01

30º

Y

X F1 = 20N

a = 12 m/s2

Exercícios:

1. Duas forças 1ˆ ˆ(3 ) (4 )F N i N j e 2

ˆ ˆ( 1 ) (2 )F N i N j puxam um determinado corpo. (a)

Determine o vetor força resultante F1 + 2F ; (b) Representa, em uma figura, os vetores F1 , 2F e

o resultante F1 + 2F .

a) 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ(3 1) ( 4 2) (2 ) (6 )F F i j N i N j

b)

2. Se o corpo padrão de 1 kg possuir uma aceleração de 2,00 m/s2 inclinada de 20º em

relação ao sentido positivo do eixo x, então qual será (a) a componente x e (b) a

componente y da força resultante que age sobre ele, e (c) qual é a força resultante da

notação de vetor unitário?

a) m = 1 kg

xm.a . cos 20º 1.2.cos20ºxR m a

1,88xR N

b) . 20º 1.2. 20º 0,68y y yR ma m a sen sen R N

c) ˆ ˆ(1,88 ) (0,68 )R N i N j

3. Duas forças horizontais agem sobre um bloco de 2,0 kg que pode deslizar sobre um

balcão de cozinha sem atrito, que está posicionado em um plano xy. Uma força é ˆ ˆF = (3,0N)i +(4,0N)j1 . Ache a aceleração do bloco na notação de vetor unitário quando a

outra força for (a) ˆ ˆF = (-3,0N)i +(-4,0N)j2 , (b) ˆ ˆF = (-3,0N)i +(4,0N)j2 , (c) ˆ ˆF = (3,0N)i +(-4,0N)j2 .

2m kg , 1ˆ ˆ(3 4 )F i j N

a) 2ˆ ˆ( 3 4 )F i j N

ˆ ˆ. (3 3) (4 4) . 0F m a i j m a a

b) 2

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 4 ) (3 3) (4 4) 2. (4 ) /F i j i j a a j m s

c) 2

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(3 4 ) (3 3) (4 4) 2. (3 ) /F i j i j a a i m s

3

4

6

1

2F1F

RF

02

4. Enquanto duas forças agem sobre ela, uma partícula tem que se mover com velocidade

constante ˆ ˆv = (3m/s)i - (4m/s)j . Uma das forças é ˆ ˆF = (2N)i +(-6N)j1 . Qual é a outra força?

v constante 0 0a F , 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ(2 ) ( 6 ) ( 2 ) (6 )F N i N j F N i N j

5. Três forças agem sobre uma partícula que se move com velocidade constante ˆ ˆV = (2m/s)i - (7m/s)j . Duas das forças são ˆˆ ˆF = (2N)i +(3N)j+(-2N)k1 e ˆˆ ˆF = (-5N)i +(8N)j+(-2N)k2 .

Qual é a terceira força?

v constante 0 0a F , 1ˆˆ ˆ(2 3 2 ) ,F i j k N

2 3ˆˆ ˆ ˆ ˆ( 5 8 2 ) (3 11 4 )F i j k N F i j k N

6. Três astronautas, impulsionados por backpacks a jato, empurram e guiam um asteróide de

120kg em direção a uma plataforma de processamento, exercendo as forças mostradas na

figura abaixo. Qual é a aceleração do asteróide (a) na notação de vetor unitário e como (b)

um módulo e (c) uma direção?

x xF ma 32 cos30º 55 41cos60º 120. xa

a) 20,86 /xa m s

32 30º 41 60º 120.y yF ma sen sen ay

20,162 /ay m s

2ˆ ˆ(0,86 0,162 ) /a i j m s

b) 2 2 2 2 2(0,86) (0,162) 0,87 /x ya a a m s

c) 0,162

10,67º0,86

tg

7. Há duas forças atuando sobre a caixa de 2,0 kg vista de cima na figura abaixo, mas

apenas uma é mostrada. A figura mostra também a aceleração da caixa. Ache a Segunda

força (a) na notação de vetor unitário e como (b) um módulo e (c) uma direção.

32 N

55 N

41 N

30º

60º

Y

X

y

x

a

03

2 ,m kg 1ˆ(20 )F N i ,

a)

2ˆ ˆ ˆ ˆ30 cos30º ( 6 10,39 ) /a a sen i a j a i j m s

1 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . 20 2( 6 10,39 ) ( 32 20,78 )F m a F F m a i F i j F i j N

b)

8. Um bloco pesando 3,0N está em repouso sobre uma superfície horizontal. Uma força para

cima de 1,0N é aplicada ao bloco por meio de uma corda vertical presa a ele. Qual o

módulo, a direção e o sentido da força que o bloco exerce sobre a superfície horizontal?

3 ,bP N 1T N

0 0 3 1 2y bF T N P n N para cima

2n N , na direção vertical e sentido para baixo.

9. Uma partícula possui um peso de 22N em um ponto onde g = 9,8 m/s2. Quais são (a) o

seu peso e (b) a sua massa em um ponto onde g = 4,9 m/s2? Quais são (c) o seu peso e (d)

a sua massa se ela for movimentada para um ponto no espaço onde g = 0?

