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UFABC - Física Quântica - Curso 2017.3 Prof. Germán Lugones Aula 7 Exercícios 1

Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

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Page 1: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

UFABC - Física Quântica - Curso 2017.3 Prof. Germán Lugones

Aula 7 Exercícios

1

Page 2: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

2

Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 207

melanina. Essa reação pode ocorrer somente se uma molécula específica na célula absorve uma certa quantidade mínima de energia. Um fóton com comprimento de onda curto ultravioleta possui energia suficiente para disparar essa reação, mas uma luz visível com comprimento de onda maior não consegue. Sendo assim, a luz ultravioleta causa o bronzeado, mas a luz visível, não.

Momento linear do fótonO conceito de fóton se aplica a todas as regiões do espectro eletromagnético,

inclusive as ondas de rádio, os raios X e assim por diante. Um fóton de qualquer frequência f e comprimento de onda l possui uma energia E dada pela Equação 38.2. Além disso, de acordo com a teoria especial da relatividade, toda partícula que possui energia também deve possuir momento linear. Os fótons têm massa de repouso igual a zero e um fóton com energia E possui momento linear com módulo p obtido da relação E ! pc, como vimos na Equação 37.40 da Seção 37.8. Logo, o módulo p do momento linear do fóton é

(38.5)

Constante de PlanckEnergia do fóton

Momento linear de um fóton

p = = = cE

chf

l

h

Velocidade da luz no vácuo Frequência

Comprimento de onda

A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção e o sentido da propagação da onda eletromagnética.

ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 38.1 FÓTONS

IDENTIFICAR os conceitos relevantes: a energia e o momento linear de um fóton individual são proporcionais à frequência e inversamente proporcionais ao comprimento de onda. A inter-pretação de Einstein para o efeito fotoelétrico é que a energia é conservada quando um fóton libera um elétron da superfície de um material.

PREPARAR o problema: identifique a variável-alvo. Pode ser o comprimento de onda l, a frequência f, a energia E ou o momento linear p. Se o problema envolve o efeito fotoelétrico, a variável-alvo pode ser a energia cinética máxima dos fotoe-létrons Kmáx, o potencial de corte V0 ou a função trabalho ".

EXECUTAR a solução conforme segue:1. Use as equações 38.2 e 38.5 para relacionar a energia e o

momento linear de um fóton a seu comprimento de onda e frequência. Se o problema envolve o efeito fotoelétrico, use as equações 38.1, 38.3 e 38.4 para relacionar a frequência,

o potencial de corte, a função trabalho e a energia cinética máxima dos fotoelétrons.

2. O elétron-volt (eV), que abordamos inicialmente na Seção 23.2, é uma unidade importante e conveniente. É a quanti-dade de energia cinética ganha por um elétron ao se deslo-car livremente através de um aumento de potencial igual a um volt: 1 eV ! 1,602 # 10$ 19 J. Se a energia do fóton E for dada em elétrons-volt, use h ! 4,136 # 10$ 15 eV % s; se E estiver em joules, use h ! 6,626 # 10$ 34 J % s.

AVALIAR sua resposta: em problemas envolvendo fótons, as grandezas algumas vezes são expressas com intervalos não fa-miliares, por isso os erros não serão óbvios. É útil lembrar que um fóton de luz com l ! 600 nm e f ! 5 # 1014 Hz possui uma energia E aproximadamente igual a 2 eV, ou cerca de 3 # 10−19 J.

Figura 38.6 Potencial de corte em função da frequência para dois materiais do catodo que possuam uma função trabalho " diferente.

V0

Potencial de corte

Frequência f

Frequência de corte

Material 1Material 2f2 7 f1

0

-f1>e-f2>e O potencial de corte é zero

na frequência de corte (elétrons são liberados com zero energia cinética).

Para cada material,

e, sendo assim, as linhas têm a mesma inclinação dada por h>e , mas diferentes pontos de interseção -f>e com o eixo vertical.

eV0 = hf - f ou V0 = hfe - fe

Um laser pointer com uma potência de saída de 5,00 mW emite luz vermelha (l ! 650 nm). (a) Qual é o módulo do momento linear de cada fóton? (b) Quantos fótons o laser pointer emite em cada segundo?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema envolve as ideias de (a) momento linear do fóton e (b) energia do fóton. Na parte (a),

usaremos a Equação 38.5 e o comprimento de onda fornecido para encontrar o módulo do momento linear de cada fóton. Na parte (b), a Equação 38.5 nos fornece a energia por fóton e a potência nos permite saber qual a energia emitida por segundo. Podemos combinar essas grandezas para calcular o número de fótons emitidos por segundo.EXECUTAR: (a) sabemos que l ! 650 nm ! 6,50 # 10$ 7 m, então, a partir da Equação 38.5, o momento linear do fóton é:

EXEMPLO 38.1 FÓTONS DE UM LASER POINTER

(Continua)

Book_SEARS_Vol4.indb 207 16/12/15 5:44 PM

Ex. 1

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3

208 Física IV

Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade má-xima dos fotoelétrons emitidos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: o valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando a Equação 38.1; com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.EXECUTAR: (a) de acordo com a Equação 38.1,

Kmáx ! eV0 ! (1,60 " 10#19 C) (1,25 V) ! 2,00 " 10#19 J

(Lembre-se de que 1 V ! 1 J/C). Em termos de elétrons-volt, temos

Kmáx ! eV0 ! e(1,25 V) ! 1,25 eV

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multi-plicado por um volt (1 V).(b) A partir de Kmáx ! 1

2mvmáx

2, obtemos

vmáx =!

2Kmáx

m=

!

2 12,00 * 10-19 J2

9,11 * 10-31 kg

= 6,63 * 105 m>s

AVALIAR: o valor de vmáx é de cerca de 0,2% da velocidade da luz; logo, podemos justificar o uso da expressão não relativística para a energia cinética. (Uma justificativa análoga é que a energia cinética de 1,25 eV do elétron é muito menor que sua energia de repouso mc2 ! 0,511 MeV ! 5,11 " 105 eV.)

EXEMPLO 38.2 UMA EXPERIÊNCIA DO EFEITO FOTOELÉTRICO

p =hl

=6,626 * 10-34 J # s

6,50 * 10-7 m

= 1,02 * 10-27 kg # m>s

(Lembre-se de que 1 J ! 1 kg $ m2/s2.)(b) A partir da Equação 38.5, a energia de um único fóton é

E ! pc ! (1,02 " 10#27 kg $ m/s) (3,00 " 108 m/s)

! 3,06 " 10#19 J ! 1,91 eV

O laser pointer emite energia a uma taxa de 5,00 " 10#3 J/s, então ele emite fotoelétrons a uma taxa de

5,00 * 10-3 J>s

3,06 * 10-19 J>fótons= 1,63 * 1016 fótons>s

AVALIAR: o resultado na parte (a) apresenta um valor bastante pequeno; uma molécula comum de oxigênio na temperatura do ar da nossa sala possui momento linear 2.500 vezes maior. Para verificarmos o resultado da parte (b), podemos calcular a energia do fóton a partir da Equação 38.2:

E = hf =hcl

=16,626 * 10-34 J # s2 13,00 * 108 m>s2

6,50 * 10-7 m

= 3,06 * 10-19 J = 1,91 eV

Nosso resultado na parte (b) mostra que uma grande quantidade de fótons deixa o laser pointer a cada segundo, cada um deles com uma quantidade infinitesimal de energia. Dessa forma, a singularidade de cada fóton não é percebida e a energia irradiada parece ser um fluxo contínuo.

(Continuação)

Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um potencial de corte V0 ! 1,0 V para uma luz de comprimento de onda l igual a 600 nm, 2,0 V para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. Determine a função trabalho % para esse material e o valor da constante de Planck h.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho % no efeito fotoelétrico. Conforme a Equação 38.4, um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta como vemos nas figuras 38.5 ou 38.6. Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores das variáveis-alvo % e h.EXECUTAR: reescrevemos a Equação 38.4 na forma

V0 =he

f -f

e

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f ! 0) ocorre no ponto #%/e. As frequências, obtidas pela relação f ! c/l e c ! 3,0 " 108 m/s, são 0,50 " 1015 Hz, 0,75 " 1015 Hz e 1,0 " 1015 Hz, respectivamente. O gráfico pode ser visto na Figura 38.6. Do gráfico, obtemos

- f

e= interseção vertical = -1,0 V

f = 1,0 eV = 1,6 * 10-19 J

e

Inclinação =DV0

Df-

3,0 V - 1 -1,0 V2

1,00 * 1015 s-1 - 0= 4,0 * 10-15 J # s>C

h = Inclinação * e = 14,0 * 10-15 J # s>C2

11,60 * 10-19 C2 = 6,4 * 10-34 J # s

EXEMPLO 38.3 EXPERIÊNCIA PARA DETERMINAR f E h

(Continua)

Book_SEARS_Vol4.indb 208 16/12/15 5:44 PM

(a)

(b) Energia de um fóton

208 Física IV

Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade má-xima dos fotoelétrons emitidos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: o valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando a Equação 38.1; com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.EXECUTAR: (a) de acordo com a Equação 38.1,

Kmáx ! eV0 ! (1,60 " 10#19 C) (1,25 V) ! 2,00 " 10#19 J

(Lembre-se de que 1 V ! 1 J/C). Em termos de elétrons-volt, temos

Kmáx ! eV0 ! e(1,25 V) ! 1,25 eV

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multi-plicado por um volt (1 V).(b) A partir de Kmáx ! 1

2mvmáx

2, obtemos

vmáx =!

2Kmáx

m=

!

2 12,00 * 10-19 J2

9,11 * 10-31 kg

= 6,63 * 105 m>s

AVALIAR: o valor de vmáx é de cerca de 0,2% da velocidade da luz; logo, podemos justificar o uso da expressão não relativística para a energia cinética. (Uma justificativa análoga é que a energia cinética de 1,25 eV do elétron é muito menor que sua energia de repouso mc2 ! 0,511 MeV ! 5,11 " 105 eV.)

EXEMPLO 38.2 UMA EXPERIÊNCIA DO EFEITO FOTOELÉTRICO

p =hl

=6,626 * 10-34 J # s

6,50 * 10-7 m

= 1,02 * 10-27 kg # m>s

(Lembre-se de que 1 J ! 1 kg $ m2/s2.)(b) A partir da Equação 38.5, a energia de um único fóton é

E ! pc ! (1,02 " 10#27 kg $ m/s) (3,00 " 108 m/s)

! 3,06 " 10#19 J ! 1,91 eV

O laser pointer emite energia a uma taxa de 5,00 " 10#3 J/s, então ele emite fotoelétrons a uma taxa de

5,00 * 10-3 J>s

3,06 * 10-19 J>fótons= 1,63 * 1016 fótons>s

AVALIAR: o resultado na parte (a) apresenta um valor bastante pequeno; uma molécula comum de oxigênio na temperatura do ar da nossa sala possui momento linear 2.500 vezes maior. Para verificarmos o resultado da parte (b), podemos calcular a energia do fóton a partir da Equação 38.2:

E = hf =hcl

=16,626 * 10-34 J # s2 13,00 * 108 m>s2

6,50 * 10-7 m

= 3,06 * 10-19 J = 1,91 eV

Nosso resultado na parte (b) mostra que uma grande quantidade de fótons deixa o laser pointer a cada segundo, cada um deles com uma quantidade infinitesimal de energia. Dessa forma, a singularidade de cada fóton não é percebida e a energia irradiada parece ser um fluxo contínuo.

(Continuação)

Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um potencial de corte V0 ! 1,0 V para uma luz de comprimento de onda l igual a 600 nm, 2,0 V para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. Determine a função trabalho % para esse material e o valor da constante de Planck h.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho % no efeito fotoelétrico. Conforme a Equação 38.4, um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta como vemos nas figuras 38.5 ou 38.6. Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores das variáveis-alvo % e h.EXECUTAR: reescrevemos a Equação 38.4 na forma

V0 =he

f -f

e

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f ! 0) ocorre no ponto #%/e. As frequências, obtidas pela relação f ! c/l e c ! 3,0 " 108 m/s, são 0,50 " 1015 Hz, 0,75 " 1015 Hz e 1,0 " 1015 Hz, respectivamente. O gráfico pode ser visto na Figura 38.6. Do gráfico, obtemos

- f

e= interseção vertical = -1,0 V

f = 1,0 eV = 1,6 * 10-19 J

e

Inclinação =DV0

Df-

3,0 V - 1 -1,0 V2

1,00 * 1015 s-1 - 0= 4,0 * 10-15 J # s>C

h = Inclinação * e = 14,0 * 10-15 J # s>C2

11,60 * 10-19 C2 = 6,4 * 10-34 J # s

EXEMPLO 38.3 EXPERIÊNCIA PARA DETERMINAR f E h

(Continua)

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208 Física IV

Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade má-xima dos fotoelétrons emitidos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: o valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando a Equação 38.1; com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.EXECUTAR: (a) de acordo com a Equação 38.1,

Kmáx ! eV0 ! (1,60 " 10#19 C) (1,25 V) ! 2,00 " 10#19 J

(Lembre-se de que 1 V ! 1 J/C). Em termos de elétrons-volt, temos

Kmáx ! eV0 ! e(1,25 V) ! 1,25 eV

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multi-plicado por um volt (1 V).(b) A partir de Kmáx ! 1

2mvmáx

2, obtemos

vmáx =!

2Kmáx

m=

!

2 12,00 * 10-19 J2

9,11 * 10-31 kg

= 6,63 * 105 m>s

AVALIAR: o valor de vmáx é de cerca de 0,2% da velocidade da luz; logo, podemos justificar o uso da expressão não relativística para a energia cinética. (Uma justificativa análoga é que a energia cinética de 1,25 eV do elétron é muito menor que sua energia de repouso mc2 ! 0,511 MeV ! 5,11 " 105 eV.)

EXEMPLO 38.2 UMA EXPERIÊNCIA DO EFEITO FOTOELÉTRICO

p =hl

=6,626 * 10-34 J # s

6,50 * 10-7 m

= 1,02 * 10-27 kg # m>s

(Lembre-se de que 1 J ! 1 kg $ m2/s2.)(b) A partir da Equação 38.5, a energia de um único fóton é

E ! pc ! (1,02 " 10#27 kg $ m/s) (3,00 " 108 m/s)

! 3,06 " 10#19 J ! 1,91 eV

O laser pointer emite energia a uma taxa de 5,00 " 10#3 J/s, então ele emite fotoelétrons a uma taxa de

5,00 * 10-3 J>s

3,06 * 10-19 J>fótons= 1,63 * 1016 fótons>s

AVALIAR: o resultado na parte (a) apresenta um valor bastante pequeno; uma molécula comum de oxigênio na temperatura do ar da nossa sala possui momento linear 2.500 vezes maior. Para verificarmos o resultado da parte (b), podemos calcular a energia do fóton a partir da Equação 38.2:

E = hf =hcl

=16,626 * 10-34 J # s2 13,00 * 108 m>s2

6,50 * 10-7 m

= 3,06 * 10-19 J = 1,91 eV

Nosso resultado na parte (b) mostra que uma grande quantidade de fótons deixa o laser pointer a cada segundo, cada um deles com uma quantidade infinitesimal de energia. Dessa forma, a singularidade de cada fóton não é percebida e a energia irradiada parece ser um fluxo contínuo.

(Continuação)

Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um potencial de corte V0 ! 1,0 V para uma luz de comprimento de onda l igual a 600 nm, 2,0 V para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. Determine a função trabalho % para esse material e o valor da constante de Planck h.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho % no efeito fotoelétrico. Conforme a Equação 38.4, um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta como vemos nas figuras 38.5 ou 38.6. Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores das variáveis-alvo % e h.EXECUTAR: reescrevemos a Equação 38.4 na forma

V0 =he

f -f

e

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f ! 0) ocorre no ponto #%/e. As frequências, obtidas pela relação f ! c/l e c ! 3,0 " 108 m/s, são 0,50 " 1015 Hz, 0,75 " 1015 Hz e 1,0 " 1015 Hz, respectivamente. O gráfico pode ser visto na Figura 38.6. Do gráfico, obtemos

- f

e= interseção vertical = -1,0 V

f = 1,0 eV = 1,6 * 10-19 J

e

Inclinação =DV0

Df-

3,0 V - 1 -1,0 V2

1,00 * 1015 s-1 - 0= 4,0 * 10-15 J # s>C

h = Inclinação * e = 14,0 * 10-15 J # s>C2

11,60 * 10-19 C2 = 6,4 * 10-34 J # s

EXEMPLO 38.3 EXPERIÊNCIA PARA DETERMINAR f E h

(Continua)

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Ex 2.

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208 Física IV

Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade má-xima dos fotoelétrons emitidos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: o valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando a Equação 38.1; com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.EXECUTAR: (a) de acordo com a Equação 38.1,

Kmáx ! eV0 ! (1,60 " 10#19 C) (1,25 V) ! 2,00 " 10#19 J

(Lembre-se de que 1 V ! 1 J/C). Em termos de elétrons-volt, temos

Kmáx ! eV0 ! e(1,25 V) ! 1,25 eV

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multi-plicado por um volt (1 V).(b) A partir de Kmáx ! 1

2mvmáx

2, obtemos

vmáx =!

2Kmáx

m=

!

2 12,00 * 10-19 J2

9,11 * 10-31 kg

= 6,63 * 105 m>s

AVALIAR: o valor de vmáx é de cerca de 0,2% da velocidade da luz; logo, podemos justificar o uso da expressão não relativística para a energia cinética. (Uma justificativa análoga é que a energia cinética de 1,25 eV do elétron é muito menor que sua energia de repouso mc2 ! 0,511 MeV ! 5,11 " 105 eV.)

