fascículo 04 enem 2011

Universidade Aberta do Nordeste e Ensino a Distncia so marcas registradas da Fundao Demcrito Rocha. proibida a duplicao ou reproduo deste fascculo. Cpia no autorizada Crime.

Matemtica

Alexmay Soares, Cleiton Albuquerque, Fabrcio Maia, Joo Mendes e Thiago Pacfico

Matemtica e suas Tecnologias

04

Caro Estudante

es-problema vivenciadas de voltada para situa unto udo da proporcionalida tema, dividiremos o ass como objetivo geral o est lhor compreenso desse O presente fascculo tem no Enem. Para uma me se tem contemplado no cotidiano, conforme em trs tpicos: Razes e Propores; Geometria e Proporcionalidade na de). Funo Afim (Linearida Bom Estudo!

Objeto do Conhecimento

Razes e ProporesNa fico ou na realidade, as razes e propores acompanham os seres. Afinal, tudo uma questo de escala. Vejamos dois questionamentos, sendo o primeiro fictcio, nos quais os conceitos de razo e proporo so fundamentais para a compreenso e elaborao das respectivas respostas. 1. O que aconteceria se algum crescesse e se tornasse grande como um gigante? Certamente cairia no cho com o fmur quebrado ao dar o primeiro passo. Entendeu? Se no, observe: a altura aumenta em uma direo, a rea em duas e o volume, em trs. Se a altura de uma mulher ficasse 10 vezes maior, a seco transversal (rea) do conjunto de ossos e msculos que a sustenta contra a gravidade ficaria 10 10 = 100 vezes maior, j o seu volume (e, portanto, a sua massa) ficaria 10 10 10 = 1000 vezes maior. O resultado disso tudo que os ossos destinados a mant-la erguida no suportariam o seu peso, sendo estilhaados. por essa e outras que cada ser deve ter o tamanho certo, pois mudanas quantitativas podem fazer imensas diferenas qualitativas.Uma questo de escala. In: O universo e a xcara de ch, K.C. Cole Adaptado.

Isso significa que, em mdia, o automvel de Fabola percorre 9 km para cada litro de combustvel consumido. O automvel mais econmico o que gasta menos combustvel para percorrer uma mesma distncia. Observando que o m.m.c. (10, 9) = 90, consideremos a distncia de 90 km. Como o automvel de Carlos gasta, em mdia, 1 litro para percorrer 10 km, ento para percorrer 90 km ele gastaria apenas 90 : 10 = 9 litros, enquanto o automvel de Fabola gastaria 90 : 9 = 10 litros. Assim, o automvel do Carlos o mais econmico, economizando 10 9 = 1 litro de gasolina para cada 10 litros consumidos pelo carro da Fabola. Matematicamente, temos:

(1 para 10 ou 10 para 100 ou dez por cento).

2. Qual o automvel mais econmico: o de Carlos que consome 24 litros de gasolina para percorrer 240 km ou o de Fabola que percorre 180 km com 20 litros de gasolina? Quantos por cento mais econmico? Dividindo-se o nmero de quilmetros percorridos pela respectiva quantidade de gasolina consumida, temos: I. Para o automvel de Carlos:(dez quilmetros por litro)

Isso nos diz que para cada 100 litros de gasolina consumidos pelo carro da Fabola, o automvel do Carlos gastaria 10 litros a menos, para fazer o mesmo percurso. Se o amigo leitor teve dificuldade para compreender alguma passagem nesses questionamentos, no se preocupe. Leia com ateno os tpicos a seguir e, depois, volte e reveja-as. CONCEITO DE RAZO A razo entre duas grandezas o quociente entre elas. Assim, por exemplo, se numa festa comparecerem 20 homens e 30 mulheres, dizemos que: I. A razo entre o nmero de homens e o de mulheres na festa :(l-se:2 para 3)

Isso significa que, em mdia, o automvel de Carlos percorre 10 km para cada litro de combustvel consumido. II. Para o automvel de Fabola:(nove quilmetros por litro)

Isso significa que para cada 2 homens existem 3 mulheres.