1 22P N , 2

1 9,8 /g m s 1

1

222,24

9,8

Pm kg

g

a) 2 2 22,24.4,9 11P mg P N

b) A massa permanece sempre a mesma 2,24m kg

c) 3 3 32,24.0 0P mg P

d) 2,24m kg

y

x

2F

T

bP

n

04

10. Calcule o peso de um patrulheiro espacial de 75kg (a) na Terra, (b) em Marte, onde g =

3,8 m/s2, e (c) no espaço interplanetário, onde g = 0. (d) Qual é a massa do patrulheiro em

cada um destes locais?

75m kg

a) . 75.9,8 735T T TP m g P N

b) . 75.3,8 285M M MP m g P N

c) 75.0 0P mg P

d) a massa permanecerá a mesma em todos os locais 75m kg .

11. Uma criança de 29,0 kg, com uma mochila de 4,50 kg nas costas, inicialmente em pé em

uma calçada, dá um pulo para cima. Ache o módulo, a direção e o sentido da força que a

criança exerce sobre a calçada quando a criança estiver (a) parada em pé e (b) no ar.

Depois ache o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre a terra devido à

criança quando ela estiver (c) parada em pé e (d) no ar.

29 ,cm kg 4,5 29 4,5 33,5mm kg m kg 33,5 . 9,8 328,3P mg N

a) 328,3 ,N na direção vertical e sentido para baixo

b) zero, não há contato

c) a força gravitacional é uma força de campo 328,3, na direção vertical para cima.

d) 328,3 N, na direção vertical para cima.

12. Na figura abaixo, considere que a massa do bloco é de 8,5 kg e que o ângulo é de 30º.

Ache (a) a tração no fio (b) a força normal que age sobre o bloco. (c) se o fio for cortado,

determine o módulo da aceleração do bloco.

4.

8,5m kg

a) 0 30º 0xF T mg sen

8,50 . 9,8. 30º 41,65T sen T N

b) 0 cos30º 0yF n mg 8,5 . 9,8 . cos30º 72,14n n N

c) 2. 30º . 9,8 . 30º 4,9 /x xF m a mg sen m a a sen a m s

30º

Txy

n

30ºmg

05

13. Uma garota de 40 kg e um trenó de 8,4 kg estão em repouso sobre o gelo sem atrito de

um lago congelado. Inicialmente eles estão a uma distância de 15 m um do outro e unidos

por uma corda de massa desprezível. A garota exerce uma força horizontal de 5,2 N sobre

a corda. (a) Qual é a aceleração do trenó? (b) Qual é a aceleração da garota? (c) A que

distância da posição inicial da garota eles se encontram?

O valor da força resultante na garota e no tremo é a mesma 5,2F T N

a)

25,20,65 /

8,4

Rt t

t

Fa a m s

m

b)

25,20,13 /

40

Rg g

g

Fa a m s

m

para a garota temos que: 0 00, 0gx v

2 2

0 0

1 0,13

2 2g g g g gx x V t a t x t

para o trenó temos que: 0 0,tV 0 15tx m

2 2

0 0

1 0,6515

2 2t t t t tx x V t a t x t

na posição de encontro, temos que:

2 20,13 0,6515 6,2

2 2g tx x t t t s

20,13.(6,2) 2,5

2g gx x m

14. Uma esfera de massa 3,0 x 10-4

kg está suspensa por um fio. Uma brisa sopra

ininterruptamente na direção horizontal empurrando a esfera de tal forma que o fio faz um

ângulo constante de 37º com a vertical. Ache (a) o módulo daquele empurrão e (b) a

tração no fio.

Sem atrito

06

m = 3 . 10-4 kg

a)

0 37º37º

0 cos37º

x

y

F T sen F Ftg

mgF T mg

4 337º. 37º. 3.10 .9,8 2,21.10F tg mg tg N

b)

332,21.10

3,68.1037º 37º

FT N

sen sen

15. Dois blocos estão em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma força horizontal é aplicada

ao bloco maior, como mostrado na figura abaixo. (a) Se m1 = 2,3 kg, m2 = 1,2 kg e F =

3,2N, ache o módulo da força entre os dois blocos, (b) Mostre que se uma força de mesmo

módulo F for aplicada ao bloco menor mas no sentido contrário, o módulo da força entre

os blocos será 2,1 N, que não é o mesmo valor calculado em (a). (c) Explique a diferença.

considerando os dois blocos, temos que:

2

1 2

1 2

3,2. ( ). 0,91 /

2,3 1,2

FF m a F m m a a m s

m m

a) isolando o bloco m2, temos que:

12 2. . 1,2.0,91 1,1x xF m a F m a N

b) com a força atuando em m2, a aceleração terá o mesmo valor

isolando o bloco m1, temos que:

21 1. . 2,3.0,91 2,1x xF m a F m a N

16. Um elevador e sua carga possuem uma massa combinada de 1600 kg. Acha a tração no

cabo de sustentação quando o elevador, que originalmente estava descendo a 12 m/s, é

elevado ao repouso com aceleração constante em uma distância de 42 m.