EXEMPLO 38.2 UMA EXPERIÊNCIA DO EFEITO FOTOELÉTRICO

p =hl

=6,626 * 10-34 J # s

6,50 * 10-7 m

= 1,02 * 10-27 kg # m>s

(Lembre-se de que 1 J ! 1 kg $ m2/s2.)(b) A partir da Equação 38.5, a energia de um único fóton é

E ! pc ! (1,02 " 10#27 kg $ m/s) (3,00 " 108 m/s)

! 3,06 " 10#19 J ! 1,91 eV

O laser pointer emite energia a uma taxa de 5,00 " 10#3 J/s, então ele emite fotoelétrons a uma taxa de

5,00 * 10-3 J>s

3,06 * 10-19 J>fótons= 1,63 * 1016 fótons>s

AVALIAR: o resultado na parte (a) apresenta um valor bastante pequeno; uma molécula comum de oxigênio na temperatura do ar da nossa sala possui momento linear 2.500 vezes maior. Para verificarmos o resultado da parte (b), podemos calcular a energia do fóton a partir da Equação 38.2:

E = hf =hcl

=16,626 * 10-34 J # s2 13,00 * 108 m>s2

6,50 * 10-7 m

= 3,06 * 10-19 J = 1,91 eV

Nosso resultado na parte (b) mostra que uma grande quantidade de fótons deixa o laser pointer a cada segundo, cada um deles com uma quantidade infinitesimal de energia. Dessa forma, a singularidade de cada fóton não é percebida e a energia irradiada parece ser um fluxo contínuo.

(Continuação)

Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um potencial de corte V0 ! 1,0 V para uma luz de comprimento de onda l igual a 600 nm, 2,0 V para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. Determine a função trabalho % para esse material e o valor da constante de Planck h.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho % no efeito fotoelétrico. Conforme a Equação 38.4, um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta como vemos nas figuras 38.5 ou 38.6. Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores das variáveis-alvo % e h.EXECUTAR: reescrevemos a Equação 38.4 na forma

V0 =he

f -f

e

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f ! 0) ocorre no ponto #%/e. As frequências, obtidas pela relação f ! c/l e c ! 3,0 " 108 m/s, são 0,50 " 1015 Hz, 0,75 " 1015 Hz e 1,0 " 1015 Hz, respectivamente. O gráfico pode ser visto na Figura 38.6. Do gráfico, obtemos

- f

e= interseção vertical = -1,0 V

f = 1,0 eV = 1,6 * 10-19 J

e

Inclinação =DV0

Df-

3,0 V - 1 -1,0 V2

1,00 * 1015 s-1 - 0= 4,0 * 10-15 J # s>C

h = Inclinação * e = 14,0 * 10-15 J # s>C2

11,60 * 10-19 C2 = 6,4 * 10-34 J # s

EXEMPLO 38.3 EXPERIÊNCIA PARA DETERMINAR f E h

(Continua)

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(a) O valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando

Com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multiplicado por um volt (1V).

6

204 Física IV

de uma das experiências que exploraram essa questão. Dois eletrodos condutores encontram-se no interior de um tubo de vidro a vácuo, são conectados por uma bateria e o catodo é iluminado. Dependendo da diferença de potencial VAC entre os dois catodos, os elétrons emitidos pelo catodo iluminado (chamados de fotoelé-trons) podem atravessar o anodo, produzindo uma corrente fotoelétrica no circuito externo (o tubo é submetido a uma pressão residual de 0,01 Pa ou menor para minimizar as colisões dos elétrons com as moléculas gasosas).

O catodo iluminado emite fotoelétrons com várias energias cinéticas. Se o campo elétrico aponta para o catodo, como na Figura 38.3a, todos os elétrons são acelerados em direção ao anodo e contribuem para a corrente fotoelétrica. No entanto, ao rever-ter o campo e ajustar sua intensidade, como vemos na Figura 38.3b, podemos evitar que elétrons com energia menor alcancem o anodo. De fato, podemos determinar a energia cinética máxima Kmáx dos elétrons emitidos fazendo o potencial do anodo relativo ao catodo, VAC, negativo o suficiente para que a corrente pare. Isso ocorrerá quando VAC ! "V0, onde V0 é chamada de potencial de corte. Na medida que um elétron se move do catodo para o anodo, o potencial diminui por V0 e o trabalho negativo "eV0 é exercido sobre o elétron (carregado negativamente). O elétron com mais energia deixa o catodo com energia cinética Kmáx ! 12mvmáx

2 e possui energia cinética zero no anodo. Usando o teorema trabalho"energia, obtemos:

Wtot ! "eV0 ! #K ! 0 " Kmáx (energia cinética máxima de fotoelétrons)

Kmáx ! 12mvmáx2 ! eV0 (38.1)

Portanto, medindo o potencial de corte V0, podemos determinar a energia ciné-tica máxima com a qual os elétrons deixam o catodo. (Estamos desprezando qual-quer efeito provocado pela eventual diferença nos materiais do catodo e do anodo.)

Nessa experiência, como é que a corrente fotoelétrica depende da tensão através dos eletrodos e da frequência e intensidade da luz? Com base na visão de Maxwell a respeito da luz como uma onda eletromagnética, podemos prever o seguinte:

Modelo ondulatório – previsão 1: vimos na Seção 32.4 que a intensidade de uma onda eletromagnética depende de sua amplitude, mas não de sua frequência. Assim, o efeito fotoelétrico deve ocorrer para luz de qualquer frequência e a magnitude da corrente fotoelétrica não deve depender da frequência da luz.Modelo ondulatório – previsão 2: é preciso uma certa quantidade de energia mí-nima, chamada de função trabalho, para que um único elétron salte de uma su-perfície em particular (veja a Figura 38.1). Se a luz que incide sobre a superfície é muito fraca, algum tempo pode decorrer antes de a energia total absorvida pela superfície ser igual à função trabalho. Dessa forma, para uma iluminação fraca, esperamos um atraso de tempo entre o momento em que a luz é ligada e quando os fotoelétrons aparecem.Modelo ondulatório – previsão 3: como a energia que incidiu sobre a superfície do catodo depende da intensidade da iluminação, esperamos que o potencial de corte aumente com o aumento da intensidade da luz. Uma vez que a intensidade não depende da frequência, esperamos que o potencial de corte não dependa da frequência da luz.

O resultado experimental mostra-se muito diferente dessas previsões. A seguir, são apresentados os resultados obtidos entre os anos de 1877 e 1905:

Resultado experimental 1: a corrente fotoelétrica depende da frequência da luz. Para um determinado material, a luz monocromática com uma frequência abaixo da frequência de corte mínima não produz nenhuma corrente fotoelétrica, indepen-dentemente de sua intensidade. Para a maioria dos metais, a frequência de corte é a ultravioleta (que corresponde a um comprimento de onda l entre 200 e 300 nm),

Book_SEARS_Vol4.indb 204 16/12/15 5:44 PM

208 Física IV

Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade má-xima dos fotoelétrons emitidos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: o valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando a Equação 38.1; com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.EXECUTAR: (a) de acordo com a Equação 38.1,

Kmáx ! eV0 ! (1,60 " 10#19 C) (1,25 V) ! 2,00 " 10#19 J

(Lembre-se de que 1 V ! 1 J/C). Em termos de elétrons-volt, temos

Kmáx ! eV0 ! e(1,25 V) ! 1,25 eV

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multi-plicado por um volt (1 V).(b) A partir de Kmáx ! 1

2mvmáx

2, obtemos

vmáx =!

2Kmáx

m=

!

2 12,00 * 10-19 J2

9,11 * 10-31 kg

= 6,63 * 105 m>s

AVALIAR: o valor de vmáx é de cerca de 0,2% da velocidade da luz; logo, podemos justificar o uso da expressão não relativística para a energia cinética. (Uma justificativa análoga é que a energia cinética de 1,25 eV do elétron é muito menor que sua energia de repouso mc2 ! 0,511 MeV ! 5,11 " 105 eV.)

EXEMPLO 38.2 UMA EXPERIÊNCIA DO EFEITO FOTOELÉTRICO

p =hl

=6,626 * 10-34 J # s

6,50 * 10-7 m

= 1,02 * 10-27 kg # m>s

(Lembre-se de que 1 J ! 1 kg $ m2/s2.)(b) A partir da Equação 38.5, a energia de um único fóton é

E ! pc ! (1,02 " 10#27 kg $ m/s) (3,00 " 108 m/s)

! 3,06 " 10#19 J ! 1,91 eV

O laser pointer emite energia a uma taxa de 5,00 " 10#3 J/s, então ele emite fotoelétrons a uma taxa de

5,00 * 10-3 J>s

3,06 * 10-19 J>fótons= 1,63 * 1016 fótons>s

AVALIAR: o resultado na parte (a) apresenta um valor bastante pequeno; uma molécula comum de oxigênio na temperatura do ar da nossa sala possui momento linear 2.500 vezes maior. Para verificarmos o resultado da parte (b), podemos calcular a energia do fóton a partir da Equação 38.2:

E = hf =hcl

=16,626 * 10-34 J # s2 13,00 * 108 m>s2

6,50 * 10-7 m

= 3,06 * 10-19 J = 1,91 eV

Nosso resultado na parte (b) mostra que uma grande quantidade de fótons deixa o laser pointer a cada segundo, cada um deles com uma quantidade infinitesimal de energia. Dessa forma, a singularidade de cada fóton não é percebida e a energia irradiada parece ser um fluxo contínuo.

(Continuação)

Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um potencial de corte V0 ! 1,0 V para uma luz de comprimento de onda l igual a 600 nm, 2,0 V para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. Determine a função trabalho % para esse material e o valor da constante de Planck h.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho % no efeito fotoelétrico. Conforme a Equação 38.4, um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta como vemos nas figuras 38.5 ou 38.6. Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores das variáveis-alvo % e h.EXECUTAR: reescrevemos a Equação 38.4 na forma

V0 =he

f -f

e

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f ! 0) ocorre no ponto #%/e. As frequências, obtidas pela relação f ! c/l e c ! 3,0 " 108 m/s, são 0,50 " 1015 Hz, 0,75 " 1015 Hz e 1,0 " 1015 Hz, respectivamente. O gráfico pode ser visto na Figura 38.6. Do gráfico, obtemos

- f

e= interseção vertical = -1,0 V

f = 1,0 eV = 1,6 * 10-19 J

e

Inclinação =DV0

Df-

3,0 V - 1 -1,0 V2

1,00 * 1015 s-1 - 0= 4,0 * 10-15 J # s>C

h = Inclinação * e = 14,0 * 10-15 J # s>C2

11,60 * 10-19 C2 = 6,4 * 10-34 J # s

EXEMPLO 38.3 EXPERIÊNCIA PARA DETERMINAR f E h

(Continua)

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208 Física IV

Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade má-xima dos fotoelétrons emitidos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: o valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando a Equação 38.1; com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.EXECUTAR: (a) de acordo com a Equação 38.1,

Kmáx ! eV0 ! (1,60 " 10#19 C) (1,25 V) ! 2,00 " 10#19 J

(Lembre-se de que 1 V ! 1 J/C). Em termos de elétrons-volt, temos

Kmáx ! eV0 ! e(1,25 V) ! 1,25 eV

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multi-plicado por um volt (1 V).(b) A partir de Kmáx ! 1

2mvmáx

2, obtemos

vmáx =!

2Kmáx

m=

!

2 12,00 * 10-19 J2

9,11 * 10-31 kg

= 6,63 * 105 m>s

AVALIAR: o valor de vmáx é de cerca de 0,2% da velocidade da luz; logo, podemos justificar o uso da expressão não relativística para a energia cinética. (Uma justificativa análoga é que a energia cinética de 1,25 eV do elétron é muito menor que sua energia de repouso mc2 ! 0,511 MeV ! 5,11 " 105 eV.)

EXEMPLO 38.2 UMA EXPERIÊNCIA DO EFEITO FOTOELÉTRICO

p =hl

=6,626 * 10-34 J # s

6,50 * 10-7 m

= 1,02 * 10-27 kg # m>s

(Lembre-se de que 1 J ! 1 kg $ m2/s2.)(b) A partir da Equação 38.5, a energia de um único fóton é

E ! pc ! (1,02 " 10#27 kg $ m/s) (3,00 " 108 m/s)

! 3,06 " 10#19 J ! 1,91 eV

O laser pointer emite energia a uma taxa de 5,00 " 10#3 J/s, então ele emite fotoelétrons a uma taxa de

5,00 * 10-3 J>s

3,06 * 10-19 J>fótons= 1,63 * 1016 fótons>s

AVALIAR: o resultado na parte (a) apresenta um valor bastante pequeno; uma molécula comum de oxigênio na temperatura do ar da nossa sala possui momento linear 2.500 vezes maior. Para verificarmos o resultado da parte (b), podemos calcular a energia do fóton a partir da Equação 38.2:

E = hf =hcl

=16,626 * 10-34 J # s2 13,00 * 108 m>s2

6,50 * 10-7 m

= 3,06 * 10-19 J = 1,91 eV

Nosso resultado na parte (b) mostra que uma grande quantidade de fótons deixa o laser pointer a cada segundo, cada um deles com uma quantidade infinitesimal de energia. Dessa forma, a singularidade de cada fóton não é percebida e a energia irradiada parece ser um fluxo contínuo.

(Continuação)

Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um potencial de corte V0 ! 1,0 V para uma luz de comprimento de onda l igual a 600 nm, 2,0 V para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. Determine a função trabalho % para esse material e o valor da constante de Planck h.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho % no efeito fotoelétrico. Conforme a Equação 38.4, um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta como vemos nas figuras 38.5 ou 38.6. Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores das variáveis-alvo % e h.EXECUTAR: reescrevemos a Equação 38.4 na forma

V0 =he

f -f

e

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f ! 0) ocorre no ponto #%/e. As frequências, obtidas pela relação f ! c/l e c ! 3,0 " 108 m/s, são 0,50 " 1015 Hz, 0,75 " 1015 Hz e 1,0 " 1015 Hz, respectivamente. O gráfico pode ser visto na Figura 38.6. Do gráfico, obtemos

- f

e= interseção vertical = -1,0 V

f = 1,0 eV = 1,6 * 10-19 J

e

Inclinação =DV0

Df-

3,0 V - 1 -1,0 V2

1,00 * 1015 s-1 - 0= 4,0 * 10-15 J # s>C

h = Inclinação * e = 14,0 * 10-15 J # s>C2

11,60 * 10-19 C2 = 6,4 * 10-34 J # s

EXEMPLO 38.3 EXPERIÊNCIA PARA DETERMINAR f E h

(Continua)

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Page 7: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

7

208 Física IV

Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade má-xima dos fotoelétrons emitidos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: o valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando a Equação 38.1; com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.EXECUTAR: (a) de acordo com a Equação 38.1,

Kmáx ! eV0 ! (1,60 " 10#19 C) (1,25 V) ! 2,00 " 10#19 J

(Lembre-se de que 1 V ! 1 J/C). Em termos de elétrons-volt, temos

Kmáx ! eV0 ! e(1,25 V) ! 1,25 eV

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multi-plicado por um volt (1 V).(b) A partir de Kmáx ! 1

2mvmáx

2, obtemos

vmáx =!

2Kmáx

m=

!

2 12,00 * 10-19 J2

9,11 * 10-31 kg

= 6,63 * 105 m>s

AVALIAR: o valor de vmáx é de cerca de 0,2% da velocidade da luz; logo, podemos justificar o uso da expressão não relativística para a energia cinética. (Uma justificativa análoga é que a energia cinética de 1,25 eV do elétron é muito menor que sua energia de repouso mc2 ! 0,511 MeV ! 5,11 " 105 eV.)

EXEMPLO 38.2 UMA EXPERIÊNCIA DO EFEITO FOTOELÉTRICO

p =hl

=6,626 * 10-34 J # s

6,50 * 10-7 m

= 1,02 * 10-27 kg # m>s

(Lembre-se de que 1 J ! 1 kg $ m2/s2.)(b) A partir da Equação 38.5, a energia de um único fóton é

E ! pc ! (1,02 " 10#27 kg $ m/s) (3,00 " 108 m/s)

! 3,06 " 10#19 J ! 1,91 eV

O laser pointer emite energia a uma taxa de 5,00 " 10#3 J/s, então ele emite fotoelétrons a uma taxa de

5,00 * 10-3 J>s

3,06 * 10-19 J>fótons= 1,63 * 1016 fótons>s

AVALIAR: o resultado na parte (a) apresenta um valor bastante pequeno; uma molécula comum de oxigênio na temperatura do ar da nossa sala possui momento linear 2.500 vezes maior. Para verificarmos o resultado da parte (b), podemos calcular a energia do fóton a partir da Equação 38.2:

E = hf =hcl

=16,626 * 10-34 J # s2 13,00 * 108 m>s2

6,50 * 10-7 m

= 3,06 * 10-19 J = 1,91 eV

Nosso resultado na parte (b) mostra que uma grande quantidade de fótons deixa o laser pointer a cada segundo, cada um deles com uma quantidade infinitesimal de energia. Dessa forma, a singularidade de cada fóton não é percebida e a energia irradiada parece ser um fluxo contínuo.