50

II. A razo entre o nmero de mulheres e o total de pessoas na festa :(l-se:3 para 5)

Escalas numricas (E) a razo entre um comprimento no desenho (d) e o seu correspondente comprimento no tamanho real (D), medidos numa mesma unidade.

Isso nos diz que para cada 5 pessoas na festa, 3 so so mulheres. As grandezas envolvidas em uma razo podem ser de espcies diferentes. Por exemplo, se na festa citada, as mulheres consumiram 120 salgadinhos e os homens consumiram 100, dizemos que: I. A razo entre o nmero de salgados consumidos pelos homens e o nmero de homens foi de:salgados/homens (l-se: 5 salgados por homem)

Uma escala pode ser representada graficamente. Nesse caso, usamos um segmento de reta graduado, em que cada graduao corresponde a 1 cm de comprimento no desenho.

Isto significa que, em mdia, cada homem consumiu 5 salgados. II. A razo entre o nmero de salgados consumidos e o nmero de pessoas foi de:

Observe que, sendo a escala (E) um quociente, quanto maior o divisor (o denominador D, a distncia real), menor seu valor. Exemplo: Em uma fotografia area, um trecho retilneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma fotografia, uma rea queimada aparece com 9 cm2. Nessas condies, a fotografia est na escala ou , ou seja, E = 1: 250 000. Essa escala nos diz que 1 cm na fotografia corresponde a 250 000 cm (2,5 km), na realidade. Assim, 9 cm2 (rea queimada na fotografia) corresponde a 9 (2,5 km)2 = 9 (6,25 km)2 = 56,25 km2. Proporo Proporo uma igualdade entre duas razes. Quando dizemos que os nmeros reais a, b, c, d, no nulos, formam, nessa ordem, uma proporo, significa que se tem a seguinte igualdade:

salgados/pessoas (l-se: 4,4 salgados por pessoa)

Isto , em mdia, cada pessoa consumiu 4,4 salgados. Em geral, dados dois nmeros reais a e b, com b 0, usamos tivamente. Na razo (l-se: a para b), o nmero a chamado de ou a : b para indicar a razo entre a e b, respec-

antecedente e o nmero b, de consequente.

Porcentagem (ou percentagem) a frao por cento de qualquer coisa, isto , a quantidade correspondente a 100 coisas quaisquer. P% Exemplo:a) Em um grupo de 100 estudantes, 13 falam ingls fluentemente, isto , 13% (l-se: 13 por cento) do grupo fala ingls. Note:

(L-se: a est para b, assim como c est para d)

p

Observe, na ltima igualdade acima, que os termos a e d ficaram nas extremidades (a e d so chamados de extremos da proporo); j os termos b e c ficaram no meio (b e c so os meios da proporo). Propriedades da proporo Se , com a, b, c, d, reais no nulos, temos:

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(constante de proporcionalidade).

pondente desse elemento na outra sequncia tambm triplica. Em outras palavras, os elementos correspondentes nas duas sequncias esto na mesma razo. Veja:

Sendo assim, temos as seguintes propriedades:I. ad bc (propriedade fundamental)

Numa proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.II.

III.

