade, atinge o ouvido de um ser humano a 1,0 km de distância, com um nível de ruído de 60 dB. Estime: (a) a potência, P, do trovão a 1,0 km de distância. (b) A diferença de potencial, VTr, estabelecida pelo trovão no local

onde ele foi formado. (c) O nível sonoro, Tr, do

trovão no local em que ele foi estabelecido. (d) A potência, PTr, estabelecida na descarga elétrica do

trovão, sabendo-se que o tempo de queda foi de

2,0×10-4

s, e a carga elétrica nas imediações do local onde ocorreu a descarga é, de

aproximadamente, 0,10 C. Adote: .

Aproxime os seguintes valores: π = 25/8;

log10

(1,12) ≈ 0,05; 1250,5

≈ 11,2. Resposta: (a) P ≈

12,5 W; (b) VTr ≈ 1,12×107 V; (c) Tr ≈ 141 dB;

(d) PTr ≈ 5,6×109 W.


33. ☺☻☺☻ (DESAFIO – ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Admita agora uma situação em que o ouvinte do trovão se protege em uma residência, imediatamente antes da descarga da tempestade anunciada se formar nas imediações do referido local onde se encontra o imóvel. A pressão sonora a qual o ouvido da pessoa é submetido vale

0,8 N/m2, estando o imóvel a 20 metros de distância

do local onde se originou a descarga. Estime: (a) o

nível sonoro, 20, do ruído ao qual o ouvinte está

submetido, a 20 metros de distância. (b) A intensidade da onda sonora, I20, irradiada a 20

metros de distância. (c) A diferença de potencial, V20, estabelecida a 20 metros de distância. (d) A

diferença de potencial do trovão, VTr, estabelecida

no local onde a descarga foi formada. (e) O nível

sonoro, Tr, do ruído do trovão no local onde a

descarga foi formada. Utilize as seguintes

aproximações: π = 25/8; log

10(1,6) ≈ 0,2; log

10(2,0)

≈ 0,3; log10

(3,0) ≈ 0,48; 800,5

≈ 9,0. Resposta: (a)

20 ≈ 92 dB; (b) I20 ≈ 1,6×10-3

W/m2; (c) V20 ≈

4×104 V; (d) VTr ≈ 9×10

6 V; (e) Tr ≈ 139,2 dB.

34. (Unicamp) – O enormus, o normus e o pequenus são três seres vivos de temperatura maior que a temperatura ambiente. Eles têm a mesma densidade e a forma de um cubo de lados 10,0, 1,0 e 0,10 respectivamente. O enormus se alimenta de normus e este, de pequenus. Porque suas temperaturas estão acima da ambiente eles

diariamente perdem a quantidade de calor: Q = (1/1.000)×área da superfície. Para cada ser ingerido eles ganham a energia: = (1/10)×volume do ser ingerido. As quantidades anteriores estão em um mesmo sistema de unidades. (a) Quantos normus o enormus deve ingerir diariamente só para manter a sua temperatura constante? Resposta: n = 6 normus. (b) Quantos pequenus o normus deve ingerir diariamente só para manter a sua temperatura constante? Resposta: n = 60 pequenus. (c) Que fração de sua própria massa o enormus precisa comer diariamente? E o normus? Resposta: fenormus = 3/50

= 6% e fnormus = 3/500 = 0,6%.

35. (Fuvest – 2000) – Quando água pura é cuidadosamente resfriada, nas condições normais de pressão, pode permanecer no estado líquido até

temperaturas inferiores a 0oC, num estado instável de

“superfusão”. Se o sistema é perturbado, por exemplo, por vibração, parte da água se transforma em gelo e o sistema se aquece até se estabilizar em

0oC. O calor latente de fusão da água é L

f = 80 cal/g.

Considerando-se um recipiente termicamente isolado e de capacidade térmica desprezível,

contendo um litro de água à temperatura de -5,6oC, e

à pressão normal, determine: (a) A massa, M, em gramas, de gelo, formada quando o sistema é perturbado e atinge uma

situação de equilíbrio a 0oC. Resposta: M = 70

gramas. (b) A temperatura final, TF, de equilíbrio

do sistema e [Resposta: TF = 22oC], (c) a

quantidade de gelo existente, MF, (considerando-

se o sistema inicial no estado de “superfusão” a -

5,6oC), ao colocar-se, no recipiente, um bloco

metálico cuja capacidade térmica é C = 400 cal/oC,

na temperatura de 91oC. Resposta: MF = 0.

36. (ITA – adaptado) – Uma lâmpada de filamento, ligada a uma fonte com diferença de potencial (tensão) de 100 volts tem resistência de 50 ohms. Suponha que 2% da potência elétrica dissipada seja convertida em radiação visível ou ainda, audível por um ser humano. (a) Qual será a intensidade luminosa IL a dez metros da fonte? (b)

De quanto seria o nível sonoro β, em decibel, causado por esta intensidade, supondo também que fosse possível esta conversão? Utilize, caso necessário, as aproximações: log10(2,0) = 0,30,

log10(3,0) = 0,48 e log10(π) = 0,50. Resposta: (a) IL

≈ 3,2∙10-3

W/m2 e (b) β = 95 dB.