(Continuação)

Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um potencial de corte V0 ! 1,0 V para uma luz de comprimento de onda l igual a 600 nm, 2,0 V para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. Determine a função trabalho % para esse material e o valor da constante de Planck h.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho % no efeito fotoelétrico. Conforme a Equação 38.4, um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta como vemos nas figuras 38.5 ou 38.6. Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores das variáveis-alvo % e h.EXECUTAR: reescrevemos a Equação 38.4 na forma

V0 =he

f -f

e

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f ! 0) ocorre no ponto #%/e. As frequências, obtidas pela relação f ! c/l e c ! 3,0 " 108 m/s, são 0,50 " 1015 Hz, 0,75 " 1015 Hz e 1,0 " 1015 Hz, respectivamente. O gráfico pode ser visto na Figura 38.6. Do gráfico, obtemos

- f

e= interseção vertical = -1,0 V

f = 1,0 eV = 1,6 * 10-19 J

e

Inclinação =DV0

Df-

3,0 V - 1 -1,0 V2

1,00 * 1015 s-1 - 0= 4,0 * 10-15 J # s>C

h = Inclinação * e = 14,0 * 10-15 J # s>C2

11,60 * 10-19 C2 = 6,4 * 10-34 J # s

EXEMPLO 38.3 EXPERIÊNCIA PARA DETERMINAR f E h

(Continua)

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208 Física IV

Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade má-xima dos fotoelétrons emitidos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: o valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando a Equação 38.1; com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.EXECUTAR: (a) de acordo com a Equação 38.1,

Kmáx ! eV0 ! (1,60 " 10#19 C) (1,25 V) ! 2,00 " 10#19 J

(Lembre-se de que 1 V ! 1 J/C). Em termos de elétrons-volt, temos

Kmáx ! eV0 ! e(1,25 V) ! 1,25 eV

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multi-plicado por um volt (1 V).(b) A partir de Kmáx ! 1

2mvmáx

2, obtemos

vmáx =!

2Kmáx

m=

!

2 12,00 * 10-19 J2

9,11 * 10-31 kg

= 6,63 * 105 m>s

AVALIAR: o valor de vmáx é de cerca de 0,2% da velocidade da luz; logo, podemos justificar o uso da expressão não relativística para a energia cinética. (Uma justificativa análoga é que a energia cinética de 1,25 eV do elétron é muito menor que sua energia de repouso mc2 ! 0,511 MeV ! 5,11 " 105 eV.)

EXEMPLO 38.2 UMA EXPERIÊNCIA DO EFEITO FOTOELÉTRICO

p =hl

=6,626 * 10-34 J # s

6,50 * 10-7 m

= 1,02 * 10-27 kg # m>s

(Lembre-se de que 1 J ! 1 kg $ m2/s2.)(b) A partir da Equação 38.5, a energia de um único fóton é

E ! pc ! (1,02 " 10#27 kg $ m/s) (3,00 " 108 m/s)

! 3,06 " 10#19 J ! 1,91 eV

O laser pointer emite energia a uma taxa de 5,00 " 10#3 J/s, então ele emite fotoelétrons a uma taxa de

5,00 * 10-3 J>s

3,06 * 10-19 J>fótons= 1,63 * 1016 fótons>s

AVALIAR: o resultado na parte (a) apresenta um valor bastante pequeno; uma molécula comum de oxigênio na temperatura do ar da nossa sala possui momento linear 2.500 vezes maior. Para verificarmos o resultado da parte (b), podemos calcular a energia do fóton a partir da Equação 38.2:

E = hf =hcl

=16,626 * 10-34 J # s2 13,00 * 108 m>s2

6,50 * 10-7 m

= 3,06 * 10-19 J = 1,91 eV

Nosso resultado na parte (b) mostra que uma grande quantidade de fótons deixa o laser pointer a cada segundo, cada um deles com uma quantidade infinitesimal de energia. Dessa forma, a singularidade de cada fóton não é percebida e a energia irradiada parece ser um fluxo contínuo.

(Continuação)

Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um potencial de corte V0 ! 1,0 V para uma luz de comprimento de onda l igual a 600 nm, 2,0 V para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. Determine a função trabalho % para esse material e o valor da constante de Planck h.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho % no efeito fotoelétrico. Conforme a Equação 38.4, um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta como vemos nas figuras 38.5 ou 38.6. Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores das variáveis-alvo % e h.EXECUTAR: reescrevemos a Equação 38.4 na forma

V0 =he

f -f

e

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f ! 0) ocorre no ponto #%/e. As frequências, obtidas pela relação f ! c/l e c ! 3,0 " 108 m/s, são 0,50 " 1015 Hz, 0,75 " 1015 Hz e 1,0 " 1015 Hz, respectivamente. O gráfico pode ser visto na Figura 38.6. Do gráfico, obtemos

- f

e= interseção vertical = -1,0 V

f = 1,0 eV = 1,6 * 10-19 J

e

Inclinação =DV0

Df-

3,0 V - 1 -1,0 V2

1,00 * 1015 s-1 - 0= 4,0 * 10-15 J # s>C

h = Inclinação * e = 14,0 * 10-15 J # s>C2

11,60 * 10-19 C2 = 6,4 * 10-34 J # s

EXEMPLO 38.3 EXPERIÊNCIA PARA DETERMINAR f E h

(Continua)

Book_SEARS_Vol4.indb 208 16/12/15 5:44 PM

Ex. 3

Page 9: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

9

Este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho no efeito fotoelétrico.

Conforme a equação:

um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta.

Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores de 𝜙 e h.

206 Física IV

ou absolutamente nenhuma. O elétron pode se desprender da superfície somente se a energia que ele adquirir for maior que a função trabalho f. Dessa forma, os fotoelétrons serão emitidos somente se hf > f ou f > f/h. Portanto, o postulado de Einstein explica por que o efeito fotoelétrico ocorre apenas para frequências supe-riores a um limite mínimo de frequência. Esse postulado também é consistente com a observação de que maior intensidade provoca maior corrente fotoelétrica (Figura 38.4). Maior intensidade em uma frequência específica significa maior número de fótons absorvidos por segundo e, portanto, maior número de elétrons emitidos por segundo e uma maior corrente fotoelétrica.

O postulado de Einstein também explica por que não existe intervalo algum entre a iluminação e a emissão de fotoelétrons. Assim que fótons com energia suficiente atingem a superfície, elétrons podem absorvê-los e ser liberados.

Finalmente, o postulado de Einstein explica por que o potencial de corte para uma determinada superfície depende apenas da frequência da luz. Lembre-se de que f é a energia mínima necessária para remover um elétron de uma superfície. Einstein aplicou a conservação da energia para descobrir que a energia cinética máxima Kmáx ! 12mvmáx

2 para um elétron emitido é a energia hf obtida de um fóton menos a função trabalho f:

Kmáx ! 12mvmáx2 ! hf – f (38.3)

Substituindo Kmáx ! eV0 da Equação 38.1, encontramos:

eV0 = hf - f (38.4)

Energia cinética máxima do fotoelétron

Energia do fóton absorvido

Função trabalho

Frequência da luz

Efeito fotoelétrico:

Módulo da carga do elétron

Potencial de corte

Constante de Planck

A Equação 38.4 mostra que o potencial de corte V0 aumenta com o aumento da frequência f. A intensidade não aparece na Equação 38.4, então V0 é independente da intensidade. Para uma confirmação da Equação 38.4, podemos medir o potencial de corte V0 para cada um dos muitos valores da frequência f, para um dado material do catodo (Figura 38.5 ). Com um gráfico de V0 como uma função de f, observamos que o resultado é uma linha reta, e podemos determinar tanto a função trabalho f quanto o valor da grandeza h/e. Depois que a carga do elétron −e foi medida por Robert Millikan em 1909, a constante de Planck h também foi determinada a partir dessas medidas.

As funções trabalho e as energias dos elétrons geralmente são expressas em elétrons-volt (eV), unidade definida na Seção 23.2. Com quatro algarismos signi-ficativos, temos

1 eV ! 1,602 " 10#19 J

Para esse nível de precisão, a constante de Planck é

h ! 6,626 " 10#34 J $ s ! 4,136 " 10#15

eV $ s

A Tabela 38.1 lista as funções trabalho para muitos elementos. Esses valores são aproximados porque são muito sensíveis às impurezas da superfície. Quanto maior for a força de trabalho, maior será a frequência mínima necessária para a emissão de fotoelétrons (Figura 38.6 ).

A teoria do fóton também explica outros fenômenos nos quais a luz é absorvida. Um bronzeamento solar é causado quando a energia da luz solar dispara uma reação química nas células da pele que leva ao aumento da produção do pigmento

DADOS MOSTRAM

Fótons

Quando os alunos recebiam um problema sobre fótons e suas propriedades, mais de 20% davam uma resposta incorreta. Erros comuns:

r�Confusão a respeito de energia do fóton, frequência e comprimento de onda. Quanto maior for a frequência de um fóton, maior será a energia dele, e menor será seu comprimento de onda; quanto maior for o comprimento de onda de um fóton, menor será a energia do fóton e mais baixa será sua frequência (veja a Equação 38.2).

r�Confusão sobre o efeito fotoelétrico. Quanto maior for a força de trabalho do material, menor será a energia cinética dos elétrons emitidos quando os fótons de uma determinada frequência brilharem sobre o material (veja a Equação 38.3).

Figura 38.5 Potencial de corte como uma função da frequência para determinado material do catodo.

3

2

1

00,50 0,75 1,00,25

-1

f (1015 Hz)

V0 (V)

TABELA 38.1 Função trabalho de diversos elementos.

Elemento Função trabalho (eV)

Alumínio 4,3Carbono 5,0Cobre 4,7

Ouro 5,1

Níquel 5,1Silício 4,8Prata 4,3Sódio 2,7

Book_SEARS_Vol4.indb 206 16/12/15 5:44 PM

Page 10: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

10

208 Física IV

Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade má-xima dos fotoelétrons emitidos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: o valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando a Equação 38.1; com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.EXECUTAR: (a) de acordo com a Equação 38.1,

Kmáx ! eV0 ! (1,60 " 10#19 C) (1,25 V) ! 2,00 " 10#19 J

(Lembre-se de que 1 V ! 1 J/C). Em termos de elétrons-volt, temos

Kmáx ! eV0 ! e(1,25 V) ! 1,25 eV

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multi-plicado por um volt (1 V).(b) A partir de Kmáx ! 1

2mvmáx

2, obtemos

vmáx =!

2Kmáx

m=

!

2 12,00 * 10-19 J2

9,11 * 10-31 kg

= 6,63 * 105 m>s

AVALIAR: o valor de vmáx é de cerca de 0,2% da velocidade da luz; logo, podemos justificar o uso da expressão não relativística para a energia cinética. (Uma justificativa análoga é que a energia cinética de 1,25 eV do elétron é muito menor que sua energia de repouso mc2 ! 0,511 MeV ! 5,11 " 105 eV.)

EXEMPLO 38.2 UMA EXPERIÊNCIA DO EFEITO FOTOELÉTRICO

p =hl

=6,626 * 10-34 J # s

6,50 * 10-7 m

= 1,02 * 10-27 kg # m>s

(Lembre-se de que 1 J ! 1 kg $ m2/s2.)(b) A partir da Equação 38.5, a energia de um único fóton é

E ! pc ! (1,02 " 10#27 kg $ m/s) (3,00 " 108 m/s)

! 3,06 " 10#19 J ! 1,91 eV

O laser pointer emite energia a uma taxa de 5,00 " 10#3 J/s, então ele emite fotoelétrons a uma taxa de

5,00 * 10-3 J>s

3,06 * 10-19 J>fótons= 1,63 * 1016 fótons>s

AVALIAR: o resultado na parte (a) apresenta um valor bastante pequeno; uma molécula comum de oxigênio na temperatura do ar da nossa sala possui momento linear 2.500 vezes maior. Para verificarmos o resultado da parte (b), podemos calcular a energia do fóton a partir da Equação 38.2:

E = hf =hcl

=16,626 * 10-34 J # s2 13,00 * 108 m>s2

6,50 * 10-7 m

= 3,06 * 10-19 J = 1,91 eV

Nosso resultado na parte (b) mostra que uma grande quantidade de fótons deixa o laser pointer a cada segundo, cada um deles com uma quantidade infinitesimal de energia. Dessa forma, a singularidade de cada fóton não é percebida e a energia irradiada parece ser um fluxo contínuo.

(Continuação)

Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um potencial de corte V0 ! 1,0 V para uma luz de comprimento de onda l igual a 600 nm, 2,0 V para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. Determine a função trabalho % para esse material e o valor da constante de Planck h.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho % no efeito fotoelétrico. Conforme a Equação 38.4, um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta como vemos nas figuras 38.5 ou 38.6. Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores das variáveis-alvo % e h.EXECUTAR: reescrevemos a Equação 38.4 na forma

V0 =he

f -f

e

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f ! 0) ocorre no ponto #%/e. As frequências, obtidas pela relação f ! c/l e c ! 3,0 " 108 m/s, são 0,50 " 1015 Hz, 0,75 " 1015 Hz e 1,0 " 1015 Hz, respectivamente. O gráfico pode ser visto na Figura 38.6. Do gráfico, obtemos

- f

e= interseção vertical = -1,0 V

f = 1,0 eV = 1,6 * 10-19 J

e

Inclinação =DV0

Df-

3,0 V - 1 -1,0 V2

1,00 * 1015 s-1 - 0= 4,0 * 10-15 J # s>C

h = Inclinação * e = 14,0 * 10-15 J # s>C2

11,60 * 10-19 C2 = 6,4 * 10-34 J # s

EXEMPLO 38.3 EXPERIÊNCIA PARA DETERMINAR f E h

(Continua)

Book_SEARS_Vol4.indb 208 16/12/15 5:44 PM

(a)reescrevemos a equação anterior na forma

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f=0) ocorre no ponto –𝜙/e.

As frequências, obtidas pela relação f =c/𝜆 e c 3,0 ×108 m/s, são:

f = 0,50 × 1015 Hz, f = 0,75 ×1015 Hz f = 1,0 × 1015 Hz

Page 11: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

11

206 Física IV

ou absolutamente nenhuma. O elétron pode se desprender da superfície somente se a energia que ele adquirir for maior que a função trabalho f. Dessa forma, os fotoelétrons serão emitidos somente se hf > f ou f > f/h. Portanto, o postulado de Einstein explica por que o efeito fotoelétrico ocorre apenas para frequências supe-riores a um limite mínimo de frequência. Esse postulado também é consistente com a observação de que maior intensidade provoca maior corrente fotoelétrica (Figura 38.4). Maior intensidade em uma frequência específica significa maior número de fótons absorvidos por segundo e, portanto, maior número de elétrons emitidos por segundo e uma maior corrente fotoelétrica.

O postulado de Einstein também explica por que não existe intervalo algum entre a iluminação e a emissão de fotoelétrons. Assim que fótons com energia suficiente atingem a superfície, elétrons podem absorvê-los e ser liberados.

Finalmente, o postulado de Einstein explica por que o potencial de corte para uma determinada superfície depende apenas da frequência da luz. Lembre-se de que f é a energia mínima necessária para remover um elétron de uma superfície. Einstein aplicou a conservação da energia para descobrir que a energia cinética máxima Kmáx ! 12mvmáx

2 para um elétron emitido é a energia hf obtida de um fóton menos a função trabalho f:

Kmáx ! 12mvmáx2 ! hf – f (38.3)

Substituindo Kmáx ! eV0 da Equação 38.1, encontramos:

eV0 = hf - f (38.4)

Energia cinética máxima do fotoelétron

Energia do fóton absorvido

Função trabalho

Frequência da luz

Efeito fotoelétrico:

Módulo da carga do elétron

Potencial de corte

Constante de Planck

A Equação 38.4 mostra que o potencial de corte V0 aumenta com o aumento da frequência f. A intensidade não aparece na Equação 38.4, então V0 é independente da intensidade. Para uma confirmação da Equação 38.4, podemos medir o potencial de corte V0 para cada um dos muitos valores da frequência f, para um dado material do catodo (Figura 38.5 ). Com um gráfico de V0 como uma função de f, observamos que o resultado é uma linha reta, e podemos determinar tanto a função trabalho f quanto o valor da grandeza h/e. Depois que a carga do elétron −e foi medida por Robert Millikan em 1909, a constante de Planck h também foi determinada a partir dessas medidas.

As funções trabalho e as energias dos elétrons geralmente são expressas em elétrons-volt (eV), unidade definida na Seção 23.2. Com quatro algarismos signi-ficativos, temos

1 eV ! 1,602 " 10#19 J

Para esse nível de precisão, a constante de Planck é

h ! 6,626 " 10#34 J $ s ! 4,136 " 10#15

eV $ s

A Tabela 38.1 lista as funções trabalho para muitos elementos. Esses valores são aproximados porque são muito sensíveis às impurezas da superfície. Quanto maior for a força de trabalho, maior será a frequência mínima necessária para a emissão de fotoelétrons (Figura 38.6 ).

A teoria do fóton também explica outros fenômenos nos quais a luz é absorvida. Um bronzeamento solar é causado quando a energia da luz solar dispara uma reação química nas células da pele que leva ao aumento da produção do pigmento

DADOS MOSTRAM

Fótons

Quando os alunos recebiam um problema sobre fótons e suas propriedades, mais de 20% davam uma resposta incorreta. Erros comuns:

r�Confusão a respeito de energia do fóton, frequência e comprimento de onda. Quanto maior for a frequência de um fóton, maior será a energia dele, e menor será seu comprimento de onda; quanto maior for o comprimento de onda de um fóton, menor será a energia do fóton e mais baixa será sua frequência (veja a Equação 38.2).

r�Confusão sobre o efeito fotoelétrico. Quanto maior for a força de trabalho do material, menor será a energia cinética dos elétrons emitidos quando os fótons de uma determinada frequência brilharem sobre o material (veja a Equação 38.3).

Figura 38.5 Potencial de corte como uma função da frequência para determinado material do catodo.

3

2

1

00,50 0,75 1,00,25

-1

f (1015 Hz)

V0 (V)

TABELA 38.1 Função trabalho de diversos elementos.