1600m kg , 0 12 / ,v m s 00, 42 , 0v y m y

cálculo da aceleração

2 2 2 2

0 2 0 12 2 (0 42) 1,71 /v v a y a a m s

.Fy m a

( )

1600(9,8 1,71) 18416

T mg ma T m g a

T T N

m1

m2 F

37º 37º

T

F

mg

a

mg

T

07

17. A figura abaixo mostra quatro pingüins que estão se divertindo ao serem puxados em uma

camada de gelo bastante escorregadia (sem atrito) por um tratador. As massas dos três

pingüins e a tração em dois dos fios são dadas. Ache a massa do pingüim que não foi

dado.

1 2 3 420 , 15 , ?, 12m kg m kg m m kg

isolando os 2 primeiros pinguins, temos que:

2. 222 111 (20 15). 3,17 /x xF m a a a m s

isolando os dois últimos pinguins, temos que:

3 3. 111 ( 12).3,17 23x xF m a m m kg

18. Na figura abaixo, três blocos estão ligados e são puxados para a direita sobre uma mesa

horizontal sem atrito por uma força com um módulo de T3 = 65,0N. Se m1 = 12,0 kg, m2 =

24,0 kg e m3 = 31,0 kg, calcule (a) a aceleração do sistema e as trações (b) T1 e (c) T2 nos

fios de ligação entre os blocos.

Considerando os 3 blocos, temos que:

a)

3 1 2 3. ( ).x xF m a T m m m a

265 (12 24 31). 0,97 /a a m s

b) isolando m1, temos que:

m1 M2

M3

T1 T2

T3

08

1 1 1max . 12.0,97 11,64xF T m a T N

c) isolando m2, temos que:

2 1 2 2 1 2

2

. . .

11,64 24.0,97 34,92

x xF m a T T m a T T m a

T N

19. Um trabalhador arrasta um caixote pelo piso de uma fábrica puxando uma corda presa ao

caixote, como está representado na figura abaixo (Fig.14). O trabalhador exerce uma força

de 450N sobre a corda, que está inclinada de 38º em relação à horizontal, e o piso exerce

uma força horizontal de 125N que se opõe ao movimento. Calcule o módulo da aceleração

do caixote se (a) a sua massa for de 310 kg e (b) o seu peso for de 310N.

a)

2

. cos38º .

450 cos38º 125 310. 0,74 /

x x atF m a T F m a

a a m s

b)

2

310 31,63

450 cos38º 125 31,63. ' ' 7,26 /

P N m kg

a a m s

20. Na figura abaixo, uma corrente composta de cinco elos, cada um de massa igual a 0,100

kg é suspensa verticalmente com uma aceleração constante de 2,50 m/s2. Ache os módulos

(a) da força que o elo 2 exerce sobre o elo 1, (b) da força que o elo 3 exerce sobre o elo 2,

(c) da força que o elo 4 exerce sobre o elo 3 e (d) da força que o elo 5 exerce sobre o elo 4.

Depois ache os módulos (e) da Força F que a pessoa levantando a corrente exerce sobre o

elo mais elevado e (f) a força resultante que acelera cada elo.

09

20,1 , 2,5 /m kg a m s

a) isolando o elo 1, temos que:

21 1 1 21 1. ( ) 0,1(9,8 2,5) 1,23yF m a F m g m a F m g a N

b) isolando os elos 1 e 2, temos que:

32 1 2 1 2 32 1 2

32

. ( ) ( ) ( )( )

(0,1 0,1).(2,5 9,8) 2,46

yF m a F m m g m m a F m m a g

F N

c) isolando os elos 1, 2 e 3, temos que:

43 1 2 3 1 2 3

43 43

. ( ) ( )

(0,1 0,1 0,1).(0,98 2,5) 3,69

yF m a F m m m g m m m a

F F N

d) isolando os elos 1,2, 3 e 4, temos que:

53 1 2 3 4 53( )( ) 0,4.(9,8 2,5) 4,92F m m m m a g F N

e) considerando os cinco elos temos que:

1 2 3 4 5( )( ) 0,5(9,8 2,5) 6,15F m m m m m a g F N

f) para cada elo, temos que: . 0,1.2,5 0,25R RF m a F N

21. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg sobre um plano inclinado de 30,0º está ligado por um

fio que passa por uma roldana sem massa e sem atrito a um segundo bloco de massa m2 =

2,30 kg suspenso verticalmente, como está representado na figura abaixo. Quais são (a) o

módulo da aceleração de cada bloco e (b) a direção e sentido da aceleração do bloco

suspenso? (c) Qual é a tração no fio?

1

2

30º 3,7.9,8. 30º 18,13

2,3.9,8 22,54

m g sen sen N

m g N

a) considerando os dois blocos, temos que: 2 1 1 230º ( ).m g m g sen m m a

30º

Ty

30º

m g1

T

m g2

m1

m2 30º

010

222,54 18,13 (3,7 2,3). 0,735 /a a m s

b) 2 1 30ºm g m g sen a2 é para baixo

c) isolando m2, temos que:

2 2 2. . ( ) 2,3(9,8 0,735) 20,85yF m a m g T m a T m g a T N

22. Um macaco de 10 kg sobe em uma corda sem massa pendurada em um galho de árvore

que está presa do outro lado em um caixote de 15 kg no chão, como está representado na

figura abaixo. (a) Qual o módulo da menor aceleração que o macaco deve ter para que ele

consiga levantar o caixote do chão? Se, depois de o caixote Ter sido levantado, o macaco

parar de subir e ficar agarrado na corda, quais serão (b) o módulo, (c) a direção e o sentido

da aceleração do macaco, e (d) qual será a tração na corda?

