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Experimentos Fatoriais Hierárquicos Alan Birck Cecília Martins

Experimentos Fatoriais Hierárquicos

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Experimentos Fatoriais Hierárquicos. Alan Birck Cecília Martins. Introdução. Experimento Fatorial: as características (fatores) não dependem entre eles. Todos fatores estão no mesmo nível. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Alan Birck

Cecília Martins

Page 2: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Introdução

• Experimento Fatorial: as características (fatores) não dependem entre eles. Todos fatores estão no mesmo nível.

• Experimento Fatorial Hierárquico: quando um fator está dentro de outro fator. Os fatores estão em níveis diferentes.

Page 3: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Fatorial Hierárquico com 2 estágios

• Os níveis do fator B são similares, mas não idênticos para diferentes níveis de outro fator A.

• Ou seja, um fator está dentro de outro fator

Page 4: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Fatorial Hierárquico com 2 estágios

• Exemplo:

Uma companhia compra matéria-prima de 3 fornecedores diferentes. A companhia deseja determinar se a pureza da matéria-prima é a mesma para cada fornecedor. Existe 4 lotes de matérias-prima disponível de cada fornecedor e 3 determinação de pureza em cada lote.

Page 5: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Exemplo

Fornecedor 1

Lote1 Lote 2 Lote 3 Lote 4

Y111Y112y113

Y121Y122y123

Y131Y132y133

Y141Y142y143

Fornecedor 2

Lote1 Lote 2 Lote 3 Lote 4

Y211Y212y213

2121Y222y223

y231Y232y233

Y241Y242y243

Fornecedor 3

Lote1 Lote 2 Lote 3 Lote 4

Y311Y312y313

Y321Y322y323

Y331Y332y333

Y341Y342y343

Page 6: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Exemplo

Fornecedor 1

Lote1 Lote 2 Lote 3 Lote 4

Y111Y112y113

Y121Y122y123

Y131Y132y133

Y141Y142y143

Fornecedor 2

Lote5 Lote 6 Lote 7 Lote 8

Y251Y252y253

Y261Y262y263

Y271Y272y273

Y281Y282y283

Fornecedor 3

Lote9 Lote 10 Lote 11 Lote 12

Y391Y392y393

Y3101Y3102y3103

Y3111Y3112y3113

Y3121Y3122y3123

Page 7: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Fatorial Hierárquico com 2 estágiosModelo linear

yijk = μ + αi + βj(i) + εijk

μ é a média

αi é o ef. do i-ésimo nível do fator A

βj(i) é o ef. do j-ésimo nível do fator B dentro do

i-ésimo nível do fator A εijk é o erro

i= 1,2,...,a j= 1,2,...,b k=1,2,...,r

Page 8: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

2 fatores

FatoresMod. I ou Mod. Fixo

Mod. II ou Mod. Aleat.

Mod. Misto

A Fixo Aleatório Fixo

B fixo Aleatório Aleatório

Page 9: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo I (A e B fixos)

• Suposições:

εijk ~ N(0,σ2) independentes

yijk ~N(μ + αi + βj(i) ,σ2) independentes

• Restrições:

; para todo i

a

ii

1

a

jij

1)( 0̂

Page 10: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo I (A e B fixos)

• Hipóteses

H0: α1= α2= ...= αa= 0 (não existe efeito

do fator A)

H0: β1(i)= β2(i)=...= βb(i)=0 (não existe

efeito do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A, para todo i )

Page 11: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo II (A e B aleatórios)

• Suposições:

αi~N(0, σ2A) independentes

βj(i)~N(0, σ2B) independentes

εijk ~ N(0,σ2) independentes

αi , βj(i) e εijk são independentes

yijk ~N( μ ; σ2+σ2A+σ2B) e indep. se estão em caselas diferentes

Page 12: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo II (A e B aleatórios)

• Restrições:

não tem restrições.