Elemento Função trabalho (eV)

Alumínio 4,3Carbono 5,0Cobre 4,7

Ouro 5,1

Níquel 5,1Silício 4,8Prata 4,3Sódio 2,7

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208 Física IV

Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade má-xima dos fotoelétrons emitidos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: o valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando a Equação 38.1; com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.EXECUTAR: (a) de acordo com a Equação 38.1,

Kmáx ! eV0 ! (1,60 " 10#19 C) (1,25 V) ! 2,00 " 10#19 J

(Lembre-se de que 1 V ! 1 J/C). Em termos de elétrons-volt, temos

Kmáx ! eV0 ! e(1,25 V) ! 1,25 eV

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multi-plicado por um volt (1 V).(b) A partir de Kmáx ! 1

2mvmáx

2, obtemos

vmáx =!

2Kmáx

m=

!

2 12,00 * 10-19 J2

9,11 * 10-31 kg

= 6,63 * 105 m>s

AVALIAR: o valor de vmáx é de cerca de 0,2% da velocidade da luz; logo, podemos justificar o uso da expressão não relativística para a energia cinética. (Uma justificativa análoga é que a energia cinética de 1,25 eV do elétron é muito menor que sua energia de repouso mc2 ! 0,511 MeV ! 5,11 " 105 eV.)

EXEMPLO 38.2 UMA EXPERIÊNCIA DO EFEITO FOTOELÉTRICO

p =hl

=6,626 * 10-34 J # s

6,50 * 10-7 m

= 1,02 * 10-27 kg # m>s

(Lembre-se de que 1 J ! 1 kg $ m2/s2.)(b) A partir da Equação 38.5, a energia de um único fóton é

E ! pc ! (1,02 " 10#27 kg $ m/s) (3,00 " 108 m/s)

! 3,06 " 10#19 J ! 1,91 eV

O laser pointer emite energia a uma taxa de 5,00 " 10#3 J/s, então ele emite fotoelétrons a uma taxa de

5,00 * 10-3 J>s

3,06 * 10-19 J>fótons= 1,63 * 1016 fótons>s

AVALIAR: o resultado na parte (a) apresenta um valor bastante pequeno; uma molécula comum de oxigênio na temperatura do ar da nossa sala possui momento linear 2.500 vezes maior. Para verificarmos o resultado da parte (b), podemos calcular a energia do fóton a partir da Equação 38.2:

E = hf =hcl

=16,626 * 10-34 J # s2 13,00 * 108 m>s2

6,50 * 10-7 m

= 3,06 * 10-19 J = 1,91 eV

Nosso resultado na parte (b) mostra que uma grande quantidade de fótons deixa o laser pointer a cada segundo, cada um deles com uma quantidade infinitesimal de energia. Dessa forma, a singularidade de cada fóton não é percebida e a energia irradiada parece ser um fluxo contínuo.

(Continuação)

Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um potencial de corte V0 ! 1,0 V para uma luz de comprimento de onda l igual a 600 nm, 2,0 V para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. Determine a função trabalho % para esse material e o valor da constante de Planck h.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho % no efeito fotoelétrico. Conforme a Equação 38.4, um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta como vemos nas figuras 38.5 ou 38.6. Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores das variáveis-alvo % e h.EXECUTAR: reescrevemos a Equação 38.4 na forma

V0 =he

f -f

e

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f ! 0) ocorre no ponto #%/e. As frequências, obtidas pela relação f ! c/l e c ! 3,0 " 108 m/s, são 0,50 " 1015 Hz, 0,75 " 1015 Hz e 1,0 " 1015 Hz, respectivamente. O gráfico pode ser visto na Figura 38.6. Do gráfico, obtemos

- f

e= interseção vertical = -1,0 V

f = 1,0 eV = 1,6 * 10-19 J

e

Inclinação =DV0

Df-

3,0 V - 1 -1,0 V2

1,00 * 1015 s-1 - 0= 4,0 * 10-15 J # s>C

h = Inclinação * e = 14,0 * 10-15 J # s>C2

11,60 * 10-19 C2 = 6,4 * 10-34 J # s

EXEMPLO 38.3 EXPERIÊNCIA PARA DETERMINAR f E h

(Continua)

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Do gráfico, obtemos

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206 Física IV

ou absolutamente nenhuma. O elétron pode se desprender da superfície somente se a energia que ele adquirir for maior que a função trabalho f. Dessa forma, os fotoelétrons serão emitidos somente se hf > f ou f > f/h. Portanto, o postulado de Einstein explica por que o efeito fotoelétrico ocorre apenas para frequências supe-riores a um limite mínimo de frequência. Esse postulado também é consistente com a observação de que maior intensidade provoca maior corrente fotoelétrica (Figura 38.4). Maior intensidade em uma frequência específica significa maior número de fótons absorvidos por segundo e, portanto, maior número de elétrons emitidos por segundo e uma maior corrente fotoelétrica.

O postulado de Einstein também explica por que não existe intervalo algum entre a iluminação e a emissão de fotoelétrons. Assim que fótons com energia suficiente atingem a superfície, elétrons podem absorvê-los e ser liberados.

Finalmente, o postulado de Einstein explica por que o potencial de corte para uma determinada superfície depende apenas da frequência da luz. Lembre-se de que f é a energia mínima necessária para remover um elétron de uma superfície. Einstein aplicou a conservação da energia para descobrir que a energia cinética máxima Kmáx ! 12mvmáx

2 para um elétron emitido é a energia hf obtida de um fóton menos a função trabalho f:

Kmáx ! 12mvmáx2 ! hf – f (38.3)

Substituindo Kmáx ! eV0 da Equação 38.1, encontramos:

eV0 = hf - f (38.4)

Energia cinética máxima do fotoelétron

Energia do fóton absorvido

Função trabalho

Frequência da luz

Efeito fotoelétrico:

Módulo da carga do elétron

Potencial de corte

Constante de Planck

A Equação 38.4 mostra que o potencial de corte V0 aumenta com o aumento da frequência f. A intensidade não aparece na Equação 38.4, então V0 é independente da intensidade. Para uma confirmação da Equação 38.4, podemos medir o potencial de corte V0 para cada um dos muitos valores da frequência f, para um dado material do catodo (Figura 38.5 ). Com um gráfico de V0 como uma função de f, observamos que o resultado é uma linha reta, e podemos determinar tanto a função trabalho f quanto o valor da grandeza h/e. Depois que a carga do elétron −e foi medida por Robert Millikan em 1909, a constante de Planck h também foi determinada a partir dessas medidas.

As funções trabalho e as energias dos elétrons geralmente são expressas em elétrons-volt (eV), unidade definida na Seção 23.2. Com quatro algarismos signi-ficativos, temos

1 eV ! 1,602 " 10#19 J

Para esse nível de precisão, a constante de Planck é

h ! 6,626 " 10#34 J $ s ! 4,136 " 10#15

eV $ s

A Tabela 38.1 lista as funções trabalho para muitos elementos. Esses valores são aproximados porque são muito sensíveis às impurezas da superfície. Quanto maior for a força de trabalho, maior será a frequência mínima necessária para a emissão de fotoelétrons (Figura 38.6 ).

A teoria do fóton também explica outros fenômenos nos quais a luz é absorvida. Um bronzeamento solar é causado quando a energia da luz solar dispara uma reação química nas células da pele que leva ao aumento da produção do pigmento

DADOS MOSTRAM

Fótons

Quando os alunos recebiam um problema sobre fótons e suas propriedades, mais de 20% davam uma resposta incorreta. Erros comuns:

r�Confusão a respeito de energia do fóton, frequência e comprimento de onda. Quanto maior for a frequência de um fóton, maior será a energia dele, e menor será seu comprimento de onda; quanto maior for o comprimento de onda de um fóton, menor será a energia do fóton e mais baixa será sua frequência (veja a Equação 38.2).

r�Confusão sobre o efeito fotoelétrico. Quanto maior for a força de trabalho do material, menor será a energia cinética dos elétrons emitidos quando os fótons de uma determinada frequência brilharem sobre o material (veja a Equação 38.3).

Figura 38.5 Potencial de corte como uma função da frequência para determinado material do catodo.

3

2

1

00,50 0,75 1,00,25

-1

f (1015 Hz)

V0 (V)

TABELA 38.1 Função trabalho de diversos elementos.

Elemento Função trabalho (eV)

Alumínio 4,3Carbono 5,0Cobre 4,7

Ouro 5,1

Níquel 5,1Silício 4,8Prata 4,3Sódio 2,7

Book_SEARS_Vol4.indb 206 16/12/15 5:44 PM

208 Física IV

Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade má-xima dos fotoelétrons emitidos.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: o valor de 1,25 V é o potencial de corte V0 nessa experiência. Podemos encontrar a energia cinética máxima dos fotoelétrons Kmáx usando a Equação 38.1; com esse valor, definimos a velocidade máxima dos fotoelétrons.EXECUTAR: (a) de acordo com a Equação 38.1,

Kmáx ! eV0 ! (1,60 " 10#19 C) (1,25 V) ! 2,00 " 10#19 J

(Lembre-se de que 1 V ! 1 J/C). Em termos de elétrons-volt, temos

Kmáx ! eV0 ! e(1,25 V) ! 1,25 eV

pois o elétron-volt (eV) é o módulo da carga do elétron e multi-plicado por um volt (1 V).(b) A partir de Kmáx ! 1

2mvmáx

2, obtemos

vmáx =!

2Kmáx

m=

!

2 12,00 * 10-19 J2

9,11 * 10-31 kg

= 6,63 * 105 m>s

AVALIAR: o valor de vmáx é de cerca de 0,2% da velocidade da luz; logo, podemos justificar o uso da expressão não relativística para a energia cinética. (Uma justificativa análoga é que a energia cinética de 1,25 eV do elétron é muito menor que sua energia de repouso mc2 ! 0,511 MeV ! 5,11 " 105 eV.)

EXEMPLO 38.2 UMA EXPERIÊNCIA DO EFEITO FOTOELÉTRICO

p =hl

=6,626 * 10-34 J # s

6,50 * 10-7 m

= 1,02 * 10-27 kg # m>s

(Lembre-se de que 1 J ! 1 kg $ m2/s2.)(b) A partir da Equação 38.5, a energia de um único fóton é

E ! pc ! (1,02 " 10#27 kg $ m/s) (3,00 " 108 m/s)

! 3,06 " 10#19 J ! 1,91 eV

O laser pointer emite energia a uma taxa de 5,00 " 10#3 J/s, então ele emite fotoelétrons a uma taxa de

5,00 * 10-3 J>s

3,06 * 10-19 J>fótons= 1,63 * 1016 fótons>s

AVALIAR: o resultado na parte (a) apresenta um valor bastante pequeno; uma molécula comum de oxigênio na temperatura do ar da nossa sala possui momento linear 2.500 vezes maior. Para verificarmos o resultado da parte (b), podemos calcular a energia do fóton a partir da Equação 38.2:

E = hf =hcl

=16,626 * 10-34 J # s2 13,00 * 108 m>s2

6,50 * 10-7 m

= 3,06 * 10-19 J = 1,91 eV

Nosso resultado na parte (b) mostra que uma grande quantidade de fótons deixa o laser pointer a cada segundo, cada um deles com uma quantidade infinitesimal de energia. Dessa forma, a singularidade de cada fóton não é percebida e a energia irradiada parece ser um fluxo contínuo.

(Continuação)

Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um potencial de corte V0 ! 1,0 V para uma luz de comprimento de onda l igual a 600 nm, 2,0 V para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. Determine a função trabalho % para esse material e o valor da constante de Planck h.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo utiliza uma relação entre o potencial de corte V0, a frequência f e a função trabalho % no efeito fotoelétrico. Conforme a Equação 38.4, um gráfico do potencial de corte V0 pela frequência f seria uma linha reta como vemos nas figuras 38.5 ou 38.6. Tal gráfico é completamente determinado por sua inclinação e pelo valor em que ele intercepta o eixo vertical; usaremos esses dados para encontrar os valores das variáveis-alvo % e h.EXECUTAR: reescrevemos a Equação 38.4 na forma

V0 =he

f -f

e

A partir dessa forma, vemos que a inclinação da linha reta é igual a h/e e a interseção com o eixo vertical (correspondente a f ! 0) ocorre no ponto #%/e. As frequências, obtidas pela relação f ! c/l e c ! 3,0 " 108 m/s, são 0,50 " 1015 Hz, 0,75 " 1015 Hz e 1,0 " 1015 Hz, respectivamente. O gráfico pode ser visto na Figura 38.6. Do gráfico, obtemos

- f

e= interseção vertical = -1,0 V

f = 1,0 eV = 1,6 * 10-19 J

e

Inclinação =DV0

Df-

3,0 V - 1 -1,0 V2

1,00 * 1015 s-1 - 0= 4,0 * 10-15 J # s>C

h = Inclinação * e = 14,0 * 10-15 J # s>C2

11,60 * 10-19 C2 = 6,4 * 10-34 J # s

EXEMPLO 38.3 EXPERIÊNCIA PARA DETERMINAR f E h

(Continua)

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O valor obtido difere em 3% do valor aceito.

Page 13: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

13

Ex. 4

214 Física IV

Agora substituímos essa expressão de Pe2 na Equação 38.8 e desenvolvemos o

quadrado do lado esquerdo. Colocando em evidência o fator comum c2, diversos termos se cancelam e, quando a relação resultante é dividida por (pp'), encontramos

mcp'

-mcp

= 1 - cos f (38.11)

Finalmente, substituindo p' ! h/l' e p ! h/l e, a seguir, multiplicando por h/mc, obtemos a Equação 38.7.

Quando os comprimentos de onda dos raios X espalhados em um certo ângulo são medidos, a curva da intensidade por unidade de comprimento de onda em função do comprimento de onda apresenta dois picos (Figura 38.13). O pico mais elevado corresponde ao espalhamento Compton. O comprimento de onda mais curto, desig-nado por l0, coincide com o comprimento de onda do raio X incidente e corresponde a um raio X espalhado de elétrons fortemente ligados. Nesse tipo de processo de espalhamento, todo o átomo deve recuar, de modo que m na Equação 38.7 deve ser a massa do átomo todo e não apenas a massa de um único elétron. As correções dos deslocamentos do comprimento de onda resultante são desprezíveis.

Você usa os fótons dos raios X de 0,124 nm para uma expe-riência de espalhamento Compton. (a) Em que ângulo o com-primento de onda dos raios X espalhados é 1,0% maior que o comprimento de onda dos raios X incidentes? (b) E em que ângulo ele é 0,050% maior?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: usaremos a relação entre ângulo de espalhamento e deslocamento de comprimento de onda no efeito Compton. Em cada um dos casos, nossa variável-alvo é o ângulo f (veja a Figura 38.10b). Nós resolvemos " por meio da Equação 38.27.EXECUTAR: (a) na Equação 38.7, desejamos que #l ! l' $ l seja igual a 1% de 0,124 nm, isto é, #l ! 0,00124 nm ! 1,24 % 10$ 12 m. Usando o valor h/mc ! 2,426 % 10$ 12 m, obtemos

∆l =h

mc 11 - cos f2

cos f = 1 -∆l

h>mc= 1 -

1,24 * 10-12 m

2,426 * 10-12 m= 0,4889

f = 60,7°

(b) Para que #l seja 0,050% de 0,124 nm, isto é, 6,2 % 10$ 14 m,

cos f = 1 -6,2 * 10-14 m

2,426 * 10-12 m= 0,9744

f = 13,0°

AVALIAR: nossos resultados mostram que ângulos menores fornecem menores deslocamentos de comprimento de onda. Portanto, em uma colisão com ângulos rasantes, a perda de ener-gia do fóton e a energia de recuo do elétron são menores que no caso de ângulos de espalhamento maiores. Isso é exatamente o que esperaríamos de uma colisão elástica, quer seja entre um fóton e um elétron, quer seja entre duas bolas de bilhar.

EXEMPLO 38.5 ESPALHAMENTO COMPTON

Produção de parOutro efeito que pode ser explicado apenas pela teoria do fóton envolve os

raios gama, a variedade de radiação eletromagnética com menor comprimento de onda e maior frequência. Se um fóton de raio gama com comprimento de onda suficientemente pequeno é atirado em direção a um alvo, pode não se espalhar. Como mostrado na Figura 38.14 , o fóton pode desaparecer completamente e dar origem a duas outras partículas: um elétron e um pósitron (uma partícula que tem a mesma massa de repouso m que um elétron, mas possui uma carga positiva & e em vez da carga negativa $ e de um elétron). Esse processo, chamado de pro-dução de par, foi observado pela primeira vez pelos físicos Patrick Blackett e Giuseppe Occhialini em 1933. O elétron e o pósitron precisam ser produzidos em pares a fim de conservar a carga elétrica: o fóton incidente tem carga zero e o par elétron$ pósitron possui carga resultante de ($ e) & (& e) ! 0. Deve ser fornecida energia suficiente para a energia de repouso 2mc2 das duas partículas. Com quatro algarismos significativos, sua energia mínima é

Figura 38.13 Intensidade por unidade de comprimento de onda em função do comprimento de onda para fótons espalhados em um ângulo de 135° em uma experiência de espalhamento Compton.

lInte

nsid

ade

por u

nida

de

de c

ompr

imen

to d

e on

da

l0 l'

Fótons espalhados a partir de elétrons firmemente ligados passam por um deslocamento de comprimento de onda desprezível.

Fótons espalhados a partir de elétrons com ligações frouxas passam por um deslocamento de comprimento de onda dado pela Equação 38.7.

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14

(a) Usaremos a relação entre ângulo de espalhamento e deslocamento de comprimento de onda no efeito Compton.

Na equação acima, queremos que Δ𝜆 = 𝜆’ – 𝜆 seja igual a 1% de 0,124 nm, isto é, Δ𝜆 = 0,00124 nm = 1,24 ×1012 m.

Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 213

Figura 38.11 Experiência do efeito Compton.

A variação no comprimento de onda depende do ângulo em que os fótons são espalhados.