Em geral, dizemos que os nmeros da sucesso numrica (a1, a2, a3, ..., an ) so diretamente proporcionais (ou simplesmente proporcionais) aos nmeros da sucesso (b1, b2, b3, ..., bn ) quando as razes entre seus respectivos correspondentes forem iguais, ou seja:

Exemplo: Duas jarras idnticas contm poupa de fruta e gua nas propores 3:7 na primeira e 3:5 na segunda. Julgando o suco da primeira muito fraco e o da segunda muito forte, Dona Benta resolveu juntar os contedos das duas jarras numa vasilha maior, obtendo, a seu ver, um suco na proporo ideal de poupa de fruta e gua. Considerando J o volume de uma jarra, podemos descobrir essa proporo ideal, utilizando as propriedades das propores. Veja: I. Na primeira jarra:

Esta razo constante k chamada de fator de proporcionalidade e indica quantas vezes cada antecedente maior que o respectivo consequente. Exemplo: Os irmos Joo Victor, Gabriela e Matheus tem 16 anos, 14 anos e 10 anos, 10 anos, respectivamente. Se o pai deles distribuir R$ 240,00 reais entre eles, em partes diretamente proporcionais s idades, quanto receber cada um? Sendo k a constante de porporcionalidade, a parte de cada um ser k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes sero 16k (Joo Victor), 14k (Ganriela) e 10k (Matheus) Da:

Note: poupa + gua = J (volume da jarra)

II. Na segunda jarra:

III. Juntando-se as duas jarras, obteremos:

Da, a proporo ideal consiste em 27 partes de poupa de fruta para 53 partes de gua. Nmeros Diretamente Proporcionais Considere as seguintes sequncias numricas: 1 sequncia:

Sendo assim, temos que: Joo Victor, Gabriela e Matheus receberam, respectivamente, R$ 96,00, R$ 84,00 e R$ 60,00. Grandezas diretamente proporcionais Observe na tabela seguinte as quantidades (Q) de picols comprados a R$ 3,00 reais cada um e os respectivos valores pagos:Valor (V) Quantidade (Q) 3 1 6 2 15 5 24 8 18 6 36 12

2 sequncia: Nessas sequncias, observe que elas crescem ou decrescem na mesma razo inversa, isto , se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o corres-

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Note que as razes obtidas entre os respectivos elementos das sequncias de valores (V) e de quantidades (Q) so iguais.

Aqui, a constante k tambm chamada de fator ou coeficiente de proporcionalidade e indica o produto entre os respectivos elementos das sequncias inversamente proporcionais. Exemplo: Os funcionrios de uma fbrica, Lucas, Raquel e Elias, no ms de maio, faltaram ao servio 8 dias, 5 dias e 2 dias, respectivamente. Se o diretor financeiro dessa fbrica dividir R$ 396, 00 entre os citados funcionrios, em partes inversamente proporcionais s faltas, podemos calcular a parte de cada um. Veja: As partes devem ser diretamente proporcionais aos inversos dos nmeros de faltas , respectivamente. Sendo k a constante de proporcionalidade, as partes sero, ento: . Da:

Em geral, dizemos que duas grandezas A e B so diretamente proporcionais quando uma aumenta e a outra tambm aumenta na mesma proporo, isto , quando as razes obtidas entre os valores assumidos por uma das grandezas e os respectivos valores assumidos pela outra forem iguais. Em smbolos:

Nmeros inversamente proporcionais Considere as seguintes sequncias numricas:

1sequncia:

formada pelos

Sendo assim, temos que: Lucas, Raquel e Elias recebero R$ 60,00 R$ 96,00 e R$ 240,00, respectivamente Grandezas inversamente proporcionais Matheus quer dividir todos os seus 60 bombons entre os amigos, em partes iguais. Observe na tabela seguinte os possveis nmeros de amigos e as respectivas quantidades (B) de bombons recebidos por cada amigo:

respectivos inversos de (2, 6, 4, 10).

