F031 : Tópicos em Astronomia e Astrofísica fileLuminosidade Podemos utilizar a função de Planck para relacionar observáveis físicos (magnitude aparente, fluxo radiante) com propriedades

F031/032 - Tópicos em Astronomia e F031/032 - Tópicos em Astronomia e AstrofísicaAstrofísica

Aula 04: 10/09/2009 Aula 04: 10/09/2009 * fotometria (introdução): emissão de radiação* fotometria (introdução): emissão de radiação* filtros, sistemas de cores e sua relação com * filtros, sistemas de cores e sua relação com temperaturastemperaturas

Imagens e Gráficos: Michael Richmond sob CCLImagens e Gráficos: Michael Richmond sob CCL

Prof. Ernesto KempProf. Ernesto Kemp

UNICAMP – IFGW – DRCCUNICAMP – IFGW – DRCC

[email protected]@ifi.unicamp.br

Fotometria: conceitos geraisFotometria: conceitos gerais

Emissão de radiação:Emissão de radiação:Espectro de corpo-negroEspectro de corpo-negroLei do deslocamento de WienLei do deslocamento de WienTemperaturas efetivasTemperaturas efetivas

Cores:Cores:BolometriaBolometria Índices de corÍndices de cor

Espectro de Corpo-negro:Espectro de Corpo-negro:a quantização da energiaa quantização da energia

Max Planck descreveu a forma do Max Planck descreveu a forma do espectro de corpo negro pela função:espectro de corpo negro pela função:

B(T) é a chamada “densidade espectral”, ou a densidade de energia por intervalo de comprimento de onda de radiação emitida

Em coordenadas esféricas:Em coordenadas esféricas:

É a potência emitida por intervalo de comprimento de É a potência emitida por intervalo de comprimento de onda, de um corpo negro a temperatura T, por elemento onda, de um corpo negro a temperatura T, por elemento de área, em um ângulo sólido dde área, em um ângulo sólido dΩΩ



Temos B em função do comprimento de Temos B em função do comprimento de onda, ou da freqüência:onda, ou da freqüência:

Estas são as chamadas “Funções de Estas são as chamadas “Funções de Planck”. A constante de Planck é:Planck”. A constante de Planck é:

h = 6,626 x 10 h = 6,626 x 10 -27-27 erg.s erg.s

Obs.: Demonstre a equivalência das relações acima

LuminosidadeLuminosidade

Podemos utilizar a função de Planck para relacionar Podemos utilizar a função de Planck para relacionar observáveis físicos (magnitude aparente, fluxo radiante) observáveis físicos (magnitude aparente, fluxo radiante) com propriedades dos astros (raio, temperatura).com propriedades dos astros (raio, temperatura).

Vamos considerar como nosso modelo de estrela uma Vamos considerar como nosso modelo de estrela uma esfera aquecida a uma temperatura T com propriedades esfera aquecida a uma temperatura T com propriedades de um corpo-negro. Seja um elemento de área dA que de um corpo-negro. Seja um elemento de área dA que emita radiação isotropicamente (de forma igual em todas emita radiação isotropicamente (de forma igual em todas as direções). A luminosidade ( energia / unidade de as direções). A luminosidade ( energia / unidade de tempo) emitida pela estrela em um certo intervalo de tempo) emitida pela estrela em um certo intervalo de comprimento de onda écomprimento de onda é

Integrando a parte angular (resultado = Integrando a parte angular (resultado = ππ)) e a área da superfície e a área da superfície emissora (4 emissora (4 ππ R R22) ) , temos:, temos:

Onde LOnde Lλλ é a luminosidade monocromática, para um é a luminosidade monocromática, para um λλ específico. específico.

LuminosidadeLuminosidade

A Lei de Stefan revistaA Lei de Stefan revista

Lembrando a Lei de Stefan-Boltzmann:Lembrando a Lei de Stefan-Boltzmann:

L = 4L = 4ππRR22 σσ T Tefef 44

IntegrandoIntegrando

Nos leva aNos leva a

Cores ... para os astrônomos e Cores ... para os astrônomos e astrofísicosastrofísicos

Como observamos as cores das estrelas?Como observamos as cores das estrelas?