37. ☺☻☺ (FGV – adaptado para Física) – Em um circuito elétrico alimentado por uma bateria, a

queda da diferença de potencial , é processada por uma função exponencial. Sabe-se que o decaimento – em função do tempo – é dado através da função matemática:

,

onde, t ≥ 0, t em horas, em volt, e, após uma hora transcorrida do início da queda, 50% da tensão já havia sido consumida. Use, caso necessite, as aproximações: log3(2,0) = 0,625 e log10(2,0) =

0,300. (a) Qual o percentual (ou fração) P da tensão

, que foi dissipado no instante que começou a

queda? (b) Compute o valor da d.d.p. , em volt, e escreva a função completa correspondente. (c) Após quanto tempo t, 80% da tensão já tinha sido dissipada? Resp.: t = 2,0 horas. (d) A relação de Weber-Fechner, para o som em função da diferença

de potencial, é dada por: , onde

o limiar da audição V0 = 1,00 V. Qual é o

equivalente sonoro, em decibel, para um arranjo de mil baterias interligadas em série? Resp.: = 68,0 dB. (e) Mostre que a função inversa é obtida por:

.


38. ☺☺ (DESAFIO MATEMÁTICO) –

Imagine que os elétrons sejam agrupados como

dígitos quânticos (qubit), e que esta será a nova

unidade de armazenagem de dados (ou

informação), nos computadores. Em princípio esses

qubits terão, hipoteticamente e, no mínimo, três

estados – 0, 1 e 2 – possíveis de serem feitas

combinações acerca do montante dessas

informações lançadas em um computador, que

neste caso é quântico. Pense que 340

desses qubits

sejam os elétrons, e trafegam em uma rede elétrica

durante 1,28 s, dissipando energia de uma bateria

cuja d.d.p. é de 0,50 volt. Utilize, quando houver

necessidade, as aproximações, 100,20

= 1,60 e 100,48

= 3,00, e, a carga elementar do elétron e = 1,6∙10-19

C. (a) Estime o número de elétrons que trafegam

nessa rede. (b) Estime a carga elétrica gerada pelos

elétrons. (c) Calcule a corrente elétrica estabelecida

pelos qubits. Resposta: i = 2,0 A. (d) Encontre a

potência do dispositivo. (e) Ache a energia

dissipada pelo computador quântico em ½ hora de

uso (em kWh), sabendo que a resistência da bateria

é de 0,20 .

39. (Unicamp – 2015) – O primeiro trecho do

monotrilho de São Paulo, entre as estações Vila

Prudente e Oratório, foi inaugurado em agosto de

2014. Uma das vantagens do trem utilizado em São

Paulo é que cada carro é feito de ligas de alumínio,

mais leve que o aço, o que, ao lado de um motor

mais eficiente, permite ao trem atingir uma

velocidade de oitenta quilômetros por hora. (a) A

densidade do aço é daço

= 7,9 g/cm3 e a do alumínio

é dAl

= 2,7 g/cm3. Obtenha a razão, R = (aço/Al),

entre os trabalhos realizados pelas forças resultantes

que aceleram dois trens de dimensões idênticas, um

feito de aço e outro feito de alumínio, com a mesma

aceleração constante de módulo a, por uma mesma

distância l. Resposta: R ≈ 2,93. (b) Outra vantagem

do monotrilho de São Paulo em relação a outros

tipos de transporte urbano é o menor nível de ruído

que ele produz. Considere que o trem emite ondas

esféricas como uma fonte pontual. Se a potência

sonora emitida pelo trem é igual a P = 1,20×10-3

W,

qual é o nível sonoro S em decibel (dB), a uma

distância R = 10 m do trem? O nível sonoro S (em

dB) é dado pela expressão S = 10∙log(J/J0) em que

J é a intensidade da onda sonora e J0 = 10

-12 W/m

2 é

a intensidade de referência padrão correspondente

ao limiar da audição do ouvido humano. Resposta:

S = 60 dB.


ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Duas

pequenas baterias (U e V) fornecem energia a

microprocessadores de alta performance, cada qual

obedecendo às funções de decaimento: U(t) =

(2∙t)log

4(1/3)

e V(t) = (3∙t)log

16(1/6)

,U e V dadas em volt

e t, em minutos, t > 0. Determine o instante t, em

que as funções apresentam a mesma diferença de

potencial e a especifique, com o referido valor, em

volt. Utilize nos cálculos, sempre quando houver

necessidade, as seguintes aproximações: 21,60

≈ 3;

30,625

≈ 2; 60,80

≈ 90,65

≈ 4,2. Tente não usar

calculadora ao resolver o exercício! Você seria

capaz de traçar os gráficos que representam essas

curvas de decaimento? Explique. Resposta

parcial: U ≈ V ≈ 0,24 V.


ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Em alguns textos científicos, especialmente os que tratam de física mais avançada, a constante da lei de Coulomb

k (k = 9×109 N∙m

2/C

2) é apresentada através da

fórmula: , onde ε0 é denominada

constante de permissividade elétrica. (a) Usando o

valor de k, calcule o valor (aproximado) de ε0. (b)

Com o valor obtido em (a) calcule o valor (aproximado) da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo, representado por

. O valor de μ0, constante conhecida

por constante de permeabilidade magnética, vale

4∙π×10-7

N/A2. Com qual valor de constante

conhecida é parecido esse resultado obtido? Use π

= 3,14, para não haver significativa distorção do valor encontrado, ao se comparar com os apresentados nos livros de física. (c) Usando agora, os valores encontrados em (a) e (b), verifique a consistência da constante de permeabilidade magnética mencionada no item anterior, estimando

o valor apresentado, est, com precisão de, pelo

menos, cinco (ou seis, se for o caso) casas decimais.