Fonte de raios X

Fótons incidentes Alvo

DetectorFótons espalhados

ll'

f

(38.7)

Constante de Planck

Comprimento de onda da radiação espalhada

Comprimento de onda da radiação incidente

Espalhamento Compton: l′ - l = 11 - cosf2

mch

Velocidade da luz no vácuo

Massa de repouso do elétron

Ângulo de espalhamento

Em outras palavras, l' é maior que l. A grandeza h/mc que aparece na Equação 38.7 tem dimensão de comprimento. Seu valor numérico é

hmc

=6,626 * 10-34 J # s

19,109 * 10-31 kg2 12,998 * 108 m>s2= 2,426 * 10-12 m

Compton mostrou que a teoria de Einstein sobre fótons, combinada com os prin-cípios da conservação de energia e da conservação do momento linear, fornece uma explicação bem clara dos seus resultados experimentais. Fazemos um esboço da dedução a seguir. A energia de recuo do elétron pode estar na região relativística, de modo que usaremos as relações relativísticas para a energia e o momento linear, equações 37.39 e 37.40. O fóton incidente possui momento linear , com módulo p, e energia pc. O fóton espalhado possui momento linear , com módulo p', e energia p'c. O elétron está inicialmente em repouso, de modo que seu momento linear inicial é igual a zero e sua energia inicial é sua energia de repouso mc2. O momento linear final do elétron e possui módulo Pe, e a energia final do elétron é dada por Ee

2 ! (mc2)2 " (Pec)2. Então, o princípio da conservação da energia permite escrever

pc "mc2 ! p'c " Ee

Reagrupando os termos, encontramos

(pc – p'c " mc2)2 ! Ee2 ! (mc2)2 " (Pec)2 (38.8)

Podemos eliminar o módulo do momento linear e do elétron da Equação 38.8 usando a lei da conservação do momento linear. Como mostra a Figura 38.12, vemos que ! ' " e, ou

e ! # ' (38.9)

Fazendo o produto escalar de cada membro da Equação 38.9 pelo próprio vetor de cada membro, obtemos

Pe2 ! p2 " p'2 – 2pp' cos f (38.10)

Figura 38.12 Diagrama de vetores mostrando a conservação do momento linear no espalhamento Compton.

pS

pS

f

fSp'

Sp'

SPe

SPe

Conservação do momento linear durante o espalhamento Compton

Book_SEARS_Vol4.indb 213 16/12/15 5:44 PM

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Usando o valor h/mc = 2,426×1012 m, obtemos

214 Física IV

Agora substituímos essa expressão de Pe2 na Equação 38.8 e desenvolvemos o

quadrado do lado esquerdo. Colocando em evidência o fator comum c2, diversos termos se cancelam e, quando a relação resultante é dividida por (pp'), encontramos

mcp'

-mcp

= 1 - cos f (38.11)

Finalmente, substituindo p' ! h/l' e p ! h/l e, a seguir, multiplicando por h/mc, obtemos a Equação 38.7.

Quando os comprimentos de onda dos raios X espalhados em um certo ângulo são medidos, a curva da intensidade por unidade de comprimento de onda em função do comprimento de onda apresenta dois picos (Figura 38.13). O pico mais elevado corresponde ao espalhamento Compton. O comprimento de onda mais curto, desig-nado por l0, coincide com o comprimento de onda do raio X incidente e corresponde a um raio X espalhado de elétrons fortemente ligados. Nesse tipo de processo de espalhamento, todo o átomo deve recuar, de modo que m na Equação 38.7 deve ser a massa do átomo todo e não apenas a massa de um único elétron. As correções dos deslocamentos do comprimento de onda resultante são desprezíveis.

Você usa os fótons dos raios X de 0,124 nm para uma expe-riência de espalhamento Compton. (a) Em que ângulo o com-primento de onda dos raios X espalhados é 1,0% maior que o comprimento de onda dos raios X incidentes? (b) E em que ângulo ele é 0,050% maior?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: usaremos a relação entre ângulo de espalhamento e deslocamento de comprimento de onda no efeito Compton. Em cada um dos casos, nossa variável-alvo é o ângulo f (veja a Figura 38.10b). Nós resolvemos " por meio da Equação 38.27.EXECUTAR: (a) na Equação 38.7, desejamos que #l ! l' $ l seja igual a 1% de 0,124 nm, isto é, #l ! 0,00124 nm ! 1,24 % 10$ 12 m. Usando o valor h/mc ! 2,426 % 10$ 12 m, obtemos

∆l =h

mc 11 - cos f2

cos f = 1 -∆l

h>mc= 1 -

1,24 * 10-12 m

2,426 * 10-12 m= 0,4889

f = 60,7°

(b) Para que #l seja 0,050% de 0,124 nm, isto é, 6,2 % 10$ 14 m,

cos f = 1 -6,2 * 10-14 m

2,426 * 10-12 m= 0,9744

f = 13,0°

AVALIAR: nossos resultados mostram que ângulos menores fornecem menores deslocamentos de comprimento de onda. Portanto, em uma colisão com ângulos rasantes, a perda de ener-gia do fóton e a energia de recuo do elétron são menores que no caso de ângulos de espalhamento maiores. Isso é exatamente o que esperaríamos de uma colisão elástica, quer seja entre um fóton e um elétron, quer seja entre duas bolas de bilhar.

EXEMPLO 38.5 ESPALHAMENTO COMPTON

Produção de parOutro efeito que pode ser explicado apenas pela teoria do fóton envolve os

raios gama, a variedade de radiação eletromagnética com menor comprimento de onda e maior frequência. Se um fóton de raio gama com comprimento de onda suficientemente pequeno é atirado em direção a um alvo, pode não se espalhar. Como mostrado na Figura 38.14 , o fóton pode desaparecer completamente e dar origem a duas outras partículas: um elétron e um pósitron (uma partícula que tem a mesma massa de repouso m que um elétron, mas possui uma carga positiva & e em vez da carga negativa $ e de um elétron). Esse processo, chamado de pro-dução de par, foi observado pela primeira vez pelos físicos Patrick Blackett e Giuseppe Occhialini em 1933. O elétron e o pósitron precisam ser produzidos em pares a fim de conservar a carga elétrica: o fóton incidente tem carga zero e o par elétron$ pósitron possui carga resultante de ($ e) & (& e) ! 0. Deve ser fornecida energia suficiente para a energia de repouso 2mc2 das duas partículas. Com quatro algarismos significativos, sua energia mínima é

Figura 38.13 Intensidade por unidade de comprimento de onda em função do comprimento de onda para fótons espalhados em um ângulo de 135° em uma experiência de espalhamento Compton.

lInte

nsid

ade

por u

nida

de

de c

ompr

imen

to d

e on

da

l0 l'

Fótons espalhados a partir de elétrons firmemente ligados passam por um deslocamento de comprimento de onda desprezível.

Fótons espalhados a partir de elétrons com ligações frouxas passam por um deslocamento de comprimento de onda dado pela Equação 38.7.

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214 Física IV

Agora substituímos essa expressão de Pe2 na Equação 38.8 e desenvolvemos o

quadrado do lado esquerdo. Colocando em evidência o fator comum c2, diversos termos se cancelam e, quando a relação resultante é dividida por (pp'), encontramos

mcp'

-mcp

= 1 - cos f (38.11)

Finalmente, substituindo p' ! h/l' e p ! h/l e, a seguir, multiplicando por h/mc, obtemos a Equação 38.7.

Quando os comprimentos de onda dos raios X espalhados em um certo ângulo são medidos, a curva da intensidade por unidade de comprimento de onda em função do comprimento de onda apresenta dois picos (Figura 38.13). O pico mais elevado corresponde ao espalhamento Compton. O comprimento de onda mais curto, desig-nado por l0, coincide com o comprimento de onda do raio X incidente e corresponde a um raio X espalhado de elétrons fortemente ligados. Nesse tipo de processo de espalhamento, todo o átomo deve recuar, de modo que m na Equação 38.7 deve ser a massa do átomo todo e não apenas a massa de um único elétron. As correções dos deslocamentos do comprimento de onda resultante são desprezíveis.

Você usa os fótons dos raios X de 0,124 nm para uma expe-riência de espalhamento Compton. (a) Em que ângulo o com-primento de onda dos raios X espalhados é 1,0% maior que o comprimento de onda dos raios X incidentes? (b) E em que ângulo ele é 0,050% maior?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: usaremos a relação entre ângulo de espalhamento e deslocamento de comprimento de onda no efeito Compton. Em cada um dos casos, nossa variável-alvo é o ângulo f (veja a Figura 38.10b). Nós resolvemos " por meio da Equação 38.27.EXECUTAR: (a) na Equação 38.7, desejamos que #l ! l' $ l seja igual a 1% de 0,124 nm, isto é, #l ! 0,00124 nm ! 1,24 % 10$ 12 m. Usando o valor h/mc ! 2,426 % 10$ 12 m, obtemos

∆l =h

mc 11 - cos f2

cos f = 1 -∆l

h>mc= 1 -

1,24 * 10-12 m

2,426 * 10-12 m= 0,4889

f = 60,7°

(b) Para que #l seja 0,050% de 0,124 nm, isto é, 6,2 % 10$ 14 m,

cos f = 1 -6,2 * 10-14 m

2,426 * 10-12 m= 0,9744

f = 13,0°

AVALIAR: nossos resultados mostram que ângulos menores fornecem menores deslocamentos de comprimento de onda. Portanto, em uma colisão com ângulos rasantes, a perda de ener-gia do fóton e a energia de recuo do elétron são menores que no caso de ângulos de espalhamento maiores. Isso é exatamente o que esperaríamos de uma colisão elástica, quer seja entre um fóton e um elétron, quer seja entre duas bolas de bilhar.

EXEMPLO 38.5 ESPALHAMENTO COMPTON

Produção de parOutro efeito que pode ser explicado apenas pela teoria do fóton envolve os

raios gama, a variedade de radiação eletromagnética com menor comprimento de onda e maior frequência. Se um fóton de raio gama com comprimento de onda suficientemente pequeno é atirado em direção a um alvo, pode não se espalhar. Como mostrado na Figura 38.14 , o fóton pode desaparecer completamente e dar origem a duas outras partículas: um elétron e um pósitron (uma partícula que tem a mesma massa de repouso m que um elétron, mas possui uma carga positiva & e em vez da carga negativa $ e de um elétron). Esse processo, chamado de pro-dução de par, foi observado pela primeira vez pelos físicos Patrick Blackett e Giuseppe Occhialini em 1933. O elétron e o pósitron precisam ser produzidos em pares a fim de conservar a carga elétrica: o fóton incidente tem carga zero e o par elétron$ pósitron possui carga resultante de ($ e) & (& e) ! 0. Deve ser fornecida energia suficiente para a energia de repouso 2mc2 das duas partículas. Com quatro algarismos significativos, sua energia mínima é

Figura 38.13 Intensidade por unidade de comprimento de onda em função do comprimento de onda para fótons espalhados em um ângulo de 135° em uma experiência de espalhamento Compton.

lInte

nsid

ade

por u

nida

de

de c

ompr

imen

to d

e on

da

l0 l'

Fótons espalhados a partir de elétrons firmemente ligados passam por um deslocamento de comprimento de onda desprezível.

Fótons espalhados a partir de elétrons com ligações frouxas passam por um deslocamento de comprimento de onda dado pela Equação 38.7.

Book_SEARS_Vol4.indb 214 16/12/15 5:44 PM

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214 Física IV

Agora substituímos essa expressão de Pe2 na Equação 38.8 e desenvolvemos o

quadrado do lado esquerdo. Colocando em evidência o fator comum c2, diversos termos se cancelam e, quando a relação resultante é dividida por (pp'), encontramos

mcp'

-mcp

= 1 - cos f (38.11)

Finalmente, substituindo p' ! h/l' e p ! h/l e, a seguir, multiplicando por h/mc, obtemos a Equação 38.7.

Quando os comprimentos de onda dos raios X espalhados em um certo ângulo são medidos, a curva da intensidade por unidade de comprimento de onda em função do comprimento de onda apresenta dois picos (Figura 38.13). O pico mais elevado corresponde ao espalhamento Compton. O comprimento de onda mais curto, desig-nado por l0, coincide com o comprimento de onda do raio X incidente e corresponde a um raio X espalhado de elétrons fortemente ligados. Nesse tipo de processo de espalhamento, todo o átomo deve recuar, de modo que m na Equação 38.7 deve ser a massa do átomo todo e não apenas a massa de um único elétron. As correções dos deslocamentos do comprimento de onda resultante são desprezíveis.

Você usa os fótons dos raios X de 0,124 nm para uma expe-riência de espalhamento Compton. (a) Em que ângulo o com-primento de onda dos raios X espalhados é 1,0% maior que o comprimento de onda dos raios X incidentes? (b) E em que ângulo ele é 0,050% maior?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: usaremos a relação entre ângulo de espalhamento e deslocamento de comprimento de onda no efeito Compton. Em cada um dos casos, nossa variável-alvo é o ângulo f (veja a Figura 38.10b). Nós resolvemos " por meio da Equação 38.27.EXECUTAR: (a) na Equação 38.7, desejamos que #l ! l' $ l seja igual a 1% de 0,124 nm, isto é, #l ! 0,00124 nm ! 1,24 % 10$ 12 m. Usando o valor h/mc ! 2,426 % 10$ 12 m, obtemos

∆l =h

mc 11 - cos f2

cos f = 1 -∆l

h>mc= 1 -

1,24 * 10-12 m

2,426 * 10-12 m= 0,4889

f = 60,7°

(b) Para que #l seja 0,050% de 0,124 nm, isto é, 6,2 % 10$ 14 m,

cos f = 1 -6,2 * 10-14 m

2,426 * 10-12 m= 0,9744

f = 13,0°

AVALIAR: nossos resultados mostram que ângulos menores fornecem menores deslocamentos de comprimento de onda. Portanto, em uma colisão com ângulos rasantes, a perda de ener-gia do fóton e a energia de recuo do elétron são menores que no caso de ângulos de espalhamento maiores. Isso é exatamente o que esperaríamos de uma colisão elástica, quer seja entre um fóton e um elétron, quer seja entre duas bolas de bilhar.

EXEMPLO 38.5 ESPALHAMENTO COMPTON

Produção de parOutro efeito que pode ser explicado apenas pela teoria do fóton envolve os

raios gama, a variedade de radiação eletromagnética com menor comprimento de onda e maior frequência. Se um fóton de raio gama com comprimento de onda suficientemente pequeno é atirado em direção a um alvo, pode não se espalhar. Como mostrado na Figura 38.14 , o fóton pode desaparecer completamente e dar origem a duas outras partículas: um elétron e um pósitron (uma partícula que tem a mesma massa de repouso m que um elétron, mas possui uma carga positiva & e em vez da carga negativa $ e de um elétron). Esse processo, chamado de pro-dução de par, foi observado pela primeira vez pelos físicos Patrick Blackett e Giuseppe Occhialini em 1933. O elétron e o pósitron precisam ser produzidos em pares a fim de conservar a carga elétrica: o fóton incidente tem carga zero e o par elétron$ pósitron possui carga resultante de ($ e) & (& e) ! 0. Deve ser fornecida energia suficiente para a energia de repouso 2mc2 das duas partículas. Com quatro algarismos significativos, sua energia mínima é

Figura 38.13 Intensidade por unidade de comprimento de onda em função do comprimento de onda para fótons espalhados em um ângulo de 135° em uma experiência de espalhamento Compton.

lInte

nsid

ade

por u

nida

de

de c

ompr

imen

to d

e on

da

l0 l'

Fótons espalhados a partir de elétrons firmemente ligados passam por um deslocamento de comprimento de onda desprezível.

Fótons espalhados a partir de elétrons com ligações frouxas passam por um deslocamento de comprimento de onda dado pela Equação 38.7.

Book_SEARS_Vol4.indb 214 16/12/15 5:44 PM

Os resultados mostram que ângulos menores fornecem menores deslocamentos de comprimento de onda.

Portanto, em uma colisão com ângulos rasantes, a perda de energia do fóton e a energia de recuo do elétron são menores que no caso de ângulos de espalhamento maiores.

Isso é exatamente o que esperaríamos de uma colisão elástica, quer seja entre um fóton e um elétron, quer seja entre duas bolas de bilhar.