10 , 15m cm kg m kg

a) mina o caixote deve estar subindo com velocidade constante min cT m g

isolando o macaco, temos que:

min. . .y m mF m a T m g m a

2

min

( ) 9,8(15 10)4,9 /

10

c mc m m

m

g m mm g m g m a a a m s

m

b) considerando o macaco e o caixote, temos que:

29,8(15 10)

( ). 1,96 /15 10

c m c mm g m g m m a a m s

c) na direção vertical para cima.

d) isolando o macaco, temos que:

. ( ) 10(9,8 1,96) 117,6m m mT m g m a T m g a T N

23. Um elevador pesando27, 8 kN recebe uma aceleração para cima de 1,22 m/s2 por meio de

um cabo. (a) Calcule a tração no cabo. (b) Qual será a tração quando o elevador estiver

desacelerando a uma taxa de 1,22 m/s2 mas ainda estiver se movendo para cima?

011

3 227,8 27,8.10 , 1,22 /m kN N a m s

a)

3 5

( )

27,8.10 (9,8 1,22) 3,06.10

yF ma T mg ma T m g a

T T N

b) aceleração para baixo ' .mg T m a

' 3 ' 5( ) 27,8.10 (9,8 1,22) 2,38.10T m g a T N

24. Uma lâmpada está suspensa na vertical por um fio em um elevador que está descendo e

que desacelera a 2,4 m/s2. (a) Se a tração no fio é 89N, qual é a massa da lâmpada? (b)

qual será a tração do fio quando o elevador estiver subindo com uma aceleração para cima

de 2,4m/s2?

a)

22,4 /a m s para cima, 89T N

89. 7,29

9,8 2,4y

TF m a T mg ma m m kg

g a

b) como a aceleração é para cima a tração é a mesma do item (a) ' 89T T N

com o bloco em repouso, temos que: sF F

a) 1 1 2 2 3 3 1 2 3,s s s s s sF F F F e F F F F F

b) max .s sF n são todos iguais.

25. O coeficiente de atrito estático entre o Teflon e os ovos mexidos é de

aproximadamente 0,04. Qual o menor ângulo, medido em relação à horizontal, que

fará com que os ovos deslizem no fundo de uma frigideira revestida com Teflon?

max

0,04

0 cos cos

0 se 0 .

s

y

x s s

F n mg n mg

F mg n F mg sen n

. coscos

0,04 2,3º

s s s

mim

senmg sen mg tg

tg

26. Uma pessoa empurra na horizontal um engradado de 55kg com uma força horizontal

de 220N para movê-lo sobre um piso horizontal. O coeficiente de atrito cinético é de

0,35. (a) Qual é a intensidade da força de atrito? (b) Qual é a intensidade da aceleração

do engradado?

mg

T

T

mg

mg

n y

x

sF

012

55 , 220 , 0,35km kg F N

a)

. . 0,35.55.9,8 188,65k k kF n mg N

b)

2

. .

220 188,65 55. 0,57 /

x kF m a F F m a

a a m s

27. Um disco de hóquei, de 110g, posto para deslizar sobre o gelo, numa pista horizontal,

pára após percorrer 15m devido à força de atrito exercida pele gelo sobre ele. (a) Se a

sua velocidade inicial for de 6,0m/s, qual será a intensidade da força de atrito? (b)

Qual será o coeficiente de atrito entre o disco e o gelo?

0110 0,11 , 15 , 6 /m g kg x m v m s

a)

2 2 2 2

00, 2 0 6 2. .15 1,2 /

. . 0,11.1,2 0,132x x k x k

v v v x a a m s

F m a F m a F N

b)

. . 0,132 .0,11.9,8

0,122

k k k k k

k

F n F mg

28. Uma força horizontal F de 12N empurra um bloco que pesa 5,0N contra uma parede

vertical, como está representado na figura abaixo. O coeficiente de atrito estático entre

a parede e o bloco é de 0,60, e o coeficiente cinético é de 0,40. Suponha que o bloco

não esteja se movendo inicialmente. (a) o bloco irá se mover? (b) qual é a força da

parede sobre o bloco, na notação de vetor unitário?

12 , 5 , 0,6, 0,40s kF N P N

a) max . . . 0,6.12 7,2s s s sF n n F N P o bloco não se move.

b) ˆˆ ˆ ˆ( 12 5 )

s jF ni P F i j N

y

x F

n

mg

F

Fk

013

29. Um trabalhador deseja amontoar um cone de areia em cima de uma área circular de

seu pátio. O raio do círculo é R e não deve haver areia espalhada além da área

limitada, como está representado na figura abaixo . Se S for o coeficiente de atrito

estático entre cada camada de areia ao longo do talude e a areia abaixo (ao longo da

qual ela poderia deslizar), mostre que o maior volume de areia que pode ser estocada

desta maneira é π 3μ R /3s . (O volume de um cone é Ah/3, onde A é a área da base e h é

a altura do cone.)

no limite de , temos que: s

htg

R

. sh R (ver exercício 42)

2

3

max

.

