Extensões Canónicas de Álgebras de Negação - core.ac.uk · (Álgebra, Lógica e Fundamentos) 2012. ... canónica e uma relação binária de um para o outro. ... for gerada pela

UNIVERSIDADE DE LISBOA

FACULDADE DE CIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

EXTENSÕES CANÓNICAS DE ÁLGEBRAS DENEGAÇÃO E SUAS REPRESENTAÇÕES

RELACIONAIS

Agostinho Manuel Rosário dos Santos Almeida

Doutoramento em Matemática

(Álgebra, Lógica e Fundamentos)

2012

UNIVERSIDADE DE LISBOA

FACULDADE DE CIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

EXTENSÕES CANÓNICAS DE ÁLGEBRAS DENEGAÇÃO E SUAS REPRESENTAÇÕES

RELACIONAIS

Agostinho Manuel Rosário dos Santos Almeida

Tese orientada pela Prof.a Doutora Maria João Antunes Dias Gouveia,especialmente elaborada para a obtenção do grau de doutor em

Matemática (Álgebra, Lógica e Fundamentos)

2012

Resumo

O tema central deste trabalho é o estudo das extensões canónicas de certas ál-gebras com reduto de reticulado e as representações relacionais das extensões canó-nicas. Especificamente, as álgebras de negação são reticulados limitados equipadoscom uma operação unária adicional que generaliza o conceito de complemento emálgebras de Boole. A esta operação adicional chamamos negação. São apresentadasduas abordagens. A primeira abordagem foi desenvolvida por outros autores; a se-gunda corresponde à parte principal deste trabalho, juntamente com um estudo queas põe em correspondência.

A primeira consiste na obtenção da extensão canónica da álgebra original apartir da dualidade de Urquhart (expandido com uma relação binária que codificaa operação de negação). A representação relacional da extensão canónica é, nestecaso, dada pela estrutura que resulta do dual de Urquhart da álgebra original se lheretirarmos a topologia. Mais geralmente, é feito um estudo com base numa classede estruturas que incluem as que resultam deste processo.

A segunda abordagem consiste no estudo da extensão canónica por meios abs-tractos (através da definição). A representação relacional da extensão canónica édada por uma estrutura heterogénea que consiste em dois subconjuntos da extensãocanónica e uma relação binária de um para o outro. Também aqui é feito um estudocom base em classes de estruturas mais gerais, que incluem estas.

Tendo duas metodologias para abordar o mesmo problema, coloca-se natural-mente a questão de como elas se relacionam. Uma vez que em ambos os casos, oestudo das estruturas relacionais é feito com base em classes de estruturas abstrac-tas que generalizam as que se definem a partir das álgebra consideradas, é óbvioque existe uma correspondência biunívoca entre certas subclasses das estruturasrelacionais obtidas pelos dois processos. Essa correspondência é explicitada e sãocaracterizadas subclasses a considerar para que a correspondência seja biunívoca.

Palavras-chave: extensão canónica, dualidade de Urquhart, RS-frame, álgebrade negação.

Abstract

The central topic in this work is the study of canonical extensions of certainalgebras with lattice reduct and the relational representations of the canonical ex-tensions. Specifically, negation algebras are bounded lattices endowed with an unaryadditional operation that generalizes that of the complement in Boolean algebras.We call negation to this additional operation. We present two different approaches.The first one was developed by other authors, and the second one corresponds tothe main part of this work, together with a study that puts them in correspondence.

The first consists in obtaining the canonical extension of the original algebrausing the duality of Urquhart (expanded with a binary relation that encodes thenegation operation). The relational representation of the canonical extension is,thus, given by the structure obtained from the Urquhart dual of the original algebraby dropping the topology. More generally, the study is made for a class of structuresthat include those given by the above procedure.

The second approach consists in studying the canonical extensions by abstractmethods (using the definition). The relational representation of the canonical ex-tension is given by a two-sorted structure consisting of two subsets of the canonicalextension and a binary relation from one to the other. Again, the study is madeusing more general classes of structures.

Since we obtained two methods to tackle the same problem, the question ofhow these methods relate arises naturally. In both cases the study of relationalrepresentations is done for abstract classes of structures that generalize those thatcan be defined from the original algebra. So, it is obvious that there is a one toone and onto correspondence between certain subclasses of the relational structuresobtained from both methods. This correspondence is made clear and some rightsubclasses are characterized.

Key-words: canonical extension, duality of Urquhart, RS-frame, negation al-gebra.

Conteúdo

Conteúdo i

Lista de Figuras ii

Tabela de Notações ii

Introdução v

1 Fundamentos 11.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Reticulados perfeitos e RS-frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Análise Conceptual Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Conjuntos duplamente ordenados 352.1 Definição e exemplos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Dualidade de Urquhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Cdos desconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4 Correspondência entre RS-frames e cdos . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5 Correspondência entre propriedades de cdos e de reticulados . . . . . 59

3 Extensões canónicas de reticulados 713.1 Breve nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2 Definição e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3 Extensões de aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Extensões canónicas de álgebras com reduto de reticulado 85

i

4.1 Canonicidade e representação pela dualidade de Urquhart . . . . . . . 884.2 Canonicidade pela definição abstracta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3 Representação das extensões canónicas das álgebras . . . . . . . . . . 974.4 Correspondência entre as representações . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Bibliografia 121

Índice 123

Lista de Figuras

1.1 Um contexto e o respectivo reticulado de conceitos. . . . . . . . . . . 271.2 Álgebras de negação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3 Tabela de incidências do contexto A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4 Reticulado de conceitos do contexto A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1 Exemplos: um cdo e um não-cdo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Exemplos de cdos de pares filtro-ideal maximais de reticulados. . . . . 382.3 Um reticulado e o seu cdo de pares filtro-ideal maximais. . . . . . . . 452.4 Dois cdos não desconexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5 Reticulado L, o dual U(L) e cpos J (L) e M(L). . . . . . . . . . . . . 532.6 O reticulado MN e o seu espaço dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.7 Cdo Z(L+) não desconexo duma RS-frame. . . . . . . . . . . . . . . . 572.8 Cdo desconexo Z tal que reticulado GZ não é algébrico. . . . . . . . 612.9 Reticulado GZ não algébrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.10 Z tal que GZ não é ∧-semidistributivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.1 Um reticulado limitado e a sua extensão canónica. . . . . . . . . . . . 793.2 Uma aplicação entre reticulados estendida às extensões canónicas. . . 83

4.1 Axiomas válidos em J (A), mas não em A. . . . . . . . . . . . . . . . 1024.2 Espaço de negação que não satisfaz (FC↔). . . . . . . . . . . . . . . . 118

ii

Tabela de Notações

℘(X),℘fin(X),⋐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Op(X),Opn(X),Rel(X),Reln(X) . . . 1N,Z,Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1≺ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1∨

,∧

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1P∂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1〈X/↔,6〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2At(P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2↓A, ↓a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2O(P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2P ⊕Q, P ×Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2〈X, τ〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2T1, T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3A ∼= B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5A B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5A ։ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5A 6 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5∇A,∆A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6∏

i∈I Ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6µA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6I, S,H, P, Ps, V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I(L),F(L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Ip(L),Fp(L), (A], (a], [A), [a) . . . . . . . 8J (L),J∞(L),M(L),M∞(L) . . . . . . 8(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9DP ,DXσ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9(BA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10BX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10(M), (SD∨), (SD∧) . . . . . . . . . . . . . . . . 11(Galois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12〈e,C〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 74Au, Al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14, 22

DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14W [a],W−1[a] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19(S1), (S2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19(RS1), (RS2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21L+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21F+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 98Rf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22Sg, gS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23rh, sh, h〈r,s〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25(PM), (DNI), (DNE), (Ab), (PAnt) .15(QM), (Ant), (DM), (W), (O), (P) . 15⊢,⊣⊢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16B(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Z↑

i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38l(A), r(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38G (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40GZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40, 89, 91Zτ ,G (Zτ ), (Disc1), (Disc2) . . . . . . . . 41GZτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42U(L), u(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37τL,U

τL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43(ODisc1), (ODisc2) . . . . . . . . . . . . . . . . 47<i,↔i,Ξ(z),Υ(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Ξ∗(z),Υ

∗(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Ω(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54(∇(x, y)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55(∇RS1), (∇RS2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55(∇RS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Z(F),Z(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56K〈e,C〉,O〈e,C〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74L

δ,KL,OL,K,O . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78fσ, fπ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

iii

NDM, (DM1) – (DM3), ¬n . . . . . . . . .89Nn(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89NO, (DMO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90(FC1) – (FC5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90NW,¬C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91NC(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91NW, (FC6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91¬π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93A+, N¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97(Nul), ¬N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

(N -W) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100(N -P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101(N -Ant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103(N -DM (1)) – (N -DM (3)) . . . . . . . .104Z(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Ω(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Z(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Ω(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114(FC→), (FC↔) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

iv

Introdução

O principal objecto de estudo deste trabalho é o das variedades de álgebras comreduto de reticulado e as suas extensões canónicas. Algumas destas variedadesservem de modelos semânticos de algumas lógicas proposicionais, o que é suficientepara justificar o interesse no seu estudo.

Consideremos, a título de exemplo, a lógica modal clássica (correspondendo àsvariedades de álgebras de Boole com operadores). Uma lógica é completa se e sóse a variedade associada (a variedade gerada pela Álgebra de Lindenbaum–Tarskida lógica em questão) for gerada pela álgebra dos subconjuntos de alguma classede estruturas; é fortemente completa se e só se a variedade associada for canónica,ou seja, se a extensão canónica de cada um dos seus membros pertencer à mesmavariedade (cf. P. Blackburn, M. de Rijke e Y. Venema [3, pag. 326] ou R. Goldblatt[18, pag. 394]).

É assim muito importante o estudo da canonicidade das variedades de álgebrascom reduto de reticulado. Considerando apenas a lógica modal básica (com um únicooperador modal, que é unário), a classe de estruturas a que se faz referência acimaé a dos pares 〈W,R〉 onde W é um conjunto não vazio e R é uma relação binária emW (cf. Definição 1.9, em [3]). A razão pela qual esta simples estrutura é suficienteé que na lógica clássica, o reticulado que é reduto da álgebra associada é Booleano.As generalizações podem incluir mais operadores e de diferentes aridades, sem sairdo contexto da lógica modal clássica; para cada operador n-ário, acrescenta-se naestrutura uma relação (n+ 1)-ária em W .

Se considerarmos a lógica intuicionista, então as álgebras associadas são as álge-bras de Heyting. Aqui as álgebras associadas podem não ter um reduto de reticuladoBooleano; é ainda assim distributivo. Assim, no lugar de um conjunto W , tem-se umcpo 〈W,6〉 ao qual se acrescenta as relações correspondentes aos operadores modais.Este caso justifica a importância do estudo das extensões canónicas de álgebras comreduto de reticulado distributivo.

O estudo pode ainda ser generalizado para o caso não distributivo, associado a

v

certas lógicas sub-estruturais (ver N. Galatos, P. Jipsen, T. Kowalski e H. Ono [10]ou G. Restall [28]), independentemente dos conectivos adicionais que cada lógicapossa ter. Nesse caso, em relação às classes de estruturas, podemos tomar conjun-tos duplamente ordenados com relações que codificam as operações adicionais (eassim usamos a dualidade de Urquhart), ou outro tipo de estrutura, as RS-frames,que como veremos estão relacionadas com os duais de Urquhart, mas que de factopermitem um estudo mais uniforme.

Organização da tese. Cada capítulo é iniciado com uma breve introdução con-tendo no final um parágrafo em se que clarifica, de entre o conteúdo desse capítulo,o que é original para este trabalho.

No primeiro capítulo, as duas primeiras secções, consistem essencialmente emconceitos e resultados elementares a que se faz referência nos capítulos seguintes.A Secção 1.3 trata de uma classe de reticulados — os reticulados perfeitos — e deuma classe de estruturas relacionais — a das RS-frames — e algumas das suas pro-priedades, incluindo uma dualidade entre estas duas classes, para certos morfismosque no caso dos reticulados perfeitos (que são completos) são os homomorfismoscompletos. A Proposição 1.2.22 e um caso de estudo na Secção 1.4, em conjuntotêm os primeiros resultados originais deste trabalho.

No Capítulo 2 define-se a estrutura relacional de conjunto duplamente ordenado,bem como algumas das propriedades destes objectos (Secção 2.1 e Secção 2.3), quesão usados na dualidade de Urquhart para representar reticulados limitados. NaSecção 2.4 é estabelecida uma correspondência entre uma certa subclasse da classedos conjuntos duplamente ordenados e uma subclasse da classe das RS-frames. Naúltima secção é estabelecida uma correspondência entre algumas propriedades deconjuntos duplamente ordenados e propriedades de reticulados que lhe estão associ-ados.

No terceiro capítulo introduz-se a definição de extensão canónica de um reticu-lado limitado, bem como algumas das suas propriedades. Apresentam-se tambémexemplos de classes de reticulados que contêm as extensões canónicas dos seus mem-bros e outras que não. Neste capítulo não se apresenta qualquer resultado novo, masalgumas demonstrações (as que se incluem) são diferentes daquelas que podem serencontradas nas referências, fazendo uso de resultados do capítulo precedente.

Finalmente, o Capítulo 4 corresponde à parte principal do trabalho de investi-gação aqui apresentado, e que em parte serviu de motivação para algum trabalhooriginal apresentado no primeiro e segundo capítulos. Trata-se do estudo de ex-tensões canónicas e representações relacionais para reticulados limitados com uma

vi

operação de negação. Na primeira secção, apresentam-se os resultados do artigo deW. Dzik, E. Orłowska e C. van Alten [8] que são obtidos recorrendo à representaçãodas álgebras pela dualidade de Urquhart. Depois apresenta-se um estudo similar,mas recorrendo à teoria das extensões canónicas no sentido abstracto. Finalmente,na última secção, faz-se a correspondência entre as estruturas relacionais obtidas,mostrando a forma como elas se relacionam e em que condições se pode obter umaa partir da outra.

Agradecimentos. Agradeço à Professora Hilary A. Priestley por me ter recebidono Instituto de Matemática da Universidade de Oxford e me ter acompanhado nodesenvolvimento do trabalho de investigação conducente à publicação [2], cujo temame foi sugerido pela Professora Mai Gehrke. À Professora Mai Gehrke estou gratopelo incentivo que gentilmente me dispensou no decorrer deste trabalho, em par-ticular aquando da minha visita à Radbout Universiteit Nijmegen. À ProfessoraMaria João Gouveia quero exprimir o meu mais sincero agradecimento por todo oacompanhamento e interesse que me dedicou ao longo da preparação desta disser-tação. Agradeço também à Professora Gracinda M. S. Gomes o apoio manifestadoe o encorajamento nos últimos anos.

Pelas condições de acolhimento e apoio logístico agradeço ao Instituto de Ma-temática e ao St. Anne’s College da Universidade de Oxford, ao Instituto de Ma-temática, Astrofísica e Física de Partículas da Faculdade de Ciências da RadboutUniversiteit Nijmegen, e muito em particular ao Centro de Álgebra e ao Departa-mento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.

Estou grato à Fundação para a Ciência e a Tecnologia pela atribuição da bolsade doutoramento SFRH/BD/28496/2006 nos anos de 2007 a 2009 e à Faculdade deCiências pela bolsa nos anos de 2011 e 2012.

vii

Capítulo 1

Fundamentos

Este capítulo apresenta essencialmente resultados e conceitos para serem usados noscapítulos subsequentes.

1.1 Conceitos básicos

Comecemos esta secção com algumas notações elementares. Assume-se a familia-riedade com noções básicas de Teoria de Conjuntos e aplicações entre conjuntos,bem como as notações usuais. Algumas notações usadas adiante, e que talvez nãosejam tão comuns são ℘fin(X), para o conjunto das partes finitas de X (℘(X) paraconjunto das partes de X) e A ⋐ X para A ∈ ℘fin(X). Denota-se por Opn(X) (res-pectivamente, Reln(X)) conjunto das operações (respectivamente, relações) n-áriasem X e o conjunto de todas as operações (respectivamente, relações) em X é Op(X)(respectivamente, Rel(X)). Os símbolos N, Z e Q denotam, respectivamente, osconjuntos dos números naturais, inteiros e racionais.

Relações binárias. Entre as relações binárias, supõem-se conhecidos os conceitosde relação de equivalência e relação de ordem parcial, bem como o de con-junto parcialmente ordenado (cpo) (bem como as notações usuais, tais como osímbolo para a relação de cobertura, ≺, para supremo e ínfimo dum conjunto,

∨

,∧

,os conceitos de elemento máximo e mínimo ou o de dual de ordem P∂ dum cpoP). Menos conhecida será talvez a noção de relação de quasi-ordem: trata-sede uma relação binária reflexiva e transitiva. Naturalmente, um conjunto quasi-ordenado (cqo) é um par 〈X,6〉 em que 6 é uma relação de quasi-ordem em X.

Se 〈X,6〉 for um cqo, então a relação binária ↔ definida por x ↔ y se e só se

1

2 1. Fundamentos

x 6 y e y 6 x é uma relação de equivalência. Seja [x]↔ a classe de equivalênciaa que x pertence. Então 〈X/↔,6′〉, onde [x]↔ 6′ [y]↔ se e só se x 6 y, é umcpo. Uma vez que a relação de equivalência é determinada por 6, ao cpo 〈X/↔,6′〉chamamos quociente do conjunto quasi-ordenado 〈X,6〉. As definições deaplicação isótona e antítona entre cqos coincidem com as correspondentes entrecpos. Uma aplicação entre cqos (e, em particular, entre cpos) diz-se monótona sefor isótona ou antítona.

Um cpo P = 〈P,6〉 diz-se uma cadeia se p 6 q ou q 6 p, para quaisquerp, q ∈ P ; diz-se uma anti-cadeia se p 6 q se e só se p = q. Diz-se que P temcomprimento n se existir em P uma cadeia com n+1 elementos e qualquer cadeiaem P tiver quando muito n + 1 elementos; se não existir n nestas condições, diz-seque P tem comprimento infinito. Diz-se que P tem largura m se existir em P umaanti-cadeia com m elementos e nenhuma anti-cadeia em P exceder m elementos; senão existir m nestas condições, diz-se que P tem largura infinita. Se P tiver umelemento mínimo, 0, então a ∈ P diz-se um átomo de P se 0 ≺ a. Denota-se porAt(P) o conjunto (uma anti-cadeia) dos átomos de P. Um ideal de ordem de P éum subconjunto I de P com a propriedade: se x ∈ I e p ∈ P for tal que p 6 x, entãop ∈ I. Se P for um cpo e A ⊆ P , então ↓A = p ∈ P : ∃a ∈ A(p 6 a) é o ideal deordem de P gerado por A; ↓ a também se denota por ↓a. Denota-se por O(P)o conjunto (parcialmente ordenado, pela relação de inclusão) dos ideais de ordemde P. Um conjunto superiormente dirigido é um subconjunto D ⊆ P com apropriedade: se a, b ∈ D então existe d ∈ D tal que a, b 6 d. Dualmente definem-seos conceitos de filtro de ordem e de conjunto inferiormente dirigido.

Sejam P = 〈P,6P 〉 e Q = 〈Q,6Q〉 cpos. A soma linear P ⊕Q de P e Q é ocpo que tem como conjunto suporte a união disjunta P ∪Q e onde p 6 q se e só sep, q ∈ P e p 6P q, ou p, q ∈ Q e p 6Q q ou p ∈ P e q ∈ Q. O produto directo deP e Q é o cpo que tem como suporte o produto cartesiano P ×Q e onde a relaçãode ordem parcial é definida coordenada a coordenada, ou seja, 〈p, q〉 6 〈p′, q′〉 se esó se p 6P p

′ e q 6Q q′. Note-se que ambas as construções são associativas e podemser generalizadas para uma qualquer família de cpos.

Topologia. Seja X um conjunto e τ ⊆ ℘(X). Diz-se que 〈X, τ〉 é um espaçotopológico, ou que τ é uma topologia se: ∅, X ∈ τ ;

⋃

i∈I Ai ∈ τ sempre queAi : i ∈ I ⊆ τ ; A ∩ A′ ∈ τ sempre que A,A′ ∈ τ . Se 〈X, τ〉 for um espaçotopológico, e A ∈ τ , diz-se que A é um conjunto aberto e que X \ A é umconjunto fechado. Diz-se que A é aberto-fechado se for aberto e fechado. Seτ = ℘(X), então diz-se que 〈X, τ〉 é um espaço topológico discreto.

1.1. Conceitos básicos 3

Se 〈X, τ〉 for um espaço topológico e B ⊆ τ , diz-se que B é uma base de τ se:∅, X ∈ B; A ∩ A′ ∈ B, sempre que A,A′ ∈ B; dado A ∈ τ , existe Ai : i ∈ I ⊆ Btal que A =

⋃

i∈I Ai. Se S ⊆ τ , for tal que a família B das intersecções finitas deelementos de S é uma base de τ , então S diz-se uma sub-base de τ .

Sejam 〈X, τ〉 e 〈Y, σ〉 dois espaços topológicos e f : X → Y uma aplicação. Diz-se que f é uma aplicação contínua se f−1(U) ∈ τ , sempre que U ∈ σ. Diz-se que fé um homeomorfismo se for bijectiva, contínua e f−1 for também contínua. Nessecaso, diz-se também que 〈X, τ〉 e 〈Y, σ〉 são espaços topológicos homeomorfos.

Existe uma hierarquia de classes de espaços topológicos de acordo com noções deseparação. Consideremos apenas os espaços T1 e T2. Diz-se que 〈X, τ〉 é um espaçoT1 se dados x, y ∈ X, com x 6= y, existir U ∈ τ tal que x ∈ U e y /∈ U . Diz-seque 〈X, τ〉 é um espaço T2 (ou Hausdorff) se dados x, y ∈ X, com x 6= y, existiremU, V ∈ τ tais que x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V = ∅. Segue que num espaço T1 qualquerconjunto singular é fechado. É óbvio que T2 ⊆ T1.

Seja 〈X, τ〉 um espaço topológico e seja U ⊆ τ . Diz-se que U é uma cober-tura aberta de Y ⊆ X se Y ⊆

⋃

U . Um subconjunto finito U0 de U diz-se umasub-cobertura finita se ainda se tiver Y ⊆

⋃

U0. Diz-se que Y é compactose qualquer cobertura aberta de Y tiver uma sub-cobertura finita. Em particular,〈X, τ〉 um espaço topológico compacto se qualquer cobertura aberta de X tiver umasub-cobertura finita.

Teorema 1.1.1. Seja 〈X, τ〉 um espaço topológico compacto e T1. Então X é finitose e só se τ é a topologia discreta.

O seguinte resultado fornece caracterizações alternativas de espaços topológicoscompactos.

Teorema 1.1.2. Seja 〈X, τ〉 um espaço topológico. As seguintes afirmações sãoequivalentes:

(1) toda a família de conjuntos fechados cuja intersecção é vazia tem uma sub--família finita cuja intersecção é vazia,

(2) toda a cobertura aberta de X tem uma sub-cobertura finita.

(3) se F for uma família de fechados e A for uma família de abertos de 〈X, τ〉tais que

⋂

F ⊆⋃

A, então existem F ′ ⋐ F e A′ ⋐ A tais que⋂

F ′ ⊆⋃

A′.

4 1. Fundamentos

Categorias. Seguindo [1, pag. 21], define-se uma categoria como sendo um quá-druplo Cat = 〈Ob(Cat),Hom(Cat), id, 〉 em que Ob(Cat) é uma classe a cujos mem-bros chamamos objectos da categoria Cat e Hom(Cat) é uma classe a cujos membroschamamos morfismos da categoria Cat e é tal que

(1) para cada par de objectos A e B, o conjunto Cat(A,B) é uma subclasse deHom(Cat) cujos membros se chamam morfismos de A para B (f ∈ Cat(A,B)

também se representa por f : A→ B ou Af−→ B);

(2) os conjuntos Cat(A,B) são disjuntos dois a dois, isto é, se A 6= A′ ou B 6= B′,então Cat(A,B) ∩ Cat(A′, B′) = ∅;

(3) para cada objecto A, existe um morfismo AidA−−→ A a que chamamos a identi-

dade de A;

(4) se Af−→ B e B

g−→ C forem morfismos, chama-se composição de f e g ao

morfismo Agf−−→ C, sendo que a composição

(i) é associativa, isto é, se Af−→ B, B

g−→ C e C

h−→ D, então h (g f) =

(h g) f ,

(ii) as identidades são identidades com respeito à composição, isto é, se Af−→

B, então idB f = f = f idA.

Numa categoria C, um morfismo f ∈ C(A,B) diz-se um isomorfismo se existirum morfismo g ∈ C(B,A), a que se chama o inverso de f , tal que g f = idA ef g = idB.

Dadas categorias C e D, dizemos que F : C → D é um functor se para cadaobjecto C de C existir um e um só objecto D de D tal que D = F(C) e para cadamorfismo f ∈ C(C,C ′) existir um e um só morfismo F(f) ∈ D(F(C),F(C ′)), no casode um functor covariante ou um e um só morfismo F(f) ∈ D(F(C ′),F(C)), nocaso de um functor contravariante.

Duas categorias C e D dizem-se dualmente equivalentes se existirem func-tores contravariantes F : C → D e G : D → C e famílias de isomorfismos (ηC ∈C(C,GF(C)) : C ∈ Ob(C)), (εD ∈ D(D,FG(D)) : D ∈ Ob(D)) tais que, paraf ∈ C(C,C ′) e g ∈ D(D,D′), se tenha ηC′ f = GF(f) ηC e εD′ g = FG(g) εD.Neste caso, diz-se que F e G estabelecem uma dualidade entre as categorias C e D.

1.1. Conceitos básicos 5

Álgebra. A definição de álgebra adoptada neste trabalho é a que pode ser en-contrada, por exemplo, no livro de S. Burris e H. P. Sankappanavar [4]. Assim sãoapenas consideradas álgebras homogéneas com operações finitárias.

Um tipo de álgebras é um par 〈F , α〉 em que F é um conjunto de símbolose α : F → N é uma aplicação. Para cada f ∈ F , a α(f) chamamos a aridade def . Seja 〈F , α〉 um tipo de álgebras e A um conjunto não vazio. Se ϕ : F → Op(A)for uma aplicação satisfazendo ϕ(f) ∈ Opα(f)(A), para qualquer f ∈ F , entãoA = 〈A, F 〉 é uma álgebra do tipo 〈F , α〉, onde F = ϕ(F) (notação: ϕ(f) = fA).Ao conjunto A chamamos o universo de A e fA é chamada uma operação básicade A, para cada f ∈ F .

Por vezes, em vez de se dizer que A é uma álgebra do tipo 〈F , α〉 finito (ou seja,em que o conjunto F é finito), identifica-se este com as aridades dos seus símbolose diz-se a A é uma álgebra do tipo 〈α(f1), . . . , α(fk)〉 onde a sequência de aridadescostuma a aparecer por ordem decrescente. Em cada caso particular, identificamosa operação com o símbolo operacional, para aligeirar a notação. Assim, em vezde escrever A =

⟨

A, fA

1 , . . . , fA

k

⟩

, escreve-se A = 〈A, f1, . . . , fk〉. Para o caso deoperações binárias, usamos a notação mais usual afb, em vez de f(a, b); por vezes,em operações unárias podemos usar ainda outras notações, tais como ¬a ou a′, emvez de ¬(a) ou ′(a), respectivamente.

Sejam A e B álgebras do mesmo tipo 〈F , α〉 e seja ξ : A → B uma aplicação.Diz-se que ξ é um homomorfismo de A para B (e escreve-se ξ : A → B) se paraqualquer f ∈ F , e quaisquer a1, . . . , aα(f) ∈ A,

ξ(fA(a1, . . . , aα(f))) = fB(ξ(a1), . . . , ξ(aα(f))).

Se ξ : A → B for um homomorfismo bijectivo, então ξ−1 : B → A é também umhomomorfismo bijectivo. Neste caso, diz-se que ξ é um isomorfismo de álgebras eas álgebras A e B dizem-se isomorfas (o que se representa por A ∼= B). Diz-se aindaque ξ é um mergulho (e representa-se por ξ : A B) se for um homomorfismoinjectivo. Se ξ : A → B for sobrejectivo (o que se representa por ξ : A ։ B), diz-seque B é uma imagem homomorfa de A. Se A e B forem álgebras do mesmo tipoe A ⊆ B, então A diz-se uma sub-álgebra de B, e escreve-se A 6 B, se a inclusãoι : A→ B (dada por ι(a) = a, para qualquer a ∈ A) for um homomorfismo.

Dado um conjunto A, denota-se por Equiv(A) o conjunto das relações de equiva-lência em A. Seja A =

⟨

A, fA

1 , . . . , fA

k

⟩

uma álgebra e θ ∈ Equiv(A). Diz-se que θé uma relação de congruência de A se para 1 6 i 6 k, sendo ni a aridade de fA

i ,se a1, . . . , ani

, b1, . . . , bni∈ A forem tais que para 1 6 j 6 ni se tiver ajθbj , então

fA

i (a1, . . . , ani)θfA

i (b1, . . . , bni). Denota-se por Con(A) o conjunto das relações de

6 1. Fundamentos

congruência de A. Os conjuntos Equiv(A) e Con(A) são parcialmente ordenadospela relação de inclusão; de facto são reticulados algébricos (ver página 12). Asrelações binárias ∆A = 〈a, a〉 : a ∈ A e ∇A = A2 são relações de congruência,para qualquer álgebra A (a menor e a maior, respectivamente).

Se (Ai : i ∈ I) for uma família de álgebras do mesmo tipo, o produto directoA =

∏

i∈I Ai dessa família é a álgebra cujo universo é o produto cartesiano∏

i∈I Ai

e para cada operação básica n-ária f e para quaisquer a1, . . . , an ∈∏

i∈I Ai,

fA(a1, . . . , an)(i) = fAi(a1(i), . . . , an(i)).

Para j ∈ I, ao homomorfismo sobrejectivo πj :∏

i∈I Ai ։ Aj, definido por πj(a) =a(j) chamamos a j-ésima projecção de A. Uma álgebra A diz-se o produtosubdirecto da família de álgebras (Ai : i ∈ I) se A 6

∏

i∈I Ai e πi(A) = Ai

para cada i ∈ I. Um mergulho ξ : A →∏

i∈I Ai diz-se subdirecto se ξ(A) forum produto subdirecto da família (Ai : i ∈ I). Diz-se que A é subdirectamenteirredutível se para cada mergulho subdirecto ξ : A →

∏

i∈I Ai, existe i ∈ I tal queπi ξ : A → Ai é um isomorfismo. Toda a álgebra é isomorfa ao produto subdirectode álgebras subdirectamente irredutíveis, que são suas imagens homomorfas. Umaálgebra A é subdirectamente irredutível se e só se existir um único átomo µA nocpo Con(A). Quando isto acontece, a µA chamamos o monolito de A. Diz-se queuma álgebra A é simples se Con(A) = ∆A,∇A.

Seja K uma classe de álgebras de um certo tipo e A uma álgebra desse tipo.Diz-se que A pertence a I(K), S(K), H(K), P (K) ou Ps(K) se A for isomorfa aalgum membro de K, sub-álgebra de algum membro de K, imagem homomorfa dealgum membro de K, produto directo duma família não vazia de membros de Kou produto subdirecto duma família não vazia de membros de K, respectivamente.Diz-se que K é uma variedade se K contém H(A), S(A) e P (A), para qualquermembro A de K. Denota-se por V (K) a menor variedade que contém K, a que sechama a variedade gerada por K. Uma variedade diz-se finitamente gerada sefor gerada por um conjunto finito K de álgebras finitas. Uma classe K de álgebrasdo mesmo tipo é uma variedade se e só se K for a classe de álgebras desse tipo quesatisfazem um certo conjunto de equações. Se K for uma variedade, então todo omembro de K é isomorfo a um produto subdirecto de álgebras subdirectamente irre-dutíveis pertencentes a K. Logo, uma variedade é determinada pelos seus membrossubdirectamente irredutíveis.

1.2. Reticulados 7

1.2 Reticulados

Nesta secção (e na seguinte) fazemos um estudo das propriedades de reticulados queserão úteis nos capítulos seguintes. Para um estudo mais sistemático da Teoria deReticulados, sugere-se por exemplo, [5]. Comecemos pela definição de reticuladoenquanto estrutura ordenada.

Definição 1.2.1. Um reticulado é um cpo 〈L,6〉 no qual, para quaisquer a, b ∈ L,existem em L os elementos ínfimo e supremo do conjunto a, b.

Definam-se num reticulado 〈L,6〉 as operações binárias ∧,∨ : L2 → L fazendoa ∧ b e a ∨ b o ínfimo e o supremo do conjunto a, b, respectivamente.

Teorema 1.2.2 (Teorema 2.9 em [5]). Se 〈L,6〉 for um reticulado, então a álgebraL = 〈L,∧,∨〉 satisfaz

x ∧ y = y ∧ x, x ∨ y = y ∨ x, (Comutatividade)

(x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z), (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z), (Associatividade)

x ∧ (y ∨ x) = x, x ∨ (y ∧ x) = x. (Leis da absorção)

Teorema 1.2.3 (Teorema 2.10 em [5]). Seja 〈L,∧,∨〉 uma álgebra satisfazendo aspropriedades enunciadas no Teorema 1.2.2.

(1) Para quaisquer a, b ∈ L, tem-se a ∨ b = b se e só se a ∧ b = a.

(2) Defina-se a relação binária 6 em L fazendo a 6 b se e só se a ∧ b = a.

(i) 6 é uma relação de ordem parcial.

(ii) 〈L,6〉 é um reticulado e para a, b ∈ L, os elementos a ∧ b e a ∨ b são,respectivamente, o ínfimo e o supremo do conjunto a, b.

Temos assim duas definições equivalentes de reticulado: uma enquanto estruturarelacional e outra enquanto álgebra (do tipo 〈2, 2〉). Usaremos a definição que formais conveniente em cada contexto.

Uma vez que um reticulado é uma álgebra, os conceitos de homomorfismo dereticulados, sub-reticulado, congruências, produto directo e subdirecto de reticuladossão apenas casos particulares daqueles que foram definidos para álgebras. Note-seainda que pelos dois teoremas anteriores, a álgebra 〈L,∧,∨〉 é um reticulado se e sóse satisfizer as equações no enunciado do Teorema 1.2.2. Segue assim que a classe dos

8 1. Fundamentos

reticulados é uma variedade. No que concerne à ligação entre reticulados enquantoálgebras e enquanto estruturas ordenadas, é fácil de verificar que um homomorfismode reticulados é sempre um aplicação isótona. Tem-se também que o cpo do produtodirecto de dois reticulados (enquanto álgebras) coincide com o produto directo doscpos de cada um deles, ou seja, é indiferente formar o produto directo algebricamenteou enquanto estrutura ordenada.

Se L for um reticulado para o qual existem elementos 0, 1 ∈ L tais que 0 6 a 6 1para qualquer a ∈ L, então diz-se que L é um reticulado limitado. Representa-seum reticulado limitado L como sendo uma álgebra L = 〈L,∧,∨, 0, 1〉 dando assimênfase a essa condição. Neste caso, estamos a considerar 0 e 1 como operaçõesnulárias (álgebra do tipo 〈2, 2, 0, 0〉), que deverão assim ser preservadas pelos homo-morfismos, i.e. se ξ : L → K for um homomorfismo de reticulados limitados, entãoξ(0) = 0 e ξ(1) = 1. Da mesma forma, se L for um reticulado limitado e L′ ⊆ L,diz-se que L

′ é um sub-reticulado limitado de L se 0, 1 ∈ L′ e L′ 6 L.

Seja L um reticulado e seja ∅ 6= I ⊆ L. Diz-se que I é um ideal de L se I forum ideal de ordem de L e a ∨ b ∈ I sempre que a, b ∈ I. O conjunto dos ideaisde L denota-se por I(L). O conceito de filtro de L define-se de forma dual. Oconjunto dos filtros de L denota-se por F(L). Um ideal I de um reticulado L diz-seum ideal próprio de L se I 6= L. Diz-se que I é um ideal primo de L se a ∈ I oub ∈ I, sempre que a∧ b ∈ I; o conjunto dos ideais primos de L denota-se por Ip(L).Se L for um reticulado e A ⊆ L, então (A] =

⋂

I ∈ I(L) : A ⊆ I é o ideal deL gerado por A. Se A = a, é mais usual a notação (a], em vez de ( a] e aeste conjunto chamamos o ideal principal gerado por a. Note-se que (a] =↓a.Dualmente define-se filtro próprio, filtro gerado por um conjunto (notação:[A)), filtro principal (notação: [a) ou ↑a) e filtro primo (conjunto Fp(L)) de umreticulado L.

Seja L um reticulado. Um elemento j ∈ L \ 0 diz-se ∨-irredutível se j = aou j = b, sempre que j = a ∨ b; diz-se que j é

∨

-irredutível se j ∈ A, sempreque j =

∨

A. Os conjuntos dos elementos ∨-irredutíveis e dos elementos∨

-irredu-tíveis do reticulado L denotam-se por J (L) e J∞(L), respectivamente. Dualmentedefinem-se os conceitos de elementos ∧-irredutível e

∧

-irredutível (conjuntosM(L) e M∞(L), respectivamente). É fácil identificar os elementos

∨

-irredutíveisou∧

-irredutíveis: os primeiros são precisamente aqueles que cobrem um e um sóelemento; os segundos, são os que são cobertos por um e um só elemento. Se L

tiver comprimento finito (em particular, se L for finito), então para a ∈ L, se a 6= 0,tem-se a =

∨

j ∈ J (L) : j 6 a e se a 6= 1, então a =∧

m ∈ M(L) : a 6 m.O conceito de átomo de um reticulado coincide com o de átomo de um cpo.

1.2. Reticulados 9

Seja L um reticulado com elemento 0. Diz-se que L é um reticulado atómico separa todo b ∈ L, existir a ∈ At(L) tal que a 6 b. Diz-se que L é um reticuladoatomístico se para todo b ∈ L se tiver b =

∨

a ∈ At(L) : a 6 b. Dualmentedefinem-se os conceitos de reticulado coatómico e reticulado coatomístico.

Reticulados distributivos. Seja L um reticulado. Diz-se que L é um reticuladodistributivo se L satisfaz a seguinte identidade

x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z). (D)

Para qualquer cpo P = 〈P,6〉, o reticulado dos seus ideais de ordem DP =〈O(P),∩,∪,∅, P 〉 é um reticulado distributivo. Se X σ = 〈X,6, σ〉 for um espaçotopológico ordenado, seja O(X σ) o conjunto dos ideais de ordem abertos-fechadosde X σ; então, DXσ = 〈O(X σ),∩,∪,∅, X〉 é também um reticulado distributivolimitado.

Dualidade de Priestley. Os conceitos e resultados que se seguem podem serencontrados, por exemplo, em [5, pag. 257-262]. Seja L um reticulado distributivolimitado e sejam

Xa = I ∈ Ip(L) : a /∈ I ,

para cada a ∈ L e

S = Xa : a ∈ L ∪ Ip(L) \Xa : a ∈ L .

O espaço dual de L é o espaço topológico ordenado 〈Ip(L),⊆, τL〉, onde τL tem Scomo sub-base.

Teorema 1.2.4 (Teorema 10.21, em [5]). Seja L = 〈L,∧,∨, 0, 1〉 um reticuladodistributivo limitado. Então a aplicação a 7→ Xa é um mergulho de L no reticuladodistributivo limitado DIp(L) = 〈O(Ip(L)),∩,∪,∅, Ip(L)〉.

