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Experimentos Fatoriais Hierárquicos. Alan Birck Cecília Martins. Introdução. Experimento Fatorial: as características (fatores) não dependem entre eles. Todos fatores estão no mesmo nível. - PowerPoint PPT Presentation
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Experimentos Fatoriais Hierárquicos
Alan Birck
Cecília Martins
Introdução
• Experimento Fatorial: as características (fatores) não dependem entre eles. Todos fatores estão no mesmo nível.
• Experimento Fatorial Hierárquico: quando um fator está dentro de outro fator. Os fatores estão em níveis diferentes.
Fatorial Hierárquico com 2 estágios
• Os níveis do fator B são similares, mas não idênticos para diferentes níveis de outro fator A.
• Ou seja, um fator está dentro de outro fator
Fatorial Hierárquico com 2 estágios
• Exemplo:
Uma companhia compra matéria-prima de 3 fornecedores diferentes. A companhia deseja determinar se a pureza da matéria-prima é a mesma para cada fornecedor. Existe 4 lotes de matérias-prima disponível de cada fornecedor e 3 determinação de pureza em cada lote.
Exemplo
Fornecedor 1
Lote1 Lote 2 Lote 3 Lote 4
Y111Y112y113
Y121Y122y123
Y131Y132y133
Y141Y142y143
Fornecedor 2
Lote1 Lote 2 Lote 3 Lote 4
Y211Y212y213
2121Y222y223
y231Y232y233
Y241Y242y243
Fornecedor 3
Lote1 Lote 2 Lote 3 Lote 4
Y311Y312y313
Y321Y322y323
Y331Y332y333
Y341Y342y343
Exemplo
Fornecedor 1
Lote1 Lote 2 Lote 3 Lote 4
Y111Y112y113
Y121Y122y123
Y131Y132y133
Y141Y142y143
Fornecedor 2
Lote5 Lote 6 Lote 7 Lote 8
Y251Y252y253
Y261Y262y263
Y271Y272y273
Y281Y282y283
Fornecedor 3
Lote9 Lote 10 Lote 11 Lote 12
Y391Y392y393
Y3101Y3102y3103
Y3111Y3112y3113
Y3121Y3122y3123
Fatorial Hierárquico com 2 estágiosModelo linear
yijk = μ + αi + βj(i) + εijk
μ é a média
αi é o ef. do i-ésimo nível do fator A
βj(i) é o ef. do j-ésimo nível do fator B dentro do
i-ésimo nível do fator A εijk é o erro
i= 1,2,...,a j= 1,2,...,b k=1,2,...,r
2 fatores
FatoresMod. I ou Mod. Fixo
Mod. II ou Mod. Aleat.
Mod. Misto
A Fixo Aleatório Fixo
B fixo Aleatório Aleatório
Modelo I (A e B fixos)
• Suposições:
εijk ~ N(0,σ2) independentes
yijk ~N(μ + αi + βj(i) ,σ2) independentes
• Restrições:
; para todo i
a
ii
1
0̂
a
jij
1)( 0̂
Modelo I (A e B fixos)
• Hipóteses
H0: α1= α2= ...= αa= 0 (não existe efeito
do fator A)
H0: β1(i)= β2(i)=...= βb(i)=0 (não existe
efeito do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A, para todo i )
Modelo II (A e B aleatórios)
• Suposições:
αi~N(0, σ2A) independentes
βj(i)~N(0, σ2B) independentes
εijk ~ N(0,σ2) independentes
αi , βj(i) e εijk são independentes
yijk ~N( μ ; σ2+σ2A+σ2B) e indep. se estão em caselas diferentes
Modelo II (A e B aleatórios)
• Restrições:
não tem restrições.
• Hipóteses:
H0: σ2A = 0
H0: σ2B = 0
Modelo Misto (A fixo e B aleatório)
• Suposições:
βj(i)~N(0, σ2B) independentes
εijk ~ N(0,σ2) independentes
βj(i) e εijk são independentes
yijk ~N( μ+ αi ; σ2+σ2B) e indep. se
estão em caselas diferentes
Modelo Misto (A fixo e B aleatório)
• Restrições:
• Hipóteses:
H0: α1= α2= ...= αa= 0 (não existe efeito
do fator A)
H0: σ2B = 0
a
ii
1
0̂
Análise de Variância para 2 fatores
Causas de variação
G.L. SQ QM
A a-1 SQA QMA
B(A) a(b-1) SQB(A) QMB(A)
Erro ab(r-1) SQE QME
Total abr-1 SQTotal
Análise de Variância para 2 fatores
C.de var.