(d) Qual a diferença de truncamento () apresentada e o percentual apresentado por essa diferença? Este é um valor plausível e justificável? Explique.

Adote as relações matemáticas pertinentes à questão:

e

Sendo a diferença um valor absoluto (ou módulo) da

diferença entre o valor real e o estimado entre as permeabilidades magnéticas, pode-se dizer que o valor a ser calculado independe da ordem na qual você irá utilizar o resultado obtido!


42. (DESAFIO MATEMÁTICO) – Seja uma rede elétrica cuja resistência é de 5,0 ohm e, a intensidade de corrente elétrica é definida pela

passagem de 1,5∙1021

elétrons durante dez segundos, em um fio condutor. Durante três horas circula nesta rede uma quantidade de energia que poderia ser utilizada para os mais variados fins, como, por exemplo, aquecer certa quantidade de água. Da Termodinâmica sabemos que “calor é a energia em trânsito entre corpos ou sistemas decorrente da existência de uma diferença de temperatura entre eles”. A carga elementar do

elétron, é de 1,6∙10-19

C. (a) Determine a diferença de potencial, em volt, que atua nesta rede. (b) Qual é, aproximadamente, a variação de energia da rede no intervalo de tempo de três horas, em Quilowatt-hora6? (c) Qual é, aproximadamente, a variação de

temperatura, em oC, que 2∙10

4 kg de água,

estariam sendo submetidos, se estivessem sendo colocados sob o efeito dessa variação de energia?

Considere cágua = 4∙103 J/Kg∙

oC, e lembre que a

equação fundamental da calorimetria é dada por Q

= m∙c∙T. (d) Agora considere que a variação de energia fosse utilizada para elevar a temperatura de água de um determinado reservatório. Qual é, aproximadamente, a massa de água, em toneladas, que esta mesma energia seria capaz de elevar em

1oC de temperatura? (e) Podemos também

relacionar a potência com outras grandezas físicas como, por exemplo, o som e a radiação e mesmo, até a pressão. A relação matemática intensidade (ou radiação em alguns textos) é definida como J =

P/4∙π∙D2, que denominaremos aqui neste

enunciado, de J, para não confundirmos diretamente com a intensidade de corrente elétrica dada através de i, pois o som, especificamente, se propaga em todas as direções do espaço e, ainda, se relacionam mais diretamente pelas relações de Weber-Fechner, cientistas que estudaram as propriedades sonoras. As relações de Weber-Fechner são definidas para a intensidade (ou radiação, conforme anteriormente mencionado)

como J = 10∙log10[J/J0], onde β é o nível sonoro

medido em decibel (dB), em homenagem a Alexander Graham Bell, inventor do telefone,

para o qual 10 dB = 1 B, e onde J0 = 10

-12 W/m

2, e

este é um valor padrão de intensidade muito próximo do limiar de audibilidade do ser humano. Segue que, para as mesmas condições, temos para a

potência, P = 10∙log10[P/P0], onde P0 = 10

-13 W (um

valor praticamente igual a J0), e para a pressão (que

chamaremos aqui neste enunciado, de z, para não confundirmos diretamente com a potência, dada por

P), z = 20∙log10[z/z0], onde z0 = 2∙10

-5 N/m

2

(também um valor praticamente igual a J0). Sendo

βP = 140 dB (nível sonoro em relação à potência),

calcule o valor de P, em watt. Este é um valor que está acima do limite extremo de sensação de dor para a audição de um ser humano! Resposta: P = 10 W. (f) Calcule a máxima distância, em metros e quilômetros, para a qual um ser humano poderia continuar ouvindo este som, se estivesse sendo submetido à ação constante deste nível sonoro (140 dB). Considere para a solução do item em questão,

a relação matemática J0 = P/4∙π∙D2, e suponha que

não existam quaisquer interferências no caminho. (g) Sendo agora β

J = 120 dB (nível sonoro em

relação à intensidade), calcule o valor de JDOR, em

W/m2. Este é um valor que está no limite extremo

de sensação de dor para a audição de um ser

humano! Resposta: JDOR = 1,0 W/m2. (h) Sendo

agora βz = 80 dB (nível sonoro em relação à

pressão), calcule o valor de zSALA, em N/m2 e use

log10(2,0) = 0,30, caso houver necessidade. (i) Se o

valor da potência verificado no item (e) pudesse ser utilizado para induzir uma corrente elétrica, de quanto seria sua intensidade, em ampères, para uma resistência de 40 ohm? Resposta: i = 0,5 A. (j) Se o valor da potência verificado no item (e) pudesse ser utilizado para aquecer certa quantidade de água, quanto essa massa, em gramas, que essa

potência seria capaz de elevar em 1oC de

temperatura, quando colocada sob o efeito de uma energia absorvida em seis minutos?

43. ☻☺☻☺ (DESAFIO MATEMÁTICO) – A bateria de um superprocessador obedece a um ciclo de flutuação de cálculos cujo máximo pico de operação é modelado através da função:

)t(log4

2Vt para um intervalo definido de tempo, tMÍN ≤ t ≤ tMÁX, onde t é dado em minutos e

V, em volt. (a) Supondo V = 2,00 V, determine o intervalo de tempo, em segundos, cujo pico de

operação tem sua eficiência máxima. Resposta: t = 225 s. (b) Partindo da função original, demonstre a consistência da equivalência a seguir:

Vtt4

22 tlogtlog .