Cores ... para os astrônomos e Cores ... para os astrônomos e astrofísicosastrofísicos

Desfocalizando e tomando uma exposição longa, Desfocalizando e tomando uma exposição longa, podemos observar melhor as diferenças de corespodemos observar melhor as diferenças de cores

•Como “quantificar” as cores?

•Podemos tirar proveito disso?

Índices de Cor: registro da luzÍndices de Cor: registro da luz

A luz registrada de um astro segue a seqüência:A luz registrada de um astro segue a seqüência:

astro => meio interestelar => atmosfera (*) => instrumento óptico => detectorastro => meio interestelar => atmosfera (*) => instrumento óptico => detector

(*) Para instrumentos baseados na superfície da Terra. Para instrumentos em (*) Para instrumentos baseados na superfície da Terra. Para instrumentos em órbita não se aplicaórbita não se aplica

Instrumento Óptico: mecanismo para otimizar a coleta de Instrumento Óptico: mecanismo para otimizar a coleta de fótons (telescópio)fótons (telescópio)

Detector: sistema de registro (placas fotográficas, CCDs, Detector: sistema de registro (placas fotográficas, CCDs, fototubos)fototubos)

Índices de Cor: registro da luzÍndices de Cor: registro da luz Cada item da seqüência abaixo, após o astro, altera a informação Cada item da seqüência abaixo, após o astro, altera a informação

originaloriginal

astro => meio interestelar => atmosfera => instrumento óptico => detectorastro => meio interestelar => atmosfera => instrumento óptico => detector

Meio interestelar: poeira, fótons de fundoMeio interestelar: poeira, fótons de fundo Atmosfera e Instrumento Óptico : atenuação, espalhamento, refraçãoAtmosfera e Instrumento Óptico : atenuação, espalhamento, refração Detector: eficiênciaDetector: eficiência

TODAS as perturbações acima dependem, de forma diferente, do TODAS as perturbações acima dependem, de forma diferente, do comprimento de onda.comprimento de onda.

O resultado das MEDIDAS é a convolução do espectro original da O resultado das MEDIDAS é a convolução do espectro original da estrela, com funções matemáticas que descrevem cada uma das estrela, com funções matemáticas que descrevem cada uma das perturbações acimaperturbações acima

Índices de Cor: filtrosÍndices de Cor: filtros Suponha que instalemos filtros na entrada do telescópio de forma a selecionar um Suponha que instalemos filtros na entrada do telescópio de forma a selecionar um

certo intervalo de comprimentos de onda (filtros passa-banda).certo intervalo de comprimentos de onda (filtros passa-banda).

Exs:

U (ultravioleta): centro em 365 nmlargura de 68 nm

B (azul):centro em 440 nmlargura de 98 nm

V (visual):centro em 550 nmlargura de 89 nm

Obs.: R (vermelho) e I (infravermelho)

Índices de Cor: filtrosÍndices de Cor: filtros O sistema abaixo é conhecido como Johnson-Cousins O sistema abaixo é conhecido como Johnson-Cousins

UBVRI (~1950), ou sistema “Genebra”UBVRI (~1950), ou sistema “Genebra”

A cor de um astro pode ser precisamente determinada por medidas do fluxo de fótons em diferentes “bandas” de emissão.

Índices de Cor: filtrosÍndices de Cor: filtros Vamos analisar qualitativamente as respostas a Vamos analisar qualitativamente as respostas a

diferentes filtros:diferentes filtros:

Com o filtro azul (banda B) o fluxo radiante de uma estrela quente é maior que de uma estrela fria. Ou seja, na banda B a estrela quente é mais brilhante.

Índices de Cor: filtrosÍndices de Cor: filtros Vamos analisar qualitativamente as respostas a Vamos analisar qualitativamente as respostas a

diferentes filtros:diferentes filtros:

Com o filtro vermelho (banda R) o fluxo radiante de uma estrela fria é maior que de uma estrela quente. Ou seja, na banda R a estrela fria é mais brilhante.