Quadrados Médios Esperados
Mod. I Mod. II Mod. Misto
A
B(A)
Erro
Total
a
iia
rb
1
22
1
a
i
b
jijba
r
1 1
2)(
2
)1(
2 2 2
Arb
Br2
22
Br 22 Br 22
a
iia
rb
Br
1
2
22
1
Análise de Variância para 2 fatores
Causas de Variação
F
Mod.I Mod.II e Misto
AQMA
QME
QMA
QMB(A)
B(A)QMB(A)
QME
QMB(A)
QME
Erro QME QME Regra para construção dos QM Esperados: o
fator (A) terá o componente do subfator (B) se o subfator (B) for aleatório.
Estimação dos componentes de Variância
br
AQMBQMAAQMAAbrBr
AQMB
)(ˆˆˆˆ 22
)(
22
r
QMEAQMBBAQMBBr
)(ˆ)(ˆˆ 222
QME2̂
Soma de quadrados
• As expressões são calculadas de forma usual:
kji
ijk FCySQTotal,,
2
rab
yFC
2...
FCrb
ySQA
a
i
i 1
2..
SQAFCr
yASQB
ji
ij ,
2.)(
)(ASQBSQASQTotalSQE
exemplo(continuando o anterior)
• Companhia compra matéria-prima, em lotes, de 3 diferentes fornecedores. A companhia deseja determinar se a pureza de matéria-prima é a mesma para cada fornecedor. Dos lotes existentes de cada fornecedor, selecionou-se aleatoriamente 4 lotes para cada um dos 3 fornecedores, e dos lotes selecionados foram tomadas 3 determinações de pureza. Os dados foram codificados: yijk= pureza – 93 .
exemplo (dados já codificados)
Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 3
lote1 lote2 lote3 lote4 lote1 lote2 lote3 lote4 lote1 lote2 lote3 lote4
1 -2 -2 1 1 0 -1 0 2 -2 1 3
-1 -3 0 4 -2 4 0 3 4 0 -1 2
0 -4 1 0 -3 2 -2 2 0 2 2 1
r=3; a=3; b=4
exemplo• No SAS(Analyst):• Statistcs/ANOVA/mixed model/dep: respostaclass:A,BMODEL: Fixed effects: A;Random effects: B(A)OPTION: type 1TE exemplo ST: type 1 e “test of variance
components”PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including
random effects) 1-plot residuals x predicted 2-plot residuals x independents
exemplo (resultados)
• Não se evidencia diferença entre os fornec. quanto à pureza da matéria-prima fornecida;
• A pureza da matéria-prima difere de lote a lote para um mesmo fornecedor, ou seja, existe variabilidade na pureza de lote a lote para cada fornecedor.
c.v. g.l SQ QM E(QM) F p
fornec. 2 15,06 7,53 0,97 0,41
lotes/fornec. 9 69,92 7,77 2,94 0,01
Erro 24 63,33 2,64
Total 35 148,31
i
iB 222 63
B22 3 2
Gráfico dos resíduos x preditos
Gráfico dos resíduos x fornecedores
Observação
• Interação → não podemos fazer interação pois se fizéssemos, estaríamos comparando, além de:
Se há diferença entre os fornec. 1, 2 e 3(correto)• Compararíamos:
Se há diferença entre os lotes 1, 2, 3 e 4 de cada fornecedor e se o fornecedor está na dependência do lote e vice-versa
Essa comparação não pode ser feita pois cada lote pertence a um único fornecedor.
Fatorial Hierárquico com m estágios
• É o mesmo raciocínio que o delineamento fatorial hierárquico com 2 fatores, com uma diferença que tem um fator C a mais, e esse fator C está dentro de um outro fator B, que por sua vez, está dentro de um fator A.
Fatorial Hierárquico com m estágios
• Exemplo: Desejamos investigar a dureza de duas
diferentes formulação de liga. Três calores de cada liga é preparado, duas barras de metal fundido são selecionada aleatoriamente dentro de cada calor testado, e duas medidas de dureza são medida em cada barra. (Delineamento fatorial Hierárquico em 3 estágios com 2 repetições).
exemplo
Formulação da liga 1
calor1 calor 2 calor 3
Barra 1 Barra 1 Barra 1Barra 2 Barra 2 Barra 2
Y1111
y1112
Y1121
y1122
Y1211
y1212
Y1221
y1222
Y1311
y1312
Y1321
y1322
Formulação da liga 2
calor1 calor 2 calor 3
Barra 1 Barra 1 Barra 1Barra 2 Barra 2 Barra 2
Y2111
y2112
Y2121
y2122
Y2211
y2212
Y2221
y2222
Y2311
y2312
Y2321
y2322
Fatorial Hierárquico com 3 estágiosModelo linear (DCC)
yijkl = μ + αi + βj(i) + ck(j)+ εijkl
μ é a média
αi é o ef. do i-ésimo nível do fator A βj(i) é o ef. do j-ésimo nível do fator B dentro do i-ésimo
nível do fator A ck(j) é o ef. do k-ésimo nível do fator C dentro do j-ésimo
nível do fator B(e do i-ésimo nível do fator A-Montgomery)
εijkl é o erro
i= 1,2,...,a j= 1,2,...,b k=1,2,...,c l=1,2,...,r
3 fatores
FatoresMod. I ou Mod. Fixo
Mod. II ou Mod. Aleat.