6 Conversão entre Quilowatt-hora e joule: 1,0 kWh = 3,6×10

6J.

ÓPTICA GEOMÉTRICA – ESPELHOS ESFÉRICOS 23/28

►FÍSICA – ÓPTICA GEOMÉTRICA – ESPELHOS ESFÉRICOS◄

1. Um espelho côncavo, de raio de curvatura 50 cm

tem uma imagem formada a 30 cm de seu vértice.

Sabendo-se que o tamanho da imagem formada é de

6 cm, obtenha: (a) a distância do objeto ao espelho;

(b) o tamanho do objeto. Resposta: (a) p = 1,50 m;

(b) o = 0,3 m = 30 cm.

2. Um espelho côncavo, de distância focal de 30 cm

tem uma imagem formada a 75 cm de seu vértice.

Sabendo-se que o tamanho do objeto é de 1,00 m,

calcule: (a) a distância do objeto ao espelho; (b) o

tamanho da imagem. (c) o aumento linear

transversal.

3. Considere um espelho côncavo com distância

focal de 40 cm, e cujo objeto tem o tamanho de ¼ da

altura da imagem formada. Determine: (a) a

distância do objeto ao vértice do espelho; (b) a

distância da imagem ao vértice do espelho; (c) faça

um esboço da situação descrita no enunciado.

Resposta: (a) p = 0,50 m; (b) p´ = 2,0 m; (c) Todos

os desenhos e esboços serão feitos em sala de aula.

4. Seja um espelho convexo com raio de curvatura

de 1,20 m, e cuja imagem formada tem um tamanho

de ⅓ da altura do objeto. Encontre: (a) a distância do

objeto ao vértice do espelho; (b) a distância da

imagem ao vértice do espelho; (c) faça um esboço

da situação descrita no enunciado. Resposta: (a) p

= 1,20 m; (b) p´ = -0,40 m.

5. A distância de um objeto ao vértice de um espelho

esférico é igual a 0,60 m. O tamanho deste objeto é

igual cinco vezes o tamanho da imagem, que é

direita. Encontre: (a) a distância da imagem ao

espelho; (b) o valor da distância focal (em módulo,

se for o caso); (c) o valor do raio de curvatura; (d) o

espelho é côncavo ou convexo? Justifique.

Resposta: (a) p´ = -0,12 m; (b) f = 0,15 m; (c) R =

0,30 m; (d) convexo, dado que a imagem formada

é virtual, direita e menor que o objeto.

6. (PUC-Campinas) – O espelho esférico convexo

de um retrovisor de automóvel tem raio de curvatura

de 80 cm. Esse espelho conjuga, para certo objeto

sobre o seu eixo principal, imagem 20 vezes menor.

Nessas condições, calcule a distância do objeto ao

espelho. Resposta: p = 7,60 m.

7. A distância da imagem formada por um espelho

esférico ao seu vértice é igual a 0,9 m. O tamanho

do objeto é igual ao quadruplo do tamanho da

imagem, que é invertida. Obtenha: (a) a distância do

objeto ao espelho; (b) o valor da distância focal; (c)

o valor do raio de curvatura; (d) o espelho é côncavo

ou convexo? Justifique. Resposta: (a) p = 3,60 m;

(b) f = 0,72 m; (c) R = 1,44 m; (d) côncavo, dado

que a imagem formada é real, menor e invertida. 8. A distância do objeto ao vértice de um espelho é

igual a 10,00 m. O tamanho do objeto é igual a 50

vezes o tamanho da imagem, que é virtual. Encontre:

(a) a distância da imagem ao espelho; (b) o valor da

distância focal (em módulo); (c) o valor do raio de

curvatura; (d) o espelho é côncavo ou convexo?

Justifique. Resposta: (a) p´ = 0,20 m; (b) f ≈ 0,204

m; (c) R ≈ 0,408 m; (d) convexo, dado que a

imagem formada é virtual e menor que o objeto. 9. (Fuvest) – A imagem de um objeto forma-se a 40

cm de um espelho côncavo com distância focal de

30 cm. A imagem formada sobre o eixo principal do

espelho tem 3,0 cm de altura. Calcule: (a) o raio de

curvatura, R, em metros, do espelho. Resposta: R =

0,60 m. (b) A posição, p, do objeto em relação ao

espelho. Resposta: p = 1,20 m. (c) O aumento linear

transversal, A, e, o tamanho do objeto, Ho, em

metros. Resp.: A = ⅓; Ho = 0,09 m. (d) Construa

o esquema referente à questão representando objeto,

imagem, espelho e raios utilizados e indicando as

distâncias envolvidas (raio de curvatura, distância

focal e distâncias do objeto e imagem ao espelho).

10. A figura abaixo mostra um objeto O e sua

correspondente imagem I fornecida por um espelho

côncavo.

Se F representa o foco do espelho e V o seu vértice,

compute: (a) o valor da distância focal, (b) do raio

de curvatura, (c) da imagem ao espelho e, (d) do

objeto ao espelho, em metros. (e) Calcule o aumento

linear transversal. Resposta: (a) f = 0,20 m; (b) R =

0,40 m; (c) p = 0,60 m; (d) p´ = 0,30 m; (e) A =

½.

