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Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II ESALQ/USP 29/09/2016 (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2 k Fracionados II 29/09/2016 1 / 35

Experimentos Fatoriais 2k Fracionados II...(ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2k Fracionados II 29/09/2016 20 / 35-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-6-2 2 6 Tempo de espera (C) Resíduos-1 1-6-2

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  • Experimentos Fatoriais 2k Fracionados II

    ESALQ/USP

    29/09/2016

    (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2k Fracionados II 29/09/2016 1 / 35

  • Um quarto do fatorial completo (Fatorial fracionado 2k−2)

    Quando utilizar?Em situações em que há um número grande de fatores (k ≥ 5)

    O fatorial possui2k

    4= 2k−2 tratamentos

    Ex. k = 6 fatores ⇒ número de tratamentos = 26−2 = 24 = 16Pode ser construído baseando-se num fatorial completo 2k−2, isto é,com k − 2 fatoresEscolher, em seguida, dois geradores, representados por P e Q, euma das relações definidoras:

    1 I = +P e I = +Q (fração principal)2 I = −P e I = +Q3 I = +P e I = −Q4 I = −P e I = −Q

    As quatro frações pertencem à mesma família pois são baseadas nosmesmos geradores, P e Q

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  • Construção de um fatorial fracionado 2k−2

    Exemplo:k = 5 fatores: A, B , C , D e EEfeitos geradores: ABD e ACERelações definidoras da fração principal: I = +ABD e I = +ACENeste caso, D.I = +ABD2 ⇒ D = +AB eE .I = +ACE 2 ⇒ E = +ACVamos partir do fatorial completo 23 envolvendo os fatores A, B e C

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  • Tabela: Fatorial fracionado 25−2III dado pelas relações definidorasI = +ABD ⇒ D = +AB e I = +ACE ⇒ E = +AC

    Fatorial 23

    A B C D = +AB E = +AC Trat.− − − + + de+ − − − − a− + − − + be+ + − + − abd− − + + − cd+ − + − + ace− + + − − bc+ + + + + abcde

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  • Relação definidora completa de um fatorial. Consiste na relação detodas as colunas que são iguais à coluna identidade INo caso em questão, temos que

    I = (+ABD).(+ACE ) = +A2BCDE = +BCDE

    Logo a relação definidora completa será:

    I = +ABD = +ACE = +BCDE

    ABD, ACE e BCDE , presentes na relação definidora completa, sãochamadas palavrasO número de letras da menor palavra da relação definidora fornece aresolução do fatorial considerado, no caso, resolução III

    Exercício 1. Obtenha a estrutura de associações para o fatorial do exemplo

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  • I = +ABD = +ACE = +BCDE

    Associações:

    A = +BD = +CE = +ABCDE

    B = +AD = +ABCE = +CDE

    C = +ABCD = +AE = +BDE

    D = +AB = +ACDE = +BCE

    E = +ABDE = +AC = +BCD

    BC = +ACD = +ABE = +DE

    BE = +ADE = +ABC = +CD

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  • Associações:

    `A → A+ BD+ CE+ ABCDE`B → B+ AD+ CDE + ABCE`C → C+ AE+ BDE + ABCD`D → D+ AB+ BCE + ACDE`E → E+ AC+ BCD + ABDE`BC → BC+DE+ ABE + ACD`BE → BE+ CD+ ABC + ADE

    Exercício 2. Qual é resolução do fatorial fracionado 25−2 dado pelasrelações definidoras I = −ABCD e I = −BCDE? Por que?

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  • Exercício 3. Construa um outro fatorial fracionado 25−2III pertencente àmesma família do fatorial fracionado apresentado no exemplo (Utilize, porexemplo, as relações definidoras I = +ABD e I = −ACE )a) Obtenha sua relação definidora completab) Obtenha sua estrutura de associaçõesc) Responda. Se obtivermos resultados relativos às frações principal e

    alternativa considerada, o que estaremos estimando por meio de:12(`C + `

    ′C ),

    12(`C − `

    ′C ),

    12(`E + `

    ′E ),

    12(`E − `

    ′E ),

    12(`BC + `

    ′BC ) e

    12(`BE − `

    ′BE )?

