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EXPERIMENTOS EM PARCELASSUBDIVIDIDAS

Lucas Santana da Cunhaemail: [email protected]

http://www.uel.br/pessoal/lscunha/

Universidade Estadual de Londrina

06 de julho de 2016

Lucas Santana da Cunha email: [email protected] http://www.uel.br/pessoal/lscunha/Estatıstica Experimental - Zootecnia

Nos experimentos fatoriais, todas as combinacoes dos nıveis dosfatores (tratamentos) sao distribuıdas nas unidades experimentais,seguindo a casualizacao caracterıstica do delineamento.

Entretanto, outros tipos de casualizacao sao possıveis e uma dessasalternativas nos leva ao experimento em parcelas subdivididas.

Nesses experimentos, como no esquema fatorial, tambem sao es-tudados dois ou mais fatores simultaneamente. Esses fatores saochamados primarios e secundarios.










Na instalacao os nıveis do fator primario (A) sao distribuıdos asparcelas segundo um tipo de delineamento experimental: DIC, DBC,DQL.

Posteriormente, os nıveis do fator secundario (B), sao casualizadosnas sub parcelas.

Deve-se designar as parcelas os tratamentos para os quais se deseja,ou que se pode, ter uma precisao menor.

Tal disposicao permite obter uma estimativa geral de maior precisaopara os efeitos dos tratamentos do segundo fator.

















Nos experimentos em parcelas subdivididas tem-se dois resıduos dis-tintos: um correspondente as parcelas e outro as subparcelas dentrodas parcelas.

Em casos mais complexos, as subparcelas podem, tambem, ser re-partidas em subsubparcelas. Tem-se, neste caso, tres resıduos dis-tintos:

Resıduo (a), referente as parcelas;

Resıduo (b), a subparcelas e

Resıduo (c), correspondendo as subsubparcelas.


Nos experimentos em parcelas subdivididas tem-se dois resıduos dis-tintos: um correspondente as parcelas e outro as subparcelas dentrodas parcelas.

Em casos mais complexos, as subparcelas podem, tambem, ser re-partidas em subsubparcelas. Tem-se, neste caso, tres resıduos dis-tintos:

Resıduo (a), referente as parcelas;

Resıduo (b), a subparcelas e

Resıduo (c), correspondendo as subsubparcelas.


A decomposicao do numero de graus de liberdade de um experi-mento em parcela subdividida com a tratamentos primarios, b tra-tamentos secundarios e r repeticoes.

Tabela 1: Parcela subdividida no delineamento inteiramente casualizado

CV GL

Tratamento A a− 1

Resıduo(a) a(r − 1)

Parcelas ar − 1

Tratamento B b − 1

A× B (a− 1)(b − 1)

Resıduo(b) a(b − 1)(r − 1)

Total abr − 1


Tabela 2: Parcela subdividida no delineamento em blocos casualizados.

CV GL

Blocos r − 1

Tratamento A a− 1

Resıduo(a) (a− 1)(r − 1)

Parcelas ar − 1


A× B (a− 1)(b − 1)

Resıduo(b) a(r − 1)(b − 1)

Total abr − 1


Tabela 3: Parcela subdividida no delineamento em quadrado latino.

CV GL

Linhas a− 1

Colunas a− 1

Tratamento A a− 1

Resıduo(a) (a− 1)(a− 2)

Parcelas a2 − 1


A× B (a− 1)(b − 1)

Resıduo(b) a(a− 1)(c − 1)

Total a2b − 1


O delineamento em parcelas subdivididas e desejavel nas seguintessituacoes:

1 Quando os tratamentos associados aos nıveis de um dos fatoresexigem maior quantidade de material na unidade experimentaldo que os tratamentos do outro fator;

2 Pode ser utilizado quando um fator adicional e incorporado numexperimento, para ampliar seu objetivo;

3 Atraves da previa informacao, sabe-se que maiores diferencaspodem ser esperadas entre os nıveis de um certo fator do queentre os nıveis do outro fator.












Do ponto de vista estatıstico, os fatoriais sao, em geral, mais efici-entes que os em parcelas subdivididas.

Enquanto nos fatoriais temos um so resıduo para todos os F e com-paracoes de medias, no ”split-plot” ha dois resıduos, um para com-paracoes de parcelas e outro para subparcelas.