3 3

. .

3

s

s

Ah R RV

Rv

30. Um trabalhador empurra na horizontal um engradado de 35kg, inicialmente em repouso,

com uma força de 110N. O coeficiente de atrito estático entre o engradado e o piso é de

0,37. (a) Qual é a força de atrito que o piso exerce sobre o engradado? (b) Qual é a

intensidade máxima da força de atrito estático fS.MAX nestas circunstâncias? (c) O

engradado se move? (d) Suponha, em seguida que um segundo trabalhador puxe o

engradado bem na vertical, para ajudá-lo. Qual o valor mínimo da força de tração na

vertical que permitiria que o empurrão de 110N do primeiro trabalhador movesse o

engradado? (e) Se, em vez disso, o segundo trabalhador ajudasse puxando

horizontalmente o engradado, qual seria a força mínima de tração que colocaria o

engradado em movimento?

35 , 110 , 0,37sm kg F N

a) max . . 0,37.35.9,8s s sF n mg

max 126,91sF N F o bloco não se move

110s sF F F N

b) max 126,91sF N

h

R

h

R

014

c) não.

d)

'

max

' ' '

max max

'

max' '

110

. .( )

11035.9,8 45,7

0,37

s s s s

s

s

F N

F n F mg F

FF mg F N

e) ' '

max max0 126,91 110 16,91s sF F F F F F N

31. Um engradado de 68kg é arrastado sobre um piso horizontal, puxado por uma corda

presa ao engradado e inclinada de 15º acima da horizontal. (a) se o coeficiente de

atrito estático for de 0,50, qual será a intensidade da força mínima necessária para que

o engradado comece a se mover? (b) se K = 0,35, qual será a intensidade da

aceleração inicial do engradado?

68 , 0,5, 0,35s km kg

a)

maxcos15º .

0 15º 0 15º

cos15º .( 15º )cos15º 15º

0,5.68,98304,2

cos15º 0,5 15º

s s

y

ss

s

F F n

F n F sen mg n mg F sen

mgF mg F sen F

sen

F Nsen

b)

2

. cos15º .

cos15º . . cos15º .( 15º ) .

304.cos15º 0,35(68.9,8 304 15)1,3 /

68

x k

k k

F m a F F m a

F n m a F mg F sen m a

sena m s

32. Os blocos A e B da figura abaixo pesam 44N e 22N, respectivamente. (a) determine o

peso mínimo do bloco C para impedir que o bloco A deslize se S entre o bloco A e a

mesa for de 0,20. (b) o bloco C é removido subitamente de cima do bloco A. Qual será

a aceleração do bloco A se K entre A e a mesa for de 0,15?

44 , 22 , 0,20, 0,15A B s kP N P N

B

A

C Roldana sem atrito e sem massa

015

a)

max 0 . ( )

22 0,2(44 ) 66

B s B s s A C

C C

P F P n P P

P P N

b)

2

( ) ( )

22 44. ( ). 22 0,15.44

9,8

2,29 /

B k A B B k A B

B k A A B

P F m m a P n m m a

P P m m a a

a m s

33. Um bloco de 3,5 kg é empurrado sobre uma superfície horizontal por uma força F de

intensidade igual a 15N que faz um ângulo de = 40º com a horizontal, como está

representado na figura abaixo. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso é

de 0,25. Calcule a intensidade (a) da força de atrito que o piso exerce sobre o bloco e

(b) a aceleração do bloco.

3,5 , 15 , 0,25km kg F N

a)

0 sen40º 0 sen40º

. .( sen40º ) 0,25(3,5.9,8 15.sen 40º )

10,98

y

k k k

k

F n mg F n mg F

F n mg F

F N

b)

2. cos40º . 15.cos40º 10,98 3,5. 0,14 /x kF m a F F m a a a m s

34. Um bloco, pesando 80N está em repouso sobre um plano inclinado de 20º em relação

à horizontal, como está representado na figura abaixo. Entre o bloco e o plano

inclinado, o coeficiente de atrito estático é de 0,25, e o coeficiente de atrito cinético é

de 0,15. (a) qual a intensidade mínima da força F , paralela ao plano, que poderá evitar

que o bloco deslize para baixo do plano? (b) qual a intensidade mínima de F para

iniciar o movimento do bloco para cima do plano? (c) qual o valor de F necessário

para mover o bloco para cima do plano, com velocidade constante?