    Exercício 4. Obtenha a relação definidora completa e a estrutura deassociações do fatorial fracionado 26−2IV dado pelas relações I = +ABCE eI = +BCDF . Quando estimamos o efeito AB , o que estamos, na verdade,estimando?

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  • Exemplo 8-4 de Montgomery

    Códigos em R# Planejamentoexpt = cube(~A+B+C+D, generators = c(E~A*B*C, F~B*C*D), n0=0)expt# Planejamento na sequência padrãostdorder(expt)

    # Entrada dos dados na sequência padrãoy = c(6,10,32,60,4,15,26,60,8,12,34,60,16,5,37,52)

    # Análise utilizando a função lmmodelo1 =lm(y ~ A*B*C*D*E*F, data=stdorder(expt))summary(modelo1)

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  • Planejamentorun.order std.order A.as.is B.as.is C.as.is D.as.is E.as.is F.as.is

    15 15 1 -1 -1 -1 -1 -1 -13 3 2 1 -1 -1 -1 1 -112 12 3 -1 1 -1 -1 1 110 10 4 1 1 -1 -1 -1 111 11 5 -1 -1 1 -1 1 19 9 6 1 -1 1 -1 -1 15 5 7 -1 1 1 -1 -1 -12 2 8 1 1 1 -1 1 -116 16 9 -1 -1 -1 1 -1 11 1 10 1 -1 -1 1 1 113 13 11 -1 1 -1 1 1 -17 7 12 1 1 -1 1 -1 -114 14 13 -1 -1 1 1 1 -18 8 14 1 -1 1 1 -1 -16 6 15 -1 1 1 1 -1 14 4 16 1 1 1 1 1 1

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  • Estimativas dos coeficientes do modelos de regressãoCoefficients: (48 not defined because of singularities)

    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 27.3125 NA NA NAA 6.9375 NA NA NAB 17.8125 NA NA NAC -0.4375 NA NA NAD 0.6875 NA NA NAE 0.1875 NA NA NAF 0.1875 NA NA NAA:B 5.9375 NA NA NAA:C -0.8125 NA NA NAB:C -0.9375 NA NA NAA:D -2.6875 NA NA NAB:D -0.0625 NA NA NAC:D -0.0625 NA NA NAD:E 0.3125 NA NA NAA:B:D 0.0625 NA NA NAA:C:D -2.4375 NA NA NA

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  • Estimativas dos efeitos> efeitos = na.omit(2*coef(modelo1)[-1])> efeitos

    A B C D E F A:B A:C B:C A:D13.875 35.625 -0.875 1.375 0.375 0.375 11.875 -1.625 -1.875 -5.375

    B:D C:D D:E A:B:D A:C:D-0.125 -0.125 0.625 0.125 -4.875

    Estimativas dos efeitos em ordem crescente> sort(efeitos)

    A:D A:C:D B:C A:C C B:D C:D A:B:D F E-5.375 -4.875 -1.875 -1.625 -0.875 -0.125 -0.125 0.125 0.375 0.375

    D:E D A:B A B0.625 1.375 11.875 13.875 35.625

    Gráfico normal de probabilidades para os efeitos fatoriais> qqnorm(efeitos,main="", xlab="Quantis teóricos",

    ylab="Estimativas dos efeitos", col="blue")> qqline(efeitos, col="red")

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  • −1 0 1

    010

    2030

    Quantis teóricos

    Est

    imat

    ivas

    dos

    efe

    itos

    Figura: Gráfico normal de probabilidades dos efeitos fatoriais

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  • Analisando o gráfico normal de probabilidades dos efeitos fatoriais,podemos ver que os únicos efeitos que se destacam são: A, B e(AB + CE )