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Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 223

Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe contínuo. Um laser de telúrio-safira pode pro-duzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultra-curtos que duram apenas 4,00 ! 10"15 s (4,00 femtossegundos, ou 4,00 fs). A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é 2,00 mJ # 2,00 ! 10"6 J, e os pulsos se propagam no sentido positivo da direção x. Determine: (a) a frequência da luz; (b) a energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso; (c) a incerteza mínima da frequência da luz no pulso; (d) o comprimento espacial do pulso, em metros e como um múltiplo do componente; (e) o momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso; e (f) o número aproximado de fótons no pulso.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: é importante distinguir entre o pulso de luz como um todo (que contém um número muito grande de fótons) e um fóton individual dentro do pulso. A duração do pulso de 4,00 fs representa o tempo que o pulso leva para emergir do laser; essa também é a incerteza do tempo para um fóton indi-vidual dentro do pulso, pois não sabemos quando esse fóton surge durante o pulso. De modo semelhante, a incerteza da posição de um fóton é o comprimento espiral do pulso, pois determinado fóton poderia ser encontrado em qualquer lugar dentro do pulso. Para encontrar nossas variáveis-alvo, usaremos as relações para a energia e o momento linear do fóton da Seção 38.1 e os dois princípios da incerteza de Heisenberg, equações 38.17 e 38.24.EXECUTAR: (a) a partir da relação c # lf, a frequência da luz de 800 nm é

f =cl

=3,00 * 108 m>s

8,00 * 10-7 m= 3,75 * 1014 Hz

(b) Pela Equação 38.2, a energia de um único fóton de 800 nm é

E # hf # (6,626 ! 10"34 J $ s) (3,75 ! 1014 Hz)

# 2,48 ! 10"19 J

A incerteza do tempo é igual à duração do pulso, %t # 4,00 ! 10"15 s. Pela Equação 38.24, a incerteza mínima na energia cor-responde ao caso %t %E # U/2, de modo que

%E =U

2%t=

1,055 * 10-34 J # s

2 14,00 * 10-15 s 2= 1,32 * 10-20 J

Isso é 5,3% da energia do fóton E # 2,48 ! 10"19 J, de modo que a energia de determinado fóton é incerta em pelo menos 5,3%. A incerteza poderia ser maior, dependendo da forma do pulso.(c) Pela relação f # E/h, a incerteza mínima da frequência é

%f =%Eh

=1,32 * 10-20 J

6,626 * 10-34 J # s = 1,99 * 1013 Hz

Isso é 5,3% da frequência f # 3,75 ! 1014 Hz que encontramos no item (a). Logo, esses pulsos ultracurtos não possuem uma

frequência definida; a frequência média de muitos desses pulsos será 3,75 ! 1014 Hz, mas a frequência de qualquer pulso indi-vidual pode ser qualquer coisa entre 5,3% maior a 5,3% menor.(d) O comprimento espacial %x do pulso é a distância que a frente do pulso atravessa durante o tempo %t # 4,00 ! 10"15 s neces-sário para o pulso emergir do laser:

%x = c%t = 13,00 * 108 m>s2 14,00 * 10-15 s2

= 1,20 * 10-6 m

%x =1,20 * 10-6 m

8,00 * 10-7 m>comprimento de onda

= 1,50 comprimento de onda

Isso justifica o termo ultracurto. O pulso tem uma extensão menor que a de dois comprimentos de onda!(e) Pela Equação 38.5, o momento linear de um fóton médio no pulso é

px =Ec

=2,48 * 10-19 J

3,00 * 108 m>s= 8,28 * 10-28 kg # m>s

A incerteza espacial é %x # 1,20 ! 10"6 m. Pela Equação 38.17, a incerteza mínima do momento linear corresponde a %x %px # U/2, de modo que

%px =U

2%x=

1,055 * 10-34 J # s

2 11,20 * 10-6 m2= 4,40 * 10-29 kg # m>s

Isso é 5,3% do momento linear médio px do fóton. Um fóton individual dentro do pulso pode ter um momento linear 5,3% maior ou menor que a média.(f) Para estimar o número de fótons no pulso, dividimos a energia total do pulso pela energia média do fóton:

2,00 * 10-6 J>pulso

2,48 * 10-19 J>fótons= 8,06 * 1012 fótons >pulso

A energia de um fóton individual é incerta, de modo que este é o número médio de fótons por pulso.AVALIAR: os percentuais de incerteza na energia e no momento linear são grandes porque esse pulso de laser é muito curto. Se o pulso fosse maior, tanto %t quanto %x seriam maiores e as incertezas correspondentes na energia e no momento linear do fóton seriam menores.Nosso cálculo do item (f) mostra uma distinção importante entre os fótons e outros tipos de partículas. A princípio, é possível fazer uma contagem exata do número de elétrons, fótons e nêutrons em um objeto, como este livro. Se você repetisse a contagem, obteria a mesma resposta da primeira vez. Ao contrário, se contasse o nú-mero de fótons em um pulso a laser, não necessariamente obteria a mesma resposta todas as vezes! A incerteza na energia do fóton significa que, em cada contagem, poderia haver um número dife-rente de fótons cujas energias individuais somam 2,00 ! 10"6 J. Esta é outra das muitas propriedades estranhas dos fótons.

EXEMPLO 38.7 PULSOS DE LASER ULTRACURTOS E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

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Ex. 5

Page 18: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

18

É importante distinguir entre o pulso de luz como um todo (que contém um número muito grande de fótons) e um fóton individual dentro do pulso.

A duração do pulso de 4,00 fs representa o tempo que o pulso leva para emergir do laser; essa também é a incerteza do tempo para um fóton individual dentro do pulso, pois não sabemos quando esse fóton surge durante o pulso.

De modo semelhante, a incerteza da posição de um fóton é o comprimento do pulso, pois determinado fóton poderia ser encontrado em qualquer lugar dentro do pulso.

Page 19: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

19

(a) A frequência da luz de 800 nm é

(b) a energia de um único fóton de 800 nm é

Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 223

Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe contínuo. Um laser de telúrio-safira pode pro-duzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultra-curtos que duram apenas 4,00 ! 10"15 s (4,00 femtossegundos, ou 4,00 fs). A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é 2,00 mJ # 2,00 ! 10"6 J, e os pulsos se propagam no sentido positivo da direção x. Determine: (a) a frequência da luz; (b) a energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso; (c) a incerteza mínima da frequência da luz no pulso; (d) o comprimento espacial do pulso, em metros e como um múltiplo do componente; (e) o momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso; e (f) o número aproximado de fótons no pulso.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: é importante distinguir entre o pulso de luz como um todo (que contém um número muito grande de fótons) e um fóton individual dentro do pulso. A duração do pulso de 4,00 fs representa o tempo que o pulso leva para emergir do laser; essa também é a incerteza do tempo para um fóton indi-vidual dentro do pulso, pois não sabemos quando esse fóton surge durante o pulso. De modo semelhante, a incerteza da posição de um fóton é o comprimento espiral do pulso, pois determinado fóton poderia ser encontrado em qualquer lugar dentro do pulso. Para encontrar nossas variáveis-alvo, usaremos as relações para a energia e o momento linear do fóton da Seção 38.1 e os dois princípios da incerteza de Heisenberg, equações 38.17 e 38.24.EXECUTAR: (a) a partir da relação c # lf, a frequência da luz de 800 nm é

f =cl

=3,00 * 108 m>s

8,00 * 10-7 m= 3,75 * 1014 Hz

(b) Pela Equação 38.2, a energia de um único fóton de 800 nm é

E # hf # (6,626 ! 10"34 J $ s) (3,75 ! 1014 Hz)

# 2,48 ! 10"19 J

A incerteza do tempo é igual à duração do pulso, %t # 4,00 ! 10"15 s. Pela Equação 38.24, a incerteza mínima na energia cor-responde ao caso %t %E # U/2, de modo que

%E =U

2%t=

1,055 * 10-34 J # s

2 14,00 * 10-15 s 2= 1,32 * 10-20 J

Isso é 5,3% da energia do fóton E # 2,48 ! 10"19 J, de modo que a energia de determinado fóton é incerta em pelo menos 5,3%. A incerteza poderia ser maior, dependendo da forma do pulso.(c) Pela relação f # E/h, a incerteza mínima da frequência é

%f =%Eh

=1,32 * 10-20 J

6,626 * 10-34 J # s = 1,99 * 1013 Hz

Isso é 5,3% da frequência f # 3,75 ! 1014 Hz que encontramos no item (a). Logo, esses pulsos ultracurtos não possuem uma

frequência definida; a frequência média de muitos desses pulsos será 3,75 ! 1014 Hz, mas a frequência de qualquer pulso indi-vidual pode ser qualquer coisa entre 5,3% maior a 5,3% menor.(d) O comprimento espacial %x do pulso é a distância que a frente do pulso atravessa durante o tempo %t # 4,00 ! 10"15 s neces-sário para o pulso emergir do laser:

%x = c%t = 13,00 * 108 m>s2 14,00 * 10-15 s2

= 1,20 * 10-6 m

%x =1,20 * 10-6 m

8,00 * 10-7 m>comprimento de onda

= 1,50 comprimento de onda

Isso justifica o termo ultracurto. O pulso tem uma extensão menor que a de dois comprimentos de onda!(e) Pela Equação 38.5, o momento linear de um fóton médio no pulso é

px =Ec

=2,48 * 10-19 J

3,00 * 108 m>s= 8,28 * 10-28 kg # m>s

A incerteza espacial é %x # 1,20 ! 10"6 m. Pela Equação 38.17, a incerteza mínima do momento linear corresponde a %x %px # U/2, de modo que

%px =U

2%x=

1,055 * 10-34 J # s

2 11,20 * 10-6 m2= 4,40 * 10-29 kg # m>s

Isso é 5,3% do momento linear médio px do fóton. Um fóton individual dentro do pulso pode ter um momento linear 5,3% maior ou menor que a média.(f) Para estimar o número de fótons no pulso, dividimos a energia total do pulso pela energia média do fóton:

2,00 * 10-6 J>pulso

2,48 * 10-19 J>fótons= 8,06 * 1012 fótons >pulso

A energia de um fóton individual é incerta, de modo que este é o número médio de fótons por pulso.AVALIAR: os percentuais de incerteza na energia e no momento linear são grandes porque esse pulso de laser é muito curto. Se o pulso fosse maior, tanto %t quanto %x seriam maiores e as incertezas correspondentes na energia e no momento linear do fóton seriam menores.Nosso cálculo do item (f) mostra uma distinção importante entre os fótons e outros tipos de partículas. A princípio, é possível fazer uma contagem exata do número de elétrons, fótons e nêutrons em um objeto, como este livro. Se você repetisse a contagem, obteria a mesma resposta da primeira vez. Ao contrário, se contasse o nú-mero de fótons em um pulso a laser, não necessariamente obteria a mesma resposta todas as vezes! A incerteza na energia do fóton significa que, em cada contagem, poderia haver um número dife-rente de fótons cujas energias individuais somam 2,00 ! 10"6 J. Esta é outra das muitas propriedades estranhas dos fótons.

EXEMPLO 38.7 PULSOS DE LASER ULTRACURTOS E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

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Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 223

Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe contínuo. Um laser de telúrio-safira pode pro-duzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultra-curtos que duram apenas 4,00 ! 10"15 s (4,00 femtossegundos, ou 4,00 fs). A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é 2,00 mJ # 2,00 ! 10"6 J, e os pulsos se propagam no sentido positivo da direção x. Determine: (a) a frequência da luz; (b) a energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso; (c) a incerteza mínima da frequência da luz no pulso; (d) o comprimento espacial do pulso, em metros e como um múltiplo do componente; (e) o momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso; e (f) o número aproximado de fótons no pulso.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: é importante distinguir entre o pulso de luz como um todo (que contém um número muito grande de fótons) e um fóton individual dentro do pulso. A duração do pulso de 4,00 fs representa o tempo que o pulso leva para emergir do laser; essa também é a incerteza do tempo para um fóton indi-vidual dentro do pulso, pois não sabemos quando esse fóton surge durante o pulso. De modo semelhante, a incerteza da posição de um fóton é o comprimento espiral do pulso, pois determinado fóton poderia ser encontrado em qualquer lugar dentro do pulso. Para encontrar nossas variáveis-alvo, usaremos as relações para a energia e o momento linear do fóton da Seção 38.1 e os dois princípios da incerteza de Heisenberg, equações 38.17 e 38.24.EXECUTAR: (a) a partir da relação c # lf, a frequência da luz de 800 nm é

f =cl

=3,00 * 108 m>s

8,00 * 10-7 m= 3,75 * 1014 Hz

(b) Pela Equação 38.2, a energia de um único fóton de 800 nm é

E # hf # (6,626 ! 10"34 J $ s) (3,75 ! 1014 Hz)

# 2,48 ! 10"19 J

A incerteza do tempo é igual à duração do pulso, %t # 4,00 ! 10"15 s. Pela Equação 38.24, a incerteza mínima na energia cor-responde ao caso %t %E # U/2, de modo que

%E =U

2%t=

1,055 * 10-34 J # s

2 14,00 * 10-15 s 2= 1,32 * 10-20 J

Isso é 5,3% da energia do fóton E # 2,48 ! 10"19 J, de modo que a energia de determinado fóton é incerta em pelo menos 5,3%. A incerteza poderia ser maior, dependendo da forma do pulso.(c) Pela relação f # E/h, a incerteza mínima da frequência é

%f =%Eh

=1,32 * 10-20 J

6,626 * 10-34 J # s = 1,99 * 1013 Hz

Isso é 5,3% da frequência f # 3,75 ! 1014 Hz que encontramos no item (a). Logo, esses pulsos ultracurtos não possuem uma

frequência definida; a frequência média de muitos desses pulsos será 3,75 ! 1014 Hz, mas a frequência de qualquer pulso indi-vidual pode ser qualquer coisa entre 5,3% maior a 5,3% menor.(d) O comprimento espacial %x do pulso é a distância que a frente do pulso atravessa durante o tempo %t # 4,00 ! 10"15 s neces-sário para o pulso emergir do laser:

%x = c%t = 13,00 * 108 m>s2 14,00 * 10-15 s2

= 1,20 * 10-6 m

%x =1,20 * 10-6 m

8,00 * 10-7 m>comprimento de onda

= 1,50 comprimento de onda

Isso justifica o termo ultracurto. O pulso tem uma extensão menor que a de dois comprimentos de onda!(e) Pela Equação 38.5, o momento linear de um fóton médio no pulso é

px =Ec

=2,48 * 10-19 J

3,00 * 108 m>s= 8,28 * 10-28 kg # m>s

A incerteza espacial é %x # 1,20 ! 10"6 m. Pela Equação 38.17, a incerteza mínima do momento linear corresponde a %x %px # U/2, de modo que

%px =U

2%x=

1,055 * 10-34 J # s

2 11,20 * 10-6 m2= 4,40 * 10-29 kg # m>s

Isso é 5,3% do momento linear médio px do fóton. Um fóton individual dentro do pulso pode ter um momento linear 5,3% maior ou menor que a média.(f) Para estimar o número de fótons no pulso, dividimos a energia total do pulso pela energia média do fóton:

2,00 * 10-6 J>pulso

2,48 * 10-19 J>fótons= 8,06 * 1012 fótons >pulso

A energia de um fóton individual é incerta, de modo que este é o número médio de fótons por pulso.AVALIAR: os percentuais de incerteza na energia e no momento linear são grandes porque esse pulso de laser é muito curto. Se o pulso fosse maior, tanto %t quanto %x seriam maiores e as incertezas correspondentes na energia e no momento linear do fóton seriam menores.Nosso cálculo do item (f) mostra uma distinção importante entre os fótons e outros tipos de partículas. A princípio, é possível fazer uma contagem exata do número de elétrons, fótons e nêutrons em um objeto, como este livro. Se você repetisse a contagem, obteria a mesma resposta da primeira vez. Ao contrário, se contasse o nú-mero de fótons em um pulso a laser, não necessariamente obteria a mesma resposta todas as vezes! A incerteza na energia do fóton significa que, em cada contagem, poderia haver um número dife-rente de fótons cujas energias individuais somam 2,00 ! 10"6 J. Esta é outra das muitas propriedades estranhas dos fótons.

EXEMPLO 38.7 PULSOS DE LASER ULTRACURTOS E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

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Page 20: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

20

A incerteza do tempo é igual à duração do pulso, Δt=4,00×10–15s.

A incerteza mínima na energia é dada pelo princípio de incerteza:

Isso é 5,3% da energia do fóton E=2,48×1019J, de modo que a energia de determinado fóton é incerta em pelo menos 5,3%.

222 Física IV

Figura 38.19 (a) Duas ondas senoidais com números de onda ligeiramente diferentes k e, portanto, valores ligeiramente diferentes de momento linear px ! Uk, mostradas em um instante do tempo. (b) A superposição dessas ondas possui um momento linear igual à média dos valores individuais do momento linear. A amplitude varia, dando à onda total um caráter desajeitado não possuído por qualquer onda individual.

x(a)

(b) x

0

0

Ey(x)

Ey(x)

Incerteza na energia

Nossa discussão sobre combinação de ondas também mostra que existe um princípio da incerteza que envolve energia e tempo. Para ver por que isso acontece, imagine a medição da função de onda combinada descrita pela Equação 38.21 em uma certa posição, digamos, x ! 0, por um período. Em x ! 0, a função de onda da Equação 38.21 torna-se

Ey(x, t) ! A1 sen("E1 t/U) # A2 sen("E2 t/U)

! "A1 sen(E1 t/U) " A2 sen(E2 t/U) (38.23)

O que medimos em x ! 0 é uma combinação de dois campos elétricos oscilantes com frequências angulares ligeiramente diferentes v1 ! E1/U e v2 ! E2/U. Este é exatamente o fenômeno dos batimentos que discutimos na Seção 16.7 (compare com a Figura 16.25). A amplitude do campo combinado aumenta e diminui, de modo que o fóton descrito por esse campo está localizado no tempo, assim como na posição. O fóton provavelmente será encontrado nos instantes em que a amplitude é grande. O preço que pagamos por localizar o fóton no tempo é que a onda não tem uma energia definida. Ao contrário, se o fóton for descrito por uma onda senoidal, como na Equação 38.20, que possui uma energia definida E, mas com a mesma amplitude o tempo todo, não temos ideia de quando o fóton aparecerá em x ! 0. Assim, quanto melhor soubermos sobre a energia do fóton, menos certeza teremos sobre quando o fóton será observado.

Assim como para o princípio da incerteza da posição e do momento linear, pode-mos escrever uma expressão matemática para o princípio da incerteza que relaciona energia e tempo. De fato, exceto por um sinal de menos geral, a Equação 38.23 é idêntica à 38.22 se substituirmos o momento px pela energia E e a posição x pelo tempo t. Isso nos diz que, na relação de incerteza da posição e do momento linear, Equação 38.17, podemos substituir a incerteza do momento linear $px pela incerteza da energia $E e substituir a incerteza da posição $x pela incerteza do tempo $t. O resultado é

$t $E % U>2 (38.24)

Incerteza do tempo de um fenômeno

Constante de Planck dividida por 2p

Princípio da incerteza de Heisenberg para a energia e o tempo:

Incerteza da energia do mesmo fenômeno

Na prática, qualquer fóton real possui uma extensão espacial limitada e, portanto, passa qualquer ponto em uma quantidade de tempo limitada. O exemplo a seguir ilustra como isso afeta o momento e a energia do fóton.

