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Revisão

Márcio Júnior Nunes

Faculdade PitágorasUnidade Divinópolis

Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas

� Os próximos tópicos não são totalmente novos...

� ... Porém, esse material merece revisão, devido a sua importância.

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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas

� Como resolver x2 + 1 = 0 ?� Foi definido um número totalmente novo,

cujo quadrado é igual a -1, batizado de número imaginário ou complexo

� Euler introduziu a notação i para representar

� Engenheiros utilizam a notação j para evitar confusão com a notação i utilizada para corrente elétrica, assim

j2 = -1= ±j

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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas

� Representação gráfica de z= a + jb◦ Coordenadas retangulares (a,b)� Re z = a� Im z = b◦ Coordenadas polares (r,θ)� a = r cos θ� b = r sen θ

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� Fórmula de Eulerejθ = cos θ +j sen θ

� Substituindo em zz = r ejθ

� Portanto, um número complexo pode ser expresso na forma retangular ou polar

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� O conjugado de z = a + jb éz* = a – jb = r e-jθ

� Soma de z + z*� Produto zz*

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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas

� Vimos que r e-jθ é um ponto a distância r da origem e com ângulo θ em relação ao eixo x

-1 =

1 =

J =

- J = � Em futuras discussões, será útil lembrar a

definição acima7

Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas

� Adição e subtração ◦ números complexos na forma retangular

� Multiplicação e divisão◦ forma retangular ou forma polar◦ z1 z2 = r1 r2 ej (θ1 + θ2)

◦ z1/z2 = r1/r2 ej (θ1 - θ2)

� Potenciação e radiciação◦ forma retangular ou forma polar◦ zn = rn ej nθ

◦ z1/n = r1/n ej θ/n

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� Exemplos◦ z1 = 3 + j4 = 5ej53,1 z2 = 2 + j3 = √13 ej56,3

� Multiplicação : Forma Retangular z2z1

� Multiplicação: Forma Polar z2z1

� Divisão: Forma Retangular z2/z1◦ Multiplica-se o numerador e denominador pelo

conjugado complexo do denominador

� Divisão: Forma Polar z2/z1

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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas

�

� O ângulo 2πf0t + θ é alterado de 2π quanto t varia de 1/f0, assim, a senóide se repete a cada 1/f0 unidades de tempo

� f0 = frequência da senóide eé o período

C é a amplitudeθ é a fase

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� É conveniente expressar (frequência angular) como

� Assim,

�

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� Senoides podem ser expressas como exponenciais, utilizando a fórmula de Euler:

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� Lista de Exercícios 1.1

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