    Uma vez que os efeitos principais A e B se destacam, consideraremosque o efeito AB se sobressai sobre o efeito CEChegamos, assim, ao modelo:

    ŷ = 27,3125+ 6,9375x1 + 17,8125x2 + 5,9375x1x2 (1)

    Modelo e análise de resíduoslibrary(lattice)modelo2 = rsm(y ~ FO(A,B) + TWI(A,B), data=stdorder(expt))summary(modelo2)par(mfrow=c(1,3))plot(modelo2)par(mfrow=c(1,1))

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  • ModeloEstimate Std. Error t value Pr(>|t|)

    (Intercept) 27.3125 1.1382 23.9955 1.648e-11 ***A 6.9375 1.1382 6.0950 5.377e-05 ***B 17.8125 1.1382 15.6493 2.392e-09 ***A:B 5.9375 1.1382 5.2164 0.000216 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

    Multiple R-squared: 0.9626,Adjusted R-squared: 0.9533F-statistic: 103.1 on 3 and 12 DF, p-value: 7.837e-09

    Analysis of Variance Table

    Response: yDf Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

    FO(A, B) 2 5846.6 2923 141.024 4.619e-09TWI(A, B) 1 564.1 564 27.211 0.000216Residuals 12 248.8 21Lack of fit 0 0.0 InfPure error 12 248.8 21

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  • 10 20 30 40 50

    −5

    05

    Fitted values

    Res

    idua

    ls

    Residuals vs Fitted

    14

    5 4

    −2 −1 0 1 2

    −1

    01

    2

    Theoretical Quantiles

    Sta

    ndar

    dize

    d re

    sidu

    als

    Normal Q−Q

    14

    5 4

    10 20 30 40 50

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    1.2

    1.4

    Fitted values

    Sta

    ndar

    dize

    d re

    sidu

    als

    Scale−Location14

    5 4

    Figura: Da esquerda para a direita: gráfico do resíduos vs valores ajustados;gráfico normal de probabilidades dos resíduos e gráfico das raízes quadradas dosvalores absolutos dos resíduos padronizados vs valores ajustados

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  • Analisando o gráfico do resíduos vs valores ajustados, observamos quenão há observações atípicas;Analisando o gráfico normal de probabilidades dos resíduos,observamos que os erros têm distribuição aparentemente normalAnalisando gráfico das raízes quadradas dos valores absolutos dosresíduos padronizados vs valores ajustados, observamos que avariabilidade se mantém constante com o aumento dos valoresajustados, não sugerindo uma eventual transformação dos dadosComo os gráficos estão satisfatórios, o modelo está aparentementeadequado

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  • Gráfico do efeito da interação ABlibrary(lattice)xyplot(y ~ A, groups = B, type="a", data=stdorder(expt),

    ylab="Encolhimento médio (%)",auto.key = list(space = "right", points = FALSE, lines = TRUE))

    A

    Enc

    olhi

    men

    to m

    édio

    (%

    )

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

    −11

    Figura: Gráfico do efeito da interação AB (temperatura do molde × velocidadedo parafuso) sobre a porcentagem de encolhimento do produto

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  • A partir do gráfico da interação AB , observamos que o processo demoldagem por injeção é muito pouco sensível à temperatura do molde(A) quando a velocidade do parafuso (B) está em seu nível mais baixoEntretanto, é muito sensível à temperatura do molde quando avelocidade do parafuso está em seu nível mais altoCom a velocidade do parafuso em seu nível mais baixo, o processo demoldagem produz um encolhimento médio de aproximadamente 10%Baseando-se nesta análise inicial, o grupo de profissionais envolvidosresolveu adotar ambos os fatores em seus níveis mais baixos

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  • Considerações adicionais:O modelo de regressão (1) utilizado para produzir os resíduosessencialmente removem os efeitos de locação de A, B e ABOs resíduos, portanto, podem conter informação sobre eventuaisvariabilidades não explicadas (somente quando o modelo de regressãoestá adequado!!). Vejamos um exemplo