F

20º

F

016

80 , 0,25, 0,15s kP N

a)

max para cima sen20º 0 sen20º .

cos 20º sen20º . cos 20º

80(sen20º 0,25cos 20º ) 8,57

s s

s

F F mg F mg n

n mg F mg mg

F F N

b)

' '

max

' '

para baixo sen20º 0 (sen20º cos 20º )

80(sen20º 0,25 cos 20º ) 46,15

s sF F mg F mg

F F N

c)

'' ''

''

''

constante = 0

sen20º 0 sen20º

(sen20º cos 20º ) 80(sen20º 0,15cos 20º )

38,64

k k

k

V a

F F mg F n mg

F mg

F N

35. O bloco B da figura abaixo pesa 711N. O coeficiente de atrito estático entre o bloco B

e a mesa é de 0,25; suponha que o cabo entre B e o nó seja horizontal. Encontre o peso

máximo do bloco A, para o qual o sistema ficará em repouso.

maxmax

max

0 sen30º30º

0 cos30º

30º 30º . 30º.0,25.7,11

102,62

y A A

sx s

A s s B

Amim

F T P Ptg

FF T F

P tg F tg P tg

P N

36. O Corpo A da figura abaixo pesa 102N e o corpo B, 32N. Os coeficientes de atrito

entre o bloco A e a rampa são S = 0,56 e k = 0,25. O ângulo é igual a 40º. Encontre

a aceleração de A (a) se A estiver inicialmente em repouso, (b) se A estiver

inicialmente se movendo para cima da rampa e (c) se A estiver inicialmente se

movendo para baixo da rampa.

30º

B

A

A

B

Polia sem atrito e sem massa

y

x

30º

T

AP

maxsF

017

102 10,41 , 32 3,26 , 0,56, 0,25, 40ºA A B B s kP N m kg P N m kg

a)

max

sen40º 102, sen40º 32 33,56

. cos40º 0,56.102.cos40º 43,76

0

A B

s s A

P P N

F P N

a

o bloco A permanece em repouso

b)

2

2

sen40º ( ).

sen40º . cos40º ( ).

32 102(sen40º 0,25cos40º ) (10,41 3,26). 3,88 /

3,88 / para baixo

B A k A B

B A k A A B

P P F m m a

P P P m m a

a a m s

a m s

c)

2

2

sen40º ( ).

sen40º . cos40º ( ).

102(sen40º 0,25cos40º ) 32 (10,41 3,26). 1,03 /

1,03 / para baixo

A k B A B

A k A B A B

P F P m m a

P P P m m a

a a m s

a m s

37. Na figura abaixo, dois blocos estão ligados por um fio que passa por uma polia. A

massa do bloco A é igual a 10kg e o coeficiente de atrito cinético entre A e a rampa é

de 0,20. O ângulo de inclinação da rampa é igual a 30º. O bloco A desliza para baixo

da rampa com velocidade constante. Qual é a massa do bloco B?

A

10 , 0,2 30º , constante a=0

P sen30º 0 sen30º . cos30º 0

10,98(sen30º 0,2cos30º ) 0 32

A k

k B A k A B

B B

M kg v

F P P P P

P P N

38. Na figura abaixo, um caixote desliza para baixo de um calha inclinada, que possui

lados ortogonais. O coeficiente de atrito cinético entre o caixote e a calha é k. Qual é

a aceleração do caixote, em termos de k, e g?

A

B

Polia sem atrito e sem massa

018

sen 2 .

sen 2 .

cossen 2 .

2cos45º

cossen 2

2

2

2(sen cos )

2

(sen 2 cos )

k

k

k

k

k

mg fat m a

mg n m a

mgmg m a

g

g a

a g

39. Calcule a força de arrasto sobre um míssil de 53 cm de diâmetro se deslocando a uma

velocidade de 250 m/s a baixa altitude, onde a massa específica do ar é de 1,2 Kg/m3.

Suponha que C = 0,75.

3

2 2 2

2 2 3

53 26,5 0,265

250 / , 0,75

1,2 /

1 1

2 2

1.0,75.1,2 .(0,265) .250 6,2.10

2

d cm R cm m

v m s c

kg m

D c Av c R v

D N

40. A velocidade terminal de um saltador de pára-quedas (antes do pára-quedas abrir) é

de 160 km/h na posição de águia de asas abertas e 310 km/h na posição de mergulho

de cabeça. Suponho que o coeficiente de arrasto C do esportista não se modifique de

uma posição para a outra, encontre a relação entre a área da seção transversal efetiva

A na posição de menor velocidade em relação à posição mais rápida.

2

1 1 1

1 2 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1 2

2

2 2 2

2

2 2.

. . 160 . 310 . 3,752 2

.

g g

g g

F Fv v A

c A cv A v A A A A A

F Fv v A

c A c

n n

2 cos45º . cos

. cos

2cos45º

n m g

m gn

cosmg

mg

019

41. Suponha que o coeficiente de atrito estático entre o pavimento e os pneus de um carro

de corrida de Fórmula 1 seja de 0,6 durante um Grande Prêmio de automobilismo.

Qual velocidade deixará o carro na iminência de derrapar ao fazer uma curva

horizontal de 30,5 m de raio?

2 2

max

0,6, 30,5

. . . . .

. . 0,6.9,8.30,5 13,39 /

48,21 /

e

e c e e

e

R m

v vF m a n m mg mg

R R

v g R v m s

v km h

42. Um carro de montanha-russa tem uma massa de 1200 kg quando completamente

lotado de passageiros. Ao passar pelo ponto mais alto de um morro circular de raio

igual a 18m. (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido da força que a pista exerce

sobre o carro ao passar pelo topo do morro, se a velocidade escalar do carro for de 11

m/s? ; (b) Qual é o maior valor da velocidade do carro no ponto mais alto, sem que ele

saia do trilho?

a)

2

2 2

1200

18

11 /

.