Teorema 1.2.5 (Teorema de Priestley para a representação de reticulados distribu-tivos limitados. Teorema 11.23, em [5]). Seja L um reticulado distributivo limitado.Então a aplicação a 7→ Xa é um isomorfismo de L para o reticulado dos ideais deordem abertos-fechados do dual de L.

Um espaço de Priestley é um espaço topológico ordenado X σ = 〈X,6, σ〉 emque 〈X, σ〉 é compacto e se x, y ∈ X forem tais que x y então existe um ideal deordem aberto-fechado U tal que x /∈ U e y ∈ U .

10 1. Fundamentos

Teorema 1.2.6 (Teorema 11.24, em [5]). Seja X σ = 〈X, σ,6〉 um espaço de Pries-tley. Então X σ é ordem-homeomorfo a 〈Ip(DXσ),⊆, τDXσ 〉.

Seja D a categoria cujos objectos são os reticulados distributivos limitados eh ∈ D(L,K) se e só se h : L → K for um homomorfismo de reticulados limitados.Seja P a categoria cujos objectos são os espaços de Priestley e ϕ ∈ P(X τ ,Yσ) se esó se ϕ : X → Y for uma aplicação contínua e isótona.

Sejam D(L) = 〈Ip(L),⊆, τL〉, para cada reticulado distributivo limitado L eE(X τ ) = DX τ , para cada espaço de Priestley X τ . Sejam ηL : L → ED(L) oisomorfismo dado pelo Teorema 1.2.5 e εX τ : X τ → DE(X τ ) o homeomorfismo deordem dado pelo Teorema 1.2.6.

Teorema 1.2.7 (Teorema 11.31, em [5]). Sejam L,L′ ∈ D e X τ ,Yσ ∈ P, e sejamf ∈ D(L,L′) e ϕ ∈ P(X τ ,Yσ). Então existem

(1) D(f) ∈ P(D(L′),D(L)) definido por D(f)(y) = f−1(y),

(2) E(ϕ) ∈ D(E(Yσ),E(X τ )) definido por E(ϕ)(U) = ϕ−1(U),

tais que D : D(L,L′) → P(D(L′),D(L)) e E : P(X τ ,Yσ) → D(E(Yσ),E(X τ)) sãobijecções, ηL′ f = ED(f) ηL e εYσ ϕ = DE(ϕ) εX τ . Mais,

(3) f é injectiva se e só se D(f) é sobrejectiva,

(4) f é sobrejectiva se e só se D(f) é um mergulho de ordem.

Pelo Teorema 1.2.7 (1) e (2), D : D → P e E : P → D são functores e estabele-cem uma dualidade entre as categorias D e P.

Álgebras de Boole. Uma álgebra B = 〈B,∧,∨,′ , 0, 1〉 diz-se uma álgebra deBoole se B = 〈B,∧,∨, 0, 1〉 for um reticulado limitado distributivo e ′ for umaoperação unária satisfazendo

x ∧ x′ = 0 & x ∨ x′ = 1. (BA)

Dado um conjunto X, seja BX = 〈℘(X),∩,∪,′ ,∅, X〉, em que A′ = X \A, paraA ⊆ X; então BX é uma álgebra de Boole.

Existe uma teoria de dualidade para álgebras de Boole, a dualidade de Stone.A diferença, em relação à dualidade de Priestley, assenta essencialmente no factode o cpo dos ideais primos duma álgebra de Boole ser uma anti-cadeia. Assim,

1.2. Reticulados 11

o correspondente espaço de Boole é um espaço topológico compacto no qual sex 6= y então existe um conjunto aberto-fechado U tal que x ∈ U e y /∈ U . Oreticulado dos subconjuntos abertos-fechados dum espaço de Boole é uma álgebrade Boole. Incluimos os próximos resultados (casos particulares dos Teoremas 1.2.5 e1.2.4, só com a diferença de se ter que acrescentar a operação de complementação)para futura referência.

Teorema 1.2.8 (Teorema 10.22, em [5]). Seja B uma álgebra de Boole. Entãoη : a 7→ Xa é um mergulho de B em BIp(B) = 〈℘(Ip(B)),∩,∪,′ ,∅, Ip(B)〉.

Teorema 1.2.9 (Teorema de Stone para representação de álgebras de Boole. Te-orema 11.4, em [5]). Seja B uma álgebra de Boole. Então a aplicação η : a 7→ Xa

é um isomorfismo de B para a álgebra de Boole dos conjuntos abertos-fechados de〈Ip(B), τB〉.

Outras classes de reticulados. Apresentamos de seguida outras classes de re-ticulados a que nos referiremos adiante: a classe dos reticulados modulares, quetambém é definível equacionalmente e a classe dos reticulados semidistributivos queé definível por meio de outro tipo de fórmulas (chamadas quasi-equações).

Seja L um reticulado. Diz-se que L é modular se L satisfizer

x ∧ (y ∨ (x ∧ z)) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z). (M)

Diz-se que L é ∨-semidistributivo se L satisfazer

x ∨ y = x ∨ z =⇒ x ∨ y = x ∨ (y ∧ z). (SD∨)

Diz-se que L é ∧-semidistributivo se o dual de ordem de L for ∨-semidistributivo,ou equivalentemente, se L satisfizer

x ∧ y = x ∧ z =⇒ x ∧ y = x ∧ (y ∨ z). (SD∧)

Se L for um reticulado ∨-semidistributivo e ∧-semidistributivo, então diz-se que L

é semidistributivo.

Reticulados completos. Um reticulado L diz-se completo se para qualquersubconjunto A ⊆ L existirem em L os elementos

∧

A e∨

A. Um sub-reticulado L′

dum reticulado completo L é um sub-reticulado completo se para cada A ⊆ L′,os elementos

∧

A e∨

A, conforme definidos em L, existirem em L′.

12 1. Fundamentos

Seja L um reticulado. Um elemento k ∈ L diz-se compacto se para qualquersubconjunto A de L, sempre que

∨

A existir em L e k 6∨

A, exista B ⋐ A tal quek 6

∨

B. Um reticulado completo diz-se algébrico se para todo o elemento a ∈ Lse tiver que a é o supremo dos elementos compactos de L que são menores ou iguaisa a. O conceito de reticulado coalgébrico é definido de forma dual.

Seja 〈P,6〉 um cpo. Uma aplicação κ : P → P diz-se um operador de fechoem P se, para quaisquer p, q ∈ P ,

(1) p 6 κ(p),

(2) se p 6 q então κ(p) 6 κ(q),

(3) κ(κ(p)) = κ(p).

Proposição 1.2.10 (Proposição 7.2 (ii)(b) em [5]). Seja L um reticulado completoe κ : L → L um operador de fecho. Então κ(L) é um reticulado completo e paraA ⊆ L,

∧

κ(A) =∧

A e∨

κ(A) = κ(

∨

A)

.

Conexões de Galois. A noção de conexão de Galois será usada neste estudo emdiferentes contextos. A definição adoptada é a que pode ser encontrada por exemploem [10] ou em [11].

Definição 1.2.11. Sejam ϕ : P → Q e ψ : Q→ P aplicações entre os cpos 〈P,6〉 e〈Q,6〉. O par 〈ϕ, ψ〉 diz-se uma conexão de Galois entre 〈P,6〉 e 〈Q,6〉 se paraquaisquer p ∈ P, q ∈ Q

p 6 ψ(q) ⇐⇒ q 6 ϕ(p). (Galois)

A próxima proposição é uma adaptação do Lema 3.7 em [10]. Como veremosresulta da definição de conexão de Galois que ambas as aplicações são antítonas.Outros autores adoptam uma definição alternativa, em que as aplicações são isóto-nas, cf. [5]. Trata-se nesse caso do que, de acordo com a definição aqui adoptada,chamaríamos de conexão de Galois entre 〈P,6〉 e 〈Q,6〉∂ = 〈Q,>〉.

Proposição 1.2.12. Seja 〈ϕ, ψ〉 uma conexão de Galois entre 〈P,6〉 e 〈Q,6〉. Sãoválidas as seguintes afirmações.

(1) p 6 ψ(ϕ(p)) e q 6 ϕ(ψ(q)) para quaisquer p ∈ P, q ∈ Q.

(2) ϕ e ψ são antítonas.

1.2. Reticulados 13

(3) ϕ e ψ convertem supremos existentes em ínfimos.

(4) ϕ ψ ϕ = ϕ e ψ ϕ ψ = ψ.

(5) ψ ϕ : P → P e ϕ ψ : Q→ Q são operadores de fecho.

(6) ψ(ϕ(P )) = ψ(Q) e ϕ(ψ(Q)) = ϕ(P ).

(7) ϕ(ψ(Q)) ∼= ψ(ϕ(P ))∂.

Reciprocamente, as condições (1) e (2) da Proposição 1.2.12 são suficientes paraque se tenha um conexão de Galois, como resulta da seguinte proposição. A definiçãode conexão de Galois adoptada em [11] é precisamente o enunciado da proposição,enquanto que na Proposição 4 (em [11]) se demonstra a equivalência com a definiçãoaqui adoptada.

Proposição 1.2.13. Sejam ϕ : P → Q e ψ : Q → P aplicações entre os cpos〈P,6〉 e 〈Q,6〉. Se ϕ e ψ forem antítonas e para quaisquer p ∈ P, q ∈ Q se tiverp 6 ψ(ϕ(p)) e q 6 ϕ(ψ(q)), então 〈ϕ, ψ〉 é uma conexão de Galois.

O seguinte resultado segue da Proposição 1.2.10 e da Proposição 1.2.12 (5) e (7).

Corolário 1.2.14. Se 〈ϕ, ψ〉 for conexão de Galois entre 〈P,6〉 e 〈Q,6〉 e estes cposforem reticulados completos, então ψ(ϕ(P )) e ϕ(ψ(Q)) são reticulados completosdualmente isomorfos. Mais, para S ⊆ P e T ⊆ Q,

∧

ψ(ϕ(S)) =∧

S,∨

ψ(ϕ(S)) = ψ(

ϕ(

∨

S))

,∧

ϕ(ψ(T )) =∧

T,∨

ϕ(ψ(T )) = ϕ(

ψ(

∨

T))

.

A completação de Dedekind–MacNeille. A completação de Dedekind–Mac-Neille (a que por vezes também se chama completação de MacNeille ou completaçãonormal) é um caso particular de uma conexão de Galois. O Teorema 1.2.15 (que éum resultado bem conhecido) evidencia algumas propriedades notáveis desta com-pletação. Por exemplo, é a menor completação de qualquer cpo ou reticulado.

Seja P = 〈P,6〉 um cpo. O par 〈e,C〉 diz-se uma completação de P se C

for um reticulado completo e e : P → C for um mergulho de cpos. 1 Se L forum reticulado, então 〈e,C〉 diz-se uma completação de L se C for um reticulado

1Ou seja, p 6 q se e só se e(p) 6 e(q), para quaisquer p, q ∈ P .

14 1. Fundamentos

completo e e : L C for um mergulho de reticulados. Por vezes referimo-nos àcompletação 〈e,C〉 dum cpo ou dum reticulado apenas por C.

Seja P um cpo. Sejam u : ℘(P ) → ℘(P ) e l : ℘(P ) → ℘(P ) definidas por

Au = x ∈ P : ∀a ∈ A (a 6 x) e Al = x ∈ P : ∀a ∈ A (x 6 a) .

Usando a definição ou a Proposição 1.2.13, demonstra-se facilmente que⟨

u,l⟩

éuma conexão de Galois entre ℘(P ) e ℘(P ). Assim, resulta do Corolário 1.2.14 que℘(P )ul =

A ∈ O(P) : A = Aul

é um reticulado completo.A completação de Dedekind–MacNeille de um cpo P = 〈P,6〉 é o reticu-

lado completo DM(P) dado pelo conjunto

A ∈ O(P) : A = Aul

com a relação deinclusão. No caso em que P é um reticulado, DM(P) é ainda uma completação de Penquanto reticulado, como segue do facto de a completação de Dedekind–MacNeillepreservar ínfimos e supremos existentes (cf. Teorema 1.2.15 (1)).

Teorema 1.2.15 (Teoremas 7.40 e 7.41, em [5]). Seja P = 〈P,6〉 um cpo e sejaϕ : P → DM(P) o mergulho de P na sua completação de Dedekind–MacNeille dadopor ϕ(p) =↓p. Então,

(1) ϕ preserva os supremos e os ínfimos existentes em P.

(2) ϕ(P) é ∨-denso e ∧-denso em DM(P).

(3) Seja L um reticulado completo e suponhamos que P ⊆ L, e que P é ∨-densoe ∧-denso em L. Então L ∼= DM(P) via um isomorfismo que restringido a Pcoincide com ϕ.

Teorema 1.2.16 (Teorema 7.42, em [5]). Seja L um reticulado de comprimentofinito. Então

L ∼= DM(J (L) ∪M(L)),

e J (L) ∪M(L) é o menor conjunto que é ∨-denso e ∧-denso em L.

Álgebras de negação. Seja A = 〈A, F 〉 uma álgebra e F ′ ⊆ F . Diz-se que A′ =

〈A, F ′〉 é o F ′-reduto de A ou um reduto de A. Neste trabalho estamos interessadosnum certa classe de álgebras com reduto de reticulado limitado. Interessam-nosespecialmente álgebras que generalizem o conceito de álgebra de Boole, ou seja,reticulados limitados com uma operação que pode ser encarada como “negação”.

1.2. Reticulados 15

Definição 1.2.17. Uma álgebra de negação é uma álgebra A = 〈A,∧,∨,¬, 0, 1〉,em que A

′ = 〈A,∧,∨, 0, 1〉 é um reticulado limitado e ¬ é uma operação unáriasatisfazendo um ou mais dos seguintes axiomas:

Pré-minimal: x 6 y =⇒ ¬y 6 ¬x. (PM)

Introdução de dupla negação: x 6 ¬¬x. (DNI)

Eliminação de dupla negação: ¬¬x 6 x. (DNE)

Absurdo: x ∧ ¬x = 0. (Ab)

Pré-antilogismo: x ∧ ¬(x ∧ y) 6 ¬y. (PAnt)

Os axiomas apresentados na Definição 1.2.17 foram antes estudados por W. Dzik,E. Orłowska e C. van Alten em [8], com nomes diferentes. Os nomes aqui adoptados,mais sugestivos, procedem do artigo de J. M. Dunn e C. Zhou [7, pag. 241]. Outroaxioma estudado em [7] foi (Ant) (ver Definição 1.2.18, a seguir, ou equivalentementeProposição 1.2.22 (7), com a forma adoptada em [7]). Neste trabalho, o axioma (Ant)foi substituído por (PAnt), cuja conjunção com (PM) é equivalente a (Ant), e destaforma tem-se menos um axioma com formulação não equacional. Este foi tambémo procedimento adoptado em [2], onde estes axiomas também foram estudados.

Alguns destes axiomas podem isoladamente definir uma operação que tenha ocomportamento esperado duma negação. No entanto, neste trabalho estamos inte-ressados em certas classes de álgebras de negação satisfazendo conjuntos específicosde axiomas de entre os acima mencionados. Em particular, supomos, tal comoem [8], que é uma operação antítona. Assim, consideramos as classes de álgebrasdadas pela seguinte definição.

Definição 1.2.18. Classes de álgebras de negação que estudaremos no Capítulo 4:

Quasi-minimal: (PM) & (DNI). (QM)

Antilogismo: (PM)& (PAnt). (Ant)

De Morgan: (PM) & (DNI) & (DNE). (DM)

Intuicionista: (PM) & (Ab). (Int)

Pseudocomplementação fraca: (PM) & (Ab) & (DNI). (W)

Ortonegação: (PM) & (Ab) & (DNI) & (DNE). (O)

Pseudocomplementação: (PM) & (Ab) & (DNI) & (PAnt). (P)

De entre as classes de álgebras de negação da Definição 1.2.18, quatro foramestudadas em [8]: De Morgan, Ortonegação, Pseudocomplementação fraca e Pseu-docomplementação. As outras classes correspondem a versões mais fracas destes

16 1. Fundamentos

conjuntos de axiomas, mas ainda assim permitem tirar algumas conclusões no âm-bito do estudo da canonicidade, no Capítulo 4. A excepção, como se disse antes, vaipara o Antilogismo que resulta de um axioma não estudado em [8].

Como veremos na Proposição 1.2.22 (12), uma álgebra de negação que satis-faça os axiomas da Definição 1.2.17 é necessariamente uma álgebra de Boole. Parademonstrar que assim é, usamos o Lema 1.2.19. Este resultado foi inicialmente de-monstrado por O. Frink (cf. [9]), recorrendo à dualidade de Stone, e depois porR. Padmanabhan (cf. [26]), por manipulação dos axiomas usados no enunciado.

Lema 1.2.19 ([9, 26]). Seja A = 〈A, ·,′ , 0〉 uma álgebra na linguagem 〈2, 1, 0〉satisfazendo os axiomas

xx = x,

xy = yx,

x(yz) = (xy)z,

xy = x⇔ xy′ = 0.

Então a álgebra A′ = 〈A,+, ·,′ , 0, 1〉, onde x + y = (x′y′)′ e 1 = 0′, é uma álgebra

de Boole.

Lema 1.2.20 (Lema 4.15 (5), em [5]). Se B for uma álgebra de Boole, então B

satisfaz a condição:x ∧ y′ = 0 ⇐⇒ x 6 y.

A proposição que se segue é essencialmente o Lema 2.3, em [2], sendo que ascondições (1), (2), (5) e (6) provêm de [8]; a última condição surge em [2] como umaobservação (na página 176).

Notação 1.2.21. Dadas fórmulas ϕ, ψ numa dada linguagem, dizemos que ψ seguede ϕ, e escrevemos ϕ ⊢ ψ, se se puder construir uma demonstração de ψ usando ϕcomo hipótese. Escrevemos ϕ ⊣⊢ ψ se ϕ ⊢ ψ e ψ ⊢ ϕ.

Proposição 1.2.22. Em qualquer álgebra de negação, são válidas as seguintes pro-posições.

(1) (QM) ⊣⊢(

x 6 ¬y ⇔ y 6 ¬x)

.

(2) (QM) ⊢ ¬0 = 1.

(3) (PM)& (DNI) ⊢ ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y.

1.2. Reticulados 17

(4) (PM)& (DNE) ⊢ ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y.

(5) (i) (DM) ⊢ ¬1 = 0;

(ii) (Ab) ⊢ ¬1 = 0.

(6) (W) ⊢(

x 6 ¬y ⇒ x ∧ y = 0)

.

(7) (Ant) ⊣⊢(

x ∧ y 6 z ⇒ x ∧ ¬z 6 ¬y)

.

(8) (DM)& (Ant) ⊢ (Ab).

(9) (DNI)& (Ab)& (PAnt) ⊢ (PM).

(10) (P) ⊣⊢(

x ∧ y = 0 ⇔ x 6 ¬y)

.

(11) (P)& (DNE) ⊣⊢(

x ∧ ¬y = 0 ⇔ x 6 y)

.

(12) (i) (BA) ⊢(

(PM)& (DNI)& (DNE)& (Ab)& (PAnt))

;

(ii)(

(PM)& (DNI)& (DNE)& (PAnt))

⊢ (BA);

(iii)(

(Ab)& (DNI)& (DNE)& (PAnt))

⊢ (BA).

Demonstração. Como se disse antes, as condições (1), (2), (5) e (6) provêm de [8].

(3) Por definição, (PM) e (DNI) é o mesmo que (QM), que por (1) nos garante que〈¬,¬〉 é uma conexão de Galois. Logo o resultado segue da Proposição 1.2.12 (3).

(4) É dual de (3).

(7) Suponhamos que a implicação é válida. Tomando x = 1, obtem-se (PM).Tomando z = x ∧ y obtem-se (PAnt).

Reciprocamente, se (PM) e (PAnt) forem válidas e x, y, z forem tais que x∧y 6 z,então, de (PM), resulta ¬z 6 ¬(x∧y) e assim, x∧¬z 6 x∧¬(x∧y), e a implicaçãosegue assim de (PAnt).

(8) Por (PAnt), x ∧ ¬x = x ∧¬(x ∧ 1) 6 ¬1. Por (5), (DM) implica que ¬1 = 0,e assim x ∧ ¬x = 0.

(9) Por (5), (Ab) ⊢ ¬1 = 0 e assim, por (DNI), ¬0 = ¬¬1 > 1, ou seja, ¬0 = 1.Então, se x 6 y, por (Ab) tem-se x ∧ ¬y 6 y ∧ ¬y = 0, donde ¬(x ∧ ¬y) = ¬0 = 1.Por (PAnt) resulta assim que ¬y = ¬y ∧ ¬(x ∧ ¬y) 6 ¬x.

(10) Seja A uma álgebra de negação satisfazendo (P), ou seja, satisfazendo osaxiomas (PM), (Ab), (DNI) e (PAnt); em particular, A satisfaz (W) e assim, por (6),

18 1. Fundamentos

só precisamos de provar que se x ∧ y = 0, então x 6 ¬y. Ora se x ∧ y = 0, entãopor (2) e (PAnt), x = x ∧ 1 = x ∧ ¬0 = x ∧ ¬(x ∧ y) 6 ¬y.

Reciprocamente, se x∧ y = 0 ⇔ x 6 ¬y é válida em A, então de ¬x 6 ¬x segue¬x ∧ x = 0 (ou seja, (Ab)); e de ¬x ∧ x = 0 segue x 6 ¬¬x (ou seja (DNI)). Parademonstrar (PAnt), tem-se por (Ab), (x ∧ ¬(x ∧ y)) ∧ y = (x ∧ y) ∧ ¬(x ∧ y) = 0,donde, pela hipótese, x ∧ ¬(x ∧ y) 6 ¬y. Por (9), A (P).

(11) Suponhamos que são válidas (P) e (DNE). Se x 6 y, então por (DNI),x 6 ¬¬y e assim, por (10), x ∧ ¬y = 0. Reciprocamente, se x ∧ ¬y = 0, então por(10), x 6 ¬¬y e assim, por (DNE), x 6 y.

Suponhamos agora que é válida a equivalência x∧¬y = 0 ⇔ x 6 y. De ¬x 6 ¬xsegue por aplicações sucessivas da hipótese, ¬x ∧ ¬¬x = 0 e ¬¬x 6 x, obtendoassim (DNE). De x 6 x obtem-se x∧¬x = 0, e assim por (DNE), x∧¬¬¬x = 0; denovo, pela hipótese, x 6 ¬¬x, ou seja, obtivemos (DNI). Demostramos (P) usando(10). Se x ∧ y = 0, então, por (DNE), x ∧ ¬¬y = 0, donde, pela hipótese, x 6 ¬y.Reciprocamente, se x 6 ¬y, então por hipótese, x ∧ ¬¬y = 0 e assim, por (DNI),x ∧ y = 0.

(12) Seja B uma álgebra de Boole. Pelo Lema 1.2.20 (na notação aqui utilizada),B x ∧ ¬y = 0 ⇔ x 6 y. Logo, por (11), B satisfaz todos os axiomas daDefinição 1.2.17.

Para demonstrar (ii) ((iii), respectivamente), tenha-se em conta que por (8) ((9),respectivamente), a presença dos quatro axiomas implica a presença do restante.Assim, (BA) segue da aplicação de (11) e do Lema 1.2.19.

1.3 Reticulados perfeitos e RS-frames

Em alguns casos, o Teorema 1.2.16 pode ser generalizado ao caso de comprimentoinfinito. Trata-se da classe dos reticulados perfeitos 2 (ver Definição 1.3.8). Nestasecção estudamos a classe dos reticulados perfeitos, bem como os homomorfismoscompletos entre esses reticulados. Estudamos também umas estruturas relacionaisque representam esses reticulados: as RS-frames. Esse estudo é alargado aos ho-momorfismos completos entre reticulados perfeitos, obtendo assim, uma dualidadeentre a classe dos reticulados perfeitos e as RS-frames.

A principal referência seguida nesta secção é J. M. Dunn, M. Gehrke e A. Palmi-giano [6]. A dualidade estabelecida nesse artigo é entre reticulados perfeitos e o que

2Substituindo J (L) por J∞(L) e M(L) por M∞(L).

1.3. Reticulados perfeitos e RS-frames 19

aí se chamam cpos perfeitos, e não RS-frames. No entanto, como uma RS-frame éapenas uma descrição heterogénea de um cpo perfeito (ver, por exemplo a Nota 2.13,em M. Gehrke [12]), os resultados podem ser imediatamente transferidos.

Dados conjuntos A e B, define-se uma relação binária de A para B comosendo um subconjunto W de A× B.

Definição 1.3.1. Uma polaridade é um triplo 〈A,B,W 〉 onde A,B são conjuntosnão vazios e W é uma relação binária de A para B.

Dada uma polaridade 〈A,B,W 〉, denota-se, para cada a ∈ A, por W [a] o con-junto b ∈ B : aWb; analogamente W−1[b] = a ∈ A : aWb, para cada b ∈ B.

Definição 1.3.2. Uma polaridade 〈X, Y,R〉 diz-se uma frame separada ou umaS-frame se satisfazer as condições

∀x, x′ ∈ X(

x 6= x′ ⇒ R[x] 6= R[x′])

, (S1)

∀y, y′ ∈ Y(

y 6= y′ ⇒ R−1[y] 6= R−1[y′])

. (S2)

Definição 1.3.3. Seja F = 〈X, Y,R〉 uma S-frame. A relação binária . em X ∪ Yé dada pelas condições, para x, x′ ∈ X, y, y′ ∈ Y :

x . x′ ⇐⇒ R[x] ⊇ R[x′];

y . y′ ⇐⇒ R−1[y] ⊆ R−1[y′];

x . y ⇐⇒ xRy;

y . x ⇐⇒(

x′Ry& xRy′ ⇒ x′Ry′)

.

A relação . é uma relação de quasi-ordem em X ∪ Y . De facto, é imediato quea relação é reflexiva. Para verificar a transitividade, sejam u, v, w ∈ X ∪ Y taisque u . v e v . w. Os únicos casos em que u . w não resulta imediatamenteda definição são aqueles em que u, w ∈ X e v ∈ Y ou em que u, w ∈ Y e v ∈ X.Demonstremos o primeiro caso (o segundo é dual). Se u, w ∈ X e v ∈ Y , são taisque u . v e v . w então uRv e para quaisquer x ∈ X, y ∈ Y , se xRv e wRy, entãoxRy; como uRv, tem-se assim que (tomando u no lugar de x) para qualquer y ∈ Y ,se wRy, então uRy, ou seja, R[u] ⊇ R[w], ou ainda, u . w.

Podemos assim substituir a notação F = 〈X, Y,R〉 pela mais intuitiva F =〈X, Y,.〉. Seja ↔=. ∩ &, X = X/↔ e Y = Y/↔.

20 1. Fundamentos

Nota 1.3.4. Note-se que uma S-frame (de facto, qualquer polaridade) é uma es-trutura relacional heterogénea. Nesse sentido, um homomorfismo da S-frame F =〈X, Y,.〉 para a S-frame F′ = 〈X ′, Y ′,.′〉 é dado por uma correspondência Γ =〈γX , γY 〉 tal que γX : X → X ′ e γY : Y → Y ′ são aplicações que satisfazem acondição:

x . y =⇒ γX(x) .′ γY (y),

sendo Γ um isomorfismo se γX e γY forem bijectivas e, na expressão acima, a impli-cação recíproca também se verificar. Note-se ainda que neste trabalho não estamosinteressados nesta definição de homomorfismos de S-frames, uma vez que não sãoesses os que permitem estabelecer uma dualidade entre a categoria das RS-framese a dos reticulados perfeitos com homomorfismos completos, como veremos adiante(Definição 1.3.28). Ainda assim, a definição de isomorfismo apresentada vale tam-bém para essa dualidade.

Proposição 1.3.5. Seja F = 〈X, Y,.〉 uma S-frame. Então a polaridade F′ =⟨

X, Y ,6⟩

, onde x 6 y se e só se x . y, é isomorfa a F e portanto é também

uma S-frame. Mais,⟨

X ∪ Y ,6⟩

é um cpo, e se F1 = 〈X1, Y1,.〉 e F2 = 〈X2, Y2,.〉

forem S-frames isomorfas, então os cpos⟨

X1 ∪ Y 1,6⟩

e⟨

X2 ∪ Y 2,6⟩

são tambémisomorfos.

Demonstração. Seja Λ = 〈λX , λY 〉 : F → F′ a correspondência dada pelas aplicaçõesλX : X → X e λY : Y → Y tais que λX(x) = x e λY (y) = y.

Se x, x′ ∈ X forem tais que λX(x) = λX(x′), então x . x′ . x, pelo que

R[x′] ⊆ R[x] ⊆ R[x′]; como F é uma S-frame, daqui resulta que x = x′. Logo λX éuma aplicação injectiva. Como λX é sobrejectiva por construção, é uma aplicaçãobijectiva. Analogamente λY é uma aplicação bijectiva. Resulta da definição de 6

quex . y ⇐⇒ λX(x) 6 λY (y).

Logo F ∼= F′.A estrutura

⟨

X ∪ Y ,6⟩

é um cpo porque é o quociente do cqo 〈X ∪ Y,.〉 pelarelação de equivalência ↔. Se F1

∼= F2, então F′1∼= F′

2 porque a composição deisomorfismos é um isomorfismo, e assim os cpos são também isomorfos.

Observação 1.3.6. Se F for uma S-frame e x, x′ ∈ X forem tais que x x′, entãopor (S1), R[x′] * R[x], pelo que existe y ∈ R[x′] \ R[x], ou seja, x′ 6 y e x y.Analogamente, se y, y′ ∈ Y forem tais que y y′, então existe x ∈ X tal que x ye x 6 y′.


Definição 1.3.7. Seja F = 〈X, Y,6〉 uma S-frame. Diz-se que F é uma S-framereduzida ou uma RS-frame se satisfazer as seguintes condições, para x, x′ ∈X, y, y′ ∈ Y ,

∀x ∃y(

x y& ∀x′ (x′ < x ⇒ x′ 6 y))

, (RS1)

∀y ∃x(

x y& ∀y′ (y < y′ ⇒ x 6 y′))

. (RS2)

Definição 1.3.8. Seja L um reticulado completo. Dizemos que L é um reticuladoperfeito se L for ∨-gerado pelos seus elementos

∨

-irredutíveis e ∧-gerado pelos∧

-irredutíveis.

Definição 1.3.9. Seja L = 〈L,∧,∨, 0, 1〉 um reticulado perfeito e F = 〈X, Y,6〉uma RS-frame. Os duais de L e de F são L+ = 〈J∞(L),M∞(L),6〉 (onde 6 é arelação de ordem de L restringida a J∞(L)×M∞(L)) e F+ = DM(〈X ∪ Y,6〉).

Observação 1.3.10. Pela Proposição 1.3.5 tem-se que se F1∼= F2, então F+

1∼= F+

2 .É claro que se L1

∼= L2 então (L1)+ ∼= (L2)+.

Proposição 1.3.11 (Proposição 4.7 em [6]). Seja L um reticulado perfeito. EntãoL+ é uma RS-frame e L ∼= (L+)

+.

Proposição 1.3.12 (Proposição 4.8 e Corolário 4.9 em [6]). Seja F uma RS-frame.Então F+ é um reticulado perfeito e F ∼= (F+)+.

Morfismos de RS-frames. Tal como referimos em Nota 1.3.4, estamos interes-sados em definir morfismos de RS-frames de forma a que haja uma dualidade entre acategoria das RS-frames e a dos reticulados perfeitos com homomorfismos completosde reticulados. O estudo que se segue é baseado em [12] e [6].

Definição 1.3.13. Sejam L1 e L2 reticulados e f : Ln1 → L2 uma aplicação. Diz-

-se que f é um operador se f preservar supremos em cada coordenada, ou seja,dado a = 〈a1, . . . , an〉 ∈ Ln

1 , se para um certo i0, se tiver ai0 = b0 ∨ c0, e b =〈a1, . . . , ai0−1, b0, ai0+1, . . . , an〉 e c = 〈a1, . . . , ai0−1, c0, ai0+1, . . . , an〉, então f(a) =f(b) ∨ f(c). Diz-se que f é um operador completo se f preservar supremos nãovazios em cada coordenada. Dualmente definem-se os conceitos de operador duale operador dual completo.

22 1. Fundamentos

Note-se que se f : Ln1 → L2 for um operador e n = 1 então f preserva supremos.

Um homomorfismo h entre dois reticulados perfeitos L1 e L2 é uma aplicação unáriah : L1 → L2. Assim, h : L1 → L2 é um homomorfismo completo se e só se h forum operador completo e um operador dual completo. Segue-se um estudo dos duaisdos homomorfismos completos de reticulados perfeitos, considerados primeiro comooperadores completos, depois como operadores duais completos, e por fim juntandoambas as propriedades.

Definição 1.3.14 (Definição 4.10, em [6]). Sejam L1 e L2 reticulados perfeitose seja f : L1 → L2 um operador completo. Sejam F1 = (L1)+ = 〈X1, Y1,6〉 eF2 = (L2)+ = 〈X2, Y2,6〉 as RS-frames duais de L1 e L2. 3 A relação Rf ⊆ X1 × Y2é dada por

xRfy ⇐⇒ f(x) 6 y.

Definição 1.3.15 (Definição 4.12, em [6]). Dada uma RS-frame F = 〈X, Y,6〉,sejam ( )u : ℘(X) → ℘(Y ) e ( )l : ℘(Y ) → ℘(X) as aplicações dadas por

Au = y ∈ Y : ∀x ∈ A (x 6 y) e Bl = x ∈ X : ∀y ∈ B (x 6 y) .

Proposição 1.3.16. Seja F = 〈X, Y,6〉 uma RS-frame. O par⟨

( )u, ( )l⟩

é umaconexão de Galois entre ℘(X) e ℘(Y ). O reticulado (℘(X))ul é F+.

Demonstração. Sejam A ⊆ X e B ⊆ Y . Resulta directamente da Definição 1.3.15que

B ⊆ Au ⇐⇒ A ⊆ Bl.

Pela Proposição 1.3.12, F+ é um reticulado perfeito e, a menos de isomorfismo,X = J∞(F+) e Y = M∞(F+). Cada elemento de F+ é da forma Aul em queA ⊆ X ∪ Y , e

⟨

( )u, ( )l⟩

é uma conexão de Galois definida em ℘(X ∪ Y ). Pelaobservação anterior, basta tomar A ⊆ X e Au ⊆ Y .

Proposição 1.3.17 (Proposição 4.15, em [6]). Sejam L1 e L2 reticulados perfeitos,f : L1 → L2 um operador completo, F1 = (L1)+, F2 = (L2)+ e Rf ⊆ X1 × Y2 comona Definição 1.3.14. Então

(R1) (Rf [x])lu = Rf [x],

(R2) (R−1f [y])ul = R−1

f [y].

3Logo X1 = J∞(L1), Y1 = M∞(L1), X2 = J∞(L2) e Y2 = M∞(L2).


Definição 1.3.18. Sejam F1 = 〈X1, Y1,6〉 e F2 = 〈X2, Y2,6〉 RS-frames e R ⊆X1 × Y2. Diz-se que R é uma relação de operador se para quaisquer x ∈ X1,y ∈ Y2,

(R1) (R[x])lu = R[x],

(R2) (R−1[y])ul = R−1[y].

Dada uma relação de operador R ⊆ X1 × Y2 define-se fR : F+1 → F+

2 fazendo

(1) para x ∈ X1, fR(x) =∧

R[x],

(2) para u ∈ F+1 , fR(u) =

∨

fR(x) : u > x ∈ X1.

Proposição 1.3.19 (Proposição 4.18, em [6]). Sejam F1 = 〈X1, Y1,6〉 e F2 =〈X2, Y2,6〉 RS-frames e R ⊆ X1 × Y2 uma relação de operador. Então,

(1) fR(x) 6 y se e só se xRy,

(2) fR é um operador completo.

Proposição 1.3.20 (Proposição 4.19, em [6]). Sejam F1 = 〈X1, Y1,6〉 e F2 =〈X2, Y2,6〉 RS-frames e f : F+

1 → F+2 um operador completo. Então fRf

= f .

Proposição 1.3.21 (Proposição 4.20, em [6]). Sejam F1 = 〈X1, Y1,6〉 e F2 =〈X2, Y2,6〉 RS-frames e R ⊆ X1 × Y2 uma relação de operador. Então RfR = R.

Assim as relações de operador são os duais dos operadores completos. Mas oshomomorfismos completos são também operadores duais completos.

Definição 1.3.22. Sejam L1 e L2 reticulados perfeitos e seja g : L1 → L2 umoperador dual completo. Sejam F1 = 〈X1, Y1,6〉 = (L1)+ e F2 = 〈X2, Y2,6〉 =(L2)+. A relação Sg ⊆ Y1 ×X2 é determinada por

ySgx ⇐⇒ x 6 g(y).

Definição 1.3.23. Sejam F1 = 〈X1, Y1,6〉 e F2 = 〈X2, Y2,6〉 RS-frames e S ⊆Y1 × X2. Diz-se que S é uma relação de operador dual se para quaisquer x ∈X2, y ∈ Y1,

(S1) (S[y])ul = S[y],

(S2) (S−1[x])lu = S−1[x].

24 1. Fundamentos

Dada uma relação de operador dual S ⊆ Y1 ×X2 define-se gS : F+1 → F+

2 fazendo

(1) para y ∈ Y1, gS(y) =∨

S[y],

(2) para u ∈ F+1 , gS(u) =

∧

gS(y) : u 6 y ∈ Y1.

Proposição 1.3.24. Sejam L1 e L2 reticulados perfeitos e g : L1 → L2 um operadordual completo. Então Sg é uma relação de operador dual e gSg

= g.

Proposição 1.3.25. Sejam F1 = 〈X1, Y1,6〉 e F2 = 〈X2, Y2,6〉 RS-frames e S ⊆Y1 × X2 uma relação de operador dual. Então gS é um operador dual completo eSgS = S.

Como já se determinou a forma de obter morfismos duais destes tipos de apli-cações, para fazer o mesmo para homomorfismos completos precisamos agora derelacionar duais de operadores e operadores duais completos de forma a obter asrelações correspondentes a f 6 g e a g 6 f , onde f é um operador completo e g éum operador dual completo.

Proposição 1.3.26 (Proposição 4.21, em [6]). Sejam L1 e L2 reticulados perfeitos ef, g : L1 → L2 tais que f é um operador completo e g é um operador dual completo.Sejam R e S a relação de operador e a relação de operador dual correspondentes af e g, respectivamente. As seguintes condições são equivalentes:

(1) Para qualquer u ∈ L1, f(u) 6 g(u),

(2) Para quaisquer x ∈ J∞(L1), y ∈ M∞(L1), se x 6 y então (S[y])u ⊆ R[x].

Proposição 1.3.27 (Proposição 4.23, em [6]). Sejam L1 e L2 reticulados perfeitos ef, g : L1 → L2 tais que f é um operador completo e g é um operador dual completo.Sejam R e S a relação de operador e a relação de operador dual correspondentes af e g, respectivamente. As seguintes condições são equivalentes:

(1) Para qualquer u ∈ L1, g(u) 6 f(u),

(2) Para quaisquer x ∈ J∞(L2), y ∈ M∞(L2), se (S−1[x])l ⊆ R−1[y] então x 6 y.

Definição 1.3.28. Sejam F1 = 〈X1, Y1,6〉 e F2 = 〈X2, Y2,6〉 RS-frames. Ummorfismo de F2 para F1 é um par 〈R, S〉 tal que R ⊆ X1 ×Y2 e satisfaz (R1) e (R2),S ⊆ Y1 × X2 e satisfaz (S1) e (S2) e satisfazem também as condições equivalentesda Proposição 1.3.26 e da Proposição 1.3.27.