    Gráfico dos resíduos vs tempo de espera (C ) e box-plot dos resíduos vstempo de espera (C )res = residuals(modelo2)plot(res ~ C, data=stdorder(expt),

    xlab="Tempo de espera (C)", ylab="Resíduos")abline(h=0)boxplot(res ~ C, data=stdorder(expt),

    xlab="Tempo de espera (C)", ylab="Resíduos")

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  • −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

    −6

    −2

    26

    Tempo de espera (C)

    Res

    íduo

    s

    −1 1

    −6

    −2

    26

    Tempo de espera (C)R

    esíd

    uos

    Figura: Gráfico dos resíduos vs tempo de espera, à esquerda, e box-plot dosresíduos vs tempo de espera, à direita

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  • A partir de qualquer um dos gráficos apresentados na figura anterior,observamos que a variabilidade (ou dispersão) dos valores deencolhimento é aparentemente menor quando consideramos um menortempo de esperaTemos que o desvio padrão dos oito resíduos em que C está em seunível inferior é S(C−) = 1,629801 e o desvio padrão dos oito resíduosem que C está em seu nível superior é S(C+) = 5,695785.A estatística

    F ∗C = lnS2(C+)

    S2(C−)

    tem distribuição aproximadamente normal se as duas variâncias,σ2(C+) e σ2(C−) forem iguaisPara ilustrar os cálculos, o valor de F ∗C é

    F ∗C = lnS2(C+)

    S2(C−)= ln

    (5,695785)2

    (1,629801)2= 2,502537

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  • Conjunto de contrastes para o fatorial 26−2 e resíduos do modelo (1)A B C D E F A:B A:C B:C A:D B:D C:D D:E A:B:D A:C:D res

    -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -2.501 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 -0.50

    -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -0.251 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 2.00

    -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -4.501 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 4.50

    -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -6.251 1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2.00

    -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -0.501 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1.50

    -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1.751 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 2.00

    -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 7.501 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -5.50

    -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 4.751 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -6.00

    (ESALQ/USP) Experimentos Fatoriais 2k Fracionados II 29/09/2016 23 / 35

  • Com base na tabela de contrastes, podemos, para cada coluna,calcular o desvio padrão dos resíduos para cada grupo de sinais,digamos S(i+) e S(i−), i = 1, . . . , 15Então

    F ∗i = lnS2(i+)

    S2(i−)

    é uma estatística que pode ser utilizada para avaliar a magnitude dosefeitos de dispersão no experimento

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  • Gráfico normal de probabilidade dos efeitos de dispersão (F ∗i )modelo1 = lm(y ~ A*B*C*D*E*F, data=stdorder(expt))modelo2 = rsm(y ~ FO(A,B)+TWI(A,B), data=stdorder(expt))res = residuals(modelo2)X = model.matrix(modelo1)n = nrow(X)/2S2_plus= (((t(X==+1) %*% (res^2)) -(t(X==+1) %*% res)^2/n)/(n/2-1))S2_minus=(((t(X==-1) %*% (res^2)) -(t(X==-1) %*% res)^2/n)/(n/2-1))Fstat=log(S2_plus/S2_minus)ind=1-is.na(coef(modelo1))Fstat=Fstat[ind==1][-1]names(Fstat)=names(coef(modelo1))[ind==1][-1]round(sort(Fstat),2)qqnorm(Fstat,main="", col="blue", xlab="Quantis teóricos", ylab="Efeitos de dispersão (F_i)")qqline(Fstat, col="red")

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  • −1 0 1

    −0.

    50.

    51.

    52.