ÓPTICA GEOMÉTRICA – ESPELHOS ESFÉRICOS 24/28

11. (Unicamp) – Uma das primeiras aplicações

militares da óptica ocorreu no século III a.C. quando

Siracusa estava sitiada pelas forças navais romanas.

Na véspera da batalha, Arquimedes ordenou que 60

soldados polissem seus escudos retangulares de

bronze, medindo 0,5 m de largura por 1,0 m de

altura. Quando o primeiro navio romano se

encontrava a aproximadamente 30 m da praia para

atacar, à luz do sol nascente, foi dada a ordem para

que os soldados se colocassem formando um arco e

empunhassem seus escudos, como representado

esquematicamente na figura a seguir. Em poucos

minutos as velas do navio estavam ardendo em

chamas. Isso foi repetido para cada navio, e assim

não foi dessa vez que Siracusa caiu. Uma forma de

entendermos o que ocorreu consiste em tratar o

conjunto de espelhos como um espelho côncavo.

Suponha que os raios do Sol cheguem paralelos ao

espelho e sejam focalizados na vela do navio.

(a) Qual deve ser o raio do espelho côncavo para que a intensidade do sol concentrado seja máxima? (b) Considere a intensidade da radiação solar no

momento da batalha como 500 W/m2. Considere que

a refletividade efetiva do bronze sobre todo o espectro solar é de 0,6, ou seja, 60% da intensidade incidente é refletida. Estime a potência total incidente na região do foco. É dado: Potência =

Intensidade×Área. Resposta: (a) R = 60 m; (b) P = 9.000 W. 12. (ITA) – Um objeto linear de altura h está assentado perpendicularmente no eixo principal de um espelho esférico, a 15 cm de seu vértice. A imagem produzida é direita e tem altura de h/5. Determine e justifique a natureza e o raio de curvatura deste espelho. Resposta: este é um

espelho convexo, de raio 7,5 cm, dado que a imagem produzida é direita e menor que o objeto. 13. (Fatec-SP) – Um espelho esférico côncavo tem distância focal 3,0 m. Um objeto de dimensões desprezíveis se encontra sobre o eixo principal do espelho, a 6,0 m deste. O objeto desliza sobre o eixo principal, aproximando-se do espelho com velocidade constante de 1,0 m/s. O que acontece com a imagem após transcorridos 2,0 segundos do objeto deslizando? Resposta: ela se afastará 6,0 m

do espelho.

14. (UFRJ) – Com o objetivo de obter mais

visibilidade da área interna do supermercado,

facilitando o controle da movimentação de pessoas,

são utilizados espelhos esféricos cuja distância focal

em módulo é igual a 25 cm. Um cliente de 1,6 m de

altura está a 2,25 m de distância do vértice de um

dos espelhos. (a) Indique o tipo de espelho utilizado

e a natureza da imagem por ele oferecida. (b)

Calcule a altura da imagem do cliente, em mm.

Resposta: hi = 160 mm.

15. A distância da imagem virtual formada por um

espelho ao seu vértice é igual a 0,80 m. A posição

do objeto em relação à imagem é a mesma, e o

aumento linear transversal vale 0,2. Ache: (a) a

distância do objeto ao espelho; (b) o valor (do

módulo) da distância focal; (c) o valor do raio de

curvatura; (d) o espelho é côncavo ou convexo?

Justifique. Resposta: (a) p = 4,00 m; (b) f = 1,00

m; (c) R = 2,00 m; (d) convexo, dado que a

imagem formada é virtual e menor que o objeto. 16. A distância da imagem formada por um espelho

convexo ao seu vértice é igual a 1,8 m. O tamanho

do objeto é igual a três vezes ao tamanho da imagem.

Obtenha: (a) a distância do objeto ao espelho; (b) o

valor do raio de curvatura; (c) o valor da distância

focal; (d) faça um esboço da situação descrita no

enunciado.

17. A figura abaixo ilustra um espelho esférico

côncavo de distância focal igual a 30 cm. Um objeto

de 5 cm de altura e colocado a 15cm do vértice do

espelho.

(a) Obtenha a localização da imagem, usando, no

mínimo, dois raios luminosos incidentes no espelho.

(b) Classifique a imagem (real ou virtual; direita ou

invertida; maior, menor ou igual ao tamanho do

objeto). (c) Determine a posição da imagem em

relação ao vértice do espelho. (d) Determine o

aumento linear transversal do objeto. Resposta: (b)

virtual, direita e maior; (c) p´ = 30 cm; (d) A =

2 (a imagem tem o dobro do tamanho do objeto).

APÊNDICE – MANIPULAÇÃO E PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 25/28

MANIPULAÇÃO E PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

1. DEFINIÇÃO: definimos logb(a) = c bc = a,

onde 0 < b ≠ 1 e a nomenclatura, a (logaritmando),

b (base) e c (logaritmo) .

2. POSTULADOS:

2.1. logb(1) = 0, pois b0 = 1.

2.2. logb(b) = 1, pois b1 = b.

2.3. logb(b) = .

2.4. logb

(b) = 1/ *.

2.5. logb(x) = logb(y) x = y.

2.6. logb(x) > logb(y) x > y, b > 1.

2.7. logb(x) < logb(y) x > y, 0 < b < 1.