• Hipóteses:

H0: σ2A = 0

H0: σ2B = 0

Page 13: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo Misto (A fixo e B aleatório)

• Suposições:

βj(i)~N(0, σ2B) independentes

εijk ~ N(0,σ2) independentes

βj(i) e εijk são independentes

yijk ~N( μ+ αi ; σ2+σ2B) e indep. se

estão em caselas diferentes

Page 14: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo Misto (A fixo e B aleatório)

• Restrições:

• Hipóteses:

H0: α1= α2= ...= αa= 0 (não existe efeito

do fator A)

H0: σ2B = 0

a

ii

1

Page 15: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Análise de Variância para 2 fatores

Causas de variação

G.L. SQ QM

A a-1 SQA QMA

B(A) a(b-1) SQB(A) QMB(A)

Erro ab(r-1) SQE QME

Total abr-1 SQTotal

Page 16: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Análise de Variância para 2 fatores

C.de var.

Quadrados Médios Esperados

Mod. I Mod. II Mod. Misto

A

B(A)

Erro

Total

a

iia

rb

1

22

1

a

i

b

jijba

r

1 1

2)(

2

)1(

2 2 2

Arb

Br2

22

Br 22 Br 22

a

iia

rb

Br

1

2

22

1

Page 17: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Análise de Variância para 2 fatores

Causas de Variação

F

Mod.I Mod.II e Misto

AQMA

QME

QMA

QMB(A)

B(A)QMB(A)

QME

QMB(A)

QME

Erro QME QME Regra para construção dos QM Esperados: o

fator (A) terá o componente do subfator (B) se o subfator (B) for aleatório.

Page 18: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Estimação dos componentes de Variância

br

AQMBQMAAQMAAbrBr

AQMB

)(ˆˆˆˆ 22

)(

22

r

QMEAQMBBAQMBBr

)(ˆ)(ˆˆ 222

QME2̂

Page 19: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Soma de quadrados

• As expressões são calculadas de forma usual:

kji

ijk FCySQTotal,,

2

rab

yFC

2...

FCrb

ySQA

a

i

i 1

2..

SQAFCr

yASQB

ji

ij ,

2.)(

)(ASQBSQASQTotalSQE

Page 20: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemplo(continuando o anterior)

• Companhia compra matéria-prima, em lotes, de 3 diferentes fornecedores. A companhia deseja determinar se a pureza de matéria-prima é a mesma para cada fornecedor. Dos lotes existentes de cada fornecedor, selecionou-se aleatoriamente 4 lotes para cada um dos 3 fornecedores, e dos lotes selecionados foram tomadas 3 determinações de pureza. Os dados foram codificados: yijk= pureza – 93 .

Page 21: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemplo (dados já codificados)

Fornecedor 1 Fornecedor 2 Fornecedor 3

lote1 lote2 lote3 lote4 lote1 lote2 lote3 lote4 lote1 lote2 lote3 lote4

1 -2 -2 1 1 0 -1 0 2 -2 1 3

-1 -3 0 4 -2 4 0 3 4 0 -1 2

0 -4 1 0 -3 2 -2 2 0 2 2 1

r=3; a=3; b=4

Page 22: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemplo• No SAS(Analyst):• Statistcs/ANOVA/mixed model/dep: respostaclass:A,BMODEL: Fixed effects: A;Random effects: B(A)OPTION: type 1TE exemplo ST: type 1 e “test of variance

components”PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including

random effects) 1-plot residuals x predicted 2-plot residuals x independents

Page 23: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemplo (resultados)

• Não se evidencia diferença entre os fornec. quanto à pureza da matéria-prima fornecida;

• A pureza da matéria-prima difere de lote a lote para um mesmo fornecedor, ou seja, existe variabilidade na pureza de lote a lote para cada fornecedor.

c.v. g.l SQ QM E(QM) F p

fornec. 2 15,06 7,53 0,97 0,41

lotes/fornec. 9 69,92 7,77 2,94 0,01

Erro 24 63,33 2,64

Total 35 148,31

i

iB 222 63

B22 3 2

Page 24: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Gráfico dos resíduos x preditos

Page 25: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Gráfico dos resíduos x fornecedores

Page 26: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Observação

• Interação → não podemos fazer interação pois se fizéssemos, estaríamos comparando, além de:

Se há diferença entre os fornec. 1, 2 e 3(correto)• Compararíamos:

Se há diferença entre os lotes 1, 2, 3 e 4 de cada fornecedor e se o fornecedor está na dependência do lote e vice-versa

Essa comparação não pode ser feita pois cada lote pertence a um único fornecedor.