Estão assim reunidos os ingredientes necessários para estabelecer uma dualidadeentre a categoria dos reticulados perfeitos, com homomorfismos completos e a cate-goria das RS-frames, com os morfismos da Definição 1.3.28, sendo as condições paraa dualidade garantidas pelos resultados anteriores, considerando ( )+ e ( )+ comofunctores, e fazendo 〈R, S〉+ = fR = gS para cada morfismo de RS-frames 〈R, S〉 eh+ = 〈Rh, Sh〉, para cada homomorfismo h.

A seguir veremos que para duais dos homomorfismos completos sobrejectivospodemos tomar morfismos de RS-frames no sentido da Nota 1.3.4 (com propriedadesadicionais). Dados reticulados perfeitos L1 e L2, f, g : L1 → L2 tais que f é umoperador completo e g é um operador dual completo, R e S a relação de operadore a relação de operador dual correspondentes a f e g, respectivamente, definem-se,para x ∈ J∞(L2) e y ∈ M∞(L2), vx =

∧

S−1[x] e uy =∨

R−1[y].

Lema 1.3.29 (Lema 4.26, em [6]). Sejam L1 e L2 reticulados perfeitos e h : L1 → L2

um homomorfismo completo e sobrejectivo. Então,

(1) Para qualquer y ∈ M∞(L2), uy ∈ M∞(L1),

(2) Para qualquer x ∈ J∞(L2), vx ∈ J∞(L1).

Assim, sempre que h : L1 → L2 for um homomorfismo completo e sobrejectivoentre reticulados perfeitos, podemos definir as aplicações rh : M∞(L2) → M∞(L1)e sh : J∞(L2) → J∞(L1) fazendo rh(y) = uy e sh(x) = vx.

Proposição 1.3.30 (Proposição 4.27, em [6]). Seja h : L1 → L2 um homomorfismocompleto e sobrejectivo de reticulados perfeitos. Então

(1) Para y, y′ ∈ M∞(L2), y 6 y′ se e só se rh(y) 6 rh(y′),

(1∂) Para x, x′ ∈ J∞(L2), x 6 x′ se e só se sh(x) 6 sh(x′),

(2) Para x ∈ J∞(L2) e y ∈ M∞(L2), x 6 y se e só se sh(x) 6 rh(y),

(3) Para j ∈ J∞(L1), (r−1h (↑j))l = s−1(↓j) e (s−1

h (↓j))u = r−1h (↑j),

(3∂) Para m ∈ M∞(L1), (r−1h (↑m))l = s−1(↓m) e (s−1

h (↓m))u = r−1h (↑m).

Proposição 1.3.31 (Proposição 4.28, em [6]). Sejam F1 = 〈X1, Y1,6〉 e F2 =〈X2, Y2,6〉 RS-frames e 〈r : Y2 → Y1, s : X2 → X1〉 um par de aplicações satisfa-zendo as propriedades descritas na Proposição 1.3.30. Então a aplicação h = h〈r,s〉 :F+1 → F+

2 definida por

h(u) =∧

y ∈ Y2 : u 6 r(y) =∨

x ∈ X2 : s(x) 6 u

26 1. Fundamentos

é um homomorfismo completo e sobrejectivo tal que rh = r e sh = s.

Assim, sendo F1 = 〈X1, Y1,6〉 e F2 = 〈X2, Y2,6〉 RS-frames, para dual de umhomomorfismo sobrejectivo completo do reticulado perfeito F+

1 para F+2 , podemos

tomar um par 〈r, s〉 : F2 → F1 tal que r : Y2 → Y1 e s : X2 → X1 são aplicaçõessatisfazendo as propriedades descritas na Proposição 1.3.30.

1.4 Análise Conceptual Formal

A Análise Conceptual Formal foi desenvolvida a partir do final da década de 1970com o objectivo de usar a Teoria de Reticulados para fazer análise de dados (vera Secção 1.5 de [11]). Aqui, usamos esta teoria para distinguir várias classes deálgebras, recorrendo a um conjunto minimal de exemplos de álgebras que distinguemestas classes. A principal referência para esta secção é o livro de B. Ganter e R. Wille[11] (ver também o Capítulo 3 de [5]).

Definição 1.4.1. Um contexto formal (ou simplesmente, um contexto) é umapolaridade K = 〈G,M, I〉, ou seja, G e M são conjuntos e I ⊆ G×M . Os elementosde G são chamados os objectos e os elementos de M são chamados os atributosdo contexto. A relação I é chamada relação de incidência. Se g ∈ G e m ∈ Mforem tais que gIm, diz-se que o objecto g tem o atributo m.

Definição 1.4.2. Seja K = 〈G,M, I〉 um contexto formal. Para cada A ⊆ G e cadaB ⊆M , sejam

A′ = m ∈M : ∀g ∈ A (gIm) e B′ = g ∈ G : ∀m ∈ B (gIm) .

A seguinte proposição é um excerto da Proposição 10, em [11]. Aqui não pre-cisámos de incluir o resto do conteúdo dessa proposição visto que já foi enunciadonum contexto mais geral na Proposição 1.2.12.

Proposição 1.4.3. Seja K = 〈G,M, I〉 um contexto formal, e sejam A ⊆ G, B ⊆M . Então

A ⊆ B′ ⇐⇒ B ⊆ A′ ⇐⇒ A× B ⊆ I.

Tem-se assim uma conexão de Galois entre ℘(G) e ℘(M).

Definição 1.4.4. Um conceito formal (ou simplesmente, um conceito) do con-texto K = 〈G,M, I〉 é um par 〈A,B〉 tal que A ⊆ G, B ⊆ M , A′ = B e B′ = A.Denota-se por B(K) o conjunto dos conceitos formais do contexto K.

1.4. Análise Conceptual Formal 27

Podemos ordenar os conceitos dum contexto fazendo 〈A1, B1〉 6 〈A2, B2〉 se e sóse A1 ⊆ A2 (se e só se B2 ⊆ B1), definindo assim uma relação de ordem parcialem B(K).

Teorema 1.4.5 (Teorema básico de Reticulados de Conceitos, Teorema 3, em [11]).O cpo B(K) é um reticulado completo, B(K) = 〈B(K),∧,∨〉, onde

∧

j∈J

〈Aj, Bj〉 =

⟨

⋂

j∈J

Aj,

(

⋃

j∈J

Bj

)′′⟩

,∨

j∈J

〈Aj , Bj〉 =

⟨(

⋃

j∈J

Aj

)′′

,⋂

j∈J

Bj

⟩

.

Reciprocamente, se L for um reticulado completo, então L ∼= B(〈G,M, I〉), se e sóse existem aplicações γ : G→ L e µ :M → L tais que γ(G) é um conjunto ∨-densode L, µ(M) é um conjunto ∧-denso de L e gIm se e só se γ(g) 6 µ(m), para g ∈ Ge m ∈M . Em particular, L ∼= B(〈L, L,6〉).

Para g ∈ G (respectivamente, para m ∈ M) usamos a notação g′ com o mesmosignificado de g′ (respectivamente, m′ = m′).

Observação 1.4.6. Note-se que segue imediatamente do Teorema 1.4.5 que, dadoum contexto K = 〈G,M, I〉, o conjunto 〈g′′, g′〉 : g ∈ G é ∨-denso, e o conjunto 〈m′, m′′〉 : m ∈M é ∧-denso em B(K).

Por vezes, ao lidar com contextos “relativamente pequenos”, torna-se vantajosorepresentar a relação de incidência por uma tabela de incidências: trata-se deuma tabela em que cada linha corresponde a um objecto do contexto, cada colunacorresponde a um atributo e existe uma cruz (×) na linha i, coluna j, se o objectocorrespondente à linha i tiver o atributo correspondente à coluna j.

t u v wa × ×b × ×c × ×d ×

〈∅, t, u, v, w〉

〈 a , t, v〉〈 c , u,w〉

〈 a, b , v〉〈 b, c, d , w〉

〈 a, b, c, d ,∅〉

〈 b , v, w〉

Figura 1.1: Um contexto e o respectivo reticulado de conceitos.

28 1. Fundamentos

Exemplo 1.4.7. Seja K = 〈G,M, I〉, onde G = a, b, c, d, M = t, u, v, w, e I édada pela tabela na Figura 1.1. Então 〈B(K),∧,∨〉 é o reticulado na figura.

Definição 1.4.8. Um contexto K = 〈G,M, I〉 diz-se clarificado se para g, h ∈ G,m,n ∈M se tiver

g = h ⇐⇒ g′ = h′ e m = n ⇐⇒ m′ = n′.

Um contexto clarificado K = 〈G,M, I〉 diz-se reduzido se 〈g′′, g′〉 ∈ J∞(B(K)) e〈m′, m′′〉 ∈ M∞(B(K)) para g ∈ G e m ∈M .

Assim, um contexto clarificado caracteriza-se pela ausência de linhas ou colunasiguais na tabela de incidências. No Exemplo 1.4.7, o contexto é clarificado. Não éreduzido porque

〈d′′, d′〉 = 〈 b, c, d , w〉 = 〈 b , v, w〉 ∨ 〈 c , u, w〉 = 〈b′′, b′〉 ∨ 〈c′′, c′〉 .

Podemos facilmente obter um contexto reduzido K′ a partir de K eliminando oobjecto d.

É claro, pela definição de contexto reduzido, e atendendo à Observação 1.4.6,que o reticulado de conceitos dum contexto reduzido é um reticulado perfeito.

Proposição 1.4.9 (Proposição 12, em [11]). Para cada reticulado finito L existe umcontexto reduzido K(L) (único, a menos de isomorfismo 4) tal que L ∼= B(K(L)),que é

K(L) = 〈J (L),M(L),6〉 .

Ao contexto a que se refere a proposição anterior chamamos contexto padrão.Podemos obter um contexto reduzido a partir dum contexto (finito) qualquer usandoa tabela de incidências. Começa-se por clarificar o contexto juntando linhas quesejam iguais e colunas que sejam iguais. Depois, reduz-se o contexto clarificadoassim resultante, apagando as linhas que possam ser representadas como intersecçãode outras linhas (no Exemplo 1.4.7, a quarta linha tem uma cruz apenas na quartacoluna, a terceira linha tem na segunda e quarta colunas e a segunda linha temna terceira e quarta colunas, logo a quarta linha é a intersecção da segunda coma terceira) e as colunas que possam ser representadas como intersecção de outrascolunas.

4Dois contextos 〈G1,M1, I1〉 e 〈G2,M2, I2〉 dizem-se isomorfos se existirem aplicações bijectivasα : G1 → G2 e β : M1 → M2 tais que gI1m ⇔ α(g)I2β(m), para quaisquer g ∈ G1,m ∈ M1.Note-se que esta definição está de acordo com a Nota 1.3.4.


A Proposição 1.4.9 é imediatamente generalizável para reticulados de compri-mento finito; para reticulados perfeitos, basta substituir J (L) por J∞(L) e M(L)por M∞(L). Note-se a semelhança com o Proposição 1.3.11. De facto, podemosidentificar RS-frames com contextos reduzidos.

Exemplo com álgebras de negação. A Proposição 1.2.22 explicita algumasdependências entre conjuntos formados pelos axiomas na Definição 1.2.17. Nestasecção identificam-se, usando a teoria da Análise Conceptual Formal, todas as classesde álgebras que se podem definir por combinação desses axiomas.

0

1

c

d

b

a

(a) A1

0

1

c

db

a

e

f

(b) A2

0

1

c

db

a

(c) A3

0

1

(d) A4

0

1

a b

(e) A5

0

1

c

db

a

(f) A6

0

1

a b

c

(g) A7

0

1

c

b

a

(h) A8

Figura 1.2: Álgebras de negação.

Aqui, o contexto é

A =⟨

Ai16i68 , (DNE), (DNI), (Ab), (PM), (PAnt) ,⟩

,

isto é, os objectos são as álgebras de negação representadas na Figura 1.2 (onde anegação é dada pelas setas a tracejado, i.e. , ¬x = y se e só se existe uma seta dex para y) e os atributos são axiomas na Definição 1.2.17.

A tabela na Figura 1.3 é dada pela relação de incidência (), ou seja, existeuma cruz na linha referente a Ai e na coluna referente ao axioma (Ax) se e só se

30 1. Fundamentos

Ai (Ax). 5 A verificação da validação dos axiomas (DNE), (DNI), (Ab) e (PM) emcada uma das álgebras na figura pode ser feita por observação directa. Em relaçãoa (PAnt), a verificação não é tão fácil e carece de uma justificação mais detalhada.Para ver que A1,A2 e A3 não satisfazem (PAnt), note-se que em cada uma destasse tem d ∧ ¬(b ∧ d) ¬b. 6 Note-se ainda que a verificação é trivial no caso de A4.Em relação às álgebras A5 − A8, podemos reduzir o número de casos a verificar,observando os seguintes factos

• se x 6 y, então a fórmula reduz-se a x ∧ ¬x 6 ¬y que se verifica em A5 −A8

(ter em conta que A5,A6 e A8 satisfazem (Ab), donde por maioria de razãosatisfazem a fórmula acima; é fácil verificar a fórmula em A7);

• se y 6 x então a fórmula reduz-se a x ∧ ¬y 6 ¬y, o que é trivial.

(DNE) (DNI) (Ab) (PM) (PAnt)A1 × × ×A2 × × ×A3 × × × ×A4 × × ×A5 × × ×A6 × × × ×A7 × × ×A8 × × × ×

Figura 1.3: Tabela de incidências do contexto A.

Resta assim verificar (PAnt) em A5−A8, considerando em cada uma das álgebraselementos incomparáveis x, y.

5 Este estudo foi apresentado em [2] com nove objectos (álgebras) no contexto em vez de oito.Os objectos Ai16i66

são os mesmos que em [2]; os objectos A7 e A8 são, em [2], A8 e A9,respectivamente; o objecto A7 no contexto estudado em [2] não aparece aqui. O motivo é queo estudo em [2] assenta na suposição errada de a álgebra A7 aí apresentada satisfazer (DNE).A correcção deste erro não passa por encontrar outra álgebra que, conforme pretendido em [2],satisfaça precisamente (DNE), (PM) e (PAnt). De facto, tal álgebra não existe, visto que, pelaProposição 1.2.22 (8), qualquer álgebra que satisfaça esses três axiomas satisfaz também (Ab). Oreticulado de conceitos do contexto (na Figura 1.4, adiante) foi também corrigido.

6Alternativamente, como A1,A2,A3 (DNI), (DNE), A1 (Ab) e A2,A3 (PM), se Ai (PAnt), então Ai é uma álgebra de Boole (pela Proposição 1.2.22 (12)); obviamente, nenhuma dasálgebras na figura é uma álgebra de Boole.


A5 – Este caso é ainda trivial, visto que os únicos pares de elementos incomparáveissão os constituídos por a e b, sendo cada um a negação do outro.

A6 – Neste caso, há seis pares a considerar: 〈a, c〉 , 〈b, c〉 , 〈b, d〉 e respectivas imagenssimétricas:

a ∧ ¬(a ∧ c) = a ∧ d = a = ¬c,

c ∧ ¬(c ∧ a) = c ∧ d = c = ¬a,

b ∧ ¬(b ∧ c) = b ∧ d = a = ¬c,

c ∧ ¬(c ∧ b) = c ∧ d = c = ¬b,

b ∧ ¬(b ∧ d) = b ∧ c = 0 = ¬d,

d ∧ ¬(d ∧ b) = d ∧ c = c = ¬b.

A7 – Só há dois pares de elementos incomparáveis, 〈a, b〉 e 〈b, a〉:

a ∧ ¬(a ∧ b) = a ∧ 1 6 1 = ¬b,

b ∧ ¬(b ∧ a) = b ∧ 1 6 1 = ¬b.

A8 – Existem quatro pares a considerar: 〈a, c〉 , 〈b, c〉 e respectivas imagens simétri-cas:

a ∧ ¬(a ∧ c) = a ∧ 1 = a 6 ¬c,

c ∧ ¬(c ∧ a) = c ∧ 1 = c = ¬a,

b ∧ ¬(b ∧ c) = b ∧ 1 = b = ¬c,

c ∧ ¬(c ∧ b) = c ∧ 1 = c = ¬b.

É fácil verificar, por observação directa da Figura 1.3, que o contexto A é cla-rificado. É também fácil verificar que é reduzido. Assim, para cada álgebra Ai,o par 〈Ai , (Ax) : Ai (Ax)〉 é um conceito formal de A (de facto, um ele-mento ∨-irredutível do reticulado). Da mesma forma, para cada axioma (Ax) daDefinição 1.2.17, o par 〈Ai : Ai (Ax) , (Ax)〉 é um conceito formal de A (e umelemento ∧-irredutível do reticulado de conceitos). O reticulado de conceitos B(A)está representado na Figura 1.4. Em relação a esta representação do reticulado, hátrês explicações que se impõe fazer.

A primeira explicação diz respeito à representação dos elementos do reticulado(classes de álgebras de negação) por diferentes círculos: brancos, pretos ou pretos

32 1. Fundamentos

(BA)

(P)

A9

(O)

A3

A8

(W)

(DM)

A2

(QM)

A6

(Ant) (Int)

(PM)

A4

A1

(DNI)

A5

(PAnt) (Ab) (DNE)

Figura 1.4: Reticulado de conceitos do contexto A.

com um “anel”. A razão destas representações diferentes é a de dar ênfase às proprie-dades de álgebras de negação que serão importantes no Capítulo 4. Assim, as classesde álgebras em que a negação é uma operação antítona (i.e. , satisfazem (PM)) sãoaquelas que na Secção 4.2 demonstraremos que são canónicas e estão representadas


no reticulado de conceitos por círculos pretos. As classes em que a negação formaconsigo própria uma conexão de Galois (i.e. , satisfazem (PM) e (DNI)) são aquelaspara as quais na Secção 4.3 obtemos uma representação relacional e estão represen-tadas no reticulado de conceitos por círculos pretos com um anel. As outras classes,que se encontram representadas por círculos brancos, não são estudadas em relaçãoà canonicidade no Capítulo 4.

A segunda explicação refere-se à forma de interpretar o reticulado de conceitosa partir dos dados nele representados. Os elementos do reticulado de conceitos (osconceitos) são classes de álgebras determinadas por certos conjuntos de axiomas.Para aligeirar a notação, os conceitos não são todos indicados no reticulado, e aque-les que são indicados, são-no de uma forma abreviada, como se segue. Cada umadas álgebras (os objectos do contexto) é indicada no reticulado uma única vez, pre-cisamente no conceito do qual essa álgebra é o único objecto; essa álgebra pertenceainda a todas as classes definidas pelos conceitos acima desse. Cada um dos axiomasda Definição 1.2.17 é também indicado uma única vez,7 precisamente no conceitodo qual esse axioma é o único atributo; esse axioma é ainda satisfeito por qualquerclasse de álgebras definida por um conceito abaixo desse.

Finalmente, a terceira explicação refere-se à representação “por blocos” que seadoptou. Esta representação corresponde ao mergulho de ordem de B(A) no reti-culado Booleano B2 ×B3, onde B2 corresponde aos quatro blocos que formam umlosango e B3 a cada “cubo” representado em cada um dos blocos. Os elementos emcada cubo que não estão representados por círculos são aqueles que não correspon-dem a elementos da imagem de B(A) pelo mergulho (devido às dependências dadaspela Proposição 1.2.22). Este tipo de representações de reticulados de conceitos é ex-plicado em [11, §2.2]. Concretamente, esta representação corresponde a dividir o con-junto dos atributos em dois: M1 = (PM), (DNI) e M2 = (PAnt), (DNE), (Ab).Pelo Teorema 7 (página 77, em [11]), B(A) é mergulhável 8 em B(A1) × B(A2),onde Aj =

⟨

Ai16i68 ,Mj ,⟩

. Note-se ainda que a divisão do conjunto de atri-butos usada na representação de B(A) em [2, pag. 179] foi M ′

1 = (DNE), (PAnt)e M ′

2 = (DNI), (PM), (Ab). A divisão usada neste texto tem a vantagem de darmais ênfase às classes em que a negação é antítona (bloco esquerdo e bloco inferior)bem como às classes em que a negação forma consigo própria uma conexão de Galois(bloco inferior).

7Há também a indicação das classes a que se refere a Definição 1.2.18, não porque seja necessárioà compreensão do reticulado de conceitos, mas porque facilita a sua localização, e estas classes sãoimportantes ao longo deste trabalho.

8Um mergulho de ordem que preserva supremos.

Capítulo 2

Conjuntos duplamente ordenados

Neste capítulo procedemos ao estudo de conjuntos duplamente ordenados. Estasestruturas são usadas em estudos sobre dualidades para reticulados não distributi-vos e alguns trabalhos onde se recorre a esta teoria são apresentados adiante. NaSecção 2.1 apresentamos a definição de conjunto duplamente ordenado e alguns re-sultados importantes para o desenvolvimento da referida teoria de dualidade, masque podem ser demonstrados em casos mais gerais. Na Secção 2.2 apresenta-se a re-presentação topológica, devida a A. Urquhart, dos reticulados limitados, recorrendoa conjuntos duplamente ordenados. Na Secção 2.3 faz-se o estudo de estruturas comalgumas das propriedades satisfeitas pelos duais dos reticulados limitados, mas semconsiderar a topologia. Estas estruturas fornecem uma dualidade para reticuladosde comprimento finito. Alguns destes resultados são importantes no estudo reali-zado nos capítulos seguintes. Estas mesmas estruturas serão, na Secção 2.4 postasem correspondência com uma subclasse da classe das RS-frames. Finalmente, naSecção 2.5, estabelecem-se correspondências entre algumas destas estruturas e certasclasses de reticulados.

Neste capítulo, a contribuição original corresponde essencialmente às secções 2.3e 2.4. Na Secção 2.5, alguns resultados são apenas adaptações de resultados conhe-cidos noutros contextos e outros generalizam um pouco esses resultados. Outrosresultados (Proposição 2.1.15 e Proposição 2.2.17) são simples generalizações de re-sultados conhecidos para conjuntos parcialmente ordenados (e talvez também sejamresultados conhecidos).

35

36 2. Conjuntos duplamente ordenados

2.1 Definição e exemplos simples

Definição 2.1.1. Um conjunto duplamente ordenado (cdo) é uma estruturaZ = 〈Z,61,62〉 em que 61 e 62 são relações de quasi-ordem em Z satisfazendo

z 61 z′ & z 62 z

′ =⇒ z = z′.

Tal como acontece com um cpo, podemos representar um cdo finito por umdiagrama; em alguns casos infinitos, pode-se ainda apresentar um diagrama que dêuma ideia do que são as duas relações de quasi-ordem e portanto do que é o cdo.Usamos a convenção de representar 61 por setas contínuas e 62 por setas tracejadas.Note-se que aqui não podemos usar a convenção de que elementos maiores fiquemacima de elementos menores visto que temos duas relações; daí a necessidade de ligaros elementos por setas e não por simples traços como acontece num diagrama deHasse. Dado que ambas as relações são reflexivas e transitivas, apenas representamosas setas que dizem respeito a coberturas entre elementos. Se u 6i v e v 6i u oselementos são ligados por um traço com seta em ambas as extremidades.

Se Φ for uma proposição sobre cdos, então Φ∂ , a proposição que se obtem de Φsubstituindo todas as ocorrências de 61 por 62 e vice-versa, é ainda uma proposiçãosobre cdos. Assim, o dual de ordem dum cdo 〈Z,61,62〉 é o cdo 〈Z,62,61〉. Talcomo no caso dos cpos, também para os cdos se pode estabelecer um princípio dedualidade, que resulta imediatamente de se ter que Z é um cdo se e só se o seu dualde ordem o for.

Princípio de dualidade para cdos. Se uma proposição Φ for válidapara qualquer cdo, então a proposição dual, Φ∂ , é também válida paraqualquer cdo.

Note-se que esta definição de dualidade de ordem não é uma generalização imediatadaquela que é usual para cpos. A generalização óbvia seria substituir cada relaçãode quasi-ordem pela sua recíproca. No entanto, essa definição não seria satisfatória.A noção de cdo desconexo (Secção 2.3) é central neste capítulo e é, pela definiçãode dualidade de ordem adoptada, uma noção auto-dual; se se adoptasse a noçãoalternativa tal deixaria de acontecer (ver Observação 2.3.5). Além disso, pela noçãode dual de ordem adoptada, a cdos duais correspondem reticulados duais, de acordocom correspondências a definir nesta secção.

Exemplo 2.1.2. Se 〈P,6〉 for um cpo, então resulta imediatamente da anti-simetriada relação 6 que 〈P,6,>〉 é um cdo. Observe-se que, neste caso, a noção de

2.1. Definição e exemplos simples 37

dualidade de ordem adoptada coincide com a que resultaria de inverter cada umadas relações de quasi-ordem.

u v

(a) Z1

u v

(b) Z2

Figura 2.1: Exemplos: um cdo e um não-cdo.

Exemplo 2.1.3. Na Figura 2.1, Z1 é um cdo mas Z2 não é: tem-se que u 61 v eu 62 v, sem que se tenha u = v. Note-se ainda que Z1 resulta do cpo 〈u, v ,61〉com v 61 u e definindo 62 pelo processo descrito no exemplo anterior.

A seguinte definição introduz uma classe de exemplos de cdos. Estes exemplosmerecem esse destaque pela sua importância ao longo deste trabalho.

Definição 2.1.4. Seja L um reticulado limitado, F um filtro próprio de L e I umideal próprio de L. Diz-se que 〈F, I〉 é um par filtro-ideal se F ∩ I = ∅. Diz--se que F é um filtro I-maximal se F é um elemento maximal do cpo dos filtrosdisjuntos de I. Dualmente define-se um ideal F -maximal. Dado um par filtro-ideal〈F, I〉, diz-se que 〈F, I〉 é um par filtro-ideal maximal se F for I-maximal e I forF -maximal. Denota-se por U(L) conjunto dos pares filtro-ideal maximais de L.

Definem-se em U(L) as relações binárias 61 e 62 por

〈F, I〉 61 〈G, J〉 ⇐⇒ F ⊆ G e 〈F, I〉 62 〈G, J〉 ⇐⇒ I ⊆ J,

e U(L) é a estrutura 〈U(L),61,62〉.

Lema 2.1.5. Seja L um reticulado limitado. Então U(L) é um cdo.

Demonstração. Se 〈F, I〉 , 〈G, J〉 ∈ U(L) forem tais que F ⊆ G e I ⊆ J , então, pelamaximalidade do par 〈F, I〉, seguem as implicações

I ∩G ⊆ J ∩G = ∅ =⇒ F = G,

J ∩ F ⊆ J ∩G = ∅ =⇒ I = J.

Exemplo 2.1.6. Na Figura 2.2 estão representados os reticulados N5 e M3 e osrespectivos cdos de pares filtro-ideal maximais. No primeiro caso tem-se u =〈↑a, ↓c〉 , v = 〈↑b, ↓a〉 , w = 〈↑c, ↓b〉; no segundo caso u = 〈↑a, ↓b〉 , u′ = 〈↑a, ↓c〉 , v =〈↑b, ↓a〉 , v′ = 〈↑b, ↓c〉 , w = 〈↑c, ↓b〉 , w′ = 〈↑c, ↓a〉.


c

1

b

a

0(a) N5

u

v

w

(b) U(N5)0

1

cba

(c) M3

u u′

v

v′w

w′

(d) U(M3)

Figura 2.2: Exemplos de cdos de pares filtro-ideal maximais de reticulados.

Como facilmente pode ser verificado, o cdo Z1 na Figura 2.1 (a) é também ocdo dos pares filtro-ideal maximais dum reticulado. Trata-se neste caso da cadeia0 < a < 1 e o cdo obtem-se tomando u = 〈 a, 1 , 0〉 e v = 〈 1 , 0, a〉.Veremos adiante que nem todos os cdos se podem obter desta forma. 1

Definição 2.1.7. Seja Z = 〈Z,61,62〉 um cdo e A ⊆ Z. Dizemos que A é 61--crescente se se tiver y ∈ A, sempre que x ∈ A e x 61 y. Denotamos o conjuntodos conjuntos 61-crescentes de Z por Z↑

1 . Dualmente definem-se os conjuntos 62--crescentes e Z↑

2 .

É imediato que a união e intersecção de conjuntos 6i-crescentes é um conjunto

6i-crescente. Assim,⟨

Z↑1 ,∩,∪,∅, Z

⟩

e⟨

Z↑2 ,∩,∪,∅, Z

⟩

são reticulados distributi-

vos completos.

Definição 2.1.8. Seja Z um cdo. As aplicações l : Z↑2 → Z↑

1 e r : Z↑1 → Z↑

2 sãodadas por

l(A) = u : ∀v (v ∈ A ⇒ u 1 v) ,

r(A) = u : ∀v (v ∈ A ⇒ u 2 v) .

As aplicações l e r estão bem definidas. Repare-se que, para qualquer A ∈ Z,o conjunto A1 = u : ∀v (v ∈ A ⇒ u 1 v) é 61-crescente e o conjunto A2 =u : ∀v (v ∈ A ⇒ u 2 v) é 62-crescente. Verifiquemos a primeira afirmação (asegunda é dual). Seja A ⊆ Z, u ∈ A1 e u 61 w. Para a ∈ A tem-se u 1 a, por seru ∈ A1; mas então tem-se também w 1 a visto que u 61 w. Da arbitrariedade dea conclui-se que w ∈ A1; da arbitrariedade de w conclui-se que A1 ∈ Z↑

1 .Pela reflexividade das relações de quasi-ordem tem-se A∩ l(A) = A∩ r(A) = ∅,

para qualquer A ⊆ Z.

1É o que acontece, por exemplo, com os cdos não desconexos (ver Secção 2.3).

2.1. Definição e exemplos simples 39

Note-se que a proposição dual duma proposição sobre cdos que inclua uma dasoperações r ou l (ou ambas), é aquela em que (para além das substituições de 61

por 62 e vice-versa) se substitui r por l e vice-versa.

Proposição 2.1.9 (Lema 1, em [29]). Seja Z um cdo. O par 〈l, r〉 define umaconexão de Galois entre Z↑

1 e Z↑2 , ou seja, se A ∈ Z↑

1 e B ∈ Z↑2 , então

A ⊆ l(B) ⇐⇒ B ⊆ r(A).

Observe-se que se se definissem as aplicações l e r em ℘(Z), deixaríamos de teruma conexão de Galois. Considere-se como exemplo o cdo U(N5) na Figura 2.2.Neste exemplo, tem-se que v não é um conjunto 61-crescente; a fórmula (Galois)não é verificada para este conjunto pois, por exemplo, v * w = l(u), masu ⊆ u, w = r( v). Da mesma forma, lr não é um operador de fecho em ℘(Z):considerando ainda o mesmo exemplo, v * ∅ = lr( v).

Corolário 2.1.10. Seja Z um cdo, A e (Ai : i ∈ I) conjuntos 61-crescentes e B e(Bi : i ∈ I) conjuntos 62-crescentes. Nestas condições,

(1) A ⊆ lr(A) e B ⊆ rl(B);

(2) l e r são aplicações antítonas;

(3) l = lrl e r = rlr;

(4) r(⋃

i∈I Ai

)

=⋂

i∈I r(Ai) e l(⋃

i∈I Bi

)

=⋂

i∈I l(Bi).

Demonstração. Pela Proposição 2.1.9, 〈l, r〉 é uma conexão de Galois. Logo, asafirmações deste corolário são casos particulares da Proposição 1.2.12.

Definição 2.1.11. Seja Z um cdo. Um subconjunto A de Z diz-se lr-estávelse A = lr(A). Denota-se por G (Z) o conjunto dos conjuntos lr-estáveis de Z.Dualmente definem-se conjuntos rl-estáveis e G ∂(Z).

Qualquer conjunto lr-estável é 61-crescente como resulta do facto (mais geral)de, pela definição de l, ser l(S) um conjunto 61-crescente para qualquer conjunto S.O recíproco não é verdadeiro: por exemplo, no cdo U(N5) na Figura 2.2, o conjuntou, w é 61-crescente, mas lr(u, w) = u, v, w.


Teorema 2.1.12. Seja Z um cdo. Então 〈G (Z),∧,∨,∅, Z〉 é um reticulado com-pleto, onde para Ai : i ∈ I ⊆ G (Z),

∧

i∈I

Ai =⋂

i∈I

Ai e∨

i∈I

Ai = lr

(

⋃

i∈I

Ai

)

= l

(

⋂

i∈I

r(Ai)

)

.

Dualmente⟨

G ∂(Z),∧,∨,∅, Z⟩

é um reticulado completo.

Demonstração. Vimos que⟨

Z↑1 ,∩,∪,∅, Z

⟩

é um reticulado (distributivo) completo.

Logo, pelo Corolário 1.2.14, 〈G (Z),∧,∨,∅, Z〉 é um reticulado completo. A fórmulapara o cálculo do ínfimo resulta do Corolário 1.2.14 e a do cálculo do supremo, doCorolário 1.2.14 e do Corolário 2.1.10 (4).

Notação 2.1.13. Denotamos o reticulado 〈G (Z),∧,∨,∅, Z〉 por GZ . Dualmente,G

∂Z denota o reticulado

⟨

G ∂(Z),∧,∨,∅, Z⟩

.

Observação 2.1.14. Seja Z = 〈Z,61,62〉 um cdo. Note-se que G ∂(Z) = G (Z∂).Pela Proposição 1.2.12 (7), l(G ∂(Z)) ∼= (r(G (Z)))∂. Logo, GZ

∼= (GZ∂)∂.

É óbvio que a união disjunta de cdos é um cdo. O resultado que se segue é umageneralização do que acontece com cpos (cf. Proposição 1.32, em [5]).

Proposição 2.1.15. Sejam Z e U dois cdos disjuntos. Então GZ ·∪U∼= GZ ×GU .

Demonstração. Observemos que, para S = A ·∪B, com A ⊆ Z e B ⊆ U , se temS = lr(S) se e só se A = lZrZ(A) eB = lUrU(B). Ora, para S nas condições descritas,r(S) = r(A) ∩ r(B) = (rZ(A) ·∪U) ∩ (rU(B) ·∪Z) = rZ(A) ·∪ rU(B). Analogamentel(S) = lZ(A) ·∪ lU(B), e assim, lr(S) = lZrZ(A) ·∪ lUrU(B).

Resulta assim que ϕ : S = A ·∪B 7→ 〈A,B〉 é uma aplicação sobrejectiva doconjunto G (Z ·∪U) para o conjunto G (Z)× G (U). Como a aplicação é obviamenteum mergulho de ordem, é um isomorfismo entre os reticulados.

2.2 Dualidade de Urquhart

Em [29], A. Urquhart estabeleceu uma teoria de representação para reticulados limi-tados. Nesta secção, damos conta de alguns resultados desta teoria de representação.Começamos por definir os espaços duplamente ordenados e espaços de Urquhart. Ateoria de representação, que é apresentada a partir da página 42, estabelece que osduais dos reticulados limitados são precisamente os espaços de Urquhart.

2.2. Dualidade de Urquhart 41

Definição 2.2.1. Dado um cdo Z = 〈Z,61,62〉 e uma topologia τ em Z, diz-seque Zτ = 〈Z,61,62, τ〉 é um espaço duplamente ordenado. Um subconjunto Ade Z diz-se duplamente fechado se A e r(A) forem fechados, com respeito a τ . Oconjunto dos subconjuntos lr-estáveis e duplamente fechados de Z é denotado porG (Zτ ). Um espaço duplamente ordenado diz-se desconexo se satisfizer

x 1 y ⇐⇒ ∃A ∈ G (Zτ )(

x ∈ A& y /∈ A)

, (Disc1)

x 2 y ⇐⇒ ∃A ∈ G (Zτ )(

x ∈ r(A) & y /∈ r(A))

. (Disc2)

Note-se que em (Disc1) e (Disc2) acima, a caracterização pode ser feita usandoapenas as implicações directas, visto que as recíprocas são válidas em qualquerespaço duplamente ordenado (porque A é 61-crescente e r(A) é 62-crescente).

Observação 2.2.2. Se Zτ = 〈Z,61,62, τ〉 for um espaço duplamente ordenadodesconexo, então 〈Z, τ〉 é um espaço topológico T1. De facto, se u, v ∈ Z forem taisque u 6= v, então u 1 v ou u 2 v. Suponhamos, sem perda de generalidade, queu 1 v. Tem-se ainda que v 1 u ou v 2 u. De u 1 v, segue que

∃A ∈ G (Zτ )(

u ∈ A & v /∈ A)

,

e assim, tomando B = Z \ A,

∃B ∈ τ(

v ∈ B & u /∈ B)

.

Se v 1 u, então analogamente existe B′ ∈ τ tal que u ∈ B′ e v /∈ B′. Se v 61 u,então v 2 u, e assim existe um conjunto duplamente fechado A′ tal que v ∈ r(A′)e u /∈ r(A′); como r(A′) é também fechado, tomando B′ = Z \ r(A′) obtém-se umconjunto aberto B′ tal que u ∈ B′ e v /∈ B′. Logo, em qualquer dos casos, existemconjuntos abertos U e V tais que u ∈ U \ V e v ∈ V \ U .

No entanto, nem sempre um espaço duplamente ordenado desconexo é um espaçoT2 (Hausdorff): o Exemplo 2.2.15 é um caso em que o espaço topológico não é T2.De facto, não existem abertos disjuntos que separem, por exemplo, ub de uc.

Definição 2.2.3. Um espaço de Urquhart é uma estrutura Zτ = 〈Z,61,62, τ〉,em que:

(1) Zτ = 〈Z,61,62, τ〉 é um espaço duplamente ordenado desconexo;

(2) 〈Z, τ〉 é um espaço topológico compacto;


(3) se A e B forem conjuntos lr-estáveis duplamente fechados, então r(A ∩ B) el(r(A) ∩ r(B)) são também fechados;

(4) a famíliaZ \ A : A ∈ G (Zτ ) ∪ Z \ r(A) : A ∈ G (Zτ )

forma uma sub-base da topologia τ .

Os cdos na Figura 2.2, munidos da topologia discreta, são exemplos de espaçosde Urquhart. Ver também o Exemplo 2.2.15.

O seguinte resultado é enunciado, sem demonstração, no último parágrafo daSecção 2 de [29].

Proposição 2.2.4. Seja Zτ um espaço de Urquhart. Então 〈G (Zτ ),∧,∨,∅, Z〉 éum reticulado limitado, sendo A∧B = A∩B e A∨B = lr(A∪B) = l(r(A)∩ r(B)).

Demonstração. Sejam A,B ∈ G (Zτ ). Pelo Teorema 2.1.12, A ∩ B e l(r(A) ∩ r(B))são lr-estáveis. Basta então provar que estes conjuntos são duplamente fechados.

Como A e B são duplamente fechados, tem-se que A∩B é um conjunto fechadopor ser a intersecção de conjuntos fechados, e r(A ∩ B) é fechado por estarmos nascondições da Definição 2.2.3. Logo A ∩B ∈ G (Zτ ).

Ainda por A e B serem duplamente fechados, tem-se por um lado que, pelaDefinição 2.2.3, l(r(A) ∩ r(B)) é fechado; por outro lado, r(A) e r(B) são fechados,e portanto, pelo Corolário 2.1.10

r(

l(r(A) ∩ r(B)))

= rlr(A ∪B) = r(A ∪ B) = r(A) ∩ r(B)

é também um conjunto fechado. Logo l(r(A) ∩ r(B)) ∈ G (Zτ ).

Notação 2.2.5. Denota-se por GZτ o reticulado 〈G (Zτ ),∧,∨,∅, Z〉.

Embora GZτ seja sempre um reticulado limitado, nem sempre é um reticuladocompleto (ao contrário do que acontece com GZ). Como veremos no Teorema 2.2.11qualquer reticulado limitado é, a menos de isomorfismo, GZτ , para algum espaço deUrquhart Zτ .