Book_SEARS_Vol4.indb 222 16/12/15 5:44 PM

Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 223

Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe contínuo. Um laser de telúrio-safira pode pro-duzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultra-curtos que duram apenas 4,00 ! 10"15 s (4,00 femtossegundos, ou 4,00 fs). A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é 2,00 mJ # 2,00 ! 10"6 J, e os pulsos se propagam no sentido positivo da direção x. Determine: (a) a frequência da luz; (b) a energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso; (c) a incerteza mínima da frequência da luz no pulso; (d) o comprimento espacial do pulso, em metros e como um múltiplo do componente; (e) o momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso; e (f) o número aproximado de fótons no pulso.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: é importante distinguir entre o pulso de luz como um todo (que contém um número muito grande de fótons) e um fóton individual dentro do pulso. A duração do pulso de 4,00 fs representa o tempo que o pulso leva para emergir do laser; essa também é a incerteza do tempo para um fóton indi-vidual dentro do pulso, pois não sabemos quando esse fóton surge durante o pulso. De modo semelhante, a incerteza da posição de um fóton é o comprimento espiral do pulso, pois determinado fóton poderia ser encontrado em qualquer lugar dentro do pulso. Para encontrar nossas variáveis-alvo, usaremos as relações para a energia e o momento linear do fóton da Seção 38.1 e os dois princípios da incerteza de Heisenberg, equações 38.17 e 38.24.EXECUTAR: (a) a partir da relação c # lf, a frequência da luz de 800 nm é

f =cl

=3,00 * 108 m>s

8,00 * 10-7 m= 3,75 * 1014 Hz

(b) Pela Equação 38.2, a energia de um único fóton de 800 nm é

E # hf # (6,626 ! 10"34 J $ s) (3,75 ! 1014 Hz)

# 2,48 ! 10"19 J

A incerteza do tempo é igual à duração do pulso, %t # 4,00 ! 10"15 s. Pela Equação 38.24, a incerteza mínima na energia cor-responde ao caso %t %E # U/2, de modo que

%E =U

2%t=

1,055 * 10-34 J # s

2 14,00 * 10-15 s 2= 1,32 * 10-20 J

Isso é 5,3% da energia do fóton E # 2,48 ! 10"19 J, de modo que a energia de determinado fóton é incerta em pelo menos 5,3%. A incerteza poderia ser maior, dependendo da forma do pulso.(c) Pela relação f # E/h, a incerteza mínima da frequência é

%f =%Eh

=1,32 * 10-20 J

6,626 * 10-34 J # s = 1,99 * 1013 Hz

Isso é 5,3% da frequência f # 3,75 ! 1014 Hz que encontramos no item (a). Logo, esses pulsos ultracurtos não possuem uma

frequência definida; a frequência média de muitos desses pulsos será 3,75 ! 1014 Hz, mas a frequência de qualquer pulso indi-vidual pode ser qualquer coisa entre 5,3% maior a 5,3% menor.(d) O comprimento espacial %x do pulso é a distância que a frente do pulso atravessa durante o tempo %t # 4,00 ! 10"15 s neces-sário para o pulso emergir do laser:

%x = c%t = 13,00 * 108 m>s2 14,00 * 10-15 s2

= 1,20 * 10-6 m

%x =1,20 * 10-6 m

8,00 * 10-7 m>comprimento de onda

= 1,50 comprimento de onda

Isso justifica o termo ultracurto. O pulso tem uma extensão menor que a de dois comprimentos de onda!(e) Pela Equação 38.5, o momento linear de um fóton médio no pulso é

px =Ec

=2,48 * 10-19 J

3,00 * 108 m>s= 8,28 * 10-28 kg # m>s

A incerteza espacial é %x # 1,20 ! 10"6 m. Pela Equação 38.17, a incerteza mínima do momento linear corresponde a %x %px # U/2, de modo que

%px =U

2%x=

1,055 * 10-34 J # s

2 11,20 * 10-6 m2= 4,40 * 10-29 kg # m>s

Isso é 5,3% do momento linear médio px do fóton. Um fóton individual dentro do pulso pode ter um momento linear 5,3% maior ou menor que a média.(f) Para estimar o número de fótons no pulso, dividimos a energia total do pulso pela energia média do fóton:

2,00 * 10-6 J>pulso

2,48 * 10-19 J>fótons= 8,06 * 1012 fótons >pulso

A energia de um fóton individual é incerta, de modo que este é o número médio de fótons por pulso.AVALIAR: os percentuais de incerteza na energia e no momento linear são grandes porque esse pulso de laser é muito curto. Se o pulso fosse maior, tanto %t quanto %x seriam maiores e as incertezas correspondentes na energia e no momento linear do fóton seriam menores.Nosso cálculo do item (f) mostra uma distinção importante entre os fótons e outros tipos de partículas. A princípio, é possível fazer uma contagem exata do número de elétrons, fótons e nêutrons em um objeto, como este livro. Se você repetisse a contagem, obteria a mesma resposta da primeira vez. Ao contrário, se contasse o nú-mero de fótons em um pulso a laser, não necessariamente obteria a mesma resposta todas as vezes! A incerteza na energia do fóton significa que, em cada contagem, poderia haver um número dife-rente de fótons cujas energias individuais somam 2,00 ! 10"6 J. Esta é outra das muitas propriedades estranhas dos fótons.

EXEMPLO 38.7 PULSOS DE LASER ULTRACURTOS E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

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Page 21: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

21

Pela relação E=hf, a incerteza mínima da frequência é

Isso é 5,3% da frequência f =3,75×1014 Hz que encontramos no item (a).

Logo, esses pulsos ultracurtos não possuem uma frequência definida; a frequência média de muitos desses pulsos será f =3,75×1014 Hz, mas a frequência de qualquer pulso individual pode ser qualquer coisa entre 5,3% maior a 5,3% menor.

Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 223

Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe contínuo. Um laser de telúrio-safira pode pro-duzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultra-curtos que duram apenas 4,00 ! 10"15 s (4,00 femtossegundos, ou 4,00 fs). A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é 2,00 mJ # 2,00 ! 10"6 J, e os pulsos se propagam no sentido positivo da direção x. Determine: (a) a frequência da luz; (b) a energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso; (c) a incerteza mínima da frequência da luz no pulso; (d) o comprimento espacial do pulso, em metros e como um múltiplo do componente; (e) o momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso; e (f) o número aproximado de fótons no pulso.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: é importante distinguir entre o pulso de luz como um todo (que contém um número muito grande de fótons) e um fóton individual dentro do pulso. A duração do pulso de 4,00 fs representa o tempo que o pulso leva para emergir do laser; essa também é a incerteza do tempo para um fóton indi-vidual dentro do pulso, pois não sabemos quando esse fóton surge durante o pulso. De modo semelhante, a incerteza da posição de um fóton é o comprimento espiral do pulso, pois determinado fóton poderia ser encontrado em qualquer lugar dentro do pulso. Para encontrar nossas variáveis-alvo, usaremos as relações para a energia e o momento linear do fóton da Seção 38.1 e os dois princípios da incerteza de Heisenberg, equações 38.17 e 38.24.EXECUTAR: (a) a partir da relação c # lf, a frequência da luz de 800 nm é

f =cl

=3,00 * 108 m>s

8,00 * 10-7 m= 3,75 * 1014 Hz

(b) Pela Equação 38.2, a energia de um único fóton de 800 nm é

E # hf # (6,626 ! 10"34 J $ s) (3,75 ! 1014 Hz)

# 2,48 ! 10"19 J

A incerteza do tempo é igual à duração do pulso, %t # 4,00 ! 10"15 s. Pela Equação 38.24, a incerteza mínima na energia cor-responde ao caso %t %E # U/2, de modo que

%E =U

2%t=

1,055 * 10-34 J # s

2 14,00 * 10-15 s 2= 1,32 * 10-20 J

Isso é 5,3% da energia do fóton E # 2,48 ! 10"19 J, de modo que a energia de determinado fóton é incerta em pelo menos 5,3%. A incerteza poderia ser maior, dependendo da forma do pulso.(c) Pela relação f # E/h, a incerteza mínima da frequência é

%f =%Eh

=1,32 * 10-20 J

6,626 * 10-34 J # s = 1,99 * 1013 Hz

Isso é 5,3% da frequência f # 3,75 ! 1014 Hz que encontramos no item (a). Logo, esses pulsos ultracurtos não possuem uma

frequência definida; a frequência média de muitos desses pulsos será 3,75 ! 1014 Hz, mas a frequência de qualquer pulso indi-vidual pode ser qualquer coisa entre 5,3% maior a 5,3% menor.(d) O comprimento espacial %x do pulso é a distância que a frente do pulso atravessa durante o tempo %t # 4,00 ! 10"15 s neces-sário para o pulso emergir do laser:

%x = c%t = 13,00 * 108 m>s2 14,00 * 10-15 s2

= 1,20 * 10-6 m

%x =1,20 * 10-6 m

8,00 * 10-7 m>comprimento de onda

= 1,50 comprimento de onda

Isso justifica o termo ultracurto. O pulso tem uma extensão menor que a de dois comprimentos de onda!(e) Pela Equação 38.5, o momento linear de um fóton médio no pulso é

px =Ec

=2,48 * 10-19 J

3,00 * 108 m>s= 8,28 * 10-28 kg # m>s

A incerteza espacial é %x # 1,20 ! 10"6 m. Pela Equação 38.17, a incerteza mínima do momento linear corresponde a %x %px # U/2, de modo que

%px =U

2%x=

1,055 * 10-34 J # s

2 11,20 * 10-6 m2= 4,40 * 10-29 kg # m>s

Isso é 5,3% do momento linear médio px do fóton. Um fóton individual dentro do pulso pode ter um momento linear 5,3% maior ou menor que a média.(f) Para estimar o número de fótons no pulso, dividimos a energia total do pulso pela energia média do fóton:

2,00 * 10-6 J>pulso

2,48 * 10-19 J>fótons= 8,06 * 1012 fótons >pulso

A energia de um fóton individual é incerta, de modo que este é o número médio de fótons por pulso.AVALIAR: os percentuais de incerteza na energia e no momento linear são grandes porque esse pulso de laser é muito curto. Se o pulso fosse maior, tanto %t quanto %x seriam maiores e as incertezas correspondentes na energia e no momento linear do fóton seriam menores.Nosso cálculo do item (f) mostra uma distinção importante entre os fótons e outros tipos de partículas. A princípio, é possível fazer uma contagem exata do número de elétrons, fótons e nêutrons em um objeto, como este livro. Se você repetisse a contagem, obteria a mesma resposta da primeira vez. Ao contrário, se contasse o nú-mero de fótons em um pulso a laser, não necessariamente obteria a mesma resposta todas as vezes! A incerteza na energia do fóton significa que, em cada contagem, poderia haver um número dife-rente de fótons cujas energias individuais somam 2,00 ! 10"6 J. Esta é outra das muitas propriedades estranhas dos fótons.

EXEMPLO 38.7 PULSOS DE LASER ULTRACURTOS E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

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22

Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 223

Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe contínuo. Um laser de telúrio-safira pode pro-duzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultra-curtos que duram apenas 4,00 ! 10"15 s (4,00 femtossegundos, ou 4,00 fs). A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é 2,00 mJ # 2,00 ! 10"6 J, e os pulsos se propagam no sentido positivo da direção x. Determine: (a) a frequência da luz; (b) a energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso; (c) a incerteza mínima da frequência da luz no pulso; (d) o comprimento espacial do pulso, em metros e como um múltiplo do componente; (e) o momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso; e (f) o número aproximado de fótons no pulso.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: é importante distinguir entre o pulso de luz como um todo (que contém um número muito grande de fótons) e um fóton individual dentro do pulso. A duração do pulso de 4,00 fs representa o tempo que o pulso leva para emergir do laser; essa também é a incerteza do tempo para um fóton indi-vidual dentro do pulso, pois não sabemos quando esse fóton surge durante o pulso. De modo semelhante, a incerteza da posição de um fóton é o comprimento espiral do pulso, pois determinado fóton poderia ser encontrado em qualquer lugar dentro do pulso. Para encontrar nossas variáveis-alvo, usaremos as relações para a energia e o momento linear do fóton da Seção 38.1 e os dois princípios da incerteza de Heisenberg, equações 38.17 e 38.24.EXECUTAR: (a) a partir da relação c # lf, a frequência da luz de 800 nm é

f =cl

=3,00 * 108 m>s

8,00 * 10-7 m= 3,75 * 1014 Hz

(b) Pela Equação 38.2, a energia de um único fóton de 800 nm é

E # hf # (6,626 ! 10"34 J $ s) (3,75 ! 1014 Hz)

# 2,48 ! 10"19 J

A incerteza do tempo é igual à duração do pulso, %t # 4,00 ! 10"15 s. Pela Equação 38.24, a incerteza mínima na energia cor-responde ao caso %t %E # U/2, de modo que

%E =U

2%t=

1,055 * 10-34 J # s

2 14,00 * 10-15 s 2= 1,32 * 10-20 J

Isso é 5,3% da energia do fóton E # 2,48 ! 10"19 J, de modo que a energia de determinado fóton é incerta em pelo menos 5,3%. A incerteza poderia ser maior, dependendo da forma do pulso.(c) Pela relação f # E/h, a incerteza mínima da frequência é

%f =%Eh

=1,32 * 10-20 J

6,626 * 10-34 J # s = 1,99 * 1013 Hz

Isso é 5,3% da frequência f # 3,75 ! 1014 Hz que encontramos no item (a). Logo, esses pulsos ultracurtos não possuem uma

frequência definida; a frequência média de muitos desses pulsos será 3,75 ! 1014 Hz, mas a frequência de qualquer pulso indi-vidual pode ser qualquer coisa entre 5,3% maior a 5,3% menor.(d) O comprimento espacial %x do pulso é a distância que a frente do pulso atravessa durante o tempo %t # 4,00 ! 10"15 s neces-sário para o pulso emergir do laser:

%x = c%t = 13,00 * 108 m>s2 14,00 * 10-15 s2

= 1,20 * 10-6 m

%x =1,20 * 10-6 m

8,00 * 10-7 m>comprimento de onda

= 1,50 comprimento de onda

Isso justifica o termo ultracurto. O pulso tem uma extensão menor que a de dois comprimentos de onda!(e) Pela Equação 38.5, o momento linear de um fóton médio no pulso é

px =Ec

=2,48 * 10-19 J

3,00 * 108 m>s= 8,28 * 10-28 kg # m>s

A incerteza espacial é %x # 1,20 ! 10"6 m. Pela Equação 38.17, a incerteza mínima do momento linear corresponde a %x %px # U/2, de modo que

%px =U

2%x=

1,055 * 10-34 J # s

2 11,20 * 10-6 m2= 4,40 * 10-29 kg # m>s

Isso é 5,3% do momento linear médio px do fóton. Um fóton individual dentro do pulso pode ter um momento linear 5,3% maior ou menor que a média.(f) Para estimar o número de fótons no pulso, dividimos a energia total do pulso pela energia média do fóton:

2,00 * 10-6 J>pulso

2,48 * 10-19 J>fótons= 8,06 * 1012 fótons >pulso

A energia de um fóton individual é incerta, de modo que este é o número médio de fótons por pulso.AVALIAR: os percentuais de incerteza na energia e no momento linear são grandes porque esse pulso de laser é muito curto. Se o pulso fosse maior, tanto %t quanto %x seriam maiores e as incertezas correspondentes na energia e no momento linear do fóton seriam menores.Nosso cálculo do item (f) mostra uma distinção importante entre os fótons e outros tipos de partículas. A princípio, é possível fazer uma contagem exata do número de elétrons, fótons e nêutrons em um objeto, como este livro. Se você repetisse a contagem, obteria a mesma resposta da primeira vez. Ao contrário, se contasse o nú-mero de fótons em um pulso a laser, não necessariamente obteria a mesma resposta todas as vezes! A incerteza na energia do fóton significa que, em cada contagem, poderia haver um número dife-rente de fótons cujas energias individuais somam 2,00 ! 10"6 J. Esta é outra das muitas propriedades estranhas dos fótons.

EXEMPLO 38.7 PULSOS DE LASER ULTRACURTOS E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

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Page 23: Exercícios · Velocidade da luz no vácuo Frequência Comprimento de onda A direção e o sentido do momento linear do fóton são simplesmente a direção

23

O momento linear de um fóton médio no pulso é

Mostramos antes que a incerteza espacial é Δx =1,20 ×10–6 m.