3. PROPRIEDADES:

3.1. Logaritmo do Produto: seja o produto de

logaritmos: logb(ac); podemos escrever este

produto como: logba + logbc.

Prova: vamos mostrar que logb(ac) = logba + logbc

é equivalente a expressão z = x + y. Façamos,

logb(a) = x bx = a (1),

logb(c) = y by = c (2) e,

logb(ac) = z bz = ac (3);

substituindo (1) e (2) em (3) fica: bz = b

xb

y

bz = b

x+y mesma base exponencial, portanto,

z = x + y 3.2. Logaritmo do Quociente: seja o quociente de

logaritmos: logb(a/c); podemos escrever este

produto como: logba - logbc.

Prova: vamos mostrar que logb(a/c) = logba - logbc

é equivalente a expressão z = x - y. Façamos,

logb(a) = x bx = a (1),

logb(c) = y by = c (2) e,

logb(a/c) = z bz = a/c (3);

substituindo (1) e (2) em (3) fica: bz = b

x/b

y

bz = b

x-y mesma base exponencial, portanto,

z = x - y 3.3. Logaritmo da Potência: seja o logaritmo

elevado a um expoente qualquer: logb(a)w;

podemos escrever este produto como: w∙logba.

Prova: vamos mostrar que logb(a)w = w∙logba é

equivalente a expressão w∙x.

Façamos, logb(a) = x bx = a (1);

substituindo (1) em logb(a)w, fica logb(b

x)

w

ajustando logb(b)x∙w

, e como logb(b) = 1,

nos resta o valor do expoente x∙w, ou

evidentemente,

w∙x,

exatamente como queríamos!

Vale também para o caso de existir um radical

envolvido: logb (√aw) = (w/2)∙ logb(a)

Vale também para o caso de ocorrer um expoente

na base envolvido (desde que, sejam respeitadas

todas as condições de existência: 0 < b ≠ 1):

logb

w(a) = (1/w)∙logb(a)

Na prática esse valor de w deverá ser diferente de

zero! A demonstração fica a cargo do leitor!

3.4. Mudança de Base: é uma consequência da

propriedade anterior. Seja a divisão de dois

logaritmos em mesma base e, que estejam

satisfeitas todas as condições de existência:

logb(a)/logb(c); podemos escrever este quociente

como simplesmente: logc(a).

Prova: vamos mostrar que logc(a) = logb(a)/logb(c)

é equivalente a expressão matemática z = x/y.

Chamando:

logc(a) = logb(a)/logb(c) de (0) e fazendo,

logc(a) = z cz = a (1),

logb(a) = x bx = a (2) e,

logb(c) = y by = c (3);

substituindo (1), (2) e (3) em (0) fica:

logc(c)z = logb(b)

x/logb(b)

y como: logc(c) = 1 e,

logb(b) = 1, e, por último, usando a propriedade

(3.3), nos resta, conforme queríamos, z = x/y.

A extensão da propriedade é:

logb

w(a)z = (z/w)∙log

b(a),

satisfeitas, obviamente, todas as condições de

existência! Portanto, demonstre-a!

3.5. Também temos que, satisfeitas todas as

condições de existência, a seguinte propriedade:

ℓog

= , pois, um número , elevado ao

logaritmo de na base , é sempre igual a.

Prova: vamos propor que x = , e usar as

propriedades já demonstradas.

Fazendo ℓog = x

x = , e substituindo

diretamente na expressão:

ℓog

x

= .

Como ℓog = 1, temos que

x = , exatamente

como propusemos!


EQUAÇÕES GERAIS

Vamos fazer um pequeno exemplo para

comprovar: Calcule log256

(64), por definição e por

propriedade.

Por propriedade: log256

(64) = log28(2)

6 =

(6/8)∙log2(2) = 3/4∙(1) = ¾ = 0,75. Bem fácil!

Por definição: log256

(64) = x 256x = 64

(28)

x = 2

6 mesma base 8x = 6

x = 6/8 = ¾ = 0,75. Bem chato!

Alguns logaritmos notáveis:

log10(x), logaritmo decimal ou comum,

escrevemos simplesmente, ℓog(x);

log2(x), logaritmo binário, usado em Ciência da

Computação, escrevemos simplesmente, ℓg(x);

log℮(x), logaritmo neperiano ou natural, usado

em Cálculo Diferencial e Integral e Análise

Matemática, escrevemos simplesmente, ℓn(x). O

número irracional, ℮ = 2,718... é conhecido como

número de Euler.

Vamos fazer mais um exercício:

Sejam α e β constantes reais positivas, tais que

log10α = 0,5 e log10β = 0,7. Resolva a equação

exponencial: 5x

100

.

Sejam pela definição: 100,5

= e 100,7

= .

Substituindo na equação:

57,05,0

x

7,05,01010

1010

100

52,1

x

2,1

2

1010

10

6x8,0

1010

mesma base 0,8∙x = 6

x = 6/0,8, portanto, x = 7,5

De uma outra forma: 5x

100

aplicando log decimal nos dois lados da equação

ℓog(100/∙)x = ℓog(∙)

5

usando logaritmo da potência

x∙[ℓog(100/∙)] = 5∙[ℓog(∙)]

separando os logaritmos internos do produto e

quociente

x∙[ℓog(10)2 - ℓog - ℓog] = 5∙[ℓog + ℓog]

substituindo os valores

x∙[2 – 0,5 – 0,7] = 5∙[0,5 + 0,7] 0,8∙x = 6

x = 6/0,8, portanto, x = 7,5

Agora, usando os mesmos dados do exercício

anterior, resolva as equações:

1. 225

x

3

10

Resposta: x = 5.