Teoria de representação de reticulados limitados. Aqui estabelece-se ummétodo de construir um espaço duplamente ordenado a partir dum reticulado li-mitado. Esse espaço duplamente ordenado é, de facto, um espaço de Urquhart.Consideramos sempre reticulados não triviais (e limitados).


Lema 2.2.6 (Lema 3, em [29]). Seja L um reticulado limitado e 〈F, I〉 um par fil-tro-ideal de L. Então existe um par filtro-ideal maximal 〈G, J〉 de L tal que F ⊆ Ge I ⊆ J .

Observação 2.2.7. Seja L um reticulado limitado. Então o seu dual de ordem, oreticulado L

∂ , é também limitado. O cdo U(L∂) é isomorfo a (U(L))∂ . De facto,〈F, I〉 ∈ U(L) se e só se 〈I, F 〉 ∈ U(L∂), pelo que o isomorfismo segue se ter que〈F, I〉 61 〈G, J〉 se e só se F ⊆ G se e só se 〈I, F 〉 62 〈J,G〉.

Definição 2.2.8. Seja L um reticulado limitado. Para cada a ∈ L, seja

u(a) = 〈F, I〉 ∈ U(L) : a ∈ F .

Seja τ a topologia definida em U(L) tomando como sub-base a família

U(L) \ u(a) : a ∈ L ∪ U(L) \ r(u(a)) : a ∈ L .

Denotamos por U τ (L) o espaço duplamente ordenado 〈U(L),61,62, τ〉.

Lema 2.2.9 (Lema 4, em [29]). Seja L um reticulado limitado. Para cada a ∈ L,

(1) r(u(a)) = 〈F, I〉 ∈ U(L) : a ∈ I;

(2) lr(u(a)) = u(a).

Proposição 2.2.10 (Lema 6, em [29]). Seja L um reticulado limitado. Então U τ (L)é um espaço de Urquhart.

Pelas Proposições 2.2.4 e 2.2.10, dado um reticulado limitado L e um espaçode Urquhart Zσ, tem-se que GUτ (L) é ainda um reticulado limitado (o reticuladodos conjuntos lr-estáveis e duplamente fechados do espaço de Urquhart U τ (L)) eU τ (GZσ) é ainda um espaço de Urquhart (o espaço de Urquhart do reticulado li-mitado GZσ). Os próximos resultados mostram que estas estruturas são isomorfas.Se Zσ e U τ forem espaços duplamente ordenados, então ϕ : Zσ → U τ diz-se umhomeomorfismo de ordem se for um homeomorfismo entre os espaços topológicos eum isomorfismo com respeito às relações de quasi-ordem. Nesse caso, diz-se que Zσ

e U τ são ordem-homeomorfos.

Teorema 2.2.11 (Teorema 1, em [29]). Seja L um reticulado limitado. A corres-pondência a 7→ u(a) é um isomorfismo de L em GUτ (L).


Teorema 2.2.12 (Teorema 2, em [29]). Seja Zσ um espaço de Urquhart. Então Zσ

é ordem-homeomorfo a U τ (GZσ).

Teorema 2.2.13 (Teorema 3, em [29]). Seja L um reticulado limitado.

(1) A correspondência F 7→⋂

u(F ) é um isomorfismo dual do reticulado dos filtrosde L para o reticulado dos conjuntos lr-estáveis fechados de U(L).

(1∂) A correspondência I 7→⋃

u(I) é um isomorfismo do reticulado dos ideais de L

para o reticulado dos conjuntos lr-estáveis A de U(L) tais que r(A) é fechado.

Note-se que em [29], as correspondências são apresentadas de outra forma. Noprimeiro caso, é F 7→ u(F ), mas por definição, u(F ) = 〈G, J〉 : F ⊆ G. Esta nota-ção não é conforme com a usual (em geral, f(A) = f(x) : x ∈ A). Se adoptarmospara u(F ) a expressão convencional, então

⋂

u(F ) é a expressão que corresponde àusada no teorema original. Um raciocínio análogo justifica a diferença de notaçãono segundo caso.

Consideremos as seguintes relações binárias em qualquer cdo.

xR1y ⇐⇒ x 61 y & ∀w(

x 61 w & y 62 w ⇒ w 62 y)

,

xR2y ⇐⇒ x 62 y & ∀w(

x 62 w & y 61 w ⇒ w 61 y)

.

Seja R a menor relação binária transitiva contendo R1 e R2.

Teorema 2.2.14 (Teorema 6, em [29]). Sejam L e M reticulados limitados. Existeuma correspondência bijectiva entre homomorfismos sobrejectivos h : L ։ M emergulhos de ordem ϕ : U τ (M) → U τ (L), em que ϕ(U τ (M)) é um sub-espaço R--crescente de U τ (L). Para cada ϕ nestas condições, hϕ(A) = ϕ−1(A) e para cada h,ϕh(〈F, I〉) = 〈h−1(F ), h−1(I)〉.

Note-se que no enunciado do Teorema 6, em [29], não é dada uma expressãopara hϕ ou ϕh. As expressões incluídas no Teorema 2.2.14 são as que se definem nademonstração.

Exemplo 2.2.15. O reticulado L e o cdo U(L) na Figura 2.3 ilustram a dualidadede Urquhart. Aqui tem-se ui = 〈↑ai, ↓ai+1〉, para cada i > 1, ub =

⟨

↑ aii>1 , ↓b⟩

,uc =

⟨

↑ aii>1 , ↓c⟩

, vcb = 〈↑c, ↓b〉, vbc = 〈↑b, ↓c〉, wba = 〈↑b, ↓a1〉 e wca = 〈↑c, ↓a1〉.O isomorfismo entre L e o seu dual duplo é dado por u com a correspondên-cia 0 7→ ∅, b 7→ vbc, wba, c 7→ vcb, wca, ai 7→ ui, ui+1, ui+2, . . . , ub, uc e


0

1

cba1

a2a3 · · ·

(a) L

...

u1

u2

u3

wba wca

vcbvbc

uc ub

(b) U(L)

Figura 2.3: Um reticulado e o seu cdo de pares filtro-ideal maximais.

1 7→ U(L). Para determinar a sub-base da topologia precisamos ainda dos seguin-tes elementos: r(u(b)) = r( vbc, wba) = ub, vcb, r(u(c)) = uc, vbc, r(u(ai)) =u1, . . . , ui−1, wba, wcb, r(u(0)) = U(L) e r(u(1)) = ∅. Obtemos assim a seguintesub-base de conjuntos abertos:

S =

U(L), U(L) \ vbc, wba , U(L) \ vcb, wca , U(L) \ ub, vcb , U(L) \ uc, vbc ,

wba, wca, vcb, vbc, u1, . . . , ui−1 , ub, uc, vcb, vbc, ui, ui+1 . . . ,∅

.

Note-se que existe ainda outro conjunto lr-estável: ub, uc, que também é fechado.Contudo, r(ub, uc) = U(L)\ub, uc, vbc, vcb não é fechado, pelo que ub, uc não éduplamente fechado. Vejamos, equivalentemente, que ub, uc, vbc, vcb não é aberto.Para qualquer conjunto aberto O tem-se O =

⋃

k∈K Bk em que Bk são conjuntosda base, ou seja, Bk =

⋂n

i=1Aki para algum n ∈ N e conjuntos Aki ∈ S. Mas paraA ∈ S, se ub ∈ A, então existe i0 ∈ N tal que ui : i > i0 ⊆ A. Uma intersecçãofinita de tais conjuntos contendo ub contém ainda infinitos elementos de ui : i ∈ N.Logo ub, uc, vbc, vcb não é uma união de intersecções finitas de elementos de S, ouseja, não é aberto.

Os próximos resultados baseiam-se no Exercício 10.5 proposto em [5]. O resul-tado do Lema 2.2.16 é o Exercício 10.5 (i), e a Proposição 2.2.17 é uma generalizaçãotrivial do Exercício 10.5 (ii). 2

2Pode não parecer óbvio, nesta fase, que se trata duma generalização desse resultado. Issoresulta do que veremos sobre reticulados distributivos na Secção 2.5.


Lema 2.2.16. Sejam L e M reticulados limitados e I ⊆ L × M . Então I ∈I(L×M) se e só se I = J × K, onde J ∈ I(L) e K ∈ I(M). Dualmente, seF ⊆ L × M , então F ∈ F(L×M) se e só se F = G × H, onde G ∈ F(L) eH ∈ F(M).

Demonstração. Se J ∈ I(L) eK ∈ I(M), é simples verificar que J×K ∈ I(L×M).Reciprocamente, se I ∈ I(L×M), sejam J = πL(I) e K = πM(I), onde πL

e πM são as projecções de L × M em L e M. Então J ∈ I(L) e K ∈ I(M). Éimediato que I ⊆ J × K. Reciprocamente, seja 〈a, b〉 ∈ J × K. De a ∈ J segueque existe a′ ∈ M tal que 〈a, a′〉 ∈ I. Como 0M 6 a′ e I é um ideal, 〈a, 0M〉 ∈ I.Analogamente, de b ∈ J obtemos 〈0L, b〉 ∈ I. Então 〈a, b〉 = 〈a, 0M〉 ∨ 〈0L, b〉 ∈ I.Logo I = J ×K.

Proposição 2.2.17. Sejam L e M reticulados limitados. Então, U(L) ·∪ U(M) ∼=U(L×M).

Demonstração. Como L ×M ։ L,M (considerando as projecções πL e πM), peloTeorema 2.2.14 segue que U(L),U(M) → U(L×M), sob as correspondências

〈F, I〉 7→⟨

π−1L(F ), π−1

L(I)⟩

= 〈F ×M, I ×M〉 , para 〈F, I〉 ∈ U(L),

〈G, J〉 7→⟨

π−1M(G), π−1

M(J)⟩

= 〈L×G,L× J〉 , para 〈G, J〉 ∈ U(M).

Logo U(L) ·∪ U(M) → U(L × M). Para ver que esta correspondência é sobre-jectiva, tomemos um elemento de U(L × M), que pelo Lema 2.2.16 é da forma〈F ×G, I × J〉, com F ∈ F(L), G ∈ F(M), I ∈ I(L) e J ∈ I(M). Então F × G ∩I×J = ∅, pelo que F ∩I = ∅ ou G∩J = ∅. Se F ∩I = ∅, então F×M∩I×J = ∅e pela maximalidade de F×G nestas condições, segue que G =M ; da mesma forma,de F ×M ∩ I ×M = ∅ segue que J =M . Se F × I 6= ∅, então G ∩ J = ∅, e comum raciocínio análogo ao anterior, F = I = L.

2.3 Cdos desconexos

O conceito de cdo desconexo é de grande importância neste trabalho. De facto, dadoum espaço duplamente ordenado desconexo, o seu reduto de cdo é ainda desconexo.Mais importante, no caso de um reticulado ter comprimento finito, podemos tomarpara seu dual o cdo que é o reduto do seu espaço dual (cf. Teorema 2.3.15). Comoveremos no Capítulo 3, mesmo no caso de um reticulado de comprimento infinitoL, o cdo dos pares filtro-ideal maximais de L pode ser usado na construção da

2.3. Cdos desconexos 47

extensão canónica de L. De facto, a classe dos reticulados de conjuntos lr-estáveisdos cdos desconexos está estritamente contida na dos reticulados perfeitos, e contémestritamente a dos reticulados que são extensões canónicas.

Definição 2.3.1. Seja Z um cdo. Diz-se que Z é desconexo se satisfizer

x 1 y ⇐⇒ ∃z(

y 61 z & ∀w (z 62 w ⇒ x 1 w))

, (ODisc1)

x 2 y ⇐⇒ ∃z(

y 62 z & ∀w (z 61 w ⇒ x 2 w))

. (ODisc2)

Tal como na Definição 2.2.1, também aqui as implicações recíprocas são redun-dantes, por serem sempre válidas (por exemplo, se x 61 y, tomando um qualquerz ∈ Z tal que y 61 z, existe sempre w tal que z 62 w e x 61 w, bastando para issotomar w = z).

u v w

(a) Z1

u v w

(b) Z2

Figura 2.4: Dois cdos não desconexos.

Exemplo 2.3.2. Os cdos Z1 e Z2, na Figura 2.4 não são desconexos. No caso deZ1, tem-se v 1 w, mas se w 61 z, é necessariamente z = w; mas w 62 v 61 v, eassim Z1 2 (ODisc1). Dualmente Z1 2 (ODisc2) (note-se que Z1 é auto-dual). Ademonstração de que Z2 2 (ODisc1) é exactamente a mesma que para Z1. Não édifícil verificar que Z2 (ODisc2) (trata-se de analisar quatro casos apenas).

Exemplo 2.3.3. Se 〈P,6〉 for um cpo, então 〈P,6,>〉 é um cdo desconexo. Parademonstrar (ODisc1) ((ODisc2) é dual), temos que provar que

p q =⇒ ∃r(

q 6 r & ∀s (r > s ⇒ p s))

,

para o que basta tomar r = q, visto que se p q e s 6 q então p s.

Exemplo 2.3.4. O reduto de cdo dum espaço duplamente ordenado desconexo étambém desconexo, i.e. se Zτ satisfizer (Disc1) e (Disc2), então Z satisfaz (ODisc1)e (ODisc2). Considere-se o caso de (ODisc1). Se x 1 y então, por (Disc1), existeum conjunto A lr-estável e duplamente fechado tal que x ∈ A e y /∈ A. ComoA = lr(A), se y /∈ A então existe z ∈ r(A) tal que y 61 z; mas para todo w, sex 61 w e z 62 w então w ∈ A∩r(A) (porque A é 61-crescente e r(Y ) é 62-crescente),uma contradição. Logo z está nas condições exigidas em (ODisc1). Claramente, o


recíproco não se verifica, ou seja, um espaço duplamente ordenado pode não serdesconexo mas ter um reduto de cdo desconexo (basta considerar um cdo desconexonão trivial, Z = 〈Z,61,62〉, e equipá-lo com a topologia τ = ∅, Z).

Observação 2.3.5. Se Z for um cdo desconexo, então o seu dual de ordem, Z∂ étambém desconexo. De facto, Z (ODisc1) se e só se Z∂ (ODisc2). Observe-seque mesmo que Z = 〈Z,61,62〉 seja um cdo desconexo, o cdo Z ′ = 〈Z,>1,>2〉 podenão o ser. Por exemplo, se Z = U(N5) (ver Figura 2.2), então Z ′ não é desconexo.Basta ter em conta que, em Z ′, u 1 w, mas se w >1 z, então z = w; para que Z ′

satisfizesse (ODisc1) seria então necessário que, para qualquer t, se w >2 t, entãou 1 t, o que não se verifica (basta tomar t = v).

Definição 2.3.6. Dado um cdo Z, sejam Ξ,Υ : Z → Z↑1 e Ξ∂,Υ∂ : Z → Z↑

2 dadaspor

Ξ(z) = u ∈ Z : z 61 u , Ξ∂(z) = u ∈ Z : z 62 u ,

Υ(z) = l(Ξ∂(z)) e Υ∂(z) = r(Ξ(z)).

Sejam ainda, para i ∈ 1, 2, as relações binárias ↔i, <i e >i em Z, fazendo

x↔i y ⇐⇒ x 6i y & y 6i x

x <i y ⇐⇒ y >i x ⇐⇒ x 6i y & y i x.

É imediato que Ξ e Ξ∂ são aplicações. Logo, Υ e Υ∂ são também aplicações.Seja Z um cdo e z ∈ Z. Note-se que Ξ(z) é o menor conjunto 61-crescente que

contém z e que Υ(z) é lr-estável; dualmente, Ξ∂(z) é o menor conjunto 62-crescenteque contém z e Υ∂(z) é rl-estável.

Proposição 2.3.7. Seja Z um cdo. As seguintes afirmações são equivalentes:

(1) Ξ(x) ⊆ Υ(y),

(2) x ∈ Υ(y),

(3) y ∈ Υ∂(x),

e cada uma delas implica

(4) y /∈ Ξ(x).


Demonstração.(

(1) ⇒ (2))

Resulta de se ter x ∈ Ξ(x).(

(2) ⇒ (1))

Resulta de Υ(y) ser lr-estável, e assim, 61-crescente.(

(2) ⇔ (3))

Segue de

x ∈ Υ(y) ⇐⇒ ∀z(

y 62 z ⇒ x 1 z)

⇐⇒ ∀z(

x 61 z ⇒ y 2 z)

⇐⇒ y ∈ Υ∂(x).

(

(3) ⇒ (4))

Se y ∈ Υ∂(x) = r(Ξ(x)), então y /∈ Ξ(x).

Proposição 2.3.8. Seja Z um cdo. As seguintes afirmações são equivalentes:

(1) Z (ODisc1),

(2) Z (

x 1 y ⇔ ∃z(

z ∈ Ξ(y) & x ∈ Υ(z))

)

,

(3) Z (

Ξ(z) = lr(Ξ(z)))

.

Dualmente, as seguintes afirmações são equivalentes:

(1∂) Z (ODisc2),

(2∂) Z (

x 2 y ⇔ ∃z(

z ∈ Ξ∂(y) & x ∈ Υ∂(z))

)

,

(3∂) Z (

Ξ∂(z) = rl(Ξ∂(z)))

.

Demonstração.(

(1) ⇔ (2))

Resulta directamente da Definição 2.3.6 e de (ODisc1).(

(2) ⇒ (3))

Segue de

x ∈ l(Υ∂(z)) ⇐⇒ ∀w(

w ∈ Υ∂(z) ⇒ x 1 w)

⇐⇒ ∀w(

z ∈ Υ(w) ⇒ w /∈ Ξ(x))

(∵ Proposição 2.3.7)

⇐⇒ z 61 x (∵ (2))

⇐⇒ x ∈ Ξ(z).

(

(3) ⇒ (1))

(Por contra-recíproco.) Suponhamos que x 1 y, mas

∀z(

y 61 z ⇒ ∃t (z 62 t & x 61 t))


e vejamos que, nesse caso, y ∈ lr(Ξ(x)) \ Ξ(x). Ora, se y /∈ lr(Ξ(x)), então existez ∈ r(Ξ(x)) tal que y 61 z; de z ∈ r(Ξ(x)) segue que para todo o t ∈ Z, sex 61 t, então z 2 t, em contradição com a hipótese. Logo y ∈ lr(Ξ(x)); obviamentey /∈ Ξ(x), por ser x 1 y.

Proposição 2.3.9. Seja Z um cdo. Então,

(1) x 61 y ⇔ Ξ(x) ⊇ Ξ(y),

(1∂) x 62 y ⇔ Ξ∂(x) ⊇ Ξ∂(y).

Se Z for desconexo,

(2) x 61 y ⇔ Υ∂(x) ⊆ Υ∂(y),

(2∂) x 62 y ⇔ Υ(x) ⊆ Υ(y),

sendo as implicações directas sempre válidas.

Demonstração. (1) É imediato.(2) Resulta de (1), da Definição 2.3.6, da Proposição 2.3.8 (3) e de

Ξ(y) ⊆ Ξ(x) =⇒ Υ∂(x) ⊆ Υ∂(y)

=⇒ l(Υ∂(y)) ⊆ l(Υ∂(x))

=⇒ lr(Ξ(y)) ⊆ lr(Ξ(x))

=⇒ Ξ(y) ⊆ Ξ(x),

em que a desconexidade só é necessária para justificar a última implicação.

Proposição 2.3.10. Seja Z um cdo desconexo. Então,

(1) Ξ(z) é o menor conjunto lr-estável A tal que z ∈ A,

(2) Υ(z) é o maior conjunto lr-estável A tal que z ∈ r(A).

Logo GZ é ∨-gerado por Ξ(z) : z ∈ Z e ∧-gerado por Υ(z) : z ∈ Z. Dualmente,

(1∂) Ξ∂(z) é o menor conjunto rl-estável A tal que z ∈ A,

(2∂) Υ∂(z) é o maior conjunto rl-estável A tal que z ∈ l(A),

e portanto G∂Z é ∨-gerado por

Ξ∂(z) : z ∈ Z

e ∧-gerado por

Υ∂(z) : z ∈ Z

.


Demonstração. (1) Se Z é desconexo, então, por Proposição 2.3.8, Ξ(z) é lr-estável.Por outro lado, qualquer conjunto lr-estável é 61-crescente, pelo que o resultadosegue de Ξ(z) ser o menor conjunto 61-crescente a que z pertence.

(2) Segue de (1) que A =⋃

a∈A Ξ(a), para qualquer conjunto lr-estável A. Sejaentão A um conjunto lr-estável tal que z ∈ r(A), ou seja, z ∈ r

(⋃

a∈A Ξ(a))

=⋂

a∈A r(Ξ(a)) =⋂

a∈A Υ∂(a). Então,

z ∈ r(A) ⇐⇒ ∀a ∈ A(

z ∈ Υ∂(a))

⇐⇒ ∀a ∈ A(

a ∈ Υ(z))

(∵ Proposição 2.3.7)

⇐⇒ A ⊆ Υ(z).

De (2) resulta que A ⊆⋂

z∈r(A)Υ(z). Seja agora w ∈ Z tal que, para qualquer z ∈r(A) se tem w ∈ Υ(z). Como z /∈ Υ(z) e este conjunto é 61-crescente, w 1 z. Logow 1 z para todo o z ∈ r(A), ou seja, w ∈ l(r(A)) = A, donde A =

⋂

z∈r(A)Υ(z).

Proposição 2.3.11. Seja Z um cdo desconexo e z ∈ Z. Então,

(1) Ξ(z) é um elemento∨

-irredutível de GZ e Ξ∗(z) ≺ Ξ(z), onde

Ξ∗(z) = Ξ(z) \ [z]↔1= u ∈ Z : z <1 u .

(1∂) Ξ∂(z) é um elemento∨

-irredutível de G∂Z e Ξ∂

∗(z) ≺ Ξ∂(z), onde

Ξ∂∗(z) = Ξ∂(z) \ [z]↔2

= u ∈ Z : z <2 u .

(2) Υ(z) é um elemento∧

-irredutível de GZ e Υ(z) ≺ l(Ξ∂∗(z)).

(2∂) Υ∂(z) é um elemento∧

-irredutível de G∂Z e Υ∂(z) ≺ r(Ξ∗(z)).

Demonstração. (1) Para qualquer conjunto lr-estável A, se A ⊂ Ξ(z) então A ⊆Ξ∗(z), pelo que basta demonstrar que Ξ∗(z) é lr-estável. Ora

r(Ξ∗(z)) = w ∈ Z : ∀u(z <1 u ⇒ w 2 u) .

Em particular, pela definição de cdo, z ∈ r(Ξ∗(z)), donde z /∈ lr(Ξ∗(z)). Logolr(Ξ∗(z)) ⊂ Ξ(z) e portanto, lr(Ξ∗(z)) = Ξ∗(z).

(2) Como Υ(z) = l(Ξ∂(z)) e Ξ∂(z) ∈ J∞(G∂Z), segue que Υ(z) ∈ M∞(GZ).

Como Ξ∂∗(z) é 62-crescente, segue que l(Ξ∂

∗(z)) é lr-estável.


Corolário 2.3.12. Seja Z um cdo desconexo. Então J∞(GZ) = Ξ(z) : z ∈ Ze os cpos 〈J∞(GZ),6〉 e 〈Z/↔1,>1〉 são isomorfos. Dualmente, M∞(GZ) =Υ(z) : z ∈ Z e 〈M∞(GZ),6〉 ∼= 〈Z/↔2,62〉.

Demonstração. Pela Proposição 2.3.10, J∞(GZ) ⊆ Ξ(z) : z ∈ Z e a inclusão re-cíproca resulta da Proposição 2.3.11. O isomorfismo de ordem segue de se ter x↔1 yse e só se Ξ(x) = Ξ(y), pela Proposição 2.3.9 (1).

Corolário 2.3.13. Seja Z um cdo desconexo. Então GZ é um reticulado perfeito.Dualmente, G∂

Z é um reticulado perfeito.

Note-se a correspondência que existe entre as aplicações Ξ e Υ atrás definidas,e as consideradas na Proposição 2.2 em [12], bem como a semelhança de algumasconclusões. A razão pela qual isto acontece ficará clara na Secção 2.4.

Representação de reticulados de comprimento finito. Os cdos desconexospodem ser usados para representar reticulados de comprimento finito, ou seja, nocaso de L ser um reticulado de comprimento finito, podemos ignorar a topologiano seu dual de Urquhart. Isto não significa que a topologia seja discreta (verObservação 2.3.17), mas apenas que os conjuntos lr-estáveis do seu espaço dual sãotodos duplamente fechados, como segue do Teorema 2.3.15. A segunda afirmaçãodeste resultado corresponde ao Teorema 10, em [29].

Lema 2.3.14. Seja Zτ um espaço de Urquhart. Então GZτ 6 GZ .

Demonstração. Tanto o ínfimo como o supremo é calculado em ambos os reticuladospela mesma fórmula (Teorema 2.1.12 e Proposição 2.2.4).

Teorema 2.3.15. Seja L um reticulado limitado. Então L é mergulhável em GU(L).Se L tiver comprimento finito, então L e GU(L) são isomorfos.

Demonstração. A partir do Teorema 2.2.11 e do Lema 2.3.14, é imediato que L émergulhável em GU(L).

Se L tiver comprimento finito, então, pelo Teorema 10 em [29], u : L → GU(L) éum isomorfismo.

Se L tiver comprimento finito e F ∈ F(L), então∧

F ∈ F . Daqui resulta que,se F for um filtro I-maximal para algum ideal I, então

∧

F ∈ J (L) = J∞(L) ouseja, num reticulado L de comprimento finito, um filtro F é I-maximal, para algumideal I se e só se

∧

F ∈ J (L). Dualmente um ideal I é F -maximal para algum


0

a b c

fd e

1

(a) L

uv

w

x y

z

(b) U(L)

b

f

a c

(c) J (L)

c

e

d f

(d) M(L)

Figura 2.5: Um reticulado, o seu dual, e os cpos dos elementos ∨- e ∧-irredutíveis.

filtro F se e só se∨

I ∈ M(L). Este facto é bastante útil na determinação do cdode pares filtro-ideal maximais de reticulados de comprimento finito, e em particular,de reticulados finitos.

Exemplo 2.3.16. Seja L o reticulado na Figura 2.5. O conjunto dos seus pa-res filtro-ideal maximais é U(L) = u, v, w, x, y, z em que u = 〈↑a, ↓c〉 , v =〈↑b, ↓e〉 , w = 〈↑f, ↓d〉 , x = 〈↑c, ↓d〉 , y = 〈↑c, ↓f〉 , z = 〈↑a, ↓f〉. Os conjuntos lr-estáveis de U(L) são ∅ = l(U(L)), v = l(w, x, y, z), u, z = l( v, w, x),x, y = l(u, v), v, w = l( y, z), u, v, z = l(x, w), u, x, y, z = l( v),U(L) = l(∅).

Tem-se que X = a, b, c, f e Y = c, d, e, f, onde a = Ξ(u) = Ξ(z), b = Ξ(v),c = Ξ(x) = Ξ(y) = Υ(u), d = Υ(w) = Υ(x), e = Υ(v) and f = Ξ(w) = Υ(y) =Υ(z). Assim obtivemos J (L) e M(L) usando apenas U(L).

Observação 2.3.17. Apesar de o Teorema 2.3.15 (L ∼= GU(L)) se aplicar a reticula-dos de comprimento finito, quer eles sejam finitos ou infinitos, isso não significa quea topologia do espaço de Urquhart U τ (L) seja discreta em qualquer destes casos.De facto, isso é o que acontece no caso finito, pelo Teorema 1.1.1 (por se tratar deum espaço topológico T1). No entanto, no caso infinito, isso significa apenas quequalquer conjunto lr-estável é duplamente fechado, mas nem todo o subconjunto éaberto. O exemplo representado na Figura 2.6 ilustra este facto. O reticulado MN

é o representado na figura, isto é, o reticulado de comprimento 2 e com um conjuntoinfinito numerável de átomos, an : n ∈ N. O seu dual, U(MN), tem como universoo conjunto unm : n,m ∈ N & n 6= m, em que unm = 〈↑an, ↓am〉. Nenhum conjuntosingular do espaço 〈U(MN), τ〉 é aberto porque qualquer conjunto aberto contendoum elemento contém necessariamente infinitos elementos da mesma linha que esseelemento e infinitos elementos da mesma coluna. Tome-se, por exemplo, u12.


0

a1 a2 a3 a4

1

· · ·

(a) MN

u12 u13 u14

· · ·

u(a1)

u21 u23 u24

· · ·

u(a2)

u31 u32 u34

· · ·

u(a3)

u41 u42 u43

· · ·

u(a4)

...

r(u(a1))

...

r(u(a2))

...

r(u(a3))

...

r(u(a4))

(b) U(MN)

Figura 2.6: O reticulado MN e o seu espaço dual.

Se o conjunto u12 for aberto, então existe uma família finita Ak : 1 6 k 6 tde conjuntos da sub-base, tal que u12 =

⋂tk=1Ak. Seja K ⊆ 1, . . . , t tal

que Ak ∈ U(MN) \ u(an) : n ∈ N, para k ∈ K e seja K ′ = 1, . . . , t \ K,isto é, Ak ∈ U(MN) \ r(u(an)) : n ∈ N, para k ∈ K ′. Para k ∈ K, tem-seu1m : m ∈ N ⊆ Ak e portanto, u1m : m ∈ N ⊆

⋂

k∈K Ak; para k ∈ K ′, háum e um só m tal que u1m /∈ Ak (m = m0, onde Ak = U(MN) \ r(u(am0

))), e assim⋂t

k=1Ak contém infinitos elementos de u1m : m ∈ N.

2.4 Correspondência entre RS-frames e cdos

Vimos que, dado um cdo desconexo Z, o reticulado GZ dos seus conjuntos lr--estáveis é um reticulado perfeito (Corolário 2.3.13). Recordemo-nos que dado umreticulado perfeito L, define-se L+ como sendo a RS-frame dual de L, no sentido daDefinição 1.3.9.

Definição 2.4.1. Seja Z um cdo desconexo. A RS-frame associada a Z, que de-notamos por Ω(Z), é a estrutura (GZ)+ = 〈X, Y,6〉, onde X = Ξ(z) : z ∈ Z eY = Υ(z) : z ∈ Z.

2.4. Correspondência entre RS-frames e cdos 55

Considere-se a seguinte fórmula de RS-frames (com x, x′ ∈ X e y, y′ ∈ Y )

x y & ∀x′(

x′ < x ⇒ x′ 6 y)

& ∀y′(

y < y′ ⇒ x 6 y′)

, (∇(x, y))

e as seguintes versões reforçadas de (RS1) e (RS2)

∀x ∃y (∇(x, y)), (∇RS1)

∀y ∃x (∇(x, y)). (∇RS2)

Definição 2.4.2. Seja F uma RS-frame. Diz-se que F é uma ∇RS-frame se Fsatisfizer a fórmula

∀x ∀y(

x y ⇒ ∃x0 ∃y0(

x0 6 x & y 6 y0 & ∇(x0, y0))

)

. (∇RS)

Note-se que qualquer ∇RS-frame satisfaz (∇RS1) e (∇RS2). De facto, se F =〈X, Y,6〉 for uma RS-frame e x ∈ X, então por (RS1) existe y ∈ Y tal que x ye x′ 6 y sempre que x′ < x. Por (∇RS), como x y existem x0 ∈ X e y0 ∈ Ytais que x0 6 x, ∇(x0, y0) e y 6 y0. Se fosse x0 < x, então pela forma como yfoi determinado, seria x0 6 y, donde x0 6 y0, uma contradição. Logo x0 = x eportanto, ∇(x, y0). Assim F (∇RS1). Dualmente F (∇RS2).

O recíproco não se verifica, ou seja, existem RS-frames que satisfazem (∇RS1)e (∇RS2) mas não são ∇RS-frames. Basta considerar L+, onde L é o reticulado naFigura 2.3.

Lema 2.4.3. Seja Z um cdo desconexo. Então ∇(Ξ(z),Υ(z)), para todo o z ∈ Z.Reciprocamente, se u, v ∈ Z são tais que ∇(Ξ(u),Υ(v)), então existe z ∈ Z tal queu↔1 z ↔2 v, e portanto Ξ(u) = Ξ(z) e Υ(v) = Υ(z).

Demonstração. Seja z ∈ Z. Como z /∈ Υ(z), tem-se Ξ(z) * Υ(z). Temos quemostrar que, se Ξ(z′) ⊂ Ξ(z), então Ξ(z′) ⊆ Υ(z) e que, se Υ(z) ⊂ Υ(z′), entãoΞ(z) ⊆ Υ(z′). Seja então z′ ∈ Z tal que Ξ(z′) ⊂ Ξ(z), ou seja, z <1 z

′. PelaProposição 2.3.7, provar que Ξ(z′) ⊆ Υ(z) é o mesmo que provar que z ∈ Υ∂(z′).Como se tem que para qualquer u, se z′ 61 u então z <1 u, também se tem quepara qualquer u, se z′ 61 u então z 2 u, e assim z ∈ Υ∂(z′). Analogamente seΥ(z) ⊂ Υ(z′) então Ξ(z) ⊆ Υ(z′), e portanto, ∇(Ξ(z),Υ(z)).

Sejam agora u, v ∈ Z tais que ∇(Ξ(u),Υ(v)). Como Ξ(u) * Υ(v), tem-se queu /∈ Υ(v), e portanto, existe t0 tal que u 61 t0 e v 62 t0. Se v <2 t0 entãoΥ(v) ⊂ Υ(t0) e assim, Ξ(u) ⊆ Υ(t0), por ser ∇(Ξ(u),Υ(v)). Daqui segue quet0 ∈ Υ(t0), uma contradição. Logo v ↔2 t0. Analogamente u↔1 t0.


Teorema 2.4.4. Seja Z um cdo desconexo. Então Ω(Z) é uma ∇RS-frame.

Demonstração. Temos que mostrar que para quaisquer u, v ∈ Z,

Ξ(u) * Υ(v) =⇒ ∃u0 ∃v0(

Ξ(u0) ⊆ Ξ(u) & Υ(v) ⊆ Υ(v0) & ∇(Ξ(u0),Υ(v0)))

.

Sejam então u, v ∈ Z tais que Ξ(u) * Υ(v). Então u /∈ Υ(v) = l(Ξ∂(v)), pelo queexiste t ∈ Z tal que u 61 t e v 62 t. Seja u0 = v0 = t.

u 61 u0 ⇒ Ξ(u0) ⊆ Ξ(u),

v 62 v0 ⇒ Υ(v) ⊆ Υ(v0).

Pelo Lema 2.4.3 tem-se ∇(Ξ(u0),Υ(v0)), o que conclui a demonstração.

Definição 2.4.5. Dada uma RS-frame F = 〈X, Y,6〉, seja

Z(F) = 〈x, y〉 ∈ X × Y : ∇(x, y) ,

e sejam as relações binárias em Z(F)

〈x, y〉 61 〈x′, y′〉 ⇐⇒ x′ 6 x,

〈x, y〉 62 〈x′, y′〉 ⇐⇒ y 6 y′.

Seja Z(F) = 〈Z(F),61,62〉.

Lema 2.4.6. Seja F uma RS-frame. Então Z(F) é um cdo.

Demonstração. Pela definição, é óbvio que as relações 61 e 62 são reflexivas etransitivas. Suponhamos que 〈x, y〉 61 〈x′, y′〉 e 〈x, y〉 62 〈x′, y′〉. Então x′ 6 x ey 6 y′. Se x′ < x então x′ 6 y (visto que ∇(x, y)) e assim x′ 6 y′, o que é umacontradição por ser ∇(x′, y′). Logo x′ = x. Analogamente y′ = y.

Teorema 2.4.7. Seja F uma ∇RS-frame. Então Z(F) é um cdo desconexo.

Demonstração. Demonstremos (ODisc1), ou seja, vejamos que

〈x1, y1〉 1 〈x2, y2〉 =⇒ ∃〈x0, y0〉(

〈x2, y2〉 61 〈x0, y0〉

& ∀ 〈x, y〉(

〈x0, y0〉 62 〈x, y〉 ⇒ 〈x1, y1〉 1 〈x, y〉)

)

,

2.4. Correspondência entre RS-frames e cdos 57

...

u1

u2

u3

wba wca

vcbvbc

Figura 2.7: Cdo Z(L+) não desconexo duma RS-frame.

ou ainda, que

x2 x1 =⇒ ∃〈x0, y0〉(

x0 6 x2 & ∀ 〈x, y〉 (y0 6 y ⇒ x x1))

.

Ora se x2 x1, então por (S1) (ter em conta a Observação 1.3.6) existe y′ ∈ Ytal que x1 6 y′ e x2 y′. Sejam x0 ∈ X e y0 ∈ Y tais que x0 6 x2, ∇(x0, y0) ey′ 6 y0. Se 〈x, y〉 ∈ Z(F) for tal que y0 6 y então x x1, pois caso contrário, dex1 6 y′ 6 y0 6 y e x 6 x1 resultaria x 6 y, uma contradição.

Exemplo 2.4.8. O cdo duma RS-frame não é necessariamente desconexo. Con-sidere-se de novo o reticulado L representado na Figura 2.3. Na Figura 2.7 estárepresentado o cdo da sua RS-frame, Z(L+), onde wba = 〈b, a1〉, wca = 〈c, a1〉,ui = 〈ai, ai+1〉, vcb = 〈c, b〉 e vbc = 〈b, c〉. Neste exemplo tem-se wba 1 u1, mas seu1 61 z, para algum z ∈ Z(L+), então z = ui0 , para algum i0 e assim z 62 wba ewba 61 wba, pelo que Z(L+) não satisfaz (ODisc1). Note-se que Z(L+) difere de U(L)porque os elementos de Z(L+) correspondem apenas aos pares filtro-ideal maximaisem que o filtro é principal e o ideal também.

Teorema 2.4.9. Seja Z um cdo desconexo. Então Z ∼= Z(Ω(Z)).

Demonstração. Defina-se Φ : Z → Z(Ω(Z)) por

Φ(z) = 〈Ξ(z),Υ(z)〉 ,

e vejamos que Φ é uma aplicação bijectiva que preserva e reflecte as relações dequasi-ordem em Z. Pelo Lema 2.4.3, 〈Ξ(z),Υ(z)〉 ∈ Z(Ω(Z)). Logo, como Ξ e Υsão aplicações, Φ é uma aplicação.


Pela Proposição 2.3.9 e a Definição 2.4.5, verificam-se as seguintes equivalências:

z 61 z′ ⇐⇒ Ξ(z′) ⊆ Ξ(z) ⇐⇒ 〈Ξ(z),Υ(z)〉 61 〈Ξ(z

′),Υ(z′)〉 ,

z 62 z′ ⇐⇒ Υ(z) ⊆ Υ(z′) ⇐⇒ 〈Ξ(z),Υ(z)〉 62 〈Ξ(z

′),Υ(z′)〉 .

Logo Φ preserva e reflecte as quasi-ordens. Em particular, tendo em conta a definiçãode cdo, Φ é injectiva.

Para mostrar que Φ é sobrejectiva, seja 〈x, y〉 ∈ Z(Ω(Z)), com x = Ξ(u) e y =Υ(v). Pela Definição 2.4.5, tem-se ∇(Ξ(u),Υ(v)), donde, pelo Lema 2.4.3, existew ∈ Z tal que Ξ(w) = Ξ(u) e Υ(w) = Υ(v). Logo 〈x, y〉 = 〈Ξ(u),Υ(v)〉 = Φ(w).

Teorema 2.4.10. Seja F uma ∇RS-frame. Então F ∼= Ω(Z(F)).