A incerteza mínima do momento linear é dada pelo princípio de incerteza:

Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 223

Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe contínuo. Um laser de telúrio-safira pode pro-duzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultra-curtos que duram apenas 4,00 ! 10"15 s (4,00 femtossegundos, ou 4,00 fs). A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é 2,00 mJ # 2,00 ! 10"6 J, e os pulsos se propagam no sentido positivo da direção x. Determine: (a) a frequência da luz; (b) a energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso; (c) a incerteza mínima da frequência da luz no pulso; (d) o comprimento espacial do pulso, em metros e como um múltiplo do componente; (e) o momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso; e (f) o número aproximado de fótons no pulso.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: é importante distinguir entre o pulso de luz como um todo (que contém um número muito grande de fótons) e um fóton individual dentro do pulso. A duração do pulso de 4,00 fs representa o tempo que o pulso leva para emergir do laser; essa também é a incerteza do tempo para um fóton indi-vidual dentro do pulso, pois não sabemos quando esse fóton surge durante o pulso. De modo semelhante, a incerteza da posição de um fóton é o comprimento espiral do pulso, pois determinado fóton poderia ser encontrado em qualquer lugar dentro do pulso. Para encontrar nossas variáveis-alvo, usaremos as relações para a energia e o momento linear do fóton da Seção 38.1 e os dois princípios da incerteza de Heisenberg, equações 38.17 e 38.24.EXECUTAR: (a) a partir da relação c # lf, a frequência da luz de 800 nm é

f =cl

=3,00 * 108 m>s

8,00 * 10-7 m= 3,75 * 1014 Hz

(b) Pela Equação 38.2, a energia de um único fóton de 800 nm é

E # hf # (6,626 ! 10"34 J $ s) (3,75 ! 1014 Hz)

# 2,48 ! 10"19 J

A incerteza do tempo é igual à duração do pulso, %t # 4,00 ! 10"15 s. Pela Equação 38.24, a incerteza mínima na energia cor-responde ao caso %t %E # U/2, de modo que

%E =U

2%t=

1,055 * 10-34 J # s

2 14,00 * 10-15 s 2= 1,32 * 10-20 J

Isso é 5,3% da energia do fóton E # 2,48 ! 10"19 J, de modo que a energia de determinado fóton é incerta em pelo menos 5,3%. A incerteza poderia ser maior, dependendo da forma do pulso.(c) Pela relação f # E/h, a incerteza mínima da frequência é

%f =%Eh

=1,32 * 10-20 J

6,626 * 10-34 J # s = 1,99 * 1013 Hz

Isso é 5,3% da frequência f # 3,75 ! 1014 Hz que encontramos no item (a). Logo, esses pulsos ultracurtos não possuem uma

frequência definida; a frequência média de muitos desses pulsos será 3,75 ! 1014 Hz, mas a frequência de qualquer pulso indi-vidual pode ser qualquer coisa entre 5,3% maior a 5,3% menor.(d) O comprimento espacial %x do pulso é a distância que a frente do pulso atravessa durante o tempo %t # 4,00 ! 10"15 s neces-sário para o pulso emergir do laser:

%x = c%t = 13,00 * 108 m>s2 14,00 * 10-15 s2

= 1,20 * 10-6 m

%x =1,20 * 10-6 m

8,00 * 10-7 m>comprimento de onda

= 1,50 comprimento de onda

Isso justifica o termo ultracurto. O pulso tem uma extensão menor que a de dois comprimentos de onda!(e) Pela Equação 38.5, o momento linear de um fóton médio no pulso é

px =Ec

=2,48 * 10-19 J

3,00 * 108 m>s= 8,28 * 10-28 kg # m>s

A incerteza espacial é %x # 1,20 ! 10"6 m. Pela Equação 38.17, a incerteza mínima do momento linear corresponde a %x %px # U/2, de modo que

%px =U

2%x=

1,055 * 10-34 J # s

2 11,20 * 10-6 m2= 4,40 * 10-29 kg # m>s

Isso é 5,3% do momento linear médio px do fóton. Um fóton individual dentro do pulso pode ter um momento linear 5,3% maior ou menor que a média.(f) Para estimar o número de fótons no pulso, dividimos a energia total do pulso pela energia média do fóton:

2,00 * 10-6 J>pulso

2,48 * 10-19 J>fótons= 8,06 * 1012 fótons >pulso

A energia de um fóton individual é incerta, de modo que este é o número médio de fótons por pulso.AVALIAR: os percentuais de incerteza na energia e no momento linear são grandes porque esse pulso de laser é muito curto. Se o pulso fosse maior, tanto %t quanto %x seriam maiores e as incertezas correspondentes na energia e no momento linear do fóton seriam menores.Nosso cálculo do item (f) mostra uma distinção importante entre os fótons e outros tipos de partículas. A princípio, é possível fazer uma contagem exata do número de elétrons, fótons e nêutrons em um objeto, como este livro. Se você repetisse a contagem, obteria a mesma resposta da primeira vez. Ao contrário, se contasse o nú-mero de fótons em um pulso a laser, não necessariamente obteria a mesma resposta todas as vezes! A incerteza na energia do fóton significa que, em cada contagem, poderia haver um número dife-rente de fótons cujas energias individuais somam 2,00 ! 10"6 J. Esta é outra das muitas propriedades estranhas dos fótons.

EXEMPLO 38.7 PULSOS DE LASER ULTRACURTOS E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

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Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 219

O comprimento de onda l do elétron está relacionado com seu momento linear px por meio da Equação 38.5, que pode ser reescrita na forma l ! h/px. Usando esse resultado na Equação 38.15 e simplificando, obtemos

"py # px h

px a=ha

"py a # h (38.16)

Qual é o significado da Equação 38.16? A largura a da fenda representa uma incerteza no componente y da posição de um fóton quando ele passa pela fenda. Não podemos saber exatamente onde cada elétron passa através da fenda. Logo, a posição y e o componente y do momento linear possuem incertezas, que são rela-cionadas pela Equação 38.16. Podemos diminuir a incerteza do momento linear "py apenas reduzindo a largura da figura de difração. Para isso, é necessário aumentar a largura a da fenda, o que aumenta a incerteza da posição. Reciprocamente, quando diminuímos a incerteza da posição reduzindo a largura da fenda, a figura de difração se alarga e a incerteza do momento linear aumenta.

Você pode argumentar que o resultado anterior entra em conflito com o senso comum, por um fóton não ter um dado momento linear e uma posição definida. Res-pondemos dizendo que o chamado senso comum se baseia em uma familiaridade obtida a partir de experiências. Nossa experiência geralmente não inclui o contato com partículas microscópicas, como os fótons. Algumas vezes, somos obrigados a aceitar conclusões que violam nossa intuição ao considerar fenômenos muito distantes da nossa experiência cotidiana.

O princípio da incerteza Em discussões mais gerais acerca das relações de incerteza, notamos que a in-

certeza de uma grandeza geralmente é descrita com base em um conceito estatístico chamado de desvio-padrão, que fornece uma medida de afastamento dos valores de um conjunto de números em relação ao valor médio desses números. Suponha agora que passemos a descrever incertezas dessa maneira (na Equação 38.16 nem a nem "py são desvios-padrão). Quando a coordenada x apresenta uma incerteza "x e o momento linear correspondente px apresenta uma incerteza "px, então des-cobrimos que, em geral,

"x"px # U>2 (38.17)

Incerteza na coordenada x

Constante de Planck dividida por 2pPrincípio da incerteza

de Heisenberg para a posição e o momento linear:

Incerteza no componente de momento correspondente px

Nessa expressão, a grandeza U (pronuncia-se “h-cortado”) é a constante de Planck dividida por 2p:

U =h

2p= 1,054571628 1532 * 10-34 J # s

Usaremos U frequentemente para evitar escrever demasiados fatores 2p nas equações que utilizaremos daqui para a frente.

ATENÇÃO h versus h-cortado É comum que os estudantes insiram o valor de h quando o que deveriam usar é U ! h/2p, ou vice-versa. Não cometa o mesmo erro, ou seu resul-tado ficará errado por um fator de 2p!

Book_SEARS_Vol4.indb 219 16/12/15 5:44 PM

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24

Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 223

Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe contínuo. Um laser de telúrio-safira pode pro-duzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultra-curtos que duram apenas 4,00 ! 10"15 s (4,00 femtossegundos, ou 4,00 fs). A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é 2,00 mJ # 2,00 ! 10"6 J, e os pulsos se propagam no sentido positivo da direção x. Determine: (a) a frequência da luz; (b) a energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso; (c) a incerteza mínima da frequência da luz no pulso; (d) o comprimento espacial do pulso, em metros e como um múltiplo do componente; (e) o momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso; e (f) o número aproximado de fótons no pulso.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: é importante distinguir entre o pulso de luz como um todo (que contém um número muito grande de fótons) e um fóton individual dentro do pulso. A duração do pulso de 4,00 fs representa o tempo que o pulso leva para emergir do laser; essa também é a incerteza do tempo para um fóton indi-vidual dentro do pulso, pois não sabemos quando esse fóton surge durante o pulso. De modo semelhante, a incerteza da posição de um fóton é o comprimento espiral do pulso, pois determinado fóton poderia ser encontrado em qualquer lugar dentro do pulso. Para encontrar nossas variáveis-alvo, usaremos as relações para a energia e o momento linear do fóton da Seção 38.1 e os dois princípios da incerteza de Heisenberg, equações 38.17 e 38.24.EXECUTAR: (a) a partir da relação c # lf, a frequência da luz de 800 nm é

f =cl

=3,00 * 108 m>s

8,00 * 10-7 m= 3,75 * 1014 Hz

(b) Pela Equação 38.2, a energia de um único fóton de 800 nm é

E # hf # (6,626 ! 10"34 J $ s) (3,75 ! 1014 Hz)

# 2,48 ! 10"19 J

A incerteza do tempo é igual à duração do pulso, %t # 4,00 ! 10"15 s. Pela Equação 38.24, a incerteza mínima na energia cor-responde ao caso %t %E # U/2, de modo que

%E =U

2%t=

1,055 * 10-34 J # s

2 14,00 * 10-15 s 2= 1,32 * 10-20 J

Isso é 5,3% da energia do fóton E # 2,48 ! 10"19 J, de modo que a energia de determinado fóton é incerta em pelo menos 5,3%. A incerteza poderia ser maior, dependendo da forma do pulso.(c) Pela relação f # E/h, a incerteza mínima da frequência é

%f =%Eh

=1,32 * 10-20 J

6,626 * 10-34 J # s = 1,99 * 1013 Hz

Isso é 5,3% da frequência f # 3,75 ! 1014 Hz que encontramos no item (a). Logo, esses pulsos ultracurtos não possuem uma

frequência definida; a frequência média de muitos desses pulsos será 3,75 ! 1014 Hz, mas a frequência de qualquer pulso indi-vidual pode ser qualquer coisa entre 5,3% maior a 5,3% menor.(d) O comprimento espacial %x do pulso é a distância que a frente do pulso atravessa durante o tempo %t # 4,00 ! 10"15 s neces-sário para o pulso emergir do laser:

%x = c%t = 13,00 * 108 m>s2 14,00 * 10-15 s2

= 1,20 * 10-6 m

%x =1,20 * 10-6 m

8,00 * 10-7 m>comprimento de onda

= 1,50 comprimento de onda

Isso justifica o termo ultracurto. O pulso tem uma extensão menor que a de dois comprimentos de onda!(e) Pela Equação 38.5, o momento linear de um fóton médio no pulso é

px =Ec

=2,48 * 10-19 J

3,00 * 108 m>s= 8,28 * 10-28 kg # m>s

A incerteza espacial é %x # 1,20 ! 10"6 m. Pela Equação 38.17, a incerteza mínima do momento linear corresponde a %x %px # U/2, de modo que

%px =U

2%x=

1,055 * 10-34 J # s

2 11,20 * 10-6 m2= 4,40 * 10-29 kg # m>s

Isso é 5,3% do momento linear médio px do fóton. Um fóton individual dentro do pulso pode ter um momento linear 5,3% maior ou menor que a média.(f) Para estimar o número de fótons no pulso, dividimos a energia total do pulso pela energia média do fóton:

2,00 * 10-6 J>pulso

2,48 * 10-19 J>fótons= 8,06 * 1012 fótons >pulso

A energia de um fóton individual é incerta, de modo que este é o número médio de fótons por pulso.AVALIAR: os percentuais de incerteza na energia e no momento linear são grandes porque esse pulso de laser é muito curto. Se o pulso fosse maior, tanto %t quanto %x seriam maiores e as incertezas correspondentes na energia e no momento linear do fóton seriam menores.Nosso cálculo do item (f) mostra uma distinção importante entre os fótons e outros tipos de partículas. A princípio, é possível fazer uma contagem exata do número de elétrons, fótons e nêutrons em um objeto, como este livro. Se você repetisse a contagem, obteria a mesma resposta da primeira vez. Ao contrário, se contasse o nú-mero de fótons em um pulso a laser, não necessariamente obteria a mesma resposta todas as vezes! A incerteza na energia do fóton significa que, em cada contagem, poderia haver um número dife-rente de fótons cujas energias individuais somam 2,00 ! 10"6 J. Esta é outra das muitas propriedades estranhas dos fótons.

EXEMPLO 38.7 PULSOS DE LASER ULTRACURTOS E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

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Capítulo 38 — Fótons: ondas de luz se comportando como partículas 223

Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de um feixe contínuo. Um laser de telúrio-safira pode pro-duzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultra-curtos que duram apenas 4,00 ! 10"15 s (4,00 femtossegundos, ou 4,00 fs). A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é 2,00 mJ # 2,00 ! 10"6 J, e os pulsos se propagam no sentido positivo da direção x. Determine: (a) a frequência da luz; (b) a energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso; (c) a incerteza mínima da frequência da luz no pulso; (d) o comprimento espacial do pulso, em metros e como um múltiplo do componente; (e) o momento linear e a incerteza mínima do momento linear de um único fóton no pulso; e (f) o número aproximado de fótons no pulso.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: é importante distinguir entre o pulso de luz como um todo (que contém um número muito grande de fótons) e um fóton individual dentro do pulso. A duração do pulso de 4,00 fs representa o tempo que o pulso leva para emergir do laser; essa também é a incerteza do tempo para um fóton indi-vidual dentro do pulso, pois não sabemos quando esse fóton surge durante o pulso. De modo semelhante, a incerteza da posição de um fóton é o comprimento espiral do pulso, pois determinado fóton poderia ser encontrado em qualquer lugar dentro do pulso. Para encontrar nossas variáveis-alvo, usaremos as relações para a energia e o momento linear do fóton da Seção 38.1 e os dois princípios da incerteza de Heisenberg, equações 38.17 e 38.24.EXECUTAR: (a) a partir da relação c # lf, a frequência da luz de 800 nm é

f =cl

=3,00 * 108 m>s

8,00 * 10-7 m= 3,75 * 1014 Hz

(b) Pela Equação 38.2, a energia de um único fóton de 800 nm é

E # hf # (6,626 ! 10"34 J $ s) (3,75 ! 1014 Hz)

# 2,48 ! 10"19 J

A incerteza do tempo é igual à duração do pulso, %t # 4,00 ! 10"15 s. Pela Equação 38.24, a incerteza mínima na energia cor-responde ao caso %t %E # U/2, de modo que

%E =U

2%t=

1,055 * 10-34 J # s

2 14,00 * 10-15 s 2= 1,32 * 10-20 J

Isso é 5,3% da energia do fóton E # 2,48 ! 10"19 J, de modo que a energia de determinado fóton é incerta em pelo menos 5,3%. A incerteza poderia ser maior, dependendo da forma do pulso.(c) Pela relação f # E/h, a incerteza mínima da frequência é

%f =%Eh

=1,32 * 10-20 J

6,626 * 10-34 J # s = 1,99 * 1013 Hz

Isso é 5,3% da frequência f # 3,75 ! 1014 Hz que encontramos no item (a). Logo, esses pulsos ultracurtos não possuem uma

frequência definida; a frequência média de muitos desses pulsos será 3,75 ! 1014 Hz, mas a frequência de qualquer pulso indi-vidual pode ser qualquer coisa entre 5,3% maior a 5,3% menor.(d) O comprimento espacial %x do pulso é a distância que a frente do pulso atravessa durante o tempo %t # 4,00 ! 10"15 s neces-sário para o pulso emergir do laser:

%x = c%t = 13,00 * 108 m>s2 14,00 * 10-15 s2

= 1,20 * 10-6 m

%x =1,20 * 10-6 m

8,00 * 10-7 m>comprimento de onda

= 1,50 comprimento de onda

Isso justifica o termo ultracurto. O pulso tem uma extensão menor que a de dois comprimentos de onda!(e) Pela Equação 38.5, o momento linear de um fóton médio no pulso é

px =Ec

=2,48 * 10-19 J

3,00 * 108 m>s= 8,28 * 10-28 kg # m>s

A incerteza espacial é %x # 1,20 ! 10"6 m. Pela Equação 38.17, a incerteza mínima do momento linear corresponde a %x %px # U/2, de modo que

%px =U

2%x=

1,055 * 10-34 J # s

2 11,20 * 10-6 m2= 4,40 * 10-29 kg # m>s

Isso é 5,3% do momento linear médio px do fóton. Um fóton individual dentro do pulso pode ter um momento linear 5,3% maior ou menor que a média.(f) Para estimar o número de fótons no pulso, dividimos a energia total do pulso pela energia média do fóton:

2,00 * 10-6 J>pulso

2,48 * 10-19 J>fótons= 8,06 * 1012 fótons >pulso

A energia de um fóton individual é incerta, de modo que este é o número médio de fótons por pulso.AVALIAR: os percentuais de incerteza na energia e no momento linear são grandes porque esse pulso de laser é muito curto. Se o pulso fosse maior, tanto %t quanto %x seriam maiores e as incertezas correspondentes na energia e no momento linear do fóton seriam menores.Nosso cálculo do item (f) mostra uma distinção importante entre os fótons e outros tipos de partículas. A princípio, é possível fazer uma contagem exata do número de elétrons, fótons e nêutrons em um objeto, como este livro. Se você repetisse a contagem, obteria a mesma resposta da primeira vez. Ao contrário, se contasse o nú-mero de fótons em um pulso a laser, não necessariamente obteria a mesma resposta todas as vezes! A incerteza na energia do fóton significa que, em cada contagem, poderia haver um número dife-rente de fótons cujas energias individuais somam 2,00 ! 10"6 J. Esta é outra das muitas propriedades estranhas dos fótons.

EXEMPLO 38.7 PULSOS DE LASER ULTRACURTOS E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

Book_SEARS_Vol4.indb 223 16/12/15 5:44 PM

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Os percentuais de incerteza na energia e no momento linear são grandes porque esse pulso de laser é muito curto.

Se o pulso fosse maior, tanto Δt quanto Δx seriam maiores e as incertezas correspondentes na energia e no momento linear do fóton seriam menores.

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