Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

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geometria e medidas

Que curva é essa chamada elipse?

Objetivos da unidadeIdentificar e representar um elipse construída a partir 1. de uma seção em um cilindro;Identificar alguns elementos da elipse;2. Definir elipse.3.

Guia do professor

SinopseApós alguns exemplos de como identificar as elipses, os alunos construirão uma delas com o auxílio de uma garrafa pet. A elipse obtida será desenhada no papel para a construção da curva no plano, com ajuda de um barbante e da definição de elipse. Ao final, reforçaremos seu conceito formal e proporemos um desafio para estimar a área contida dentro da curva.

ConteúdosGeometria Analítica, elipse.

ObjetivosIdentificar e representar um elipse construída a partir de uma seção 1. em um cilindro;Identificar alguns elementos da elipse;2. Definir elipse.3.

DuraçãoUma aula dupla.

Recursos relacionadosOs Experimentos que envolvem as outras cônicas, como a parábola e a hipérbole, seguem conceitos similares a este.

Que curva é essa chamada elipse?

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Introdução

Esta atividade é introdutória e aborda apenas alguns elementos da elipse. Não mencionamos excentricidade nem linhas diretrizes, por exemplo. No entanto, a atividade apresenta características importantes para visualização e fixação dos conceitos geométricos das elipses. A ilustração da capa do experimento, representa o Sistema Solar. No entanto, as distâncias relativas e o tamanho do desenho não estão em escala com o Sistema Solar real. O objetivo da inclusão da figura acima é lembrar que, em boa aproximação, os planetas orbitam em uma elipse, tendo o Sol como um dos focos.

Motivação

Elipse é uma curva constituída pelo conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

Os estudos das cônicas em geral e das elipses em particular são importantes para descrições geométricas e solução de equações cujas variável dependente e /ou independente aparecem ao quadrado. Este experimento permite a visualização espacial da cônica e também a construção da elipse no plano. Há vários textos, livros etc que abordam a história do conceito de elipse até os nossos dias. Procure, por exemplo, pelos termos elipse, cônicas, quádricas e por matemáticos tais como Menaecmus (350 a.C), Apolônio (225 a.C), Arquimedes (287-212 a.C), Desargues (1593-1661), Pascal (1623-1662) e Dandelin (1794-1847). Os termos elipse, hipérbole e parábola significavam algo que faltava, sobrava ou era equivalente a um devido retângulo, respectivamente. O astrônomo Kepler (1571-1630) observou que os planetas viajam em órbitas aproximadamente elípticas e o físico Newton (1643-1727) demonstrou matematicamente que as órbitas elípticas seguem da força de atração gravitacional proporcional ao inverso do quadrado da distância. Atualmente podemos observar muitas aplicações das curvas cônicas, pois essas formas têm propriedades especiais de reflexão de luz ou do som, o que permite empregá-las em telescópios, antenas parabólicas, refletores, além de permitirem aos arquitetos conceberem ambientes com condições acústicas apropriadas para auditórios, teatros ou igrejas.

Definição

fig. 1

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Cone ou cilindroPodemos demonstrar que a interseção de um plano com uma superfície cilíndrica circular produz uma elipse. Uma das demonstrações deve-se a Dandelin(1794-1847), que propôs a seguinte solução: consideremos um plano inclinado, denominado π, interceptando um cilindro conforme a fi gura abaixo, e que essa intersecção determina uma curva fechada, que denominaremos C. Consideremos também duas esferas tangentes ao cilindro e ao plano π.

O Experimento

Comentários iniciais

Os exemplos dados no experimento são fáceis de se obter, mas devem ser bem planejados pois envolvem materiais não corriqueiros em uma escola. Por exemplo, pense na possibilidade e conveniência de levar um abajur e um cano cortado para sala de aula. Os copos com líquido, porém, não nos parecem problemáticos.