Demonstração. Defina-se Ψ = 〈ψX , ψY 〉 : F → Ω(Z(F)) fazendo, para x ∈ X ey ∈ Y (ter em conta a Nota 1.3.4),

ψX(x) = Ξ(〈x, yx〉) e ψY (y) = Υ(〈xy, y〉),

onde ∇(x, yx) e ∇(xy, y). Vejamos que ψX é uma aplicação bijectiva (para ψY

a demonstração é análoga). Por (∇RS1), para cada x ∈ X existe yx ∈ Y talque ∇(x, yx) e portanto todo o elemento de X tem uma imagem por ψX . Se∇(x, yx) e ∇(x, y′x), então, como 〈x, yx〉 ↔1 〈x, y′x〉, segue pela Proposição 2.3.9que Ξ(〈x, yx〉) = Ξ(〈x, y′x〉), e portanto ψX é uma aplicação.

Para mostrar que ψX é injectiva, sejam x, x′ ∈ X e yx, yx′ ∈ Y tais que ∇(x, yx)e ∇(x′, yx′). Então,

ψX(x) = ψX(x′) ⇐⇒ Ξ(〈x, yx〉) = Ξ(〈x′, yx′〉)

⇐⇒ 〈x, yx〉 ↔1 〈x′, yx′〉

⇐⇒ x = x′,

pelo que ψX é uma aplicação injectiva. A sobrejectividade de ψX resulta da definiçãode Ω (Definição 2.4.1) e de Z (Definição 2.4.5), e assim ψX é uma bijecção.

Para concluir que Ψ = 〈ψX , ψY 〉 é um isomorfismo falta provar que

x 6 y ⇐⇒ ψX(x) 6 ψY (y).

Para isso, dados x ∈ X e y ∈ Y , fixemos xy ∈ X e yx ∈ Y tais que ∇(x, yx) e∇(xy, y), e vejamos que x 6 y (em F) se e só se Ξ(〈x, yx〉) ⊆ Υ(〈xy, y〉). Recordemo--nos que

Ξ(〈x, yx〉) ⊆ Υ(〈xy, y〉) ⇐⇒ 〈x, yx〉 ∈ Υ(〈xy, y〉) = l(Ξ∂(〈xy, y〉))

⇐⇒ ∀〈x′, y′〉(

〈xy, y〉 62 〈x′, y′〉 ⇒ 〈x, yx〉 1 〈x

′, y′〉)

,

2.5. Correspondência entre propriedades de cdos e de reticulados 59

ou seja, que se y 6 y′, então x′ x. Ora, se x 6 y, y 6 y′ e x′ 6 x então x′ 6 y′,em contradição com ∇(x′, y′). Reciprocamente, se x y, então, por (∇RS), existemx0 ∈ X e y0 ∈ Y tais que x0 6 x, ∇(x0, y0) e y 6 y0; assim 〈xy, y〉 62 〈x0, y0〉 e〈x, yx〉 61 〈x0, y0〉, pelo que Ξ(〈x, yx〉) * Υ(〈xy, y〉).

Vimos (cf. Teorema 2.4.7 e Exemplo 2.4.8) que nem toda a RS-frame é uma∇RS-frame. Pela Proposição 1.3.11 e a Proposição 1.3.12, existe uma correspon-dência biunívoca entre reticulados perfeitos e RS-frames. Tem interesse identificar,entre os reticulados perfeitos, aqueles que correspondem a ∇RS-frames, ou seja, osreticulados L para os quais L+ é uma ∇RS-frame (e portanto, a classe de reticuladosque está em correspondência biunívoca com a classe dos cdos desconexos). Dado umreticulado perfeito L e elementos j ∈ J∞(L), m ∈ M∞(L), dizemos que ∇(j,m) sej m, mas j′ 6 m sempre que j′ < j, e j 6 m′ sempre que m < m′.

Definição 2.4.11. Seja L um reticulado perfeito. Diz-se que L é um ∇-reticuladose, para quaisquer a, b ∈ L,

a b =⇒ ∃ j ∈ J∞(L), ∃m ∈ M∞(L)(

j 6 a & ∇(j,m) & b 6 m)

.

Teorema 2.4.12. Se F for uma ∇RS-frame e Z um cdo desconexo tal que Ω(Z) ∼=F, então GZ

∼= F+.

Demonstração. Por definição, Ω(Z) = (GZ)+ ∼= F. Logo, pela Observação 1.3.10,((GZ)+)

+ ∼= F+, e assim, pela Proposição 1.3.11, GZ∼= F+.

2.5 Correspondência entre propriedades de cdos ede reticulados

Nesta secção estabelecem-se algumas correspondências entre propriedades de cdosdesconexos e correspondentes propriedades dos reticulados dos seus conjuntos lr-es-táveis. Para ∇-reticulados, algumas destas correspondências são generalizações decorrespondências existentes para reticulados duplamente fundados (cf. [11]). Outrassão também referidas em [29], para reticulados de comprimento finito. Em algunscasos, as correspondências caracterizam os cdos desconexos Z cujos reticulados deconjuntos lr-estáveis têm certas propriedades (como ser algébricos ou distributivos);noutros casos (por exemplo, reticulados semidistributivos) consegue-se apenas con-dições necessárias, mas com uma condição adicional (o reticulado ser duplamentefundado) têm-se condições necessárias e suficientes.


Definição 2.5.1. Seja L um reticulado completo. Diz-se que L é duplamentefundado se para quaisquer a, b ∈ L,

a < b =⇒ ∃j 6 b(

j a & ∀j′(

j′ < j ⇒ j′ 6 a))

& ∃m > a(

m b & ∀m′(

m′ > m ⇒ m′ > b))

, (DF)

ou seja, se a < b, então existe j 6 b, minimal com respeito a j a e existe m > a,maximal com respeito a m b.

Note-se que o elemento j na Definição 2.5.1 é∨

-irredutível. De facto, se j =∨

t∈T ct, então para todo o t ∈ T , tem-se ct = j ou ct 6 a; como j a existe t0 ∈ Ttal que ct0 = j. Dualmente m é um elemento

∧

-irredutível.

Proposição 2.5.2. Seja L um reticulado duplamente fundado. Então L é um ∇--reticulado.

Demonstração. Sejam a, b ∈ L tais que a b. Então a ∧ b < a. Por (DF),

a ∧ b < a =⇒ ∃j 6 a(

j a ∧ b & ∀j′(

j′ < j ⇒ j′ 6 a ∧ b))

=⇒ ∃j 6 a(

j b & ∀j′(

j′ < j ⇒ j′ 6 b))

.

De j b segue que b < b ∨ j e assim existe um elemento m tal que b 6 m e m émaximal com respeito a b ∨ j m, e portanto m é maximal com respeito a j m.Se j′ < j então j′ 6 b 6 m; se m′ > m, então m′ > j, pela definição de m. Logo,∇(j,m).

Note-se, no entanto, que nem todo o ∇-reticulado é duplamente fundado. Con-sideremos, por exemplo, o reticulado L cujo conjunto de elementos é L = −1, 0∪ 1/n : n ∈ N, ordenados pela ordem usual em Q. L é um ∇-reticulado: se a, b ∈ Le a b, então b < a, e portanto a 6= −1, pelo que a é

∨

-irredutível. Tomemos j = a.Se a = 0, então b = −1. Nesse caso, tomemos m = b; se a 6= 0, então a = 1/n0,para algum n0 ∈ N, e nesse caso, tomemos m = 1/(n0 + 1). Então j 6 a, ∇(j,m) eb 6 m. Logo L é um ∇-reticulado. No entanto, 0 < 1 mas não existe j < 1 minimalcom respeito a j 0, e portanto, L não é duplamente fundado.

Reticulados algébricos. O próximo teorema estabelece uma caracterização doscdos desconexos cujos reticulados de conjuntos lr-estáveis são algébricos. Trata-sede uma adaptação da correspondente propriedade para contextos formais, e cujoenunciado se encontra em [11, pag. 33-34].


Teorema 2.5.3. Seja Z = 〈Z,61,62〉 um cdo desconexo. Então GZ é algébricose e só se para qualquer subconjunto 61-crescente A de Z se verificar a seguinteimplicação

∀E ∈ ℘fin(A)(

lr(

⋃

Ξ(E))

⊆ A)

=⇒ lr(A) = A. (cdo-Alg)

Note-se que⋃

Ξ(E) =⋃

Ξ(w) : w ∈ E = z ∈ Z : ∃w ∈ E(w 61 z) é o me-nor conjunto 61-crescente que contém E.

Demonstração. Como GZ é ∨-gerado pelo conjunto dos seus elementos∨

-irredu-tíveis, Ξ(z) : z ∈ Z, segue que GZ é algébrico se e só se Ξ(z) é compacto, paracada z ∈ Z.

Suponhamos que GZ é algébrico, A ∈ Z↑1 e lr (

⋃

Ξ(E)) ⊆ A para qualquerE ∈ ℘fin(A). Seja b ∈ lr(A) e vejamos que b ∈ A. De b ∈ lr(A) =

∨

a∈A Ξ(a), segueque Ξ(b) ⊆

∨

a∈A Ξ(a). Como Ξ(b) é compacto, existem a1, . . . , an ∈ A tais queΞ(b) ⊆

∨nt=1 Ξ(at). Logo Ξ(b) ⊆ lr (

⋃nt=1 Ξ(at)) = lr (

⋃

Ξ( a1, . . . , an)), donde, porhipótese, Ξ(b) ⊆ A, e portanto Z (cdo-Alg).

Reciprocamente, suponhamos que Z (cdo-Alg), u ∈ Z e D = At : t ∈ T é umconjunto ∨-dirigido de GZ tal que Ξ(u) ⊆

∨

D . Seja A =⋃

t∈T At e E ⋐ A. ComoD é ∨-dirigido, existe t0 ∈ T tal que E ⊆ At0 , donde

⋃

Ξ(E) ⊆ At0 ⊆ A, e portanto,lr (⋃

Ξ(E)) ⊆ A. Como A ∈ Z↑1 , conclui-se que A = lr(A). Assim

∨

D =⋃

t∈T At eportanto existe t1 ∈ T tal que Ξ(u) ⊆ At1 . Logo Ξ(u) é compacto.

u

u′

v1 v2 v3

v′1

v′2

v′3

x

w

· · ·

· · ·

Figura 2.8: Cdo desconexo Z tal que reticulado GZ não é algébrico.

Exemplo 2.5.4. O cdo Z na Figura 2.8, cujo reticulado de conjuntos lr-estáveis éo que se encontra representado na Figura 2.9 ilustra o resultado do Teorema 2.5.3.


0

k1

··· k2

··· k3

··· k4

··· k5

··· k6

···

· ··

a

j1

m1

j2

m2

j3

m3

j4

m4

j5

m5 · · ·

· · ·

1

Figura 2.9: Reticulado GZ não algébrico.

O reticulado não é algébrico visto que ki : i > 1 é um conjunto ∨-dirigido cujosupremo é 1, e portanto, para cada i, o elemento

∨

-irredutível ji não é compacto.O cdo Z é desconexo. Basta notar que é o cdo dos pares filtro-ideal maxi-

mais dum reticulado limitado, neste caso, o sub-reticulado L de GZ que resulta deconsiderar apenas os elementos representados por círculos brancos na Figura 2.9.Assim obtêm-se os seguintes pares: u = 〈↑a, ↓m1〉 , u

′ = 〈[mk : k > 2), ↓m1〉, vi =〈↑ji, ↓mi+1〉 , v

′i = 〈[mk : k > i+ 2), ↓mi+2〉, para cada i > 1, w = 〈[mk : k > 1), ↓a〉

e x = 〈[jk : k > 1), 0〉.A condição enunciada no Teorema 2.5.3 não é satisfeita por Z. De facto, se

tomarmos A = u′, v′1, v′2, v

′3, . . . , x, w, então lr(A) = Z; se E ⋐ A então existe n ∈

N tal que E ⊆ u′, x, w, v′1, . . . , v′n = Ξ(v′n) e portanto lr(

⋃

Ξ(E)) ⊆ Ξ(v′n) ⊆ A.Note-se ainda que o reticulado L é algébrico, visto que todos os seus elementos

são compactos (basta ter em conta que em L, se D for um conjunto ∨-dirigido, então∨

D ∈ D).

A caracterização de reticulados algébricos apresentada em [11, pag. 33-34] refere-


-se a qualquer reticulado de conceitos (donde, a qualquer reticulado completo). Aí, oque se enuncia é que um reticulado de conceitos B(K) dum contexto K = 〈G,M, I〉é algébrico se e só se para qualquer A ⊆ G, se sempre que E for finito,

E ⊆ A =⇒ E ′′ ⊆ A,

então A = A′′. Este resultado deve ser entendido com uma restrição no conjuntoG dos objectos do contexto. De facto, como segue do Exemplo 2.5.5, a formulaçãooriginal não está correcta.

Exemplo 2.5.5. Seja L o reticulado com o conjunto suporte −1/n : n ∈ N∪ 0,com a relação de ordem usual em Q. Então L é algébrico (0 é o único elementoque não é compacto). Se considerarmos o contexto K = 〈L, L 6〉, então, peloTeorema 1.4.5, L ∼= B(K), mas o contexto K não satisfaz a condição preten-dida. Comecemos por notar que neste caso, A′′ = Aul. Assim, se tomarmosA = −1/n : n ∈ N, então A′′ = L. No entanto, se E for um subconjunto fi-nito de A, digamos E = −1/n : n ∈ N0, onde N0 é um subconjunto finito de N,então Eul = −1,−1/2, . . . ,−1/n0, onde n0 = maxN0, e portanto Eul ⊆ A.

O resultado é ainda assim válido para qualquer reticulado perfeito se conside-rarmos o seu contexto padrão, K = 〈J∞(L),M∞(L),6〉 (ou mais geralmente, paraqualquer reticulado L que seja ∨-gerado pelos seus elementos

∨

-irredutíveis, e nessecaso, tome-se K = 〈J∞(L), L,6〉). Tal como foi observado na demonstração doTeorema 2.5.3, neste caso, L é algébrico se e só se j for compacto, para qualquerj ∈ J∞(L). Tal como no Exemplo 2.5.5, A′′ = Aul. Note-se que, neste caso,u : J∞(L) → M∞(L) e l : M∞(L) → J∞(L) (no caso mais geral, u : J∞(L) → Le l : L → J∞(L)) e assim, considerando o reticulado L e o conjunto A do exem-plo Exemplo 2.5.5, A = Aul. Segue que L é algébrico se e só se para qualquerA ⊆ J∞(L),

∀E ⋐ A(

Eul ⊆ A)

=⇒ A = Aul.

Vejamos que de facto, nestas circunstâncias, a expressão apresentada é necessáriae suficiente para que o reticulado seja algébrico. Suponhamos que L é algébrico,A ⊆ J∞(L) e x ∈ Aul \ A (donde x é compacto, visto que x ∈ J∞(L)).

x ∈ Aul =⇒ x 6∨

A =⇒ ∃j1, . . . , jn ∈ A

(

x 6

n∨

k=1

jk

)

.

Seja E = j1, . . . , jn.

x 6∨

E =⇒ x ∈ Eul =⇒ Eul * A.


Reciprocamente, se L não for algébrico, seja x ∈ J∞(L) tal que x não é compacto,i.e. x 6

∨

k∈K jk, mas não existe K0 ⋐ K tal que x 6∨

k∈K0jk. Seja A = (jk : k ∈

K] ∩ J∞(L). Então x ∈ Aul \A, pela construção de A. Seja E = j1, . . . , jn ⋐ A.Então Eul = j ∈ J∞(L) : j 6 j1 ∨ · · · ∨ jn ⊆ A.

Reticulados distributivos. Na sua teoria de representação de reticulados limi-tados, Urquhart estabeleceu que L é distributivo se e só se U(L) (cdo-D) (cf.Teorema 5, em [29]). Assim, se Z for o dual de Urquhart de algum reticulado decomprimento finito, e se Z (cdo-D), então GZ é distributivo (e isomorfo ao reticu-lado inicial, que portanto é também distributivo). Aqui generalizamos esse resultadopara qualquer cdo desconexo, cf. Teorema 2.5.7.

x 61 y ⇐⇒ y 62 x. (cdo-D)

A primeira parte do Lema 2.5.6 corresponde à equivalência entre a primeira ea terceira afirmação no Teorema 4, em [29], mas aqui é generalizada para qualquercdo desconexo.

Lema 2.5.6. Seja Z = 〈Z,61,62〉 um cdo desconexo. Então,

(1) Z (cdo-D) se e só se Z (

x 61 y ⇒ y 62 x)

.

(2) Z (cdo-D) se e só se todo o subconjunto 61-crescente de Z é lr-estável.

Demonstração. (1) Suponhamos que Z (

x 61 y ⇒ y 62 x)

, e que u, v ∈ Z sãotais que u 62 v e v 1 u. De v 1 u, segue por (ODisc1) que

∃t(

u 61 t & ∀w(t 62 w ⇒ v 1 w))

.

De u 61 t segue, pela hipótese, que t 62 u, donde t 62 v e assim v 1 v, umacontradição.

(2) Suponhamos que Z (cdo-D), e A ∈ Z↑1 . Então

r(A) = v ∈ Z : a ∈ A ⇒ v 2 a

= v ∈ Z : a ∈ A ⇒ a 1 v (∵ (cdo-D))

= Z \ A, (∵ A ∈ Z↑1)


donde

lr(A) = l(Z \ A) = u ∈ Z : b /∈ A ⇒ u 1 b

= u ∈ Z : u 61 b ⇒ b ∈ A

= u ∈ Z : Ξ(u) ⊆ A = A.

Reciprocamente, se Z 2 (cdo-D), então, por (1), existem u, v ∈ Z tais que

u 61 v e v 2 u.

De u 61 v ∈ Ξ∂(v), segue que u /∈ l(Ξ∂(v)) = Υ(v). Tem-se também que u /∈ Υ(u),e portanto, u /∈ Υ(u) ∪ Υ(v), sendo este um conjunto 61-crescente, uma vez que éa união de conjuntos lr-estáveis, donde 61-crescentes. Basta então demonstrar queu ∈ Υ(u) ∨Υ(v) = lr(Υ(u) ∪Υ(v)), para concluir que Υ(u) ∪Υ(v) não é lr-estável,apesar de ser 61-crescente. Ora se u /∈ lr(Υ(u) ∪ Υ(v)) = l(Ξ∂(u) ∩ Ξ∂(v)), entãoexiste w tal que

u 61 w & u 62 w & v 62 w,

donde u = w e v 62 w, e assim, v 62 u, uma contradição.

Um reticulado completo L diz-se completamente distributivo se para qual-quer família aij : i ∈ I, j ∈ J de elementos de L,

∧

i∈I

(

∨

j∈J

aij

)

=∨

α:I→J

(

∧

i∈I

aiα(i)

)

. (CD)

É fácil de ver que qualquer reticulado completamente distributivo é distributivo.Tem-se ainda que qualquer reticulado completo de conjuntos (isto é, um reticuladocujo conjunto suporte é formado por conjuntos e que é fechado para uniões e in-tersecções arbitrárias; por exemplo, o reticulado dos ideais de ordem dum cpo) écompletamente distributivo. De facto,

a ∈⋂

i∈I

⋃

j∈J

Aij ⇐⇒ ∀i ∈ I ∃j ∈ J(a ∈ Aij)

⇐⇒ ∃α : I → J

(

a ∈⋂

i∈I

Aiα(i)

)

(tomando α(i) = j)

⇐⇒ a ∈⋃

α:I→J

⋂

i∈I

Aiα(i).


Na demonstração do Teorema 2.5.7 recorre-se a uma caracterização alternativade reticulados distributivos: pode-se demonstrar que um reticulado é distributivo see só se satisfizer

x ∧ (y ∨ z) 6 (x ∧ y) ∨ z.

Teorema 2.5.7. Seja Z = 〈Z,61,62〉 um cdo desconexo e GZ o reticulado dosseus conjuntos lr-estáveis. Então GZ é distributivo se e só se Z (cdo-D). Emparticular, se GZ for distributivo, então é completamente distributivo, algébrico ecoalgébrico.

Demonstração. Se Z (cdo-D), então, pelo Lema 2.5.6, a união de conjuntos lr--estáveis é um conjunto lr-estável, pelo que o supremo no reticulado dos conjuntosde G (Z) é dado pela união, e portanto, GZ é completamente distributivo. PeloTeorema 2.5.3, é também algébrico porque os conjuntos 61-crescentes são lr-estáveis.Como (cdo-D) é auto-dual, o reticulado é também coalgébrico.

Reciprocamente, se Z 2 (cdo-D), então pelo Lema 2.5.6, existe um subconjuntoA de Z que é 61-crescente mas não é lr-estável. Assim,

A =⋃

a∈A

Ξ(a) ⊂ lr

(

⋃

a∈A

Ξ(a)

)

= lr(A).

Seja u ∈ lr(A) \ A. Como

u ∈ l

(

⋂

a∈A

r(Ξ(a))

)

=⇒ u /∈⋂

a∈A

r(Ξ(a)),

existe a0 ∈ A tal que u /∈ r(Ξ(a0)).

u /∈ r(Ξ(a0)) =⇒ Ξ∂(u) * r(Ξ(a0))

=⇒ Ξ(a0) * l(Ξ∂(u)) = Υ(u).

Como u /∈ A =⋃

a∈A Ξ(a), segue que Ξ(u) * Ξ(a0), e assim, Ξ(u) ∩ Ξ(a0) ⊂ Ξ(u).Mas

Ξ(u) ∩ Ξ(a0) =∨

Ξ(v) : Ξ(v) ⊆ Ξ(u) ∩ Ξ(a0)

e assim, para qualquer v nessas condições Ξ(v) ⊂ Ξ(u), pelo que Ξ(v) ⊆ Υ(u),visto que, pelo Lema 2.4.3, ∇(Ξ(u),Υ(u)). Logo Ξ(u) ∩ Ξ(a0) ⊆ Υ(u). DualmenteΞ(u) ⊆ Ξ(a0) ∨Υ(u). Logo

Ξ(u) ∩ (Ξ(a0) ∨Υ(u)) = Ξ(u) * Υ(u) = (Ξ(u) ∩ Ξ(a0)) ∨Υ(u),


e portanto, tendo em conta a caracterização enunciada antes do teorema, GZ não édistributivo.

Teorema 2.5.8 (Teorema 5, em [29]). Seja L um reticulado limitado. Então L édistributivo se e só se U(L) (cdo-D).

Observação 2.5.9. Se Z (cdo-D), então cada uma das relações de quasi-ordemé uma relação de ordem parcial: de facto, se u 61 v 61 u, então, por (cdo-D),u 62 v 62 u e portanto, u = v. Assim, uma consequência destes resultados éque para dual dum reticulado distributivo podemos tomar um cpo, ou seja, nocaso distributivo, a dualidade de Urquhart é equivalente à dualidade de Priestley(o que também foi observado por A. Urquhart, em [29]). Em particular, se L fordistributivo, então

U(L) = 〈F, L \ F 〉 : F ∈ Fp(L) ,

e portanto, a menos de isomorfismo, U(L) é 〈Ip(L),6〉 (ou ainda 〈Fp(L),6〉). Tem--se ainda que, nesse caso, r(A) = Z \ A, para qualquer A ∈ Z↑

1 (conforme foi obser-vado na demonstração do Lema 2.5.6), e assim, um conjunto duplamente fechado éaberto-fechado.

Reticulados semidistributivos. Em [29, pag. 53] alude-se ao facto de que umreticulado de comprimento finito L é ∧-semidistributivo se e só se 61 é uma relaçãode ordem parcial, em U(L). Equivalentemente, dado um cdo desconexo Z, 61 é umarelação de ordem parcial se e só se GZ é ∧-semidistributivo. O objectivo aqui seriao de generalizar esse resultado. Naturalmente os dois resultados enunciados nãosão equivalentes, se considerarmos reticulados de comprimento infinito. De facto,podemos mesmo dizer que a primeira formulação é falsa no caso geral, como seguedo Exemplo 2.5.11: aí, L é um reticulado ∧-semidistributivo tal que em Z = U(L),61 não é uma relação de ordem parcial. O objectivo de demonstrar a segundaformulação, ou seja, que dado um cdo desconexo Z, 61 é uma relação de ordemparcial se e só se GZ é ∧-semidistributivo, também não foi conseguido, para ocaso geral. A Proposição 2.5.10 garante-nos que 61 ser relação de ordem parcial écondição necessária para que GZ seja ∧-semidistributivo; a Proposição 2.5.12 diz-nosque é também suficiente, se admitirmos a hipótese adicional de GZ ser duplamentefundado. Ambas as proposições são também adaptações do Teorema 43, em [11],sendo que a primeira generaliza o resultado de reticulados duplamente fundadospara ∇-reticulados.


Proposição 2.5.10. Seja Z = 〈Z,61,62〉 um cdo desconexo e GZ o reticulado dosseus conjuntos lr-estáveis. Se 61 não for uma relação de ordem parcial, então GZ

não é ∧-semidistributivo.

Demonstração. Sejam u, v ∈ Z tais que u ↔1 v mas u 6= v. Então u 2 v 2 u.Vejamos que Ξ(u) ∩ Υ(u) ⊆ Ξ(v) ∩ Υ(v). Como Ξ(u) = Ξ(v), basta provar queΞ(u) ∩ Υ(u) ⊆ Υ(v). Seja w ∈ Ξ(u) ∩ Υ(u) e suponhamos que w /∈ Υ(v), ou seja,existe t ∈ Z tal que v 62 t e w 61 t. Como w ∈ Ξ(u) = Ξ(v), tem-se que v 61 we assim, v 62 t e v 61 t, pelo que, pela definição de cdo, v = t. Logo w 61 v eportanto, w ↔1 v. Daqui resulta que w ↔1 u, donde w /∈ Υ(u), uma contradição.Por um raciocínio simétrico, Ξ(u) ∩Υ(v) = Ξ(v) ∩Υ(v) ⊆ Ξ(u) ∩Υ(u).

∴ Ξ(u) ∩Υ(u) = Ξ(u) ∩Υ(v).

Vejamos que u ∈ Υ(u) ∨Υ(v) = l(Ξ∂(u) ∩ Ξ∂(v)). De facto, se u 61 s, para algums ∈ Ξ∂(u)∩Ξ∂(v), então de u 61 s e u 62 s segue, pela definição de cdo, que u = s,e portanto v 62 u, uma contradição. Logo, como u /∈ Υ(u),

Ξ(u) ∩Υ(u) = Ξ(u) ∩Υ(v) ⊂ Ξ(u) ∩ (Υ(u) ∨Υ(v)).

v u

w1 w2

w3 w4

w5 w6

w7 w8

x x′

......

...

···

···

(a) Z

0

a1

a2

a3

a4

a5

a

a

c1

c2

c3

c

c

b1

b2

b3

b

b

1

......

...

(b) GZ

Figura 2.10: Um cdo desconexo cujo reticulado de conjuntos lr-estáveis não é ∧--semidistributivo.

Exemplo 2.5.11. O cdo Z e o reticulado GZ na Figura 2.10 ilustram o resultado daProposição 2.5.10. De facto, em Z, 61 não é uma relação de ordem parcial porque


x 61 x′ 61 x 6= x′. Em GZ , a ∧ b = a ∧ c = a < a = a ∧ 1 = a ∧ (b ∨ c), e portanto

GZ não é ∧-semidistributivo.Para ver que Z é desconexo, considere-se o sub-reticulado L de GZ composto

pelos elementos representado por círculos brancos. Então Z ∼= U(L). Para ver queassim é, basta tomar os pares filtro-ideal maximais: u = 〈↑b1, ↓c〉, v = 〈↑c1, ↓b〉,w2i−1 = 〈↑a2i−1, ↓bi〉 e w2i = 〈↑a2i, ↓ci〉, para cada i > 1, e x = 〈↑a, (bi : i > 1]〉 ex′ = 〈↑a, (ci : i > 1]〉.

Note-se ainda que L é ∧-semidistributivo.

Proposição 2.5.12. Seja Z = 〈Z,61,62〉 um cdo desconexo e GZ o reticuladodos seus conjuntos lr-estáveis. Se GZ for duplamente fundado mas não for ∧--semidistributivo, então 61 não é uma relação de ordem parcial.

Demonstração. Comecemos por notar que se L for um reticulado duplamente fun-dado não ∧-semidistributivo, e a, b, c ∈ L forem tais que a ∧ b = a ∧ c < a ∧ (b ∨ c),então podemos supor que a ∈ J∞(L), b, c ∈ M∞(L) e ∇(a, b) e ∇(a, c). 3

De a ∧ b = a ∧ c < a ∧ (b ∨ c), segue que existe j 6 a ∧ (b ∨ c) (donde, j 6 a ej 6 b ∨ c) tal que j é minimal com respeito a j a ∧ b = a ∧ c (donde, j é minimalcom respeito a j b, c). Então b < j ∨ b e c < j ∨ c, pelo que existem m,n tais quem > b e m é maximal com respeito a j m e n > c e n é maximal com respeitoa j n. Recordemos que nestas condições j ∈ J∞(L) e m,n ∈ M∞(L). Logo∇(j,m) e ∇(j, n). Sejam j∗, m∗ e n∗ os (únicos) elementos tais que j∗ ≺ j, m ≺ m∗

e n ≺ n∗, respectivamente. De ∇(j,m) e ∇(j, n) segue que

j ∧m = j∗ = j ∧ n,

e j∧ (m∨n) = j porque m∨n > m∗, n∗ > j (note-se que m e n são necessariamentediferentes, pois se fosse b, c 6 m então j 6 b ∨ c 6 m, uma contradição). Logoj ∧m = j ∧ n < j ∧ (m ∨ n).

Suponhamos que GZ não é ∧-semidistributivo, e sejam A,B,C conjuntos lr--estáveis de Z tais que

A ∩B = A ∩ C ⊂ A ∩ (B ∨ C).

3Para que se possa tomar a ∈ J∞(L), basta que L seja ∨-gerado pelos seus elementos∨

-irre-dutíveis. De facto, se a ∧ b = a ∧ c < a ∧ (b ∨ c), então existe um elemento

∨

-irredutível j tal quej 6 a ∧ (b ∨ c) e j a ∧ b, a ∧ c. Daqui resulta que j 6 a, j 6 b ∨ c, j b, e j c e assim,

a ∧ b = a ∧ c < a ∧ (b ∨ c) =⇒ j ∧ a ∧ b = j ∧ a ∧ c 6 j ∧ a ∧ (b ∨ c)

=⇒ j ∧ b = j ∧ c < j = j ∧ (b ∨ c).


Pelo que vimos antes, podemos, sem perda de generalidade, supor que A é umelemento

∨

-irredutível, B e C são elementos∧

-irredutíveis e que ∇(A,B) e ∇(A,C).Sejam u, v, w ∈ Z tais que A = Ξ(u), B = Υ(v) e C = Υ(w). Assim, ∇(Ξ(u),Υ(v))e ∇(Ξ(u),Υ(w)) e pelo Lema 2.4.3, existem v′, w′ ∈ Z tais que

u↔1 v′ ↔2 v e u↔1 w

′ ↔2 w.

Se 61 fosse uma relação de ordem parcial, ter-se-ia u = v′ = w′, donde v ↔2 w epor conseguinte, Υ(v) = Υ(w), em contradição com a hipótese.

Reticulados atomísticos. É fácil a caracterização dos ∇-reticulados que são ato-místicos, em função duma propriedade nos respectivos cdos desconexos. Trata-se damesma propriedade a que se faz referência em [29, pag. 53].

Teorema 2.5.13. Seja Z um cdo desconexo. Então GZ é atomístico se e só se61∈ Equiv(Z).

Demonstração. Se 61∈ Equiv(Z) então Ξ(z) : z ∈ Z é uma anti-cadeia. ComoGZ é ∨-gerado por estes elementos, eles são átomos. Logo GZ é atomístico.

Reciprocamente, se GZ for atomístico, então At(GZ) = Ξ(z) : z ∈ Z. Assim,

u 61 v =⇒ Ξ(v) ⊆ Ξ(u) =⇒ Ξ(v) = Ξ(u) =⇒ u↔1 v.

Capítulo 3

Extensões canónicas de reticulados

A noção de extensão canónica de um reticulado limitado não surgiu de forma in-dependente da de álgebra com reduto de reticulado, como veremos na Secção 3.1.Todavia, neste capítulo, o estudo incide apenas no da extensão canónica de reti-culados, deixando para o próximo capítulo a generalização ao caso com operaçõesadicionais.

Assim, na Secção 3.1, descreve-se um pouco do que tem sido a evolução histó-rica do estudo das extensões canónicas. Essa evolução, como se disse antes, temsido essencialmente a de extensões canónicas de álgebras com reduto de reticulado,embora aqui façamos a separação do estudo. Também não se deve tomar essa descri-ção como exaustiva, antes pretendendo fazer uma contextualização do estudo a fazerneste capítulo e no próximo. Na Secção 3.2 introduz-se o conceito de extensão canó-nica de um reticulado e o estudo de algumas das suas propriedades. Finalmente, naSecção 3.3 faz-se o estudo da extensão de aplicações entre reticulados às extensõescanónicas destes. Esse é um passo importante para o estudo do capítulo seguinte,na medida em que as operações adicionais nos reticulados (as operações que não sãode reticulado nas álgebras com reduto de reticulado) são aplicações duma potênciadirecta do reticulado para ele mesmo.

Neste capítulo não há nenhum resultado original. Apresentam-se algumas de-monstrações por serem diferentes das que podem ser encontradas nas referênciasindicadas.

71

72 3. Extensões canónicas de reticulados

3.1 Breve nota histórica

Pelo Teorema de Stone para representação de álgebras de Boole (Teorema 1.2.9),uma álgebra de Boole A é isomorfa à álgebra de Boole dos conjuntos abertos-fecha-dos do seu espaço de Boole. Segue daqui (cf. Teorema 1.2.8) que A é mergulhável naálgebra de todos os conjuntos do espaço dual de A (uma álgebra de Boole completae atómica). O espaço dual duma álgebra de Boole é um espaço topológico compacto〈X, τ〉 que satisfaz

x, y ∈ X & x 6= y =⇒ ∃V aberto-fechado de 〈X, τ〉(

x ∈ V & y /∈ V)

(ao qual se chama espaço de Boole). A extensão canónica⟨

e,Aδ⟩

da álgebra de BooleA é o mergulho de A numa álgebra de Boole completa e atómica A

δ caracterizadopelas condições

p, q ∈ At(Aδ) & p 6= q =⇒ ∃a ∈ A(

p 6 e(a) & q e(a))

,

S ⊆ A &∨

e(S) = 1 =⇒ ∃S ′ ⋐ S(

∨

e(S ′) = 1)

.

A menos de isomorfismo, Aδ é a álgebra BX dos subconjuntos do espaço dual deA. A segunda condição acima corresponde à compacidade do espaço de Boole;a primeira corresponde à condição de separação no espaço de Boole, visto que osátomos de BX são precisamente os conjuntos singulares de X e as imagens doselementos da álgebra original são os abertos-fechados do espaço de Boole 〈X, τ〉 (cf.Teorema 1.2.9). Este resultado foi expandido em 1951 por B. Jónsson e A. Tarski[23, 24] para álgebras de Boole com operadores 1(ver também B. Jónsson [22] ouM. Ramalho [27]), dando assim início à teoria das extensões canónicas para álgebrascom reduto de álgebra de Boole. Aí, os autores demonstraram que uma álgebrade Boole com operadores é mergulhável numa álgebra de Boole completa e atómicacom operadores completos que são extensões dos iniciais. Demonstraram tambémque qualquer identidade satisfeita por uma álgebra de Boole com operadores, quenão envolva a operação de complementação, é também satisfeita pela sua extensão.

O que se passa no caso Booleano tem um paralelo perfeito no caso dos reticula-dos distributivos limitados. De facto, pelo Teorema 1.2.4, um reticulado distributivolimitado L é mergulhável no reticulado (distributivo e limitado) dos ideais de ordemdo seu espaço de Priestley. Em 1994 M. Gehrke e B. Jónsson usaram esse resultado

1Recordar (Definição 1.3.13) que um operador é uma aplicação duma potência directa dumreticulado para outro reticulado que preserva supremos em cada coordenada.

3.1. Breve nota histórica 73

para estudar extensões canónicas de reticulados distributivos limitados com opera-dores [14]. A definição adoptada para extensão canónica de L foi a de um reticuladoL

δ tal que o isomorfismo dado pelo Teorema de Priestley para representação de reti-culados distributivos limitados (Teorema 1.2.5) entre L e D

τLIp(L)

possa ser estendido

a um isomorfismo entre Lδ e DIp(L). Segue (Teorema 2.6 em [14]) que L

δ se podecaracterizar por ser um reticulado distributivo, algébrico e coalgébrico; satisfazer acondição de compacidade (3) do Teorema 1.1.2 (que generaliza a caracterização dacompacidade do mergulho no caso Booleano); e satisfazer a condição de separação,que foi reescrita como

p, q ∈ J∞(Lδ) & p q =⇒ ∃a ∈ L(

p e(a) & q 6 e(a))

,

que corresponde à condição de separação num espaço de Priestley (visto que os ideaisprincipais dum cpo são os elementos

∨

-irredutíveis do reticulado dos seus ideais deordem). A partir de 1994 M. Gehrke e B. Jónsson usaram esse resultado para estudarextensões canónicas de reticulados distributivos limitados com operadores [14] quedepois generalizaram a operações monótonas [15, 16].

A primeira definição de extensão canónica de reticulados limitados (não neces-sariamente distributivos) foi apresentada em 1998 por J. Harding em [20]. Dado umreticulado limitado, definiu duas álgebras de Boole e uma conexão de Galois entreelas, sendo que o reticulado original corresponde aos elementos estáveis dessa cone-xão de Galois. Se 〈f, g〉 for uma conexão de Galois entre duas álgebras de Boole,então existe um par 〈ϕ, ψ〉 que é uma conexão de Galois entre as extensões canónicasdas álgebras de Boole consideradas. Mais, ϕ e ψ são extensões de f e g. Hardingdefiniu a extensão canónica dum reticulado limitado como sendo o reticulado dos ele-mentos estáveis desta última conexão de Galois. Esta construção tem exactamenteas propriedades desejadas. Trata-se da completação

⟨

e,Lδ⟩

de L que fica determi-nada (a menos de isomorfismo) pelas propriedades: o mergulho é compacto; cadaelemento de L

δ é um ínfimo de supremos e um supremo de ínfimos de elementos dee(L). Contudo, o primeiro trabalho em que se faz um estudo sistemático de propri-edades de extensões canónicas de reticulados não distributivos é o artigo de 2001 deM. Gehrke e J. Harding [13]. Neste último, a construção adoptada baseia-se numaconexão de Galois entre os filtros e os ideais do reticulado original. Estabelece tam-bém algumas condições sob as quais uma variedade de reticulados com operaçõesadicionais contém as suas extensões canónicas. Por exemplo, se for determinadapor equações em que todas as operações envolvidas forem operadores. Tal comono caso distributivo (e no Booleano) também no caso não distributivo a extensãocanónica pode ser obtida através duma dualidade para esta classe de reticulados:


neste caso, a dualidade de Urquhart. De facto, é essa a construção que veremos adi-ante (Teorema 3.2.8). A extensão canónica dum reticulado limitado L é o mergulho⟨

u,GU(L)

⟩

de L no reticulado perfeito GU(L) (que é, de facto, um ∇-reticulado).Neste caso, o mergulho u satisfaz a mesma propriedade de compacidade do casodistributivo, que corresponde à compacidade do espaço de Urquhart U τ (L), mas ascondições que correspondem à densidade do mergulho são agora duas: as condiçõesde separação (ou de desconexidade) do espaço de Urquhart U τ (L): (Disc1) e (Disc2).Usando a caracterização dos elementos

∨

-irredutíveis e dos elementos∧

-irredutíveisdum ∇-reticulado, em função das relações de quasi-ordem no cdo associado, estascondições podem ser reescritas como

j, k ∈ J∞(GU(L)) & j k =⇒ ∃a ∈ L(

k 6 u(a) & j u(a))

,

m, n ∈ M∞(GU(L)) & m n =⇒ ∃b ∈ L(

u(b) 6 m & u(b) n)

.