2 sequncia: Nessas sequncias, observe, elas crescem ou decrescem na razo inversa, isto , se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente deste elemento na outra sequncia reduz-se sua tera parte. Note que os inversos dos nmeros da 1 sequncia so diretamente proporcionais aos nmeros da 2 sequncia. Inversos da 1 sequncia Em geral, dizemos que os nmeros da sequncia (a1, a2, a3, ..., an) so inversamente proporcionais aos nmeros da sequncia (b1, b2, b3, ..., bn) quando os nmeros de uma delas forem, respectivamente, diretamente proporcionais aos inversos da outra, ou seja:1 2 3 n

Numero de amigos (A) Bombons recebidos (B)

2 30

3 20

4 15

5 12

6 10

10 6

30 2

Note que os produtos obtidos entre os respectivos elementos das sequncias nmero de amigos (A) e nmero de bombons recebidos (B) so iguais:

1

2

3

n

ou de outra forma:

Em geral, dizemos que duas grandezas A e B so inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na razo inversa, isto , quando os produtos obtidos multiplicando-se cada valor assumido por uma das grandezas pelo respectivo valor assumido pela outra forem iguais.


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Em smbolos:

A regra de sociedade uma aplicao prtica da diviso em partes proporcionais.

onde k a constante de proporcionalidade

Exemplo: Se 20 operrios, todos com a mesma capacidade de trabalho, realizam determinado servio em 15 dias, podemos inferir em quantos dias 24 desses operrios faro servio idntico. Para isso, note que as grandezas, n de operrios (H) e n dias (D) so inversamente proporcionais (note: quanto mais homens trabalhando, menos dias eles gastam). Da, H D = k, onde k constante. Da, para os dois servios, devemos ter: H D = 20 15 = 24 x = k, onde x o nmero de dias para a realizao do outro servio. Assim,20 15 24

Regra de trs simples e regra de trs composta Existe uma regra prtica que nos permite relacionar dois valores de uma grandeza A com dois valores, respectivamente, de outra ou outras grandezas proporcionais grandeza A.Essa regra pode ser resumida assim:

1 passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza. 2 passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referncia, de preferncia a que se quer saber o valor. 3 passo: grandeza de referncia, associamos uma seta com sentido para baixo ( s uma conveno, poderia ser para cima). 4 passo: Comparamos esta grandeza de referncia cada uma das outras, isoladamente, identificando se h proporcionalidade direta (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas). 5 passo: Colocamos a razo da grandeza de referncia isolada no 1 membro e, no 2 membro, colocamos a outra razo ou o produto das outras, caso tenha mais de uma outra lembrando que se h proporcionalidade em relao grandeza de referncia, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e escrever a razo inversa no membro da igualdade formada. Se o problema envolve apenas duas grandezas proporcionais, temos uma regra de trs simples. Caso o problema envolva mais de duas grandezas proporcionais, tratar-se- de uma regra de trs composta. Exemplo: Para analisar a transpirao das plantas, os botnicos precisam conhecer a rea das suas folhas. Essa rea pode ser obtida pelo seguinte processo: colaca-se a folha da planta sobre uma cartolina e traa-se o seu contorno. Na mesma cartolina, desenha-se um quadrado com 10 cm de lado, como mostram as figuras a seguir:

.

Grandezas proporcionais a duas ou mais outras grandezas Se uma grandeza A proporcional s grandezas B e C, ento A proporcional ao produto B C, isto :

onde k constante

Essa propriedade se estende para mais de duas outras grandezas. Por exemplo: a) A grandeza X proporcional s grandezas Y, Z e W. Ento:

b) A grandeza M diretamente proporcional s grandezas A e B e inversamente proporcional grandeza C. Ento:

c) A grandeza X inversamente proporcional s grandezas P, Q, R e diretamente proporcional grandeza S. Ento:

Regra de sociedade Em uma sociedade, os lucros e os prejuzos devem ser distribudos entre os scios em partes diretamente proporcionais aos capitais empregados pelos respectivos scios e ao tempo durante o qual esses capitais estiveram empregados na constituio da sociedade. justo quem aplicou mais ganhar mais. justo quem aplicou seu dinheiro por mais tempo ganhar mais. 54