Etapa 1 Reconhecimento das elipses

Nesta etapa, apresente rapidamente os exemplos dados. É bom lembrar que há algumas curvas parecidas com elipses, mas que rigorosamente não são elipses, como, por exemplo, uma curva oval (do corte de um ovo) ou o formato do estádio do Maracanã no Rio de Janeiro. No primeiro exemplo, o do copo com um líquido, o copo pode ser cônico ou cilíndrico. Tanto faz. O segmento de plano defi nido pela superfície do líquido em corte com a superfície do cilindro ou cone produz uma elipse. Veja a seção Cone ou cilindro abaixo. O abajur fornece um feixe cônico de luz. A cúpula do abajur não é relevante, e sim a abertura circular de saída por cima dele. No exemplo da lanterna, a bolinha deve estar contida no cone de luz produzido pela lanterna, a qual que deve estar inclinada em relação à mesa. A elipse fecha a parte da sombra interna. Observe que um círculo desenhado em alguma perspectiva é uma elipse no plano do papel ou da tela; o eixo maior coincide com o diâmetro do círculo e o eixo menor vai depender do ponto de vista do observador.

fig. 2

fig. 3

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A figura 5 reproduz essa situação, em que estão indicados a curva C, e os pontos de intersecção das esferas com o plano π, representados por F1 e F2. Consideremos também duas esferas tangentes ao cilindro e ao plano π. A figura 5 acima reproduz essa situação, em que estão indicados a curva C e os pontos de interseção das esferas com o plano π, representados por F1 e F2. Note que as interseções das esferas com a superfície cilíndrica são duas circunferências paralelas às bases do cilindro. Imagine um ponto P qualquer da curva C, e os segmentos PA e PB paralelos à geratriz do cilindro, em que A e B pertencem à interseção das esferas com o cilindro. Observe que a soma PA + PB é constante, para qualquer ponto P sobre a curva C, pois corresponde à distância entre duas circunferências paralelas. Veja também que PA = PF1 pois ambas retas correspondem às tangentes da esfera por P, conforme a figura 6. Por raciocínio análogo, PB = PF2. Dessa maneira, os pontos de C satisfazem a condição que define uma elipse. Podemos mostrar de maneira analítica, também. A demonstração abaixo não é para os alunos do Ensino Médio pois usa geometria analítica espacial. É um adicional do Experimento.

π

C

fig. 4

A

C

P

F₁

F₂ Bfig. 5

A

P

F₁

fig. 6

fig. 7

z z

yy

x

x

θ

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Etapa 3 Construção da elipse no plano

Nas etapas anteriores, os alunos tiveram o contato com uma curva plana fechada. Nesse momento, conduza seus alunos para a construção geométrica de curvas no plano usando dois pontos arbitrários e a definição formal de elipse. Sugira também que a curva obtida na Etapa 2, a que eles transcrevem a curva para o papel, seja uma elipse. E, se assim for, os alunos devem encontrar os pontos focais dela. Com esta construção, os parâmetros a e b da elipse são obtidos para o caso explicitamo do corte na garrafa. É bom lembrar que um usamos implicitamente um sistema cartesiano

Uma relação importanteFoi observado no experimento que BF2 = BF1 = metade do compri-mento do eixo maior. Seja O o ponto de intersecção dos eixos, que são perpendiculares, e F1F2 = 2c = distância focal e sejam ainda 2a e 2b os comprimentos dos eixos maior e menor, respectivamente. Os triângulos retângulos BOF1 e BOF2 são congruentes e têm a hipotenusa a e catetos b e c, de modo que a2 = b2 + c2.

Considere o plano z = 0 e o cilindro x2 + y2 = R2, ∀z. Neste caso o cilindro está na vertical e o plano na horizontal. A interseção é o círculo de raio R. Se inclinarmos o cilindro em torno do eixo y, teremos a equação do novo cilindro como:

(x cos θ − z sen θ)2 + y2 = R2, ∀z

para um ângulo de inclinação θ. A intersecção com o plano z = 0 produz a equação:

de uma elipse com semi-eixos maior e menor a = R⁄ cos θ e b = R, respectivamente. A elipse obtida no experimento da garrafa é resultado da interseção do plano gerado pela superfície do líquido com o cilindro proporcionado pela garrafa. Contudo, por se tratar de um experimento real, tanto o plano quanto o cilindro podem não ser ideais. Por exemplo, o simples ato de segurar a garrafa pode deformá-la, e a tensão superficial da água pode pode fazer com que não provocar elevações na superfície do líquido. Contudo, se forem tomados os devidos cuidados, essa aproximação é perfeitamente razoável para os objetivos deste experimento.