Em [6], J. M. Dunn, M. Gehrke e A. Palmigiano definiram a extensão canónica deum cpo, de um modo geral, para a qual apresentaram duas construções equivalentes.Em [17], M. Gehrke e H. A. Priestley estudaram uma destas construções no contextoduma hierarquia de completações ∧- ou ∨-dirigidas à imagem do que acontece com ahierarquia de complexidade de sentenças, em função dos quantificadores, em lógicade primeira ordem. Para um reticulado L, a completação ∨-dirigida de L (dadapelo reticulado dos ideais de L) é o elemento Σ0 desta hierarquia; o elemento Π0 é acompletação ∧-dirigida; Σ1 é a completação ∨-dirigida da completação ∧-dirigida,e assim sucessivamente. A extensão canónica foi então identificada como sendoprecisamente o objecto ∆1 desta hierarquia. Assim, e seguindo a sugestão feita nesseartigo (na parte final do segundo parágrafo da página 136), adoptamos adiante anotação L

δ para extensão canónica de L, em vez da anteriormente estabelecida Lσ.

3.2 Definição e propriedades

Relembremos que uma completação de um reticulado L é um par 〈e,C〉 tal que C

é um reticulado completo e e : L C é um mergulho de reticulados.

Definição 3.2.1. Seja L um reticulado limitado e 〈e,C〉 uma completação de L.Um elemento k ∈ C diz-se fechado se existir A ⊆ L tal que k =

∧

e(A); umelemento o ∈ C diz-se aberto se existir A ⊆ L tal que o =

∨

e(A); um elementodiz-se aberto-fechado se for aberto e fechado. Denota-se por K〈e,C〉 o conjunto doselementos fechados e por O〈e,C〉 o conjunto dos elementos abertos.

3.2. Definição e propriedades 75

Resulta desta definição que, se a ∈ L, então e(a) é um aberto-fechado de C. Defacto, se a ∈ L então e(a) =

∧

e(↑a) =∨

e(↓a).

Definição 3.2.2. Seja L um reticulado limitado e 〈e,C〉 uma sua completação.Diz-se que 〈e,C〉 é uma completação compacta se sempre que A ⊆ O〈e,C〉 eB ⊆ K〈e,C〉 forem tais que

∧

B 6∨

A, existirem A′ ⋐ A e B′ ⋐ B tais que∧

B′ 6∨

A′.

Note-se a semelhança entre esta definição e a caracterização de compacidade noTeorema 1.1.2 (3).

Proposição 3.2.3 (Lema 2.4, em [13]). Seja L um reticulado limitado e 〈e,C〉 umasua completação. Então, as seguintes afirmações são equivalentes:

(1) A completação 〈e,C〉 é compacta,

(2) Se S, T ⊆ L, então∧

e(S) 6∨

e(T ) se e só se existirem S ′ ⋐ S e T ′ ⋐ T taisque

∧

e(S ′) 6∨

e(T ′),

(3) Se S, T ⊆ L, então∧

e(S) 6∨

e(T ) se e só se para qualquer filtro F de L equalquer ideal Ide L tais que S ⊆ F e T ⊆ I se verifique F ∩ I 6= ∅.

Proposição 3.2.4. Seja L um reticulado limitado e 〈e,C〉 uma sua completaçãocompacta. Então, para quaisquer F,G ∈ F(L) e I, J ∈ I(L),

(1)∧

e(F ) 6∧

e(G) se e só se G ⊆ F ,

(1∂)∨

e(I) 6∨

e(J) se e só se I ⊆ J .

Demonstração. Comecemos por notar que as implicações recíprocas são sempre váli-das. Demonstremos a implicação directa de (1). Suponhamos que

∧

e(F ) 6∧

e(G).Para a ∈ G,

∧

e(G) 6 e(a) ⇒∧

e(F ) 6 e(a) =∨

e(↓a) ⇒ F∩ ↓a 6= ∅,

e assim, a ∈ F . Logo G ⊆ F .

Definição 3.2.5. Seja L um reticulado limitado e 〈e,C〉 uma completação de L.Diz-se que 〈e,C〉 é uma completação densa se cada elemento de C for um ínfimode supremos e um supremo de ínfimos de elementos de e(L).


Resulta que 〈e,C〉 é uma completação densa se e só se para cada u ∈ C,

u =∨

k ∈ K〈e,C〉 : k 6 u

=∧

o ∈ O〈e,C〉 : u 6 o

,

e nesse caso, J∞(C) ⊆ K〈e,C〉 e M∞(C) ⊆ O〈e,C〉.

Definição 3.2.6. Seja L um reticulado limitado. Uma extensão canónica de L éuma completação densa e compacta de L.

As demonstrações dos resultados no resto desta secção são feitas à custa doestudo feito no Capítulo 2, com excepção do Teorema 3.2.9 (unicidade da extensãocanónica) que é um resultado que não se pode fazer à custa de nenhuma construçãoem particular, mas sim pelas propriedades que definem a extensão canónica.

Recordemos que u : L GU(L) é dado por u(a) = 〈F, I〉 ∈ U(L) : a ∈ F.Assim, se A ⊆ L,

⋂

u(A) =⋂

u(a) : a ∈ A

= 〈G, J〉 ∈ U(L) : ∀a ∈ A (a ∈ G)

= 〈G, J〉 ∈ U(L) : A ⊆ G ,

e analogamente,⋃

u(A) = 〈G, J〉 ∈ U(L) : A ∩G 6= ∅.

Lema 3.2.7. Seja L um reticulado limitado e A ⊆ L.

(1)⋂

u(A) é um conjunto lr-estável,

(2) Se A for um conjunto superiormente dirigido, então⋃

u(A) é um conjuntolr-estável.

Demonstração. Note-se que o resultado é óbvio, se A = ∅. Suponhamos que A 6= ∅.(1) Segue de u(a) ser lr-estável, para cada a ∈ L (cf. Lema 2.2.9) e de a inter-

secção de conjuntos estáveis ser ainda um conjunto estável (cf. Teorema 2.1.12).Para demonstrar (2), comecemos por notar que

r(

⋃

u(A))

=

〈G, J〉 ∈ U(L) : ∀ 〈F, I〉 ∈ U(L)(

〈F, I〉 ∈⋃

u(A) ⇒ J * I)

=

〈G, J〉 ∈ U(L) : ∀ 〈F, I〉 ∈ U(L)(

A ⊆ F ⇒ J * I)

.


Assim, se 〈G, J〉 ∈ U(L) for tal que A ⊆ J , então 〈G, J〉 ∈ r (⋃

u(A)), porque,para 〈F, I〉 ∈ U(L), se A ⊆ J e A ∩ F 6= ∅, então J * I (caso contrário ter-se-ia∅ 6= A ∩ F ⊆ F ∩ I, uma contradição). Notemos também que

lr(

⋃

u(A))

=

〈H,K〉 ∈ U(L) : ∀ 〈G, J〉 ∈ U(L)(

〈G, J〉 ∈ r(

⋃

u(A))

⇒ H * G)

.

Pretende-se então demonstrar que se 〈H,K〉 está nas condições referidas, então〈H,K〉 ∈

⋃

u(A), ou seja, que H ∩ A 6= ∅. Ora se H ∩ A = ∅, então, como Aé um conjunto superiormente dirigido, H ∩ (A] = ∅, e assim existe 〈G, J〉 ∈ U(L)tal que H ⊆ G e A ⊆ J (cf. Lema 2.2.6). Mas assim 〈G, J〉 ∈ r (

⋃

u(A)), umacontradição.

O próximo resultado é demonstrado por Gehrke e Harding em [13], onde sugeremcomo alternativa uma demonstração recorrendo à dualidade de Urquhart, que aquiapresentamos.

Teorema 3.2.8 (Proposição 2.6, em [13]). Seja L um reticulado limitado. Então L

tem uma extensão canónica.

Demonstração. Pelo Teorema 2.3.15, a aplicação u : L → GU(L) é um mergulho dereticulados. Pelo Corolário 2.3.13, GU(L) é um reticulado perfeito, donde completo.Logo,

⟨

u,GU(L)

⟩

é uma completação de L.Para um par filtro-ideal maximal 〈F, I〉 de L,

⋂

u(F ) = 〈G, J〉 ∈ U(L) : F ⊆ G = Ξ(〈F, I〉),

e⋃

u(I) = 〈G, J〉 ∈ U(L) : G ∩ I 6= ∅ = Υ(〈F, I〉).

Como pela Proposição 2.3.10, GU(L) é ∨-gerado por Ξ(z) : z ∈ U(L) e ∧-geradopor Υ(z) : z ∈ U(L), tem-se assim que cada elemento de GU(L) é ínfimo de supre-mos e supremo de ínfimos de elementos de u(L), ou seja,

⟨

u,GU(L)

⟩

é uma comple-tação densa de L.


Para F ∈ F(L) e I ∈ I(L),

F ∩ I = ∅ =⇒ ∃〈G, J〉 ∈ U(L)(

F ⊆ G & I ⊆ J)

(∵ Lema 2.2.6)

=⇒ ∃〈G, J〉 ∈ U(L)(

F ⊆ G & I ∩G = ∅)

=⇒ ∃〈G, J〉 ∈ U(L)(

〈G, J〉 ∈⋂

u(F ) \⋃

u(I))

=⇒⋂

u(F ) *⋃

u(I)

=⇒∧

u(F ) ∨

u(I). (∵ Lema 3.2.7)

Assim, pela Proposição 3.2.3 (3),⟨

u,GU(L)

⟩

é uma completação compacta de L.

Teorema 3.2.9 (Proposição 2.7, em [13]). Quaisquer duas extensões canónicas dumreticulado limitado são isomorfas por um único isomorfismo que permuta com osrespectivos mergulhos.

Observação 3.2.10. Note-se que segue do Teorema 3.2.9 e da construção adoptadana demonstração do Teorema 3.2.8 que a extensão canónica de L é um ∇-reticulado,para qualquer reticulado limitado L.

Notação 3.2.11. Pelo Teorema 3.2.9 a extensão canónica é, a menos de isomor-fismo, única. Ou seja, a extensão canónica não depende da construção adoptada.Assim, daqui em diante, se L for um reticulado limitado e 〈e,C〉 for uma com-pletação densa e compacta de L, dizemos que C é a extensão canónica de L.Normalmente adoptaremos a notação L

δ para designar a extensão canónica de L.Passaremos também a adoptar a notação KL para designar o conjunto de elementosfechados de L

δ (ou apenas K, se não houver risco de ambiguidade); analogamente oconjunto dos elementos abertos será designado por OL (ou O).

Exemplo 3.2.12. O reticulado L na Figura 3.1 é o mesmo da Figura 2.3. A suaextensão canónica L

δ pode ser obtida como o reticulado dos conjuntos lr-estáveisdo cdo U(L) (na Figura 2.3), i.e. considerando e = u; neste caso, o elementoa∞ corresponde ao conjunto lr-estável que, como vimos no Exemplo 2.2.15, não éduplamente fechado, ou seja, ub, uc.

Alternativamente, podemos chegar a essa conclusão seguindo a definição. Assim,a compacidade é fácil de verificar porque todos os ideais de L são principais e oúnico filtro não principal é o conjunto F = 1, a1, a2, . . .. Como

∧

i∈N e(ai) = a∞e a∞ 6

∨

e(I) se e só se existe i0 ∈ N tal que ai0 ∈ I, o mergulho é compacto.


0

1

cba1

a2a3 · · ·

(a) L

e(0)

e(1)

e(c)e(b)e(a1)

e(a2)

e(a3)

a∞

· · ·

(b) Lδ

Figura 3.1: Um reticulado limitado e a sua extensão canónica.

A densidade também é fácil de verificar. De facto, a∞ é o único elemento que nãopertence à imagem de L pelo que é o único para o qual a verificação da densidadenão é trivial; ainda assim a∞ =

∧

i∈N e(ai) é um ínfimo de abertos, e a∞ =∧

e(F ),pelo que é também um fechado e portanto, supremo de fechados.

Note-se que é mais fácil determinar directamente a extensão canónica do reticu-lado do que fazê-lo usando o seu dual de Urquhart.

Note-se também que, como a extensão canónica de um reticulado limitado nãodepende da construção adoptada, e como se tem sempre que o reticulado é mergu-lhável na sua extensão canónica, ou seja, é isomorfo a um sub-reticulado da extensãocanónica, podemos considerá-lo como um seu sub-reticulado; nesse caso, o mergu-lho é dado pela aplicação inclusão. Nas definições e resultados que se seguem, issocorresponde a omitir os mergulhos.

Propriedades das extensões canónicas. Sendo Lδ um ∇-reticulado, para qual-

quer reticulado limitado L, naturalmente que Lδ partilha as propriedades dos ∇-

-reticulados. A fonte principal aqui seguida é [13]. Alguns resultados encontram-setambém demonstrados em [6].

Proposição 3.2.13 (Proposição 3.1, em [13]). Seja L um reticulado limitado. Então(L∂)δ = (Lδ)∂.

Demonstração. Basta ter em conta a construção da extensão canónica dum reticu-lado adoptada no Teorema 3.2.8 e as Observações 2.1.14 e 2.2.7.

O próximo resultado pode naturalmente ser extendido ao produto directo de umnúmero finito de reticulados limitados.


Proposição 3.2.14 (Teorema 2.8, em [6]). Sejam L e M reticulados limitados.Então (L×M)δ = L

δ ×Mδ.

Demonstração. Pelas Proposições 2.2.17 e 2.1.15,

(L×M)δ = GU(L×M)∼= GU(L)∪U(M)

∼= GU(L) ×GU(M) = Lδ ×M

δ.

Proposição 3.2.15 (Lema 3.4, em [13]). Seja⟨

e,Lδ⟩

a extensão canónica do reti-culado limitado L. Então,

(1) j ∈ J∞(Lδ) se e só se j =∧

e(F ), para algum 〈F, I〉 ∈ U(L),

(1∂) m ∈ M∞(Lδ) se e só se m =∨

e(I), para algum 〈F, I〉 ∈ U(L),

e cada elemento de Lδ é o supremo dos elementos∨

-irredutíveis abaixo dele e oínfimo dos elementos

∧

-irredutíveis acima dele.

Demonstração. (1) Sabemos, pela Proposição 2.3.11, que j ∈ J∞(Lδ) se e só sej = Ξ(〈F, I〉), para algum 〈F, I〉 ∈ U(L), e vimos na demonstração do Teorema 3.2.8que Ξ(〈F, I〉) =

⋂

u(F ). O resultado segue então da unicidade da extensão canónica.Em relação à última afirmação, segue do facto de L

δ ser um ∇-reticulado.

Proposição 3.2.16 (Lema 3.3, em [13]). Seja L um reticulado limitado.

(1) O conjunto K dos elementos fechados da extensão canónica de L forma umsub-reticulado de L

δ isomorfo a F(L).

(1∂) O conjunto O dos elementos abertos da extensão canónica de L forma umsub-reticulado de L

δ isomorfo a I(L).

Demonstração. (1) O isomorfismo entre K e F(L) é dado pelo Teorema 2.2.13. Paraprovar que forma um sub-reticulado de L

δ, usamos esse isomorfismo. Comecemospor notar que é claro que o ínfimo de fechados é um fechado, visto que a intersecçãode conjuntos fechados é um conjunto fechado. Para concluir, basta demonstrar que⋂

u(F ) ∨⋂

u(G) =⋂

u(F ∩G), para quaisquer filtros F,G de L. Recordemos que〈G, J〉 ∈

⋂

u(F ) se e só se F ⊆ G e vejamos que

r(

⋂

u(F ))

= 〈H,K〉 ∈ U(L) : F ∩K 6= ∅ . (†)

Se 〈F,K〉 for tal que F ∩ K = ∅, então existe 〈G, J〉 ∈ U(L) tal que F ⊆ G eK ⊆ J , ou seja, 〈G, J〉 ∈

⋂

u(F ) e 〈H,K〉 62 〈G, J〉, pelo que 〈H,K〉 /∈ r (⋂

u(F )).


Reciprocamente, se 〈H,K〉 /∈ r(⋂

u(F )), então existe 〈G, J〉 ∈⋂

u(F ) tal que〈H,K〉 62 〈G, J〉. Assim, F ⊆ G e K ⊆ J ; de F ⊆ G segue que F ∩ J = ∅,e daqui F ∩K = ∅, por se ter K ⊆ J , o que conclui a demonstração de (†).

Para demonstrar que⋂

u(F ) ∨⋂

u(G) =⋂

u(F ∩ G), notemos que a inclusãodirecta segue de

⋂

u(F ),⋂

u(G) ⊆⋂

u(F ∩G), por se ter F ∩G ⊆ F,G. Para provara inclusão recíproca, seja 〈H,K〉 ∈

⋂

u(F ∩G), ou seja, F ∩G ⊆ H e suponhamos,com vista a uma contradição que

〈H,K〉 61 〈M,N〉 ∈ r(

⋂

u(F ) ∪⋂

u(G))

= r(

⋂

u(F ))

∩ r(

⋂

u(G))

,

ou seja, 〈H,K〉 /∈ lr(⋂

u(F ) ∪⋂

u(G)). Desta forma, F ∩ G ⊆ H ⊆ M e, por (†),F∩N,G∩N 6= ∅. Sejam a ∈ F∩N e b ∈ G∩N ; então a∨b ∈ F∩G∩N ⊆M∩N = ∅,o que é uma contradição.

Uma classe de reticulados diz-se uma classe canónica se contiver as extensõescanónicas dos seus membros. O Teorema 3.2.17 mostra que a classe (variedade) dosreticulados distributivos limitados é canónica.

Teorema 3.2.17 (Proposição 3.5, em [13]). Seja L um reticulado limitado distri-butivo. Então,

(1) Lδ é completamente distributivo,

(2) Lδ é algébrico e coalgébrico,

(3) J∞(Lδ) ∼= M∞(Lδ) e estes cpos são directamente completos, ou seja, se D forum subconjunto ∨-dirigido de J∞(Lδ) (respectivamente, de M∞(Lδ)), entãoo supremo de D pertence a J∞(Lδ) (respectivamente, a M∞(Lδ)).

Demonstração. Pelo Teorema 2.5.8, U(L) (cdo-D), e pelo Teorema 2.5.7, nestecaso GU(L) é completamente distributivo, algébrico e coalgébrico. Pelo Teorema 3.2.8,L

δ = GU(L).O isomorfismo entre J∞(Lδ) e M∞(Lδ) é dado pela correspondência j 7→ m,

onde m é o (único) elemento∧

-irredutível que verifica ∇(j,m) (ter em conta aProposição 3.2.15 e a Observação 2.5.9).

Seja D = mk : k ∈ K um conjunto ∨-dirigido de elementos∧

-irredutívels.Para cada mk, existe um ideal primo Jk de L tal que mk =

∧

e(Jk). Seja D ′ = Jk : k ∈ K. Então D ′ é um conjunto ∨-dirigido de ideais (pela Proposição 3.2.4,mi 6 mk se e só se Ji ⊆ Jk). Vejamos que J =

⋃

D ′ é um ideal primo. Se a, b ∈ J ,


então existem k0, k1 ∈ K tais que a ∈ Jk0 e b ∈ Jk1 . Como D ′ é ∨-dirigido, existek2 ∈ K tal que Jk0, Jk1 ⊆ Jk2 . Assim a, b ∈ Jk2 pelo que a ∨ b ∈ Jk2 . Daqui resultaque a ∨ b ∈ J ; como a união de ideais de ordem é ainda um ideal de ordem, J é umideal. Se a ∧ b ∈ J , então existe k0 ∈ K tal que a ∧ b ∈ Jk0 . Como Jk0 é um idealprimo, segue que a ∈ Jk0 ou b ∈ Jk0 e assim, a ∈ J ou b ∈ J . Logo J é um idealprimo. Tome-se m =

∨

e(J). Como J é um majorante de D ′, pela Proposição 3.2.4segue quem é um majorante de D . Vejamos que qualquer fechado p abaixo dem estátambém abaixo do supremo de D , e assim, que m =

∨

D . Se p =∧

e(F ) 6∨

e(J),para um certo filtro F de L, então F ∩ J 6= ∅, pela compacidade do mergulho e.Mas então existe k0 ∈ K tal que F ∩ Jk0 6= ∅ e assim, p 6 mk0 .

O Exemplo 2.5.4 mostra que a classe dos reticulados algébricos não é canó-nica. De facto, como foi observado, trata-se de um reticulado não algébrico (oda Figura 2.9) que é o reticulado dos conjuntos lr-estáveis do cdo dos pares filtro-ideal maximais dum reticulado limitado L, e assim o reticulado representado nafigura mencionada é a extensão canónica de L. Foi também observado que L é umreticulado algébrico. Pelos mesmos motivos, o Exemplo 2.5.11 mostra que a classedos reticulados ∧-semidistributivos também não é canónica.

Outra classe interessante de reticulados que não é canónica é a variedade dosreticulados modulares. Em [20] é apresentado um exemplo de um reticulado modularcuja extensão canónica não é modular. Apesar disso, existem muitas variedades dereticulados que são canónicas. De facto, tem-se como caso particular do Corolário 6.9em [13] que qualquer variedade de reticulados que seja finitamente gerada é canónica.Isso também explica a canonicidade da variedade dos reticulados distributivos, vistoque esta variedade é gerada pelo reticulado com dois elementos.

3.3 Extensões de aplicações

A principal razão que nos leva a fazer o estudo das extensões canónicas de reticuladosé que este nos permita proceder a um estudo semelhante para álgebras com redutode reticulado, ou seja, reticulados com operações adicionais. Consideramos apenasoperações finitárias, i.e. operações de aridade finita. Uma operação adicional dearidade n num reticulado L é uma aplicação f : Ln → L. O estudo da extensão dasoperações adicionais num reticulado à sua extensão canónica pode ser generalizadoao das aplicações entre reticulados (ter em conta que L

n é também um reticulado eque, pela Proposição 3.2.14, (Lδ)n ∼= (Ln)δ).

3.3. Extensões de aplicações 83

A referência usada nesta secção é o artigo [13]. Os resultados são apresentadossem demonstração porque não temos aqui disponíveis os instrumentos que permitamdefinir as extensões de aplicações e estudar as suas propriedades com base em estudossobre dualidade. Por outras palavras, não temos elementos para, tal como na secçãoanterior, produzir demonstrações alternativas àquelas que constam em [13].

Definição 3.3.1. Sejam L e K reticulados limitados,⟨

eL,Lδ⟩

e⟨

eK,Kδ⟩

as suasextensões canónicas e f : L → K uma aplicação. Sejam fσ, fπ : Lδ → Kδ definidaspor

fσ(x) =∨

∧

eK(f(a)) : a ∈ L & k 6 eL(a) 6 o : KL ∋ k 6 x 6 o ∈ OL

,

fπ(x) =∧

∨

eK(f(a)) : a ∈ L & k 6 eL(a) 6 o : KL ∋ k 6 x 6 o ∈ OL

.

Se fσ = fπ, diz-se que f é suave.

Proposição 3.3.2 (Lema 4.2, em [13]). Sejam L e K reticulados limitados,⟨

eL,Lδ⟩

e⟨

eK,Kδ⟩

as suas extensões canónicas e f : L→ K uma aplicação. Então,

(1) Para x ∈ L, fσ(eL(x)) = fπ(eL(x)) = eK(f(x)),

(2) Para x ∈ Lδ, fσ(x) 6 fπ(x).

L K

Lδ

Kδ

f

fσ , fπ

eL eK

Figura 3.2: Uma aplicação entre reticulados estendida às extensões canónicas.

Observação 3.3.3. Se omitirmos os mergulhos eL e eK na Proposição 3.3.2 (con-forme descrito na Notação 3.2.11, ou seja, tomando cada um dos reticulados comosub-reticulados das respectivas extensões canónicas), (1) estabelece que fσ e fπ sãoextensões de f . Da forma como a proposição foi enunciada, (1) estabelece que odiagrama na Figura 3.2 comuta.


Proposição 3.3.4 (Lema 4.3, em [13]). Sejam L e K reticulados limitados,⟨

eL,Lδ⟩

e⟨

eK,Kδ⟩

as suas extensões canónicas e f : L→ K uma aplicação isótona. Então,

(1) fσ(k) =∧

eK(f(a)) : a ∈ L & k 6 eL(a), para k ∈ KL,

(1∂) fπ(o) =∨

eK(f(a)) : a ∈ L & o > eL(a), para o ∈ OL,

(2) fσ(x) =∨

fσ(k) : x > k ∈ KL, para x ∈ Lσ,

(2∂) fπ(x) =∧

fπ(o) : x 6 o ∈ OL, para x ∈ Lσ,

(3) fσ(x) = fπ(x), para x ∈ KL ∪ OL.

Em particular, fσ e fπ são ainda isótonas.

Proposição 3.3.5 (Lema 4.4, em [13]). Sejam L e K reticulados limitados e f : L→K uma aplicação. Então, f é suave em qualquer uma das seguintes circunstâncias:

(1) Se fσ preservar supremos não vazios ou ínfimos ∧-dirigidos,

(1∂) Se fπ preservar ínfimos não vazios ou supremos ∨-dirigidos.

Proposição 3.3.6 (Lema 4.5, em [13]). Sejam K, L, e M reticulados limitados,f : K → L e g : L→M aplicações isótonas. Então,

(1) (gf)σ 6 gσfσ 6 gσfπ e gπfσ 6 gπfπ 6 (gf)π com as igualdades a verificarem-se em KK ∪ OK,

(2) Se gσ preservar supremos ∨-dirigidos, então (gf)σ = gσfσ,

(2∂) Se gπ preservar ínfimos ∧-dirigidos, então (gf)π = gπfπ,

(3) Se fσ preservar ínfimos não vazios, então (gf)σ = gσfσ,

(3∂) Se fπ preservar supremos não vazios, então (gf)π = gπfπ.

Proposição 3.3.7 (Corolário 4.7, em [13]). Sejam K e L reticulados limitados ef : K → L. Então,

(1) Se f preservar supremos finitos, então fσ e fπ preservam supremos não vazios,

(1∂) Se f preservar ínfimos finitos, então fσ e fπ preservam ínfimos não vazios.

Proposição 3.3.8 (Lema 4.9, em [13]). Sejam K e L reticulados limitados e h :K → L um homomorfismo. Então,

(1) h é injectivo se e só se hσ o for se e só se hπ o for,

(2) h é sobrejectivo se e só se hσ o for se e só se hπ o for.

Capítulo 4

Extensões canónicas de álgebras comreduto de reticulado

Dizemos que uma variedade de álgebras com reduto de reticulado é canónica secontiver as extensões canónicas dos seus membros. Para determinar a extensão ca-nónica duma álgebra com reduto de reticulado, precisamos decidir que extensõesusar para cada operação adicional. Mais ainda, se uma operação tiver aridade supe-rior a um, podemos estender essa operação usando a extensão σ numas coordenadase a extensão π noutras.

No caso em que as operações adicionais são monótonas (isto é, isótonas ou antí-tonas em cada coordenada), existe um critério uniforme (mas não obrigatório) quepode ser usado na escolha das extensões: a escolha da extensão de cada operaçãoadicional é feita de forma a que corresponda à extensão σ nas coordenadas em quea operação for isótona, e à extensão π nas coordenadas em que a operação for an-títona. É o que acontece em [13], e daí segue que, pelo Corolário 6.9, qualquervariedade de reticulados com operações monótonas que seja finitamente gerada étambém canónica.

Também de grande importância para o estudo da canonicidade, é saber se asoperações adicionais são suaves, visto que, se o forem, podemos escolher a exten-são que for mais conveniente em cada situação (σ ou π), sabendo que são iguais.Em [21], J. Harding demonstrou que para qualquer variedade finitamente gerada, seas operações adicionais forem monótonas, então são suaves. Em [19], M. J. Gouveiaestendeu este resultado para quaisquer operações, isto é, em qualquer variedade comreduto de reticulado que seja finitamente gerada, as operações adicionais são suaves.

Nos exemplos estudados neste capítulo, existe apenas uma operação adicional,

85

86 4. Extensões canónicas de álgebras com reduto de reticulado

que é unária e antítona. Assim, seguindo [13], consideraremos a extensão π. NaSecção 4.1, faz-se o estudo da canonicidade das classes a seguir consideradas atravésda dualidade de Urquhart, seguindo os passos dados em [8]. Depois, na Secção 4.2,faz-se um estudo um pouco mais alargado, usando a definição abstracta de extensãocanónica, tal como em [2], seguindo-se, na Secção 4.3, o estudo das representaçõesrelacionais para estas classes. Finalmente, na Secção 4.4, faz-se a correspondên-cia entre estas representações relacionais e aquelas que seguem da dualidade deUrquhart.

De entre o conteúdo exposto neste capítulo, apenas a primeira secção não cor-responde a uma contribuição original para este trabalho. O conteúdo das Secções4.2 e 4.3 foi originalmente publicado em [2], no âmbito do trabalho de investigaçãoconducente a esta tese.

Álgebras de negação. Em [8] definem-se as seguintes classes de reticulados ex-pandidos com uma operação unária adicional (ver também Definição 1.2.18):

De Morgan: (PM) & (DNI) & (DNE). (DM)

Ortonegação: (PM) & (DNI) & (DNE) & (Ab). (O)

Pseudocomplementação fraca: (PM) & (DNI) & (Ab). (W)

Pseudocomplementação: (PM) & (DNI) & (Ab) & (PAnt). (P)

Tendo em conta a Proposição 1.2.22 e a Definição 1.2.17, estas classes podem seralternativamente descritas como as classes de álgebras que satisfazem

x 6 ¬y ⇐⇒ y 6 ¬x (QM)

(que pela Proposição 1.2.22 (1) é equivalente a x 6 ¬¬x e ¬ ser antítona), sendo asdiferentes classes distinguidas pelos seguintes conjuntos de fórmulas adicionais

De Morgan: x = ¬¬x. (DM)

Ortonegação: x = ¬¬x & x ∧ ¬x = 0. (O)

Pseudocomplementação fraca: x ∧ ¬x = 0. (W)

Pseudocomplementação: x 6 ¬y ⇐⇒ x ∧ y = 0. (P)

Note-se que todas estas classes são equacionais. De facto, dos axiomas que ascompõem, (PM) é o único que não é uma equação. Pela Proposição 1.2.22 (3), de(PM) e (DNI), segue a identidade ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y, e desta segue (PM).

87

Note-se também que o Corolário 6.9 de [13] não se aplica a nenhuma destasclasses, visto que nenhuma delas é finitamente gerada. Para o justificar, atenda--se a que as álgebras têm reduto de reticulado e portanto os seus reticulados decongruências são sub-reticulados dos reticulados de congruências dos seus redutosde reticulado, e por isso são distributivos, visto que o reticulado de congruências dequalquer reticulado é um reticulado distributivo (ver, por exemplo, Teorema 6.19,em [5]). Assim, (ver Corolário 6.10, em [4]) para cada uma destas variedades,se K for um conjunto finito de álgebras finitas dessa variedade, então as álgebrassubdirectamente irredutíveis da variedade gerada por K pertencem a HS(K), sendoportanto finitas. Mas qualquer destas variedades tem álgebras subdirectamenteirredutíveis infinitas, como segue do próximo exemplo.

Exemplo 4.0.1. (1) Considere-se o reticulado MN na Figura 2.6. Este reticuladoé simples e portanto, qualquer álgebra que o tenha como reduto é tambémsimples, e portanto, subdirectamente irredutível. Defina-se neste reticuladouma operação ¬ fazendo ¬0 = 1, ¬1 = 0, e para n ∈ N, ¬a2n−1 = a2n e¬a2n = a2n−1. A álgebra assim resultante satisfaz os axiomas (PM), (Ab),(DNI) e (DNE), pelo que pertence às classes defindas por (DM), (O) e (W).

(2) Seja L = BN⊕⊤, ou seja, o conjunto suporte de L é ℘(N)∪⊤, em que ⊤ éestritamente maior do que N e de resto, a relação de ordem é a inclusão. Defina--se neste reticulado a operação ¬ de forma que coincida com a complementaçãoem ℘(N) \ ∅, e sendo ¬∅ = ⊤ e ¬⊤ = ∅. A álgebra assim resultantesatisfaz (P) e é subdirectamente irredutível, sendo µ = θ(N,⊤) = N,⊤2∪∆.De facto, T. Katriňák caracteriza as álgebras distributivas subdirectamenteirredutíveis que satisfazem (P) (a que chama p-álgebras distributivas), em [25],Corolário 5.2, como sendo precisamente as que resultam da aposição de umelemento no topo de uma álgebra de Boole, da forma descrita.

O estudo da canonicidade para estas classes de álgebras é, em [8], feito recorrendoà dualidade de Urquhart, ou seja, considerando o dual de Urquhart do reduto dereticulado da álgebra e expandindo esse espaço dual com uma relação binária (queem alguns casos é mesmo uma aplicação) que codifica a negação. A estrutura assimobtida é um dual da extensão canónica da álgebra de negação, visto que nessaestrutura não é considerada a topologia da dualidade de Urquhart.

Os autores definem classes de estruturas duais de forma abstracta e demons-tram que para cada membro (álgebra de negação) duma dada classe de álgebrasde negação, o seu dual satisfaz as propriedades que definem a classe de estruturas


duais dessa classe. Reciprocamente, para cada estrutura relacional assim definida,a correspondente álgebra complexa (a álgebra cujo reduto de reticulado é o con-junto dos conjuntos lr-estáveis do reduto de cdo da estrutura relacional) satisfaz aspropriedades que definem a correspondente classe de álgebras de negação. Mais, de-monstram que cada álgebra de negação é mergulhável no seu duplo dual (a álgebracomplexa do seu dual). Assim, demonstram a canonicidade de cada uma das classes.Esse estudo é apresentado na Secção 4.1.

Em [2] a abordagem para demonstrar a canonicidade do mesmo conjunto declasses de álgebras é diferente. Começa-se por demonstrar que (PM) — ou seja, aantitonicidade da negação — é um axioma canónico; depois demonstra-se que paracada álgebra de negação que satisfaça (PM), se essa álgebra satisfizer outro axiomade entre os que constam na Definição 1.2.17, então a sua extensão canónica tambémo satisfaz. Assim demonstra-se a canonicidade de um conjunto maior de classes deálgebras de negação. Esse estudo é apresentado na Secção 4.2.

De seguida, mas apenas para as classes de álgebras que satisfazem (QM) — ouseja, em que o par 〈¬,¬〉 define uma conexão de Galois no reduto de reticuladoda álgebra, o que inclui todas as classes estudadas em [8] — estabelece-se umadualidade entre as extensões canónicas (de facto, uma classe de álgebras que contémas extensões canónicas) e uma classe de estruturas relacionais com reduto de RS--frame. Esse estudo é apresentado na Secção 4.3.

4.1 Canonicidade e representação pela dualidade deUrquhart

Nesta secção definem-se as estruturas relacionais que são os duais das extensõescanónicas das álgebras de negação, sendo essa dualidade baseada na dualidade deUrquhart para reticulados limitados. São definidas diferentes classes de estruturas,de acordo com os axiomas satisfeitos por diferentes classes de álgebras de nega-ção. As estruturas relacionais que são membros destas classes são genericamentedenominadas de espaços de negação. Um espaço de negação é assim um cdoequipado com uma relação binária (que nalguns casos é uma aplicação). Um espaçode negação diz-se desconexo se o seu reduto de cdo o for.

Cada uma dessas estruturas dá origem a uma álgebra de negação (chamada álge-bra complexa da estrutura) cujas propriedades dependem naturalmente das propri-edades da estrutura relacional. O reduto de reticulado dessa álgebra é o reticuladodos conjuntos lr-estáveis do reduto de cdo da estrutura relacional em questão (cf.

4.1. Canonicidade e representação pela dualidade de Urquhart 89

Teorema 3.2.8). Assim, se a estrutura relacional em questão tiver sido definida àcusta de uma álgebra de negação, a álgebra complexa dessa estrutura tem como re-duto de reticulado a extensão canónica do reduto de reticulado da álgebra original.

Os Teoremas 4.1.5, 4.1.9, 4.1.14 e 4.1.18 mostram que as álgebras de negação decada uma das classes estudadas nesta secção são mergulháveis nas álgebras comple-xas das respectivas estruturas relacionais, e que estas pertencem às mesmas classesque aquelas. Isto não é suficiente para demonstrar a canonicidade das classes deálgebras, de acordo com a definição aqui adoptada (isto é, a negação definida destaforma na álgebra complexa poderia não ser uma das extensões da negação conformea definição de extensão de aplicação no capítulo anterior). Contudo, os Teoremas4.4.8 e 4.4.15 permitem concluir que é isso que acontece, mostrando que essas álge-bras complexas são isomorfas às extensões canónicas obtidas na Secção 4.2.

Reticulados com negação de De Morgan. No caso das álgebras de De Morgan,a negação, para além de satisfazer (QM), é uma involução e os espaços de negaçãotêm uma definição muito simples.

Definição 4.1.1. A classe NDM tem como membros os espaços de negação Z =〈Z,61,62, n〉 em que 〈Z,61,62〉 é um cdo e n : Z → Z satisfaz

n(n(z)) = z, (DM1)

z 61 z′ =⇒ n(z) 62 n(z

′), (DM2)

z 62 z′ =⇒ n(z) 61 n(z

′). (DM3)

Se Z ∈ NDM, então GZ = 〈G (〈Z,61,62〉),∧,∨,∅, Z,¬n〉, onde ∧ e ∨ são as opera-ções explicitadas no Teorema 2.1.12 e

¬nS = z ∈ Z : n(z) ∈ r(S) .

Definição 4.1.2. Se A for uma álgebra de negação satisfazendo (DM), então Nn(A)é a estrutura relacional 〈U(A),61,62, n¬〉, onde 〈U(A),61,62〉 = U(A) e n¬ :U(A) → U(A) é dada por

n¬ : 〈F, I〉 7→ 〈¬I,¬F 〉 .

Lema 4.1.3 (Lema 4.1, em [8]). Seja A uma álgebra de negação. Se A (DM),então Nn(A) ∈ NDM.

Lema 4.1.4 (Lema 4.2, em [8]). Se Z ∈ NDM, então GZ (DM).

Teorema 4.1.5 (Teorema 4.1, em [8]). Seja A uma álgebra de negação satisfazendo(DM). Então A → GNn(A) e GNn(A) (DM).


Reticulados com ortonegação. As álgebras com ortonegação são um caso par-ticular das álgebras de De Morgan. Nesse sentido, os espaços de negação correspon-dentes são também definidos a partir dos espaços NDM, com uma condição adicionalna sua definição.

Definição 4.1.6. A classe NO é a subclasse de NDM definida pelo axioma

∀z ∃z′ (z 61 z′ & n(z) 62 z

′). (DMO)

Lema 4.1.7 (Lema 5.1, em [8]). Seja A uma álgebra de negação. Se A (O), entãoNn(A) ∈ NO.

Lema 4.1.8 (Lema 5.2, em [8]). Se Z ∈ NO, então GZ (O).

Teorema 4.1.9 (Teorema 5.1, em [8]). Seja A uma álgebra de negação satisfazendo(O). Então A → GNn(A) e GNn(A) (O).