Aps serem recortadas, as duas figuras so pesadas em uma balana de alta preciso, que indica uma massa de 1,44 g para o quadrado da cartolina. Desse modo, usando grandezas proporcionais, os botnicos podem determinar a rea das folhas. Supondo que o botnico obteve a massa da figura da folha igual a 3,24 g, ele poderia usar a seguinte regra de trs:

Para Fixar|C6-H24| 01. O tempo geolgico representa a histria da Terra desde a sua formao at o presente momento. A figura mostra uma relao de escalas em que se faz uma correspondncia entre a durao de um dia e a idade da Terra.Tempo geolgicoaparecimento de plantas de terra firme incio de formao de fsseis mais antigos de organismos multicelulares 22 21 20 perodo de domnio dos dinossauros aparecimento do homo sapiens arcaico (23 h 59 min 30 s) formao da Terra 2bil h o de an osde 4,5 -4 -0 an bilh os atr es s

23 meia-noite 1

24

formao das rochas mais antigas conhecidas 3 4 5 6 7 8 incio de formao de fsseis mais antigos primeiros organismos fotossintetizantes

Da, Logo, a rea da folha 225 cm2.

19s atr

lt

im

o

4,0-3,0 bilhes de

18 17 incio de formao de fsseis mais antigos de seres eucariticos 16 15

s ano

anos atrs

2,0

-1.0

bilh

es

de

14 13 forte acmulo de gs oxignio na atmosferameio-dia 11 12

Internet: .

Questo Comentada|C4-H16| 01. A massa inicial de uma melancia 1 kg (1000 g) e apenas 1 por cento de sua massa slida, os outros 99 por cento so gua. A melancia posta ao sol e desidrata-se. Passa a ter apenas 98 por cento de gua. Quanto pesa agora a melancia? a) 989,90 g aproximadamente. b) 990 g. c) 660 g. d) 500 g. e) menos de 500 g. Soluo Comentada: Observe que a massa slida 1% de 1 000 g, isto , . Aps a desidratao, a parte slida continua 10 g, mas agora corresponde a 2% da massa final da melancia (aps a desidratao), uma vez que outros 98% so de gua. Usando regra de trs, temos:

Supondo que a escala para o registro do tempo geolgico, em vez da escala de um dia apresentada acima, correspondesse aos cem anos compreendidos entre 1900 e 1999, o perodo de domnio dos dinossauros na Terra seria entre: a) 1973 e 1978 b) 1979 e 1984 c) 1985 e 1990 d) 1991 e 1996 e) 1997 e 1999 |C3-H11| 02. Uma escala numrica E um nmero, sem unidade, escrito na forma:

Observe o desenho seguinte, que representa o campo de futebol do Estdio jornalista Mrio Filho, mais conhecido como Maracan, localizado na cidade do Rio de Janeiro.Cotado em metros 110

16,5 A 9,15 5,5

75 11

x

B

Da,

.

Resolver foi fcil, o difcil acreditar no resultado. Sim, o peso da melancia diminuiu para metade. Esse curioso problema o famoso paradoxo da melancia.Resposta correta: d

Note que no desenho est escrito Cotado em metros. Isso significa que as medidas nele indicadas referem-se aos comprimentos reais, em metros. Sabe-se que a medida do segmento AB 4 cm. Assim, o valor de x, em metros, : a) 4 b) 40 c) 5 d) 50 e) 35


3,0-2,0 bilh

es de ano

s atrs

9 10

18

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Fique de OlhoO QUE UM QUILATE DE OURO?A palavra quilate vem do grego keratio, significando uma semente que era usada como unidade de peso na antiga Grcia. Uma joia considerada de n quilates se igual a 24. Assim, o ouro de um objeto com 18 partes de ouro e 6 de outro metal de 18 quilates. Desta forma, o ouro 18 quilates tem 75% de ouro, e os 25% restantes so ligas adicionadas para garantir maior durabilidade e brilho joia. Note que 18 quilates = 18/24 = 75% de ouro (tambm chamado de ouro 750). de sua massa for de ouro, sendo n maior ou igual a 1 e menor ou O ouro puro tem 24 quilates (contm 100% de ouro) e denominado ouro 1000. Na realidade, o ouro nunca tem uma pureza total, e a classificao mais alta cai para 999 pontos, na escala europeia, conforme mostra a tabela.