111200(9,8 ) 3693

18

3693 verticalmentepara cima

c

m kg

R m

v m s

vF m a mg n m

R

vn mg m n N

R

n N

b)

max

2

max

0

18.9,8 13,28 /

V n

vmg m v Rg V m s

R

43. Qual é o menor raio de uma pista sem superelevação (plana) em torno da qual um

ciclista pode se deslocar a uma velocidade de 29 km/h e onde o coeficiente de atrito

estático entre os pneus e a pista é de 0,32?

020

2 2 2

max

2 2

29 / 8,05 /

0,32

.

. 20,69

e

e e

e

e

v km h m s

v v vF m F m n m

R R R

v vmg m R m

R g

44. Um brinquedo do parque de diversões é formado por um carro que se move em um

círculo vertical na extremidade de uma haste rígida de massa desprezível. O peso

combinado do carro com os passageiros é de 5,0 kN e o raio do círculo é de 10 m.

Quais são o módulo, a direção e o sentido da força que a haste exerce sobre o carro no

ponto mais alto do círculo se a velocidade escalar do carro neste ponto for de (a) 5,0

m/s e (b) 12 m/s?

5 510,

10

P kn m kg

R m

a)

2

2 2

y

510,2.55 / 1275,5 n para cima

10

F .

5000 1275,5 3724,5 verticalpara cima

c

c

v m s F N P

v vm a mg n m n mg m

R R

n n N

b)

2

2 2

510,2.1212 / 7346,88 Tpara baixo

10

.

7346,88 5000 2346,88 verticalpara baixo

c

y c

v m s F P

v mvF m a mg T m T mg

R R

T T N

45. Um disco de hóquei de massa m desliza sobre uma mesa sem atrito, enquanto

permanece ligado a um cilindro em repouso de massa M, pendurado por um fio que

passa por um buraco feito na mesa, como representado na figura. Que velocidade do

disco mantém o cilindro em repouso?

isolando o bloco m, temos que:

021

2

,v

T mr

onde T Mg

2mv rMgMg v

r m

46. Como mostrado na figura abaixo, uma bola de 1,34 kg está ligada, por dois fios de

massa desprezível, a uma haste vertical que está girando. Os fios estão ligados à haste

e estão esticados. A tração no fio de cima é de 35 N. (a) Desenhe o diagrama de corpo

livre para a bola. (b) Qual é a tração no fio de baixo? (c) Qual é a força resultante

sobre a bola e (d) qual a velocidade da bola?

a) 1 35 , 1,34T N m kg

b)

1 2

12

2

0 sen30º sen30º 0

sen30º 35.sen30º 1,34.9,8

sen30º 30º

8,74

yF T T mg

T mgT

sen

T N

c)

1 2cos30º cos30º (35 8,74).cos30º

37,88

R x

R

F F T T

F N

d)

2

2

, cos30º 1,471,7

37,88 1,34. 6,45 /1,47

R

v RF m R m

R

vv m s

1 2 3 32. 4. 7 sen60º 0. cos60º

2.30 4.15 7.20.sen60º 121,25 .

A

A

F F F F

N m

Fig. 18

Comprimento do fio = 1,70 m cada

1T

2Tmg

30º

30º

1T

2T

60º

60º

y

x

mg

022

Exercícios complementares:

47. Determine o momento resultante das forças coplanares, dadas na abaixo, em relação

ao ponto A. Dados: F1 = 30N; F2=15N, F3=20N

1 2 3 32. 4. 7 sen60º 0. cos60º

2.30 4.15 7.20.sen60º 121,25 .

A

A

F F F F

N m

48. Uma barra homogênea de 100N de peso é colocada sobre os apoios A e B, conforme

mostra a figura abaixo. Sendo de 200N o peso do corpo C, determine as intensidade

das reações dos apoios A e B contra a barra em equilíbrio.

200

100

?, ?

0

c

b

A B

A

P N

P N

n n

30 50. 70. 0

30.100 50.200 70. 0 185,71

0

0 100 200 185,71 0

114,29

b c B

B B

y

A B c B A

A

P P n

n n N

F

n P P n n

n N

49. Sendo r = xi + yj + zk e F = Fxi + FyJ + FzK, mostre que o torque = r x F é dado por

= (yFz – zFy)i + (zFx – xFz)j + (xFy – yFx)k

60º

3 m 2 m 2m

1F2F

3F

A

C

20 cm 50 cm 20 cm 10 cm

A B

30 cm

BPCP BA

20 cm 50 cm 20 cm 10 cm

CAn Bn

023

Usando o cálculo de um determinante

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

x y z x y

i j k i j

x y z x y

F F F F F

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )

z x y x y z

z y x z y x

r F yF i zF j xF k yF k zF i xF j

yF zF i zF xF j xF yF k

50. Qual é torque em torno da origem exercido sobre um grão de areia situado nas

coordenadas (3,0 m; - 2,0m; 4,0m) devido (a) á força F1 = (3,0 N)i – (4,0 N)j + (5,0

N)k, (b) á força F2 = (-3,0 N)i – (4,0 N)j – (5,0N)k e (c) à resultante de F1 e F2?