Reticulados com pseudocomplementação fraca. Os espaços de negação asso-ciados a álgebras de negação em que a negação é uma pseudocomplementação fracasão, em [8], apresentados como sendo estruturas relacionais Z = 〈Z,61,62, C〉 emque 〈Z,61,62〉 é um cdo e C ⊆ Z × Z satisfaz

xCy& z 61 x =⇒ zCy, (FC1)

xCy& y 62 z =⇒ xCz, (FC2)

∀x ∃y (xCy& x 61 y), (FC3)

xCy =⇒ ∃z (yCz& x 61 z), (FC4)

xCy& y 62 z =⇒ ∃x′(

x 61 x′ & ∀y′ (x′ 62 y

′ ⇒ zCy′))

. (FC5)

Antes de prosseguir o estudo destas estruturas, observemos que (FC2) & (FC4) ⊢(FC5). De facto,

xCy & y 62 z =⇒ xCz (∵ (FC2))

=⇒ ∃x′ (x 61 x′ & zCx′) (∵ (FC4))

=⇒ ∃x′(

x 61 x′ & ∀y′(x′ 62 y

′ ⇒ zCy′))

. (∵ (FC2))

Assim podemos optar por uma definição com menos este axioma, e se necessário,usá-lo como um resultado.

4.1. Canonicidade e representação pela dualidade de Urquhart 91

Definição 4.1.10. A classe NW tem como membros os espaços de negação Z =〈Z,61,62, C〉 em que 〈Z,61,62〉 é um cdo e C ⊆ Z × Z satisfaz (FC1) − (FC4).

Se Z ∈ NW, então GZ = 〈G (〈Z,61,62〉),∧,∨,∅, Z,¬C〉, onde ∧ e ∨ são asoperações explicitadas no Teorema 2.1.12 e

¬CS = z : ∀z′ (zCz′ ⇒ z′ /∈ S) .

Lema 4.1.11 (Lema 6.3, em [8]). Se Z ∈ NW, então GZ (W).

Definição 4.1.12. Se A for uma álgebra de negação satisfazendo (W), então NC(A)é a estrutura relacional 〈U(A),61,62, C¬〉, onde 〈U(A),61,62〉 = U(A) e C¬ ⊆U(A)× U(A) é dada por

〈F, I〉C¬ 〈G, J〉 ⇐⇒ ∀a ∈ A (¬a ∈ F ⇒ a ∈ J).

Lema 4.1.13 (Lema 6.1, em [8]). Seja A uma álgebra de negação. Se A (W),então NC(A) ∈ NW.

Teorema 4.1.14 (Teorema 6.1, em [8]). Seja A uma álgebra de negação satisfazendo(W). Então A → GNC(A) e GNC(A) (W).

Reticulados com pseudocomplementação. A classe dos reticulados com pseu-docomplementação distingue-se da dos que têm pseudocomplementação fraca pora negação, para além de satisfazer (QM), satisfazer uma equivalência, enquantoque os que têm pseudocomplementação fraca satisfazem uma das implicações dessaequivalência. Assim, na definição dos correspondentes espaços de negação, bastaacrescentar uma condição que corresponda à outra implicação.

Definição 4.1.15. A classe NP é a subclasse de NW definida pelo axioma

xCy =⇒ ∃z (x 61 z& y 61 z). (FC6)

Lema 4.1.16 (Lema 7.1, em [8]). Seja A uma álgebra de negação. Se A (P),então NC(A) ∈ NP.

Lema 4.1.17 (Lema 7.2, em [8]). Se Z ∈ NP, então GZ (P).

Teorema 4.1.18 (Teorema 7.1, em [8]). Seja A uma álgebra de negação satisfazendo(P). Então A → GNC(A) e GNC(A) (P).


4.2 Canonicidade pela definição abstracta

De seguida demonstra-se a canonicidade de qualquer subconjunto dos axiomas naDefinição 1.2.17, desde que (PM) esteja incluído nesse conjunto. Demonstra-se aindaque as extensões dos homomorfismos das álgebras de negação são homomorfismoscompletos das extensões canónicas das álgebras originais. Este trabalho foi desen-volvido na Secção 3 de [2]. Antes porém, convém fazer algumas considerações sobreesta imposição, a sua necessidade e as vantagens que daí advêm. Impor a antitonici-dade à operação parece ser uma restrição bastante razoável para uma operação quemodele a negação. No entanto, algumas versões mais fracas do conceito de negaçãopodem também ter interesse. Por exemplo, (Ab), ou seja, x ∧ ¬x = 0 pode, emcertos contextos, ser suficiente para uma operação de negação.

O Exemplo 4.2.1 mostra que escolhendo a extensão ¬π de ¬, o axioma (Ab) nãoé canónico na álgebra de negação aí definida. Note-se que se se tivesse escolhido aextensão ¬σ, então o axioma seria canónico nessa álgebra. No entanto, não o seria nadual de ordem dessa mesma álgebra. Assim, se se quiser fazer um estudo uniformedas classes de álgebras de negação consideradas, convém aceitar a imposição doaxioma (PM) em todas elas.

Exemplo 4.2.1. Seja A a álgebra de negação cujo reduto de reticulado é o reticu-lado L na Figura 3.1, sendo a negação definida por: ¬0 = 1, ¬1 = 0, ¬b = c, ¬c = b,e para ai, i ∈ N, seja ¬ai = b, se i for ímpar, ¬ai = c, se i for par. Aplicando aDefinição 3.3.1, tem-se, para k ∈ K,

¬π(k) =∧

∨

e(¬a) : a ∈ A & k 6 e(a) 6 o : k 6 o ∈ O

.

Seja k0 =∧

i∈N e(ai). Se o ∈ O for tal que k0 6 o então o = e(ai0) e assimk0 6 e(ai0+1) 6 e(ai0) = o. Como ¬ai0 ,¬ai0+1 = b, c, segue que para qualquero ∈ O, se k0 6 o então

∨

e(¬a) : a ∈ A & k0 6 e(a) 6 o > e(b)∨ e(c) = e(1) = 1,e assim, ¬π(k0) = 1. Logo, k0 ∧ ¬π(k0) = k0 6= 0.

Assumindo que a operação de negação é antítona, podemos definir a extensão daoperação de uma forma mais simples, tal como se fosse isótona, ou seja, podemosusar a Proposição 3.3.4 para chegar a uma forma mais simples de obter a extensão.Assim, se f : A∂ → A for tal que f(a) = ¬a, então f é isótona. Seja 6∂ a relaçãode ordem dual de 6, ou seja, a relação de ordem em A

∂. Note-se que KA = OA∂ , e

4.2. Canonicidade pela definição abstracta 93

assim, usando a Proposição 3.3.4, para k ∈ KA,

¬π(k) = fπ(k) =∨

e(f(a)) : a ∈ A & e(a) 6∂ k

=∨

e(¬a) : a ∈ A & k 6 e(a) .

Analogamente, para u ∈ Aδ,

¬π(u) =∧

¬π(k) : u > k ∈ KA .

Com um raciocínio semelhante, tem-se o seguinte resultado, como consequênciada Proposição 3.3.7 e da Proposição 3.3.5.

Corolário 4.2.2. Seja A uma álgebra de negação e I 6= ∅.

(1) Se A ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y, então Aδ ¬π(

∨

i∈I xi) =∧

i∈I ¬π(xi).

(2) Se A ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y, então Aδ ¬π(

∧

i∈I xi) =∨

i∈I ¬π(xi).

Em qualquer dos casos, a negação é uma operação suave.

Assim, nos casos em que a negação satisfaz (QM), é uma operação suave. Logo,é indiferente a extensão que se utiliza. No entanto, podemos demonstrar a canoni-cidade de alguns axiomas mesmo quando apenas supomos, como condição prévia,que a negação é antítona. Nesse caso, precisamos definir que extensão usamos. Éhabitual usar a extensão σ para aplicações isótonas e a extensão π para as antítonas.Desta forma, usamos ¬π em todos os casos.

Teorema 4.2.3 (Proposição 3.6, em [2]). O axioma (PM) é canónico, isto é, se A

for uma álgebra de negação tal que A (PM), então Aδ (PM).

Demonstração. Seja A uma álgebra de negação que satisfaça (PM), e sejam u, v ∈ Aδ

tais que u 6 v. Então,

¬π(v) =∧

¬π(k) : v > k ∈ K

6∧

¬π(k) : u > k ∈ K = ¬π(u).

Os dois resultados que se seguem são casos particulares do Corolário 4.2.2.


Teorema 4.2.4 (Proposição 3.10, em [2]). Seja A uma álgebra de negação satisfa-zendo (PM). Então o axioma (DNI) é canónico em A.

Teorema 4.2.5 (Proposição 3.11, em [2]). Seja A uma álgebra de negação satisfa-zendo (PM). Então o axioma (DNE) é canónico em A.

Lema 4.2.6 (Lema 3.7, em [2]). Seja A uma álgebra de negação tal que

(1) A (PM),

(2) A é ∨-gerada por X ⊆ A,

(3) ¬u =∧

¬k : u > k ∈ X, para cada u ∈ A.

Se k ∧ ¬(k ∧ k′) 6 ¬k′, para quaisquer k, k′ ∈ X, então u ∧ ¬(u ∧ v) 6 ¬v, paraquaisquer u, v ∈ A.

Demonstração. Fixemos u, v ∈ A e suponhamos que k ∧ ¬(k ∧ k′) 6 ¬k′, paraquaisquer k, k′ ∈ X. Seja ku ∈ X, tal que ku 6 u. Então, por (1), ¬(u ∧ k′) 6

¬(ku∧k′), para cada k′ ∈ X. Assim, por hipótese, ku∧¬(u∧k′) 6 ku∧¬(ku∧k

′) 6¬k′, e portanto, para qualquer k′ ∈ X,

∨

ku ∧ ¬(u ∧ k′) : ku 6 u 6 ¬k′. (†)

Por (2), u ∧ ¬(u ∧ k′) =∨

k ∈ X : k 6 u ∧ ¬(u ∧ k′). Para k nestas condições,k 6 ¬(u∧k′) e assim, k = k∧¬(u∧k′). Como se tem também que k 6 u, conclui-se,por (†) que k 6 ¬k′. Logo u ∧ ¬(u ∧ k′) 6 ¬k′.

Seja kv ∈ X tal que kv 6 v. Então u ∧ ¬(u ∧ v) 6 u ∧ ¬(u ∧ kv) 6 ¬kv, donde,por (3),

u ∧ ¬(u ∧ v) 6∧

¬k : v > k ∈ X = ¬v.

Teorema 4.2.7 (Proposição 3.8, em [2]). Seja A uma álgebra de negação satis-fazendo (PM). Então (PAnt) é canónico em A, ou seja, se A (PAnt), entãoA

δ (PAnt). Em particular, o axioma (Ant) é canónico.

Demonstração. Seja e o mergulho de A em Aδ. Comecemos por demonstrar dois

resultados auxiliares:

∀k, k′ ∈ K(

k ∧ ¬π(k ∧ k′) =∨

k ∧ ¬π(e(c)) : c ∈ A & k ∧ k′ 6 e(c))

. (†)

4.2. Canonicidade pela definição abstracta 95

Demonstração de (†). Para cada c ∈ A, se k ∧ k′ 6 e(c), então k ∧ ¬π(e(c)) 6

k ∧ ¬π(k ∧ k′), donde

∨

k ∧ ¬π(e(c)) : c ∈ A & k ∧ k′ 6 e(c) 6 k ∧ ¬π(k ∧ k′).

Reciprocamente

k ∧ ¬π(k ∧ k′) =∨

x ∈ K : x 6 k ∧ ¬π(k ∧ k′) .

Para x nestas condições, x 6 ¬π(k ∧ k′), ou seja,

∧

e(a) : a ∈ A & x 6 e(a) 6∨

¬π(e(c)) : c ∈ A & k ∧ k′ 6 e(c) .

Pela compacidade, existem a0, c0 ∈ A tais que x 6 e(a0), k ∧ k′ 6 e(c0) e a0 6 ¬c0,donde x 6 ¬π(e(c0)); como x 6 k, tem-se ainda x 6 k ∧ ¬π(e(c0)) e portanto,

x 6∨

k ∧ ¬π(e(c)) : c ∈ A & k ∧ k′ 6 e(c) .

∀k, k′ ∈ K, ∀c ∈ A(

k ∧ k′ 6 e(c) ⇒ k ∧ ¬π(e(c)) 6 ¬π(k′))

. (‡)

Demonstração de (‡). Se k ∧ k′ =∧

e(a ∧ b) : a, b ∈ A & k 6 e(a) & k′ 6 e(b) 6

e(c), então pela compacidade, existem a0, b0 ∈ A tais que k 6 e(a0), a0 ∧ b0 6 c ek′ 6 e(b0). Assim, a0 ∧ ¬c 6 ¬b0, donde

∧

e(a) : a ∈ A & k 6 e(a) ∧ ¬π(e(c)) 6∨

¬π(e(b)) : b ∈ A & k′ 6 e(b) ,

ou seja, k ∧ ¬π(e(c)) 6 ¬π(k′).

Demonstremos agora o teorema. Se k, k′ ∈ K, segue de (†) e (‡) que k ∧ ¬π(k ∧k′) 6 ¬π(k′). Logo, pelo Lema 4.2.6, (PAnt) é canónico em A. A última afirmaçãono enunciado resulta da Proposição 1.2.22 (7).

Teorema 4.2.8 (Proposição 3.12, em [2]). Seja A uma álgebra de negação satis-fazendo (PM). Se para algum elemento c ∈ A, se tiver a ∧ ¬a 6 c, para qualquera ∈ A, então dado u ∈ Aδ, u 6 e(c), sempre que u 6 ¬π(u). Em particular, seA (Ab) então A

δ (Ab).


Demonstração. Seja k ∈ K e suponhamos que k 6 ¬π(k). Então

k =∧

e(a) : a ∈ A & k 6 e(a) 6∨

¬π(e(b)) : b ∈ A & k 6 e(b) = ¬π(k).

Pela compacidade, existem a0, b0 ∈ A tais que k 6 e(a0), e(b0) e a0 6 ¬b0. Logoa0 ∧ b0 6 ¬b0 ∧ b0 6 c e assim, k 6 e(c). Seja agora u ∈ Aδ tal que u 6 ¬π(u). Peladensidade de K,

u =∨

k ∈ K : k 6 u 6∧

¬π(k) : u > k ∈ K = ¬π(u).

Assim, para qualquer k ∈ K, se k 6 u então k 6 ¬π(k), donde k 6 e(c). Logou 6 e(c).

Seja agora v ∈ Aδ e seja w = v ∧ ¬π(v). Então w 6 v, donde ¬π(v) 6 ¬π(w)e assim, w 6 ¬π(v) 6 ¬π(w). Logo w 6 e(c). Considerando o caso em que c = 0,obtem-se a canonicidade de (Ab).

Em [7] define-se também o axioma x ∧ ¬x 6 ¬1. Tomando c = ¬1, na demons-tração acima, vemos que este axioma é também canónico, em qualquer álgebra denegação na qual (PM) seja válido.

Corolário 4.2.9 (Corolário 3.14, em [2]). As classes de álgebras definidas por cadaum dos seguintes conjuntos de axiomas são canónicas: (DM), (O), (W) e (P). Mais,são ainda canónicas as classes definidas por (QM), (Ant), (Int), (BA) e mais geral-mente todas as que são definidas por conjuntos de axiomas que estejam no idealgerado por (PM), no reticulado na Figura 1.4.

Canonicidade dos homomorfismos. Tendo estabelecido a canonicidade de cadauma das classes de álgebras referidas no corolário anterior, vemos que também asextensões dos homomorfismos das álgebras às suas extensões canónicas são homo-morfismos (completos) entre estas.

Teorema 4.2.10. Sejam A e B álgebras de negação satisfazendo (PM), e sejah : A → B um homomorfismo. Então hσ : Aδ → B

δ é um homomorfismo completo.Mais, hσ é injectivo se e só se h o for; hσ é sobrejectivo se e só se h o for.

Demonstração. Como h é um homomorfismo, preserva ínfimos e supremos. Logo hé suave e hσ preserva ínfimos não vazios e supremos não vazios (cf. Proposição 3.3.7e Proposição 3.3.5). Assim, hσ é um homomorfismo completo entre os redutos dereticulado de A e B.

4.3. Representação das extensões canónicas das álgebras 97

Como h é um homomorfismo, h ¬ = ¬ h, e precisamos de estender estaigualdade às extensões canónicas, ou seja, mostrar que hσ¬π = ¬πhσ. Recordemosque ¬ é antítona e portanto ¬∂ é isótona; mais, ¬π = ¬∂σ e ¬a = ¬∂a, para qualquera em A ou em B, pelo que h ¬∂ = ¬∂ h. Assim, pela Proposição 3.3.6,

hσ ¬π = hσ ¬∂σ = (h ¬∂)σ = (¬∂ h)σ = ¬∂σ hσ = ¬π hσ.

As últimas afirmações do teorema seguem da Proposição 3.3.8.

4.3 Representação das extensões canónicas das ál-gebras

Vimos, na Secção 1.3, que existe uma correspondência biunívoca entre reticuladosperfeitos e RS-frames. Na Secção 2.4, definimos ∇-reticulados e ∇RS-frames comosendo, naquelas classes, os correspondestes aos cdos desconexos, e portanto, estãotambém em correspondência buinívoca. Aqui essas correspondências são expandidasde reticulados a álgebras de negação, equipando para isso, as RS-frames com umarelação binária que codifica a operação de negação. Este trabalho foi publicadoem [2], na Secção 4.

Definição 4.3.1. Seja A uma álgebra de negação. Diz-se que A é uma álgebra denegação perfeita se o seu reduto de reticulado for um reticulado perfeito e A

(QM); diz-se que uma álgebra de negação perfeita é uma ∇-álgebra de negaçãose o seu reduto de reticulado for um ∇-reticulado.

Se A = 〈A,∧,∨, 0, 1,¬〉 for uma álgebra de negação perfeita, então o seu dual éA+ = 〈J∞(A),M∞(A),6, N¬〉, onde 〈J∞(A),M∞(A),6〉 é a RS-frame dual doseu reduto de reticulado 1 e N¬ ⊆ J∞(L)× J∞(L) é definida por

xN¬x′ ⇐⇒ x 6 ¬x′.

Note-se que se A for uma álgebra de negação perfeita, então como A (QM), opar 〈¬,¬〉 é uma conexão de Galois em A (cf. Proposição 1.2.22 (1)). Assim, pelaProposição 1.2.12 (3),

¬

(

∨

i∈I

ai

)

=∧

i∈I

¬ai,

para qualquer família ai : i ∈ I de elementos de A.

1ou seja 〈J∞(A),M∞(A),6〉 = 〈A,∧,∨, 0, 1〉+, de acordo com a Definição 1.3.9.


Definição 4.3.2. Uma frame de negação é uma estrutura F = 〈X, Y,6, N〉 emque 〈X, Y,6〉 é uma RS-frame eN é uma relação binária simétrica emX satisfazendo

(N [x])ul = N [x].2 (Nul)

Se o reduto de RS-frame duma frame de negação F for uma ∇RS-frame, diz-se queF é uma ∇-frame de negação.

Se F = 〈X, Y,6, N〉 for uma frame de negação, então o seu dual é F+ =〈DM(X ∪ Y ),∩,∨,∅, X,¬N 〉, onde 〈DM(X ∪ Y ),∩,∨,∅, X〉 é o dual do seu re-duto de RS-frame 3 e ¬N é uma relação binária definida nesse reticulado fazendo

¬N(A) =⋂

N [x] : x ∈ A .

Lema 4.3.3. Seja F = 〈X, Y,6, N〉 uma frame de negação. Então,

(1) ¬N (↓x) = N [x], para x ∈ X,

(2) ¬N (A) =∧

¬N(↓x) : x ∈ X & ↓x ⊆ A,

e consequentemente, F+ é uma álgebra.

Demonstração. (1) Por definição, ¬N(↓x) =⋂

N [k] : k 6 x. Seja k 6 x. Usandoo facto de N ser simétrica e (Nul), obtem-se

k′ ∈ N [x] ⇒ x ∈ N [k′] ⇒ k ∈ N [k′] ⇒ k′ ∈ N [k],

ou seja, se k 6 x então N [x] ⊆ N [k]. Assim, N [x] ⊆ ¬N(↓x). A inclusão recíprocaé imediata.

(2) Segue por aplicação directa de (1) e da definição.Por (Nul) e por (1), ¬N (↓ x) é um elemento do reticulado. Assim, como o

reticulado é completo, por (2) ¬N (A) é também um elemento do reticulado, paraqualquer A no reticulado.

Teorema 4.3.4 (Teorema 4.3 em [2]). Seja A uma álgebra de negação perfeita e Fuma frame de negação. Então,

(1) A+ é uma frame de negação,

2onde ()u : X Y : ()l.3ou seja 〈DM(X ∪ Y ),∩,∨,∅, X〉 = 〈X,Y,6〉+, de acordo com a Definição 1.3.9, e A ∨ B =

(Au ∩Bu)l para A,B ∈ DM(X ∪ Y ).


(2) F+ é uma álgebra de negação perfeita,

(3) (F+)+ ∼= F e (A+)+ ∼= A.

Demonstração. Note-se que em todos os itens, a parte que diz respeito aos re-dutos de reticulado e RS-frames seguem por aplicação da Proposição 1.3.11 e daProposição 1.3.12. Resta, portanto, demonstrar a parte respeitante à operação denegação e à relação binária N .

(1) Por (QM), a relação N¬ é simétrica. Temos que provar que (N¬[x])ul = N¬[x].

Por definição,

N¬[x] = j ∈ J∞(A) : x 6 ¬j

= j ∈ J∞(A) : j 6 ¬x = J∞(A)∩ ↓(¬x),

pelo que o resultado segue de se ter, para qualquer a ∈ A,

(↓a ∩ J∞(A))ul = (↑a ∩M∞(A))l =↓a ∩ J∞(A).

(2) Pelo Lema 4.3.3, ¬N é uma operação. Sejam A,B ⊆ DM(X ∪ Y ). Então,

A ⊆ ¬N(B) ⇐⇒ ∀k ∈ B(

A ⊆ N [k])

⇐⇒ ∀k ∈ B, ∀k′ ∈ A(

k′ ∈ N [k])

⇐⇒ ∀k′ ∈ A, ∀k ∈ B(

k ∈ N [k′])

⇐⇒ ∀k′ ∈ A(

B ⊆ N [k′])

⇐⇒ B ⊆ ¬N(A),

donde, pela Proposição 1.2.22 (1), F+ (QM).

(3) Seja F uma frame de negação. Pelo Lema 4.3.3 (1), por (Nul) e a simetriade N e de N¬N

, tem-se que para k, k′ ∈ X,

kNk′ ⇐⇒ ↓k ⊆ N [k′] ⇐⇒ ↓k ⊆ ¬N (↓k′) ⇐⇒ ↓kN¬N

↓k′,

pelo que (F+)+ ∼= F.Seja A uma álgebra de negação. Comecemos por notar que, para cada a ∈ A,

a =∨

j ∈ J∞(A) : j 6 a e ¬a =∧

¬j : a > j ∈ J∞(A) (†)


e o isomorfismo ϕ : A → (A+)+ é dado pela correspondência

a 7→ j ∈ J∞(A) : j 6 a .

Sejam c, d ∈ A, C = ϕ(c) e D = ϕ(d). Queremos demonstrar que c 6 ¬d se e só seC ⊆ ¬N¬

(D). Ora,

c 6 ¬d ⇐⇒ ∀j, k ∈ J∞(A)(

j 6 c & k 6 d ⇒ j 6 ¬k)

(∵ (†))

⇐⇒ C ⊆

j ∈ J∞(A) : ∀k ∈ J∞(A)(

k 6 d ⇒ j 6 ¬k)

=

j ∈ J∞(A) : ∀k ∈ D(

j 6 ¬k)

=⋂

j ∈ J∞(A) : j 6 ¬k : k ∈ D

=⋂

N¬[k] : k ∈ D = ¬N¬(D).

Corolário 4.3.5. Seja A uma ∇-álgebra de negação e F uma ∇-frame de negação.Então,

(1) A+ é uma ∇-frame de negação,

(2) F+ é uma ∇-álgebra de negação,

(3) (F+)+ ∼= F e (A+)+ ∼= A.

Doravante, para simplificar a escrita, referir-nos-emos a N¬ por N e a ¬N por ¬.Para além disso, se A for uma álgebra de negação, A+ = 〈X, Y,6, N〉.

Teorema 4.3.6 (Teorema 4.4 em [2]). Seja A uma álgebra de negação perfeita eA+ a sua frame de negação dual. Então A satisfaz (W) se e só se A+ satisfaz acondição

xNx′ =⇒ ∀k ∈ X(

k 6 x ⇒ k x′)

. (N -W)

Demonstração. Seja A uma álgebra de negação tal que A (W), ou seja, a∧¬a = 0,para qualquer a ∈ A, e sejam j, j′ ∈ X = J∞(A) tais que jNj′. Então j 6 ¬j′,donde j ∧ j′ 6 ¬j′ ∧ j′ = 0. Logo não existe nenhum k ∈ X tal que k 6 j e k 6 j′,ou seja, A+ (N -W).

Reciprocamente, suponhamos que A+ (N -W). Como A é ∨-gerada por X,nestas condições tem-se que se jNj′ então j ∧ j′ = 0. Seja agora a ∈ A. Paraquaisquer j, j′ ∈ X, se j 6 a e j′ 6 ¬a, então j 6 a 6 ¬¬a 6 ¬j′, pelo quej ∧ j′ = 0. Logo não existe k ∈ X tal que k 6 a ∧ ¬a, e assim, a ∧ ¬a = 0.


Observação 4.3.7. Note-se que o Teorema 4.3.6 poderia equivalentemente ser enun-ciado da seguinte forma:

Seja F uma frame de negação e F+ a sua álgebra de negação dual. EntãoF (N -W) se e só se F+ (W).

A equivalência dos dois enunciados deve-se ao Teorema 4.3.4. Assim, não existequalquer preferência pela estrutura que se usa explicitamente no enunciado. Amesma observação é válida para os próximos resultados.

Corolário 4.3.8. Seja A uma ∇-álgebra de negação e A+ a sua ∇-frame de negaçãodual. Então A (W) se e só se A+ (N -W).

Teorema 4.3.9 (Teorema 4.6 em [2]). Seja A uma álgebra de negação perfeita eA+ a sua frame de negação dual. Então A satisfaz (P) se e só se A+ satisfaz acondição

xNx′ ⇐⇒ ∀k ∈ X(

k 6 x ⇒ k x′)

. (N -P)

Demonstração. Se A (P), então A (W), donde, pelo Teorema 4.3.6 , A+

(N -W). Assim, basta-nos demonstrar a implicação recíproca, em (N -P), ou seja,que jNj′, sempre que j, j′ ∈ X forem tais que não exista k ∈ X para o qual k 6 j ek 6 j′. Como A é ∨-gerada por X, existe ki : i ∈ I ⊆ X tal que j ∧ j′ =

∨

i∈I ki.Por hipótese, tem-se necessariamente I = ∅, e assim j ∧ j′ = 0, donde, j 6 ¬j′, por(P) e assim, jNj′.

Reciprocamente, suponhamos que A+ (N -P). Para j, j′ ∈ X,

j ∧ j′ = 0 ⇐⇒ ∀k ∈ X(

k j ∧ j′)

⇐⇒ ∀k ∈ X(

k 6 j ⇒ k j′)

⇐⇒ jNj′ (∵ (N -P))

⇐⇒ j 6 ¬j′.

Como A+ (N -P), A+ (N -W) e pelo Teorema 4.3.6, A (W), ou seja, pelaProposição 1.2.22 (6),

A (

x 6 ¬y =⇒ x ∧ y = 0)

.

Logo, pela Proposição 1.2.22 (10), basta demonstrar que

A (

x ∧ y = 0 =⇒ x 6 ¬y)

.


Para a, b ∈ A,

a ∧ b = 0 =⇒ ∀j, k ∈ X(

j 6 a & k 6 b ⇒ j ∧ k = 0)

=⇒ ∀j, k ∈ X(

j 6 a & k 6 b ⇒ j 6 ¬k)

=⇒ a =∨

j ∈ X : j 6 a 6∧

¬k : b > k ∈ X = ¬b.

Corolário 4.3.10. Seja A uma ∇-álgebra de negação e A+ a sua ∇-frame denegação dual. Então A (P) se e só se A+ (N -P).

Analisando as demonstrações dos teoremas anteriores, vemos que em qualquerdos casos, começou-se por demonstrar que o axioma em questão é válido no conjuntodos elementos

∨

-irredutíveis, e depois usou-se esse facto para demonstrar que oaxioma é válido na álgebra de negação. Essa linha de argumentação não serve para asclasses de álgebras de negação definidas pelos axiomas (DM) e (Ant). Consideremosos exemplos na Figura 4.1. Em A1, o axioma (Ant) é (trivialmente) satisfeito peloselementos ∨-irredutíveis, mas não é satisfeito globalmente na álgebra (por exemploa ∧ b 6 0, mas a ∧ ¬0 ¬b, donde, tendo em conta a Proposição 1.2.22 (7),A1 2 (Ant)). Em A2 \ a, a negação é uma involução (i.e. ¬¬x = x), masa < ¬¬a.

0 = ¬1 = ¬a = ¬b

1 = ¬0

ba

(a) A1

0 = ¬1

1 = ¬0

a

bc

d

¬a

¬b ¬c ¬d¬¬a

(b) A2

Figura 4.1: Exemplos em que um axioma não é válido apesar de o ser para oselementos

∨

-irredutíveis.

No caso destes dois axiomas foi então necessário recorrer a argumentos diferentes.Comecemos pelo caso de (Ant) e notemos que embora este axioma seja válido emJ (A1), o mesmo não acontece com (PAnt). Pode, inicialmente, dar a impressão queeste facto contraria a definição de (Ant),4 visto que (Ant) ⊢ (PAnt). No entanto, esta

4por definição, (Ant) é a conjunção dos axiomas (PM) e (PAnt).


relação não é válida em qualquer conjunto, e em particular, o conjunto dos elementos∨-irredutíveis de A1 não é fechado para a operação de ínfimo. Por outro lado, basta--nos que o axioma (PAnt) seja verificado para que o mesmo se passe com (Ant), emqualquer álgebra de negação perfeita, visto que (QM) é sempre válido nestas álgebras.Essa abordagem serve, de facto, para resolver o problema em relação a este axioma,como segue do próximo resultado.

Teorema 4.3.11 (Teorema 4.8 em [2]). Seja A uma álgebra de negação perfeita eA+ a sua frame de negação dual. Então A satisfaz (Ant) se e só se A+ satisfaz acondição

k 6 x &(

k′ 6 x & k′ 6 x′ ⇒ kNk′)

=⇒ kNx′. (N -Ant)

Demonstração. Pelo Lema 4.2.6, basta demonstrar que X = J∞(A) (PAnt) se esó se A+ (N -Ant).

Sejam j, j′ ∈ X e suponhamos que A+ (N -Ant). Como, para quaisquer j, j′ ∈X, ¬(j ∧ j′) =

∧

¬k : j ∧ j′ > k ∈ X, tem-se

(

k 6 j & k 6 j′ ⇒ k′Nk)

⇐⇒ k′ 6 ¬(j ∧ j′). (†)

Logo, se para qualquer k′ ∈ X, se tiver

k′ 6 j & k′ 6 ¬(j ∧ j′) =⇒ k′ 6 ¬j′,

então X (PAnt) e portanto A (Ant).Reciprocamente, se X (PAnt), segue por (†) que A+ (N -Ant).

Corolário 4.3.12. Seja A uma ∇-álgebra de negação e A+ a sua ∇-frame denegação dual. Então A (Ant) se e só se A+ (N -Ant).

No caso de (DM), notemos que tal como em qualquer álgebra de negação perfeita¬(∨

i∈I ai)

=∧

i∈I ¬(ai), sendo esta igualdade devida à presença de (PM) e (DNI),dualmente, tendo (DNE), em álgebras de negação perfeitas satisfazendo (DM), éválida a igualdade

¬

(

∧

i∈I

ai

)

=∨

i∈I

¬ai.

Daqui resulta que a negação dum elemento∨

-irredutível é um elemento∧

-irre-dutível e vice-versa (dualmente). De facto, se a ∈ A não for

∧

-irredutível, então


a =∧

m ∈ M∞(A) : a < m, donde

¬a = ¬(

∧

m ∈ M∞(A) : a < m)

=∨

¬m : a > m ∈ M∞(A)

=∨

¬m : ¬m < ¬a ,

e assim ¬a não é∨

-irredutível. Logo o resultado observado segue de se ter a = ¬¬a.Nestas condições, a solução encontrada para codificar a operação de negação dumaálgebra de negação perfeita A no seu dual, foi a de acrescentar condições a satisfazerpor A+ que garantam que a negação dum elemento

∨

-irredutível seja um elemento∧

-irredutível, e dualmente, que todo o elemento∧

-irredutível seja a negação dumelemento

∨

-irredutível.

Teorema 4.3.13 (Teorema 4.9 em [2]). Seja A uma álgebra de negação perfeita eA+ a sua frame de negação dual. Então A satisfaz (DM) se e só se A+ satisfaz ascondições

x 6 x′ ⇐⇒ N [x] ⊇ N [x′], (N -DM (1))

∀x ∈ X(

∨

N [x] ∈ Y)

, (N -DM (2))

∀y ∈ Y, ∃x ∈ X(

∨

N [x] = y)

. (N -DM (3))

Demonstração. Suponhamos que A (DM) e sejam k, j ∈ X = J∞(A).

k 6 j ⇐⇒ ¬j 6 ¬k

⇐⇒∨

N [j] 6∨

N [k] ⇐⇒ N [j] ⊆ N [k],

e portanto A+ (N -DM (1)). Como ¬j ∈ M∞(A) = Y , para qualquer j ∈J∞(A) = X, (N -DM (2)) segue do facto antes observado que em qualquer álgebrade negação perfeita satisfazendo (DM), a negação dum elemento

∨

-irredutível é umelemento

∧

-irredutível. O axioma (N -DM (3)) segue por um raciocínio dual.


Suponhamos agora que A+ (N -DM (1)) − (N -DM (3)), e tomemos a ∈ A.

¬(¬a) =∧

¬k : ¬a > k ∈ X

=∧

¬k :∧

¬j : a > j ∈ X > k ∈ X

=∧

¬k : k ∈ X & ∀j ∈ X(

j 6 a ⇒ k 6 ¬j)

=∧

¬k : k ∈ X & ∀j ∈ X(

j 6 a ⇒ j 6 ¬k)

=∧

¬k : k ∈ X & a 6 ¬k

=∧

m ∈ Y : a 6 m = a,

onde a penúltima igualdade segue dos axiomas (N -DM (2)) e (N -DM (3)).

Corolário 4.3.14. Seja A uma ∇-álgebra de negação e A+ a sua ∇-frame denegação dual. Então A (DM) se e só se A+ (N -DM (1)) − (N -DM (3)).

Observação 4.3.15. Note-se que na condição (N -DM (3)) o elemento x ∈ X queexiste nas condições enunciadas é único, sempre que (N -DM (1)) seja também válida.De facto, se

∨

N [x] =∨

N [x′] = y, então, por (Nul), N [x] = N [x′] e assim, por(N -DM (1)), x = x′.

Observação 4.3.16. Na demonstração do Teorema 4.3.13, para ver que a negaçãoé uma involução, não se fez uso do axioma (N -DM (1)). Isso sugere que este axiomaé consequência de (N -DM (2)) e (N -DM (3)), em qualquer frame de negação. Defacto, se x, x′ ∈ X forem tais que x x′, então existe y ∈ Y tal que x′ 6 y e x y(Observação 1.3.6). Seja k ∈ X tal que

∨

N [k] = y (por (N -DM (3))). Então,por (Nul), x′ ∈ N [k] e x /∈ N [k]. Como N é simétrica, k ∈ N [x′] \ N [x], e assim,N [x′] * N [x]. A outra implicação é válida em qualquer frame de negação.

Representação dos homomorfismos. Recordemos que existe uma dualidadeentre reticulados perfeitos com homomorfismos completos e RS-frames com morfis-mos que são pares de relações binárias satisfazendo as condições da Definição 1.3.28.Por esta dualidade, para um homomorfismo completo h : L → K, tem-se h(j) =∧

Rh[j] para j ∈ J∞(L). Recordemos também que ¬j =∨

N [j].

Teorema 4.3.17 (Teorema 4.13, em [2]). Sejam A e B álgebras de negação perfeitase h : A → B uma aplicação. Seja 〈Rh, Sh〉 um par de relações definidas nas RS--frames A+ = 〈J∞(A),M∞(A),6, NA〉 e B+ = 〈J∞(B),M∞(B),6, NB〉 por

jRhm ⇐⇒ h(j) 6 m e nShk ⇐⇒ k 6 h(n),


para quaisquer j ∈ J∞(A), k ∈ J∞(B), m ∈ M∞(B), n ∈ M∞(A). Então hé um homomorfismo completo se e só se o par 〈Rh, Sh〉 satisfaz as condições daDefinição 1.3.28 e para qualquer j ∈ J∞(A),

∨

∧

Rh[k] : kNAj

=∧

∨

NB[x] :∧

Rh[j] > x

. (N -Hom)

Demonstração. Se o par 〈Rh, Sh〉 definido como no enunciado satisfizer as condiçõesda Definição 1.3.28, então, pelos resultados que precedem essa definição, h é umhomomorfismo completo de reticulados.

Para ver que h é compatível com a operação de negação, observemos que, paraj ∈ J∞(A),

h(¬j) =∨

h(k) : ¬j > k ∈ J∞(A) =∨

∧

Rh[k] : kNAj

e

¬h(j) =∧

¬x : h(j) > x ∈ J∞(B) =∧

∨

NB[x] :∧

Rh[j] > x

,

e portanto h(¬j) = ¬h(j) segue da condição (N -Hom). Tomemos agora um elementoarbitrário a ∈ A. Então

a =∨

j ∈ J∞(A) : j 6 a e ¬a =∧

¬j : a > j ∈ J∞(A) ,

pelo que

h(¬a) =∧

h(¬j) : a > j ∈ J∞(A)

=∧

¬h(j) : a > j ∈ J∞(A)

= ¬(

∨

h(j) : a > j ∈ J∞(A))

= ¬h(a).

No caso de h : A → B ser um homomorfismo completo sobrejectivo, segue daLema 1.3.29 que

∨

R−1h [n] ∈ M∞(A) para qualquer n ∈ M∞(B) e

∧

S−1h [k] ∈

J∞(A) para qualquer k ∈ J∞(B).

Corolário 4.3.18 (Corolário 4.14, em [2]). Sejam A e B álgebras de negação per-feitas e h : A→ B uma aplicação. Seja 〈Rh, Sh〉 como no Teorema 4.3.17 e 〈rh, sh〉um par de aplicações, rh : M∞(B) → M∞(A) e sh : J∞(B) → J∞(A), definidaspor

rh(n) =∨

R−1h [n] e sh(k) =

∧

S−1h [k],

4.4. Correspondência entre as representações 107

satisfazendo as condições da Proposição 1.3.30. Então h é um homomorfismo so-brejectivo se e só se para qualquer j ∈ J∞(A),

∨

s−1h (x) : xNAj

=∧

∨

NB[k] : s−1h (j) > k

. (N -Hom′)

Demonstração. Pela Proposição 1.3.31, nestas condições h é um homomorfismo com-pleto e sobrejectivo de reticulados perfeitos e h(x) =

∨

k ∈ J∞(B) : x > sh(k).Assim, para ver que h é compatível com a operação de negação, basta ter em contao Teorema 4.3.17 e o facto de se ter que, nestas condições,

s−1h (x) =

∨

k ∈ J∞(B) : s−1h (x) > k

=∨

k ∈ J∞(B) : x > sh(k)

= h(x) =∧

Rh[x].