Page 27: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Fatorial Hierárquico com m estágios

• É o mesmo raciocínio que o delineamento fatorial hierárquico com 2 fatores, com uma diferença que tem um fator C a mais, e esse fator C está dentro de um outro fator B, que por sua vez, está dentro de um fator A.

Page 28: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Fatorial Hierárquico com m estágios

• Exemplo: Desejamos investigar a dureza de duas

diferentes formulação de liga. Três calores de cada liga é preparado, duas barras de metal fundido são selecionada aleatoriamente dentro de cada calor testado, e duas medidas de dureza são medida em cada barra. (Delineamento fatorial Hierárquico em 3 estágios com 2 repetições).

Page 29: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemplo

Formulação da liga 1

calor1 calor 2 calor 3

Barra 1 Barra 1 Barra 1Barra 2 Barra 2 Barra 2

Y1111

y1112

Y1121

y1122

Y1211

y1212

Y1221

y1222

Y1311

y1312

Y1321

y1322

Formulação da liga 2

calor1 calor 2 calor 3

Barra 1 Barra 1 Barra 1Barra 2 Barra 2 Barra 2

Y2111

y2112

Y2121

y2122

Y2211

y2212

Y2221

y2222

Y2311

y2312

Y2321

y2322

Page 30: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Fatorial Hierárquico com 3 estágiosModelo linear (DCC)

yijkl = μ + αi + βj(i) + ck(j)+ εijkl

μ é a média

αi é o ef. do i-ésimo nível do fator A βj(i) é o ef. do j-ésimo nível do fator B dentro do i-ésimo

nível do fator A ck(j) é o ef. do k-ésimo nível do fator C dentro do j-ésimo

nível do fator B(e do i-ésimo nível do fator A-Montgomery)

εijkl é o erro

i= 1,2,...,a j= 1,2,...,b k=1,2,...,c l=1,2,...,r

Page 31: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

3 fatores

FatoresMod. I ou Mod. Fixo

Mod. II ou Mod. Aleat.

Mod. Misto

A Fixo Aleatório Fixo Fixo

B Fixo Aleatório Aleatório Fixo

C Fixo Aleatório Aleatório Aleatório

Page 32: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo I (A,B e C fixos)

• Suposições:

εijkl ~ N(0,σ2) independentes

yijkl ~N(μ + αi + βj(i)+ck(j) ,σ2) independ.

• Restrições:

; para todo i ;

para todo j

a

ii

1

a

jij

1)( 0̂

a

jjkc

1)( 0ˆ

Page 33: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo I (A,B e C fixos)

• Hipóteses:

H0: α1= α2= ...= αa= 0

H0: β1(i)= β2(i)=...= βb(i)=0;para todo i

H0: c1(j)= c2(j)=...= cc(j)=0;para todo j

Page 34: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo II (A,B e C aleatórios)

• Suposições:• αi~N(0, σ2A) independentes• βj(i)~N(0, σ2B) independentes• c k(j) ~N(0, σ2C) independentes• εijkl ~ N(0,σ2) independentes• αi , βj(i) ,c k(j) e εijkl são independentes• yijkl ~N( μ ; σ2+σ2A+σ2B+ σ2C) e indep. se

estão em caselas diferentes

Page 35: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo II (A,B e C aleatórios)

• Restrições:

• não tem restrições.