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ(3 2 4 ) , (3 4 5 )r i j k m F i j k N

a)

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 3 2 10 12 12 15 16 6

3 4 5 3 4

ˆˆ ˆ(6 3 6 ) .

i j k i j

i j k j i k

i j k N m

b) e c) semelhantes ao item a.

51. Uma placa quadrada uniforme, de 50,0 kg e tendo 2,00 m de lado, está pedurada em

uma haste de 3,00 m de comprimento e massa desprezível. Um cabo está preso à

extremidade da haste e a um ponto na parede situado 4,00 m acima do ponto onde a

haste é fixada à parede, conforme mostra a figura. (a) qual é a tensão no cabo? Quais

são (b) a componente horizontal e (c) a componente vertical da força exercida pela

parede sobre a haste?

024

50

453º

3

pm kg

tg

a)

0

2. . 3. sen53º 0. cos53º 0

2.50.9,8 3. 53º 0

409

A

pm g T T

T sen

T N

b)

0

cos53º 0 409.cos53º 0 246,14

x

h h h

F

F T F F

c)

0

53º 0 50.9,8 409. 53º 163,36

y

v p v v

F

F m g T sen F sen F

52. As forças F1, F2, e F3 atuam sobre a estrutura da figura abaixo, a qual mostra um vista

superior. Deseja-se colocar a estrutura em equilíbrio, aplicando uma força, num ponto

P, cujas componentes vetoriais são Fh e Fv. É dado que a=2,0m, b = 3,0m, c=1,0m, F1

= 20N, F2 = 10N e F3 = 5,0N. Encontre (a) Fh, (b) Fv e (c) d.

1 2 320 , 10 , 5F N F N F N

a)

3

0

0 5

x

h h

F

F F F N

b)

vF T

hF

53º

1m2m

.pm g

A

1F 2F3m 2m

P

vFhFd0

1m

y

x

3F

2m

025

1 2

0

0 20 10 30

y

v v v

F

F F F F F N

c)

0

1 2 3

0

0. . 0. 3 2. 0

.30 3.10 2.5 0 1,33

v hF d F F F F

d d m

53. Uma extremidade de uma viga uniforme pesando 222,4 N e tendo 0,914 m de

comprimento è presa parede por meio de uma dobradiça. A outra extremidade é

sustentada por um fio conforme representado na figura. (a) encontre a tensão no fio. Quais

são as componentes (b) horizontal e (c) vertical da força exercida pela dobradiça?

222,4 0,914vP N L m

a)

2 2

0

0. 0. sen60º. sen60º. cos60º. 02

sen 60º. sen 60º. cos30º cos60º. cos60º 0

2

sen 60º.222,4 ( 60º cos 60º ) 0

2

192,6

A

v n v y x

v

LF F P L T L T

P T T

T sen

T N

b)

0

sen30º 0 192,6.sen30º 96,3

x

h h h

F

F T F F N

c)

0

cos30º 0 222,4 192,6.cos30º 55,6

y

v v v v

F

F P T F F N

30º

vFhF

60º

vP2

sen60ºL

30º30º

TA

026

54. Sistema da figura abaixo está em equilíbrio. 225 kg de massa pendem da extremidade de

um suporte que, por sua vez, tem massa de 45,0 kg. Encontre (a) tensão T no cabo e as

componentes (b) horizontal e (c) vertical da força exercida sobre o suporte pela dobradiça.

225

45v

m kg

m kg

a)

0

0. 0 cos45º. cos45º. cos45º. sen45º. 02

cos45ºcos45º cos45º. 30º 45º. cos30º 0

2

45.9,8 225.9,8 ( 30º cos30º ) 0 6626,59

2

A

v h v y x

v

LF F m g L mg L T L T

m g mg Tsen sen T

T sen T N

b)

0 cos30º 0 6626,59.cos30º

5738,79

x h h

h

F F T F

F N

c)

0 30º 0

45.9,8 225.9,8 6626,59. 30º

5959,29

y v v

v

v

F F m g mg Tsen

F sen

F N

30º 45º

vF

hF

mg

vm gsen45ºL

30º

T

Lcos 45º

027

55. Na figura abaixo, uma barra horizontal fina AB, de massa desprezível e comprimento

L, é presa a uma dobradiça em um parede vertical no ponto A e é sustentada, em B,

por um fio BC, fino que faz um ângulo com a horizontal. Um peso P pode ser

movido para qualquer posição ao longo da barra, sendo sua posição definida pela

distância x desde a parede até o seu centro de massa. Encontre (a) tensão no fio e as

componentes (b) horizontal e (c) vertical da força exercida sobre a barra pelo pino em

A, como função da distância x.

a)

0

0. 0. 0. cos . sen 0

.

A

v nF F xP T LT

x PT

Lsen

b)

0

. .cos cos .cos

.sen .

x

h h

F

x P x PF T F T

L L tg

c)

0

sen 0

.sen .sen 1

.sen

y

v

v v

F

F P T

x P xF P T P F P

L L

T

vF

x

hF

P

L

A