Mod. Misto
A Fixo Aleatório Fixo Fixo
B Fixo Aleatório Aleatório Fixo
C Fixo Aleatório Aleatório Aleatório
Modelo I (A,B e C fixos)
• Suposições:
εijkl ~ N(0,σ2) independentes
yijkl ~N(μ + αi + βj(i)+ck(j) ,σ2) independ.
• Restrições:
; para todo i ;
para todo j
a
ii
1
0̂
a
jij
1)( 0̂
a
jjkc
1)( 0ˆ
Modelo I (A,B e C fixos)
• Hipóteses:
H0: α1= α2= ...= αa= 0
H0: β1(i)= β2(i)=...= βb(i)=0;para todo i
H0: c1(j)= c2(j)=...= cc(j)=0;para todo j
Modelo II (A,B e C aleatórios)
• Suposições:• αi~N(0, σ2A) independentes• βj(i)~N(0, σ2B) independentes• c k(j) ~N(0, σ2C) independentes• εijkl ~ N(0,σ2) independentes• αi , βj(i) ,c k(j) e εijkl são independentes• yijkl ~N( μ ; σ2+σ2A+σ2B+ σ2C) e indep. se
estão em caselas diferentes
Modelo II (A,B e C aleatórios)
• Restrições:
• não tem restrições.
• Hipóteses:
• H0: σ2A = 0
• H0: σ2B = 0
• H0: σ2B = 0
Modelo Misto(A fixo, B e C aleatórios)
• Suposições:
• βj(i)~N(0, σ2B) independentes
• ck(j)~N(0, σ2C) independentes
• εijkl ~ N(0,σ2) independentes
• βj(i) ck(j) e εijkl são independentes
• yijkl ~N( μ+ αi ; σ2+σ2B+ σ2C) e indep. se estão em caselas diferentes
Modelo Misto(A fixo, B e C aleatórios)
• Restrições:
• Hipóteses:• H0: α1= α2= ...= αa= 0 (não existe efeito do
fator A)• H0: σ2B = 0• H0: σ2C = 0
a
ii
1
0̂
Análise de Variância para 3 fatores
Causas de variação
G.L. SQ QM
A a-1 SQA QMA
B(A) a(b-1) SQB(A) QMB(A)
C(B) ab(c-1) SQC(B) QMC(B)
Erro abc(r-1) SQE QME
Total abcr-1 SQTotal
Análise de Variância para 3 fatores
c.v.Quadrados médios esperados
Modelo I Modelo II
A
B(A)
C(B)
Erro
Total
a
iia
rbc
1
22
1
a
i
b
jijba
rb
1 1
2)(
2
)1(
a
i
b
j
c
kjkccab
r
1 1 1
2)(
2
)1(
2 2
ArbcBrcCr 2222
BrcCr 222
Cr 22
Análise de Variância para 3 fatoresc.v.
Quadrado Médio esperado
Modelo Misto
A
B(A)
C(B)
Erro
Total
a
iia
rbcBrcCr
1
2222
1
BrcCr 222
Cr 22
2
Análise de Variância para 3 fatoresCausas de Variação
F
Mod.I Mod.II e Misto
AQMA
QME
QMA
QMB(A)
B(A)QMB(A)
QME
QMB(A)
QMC(B)
C(B)QMC(B)
QME
QMC(B)
QME
Erro QME QME• Regra para construção dos QM Esperados:o fator (A) terá o componente do subfator (B) e do subsubfator C, se o subfator e o subsubfator forem aleatórios. O subfator (B) terá componente do subsubfator(C) se o subsubfator for aleatório.
Soma de quadrados
• As expressões são calculadas de forma usual:
lkjiijkl FCySQTotal
,,,
2
rabc
yFC
2....
FCrbc
ySQA
ji
i ,
2... SQAFC
rc
yASQB
ji
ij ,
2..)(
)()( BSQCASQBSQASQTotalSQE
SQAASQBFCr
yBSQC
kji
ijk )()(,,
2.
