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1 Prof. Lorí Viali, Dr. [email protected] http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Bernoulli Binomial Binomial Negativa ou Pascal Geométrica Hipergeométrica Uniforme Poisson Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados são anotados por “0” ou “fracasso” e “1” ou “sucesso”. A probabilidade de ocorrência de “sucesso é representada por “p” e a de insucesso por “q = 1 – p”. Experimento Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística X(S) = { 0, 1} ⎧− = = = 1 = x se p 0 = x se p 1 ) x X ( P ) x ( f A Função de Probabilidade (fp) Conjunto de Valores

Experimento Conjunto de Valores - mat.ufrgs.brviali/estatistica/mat2248/material/laminaspi/... · 2 Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de

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Prof. Lorí Viali, [email protected]

http://www.mat.ufrgs.br/~viali/Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Bernoulli

Binomial

Binomial Negativa ou Pascal

Geométrica

Hipergeométrica

Uniforme

Poisson Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados são anotados por “0” ou “fracasso” e “1” ou “sucesso”. A probabilidade de ocorrência de “sucesso é representada por “p” e a de insucesso por“q = 1 – p”.

Experimento

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

X(S) = { 0, 1}

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

===1 = x se p

0 = x se p1)xX(P)x(f

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

22

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

A Função de Probabilidade (fp)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

⎪⎩

⎪⎨

≤=≤=

1 x se 1

1 <x 0 se q

0 < x se 0

)xX(P)x(F

A Função de Distribuição (FD)

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Função de Distribuição

10

1

p1q −=

p

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pq)p1(ppp

p)p.1q.(0

E(X)-)X(E)X(V

2

222

22

=−=−=

=−+=

==

CaracterísticasExpectância ou Valor Esperado

∑ =+== pp.1q.0)x(f.x )X(E

Variância

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Suponha que um circuito é testado

e que ele seja rejeitado com

probabilidade 0,10. Seja X = “o número

de circuitos rejeitados em um teste”.

Determine a distribuição de X.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Como se trata de um único teste, a variável X é Bernoulli com p =10%, assim a distribuição é:

⎪⎩

⎪⎨⎧

===1 = x se 0,1

0 = x se 9,0)xX(P)x(f

33

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Como existem apenas duas situações: A ocorre e A não ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q = 1 – p.

A VAD definida por X = “número de vezes que A ocorreu nas ‘n’repetições de E” é denominada BINOMIAL.

Experimento

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X(S) = {0, 1, 2, 3, ..., n}

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

qpx

n)xX(P)x(f xnx −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

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A Função de Probabilidade (fp)

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

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A Função de Distribuição (FD)

⎪⎪

⎪⎪

>

≤∑ ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤=

=

n x se 1

n x 0 se qp k

n

0< x se 0

)xX(P)x(Fx

0k

k-nk

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Função de Distribuição

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

44

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E(X)-)X(E)X(V 22=

CaracterísticasExpectância ou Valor Esperado

np qpx

n.x )x(f.x )X(E xnx∑ =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑ == −

Variância

npp1)-n(n qpx

n.x )X(E 2xnx22 +∑ =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

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npq)p1(npnppn

)np(npp)1n(n

E(X)-)X(E)X(V

2

22

22

=−=+−=

=−+−

==

Assim:np )X(E =

npq X =σ

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Suponha que um circuito é testado

e que ele seja rejeitado com

probabilidade 0,10. Seja X = “o número

de circuitos rejeitados em 10 testes”.

Determine a distribuição de X.

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Como se tratam de 10 testes a variável X é Binomial com p =10%, assim a distribuição é:

10 ..., 2, 1, 0, x para

)9,0(.)1,0(x

10 )xX(P)x(f x10x

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== −

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Uma fábrica recebe um lote de 100 peças das quais cinco são defeituosas. Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100 peças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de 10 peças selecionadas para inspeção. Determinar a probabilidade de o lote ser aceito.

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Tem-se:n = 10 e p = 5/100 = 0,05

%87,59

95,005,00

10 0) X(P)0(f 100

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

55

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Tem-se:n = 10 e p = 5/100 = 5%

Então:

59,87%

)95,0(.)5,0(.0

10 0) X(P)0(f 100

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

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A distribuição Geométrica, também, estárelacionada com o experimento de Bernoulli. A diferença é que, agora, o que é fixado é o primeiro sucesso e não o número de tentativas, isto é, X = número de tentativas realizadas até se conseguir o primeiro sucesso.