Para parcela, o numero de GL geralmente e pequeno, levando apouca sensibilidade na analise.










Exemplo: Suponha o caso de um experimento com tres racoes (A,B, e C ),

em seis blocos casualizados, cada parcela constituıda por dois animais. Em

uma determinada fase do ensaio, os bovinos, dentro de cada parcela, pas-

saram a receber, por sorteio, um dos tipos de suplementos minerais (M ou

P). Os ganhos de pesos individuais, ao final do experimento, sao apresen-

tados na tabela abaixo.

Tabela 4: Ganhos de pesos, em quilos, ao final do experimento.Tipos de Racao

Blocos A B C TotaisM P M P M P

I 107 89 116 101 90 96 599II 117 101 136 110 112 89 665III 122 98 130 104 99 92 645IV 111 101 122 91 105 78 608V 90 95 117 100 110 90 602VI 116 90 114 94 114 93 621

Totais 663 574 735 600 630 538 3.740


O modelo linear para o experimento em parcelas subdivididas nodelineamento em blocos ao acaso e dado por:

yijk = µ+ τi + γk + (τγ)ik + βj + (τβ)ij + (τβγ)ijk ,

i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , bk = 1, 2, . . . , r

(1)

em que:

a) yijk e o valor observado no i-esimo tratamento, k-esimo bloco e j-esimasubparcela;

b) µ e uma constante;

c) τi e o efeito da i-esima racao;

d) γk e o efeito do k-esimo bloco;

e) (τγ)ik e o resıduo da parcela;

f) βj e o efeito do j-esimo suplemento mineral;

g) (τβ)ij e a interacao entre a i-esima racao e o j-esimo sumplemente mineral;

h) (τβγ)ijk e o resıduo da subparcela;


Considerando que as pressuposicoes para a realizacao da analise devariancia foram atendidas, passa-se, entao, a construcao do quadrode analise de variancia que e dado por:

Tabela 5: Quadro da Analise de Variancia.

C.V. S.Q. g.l. Q.M. Fcalc

Blocos SQBlocos r − 1 SQBlocosr−1

QMBlocosQMRes(a)

Racao SQRac a− 1 SQRaca−1

QMRacQMRes(a)

Resıduo(a) SQRes(a) (a− 1)(r − 1)

(Parcelas) SQParcelas ar − 1

Suplemento SQSup b − 1SQSup

b−1

QMSup

QMRes(b)

Racao × Suplemento SQInter (a− 1)(b − 1) SQInt(a−1)(b−1)

QMIntQMRes(b)

Resıduo(b) SQRes(b) a(r − 1)(b − 1)SQRes(b)

a(r−1)(b−1)

Total SQTotal abr − 1


em que as somas de quadrados sao dadas por:

SQTotal =a∑

i=1

b∑j=1

r∑k=1

y 2ijk − C C =

(∑ai=1

∑bj=1

∑rk=1 yijk

)2

abc

SQRacao =1

r × b

a∑i=1

T 2

Racao − C

SQBlocos =1

a× b

r∑k=1

T 2Bloco − C

SQParcelas =1

b

a∑i=1

r∑k=1

T 2Parcela − C

SQRes(a) = SQParcelas − SQRacao − SQBlocos


SQSup =1

a× r

b∑j=1

T 2Sup − C

SQRac,Sup =1

r

a∑i=1

b∑j=1

T 2Raci ,Supj − C

SQRacxSup = SQRac,Sup − SQRac − SQSup

SQRes(b) = SQTotal − SQParcelas − SQSup − SQRacxSup


Para facilitar o calculo das somas de quadrados, pode-se construir tabelas auxi-liares, como apresentado na proxima Tabela.

Tabela 6: Tabela auxiliar para calculo das somas de quadrados dasparcelas.