2. 127

x2

100

Resposta: x = 2,5.

3.

x2

2

5x25

2

10100

Resposta: x = 1,8.

Procure resolver usando tanto o método

exponencial quanto o logaritmo!

Na primeira parte deste apêndice, em nossos

objetos de estudo, utilizamos práticas de solução

de equações exponenciais e logarítmicas, sem no

entanto fazermos uma pergunta do tipo: e se nos

deparássemos com uma equação do tipo 2x = 3?

Ou, em quanto tempo uma quantia investida a

uma taxa de juros de 6% a.a. necessita para ser

duplicada? Ou triplicada? Em quantos anos a

Índia dobrará sua população se mantiver seu

crescimento populacional constante a 2,5%

anuais? Ou ainda, de quantos decibels – ou

decibel, no singular, jamais, nunca, sob hipótese

ou circunstância alguma, “decibéis” –

precisaremos para duplicar e até triplicar um

certo nível sonoro em um ambiente? Essas e

outras perguntas desse tipo são respondidas –

talvez com certa surpresa em um primeiro instante

– pela extraordinária teoria dos logaritmos, que

na prática se mostra muito mais eficiente e eficaz

que em suas equações teóricas. Veremos com

algum espanto, que a resposta da equação é o log23

≈ 1,6, que em aproximadamente 12 anos, o

dinheiro hoje investido à taxa de 6% anuais duplica

de valor, que em 28 anos a Índia dobrará sua

população mantida essa taxa de crescimento

vegetativo, e que três decibel, bastam para

duplicar o nível sonoro em um ambiente!

Costumamos utilizar para desvendar esses

problemas cotidianos, as funções exponenciais:

Q(t) = Q0∙(1 + i)

t ou Q(t) = Q

0∙℮

it. A variável Q –

ou qualquer outra que você queira utilizar –

representa a quantidade que será trabalhada na

solução dos problemas.


FUNÇÕES INVERSAS

4. Considere f(x) = ℮x+2

. (a) Calcule a função

inversa g(x). (b) Mostre que f(g(x)) = g(f(x)) = x.

(c) Determine g(e).

5. Seja f(x) = ℓog

1x

1. (a) Compute a função

inversa g(x). (b) Mostre que f(g(x)) = g(f(x)) = x.

(c) Obtenha g(0) e g(1).

6. A magnitude absoluta de uma estrela, vista da

Terra é dada por M = β - 5∙log10

10

d, onde M é o

brilho absoluto, β é o brilho aparente e d, é a

distância em parsecs, onde 1 parsec = 3,2 anos-luz

e 1 ano-luz ≈ 9,5∙1015

m. Expresse d em termos de

M e β.

Dica: considere o termo (d/10) como sendo um

único elemento!

7. Seja N(t) = N0∙℮-λ∙t

= N0∙exp[-λ∙t] (forma

alternativa). (a) Obtenha a função inversa, em

termos de N(t) e t. (b) Componha as funções

exponencial e logarítmica. (c) Isole, também, o

termo constante , em termos de N(t) e t.

Dica: faça N ≡ N(t)! Esta importantíssima função representa o decaimento – ou

desintegração – radioativo nos núcleos instáveis dos

isótopos de elementos químicos, como por exemplo, o

Urânio e o Plutônio, usados em reatores nucleares. A função

exponencial de base ℮ talvez seja a mais relevante e

pertinente de toda a natureza. PROBLEMAS GERAIS

Utilizar sempre que houver necessidade os

valores de referência para base decimal:

log10(2) = 0,30, log10(2,5) = 0,40, log10(3) = 0,48,

log10(5) = 0,70, log10(7) = 0,84 e para base

neperiana: ℓn(2) = 0,70, ℓn(2,5) = 0,92, ℓn(3) =

1,10, ℓn(5) = 1,60, ℓn(7) = 1,95. Resolva-os, se

possível, das duas formas!

8. Seja um certo país, com uma população de 25

milhões de habitantes. Considerando que sua taxa

de crescimento vegetativo é de 2% anuais,

determine: (a) o tempo – aproximado – para sua

população duplicar. (b) o tempo – aproximado –

para sua população triplicar. Dado: ℓn(1,02) =

0,02.

1 A aproximação fornecida nos logaritmos

determina o valor da resposta desejada. Por isso

temos alguns valores com precisão diferentes.

9. Considere uma aplicação financeira cujo

rendimento é da ordem de 5% anuais. (a) Em

quanto tempo a aplicação duplicará de valor? (b)

Em quanto tempo a aplicação irá ser de sete vezes

o valor original? Dado1: log10

(1,05) = 0,02.

10. Considere uma população de um

determinado país, e cujo crescimento vegetativo é

da ordem de 2,5% anuais. (a) Em quanto tempo,

aproximadamente, a população triplicará de

tamanho? (b) Em quanto tempo,

aproximadamente, a população irá ser de cinco

vezes o tamanho da população original? Dado:

log10

(1,025) = 0,01.