Etapa 2 Obtenção de uma elipse

Depois dos exemplos vistos, peça aos alunos para fazer uma seção plana oblíqua em um cilindro. Nesta etapa não há formalização do conceito de elipse, e sim uma experimentação com a curva obtida no corte. No entanto, alguns elementos já aparecem explicitamente, como os eixos perpendiculares de simetria.

x 2

(R ⁄ cos θ)2

y 2

R2 1=+

B

a

b ba a

cc

Ob

fig. 8

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Resolução do exercício de aplicaçãoNa figura abaixo está representada uma elipse com eixo maior de medida a e eixo menor de medida b. Os pontos B e D são os focos desta elipse. Determine o perímetro do quadrilátero ABCD em função de a e b.

O perímetro é 2a , pois, se B e D são os focos da elipse e se A e C pertencem à elipse, então

AB + AD = a e BC + CD = a

Portanto

AB + AD + BC + CD = 2a

Sobre a área da elipsePodemos mostrar, usando cálculo diferencial, que a área da elipse de semi-eixos a e b vale πab. O desafio consiste em cobrir a elipse com os triângulos e pedaços cortados de triângulos de forma a perceber que a área da elipse é maior que 3ab, mas menor que 4ab.

Resolução da folha do alunoFigura Qual é o plano? Qual é a superfície cortada

pelo plano?

É a superfície horizontal da água.

O copo em forma de cilindro.

Se imaginarmos uma serra cortando o cano, o caminho percorrido pela serra determinará um plano.

O tubo em forma de cilindro.

É a parede. O facho cônico de luz emitido pelo abajur e limitado pelo orifício da cúpula.

É a mesa. A exterioridade cilíndrica da sombra que a bola faz para bloquear a luz da lanterna.

tabela 1

A

B

C

D

fig. 9

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Bibliografia

Ávila, Geraldo. Kepler e a órbita elíptica, Revista do Professor de Matemática Nº 15, smb, São Paulo, 1989.

Ávila, Geraldo. Várias faces da matemática: Tópicos para licenciatura e leitura geral, 1ª edição — São Paulo: Editora Blucher, 2007.

Eves, Howard. Introdução à história da matemática, 3ª edição — Campinas: Editora da Unicamp, 2002.

Winterle, Paulo. Vetores e Geometria Analítica — São Paulo: Makron Books, 2000.

Variações

Podemos usar copos descartáveis para substituir a garrafa pet, no entanto, eles são usualmente muito flexíveis e exigirão mais capricho para fazer o corte e para transferir a curva para o papel.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutoresMaria Inês Sparrapan Muniz, Maria Zoraide Martins Soares, Miriam Sampieri Snatinho, Rosa Maria Machado e Wilson Roberto Rodrigues

Coordenação de RedaçãoSamuel Rocha de Oliveira

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaAna Cecília Agua de Melo e Carolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

AvaliadoresExternosDeborah Raphael (usp) e Eduardo Coli (usp)ProfessoresRosa Maria Machado (cotil)PedagogiaCeli Aparecida Espasandini Lopes (unicsul)

Projeto gráfico e ilustraçõesPreface Design

Que curva é essa chamada elipse? Folha do aluno

Geometria e MedidasFolha do aluno

Etapa 1 Reconhecimento das elipsesA curva obtida pela interseção de um plano inclinado com um cone ou com um cilindro, como na figura 1, é uma elipse.

Na tabela 1 procure identificar qual é o plano e �

qual é o cone ou o cilindro correspondentes �

Isso permitirá concluir que em todos estes casos as curvas obtidas são elipses.

Etapa 2 Obtenção de uma elipseFaça um corte inclinado em uma garrafa pet e desenhe a curva obtida no papel.

Etapa 3 Construção da elipse no planoAchamos que, a partir do experimento realizado, você já consegue esboçar uma definição de elipse. Escreva com suas palavras!

Na figura 2 está representada uma elipse com eixo maior de medida a e eixo menor de medida b. Os pontos B e D são os focos desta elipse. Determine o perímetro do quadrilátero ABCD em função de a e b.

Considere uma elipse de semi-eixos a e b e oito triân-gulos retângulos de catetos a e b. Mostre que a área fechada pela elipse é:menor que 4 � ab (cobrir a elipse com os oito triângulosmaior que 2 � ab (verificar se quatro triângulos cabem na elipse)maior que 3 � ab (verificar se seis triângulos cabem na elipse)Use explicitamente uma elipse desenhada no papel e corte os oito triângulos. Se necessário recorte alguns deles em pedaços menores para completar a área da elipse.

Figura

Qual é o plano?

Qual é a superfície cortada pelo plano?

tabela 1

Fig. 1

Uma aplicação

Questão

A

B

C

D

Fig. 2