Blocos (2)Tipos de Racao

TotaisA B C

I 196 217 186 599

II 218 246 201 665

III 220 234 191 645

IV 212 213 183 608

V 185 217 200 602

VI 206 208 207 621

Totais 1.237 (12) 1.335 (12) 1.168 (12) 3.740


Para o calculo das somas de quadrados das Parcelas, tem-se:

C =

(∑ai=1

∑bj=1

∑ck=1 yijk

)2

N

=(107 + 117 + · · · + 90 + 93)2

3 × 2 × 6= 388.544,4

SQTotal =a∑

i=1

b∑j=1

c∑k=1

y 2ijk − C

= (1072 + 1172 + · · · + 902 + 932) − 388.544, 4 = 6.061,556

SQRac =1

b × c

a∑i=1

y 2i·· − C

=1

2 × 6× (1.2372 + 1.3352 + 1.1682) − 388.544, 4 = 1.173,722


SQBlocos =1

a× c

b∑j=1

y 2·j· − C

=1

2 × 3× (5992 + · · · + 6212) − 388.544, 4 = 582,2222

SQParcelas =1

c

a∑i=1

b∑j=1

y 2ij· − C

=1

2× (1962 + · · · + 2002 + 2072) − 388.544, 4 = 2.377,556

SQRes(a) = SQParcelas − SQTrat − SQBlocos

= 2.377, 556 − 1.173, 722 − 582, 2222 = 621,6111

Para o calculo das demais somas de quadrados, utiliza-se a seguinte tabela

auxiliar.


Tabela 7: Tabela auxiliar para calculo das somas de quadrados dasSubparcelas.

Suplementos (6)Tipos de Racao

TotaisA B C

M 663 735 630 2.028

P 574 600 538 1.712

Totais 1.237 (12) 1.335 (12) 1.168 (12) 3.740


SQSup =1

a× b

c∑k=1

y 2··k − C

=1

3 × 6× (2.0282 + 1.7122) − 388.544, 4 = 2.773,778

SQRac,Sup =1

a× c

b∑j=1

c∑k=1

y 2i·· − C

=1

3 × 2(6632 + 5742 + · · · + 6302 + 5382) − 388.544, 4

= 4.057.889

SQInter = SQRac,Sup − SQRac − SQSup

= 4.057, 889 − 1.173, 722 − 2.773, 778

= 110,3889

SQRes(b) = SQTotal − SQParcelas − SQSup − SQInter

= 6.061, 556 − 2.377, 556 − 2.773, 778 − 110, 3889

= 799,8333


Assim, o quadro da analise de variancia para os dados da Tabela 4 fica:

Tabela 8: Quadro da analise de variancia do experimento em parcelassubdivididas no delineamento em blocos ao acaso.

Causa da Variacao S.Q. g.l. Q.M. Fcalc Pr(> F )

Blocos 582, 22 5 116, 44

Racao 1.173, 72 2 586, 86 9, 441 0, 004976∗∗

Resıduo(a) 621, 61 10 62, 16

(Parcelas) 2.377, 556 17

Suplementos 2.773, 78 1 2.773, 78 52, 0192 3, 011 × 10(−6)∗∗∗

Racao × Suplementos 110, 39 2 55, 19 1, 0351 0, 3792

Resıduo(b) 799, 83 15 53, 32

Total 6.061, 556 35

Os efeitos das Racoes e dos Blocos sao testados usando o Resıduo(a).

Os efeitos dos Suplementos e da Interacao sao testados usando o Resıduo(b).


Verifica-se da Tabela 8 que a interacao entre os tipos de Racao e Suple-mentos nao foi significativa, havendo efeito dos fatores principais: Racaoe Suplemento.

Logo, aplica-se o teste de Tukey para verificar quais os tipos de Racao quediferem entre si. No caso de Suplementos, como so ha dois nıveis, nao e

necessario a aplicacao do teste de Tukey.

Assim, aplica-se a Equacao 2 para Racao, observando-se que o QMResutilizado sera o Residuo(a) da Tabela 8.

∆ = q

√QMRes

r

= 3, 876777 ×√

62, 16111

12∆ = 8,8 kg


Construindo-se a tabela das medias ordenadas em ordem decrescente, tem-se:

Medias (kg)

Racao B 111,25 a

Racao A 103,0833 ab

Racao C 97,3333 b

em que letras iguais indicam medias semelhantes.No caso dos suplementos, basta observar que a media de ganho de peso dosanimais que foram alimentados com o suprimento M foi de

yM = 112, 7 kg

e com o suprimento F foi de

yF = 95, 1 kg

mostrando que o suprimento M foi mais eficiente no ganho de peso.


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