Índices de Cor: definiçõesÍndices de Cor: definições

Assim, podemos associar o fluxo radiante Assim, podemos associar o fluxo radiante medido com cada filtro, a uma magnitude medido com cada filtro, a uma magnitude de cor específica:de cor específica:U = mU = muu , B = m , B = mBB , V = m , V = mVV , R = m , R = mRR e I = m e I = m II

Se conhecermos a distância do astro, Se conhecermos a distância do astro, podemos estabelecer sua magnitude podemos estabelecer sua magnitude absoluta de cor:absoluta de cor:

MMuu , M , MBB , M , MVV , M , MRR e M e MII


Definimos como Definimos como índices de cor índices de cor U-B e B-V U-B e B-V

as diferenças entre as magnitudes absolutas de as diferenças entre as magnitudes absolutas de cor:cor:

U-B = MU-B = Muu - M - MBB

B-V = MB-V = MBB - M - MVV As magnitudes decrescem com o aumento do As magnitudes decrescem com o aumento do

brilho, logo, uma estrela com índice B-V brilho, logo, uma estrela com índice B-V pequeno é mais azulada que uma com índice pequeno é mais azulada que uma com índice B-V grandeB-V grande

Índices de Cor: Índices de Cor: magnitude bolométricamagnitude bolométrica

Antes, havíamos discutido as magnitudes Antes, havíamos discutido as magnitudes m : aparente e M : absolutam : aparente e M : absoluta

referentes aos brilhos dos astros em TODOS os referentes aos brilhos dos astros em TODOS os comprimentos de onda da luz por eles emitida.comprimentos de onda da luz por eles emitida.

É a chamada É a chamada magnitude bolométricamagnitude bolométricammbol bol e Me Mbolbol

Definimos o índice de Definimos o índice de correção bolométrica correção bolométrica (BC) (BC) como a diferença entre a magnitude bolométrica como a diferença entre a magnitude bolométrica do astro e sua magnitude visualdo astro e sua magnitude visual

BC = BC = mmbolbol – V = – V = MMbol bol – M– MVV


Os índices U-B e B-V são de uso mais comum, mas de Os índices U-B e B-V são de uso mais comum, mas de forma geral, temos que o forma geral, temos que o índice de cor (CI) índice de cor (CI) é dado poré dado por

CI = mCI = mλλ1 1 – m– mλλ2 2 + const+ const

λλ1 e 1 e λλ2 são os comprimentos de onda efetivos (centrais) 2 são os comprimentos de onda efetivos (centrais) dos filtros utilizadosdos filtros utilizados

A constante é arbitrária e define o “zero” da escala, para A constante é arbitrária e define o “zero” da escala, para

cada tipo espectral de estrela (veremos adiante) em cada tipo espectral de estrela (veremos adiante) em cada cada λλ ii escolhido escolhido

Da definição de magnitude podemos escrever:Da definição de magnitude podemos escrever:

Onde A é a designação da banda espectral que estamos calculando a Onde A é a designação da banda espectral que estamos calculando a magnitude, Fmagnitude, Fλλ é o fluxo radiante da estrela, e S é o fluxo radiante da estrela, e SAA((λλ)) é a chamada é a chamada “função de sensibilidade da banda A” e define a fração de fótons do “função de sensibilidade da banda A” e define a fração de fótons do fluxo total da estrela, associada à banda A, que atinge o detector.fluxo total da estrela, associada à banda A, que atinge o detector.

Ou seja: SOu seja: SAA((λλ) é a função matemática que descreve o filtro A) é a função matemática que descreve o filtro A


A=−2,5 log ∫0

∞

Fλ SA dλC A

Índices de Cor: Índices de Cor: exemplos de convolução Fexemplos de convolução Fλλ S SAA((λλ))

Estrela quente:

Fluxo radiante AZUL é maior que o

VISUAL

Índices de Cor: Índices de Cor: exemplos de convolução Fexemplos de convolução Fλλ S SAA((λλ))

Estrela fria:

Fluxo radiante VISUAL é maior que

o AZUL

Aplicando nossa definição, e escolhendo uma referência Aplicando nossa definição, e escolhendo uma referência (ex.: a brilhante estrela Vega, (ex.: a brilhante estrela Vega, αα Lyrae), temos Lyrae), temos::


U=−2,5 log ∫0

∞

Fλ Su dλCU

B=−2,5 log ∫0

∞

F λ SB dλCB

V=−2,5 log ∫0

∞

Fλ SV dλCV

R=−2,5 log ∫0

∞

FλS R dλC R

I=−2,5 log∫0

∞

F λS I dλC I

As constantes CA são determinadas de modo que as magnitudes de cor UBVRI de Vega sejam ZERO:

U = B = V = R = I = 0

Atenção: isso não implica que os fluxos radiantes de Vega para cores diferentes sejam IGUAIS!