    5

    Quantis teóricos

    Efe

    itos

    de d

    ispe

    rsão

    (F

    _i)

    Figura: Gráfico normal de probabilidade dos efeitos de dispersão (F ∗i )

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  • Efeitos de dispersão (F ∗i ) em ordem crescente> round(sort(Fstat),2)

    A:C A F B:C B:D B E A:B A:C:D A:D D-0.41 -0.38 -0.30 -0.24 -0.19 -0.19 -0.04 0.11 0.23 0.42 0.51

    C:D A:B:D D:E C0.51 0.52 0.72 2.50

    O gráfico normal de probabilidades dos efeitos de dispersão (F ∗i ) indicaque o fator C tem exerce um efeito positivo grande sobre a dispersãoPortanto, fixando o tempo de espera, C , em seu menor nívelcontribuirá para a redução da variabilidade do encolhimento

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  • Figura: Encolhimento médio e amplitude do encolhimento (R) em função dosníveis dos fatores A, B e C

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  • Fatorial fracionado 2k−p

    Temos k fatores com 2 níveis cada

    Fração12p

    do fatorial 2k . Notação: 2k−p

    São necessários p geradores não associados para a sua construçãoRelação definidora completa: p geradores e suas interaçõesVer Tabela 8-14 para obter as frações com maior resolução possível emínima aberração (ver conceito no livro)Exemplo: Um oitavo do fatorial 27 (fatorial fracionado 27−3IV )

    E = ±ABC F = ±BCD G = ±ACD

    ou seja,

    I = ±ABCE I = ±BCDF I = ±ACDG

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  • Fatorial fracionado 2k−p

    Relação definidora completa da fração principal:

    I = +ABCE = +BCDF = +ACDG = +ADEF = +BDEG = +ABFG = +CEFG

    Considerando que os efeitos de interações envolvendo três ou maisfatores são desprezíveis, temos excelente informação sobre os efeitosprincipais. Ex.

    A = +BCE = +ABCDF = +CDG = +DEF = +ABDEG = +BFG = +ACEFG

    Temos, por outro lado, que efeitos de interações duplas estãoassociados a outros efeitos de interações duplas. Ex

    AB = +CE = +ACDF = +BCDG = +BDEF = +ADEG = +FG = +ABCEFG

    ou, resumidamente,AB = +CE = +FG

    ou, ainda,`AB → +AB + CE + FG

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  • Tabela: Construção do fatorial fracionado 27−3IV (fração principal)

    i A B C D E = +ABC F = +BCD G = +ACD

    1 − − − − − − −2 + − − − + − +3 − + − − + + −4 + + − − − + +5 − − + − + + +6 + − + − − + −7 − + + − − − +8 + + + − + − −9 − − − + − + +

    10 + − − + + + −11 − + − + + − +12 + + − + − − −13 − − + + + − −14 + − + + − − +15 − + + + − + −16 + + + + + + +

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  • Projeções do fatorial 2k−p

    Consideremos o exemplo anterior. Temos, então, que:A, B , C e D formam, por exemplo, um fatorial completo 24

    A, B e C ; A, B e D; A, C e D; B , C e D formam, por exemplo,fatoriais completos 23 com 2 repetiçõesComo utilizar essa informação no planejamento?

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  • Exemplo: k = 7 fatores: Fator 1, Fator 2, ..., Fator 7variável resposta y = produçãoEstamos quase certos de que os fatores 2, 3, 6 e 7 e possivelmentealgumas de suas interações afetam a produçãoO papel dos demais fatores não é muito conhecido mas acreditamosque não afetam a produção

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  • Estratégia de planejamento:Fatores 2, 3, 6 e 7 atribuídos, respectivamente, às colunas A, B , C e DFatores 1, 4 e 5 atribuídos, respectivamente, às colunas E , F , e GSe estivermos certos, E , F e G não serão significativos e terminaremoscom um fatorial completo 24 envolvendo os fatores A, B , C e D

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  • Exercícios

    Exercícios 3 e 4 (Ver transparência 8)Experimento do helicóptero (fatorial completo). Verifique a influênciados fatores sobre a variabilidade dos tempos de queda doshelicópteros. Para isso, construa o gráfico normal de probabilidadesdos efeitos de dispersão e interprete-oFaça os itens (a) e (e) do exercício 8-26 (Montgomery, 2001, p.355-7)

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