Quilatagem24 K 18 K 14 K 10 K

Contedo de Ouro100% 75% 58,3% 41,6%

Pureza999 750 583 416

Disponvel em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Quilate>. Adaptado.


Proporcionalidade na GeometriaA Geometria surge a partir da necessidade de calcular distncias, medir superfcies, construir habitaes, templos e outras coisas. Atravs dos tempos, os seus registros esto presentes nos legados de todas as civilizaes: babilnios, egpcios, gregos, chineses, romanos, hindus, rabes utilizaram as formas geomtricas em sua rotina diria. Atualmente, o projeto de construo de um edifcio ou de uma aeronave, por exemplo, com frequncia requer a produo de modelos e maquetes em miniatura, com a mesma forma que o objeto original, permitindo obter um amplo entendimento de sua complexa estrutura. A ampliao ou reduo fotogrfica outro recurso utilizado para revelar com detalhes aspectos de difcil visualizao de certas situaes, como a confeco da planta de uma cidade, por exemplo. Trata-se de um procedimento muito til, pois preserva a forma dos objetos fotografados. do estudo da geometria possvel observar, analisar e refletir sobre as propriedades do plano e do espao. Neste sentido, importante que os estudantes adquiram a capacidade de observar, reconhecer as formas geomtricas e atravs de suas propriedades, interpretar e solucionar situaes-problema da vida cotidiana. Teorema de Tales (proporcionalidade) O Teorema de Tales garante que um feixe de paralelas determina em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais.

Propriedade incontestvel que o desconhecimento das formas geomtricas e suas propriedades, indubitavelmente comprometer a percepo, a compreenso e a capacidade de raciocnio visual que a vida diria exige de ns. Atravs

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Semelhana Um conceito muito utilizado em geometria a ideia de figuras semelhantes, que vem sendo utilizado desde a Antiguidade. Uma ampliao, uma reduo e at uma congruncia so exemplos claros de semelhana. Entre as figuras geomtricas planas que so sempre semelhantes, temos todos os crculos e quadrados, enquanto na geometria tridimensional temos as esferas e os cubos. As figuras abaixo so semelhantes.

Casos de semelhana Primeiro caso de semelhana de tringulos: dois tringulos so semelhantes quando tm dois ngulos ordenadamente iguais. Segundo caso de semelhana de tringulos: dois tringulos so semelhantes quando tm um ngulo igual, compreendido entre dois lados proporcionais. Terceiro caso de semelhana de tringulos: dois tringulos so semelhantes quando tm os trs lados ordenadamente proporcionais. Exemplo: O ngulo sob o qual um observador v o topo de um prdio de 88 m de altura duplica quando esse observador se aproxima 110 m do prdio, e triplica quando ele se aproxima mais 50 m. Neste instante, a distncia entre o observador e o prdio pode ser inferida, usando-se semelhana de tringulos.

Duas figuras so semelhantes quando os ngulos correspondentes so congruentes e a medida do comprimento dos segmentos que unem quaisquer dois pontos de uma proporcional medida do comprimento dos segmentos correspondentes na outra. Assim, duas figuras so seme-lhantes se uma ampliao ou reduo da outra ou se so congruentes. Numa ampliao todos os comprimentos so multiplicados por um nmero maior do que 1 e numa reduo todos os comprimentos so multiplicados por um nmero positivo menor do que 1. Para relacionar as dimenses de figuras semelhantes define-se a razo de semelhana, r, que o quociente entre as medidas dos comprimentos de qualquer segmento da figura transformada e as medidas dos comprimentos do segmento correspondente da figura inicial. Se r > 1, a figura semelhante uma ampliao. Se r < 1, a figura semelhante uma reduo. Se r = 1, as figuras so congruentes ou geometricamente iguais. O fator de escala entre duas figuras semelhantes igual ao valor da razo de semelhana. Semelhana de Tringulos Dois tringulos dizem-se semelhantes quando tm seus pares de lados correspondentes ordenadamente proporcionais e os ngulos correspondentes iguais.