• Hipóteses:

• H0: σ2A = 0

• H0: σ2B = 0

• H0: σ2B = 0

Page 36: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo Misto(A fixo, B e C aleatórios)

• Suposições:

• βj(i)~N(0, σ2B) independentes

• ck(j)~N(0, σ2C) independentes

• εijkl ~ N(0,σ2) independentes

• βj(i) ck(j) e εijkl são independentes

• yijkl ~N( μ+ αi ; σ2+σ2B+ σ2C) e indep. se estão em caselas diferentes

Page 37: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Modelo Misto(A fixo, B e C aleatórios)

• Restrições:

• Hipóteses:• H0: α1= α2= ...= αa= 0 (não existe efeito do

fator A)• H0: σ2B = 0• H0: σ2C = 0

a

ii

1

Page 38: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Análise de Variância para 3 fatores

Causas de variação

G.L. SQ QM

A a-1 SQA QMA

B(A) a(b-1) SQB(A) QMB(A)

C(B) ab(c-1) SQC(B) QMC(B)

Erro abc(r-1) SQE QME

Total abcr-1 SQTotal

Page 39: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Análise de Variância para 3 fatores

c.v.Quadrados médios esperados

Modelo I Modelo II

A

B(A)

C(B)

Erro

Total

a

iia

rbc

1

22

1

a

i

b

jijba

rb

1 1

2)(

2

)1(

a

i

b

j

c

kjkccab

r

1 1 1

2)(

2

)1(

2 2

ArbcBrcCr 2222

BrcCr 222

Cr 22

Page 40: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Análise de Variância para 3 fatoresc.v.

Quadrado Médio esperado

Modelo Misto

A

B(A)

C(B)

Erro

Total

a

iia

rbcBrcCr

1

2222

1

BrcCr 222

Cr 22

2

Page 41: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Análise de Variância para 3 fatoresCausas de Variação

F

Mod.I Mod.II e Misto

AQMA

QME

QMA

QMB(A)

B(A)QMB(A)

QME

QMB(A)

QMC(B)

C(B)QMC(B)

QME

QMC(B)

QME

Erro QME QME• Regra para construção dos QM Esperados:o fator (A) terá o componente do subfator (B) e do subsubfator C, se o subfator e o subsubfator forem aleatórios. O subfator (B) terá componente do subsubfator(C) se o subsubfator for aleatório.

Page 42: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Soma de quadrados

• As expressões são calculadas de forma usual:

lkjiijkl FCySQTotal

,,,

2

rabc

yFC

2....

FCrbc

ySQA

ji

i ,

2... SQAFC

rc

yASQB

ji

ij ,

2..)(

)()( BSQCASQBSQASQTotalSQE

SQAASQBFCr

yBSQC

kji

ijk )()(,,

2.

Page 43: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemplo (super fictício)

• 2 fazendas, uma em cada região • escolhidas, aleatoriamente, 3 árvores em cada

fazenda• dentro de cada árvore, foram escolhidas 3

folhas, aleatoriamente• de cada folha foi medida, em 2 lugares

diferentes, a quantidade de fungo• var. resposta: quantidade de fungos• fator fixo: fazendas• fatores aleatórios: árvores e folhas

Page 44: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemploFazenda 1

árvore 1 árvore 2 árvore 3

Folha 1 Folha 1 Folha 1Folha 2 Folha 2 Folha 2

Y1111

y1112

Y1121

y1122

Y1211

y1212

Y1221

y1222

Y1311

y1312

Y1321

y1322

Folha 3 Folha 3 Folha 3

Fazenda 2

árvore 1 árvore 2 árvore 3

Folha 1 Folha 1 Folha 1Folha 2 Folha 2 Folha 2

Y1111

y1112

Y1121

y1122

Y1211

y1212

Y1221

y1222

Y1311

y1312

Y1321

y1322

folha 3 folha 3 folha 3

Page 45: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemplo

• No SAS(Analyst):• Statistcs/ANOVA/mixed model/• dep: resposta• class:A,B,C• MODEL: Fixed effects: A;Random effects: B(A),C(B)• OPTION: type 1• TE exemplo ST: type 1 e “test of variance

components”• PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including random

effects)• 1-plot residuals x predicted • 2-plot residuals x independents

Page 46: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado

• Esse delineamento é usado quando temos um fator dentro de outro e também temos dois fatores que podem ser cruzados (pois estão no mesmo nível).