Obs.: Como todo sistema de referência e certas Obs.: Como todo sistema de referência e certas convenções na astrofísica, “acidentes” históricos convenções na astrofísica, “acidentes” históricos são propagados e certas definições tornam-se são propagados e certas definições tornam-se complicadas com o passar do tempo. complicadas com o passar do tempo.

As constantes para definir o ponto-zero, hoje em As constantes para definir o ponto-zero, hoje em dia, são calculadas sobre uma estatística dia, são calculadas sobre uma estatística realizada com várias estrelas similares a Vega. realizada com várias estrelas similares a Vega.


Observemos o Cruzeiro do Sul:Observemos o Cruzeiro do Sul:

Índices de Cor: Índices de Cor: exemplo de medidasexemplo de medidas

Índices de Cor: Índices de Cor: exemplo de medidasexemplo de medidas

Pela definição, o ponto zero é Vega, logo, para Pela definição, o ponto zero é Vega, logo, para VegaVega

m(V) = 0, m(B) = 0 => CI é m(V) = 0, m(B) = 0 => CI é (B-V) = 0.0(B-V) = 0.0 Estrelas com B-V < 0 são mais azuladas que VegaEstrelas com B-V < 0 são mais azuladas que Vega Estrelas com B-V > 0 são mais avermelhadas que VegaEstrelas com B-V > 0 são mais avermelhadas que Vega

EstrelaEstrela m(B)m(B) m(V)m(V) B-VB-V

Alfa CrucisAlfa Crucis 0.560.56 0.810.81 -0.25-0.25

Beta CrucisBeta Crucis 1.151.15 1.301.30 -0.15-0.15

Gama CrucisGama Crucis 3.223.22 1.631.63 +1.59 +1.59

Delta CrucisDelta Crucis 2.592.59 2.782.78 -0.19 -0.19

Índices de Cor: ponto importanteÍndices de Cor: ponto importante Índices de Cor Índices de Cor não dependem da distâncianão dependem da distância Pela definição:Pela definição:

Expressões similares são escritas para os outros índicesExpressões similares são escritas para os outros índices

U−B=−2,5 log ∫0∞

F λ SU dλ

∫0

∞

F λSB dλ CU−B

Os termos distância e raio da estrela, no fluxo radiante F , são fatorados da integral e se cancelam !

Índices de Cor: mais sobre filtrosÍndices de Cor: mais sobre filtros

O sistema UBVRI é conhecido como sistema de O sistema UBVRI é conhecido como sistema de “banda larga”, pois tem pequena resolução“banda larga”, pois tem pequena resolução

Definição de resolução:Definição de resolução: r=λef

σ

Onde r é a resolução, λef é o comprimento de onda efetivo da banda e σ é a largura de banda


O sistema UBVRI, tipicamente apresenta O sistema UBVRI, tipicamente apresenta resoluções da ordem deresoluções da ordem de

r ~ 5r ~ 5


O sistema de sistema uvby de Strömgren tem O sistema de sistema uvby de Strömgren tem basndas mais estreitas (banda intermediária)basndas mais estreitas (banda intermediária)

Útil para detalhar espectros em

situações específicas

Índices de Cor: mais sobre filtrosÍndices de Cor: mais sobre filtros Ex.: Medidas de discrepância entre o espectro real e o Ex.: Medidas de discrepância entre o espectro real e o

espectro de corpo-negroespectro de corpo-negro

O déficit na banda u é devido à

absorção-reemissão de fótons na

atmosfera estelar.