Experimento

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X(S) = {1, 2, 3, ...}

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

qp)xX(P)x(f 1x−===

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

A Representação Gráfica

0,00

0,20

0,40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A distribuição G(0,4)Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

A Função de Distribuição (FD)

⎩⎨⎧

<=≤=

1 x se q-1

1 x se 0)xX(P)x(F x

66

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A Função de Distribuição (FD)

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A distribuição acumulada da G(0,4)Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

E(X)-)X(E)X(V 22=

CaracterísticasExpectância ou Valor Esperado

p1

qp.x )x(f.x )X(E 1x∑ =∑ == −

Variância

pq

p1qp.x )X(V 2

21x2 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−∑= −

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Suponha que um jogador de futebol converta 3 de cada 4 penalidades cobradas. Determine a probabilidade de ele tentar 4 penalidades até converter a primeira?

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Neste caso, tem-se: p = (3/4) = 75% e q = (1/4) = 25%

X = Número de tentativas antes do primeiro sucesso, é, então, uma G(0,75)

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f(x) = P(X = x) = 0,75.0,25x-1

para x = 1, 2, 3, …PortantoPortanto::

f(4) = P(X = 4) = 0,75.0,253 == 1,17%

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A distribuição binomial negativa étambém conhecida como de Pascal ou de Pólya. Ela fornece o número de falhas até um número fixo de sucessos. Um experimento que apresenta uma distribuição binomial negativa satisfaz as seguintes condições:

Experimento

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O experimento consiste de uma seqüência de tentativas independentes;

CondiçõesCada tentativa apresenta apenas dois

resultados: sucesso ou fracasso;

A probabilidade de sucesso permanece constante em todas as tentativas;

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O experimento continua até que um total de “r” sucessos sejam observados, onde “r” é um valor inteiro maior do que um, fixado de antemão.

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X(S) = {r, r + 1, r + 2,...}

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

qp1r1x

)xX(P)x(f rxr −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

===

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A Representação Gráfica

A distribuição BN(3; 0,4)

0,00

0,20

0,40

0,60

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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A Função de Distribuição (FD)

⎪⎩

⎪⎨

∑ ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

<

=

=

−x

rk

rkr r x se qp1-r1-k

r x se 0)x(F

88

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A Função de Distribuição (FD)

A distribuição acumulada da BN(1; 0,4)

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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E(X)-)X(E)X(V 22=

CaracterísticasExpectância ou Valor Esperado

pr qp

1r1x

.x )x(f.x )X(Erx

rxr

rx∑ =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=∑=∞

=

−∞

=

Variância

prq

prqp

1r1x

.x )X(V 2

2

rx

rxr2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∑ ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=∞

=

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Suponha que um jogador de basquete acerte 4 a cada 5 lances livres. Seja X o número de tentativas para obter o terceiro acerto. Determine a probabilidade que ele precise fazer 6 lances, isto é, P(X = 6).

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Neste caso, tem-se:

r = 3, p = (4/5) = 80% e q = 20%

X = Número de tentativas para obter o

terceiro acerto é, então, uma BN(3; 0,8)

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ondeonde x = 3, 4, 5, x = 3, 4, 5, 66, 7,, 7,……

2,08,01r1x

)xX(P)x(f 3x3 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

===

%10,40410,02,0.8,025

2,0.8,02

16 )6X(P)6(f

33

363

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=== −

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Existe uma relação entre a Binomial e a Pascal (Binomial Negativa). Na Binomial fixa-se o tamanho da amostra (número de provas de Bernoulli) e observa-se o número de sucessos.

Observações:

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Na Binomial Negativa fixa-se o número de sucessos e observa-se o tamanho da amostra (número de provas de Bernoulli) necessário para obter o número fixado de sucessos.

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A distribuição Binomial é deduzida

com base em “n” repetições de um

experimento de maneira independente (isto é, p = constante), ou retiradas com

reposição de uma população finita.

Experimento:

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Se a experiência consistir na seleção de objetos, sem reposição, de uma população finita, de tamanho “N”, onde “r”apresentam uma característica “N – r” não apresentam esta característica, então existirá dependência entre as repetições.

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Neste caso a variável aleatória X = “número de objetos com a característica r em uma amostra de tamanho n”, terá uma distribuição denominada de Hipergeométrica.