11. (DESAFIO) – Uma caixa, de aparelho de som, está emitindo uma onda sonora de

intensidade de 10-6 W/m

2. Considere a “energia”

transportada pela onda sonora, que passa por uma

janela com área igual a 2,0 m2, durante 4,0×10

3 s (pouco mais de uma hora), e com a posição de passagem da onda sendo perpendicular à posição de colocação da janela. Adote 1cal = 4 J e c =

4,0×103 J/Kg∙ºC. (a) Sabendo-se que a equação

fundamental da calorimetria é dada por Q = m∙c∙∆T, e as expressões matemáticas para intensidade (ou radiação) e para a potência, são dadas respectivamente por I = P/Área e P =

E/t, e admitindo que todo o calor gerado seja convertido em energia útil – ou seja, não existem possíveis perdas de energia – qual a elevação de temperatura (∆T1) que 200g de água estará sendo

submetida se colocada sob efeito desta radiação?

Resposta: ∆T1 = 0,00001oC = 1,0∙10

-5 oC (b)

Considere agora que a onda sonora está operando

sob uma condição de 1,0 W/m2 de radiação, ou

seja, o equivalente do limiar de dor para a audição de um ser humano. Se essa radiação se mantiver

constante durante 2,0×103s (pouco mais de meia

hora), qual a elevação de temperatura (∆T2), que

1.000g de água irá experimentar? Resposta: ∆T2

= 1,0oC. (c) Agora considere uma explosão, dessas

tipo demolição de estruturas como prédios ou edifícios. O som causado por essas explosões é da ordem de 160 dB. Suponha que cada explosão dessas tenha duração de 10 s e que gere certa quantidade de intensidade sonora. Se este nível sonoro é dado pela equação de Weber-Fechner:

β = 10∙log10

(I/I0),


onde, β é dado em decibel, e que I0 = 10-12 W/m

2,

representa um valor padrão de intensidade muito próximo do limiar de audibilidade de um ser humano, expresse esse nível sonoro de 160 dB em

W/m2 e, [Resp.: I = 10

4 W/m

2 = 10.000 W/m

2] (d)

qual quantidade de água, MA, que essa explosão

seria capaz de aumentar de 1oC de temperatura se

colocada sob efeito desta intensidade? Admita que

a caixa que acomoda a bomba tenha 2,5 m2 de

superfície. Resposta: MA = 62,5 kg.

12. (Unicamp) – Considere que um país troca de moeda cada vez que sua inflação acumulada chega à cifra de 900%. A nova moeda sempre vale mil vezes a antiga. Com uma inflação de 25% ao mês, em quanto tempo este país trocará de moeda? Dado log

10(2) = 0,301.

13. (UFRJ – adaptado)2 - Sabendo-se algumas estimativas, o volume de água facilmente disponível para consumo em todo o planeta, é de

cerca de 14 mil km3. Consideremos como

“razoável” o consumo de 500 m3 por ano, por

habitante. Sabendo que (à época da publicação desta questão) a população do planeta é de 6 bilhões de habitantes, e que cresce à taxa de 1,6% ao ano, faça uma estimativa de, em quanto tempo chegaremos, mantidos esses dados, ao limiar dos recursos disponíveis. Utilize, caso necessário, ℓn(4,67) ≈ 1,54 e ℓn(1,016) ≈ 0,016 e lembre-se

também que 1,0 km3 = 10

9 m

3.

14. (Unicamp, 2003) – O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por:

T(t) = TA + ∙3∙t

,

onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a

temperatura ambiente, suposta constante, e α e β são constantes. O referido corpo foi colocado em

um congelador com temperatura de –18ºC. Um

termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC

após 90 minutos e chegou a –16ºC após 270 minutos. (a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β. (b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas

(2/3)o

C superior à temperatura ambiente.

2 O texto original deste exercício não fornecia nenhuma das

constantes dadas no enunciado!

15. (MAUÁ) – No dia 11 de março de 2011, o

Japão foi atingido por um terremoto de

magnitude de 8,9 na escala Ritcher. O tsunami

subsequente provocou ondas de até 14 m que

atingiram a central nuclear Fukushima Daiichi.

A água usada para resfriamento tornou-se

contaminada por elementos radioativos, entre

eles, o 131

I, vazando para o mar. Existem 30

isótopos do iodo, sendo estável o 127

I. O 131

I

decai para um elemento estável por meio da

radiação , que corresponde à emissão de um

elétron do interior do núcleo atômico, devido ao

decaimento de um nêutron em um próton.

Define-se a meia-vida do elemento pelo tempo

necessário para que sua quantidade inicial se

reduza à metade.

A Figura 1 exibe a variação da quantidade de 131

I numa amostra contendo inicialmente 20 mg do elemento. A Figura 2 mostra uma parte da tabela periódica com os elementos vizinhos ao iodo. Considere uma amostra contendo inicialmente

20 mg de 131

I e a variação de sua quantidade em função do tempo, mostrada pela Fig. 1. (a)

Determine a meia-vida do 131

I, com base na Fig. 1. Resposta: t

1/2vida = 8 dias. (b) Calcule

a quantidade de 131

I após 16 dias com o resultado do item a, sem o uso da Fig. 1. Resposta: m

I-16 = 5,0 mg. (c) Calcule o

tempo necessário para que a amostra contenha

2,5 mg de 131

I ? Resposta: t2,5mg

= 24 dias.

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EXERCÍCIOS VARIADOS