Ou seja: não se configura o

equilíbrio térmico

=> Desvio do comportamento de

corpo-negro


O sistema uvby , tipicamente apresenta O sistema uvby , tipicamente apresenta resoluções da ordem deresoluções da ordem de

r ~ 30r ~ 30


Filtros especiais: de altíssima resolução (banda estreita), para Filtros especiais: de altíssima resolução (banda estreita), para aplicações específicas, como investigar detalhes do espectro, aplicações específicas, como investigar detalhes do espectro, como linhas de emissão/absorção específicas como linhas de emissão/absorção específicas (temas do nosso próximo assunto: espectroscopia) (temas do nosso próximo assunto: espectroscopia)


Os filtros de banda estreita , tipicamente Os filtros de banda estreita , tipicamente apresenta resoluções da ordem deapresenta resoluções da ordem de

r ~ 60r ~ 60

Índices de Cor: por que usá-los?Índices de Cor: por que usá-los?

Se o espectro inteiro contém informações muito Se o espectro inteiro contém informações muito mais ricas e detalhadas que os índices de cor, mais ricas e detalhadas que os índices de cor, por que usá-los?por que usá-los? R:Tempo de medidasR:Tempo de medidas

Espectros levam horas para serem feitos, índices de cor Espectros levam horas para serem feitos, índices de cor levam minutoslevam minutos

Praticidade em uma informação inicial. Em caso de Praticidade em uma informação inicial. Em caso de necessidade, buscam-se detalhesnecessidade, buscam-se detalhes

Obs.: tempo de telescópio custa muito Obs.: tempo de telescópio custa muito dinheiro.dinheiro.

Índices de Cor: exemploÍndices de Cor: exemplo

Uma estrela da classe espectral O5 (a ser Uma estrela da classe espectral O5 (a ser definida nas aulas adiante) tem temperatura definida nas aulas adiante) tem temperatura superficial de 44500 K e índices de cor superficial de 44500 K e índices de cor U-B = -1,19 e B-V = -0,33. Pela Lei de WienU-B = -1,19 e B-V = -0,33. Pela Lei de Wien

Na região do ultra-violeta do espectro. Ou seja, Na região do ultra-violeta do espectro. Ou seja, consistente com o valor negativo e U-B.consistente com o valor negativo e U-B.


O pico de emissão é em 652 O pico de emissão é em 652 Ǻ. Esse Ǻ. Esse comprimento de onda é muito menor que as comprimento de onda é muito menor que as bandas usuais do sistema UBVRI, bandas usuais do sistema UBVRI, implicando implicando que a parte do espectro observada é o “rabo” da que a parte do espectro observada é o “rabo” da função de Planck.função de Planck.

espectro

filtros


Vamos usar os valores dos índices de cor para Vamos usar os valores dos índices de cor para estimar as constantes de calibração Cestimar as constantes de calibração CU-BU-B e C e CB-V.B-V.

Aproximação: vamos usar uma função degrau para Aproximação: vamos usar uma função degrau para descrever a sensibilidade espectral:descrever a sensibilidade espectral:

S(S(λλ) = 1 dentro do filtro) = 1 dentro do filtro

S(S(λλ) = 0 fora do filtro) = 0 fora do filtro

filtro

espectro


As integrais podem então ser aproximadas pelo As integrais podem então ser aproximadas pelo valor da função de Planck no centro da banda do valor da função de Planck no centro da banda do filtro Bfiltro Bλλ0 0 , multiplicado pelo valor da largura de , multiplicado pelo valor da largura de

banda banda ΔλΔλ . .

BBλλ00

ΔλΔλ


Usando as características dos filtros vistas Usando as características dos filtros vistas anteriormente:anteriormente:


O valor calculado CO valor calculado CB-VB-V = 0.66 está em excelente = 0.66 está em excelente

acordo com valores obtidos por métodos acordo com valores obtidos por métodos sofisticados (Csofisticados (CB-VB-V = 0.67) = 0.67)

Os valores para o ultravioleta, em geral são Os valores para o ultravioleta, em geral são menos concordantes. Veremos a causa da menos concordantes. Veremos a causa da discrepância ao estudarmos a estrutura das discrepância ao estudarmos a estrutura das estrelas.estrelas.


Conclusões importantes:Conclusões importantes: A astrofísica envolve um bocado de coisas “práticas”A astrofísica envolve um bocado de coisas “práticas” É uma ciência que necessita grande poder de fogo É uma ciência que necessita grande poder de fogo

em cálculo numérico:em cálculo numérico: Simulações, cálculos, modelagemSimulações, cálculos, modelagem

TRAGAM a CALCULADORA NA PROVA !TRAGAM a CALCULADORA NA PROVA !

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