exemplo (super fictício)
• 2 fazendas, uma em cada região • escolhidas, aleatoriamente, 3 árvores em cada
fazenda• dentro de cada árvore, foram escolhidas 3
folhas, aleatoriamente• de cada folha foi medida, em 2 lugares
diferentes, a quantidade de fungo• var. resposta: quantidade de fungos• fator fixo: fazendas• fatores aleatórios: árvores e folhas
exemploFazenda 1
árvore 1 árvore 2 árvore 3
Folha 1 Folha 1 Folha 1Folha 2 Folha 2 Folha 2
Y1111
y1112
Y1121
y1122
Y1211
y1212
Y1221
y1222
Y1311
y1312
Y1321
y1322
Folha 3 Folha 3 Folha 3
Fazenda 2
árvore 1 árvore 2 árvore 3
Folha 1 Folha 1 Folha 1Folha 2 Folha 2 Folha 2
Y1111
y1112
Y1121
y1122
Y1211
y1212
Y1221
y1222
Y1311
y1312
Y1321
y1322
folha 3 folha 3 folha 3
exemplo
• No SAS(Analyst):• Statistcs/ANOVA/mixed model/• dep: resposta• class:A,B,C• MODEL: Fixed effects: A;Random effects: B(A),C(B)• OPTION: type 1• TE exemplo ST: type 1 e “test of variance
components”• PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including random
effects)• 1-plot residuals x predicted • 2-plot residuals x independents
Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado
• Esse delineamento é usado quando temos um fator dentro de outro e também temos dois fatores que podem ser cruzados (pois estão no mesmo nível).
Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado
• Exemplo:
aleatórioB a ohierárquic Cfator
fixoscruzados Bfator
Afator
Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado
Modelo linear
i=1,2,...,a ; j=1,2,...,b ; k=1,2,...,c ; l=1,2,...,r
aleatórios
ijkljikjk
fixos
ijjiijkl ACCABBAy )()(
Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado
• Hipóteses:
H0:A1= A2 =...=Aa =0
H0:B1= B2 =...=Bb =0
H0:AB11=...=ABab =0
H0: σ2C = 0
H0: σ2AC = 0
Análise de variância para experm. fatorial hierárquicos cruzados
c.v. g.l. SQ QM
A a-1 SQA QMA
B b-1 SQB QMB
AXB (a-1)(b-1) SQAxB QMAxB
C(B) b(c-1) SQC(B) QMC(B)
AxC(B) b(a-1)(c-1) SQAxC(B) QMAxC(B)
Erro abc(r-1) SQE QME
Total abcr-1
Análise de variância para experm. fatorial hierárquicos cruzados
c.v. Quadrado Médio esperado F
AQMA
QMAxC(B)
BQMB
QMC(B)
AxBQMAxB
QMAxC(B)
C(B)QMC(B)
QME
AxC(B)QMAxC(B)
QME
a
iiAa
rbcACr
1
222
1
a
ijBb
racCar
1
222
1
a
iijAB
ba
rcACr
1
222
)1)(1(
Car 22
ACr 22
Análise de variância para experm. fatorial hierárquicos cruzados
• Regras para obtenção dos expressões de soma de quadrados e graus de liberdade:
Regra 1: subtrai-se uma das letras que não aparecem
dentro dos parênteses no índice dos efeitos;Regra 2: desenvolve-se algebricamente as
expressõesobtidas pela regra 1;• g.l.:substituindo-se os índices pelas suas
dimensões na regra 1 obtém-se os g.l.;• SQ: considerando-se G e os índices de
operação da regra 2 obtem-se as expressões das SQ.
exemplo
aleatórioB a ohierárquic Cfator
fixoscruzados Bfator
Afator
Fator A: fixture (1,2 e 3)
Fator B: layouts (1 e 2)
Fator C: operadores (4 para cada layout)
2 repetições
exemplolayout 1 layout 2
oper. 1 2 3 4 1 2 3 4
Fix.1 22 23 28 25 26 27 28 24
24 24 29 23 28 25 25 23
Fix.2 30 29 30 27 29 30 24 28
27 28 32 25 28 27 23 30
Fix.3 25 24 27 26 27 26 24 28
21 22 25 23 25 24 27 27
exemplo
• No SAS(Analyst):• Statistcs/ANOVA/mixed model/• dep: resposta• class:A,B• MODEL: Fixed effects: A, B, A*B Random effects: C(B), A*C(B) A*C+A*B*C• OPTION: type 1• TE exemplo ST: type 1 e “test of variance components”• PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including random
effects)• 1-plot residuals x predicted • 2-plot residuals x independents
exemploc.v. g.l. SQ QM F p
fixture 2 82,80 41,40 7,54 0,01
layout 1 4,08 4,09 0,34 0,58
operator(layout) 6 71,91 11,99 5,15 <0,01
fixture*layout 2 19,04 9,52 1,73 0,22
fixture*oper(layout)
[F*O + F*L*O]
12 65,84 5,49 2,36 0,04
Erro 24 56,00 2,33
Total 47 299,67
exemplo
• Conclusões:
• Olhando nos totais das fix. podemos notar que as fix. 1 e 3 são menores que a 2.
• Um operador é melhor se ele usar um tipo de fixação
• Pode ser que esses oper*fix pode sumir se nós treinarmos os operadores.