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x : máx{0, n–N+r}, ..., mín{r, n}

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

===

nN

xnrN

xr

)xX(P)x(f

1010

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A Função de Probabilidade (fp)H(20; 15; 50)

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

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A Função de Distribuição (FD)

n} mín{r, k

r}N-n máx{0, j onde

k x se 1

k xj se

n

Nxn

rN

x

r

j x se 0

)xX(P)x(Fk

jx

=

+=

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

>

≤∑ ≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

<

=≤==

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Função de DistribuiçãoH(20; 15; 50)

0,000,100,20

0,300,400,50

0,600,700,80

0,901,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

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1NnNnpqX −

−=σ

Características

Expectância ou Valor Esperado

np )X(E =

Desvio Padrão

Nr p Onde =

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Uma fábrica recebe um lote de 100 peças das quais cinco são defeituosas. Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100 peças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de 10 peças selecionadas para inspeção. Determinar a probabilidade de o lote ser aceito.

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Pela Hipergeométrica:N = 100, r = 5, n = 10

%38,58

10

10010

95.

0

5

0) X(P)0(f =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

===

1111

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Pela Binomial:n = 10 e p = 5/100 = 5%

59,87%

)95,0(.)05,0(.010

0) X(P)0(f 100

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

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A distribuição uniforme é a mais simples das variáveis discretas. A variável assume os valores: x1, x2, ..., xn

sempre com igual probabilidade.

Experimento:

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Definição:

Uma variável aleatória X que assume os valores x1, x2, ..., xn é dita uniforme discreta se todos os valores ocorrem com a mesma probabilidade, isto é, f(xi) = 1/n.

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X(S) = {x1, x2,..., xn}

A Função de Probabilidade (fp)

Conjunto de Valores

n/1)xX(P)x(f ii ===

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A Representação Gráfica

A distribuição U(10)

0,00

0,05

0,10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1212

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A Função de Distribuição (FD)

⎪⎩

⎪⎨⎧

<=≤=

x x se ni

x x se 0)x(P)x(F

i

1

ii

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A Função de Distribuição (FD)

A distribuição acumulada da U(10)

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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E(X)-)X(E)X(V 22=

CaracterísticasExpectância ou Valor Esperado

∑=∑===

n

1ii

n

1iii x

n1 )x(f.x )X(E

Variância

( ) ]nxx[

n1 )X(V i

22i

∑−∑=

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Suponha que um dado honesto élançado. Seja X = valor da face voltada para cima. Determinar a distribuição de X.

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11/61/61/61/61/61/6f(x)

Σ654321x

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1313

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Na Binomial a variável que interessa é o número de sucessos em um intervalo discreto (n repetições de um experimento). Muitas vezes, entretanto, o interesse é o número de sucessos em um intervalo contínuo, como o tempo, área, superfície, etc.

Experimento

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Para determinar a f(x) de uma distribuição deste tipo, será suposto que:(i) Eventos definidos em intervalos não sobrepostos são independentes;(ii) Em intervalos de mesmo tamanho as probabilidades de um mesmo número de sucessos são iguais;

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(iii) Em intervalos muito pequenos a

probabilidade de mais de um sucesso é

desprezível;

(iv) Em intervalos muito pequenos a

probabilidade de um sucesso é proporcional

ao tamanho do intervalo.

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Se uma variável satisfaz estas quatro propriedades ela é dita VAD de POISSON.

Definição:

Se X é uma VAD de POISSON, então a função de probabilidade de X édada por:

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A Função de Probabilidade (fp)

“λ” é denominada de taxa de sucessos

... 2, 1, 0, x para!x.e)xX(P)x(f

x

=

λ===λ−

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A Função de Probabilidade (fp) - P(10)

0,00

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

1414

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A Função de Distribuição (FD)

⎪⎩

⎪⎨

∑ ≥λ

<

=≤=

=

λx

0k

k-0 x se

!k.e

0 x se 0)xX(P)x(F

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Função de Distribuição - P(10)

0,000,10

0,20

0,300,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

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λ=σX

Características:

Expectância ou Valor Esperado

λ= )X(E

Desvio Padrão

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O número de consultas a uma base de dados computacional é uma VAD de Poisson com λ = 6 em um intervalo de dez segundos. Qual é a probabilidade de que num intervalo de 5 segundos nenhum acesso se verifique?

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A taxa de consultas é de “seis” em “dez” segundos em “cinco” segundos teremos uma taxa deλ = 3 consultas. Então:

%98,4e

0!0.e 0) X(P)0(f

3-

3-3

==

====

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Considerando o exemplo dado na Hipergeométrica, que foi resolvido, também, pela Binomial, é possível ainda utilizar a Poisson. Para isto deve-se fazer λ = np.

1515

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%65,60e

0!0.e 0) X(P)0(f

0,5-

-0,5

==

====

Então:

λ = 10.0,05 = 0,5.

Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Binomial: 59,85%Hipergeométrica: 58,38%

Poisson: 60,65%

Como pode ser visto, nesse caso, épossível utilizar três modelos para resolver um único problema.