Page 47: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado

• Exemplo:

aleatórioB a ohierárquic Cfator

fixoscruzados Bfator

Afator

Page 48: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado

Modelo linear

i=1,2,...,a ; j=1,2,...,b ; k=1,2,...,c ; l=1,2,...,r

aleatórios

ijkljikjk

fixos

ijjiijkl ACCABBAy )()(

Page 49: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado

• Hipóteses:

H0:A1= A2 =...=Aa =0

H0:B1= B2 =...=Bb =0

H0:AB11=...=ABab =0

H0: σ2C = 0

H0: σ2AC = 0

Page 50: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Análise de variância para experm. fatorial hierárquicos cruzados

c.v. g.l. SQ QM

A a-1 SQA QMA

B b-1 SQB QMB

AXB (a-1)(b-1) SQAxB QMAxB

C(B) b(c-1) SQC(B) QMC(B)

AxC(B) b(a-1)(c-1) SQAxC(B) QMAxC(B)

Erro abc(r-1) SQE QME

Total abcr-1

Page 51: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Análise de variância para experm. fatorial hierárquicos cruzados

c.v. Quadrado Médio esperado F

AQMA

QMAxC(B)

BQMB

QMC(B)

AxBQMAxB

QMAxC(B)

C(B)QMC(B)

QME

AxC(B)QMAxC(B)

QME

a

iiAa

rbcACr

1

222

1

a

ijBb

racCar

1

222

1

a

iijAB

ba

rcACr

1

222

)1)(1(

Car 22

ACr 22

Page 52: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

Análise de variância para experm. fatorial hierárquicos cruzados

• Regras para obtenção dos expressões de soma de quadrados e graus de liberdade:

Regra 1: subtrai-se uma das letras que não aparecem

dentro dos parênteses no índice dos efeitos;Regra 2: desenvolve-se algebricamente as

expressõesobtidas pela regra 1;• g.l.:substituindo-se os índices pelas suas

dimensões na regra 1 obtém-se os g.l.;• SQ: considerando-se G e os índices de

operação da regra 2 obtem-se as expressões das SQ.

Page 53: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemplo

aleatórioB a ohierárquic Cfator

fixoscruzados Bfator

Afator

Fator A: fixture (1,2 e 3)

Fator B: layouts (1 e 2)

Fator C: operadores (4 para cada layout)

2 repetições

Page 54: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemplolayout 1 layout 2

oper. 1 2 3 4 1 2 3 4

Fix.1 22 23 28 25 26 27 28 24

24 24 29 23 28 25 25 23

Fix.2 30 29 30 27 29 30 24 28

27 28 32 25 28 27 23 30

Fix.3 25 24 27 26 27 26 24 28

21 22 25 23 25 24 27 27

Page 55: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemplo

• No SAS(Analyst):• Statistcs/ANOVA/mixed model/• dep: resposta• class:A,B• MODEL: Fixed effects: A, B, A*B Random effects: C(B), A*C(B) A*C+A*B*C• OPTION: type 1• TE exemplo ST: type 1 e “test of variance components”• PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including random

effects)• 1-plot residuals x predicted • 2-plot residuals x independents

Page 56: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemploc.v. g.l. SQ QM F p

fixture 2 82,80 41,40 7,54 0,01

layout 1 4,08 4,09 0,34 0,58

operator(layout) 6 71,91 11,99 5,15 <0,01

fixture*layout 2 19,04 9,52 1,73 0,22

fixture*oper(layout)

[F*O + F*L*O]

12 65,84 5,49 2,36 0,04

Erro 24 56,00 2,33

Total 47 299,67

Page 57: Experimentos Fatoriais Hierárquicos

exemplo

• Conclusões:

• Olhando nos totais das fix. podemos notar que as fix. 1 e 3 são menores que a 2.

• Um operador é melhor se ele usar um tipo de fixação

• Pode ser que esses oper*fix pode sumir se nós treinarmos os operadores.