4.4 Correspondência entre as representações

Em [8] demonstra-se que, para cada uma das quatro classes consideradas — reti-culados com negação de De Morgan, reticulados com ortocomplementação, reticu-lados com pseudocomplementação fraca e reticulados com pseudocomplementação—, cada álgebra de negação é mergulhável na álgebra complexa do seu espaço dual(cf. Secção 4.1). Assim, obtem-se uma dualidade para cada classe e demonstra-seque as classes são canónicas. Na Secção 4.2 demonstra-se (seguindo [2]) tambémque essas classes são canónicas (e não apenas essas) e obtem-se uma dualidade paraessas classes com base nas extensões canónicas das suas álgebras. Tendo-se obtidoos mesmos resultados, mas seguindo métodos diferentes, levanta-se naturalmente aquestão de como é que estas se relacionam.

Note-se que pela metodologia adoptada na Secção 4.1 temos dois tipos de duali-dade: uma para reticulados com negação de De Morgan e outra para reticulados compseudocomplementação fraca, enquanto que na Secção 4.2 a abordagem é uniforme.Assim, na correspondência entre as duas representações relacionais temos tambémque considerar os dois casos.

Reticulados com negação de De Morgan. Para os reticulados com negaçãode De Morgan (incluindo os que têm ortonegação), o espaço de negação construídona Secção 4.1 é um cdo equipado com uma aplicação satisfazendo (DM1)–(DM3)


(e (DMO), no caso da ortonegação), enquanto que na Secção 4.2 a frame de nega-ção é uma RS-frame com uma relação binária simétrica satisfazendo (N -DM (1))–(N -DM (3)) (e (N -W), no caso da ortonegação). Assim, ao longo dos próximosresultados, definimos para cada frame de negação F associada a estas álgebras, umaaplicação do universo de Z(F) em si próprio, e para cada espaço de negação Zuma relação binária em Ω(Z). Estas estruturas são definidas com as propriedadesadequadas a que Z(F) equipado com a aplicação seja um espaço de negação satis-fazendo (DM1)–(DM3) (e (DMO), se F (N -W)) e Ω(Z) equipada com a relaçãobinária seja uma frame de negação satisfazendo (N -DM (1))–(N -DM (3)) (e (N -W),se Z (DMO)).

Proposição 4.4.1. Seja F = 〈X, Y,6, N〉 uma ∇-frame de negação satisfazendo(N -DM (1)) − (N -DM (3)) e 〈Z,61,62〉 = Z(〈X, Y,6〉). A correspondência n :Z → Z dada por 〈u, v〉 7→ 〈u∗,

∨

N [u]〉, onde u∗ é tal que∨

N [u∗] = v, é umaaplicação.

Demonstração. Por (N -DM (2)),∨

N [u] ∈ Y , sempre que u ∈ X; por (N -DM (3)),e pela Observação 4.3.15, para cada v ∈ Y existe um e um só u∗ ∈ X tal que∨

N [u∗] = v. Resta provar que ∇(u∗,∨

N [u]), sempre que ∇(u, v).

u v =∨

N [u∗] =⇒ u /∈ N [u∗]

=⇒ u∗ /∈ N [u] (∵ N é simétrica)

=⇒ u∗ ∨

N [u]. (∵ (Nul))

Seja u′ ∈ X, v′ =∨

N [u′].

u′ < u∗ =⇒ N [u∗] ⊂ N [u′] (∵ (N -DM (1)))

=⇒ v < v′ (∵ (Nul))

=⇒ u 6 v′ =∨

N [u′] (∵ ∇(u, v))

=⇒ uNu′ (∵ (Nul))

=⇒ u′ ∈ N [u] ⇒ u′ 6∨

N [u].

Analogamente, para qualquer v′ ∈ Y , se∨

N [u] < v′, então u∗ 6 v′.

Definição 4.4.2. Para uma ∇-frame de negação F = 〈X, Y,6, N〉 satisfazendo(N -DM (1)) − (N -DM (3)) e 〈Z,61,62〉 = Z(〈X, Y,6〉) o seu cdo associado, Z(F)


é a estrutura 〈Z,61,62, nN 〉, onde nN : Z → Z é a aplicação dada por

〈u, v〉 7→⟨

u∗,∨

N [u]⟩

,

sendo u∗ escolhido de forma a que∨

N [u∗] = v.

Proposição 4.4.3. Seja F uma ∇-frame de negação. Se F satisfaz (N -DM (1)) −(N -DM (3)), então Z(F) ∈ NDM. Mais, se F (N -W), então Z(F) ∈ NO.

Demonstração. Precisamos de mostrar que Z(F) satisfaz as condições (DM1) −(DM3). Demonstramos (DM1) e (DM2); (DM3) é dual de (DM2).

Para demonstrar (DM1), note-se que nN(nN (〈u, v〉)) = 〈u∗∗, v〉, onde∨

N [u∗∗] =∨

N [u]. Por (Nul), segue-se que N [u∗∗] = N [u], e assim, por (N -DM (1)), u∗∗ = u.Se 〈u, v〉 61 〈u′, v′〉 então u′ 6 u e assim, por (N -DM (1)), N [u] ⊆ N [u′]. Logo

∨

N [u] 6∨

N [u′] e portanto,

nN (〈u, v〉) =⟨

u∗,∨

N [u]⟩

62

⟨

u′∗,∨

N [u′]⟩

= nN(〈u′, v′〉).

Logo Z(F) satisfaz (DM2).Demonstremos agora que Z(F) (DMO), assumindo que F (N -W). Seja

〈u, v〉 ∈ Z. Por (N -W), u /∈ N [u], donde, por (Nul), u ∨

N [u]. Como 〈X, Y,6〉 éuma ∇RS-frame, existem u0 ∈ X, v0 ∈ Y tais que u0 6 u, ∇(u0, v0) e

∨

N [u] 6 v0.O par 〈u0, v0〉 está nas condições requeridas em (DMO).

Definição 4.4.4. Para um espaço de negação desconexo Z = 〈Z,61,62, n〉 ∈NDM e 〈X, Y,6〉 = Ω(〈Z,61,62〉) a sua RS-frame associada, Ω(Z) é a estrutura〈X, Y,6, Nn〉, onde Nn ⊆ X2 é dada por

Nn[Ξ(u)] = Ξ(v) : v ∈ Υ(n(u)) .

Proposição 4.4.5. Seja Z ∈ NDM. Se Z for desconexo então Ω(Z) é uma ∇--frame de negação que satisfaz (N -DM (1)) − (N -DM (3)). Mais, se Z ∈ NO entãoΩ(Z) (N -W).

Demonstração. Para demonstrar que Nn é uma relação simétrica, basta provar quese v ∈ Υ(n(u)), então u ∈ Υ(n(v)). Ora, se v ∈ Υ(n(u)), então para qualquer z ∈ Z

n(v) 62 z =⇒ v 61 n(z) (∵ (DM1) & (DM3))

=⇒ n(u) 2 n(z) (∵ v ∈ Υ(n(u)))

=⇒ u 1 z, (∵ (DM2))


e assim u ∈ Υ(n(v)).A condição (Nul) pode ser reescrita como

v∗ /∈ Υ(n(u)) =⇒ ∃w0 ∀v(

(v ∈ Υ(n(u)) ⇒ v ∈ Υ(w0)) & v∗ /∈ Υ(w0))

,

ou seja, se Ξ(v∗) /∈ Nn[Ξ(u)] então existe w0 tal que Υ(w0) é majorante de Nn[Ξ(u)]mas não de Ξ(v∗). Ora se v∗ /∈ Υ(n(u)) então existe w0 tal que v∗ 61 w0 e n(u) 62 w0.Assim,

v ∈ Υ(n(u)) ⇐⇒ n(u) ∈ Υ∂(v) (∵ Proposição 2.3.7)

⇐⇒ w0 ∈ Υ∂(v) (∵ n(u) 62 w0)

⇐⇒ v ∈ Υ(w0). (∵ Proposição 2.3.7)

Como v∗ 61 w0 tem-se que v∗ /∈ Υ(w0).Antes de demonstrar (N -DM (2)) e (N -DM (3)), observemos que Ξ(v) ∈ Nn[Ξ(u)]

se e só se Ξ(v) ⊆ Υ(n(u)), e portanto,∨

Nn[Ξ(u)] = Υ(n(u)). Assim, para provar(N -DM (2)), ou seja que para qualquer u ∈ Z existe w ∈ Z tal que

∨

Nn[Ξ(u)] =Υ(w), basta tomar w = n(u); analogamente, para provar (N -DM (3)), ou sejaque para qualquer w ∈ Z existe u ∈ Z tal que

∨

Nn[Ξ(u)] = Υ(w), basta to-mar u = n(w), donde w = n(u). A Observação 4.3.16 garante-nos assim que acondição (N -DM (1)) é também satisfeita.

Admitindo que Z satisfaz (DMO), suponhamos, com vista a uma contradição,que Ω(Z) não satisfaz (N -W), ou seja, existem u, v, w ∈ Z tais que Ξ(u)NnΞ(v),Ξ(w) ⊆ Ξ(u) e Ξ(w) ⊆ Ξ(v). Daqui resulta que u 61 w, v 61 w e u ∈ Υ(n(v)).Por (DMO) existe z0 tal que w 61 z0 e n(w) 62 z0 (ou ainda, w 61 n(z0)). Assimtem-se por um lado que u 61 z0, donde z0 ∈ Υ(n(v)); por outro lado v 61 n(z0),donde n(v) 62 z0, uma contradição com z0 ∈ Υ(n(v)).

Observação 4.4.6. Na demonstração acima vimos que∨

Nn[Ξ(u)] = Υ(n(u)) e∨

Nn[Ξ(n(u))] = Υ(u).

Teorema 4.4.7. (1) Seja Z ∈ NDM. Se Z for desconexo, então Z(Ω(Z)) ∼= Z.

(2) Seja F uma ∇-frame de negação. Então Ω(Z(F)) ∼= F.

Demonstração. Os isomorfismos são dados pelas correspondências usadas nas de-monstrações dos Teoremas 2.4.9 e 2.4.10, ou seja, se F′ for o reduto de RS-framede F, então, pelo Teorema 2.4.10, F′ ∼= Ω(Z(F′)) e se Z ′ for o reduto de cdo de Z,


então, pelo Teorema 2.4.9, Z ′ ∼= Z(Ω(Z ′)), onde os isomorfismos são dados pelascorrespondências Ψ = 〈ψX , ψY 〉 : F → Ω(Z(F)) e Φ : Z → Z(Ω(Z)), em que

ψX(x) = Ξ(〈x, yx〉), ψY (y) = Υ(〈xy, y〉), e Φ(z) = 〈Ξ(z),Υ(z)〉 ,

onde yx é, para cada x ∈ X, escolhido de forma a que ∇(x, yx) e xy é, para caday ∈ Y , escolhido de forma a que ∇(xy, y). Assim, resta demonstrar que estasaplicações preservam a relação que codifica a negação.

(1) Precisamos demonstrar que Φ(n(z)) = nNn(Φ(z)), para qualquer z ∈ Z. Pela

Definição 4.4.2,

nNn(Φ(z)) = nNn

(〈Ξ(z),Υ(z)〉) =⟨

Ξ(t),∨

Nn[Ξ(z)]⟩

,

em que t ∈ Z é escolhido de forma a que∨

Nn[Ξ(t)] = Υ(z). Pela Observação 4.4.6,segue que Υ(n(t)) = Υ(z) e assim, n(t) ↔2 z, donde, por (DM1) − (DM3),

n(t) 62 z =⇒ t 61 n(z)

z 62 n(t) =⇒ n(z) 61 t,

e portanto Ξ(t) = Ξ(n(z)). Como também∨

Nn[Ξ(z)] = Υ(n(z)) (Observação 4.4.6),

Φ(n(z)) = 〈Ξ(n(z)),Υ(n(z))〉 = nNn(Φ(z)).

(2) Precisamos demonstrar que xNx′ se e só se ψX(x)NnNψX(x

′), para quais-quer x, x′ ∈ X. Sejam j, j′ ∈ X e m,m′ ∈ Y tais que ∇(j,m) e ∇(j′, m′). PelaDefinição 4.4.4,

ψX(j)NnNψX(j

′) ⇐⇒ Ξ(〈j,m〉)NnNΞ(〈j′, m′〉)

⇐⇒ 〈j′, m′〉 ∈ Υ(nN (〈j,m〉)) = Υ(

j∗,∨

N [j])

,

em que∨

N [j∗] = m. Assim,

ψX(j)NnNψX(j

′) ⇐⇒ ∀〈u, v〉(⟨

j∗,∨

N [j]⟩

62 〈u, v〉 ⇒ 〈j′, m′〉 1 〈u, v〉)

⇐⇒ ∀〈u, v〉(

∨

N [j] 6 v ⇒ u j′)

.


Daqui resulta que ψX(j)NnNψX(j

′) se e só se j′ 6∨

N [j] em que a implicaçãodirecta segue de

j′ ∨

N [j] =⇒ ∃〈u, v〉(

u 6 j′ & ∇(u, v) &∨

N [j] 6 v)

,

e a recíproca de a conjunção de desigualdades

u 6 j′ & j′ 6∨

N [j] &∨

N [j] 6 v,

implicar, por transitividade, que u 6 v, e assim 〈u, v〉 /∈ Z(F). Finalmente, por(Nul), j′ 6

∨

N [j] se e só se jNj′.

Teorema 4.4.8. Sejam Z = 〈Z,61,62, n〉 ∈ NDM, desconexo e F = 〈X, Y,6, N〉uma ∇-frame de negação tais que Ω(Z) ∼= F. Então GZ

∼= F+.

Demonstração. Pelo Teorema 2.4.12, os redutos de reticulado de GZ e F+ são iso-morfos. Temos que provar que, a menos deste isomorfismo, as negações coincidem.

Seja j ∈ J∞(F+). Pela Definição 4.3.1, ¬Nj =∨

N [j]. A menos de isomorfismo,j = Ξ(u), para algum u ∈ Z e assim, pela Observação 4.4.6,

¬Nj =∨

N [Ξ(u)] = Υ(n(u)).

Pela Definição 4.1.1,¬nΞ(u) = z : n(z) ∈ r(Ξ(u)) .

Queremos então provar que Υ(n(u)) = z : n(z) ∈ r(Ξ(u)). Ora,

Υ(n(u)) =

z : ∀v(

n(u) 62 v ⇒ z 1 v)

=

z : ∀v(

u 61 n(v) ⇒ n(z) 2 n(v))

=

z : ∀w(

u 61 w ⇒ n(z) 2 w)

= z : n(z) ∈ r(Ξ(u)) .

Seja agora A ∈ F+. Pelo Lema 4.3.3 e pelo que acabámos de verificar,

¬NA =∧

¬Nj : j 6 A

=⋂

z : n(z) ∈ r(Ξ(u)) : u ∈ A .

Por outro lado, pela Definição 4.1.1,

¬nA = z : n(z) ∈ r(A) .


Ora, se n(z) /∈ r(A), existe u ∈ A tal que n(z) 62 u e assim n(z) /∈ r(Ξ(u)).Daqui resulta que ¬NA ⊆ ¬nA. Reciprocamente, se u ∈ A então Ξ(u) ⊆ A, donder(A) ⊆ r(Ξ(u)). Assim, se n(z) ∈ r(A), então n(z) ∈ r(Ξ(u)), sempre que u ∈ A.Daqui resulta que ¬NA ⊇ ¬nA.

Logo ¬N = ¬n e as álgebras de negação são isomorfas.

Em particular, se A (DM) então (em GNn(A)) ¬n¬= ¬π e assim, na primeira

secção, a álgebra complexa do dual de A é a extensão canónica de A, no mesmosentido que na segunda secção.

Reticulados com pseudocomplementação fraca. No caso das álgebras de ne-gação com pseudocomplementação fraca, o dual obtido a partir de RS-frames tem amesma estrutura que o das outras classes. No entanto, o dual obtido via dualidadede Urquhart tem uma estrutura diferente: em vez de uma aplicação do cdo nelepróprio, trata-se de uma relação binária satisfazendo (FC1)–(FC4) (e (FC6), no casoda pseudocomplementação). A correspondência é pois obtida pela definição de umarelação binária à custa da outra (uma numa RS-frame e outra num cdo).

Definição 4.4.9. Para uma ∇-frame de negação F = 〈X, Y,6, N〉 e 〈Z,61,62〉 =Z(〈X, Y,6〉) o seu cdo associado, Z(F) é a estrutura 〈Z,61,62, CN〉, em que CN éa relação binária em Z dada por

〈x, y〉CN 〈x′, y′〉 ⇐⇒ ∀ 〈j,m〉 ∈ Z(F)(

xNj ⇒ j 6 y′)

.

Proposição 4.4.10. Se F for uma ∇-frame de negação satisfazendo (N -W), entãoZ(F) ∈ NW. Mais, se F (N -P), então Z(F) ∈ NP.

Demonstração. Demonstramos as condições (FC1) − (FC4), começando por rees-crevê-las na linguagem das frames de negação, de acordo com a Definição 4.4.9.

∀ 〈x1, y1〉 , 〈x2, y2〉 , 〈x3, y3〉(

∀ 〈x′, y′〉 (x1Nx′ ⇒ x′ 6 y2) & x3 > x1

=⇒ ∀〈x′′, y′′〉 (x3Nx′′ ⇒ x′′ 6 y2)

)

. (FC1)

Sejam 〈u1, v1〉 , 〈u2, v2〉 , 〈u3, v3〉 ∈ Z(F) e suponhamos que u1 6 u3 e para cada〈u′, v′〉 ∈ Z(F), se u1Nu′, então u′ 6 v2. Se 〈u′′, v′′〉 for tal que u3Nu′′, então por(Nul) e por ser u1 6 u3, tem-se u1Nu′′, donde, por hipótese, u′′ 6 v2.

∀ 〈x1, y1〉 , 〈x2, y2〉 , 〈x3, y3〉(

∀ 〈x′, y′〉 (x1Nx′ ⇒ x′ 6 y2) & y2 6 y3

=⇒ ∀〈x′′, y′′〉 (x1Nx′′ ⇒ x′′ 6 y3)

)

. (FC2)


Sejam 〈u1, v1〉 , 〈u2, v2〉 , 〈u3, v3〉 ∈ Z(F) e suponhamos que v2 6 v3 e para cada〈u′, v′〉 ∈ Z(F), se u1Nu′, então u′ 6 v2. Se 〈u′′, v′′〉 for tal que u1Nu′′, então porhipótese, u′′ 6 v2, donde, por transitividade, u′′ 6 v3.

∀ 〈x1, y1〉 ∃ 〈x2, y2〉(

x1 > x2 & ∀ 〈x′, y′〉 (x1Nx′ ⇒ x′ 6 y2)

)

. (FC3)

Seja 〈u1, v1〉 ∈ Z(F). Suponhamos, com vista a uma contradição, que u1 6∨

N [u1].Então u1Nu1 e assim, tomando x = x′ = k = u1, em (N -W), tem-se xNx′, k 6 x ek 6 x′, uma contradição. Assim, como F é uma ∇-frame de negação, existe 〈u2, v2〉tal que

u2 6 u1 & ∇(u2, v2) &∨

N [u1] 6 v2.

Então u1 > u2 e se 〈u′, v′〉 for tal que u1Nu′, então u′ 6∨

N [u1] 6 v2.

∀ 〈x1, y1〉 , 〈x2, y2〉(

∀ 〈x′, y′〉 (x1Nx′ ⇒ x′ 6 y2)

=⇒ ∃〈x3, y3〉(

∀ 〈x′′, y′′〉 (x2Nx′′ ⇒ x′′ 6 y3) & x1 > x3

)

)

. (FC4)

Sejam 〈u1, v1〉 , 〈u2, v2〉 ∈ Z(F) e suponhamos que para cada 〈u′, v′〉 ∈ Z(F), seu1Nu

′, então u′ 6 v2. Se u1 6∨

N [u2], então u1Nu2 e assim, u2 6 v2, umacontradição. Então existe 〈u3, v3〉 tal que

u3 6 u1 & ∇(u3, v3) &∨

N [u2] 6 v3.

Se 〈u′′, v′′〉 ∈ Z(F) for tal que u2Nu′′, então u′′ ∈ N [u2], pelo que u′′ 6∨

N [u2] 6 v3.Admitindo que F (N -P), vejamos que Z(F) (FC6):

∀ 〈x1, y1〉 , 〈x2, y2〉(

∀ 〈x′, y′〉 (x1Nx′ ⇒ x′ 6 y2)

=⇒ ∃〈x3, y3〉 (x1 > x3 & x2 > x3))

. (FC6)

Sejam 〈u1, v1〉 , 〈u2, v2〉 ∈ Z(F) e suponhamos que para cada 〈u′, v′〉 ∈ Z(F), seu1Nu

′, então u′ 6 v2. Então u2 /∈ N [u1] visto que u2 v2. Assim, por (N -P), existeu3 ∈ X tal que u3 6 u1 e u3 6 u2. Como 〈X, Y,6〉 é uma ∇RS-frame, por (∇RS1)existe v3 ∈ Y tal que ∇(u3, v3). O par 〈u3, v3〉 está nas condições requeridas.

Definição 4.4.11. Para um espaço de negação desconexo Z = 〈Z,61,62, C〉 ∈ NW

e 〈X, Y,6〉 = Ω(〈Z,61,62〉) o seu cdo associado, Ω(Z) é a estrutura 〈X, Y,6, NC〉,onde NC é a relação binária em X dada por

Ξ(u)NCΞ(v) ⇐⇒ ∀z ∈ Z(

uCz ⇒ v 1 z)

.


Proposição 4.4.12. Se Z ∈ NW e for desconexo, então Ω(Z) é uma ∇-frame denegação satisfazendo (N -W). Mais, se Z ∈ NP, então Ω(Z) (N -P).

Demonstração. Seja Z = 〈Z,61,62, C〉 ∈ NW, desconexo. Então 〈Z,61,62〉 é umcdo desconexo e assim, pelo Teorema 2.4.4, Ω(〈Z,61,62〉) é uma ∇RS-frame. Restaassim provar que NC tal como na Definição 4.4.11 é uma relação binária simétricatal que Ω(Z) satisfaz (Nul) e (N -W).

Suponhamos, com vista a uma contradição, que existem u, v ∈ Z tais queΞ(u)NCΞ(v), mas não Ξ(v)NCΞ(u). Então,

∀z(uCz ⇒ v 1 z) & ∃z0(vCz0 & u 61 z0). (†)

Como vCz0, por (FC4),∃t(z0Ct & v 61 t). (‡)

Por (FC1) e por (†),

z0Ct & u 61 z0 =⇒ uCt =⇒ v 1 t,

em contradição com (‡). Logo NC é simétrica.Para provar que Ω(Z) satisfaz (Nul), seja v∗ ∈ Z tal que Ξ(v∗) /∈ NC [Ξ(u)] e

demonstremos que

∃w0

(

∀v(

Ξ(v) ∈ NC [Ξ(u)] ⇒ Ξ(v) ⊆ Υ(w0))

& Ξ(v∗) * Υ(w0))

.

Por definição, se Ξ(v∗) /∈ NC [Ξ(u)], então existe w0 ∈ Z tal que

uCw0 & v∗ 61 w0. (⋆)

Suponhamos, com vista a uma contradição, que Ξ(v) ∈ NC [Ξ(u)] mas v /∈ Υ(w0).Então,

∀z(uCz ⇒ v 1 z), (>)

∃z0(w0 62 z0 & v 61 z0). ()

Por (⋆), (>), () e (FC2),

uCw0 & w0 62 z0 =⇒ uCz0 =⇒ v 1 z0,

em contradição com (). De v∗ 61 w0, segue v∗ /∈ Υ(w0), donde Ξ(v∗) * Υ(w0).


Demonstremos agora que Ω(Z) (N -W). Suponhamos, com vista a uma con-tradição, que Ξ(u)NCΞ(v) e existe w tal que Ξ(w) ⊆ Ξ(u) e Ξ(w) ⊆ Ξ(v). Então,como Nul

C = NC ,

Ξ(w) ⊆ Ξ(v) ∈ NC [Ξ(u)] ⇒ Ξ(w) ∈ NC [Ξ(u)].

Por (FC3),∃z0(wCz0 & w 61 z0). ()

Pela definição de NC ,

Ξ(w)NCΞ(u) & wCz0 ⇒ u 1 z0.

De Ξ(w) ⊆ Ξ(u) resulta que u 61 w, donde w 1 z0, em contradição com ().Finalmente, suponhamos que Z (FC6) e demonstremos que Ω(Z) (N -P).

Note-se que só precisamos de provar a implicação recíproca.

Ξ(v) /∈ NC [Ξ(u)] =⇒ ∃z0 (uCz0 & v 61 z0)

=⇒ ∃z0 ∃t0 (u 61 t0 & z0 61 t0 & v 61 z0) (∵ (FC6))

=⇒ ∃t0(

Ξ(t0) ⊆ Ξ(u) & Ξ(t0) ⊆ Ξ(v))

.

Lema 4.4.13. Seja Z ∈ NW. Então Z satisfaz a seguinte condição.

xCy =⇒ ∀z(

∀x′ (xCx′ ⇒ z 1 x′) ⇒ ∀y′ (y 62 y

′ ⇒ z 1 y′))

. (FC→)

Se Z = NC(A), para alguma álgebra de negação A, então Z satisfaz a seguintecondição.

xCy ⇐⇒ ∀z(

∀x′ (xCx′ ⇒ z 1 x′) ⇒ ∀y′ (y 62 y

′ ⇒ z 1 y′))

. (FC↔)

Demonstração. Sejam Z ∈ NW, u, v, w ∈ Z e suponhamos que uCv e

∀u′ ∈ Z (uCu′ ⇒ w 1 u′). (†)

Seja v′ ∈ Z tal que v 62 v′. Por (FC2),

uCv & v 62 v′ ⇒ uCv′,

donde, por (†), w 1 v′. Logo,

∀v′ ∈ Z (v 62 v′ ⇒ w 1 v

′),


e portanto Z (FC→).Suponhamos agora que Z = NC(A), para uma certa álgebra de negação A.

Recordemos que, por definição de C,

xCy ⇐⇒ ∀a ∈ A (¬a ∈ xF ⇒ a ∈ yI),

onde x = 〈xF , xI〉 e y = 〈yF , yI〉. Como Z (FC→), para demonstrar que Z (FC↔)basta demonstrar a implicação recíproca desta condição, o que fazemos por contra--recíproco. Sejam u, v ∈ Z tais que 〈u, v〉 /∈ C. Sejam uF , vF ∈ F(A), uI , vI ∈ I(A)tais que u = 〈uF , uI〉 e v = 〈vF , vI〉. Então, como 〈u, v〉 /∈ C,

∃a0 ∈ A (¬a0 ∈ uF & a0 /∈ vI).

Como a0 /∈ vI , pelo Lema 2.2.6, existe w = 〈wF , wI〉 ∈ Z tal que [a0) ⊆ wF evI ⊆ wI . Seja u′ = 〈u′F , u

′I〉 ∈ Z. Se w 61 u

′, então a0 ∈ u′F e portanto a0 /∈ u′I .Como ¬a0 ∈ uF e a0 /∈ u′I , conclui-se que 〈u, u′〉 /∈ C. Logo,

∀u′ ∈ Z (uCu′ ⇒ w 1 u′).

Como vI ⊆ wI , v 62 w. Logo

∃v′ ∈ Z (v 62 v′ & w 61 v

′)

(bastando, para isso, tomar v′ = w). Assim, se Z = NC(A), então Z satisfaz acondição

〈x, y〉 /∈ C =⇒ ∃z(

∀x′ (xCx′ ⇒ z 1 x′) & ∃y′ (y 62 y

′ & z 61 y′))

.

Logo Z (FC↔).

Note-se que dado um espaço de negação Z ∈ NW, embora (FC→) seja válida emZ, nem sempre (FC↔) o é. Considere-se, por exemplo, o cdo Z na Figura 4.2 e seja Ca relação dada pelas setas curvas e mais finas. A verificação de que Z (FC1)−(FC4)é uma simples rotina (facilitada pelo facto de só haver duas coberturas no cdo).Logo Z ∈ NW. No entanto, Z 2 (FC↔), porque 〈v, v〉 /∈ C, apesar de Z satisfazer aseguinte condição

∀z(

∀x′(vCx′ ⇒ z 1 x′) ⇒ ∀y′(v 62 y

′ ⇒ z 1 y′))

.

A validade da condição acima resulta de ser uma implicação na qual o antecedenteé sempre falso, i.e.

∀z∃x′(vCx′ & z 61 x′).

Para ver que assim é, basta ter em conta que vCu e u 61 u, vCu e v 61 u, e vCw ew 61 w.


uv

w

Figura 4.2: Espaço de negação que não satisfaz (FC↔).

Teorema 4.4.14. (1) Seja Z ∈ NW. Se Z for desconexo e Z (FC↔), entãoZ(Ω(Z)) ∼= Z.

(2) Seja F uma ∇-frame de negação satisfazendo (N -W). Então Ω(Z(F)) ∼= F.

Demonstração. Os isomorfismos são dados pelas mesmas aplicações que na demons-tração do Teorema 4.4.7. Com o mesmo argumento que nessa demonstração, pas-samos directamente à verificação de que as correspondências preservam as relaçõesque codificam a operação de negação.

(1) Precisamos demonstrar que xCy se e só se Φ(x)CNCΦ(y). Para u, v ∈ Z,

Φ(u)CNCΦ(v) ⇐⇒ 〈Ξ(u),Υ(u)〉CNC

〈Ξ(v),Υ(v)〉

⇐⇒ ∀w ∈ Z(

Ξ(u)NCΞ(w) ⇒ w ∈ Υ(v))

⇐⇒ ∀w ∈ Z(

∀u′ ∈ Z (uCu′ ⇒ w 1 u′)

⇒ ∀v′ ∈ Z (v 62 v′ ⇒ w 1 v

′))

,

e assim o resultado segue de (FC↔).

(2) Precisamos demonstrar que xNx′ se e só se ψX(x)NCNψX(x

′). Dados j, j′ ∈X e m,m′ ∈ Y tais que ∇(j,m) e ∇(j′, m′),

ψX(j)NCNψX(j

′)

⇐⇒ ∀〈k, n〉 ∈ Z(F)(

〈j,m〉CN 〈k, n〉 ⇒ 〈j′, m′〉 1 〈k, n〉)

⇐⇒ ∀〈k, n〉 ∈ Z(F)(

∀ 〈k′, n′〉 ∈ Z(F) (jNk′ ⇒ k′ 6 n) ⇒ k j′)

⇐⇒ ∀〈k, n〉 ∈ Z(F)(

∨

N [j] 6 n ⇒ k j′)

.

Resta demonstrar que esta última expressão é equivalente a jNj′. Ora se jNj′ entãoj′ 6

∨

N [j], donde, se∨

N [j] 6 n então j′ 6 n e assim, k j′, sempre que ∇(k, n).Reciprocamente, se j′ /∈ N [j] então j′

∨

N [j] e portanto existem k ∈ X, n ∈ Ytais que k 6 j′, ∇(k, n) e

∨

N [j] 6 n.

Teorema 4.4.15. Sejam Z = 〈Z,61,62, C〉 ∈ NW, desconexo e F = 〈X, Y,6, N〉uma ∇-frame de negação tais que Ω(Z) ∼= F. Então GZ

∼= F+.


Demonstração. Pelo Teorema 2.4.12, os redutos de reticulado de GZ e F+ são iso-morfos. Temos que provar que, a menos deste isomorfismo, as negações coincidem.

Seja j ∈ J∞(F+). Pela Definição 4.3.1, ¬Nj =∨

N [j]. A menos de isomorfismo,j = Ξ(u), para algum u ∈ Z e assim, ¬Nj =

∨

N [Ξ(u)]. Pela Definição 4.1.10,

¬CΞ(u) =

z : ∀z′(

zCz′ ⇒ z′ /∈ Ξ(u))

=

z : ∀z′(

zCz′ ⇒ u 1 z′)

=∨

Ξ(z) : ∀z′(

zCz′ ⇒ u 1 z′)

,

em que a última igualdade segue pelo facto de, se A for um conjunto lr-estável, entãoA =

∨

Ξ(a) : a ∈ A. Assim,

¬CΞ(u) =∨

Ξ(z) : Ξ(z)NΞ(u) (∵ Definição 4.4.11)

=∨

N−1[Ξ(u)] =∨

N [Ξ(u)]. (∵ N é simétrica)

Logo ¬Nj = ¬Cj.Seja agora A ∈ F+. Pelo Lema 4.3.3 e pelo parágrafo anterior,

¬NA =∧

¬NΞ(u) : u ∈ A =⋂

¬CΞ(u) : u ∈ A

=⋂

z : ∀z′(

zCz′ ⇒ u 1 z′)

: u ∈ A

.

Pela Definição 4.1.10,

¬CA =

z : ∀z′(

zCz′ ⇒ z′ /∈ A)

.

Seja z ∈ ¬CA, ou seja, para qualquer z′ ∈ Z, se zCz′ então z′ /∈ A. Se existe u ∈ Atal que zCz′ e u 61 z

′, então, como A é 61-crescente, zCz′ e z′ ∈ A, uma contradição.Logo ¬CA ⊆ ¬NA. Reciprocamente, suponhamos que z ∈ ¬NA, ou seja, paraqualquer z′ ∈ Z e para qualquer u ∈ A, se zCz′ então u 1 z

′. Suponhamos queexiste z0 ∈ A tal que zCz0. Pela hipótese, para qualquer u ∈ A, se zCz0 entãou 1 z0. Em particular, z0 1 z0, uma contradição. Logo ¬NA ⊆ ¬CA.

Pelo teorema anterior, para cada álgebra de negação A satisfazendo (W), tem-seGNn(A) = A

δ, ou seja, a álgebra complexa obtida na primeira secção coincide coma que foi obtida por meios abstractos na segunda.

No último parágrafo da secção 6, em [8], é levantada uma questão muito na-tural. A classe de álgebras que satisfazem (O) é a intersecção da classe das que


satisfazem (DM) com a das álgebras que satisfazem (W). Especificamente, pode serobtida acrescentando o axioma (Ab) aos que definem a classe definida por (DM) ouacrescentando o axioma (DNE) aos que definem a classe definida por (W). Nessesentido, a dualidade para (O), foi obtida acrescentando o axioma (DMO) aos axio-mas (DM1) − (DM3), que definem o espaço dual da classe (DM). Mas a dualidadepara (O) poderia também ser obtida com base nos axiomas (FC1) − (FC4), ou seja,uma dualidade para álgebras de negação satisfazendo (DM) com base em espaços denegação na classe NW. Que axiomas deveriam ser acrescentados a estes quatro (deforma a obter uma dualidade para as álgebras satisfazendo (DM))?

O Corolário 4.3.14, juntamente com o método de trocar entre ambos os sistemaspermite uma resposta fácil para este problema no caso em que o reduto de cdo doespaço de negação é desconexo.

Proposição 4.4.16. Seja Z = 〈Z,61,62, C〉 ∈ NW um espaço de negação desco-nexo. Então Ω(Z) (N -DM (1))−(N -DM (3)) se e só se Z satisfizer as condições:

∀x ∃y(

Θ(x, y))

, (FC-DM2)

∀x ∃y(

Θ(y, x))

, (FC-DM3)

sendo Θ(x, y) a expressão

∀z(

∀x′ (zCx′ ⇒ x 1 x′) ⇐⇒ ∀y′ (y 62 y

′ ⇒ z 1 y′))

. (Θ(x, y))

Demonstração. Note-se que, seguindo a Definição 4.1.10, Θ(x, y) se e só se ¬Ξ(x) =Υ(y). Assim, a condição (FC-DM2) é equivalente à condição (N -DM (2)) e a con-dição (FC-DM3) é equivalente à condição (N -DM (3)). O resultado segue então daObservação 4.3.16.

Observação 4.4.17. Em [8], os espaços de negação são definidos como cdos equi-pados com uma relação binária no conjunto suporte que codifica a negação. Não éexigido que o cdo seja desconexo. No entanto, uma vez que o cdo dos pares filtro--ideal maximais de um reticulado limitado é desconexo, a dualidade estudada em [8]poderia igualmente ter sido feita considerando sempre cdos desconexos.

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122

Índice

álgebra, 5congruência, 5homomorfismo, 5i-ésima projecção, 6imagem homomorfa, 5isomorfismo, 5mergulho, 5mergulho subdirecto, 6monolito, 6produto directo, 6produto subdirecto, 6simples, 6sub-álgebra, 5subdirectamente irredutível, 6tipo de álgebras, 5

aridade, 5universo, 5variedade, 6variedade finitamente gerada, 6

álgebra de Boole, 10álgebra de negação, 14

∇-álgebra de negação, 97perfeita, 97

anti-cadeia, 2aplicação

antítona, 2isótona, 2monótona, 2suave, ver extensão canónica

cadeia, 2categoria, 4

dualidade, 4functor, 4functor contravariante, 4functor covariante, 4

isomorfismo, 4morfismo, 4

composição, 4identidade, 4

objecto, 4cdo, 36

conjunto duplamente fechado, 41conjunto lr-estável, 39conjunto rl-estável, 39desconexo, 47espaço de Urquhart, 41espaço duplamente ordenado, 41

desconexo, 41completação

compacta, 75de Dedekind–MacNeille, 14densa, 75elemento aberto, 74elemento aberto-fechado, 74elemento fechado, 74extensão canónica, 76

aplicação suave, 83classe canónica, 81

∨

-irredutível, 8conceito formal, 26conexão de Galois, 12, 22, 39conjunto duplamente ordenado, 36conjunto parcialmente ordenado, ver cpoconjunto quasi-ordenado, ver cqocontexto formal, 26

atributos, 26clarificado, 28contexto padrão, 28objectos, 26reduzido, 28

123

relação de incidência, 26tabela de incidências, 27

cpo, 1átomo, 2comprimento, 2conjunto inferiormente dirigido, 2conjunto superiormente dirigido, 2filtro de ordem, 2ideal de ordem, 2largura, 2produto directo, 2soma linear, 2

cqo, 1aplicação antítona, 2aplicação isótona, 2aplicação monótona, 2quociente, 2

espaço de Priestley, 9espaço de Urquhart, 41espaço topológico, ver topologiaespaços de negação, 88extensão canónica, ver completação

filtro, 8

ideal, 8∧-irredutível, 8

operador de fecho, 12

polaridade, 26

reduto, 14relação

de quasi-ordem, 1polaridade, 19relação binária, 19

reticulado, 7álgebra de Boole, 10algébrico, 12atómico, 8atomístico, 8coalgébrico, 12coatómico, 8coatomístico, 8

completamente distributivo, 65completo, 11distributivo, 9

espaço de Priestley, 9espaco dual, 9

duplamente fundado, 60elemento

compacto, 11∨

-irredutível, 8∧-irredutível, 8∨-irredutível, 8

filtro, 8filtro primo, 8filtro principal, 8filtro próprio, 8I-maximal, 37

ideal, 8ideal primo, 8ideal principal, 8ideal próprio, 8F -maximal, 37

∧-semidistributivo, 11limitado, 8modular, 11∇-reticulado, 59operador, 21operador completo, 21operador dual, 21operador dual completo, 21par filtro-ideal, 37par filtro-ideal maximal, 37perfeito, 21semidistributivo, 11sub-reticulado completo, 11∨-semidistributivo, 11

RS-frame, 21frame de negação, 98∇-frame de negação, 98∇RS-frame, 55relação de operador, 23relação de operador dual, 24

S-frame, 19∨-irredutível, 8

124

topologia, 2aplicação contínua, 3base, 3cobertura aberta, 3conjunto aberto, 2conjunto aberto-fechado, 2conjunto fechado, 2espaço compacto, 3espaço de Priestley, 9espaço topológico discreto, 2espaços homeomorfos, 3homeomorfismo, 3sub-base, 3sub-cobertura finita, 3

125

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