Para isso, veja no modelo matemtico seguinte que os tringulos AEC e EBC so semelhantes.

Da,

2

Agora, usando o Teorema de Pitgoras no tringulo CDE, obtemos: (CE) = x + 88 Se os tringulos ABC e A B C so semelhantes, ento: Semelhana de Polgonos Dois polgonos so semelhantes se for possvel estabelecer uma correspondncia entre vrtices e lados de modo que ngulos de vrtices correspondentes sejam congruentes e lados correspondentes sejam proporcionais. 8 000 = x + 7744 x = 16 m


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B B a A e E E d b C c D e d A c D a b C

Questo Comentada|C2H8| Conta uma lenda que a cidade de Delos, na Grcia Antiga, estava sendo assolada por uma peste que ameaava matar toda a populao. Para erradicar a doena, os sacerdotes consultaram o Orculo e este ordenou que o altar do Deus Apolo tivesse seu volume duplicado. Sabendo-se que o altar tinha forma cbica com aresta medindo 1 m, ento o valor em que a mesma deveria ser aumentada era: a) b) c) d) e) Soluo Comentada:

Importantssimo: k chamado razo de semelhana. Se dois tringulos so semelhantes, a proporcionalidade se mantm constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas, permetros, inraios, circunraios etc. fcil provar que se os polgonos so semelhantes com razo de semelhana k; a razo entre as reas k. Uma extenso razovel dos resultados acima vmos na geometria espacial quando se tem dois slidos semelhantes; diremos que a razo entre os volumes de dois slidos semelhantes igual ao cubo da razo de semelhana, isto , k. Exemplo: Um bolo em forma de pirmide tem altura 30 cm e rea da base igual a 150 cm2. Usando semelhana de slidos geomtricos, podemos determinar a rea da seco superior do tronco da pirmide obtida quando se corta o bolo paralelamente base e a 17 cm dela. Veja:h 30 17

volume: 2V volume: V1 1 1 1+x 1+x 1+x

x representa a medida do acrscimo na aresta do cubo original. Estando diante de slidos semelhantes, podemos montar a seguinte proporo:3

3

3

3

Para FixarAB=150 cm2

Devido a seco ser paralela ao plano da base (seco transversal), podemos concluir que: h = 30 17 = 13 e a razo de semelhana da pirmide menor (acima do corte) e a maior (bolo completo)9 13 k= ; 30 rea da seco (pirmide menor) = k2; rea da base (pirmide maior)

|C2-H8| 03. O gato do garoto Leon subiu no poste. Leon pode ver o seu gato refletido em uma poa dgua, conforme mostra a figura.

Assim,

rea da seco (pirmide menor) 13 = . 30 150

2

Logo, a rea da seco aproximadamente igual a 28,2 cm2.

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Tomando as medidas descritas no desenho e sabendo que a medida da altura dos olhos de Leon 144 cm, a que altura se encontra o gato de Leon? a) 2,4 m b) 3,0 m c) 3,6 m d) 4,2 m e) 4,8 m |C5H19| 04. A figura 1 a seguir apresenta um pentgono regular de lado 4 ; a figura 2, dezesseis pentgonos regulares, todos de lado .

A rea W do pentgono da figura 1 e a soma S das reas dos pentgonos da figura 2 so tais que: a) W = S

b) W =

S

c) W =

S

d) W = e) W = S

S

Fique de OlhoRETNGULO UREODiz-se que um retngulo ABCD qualquer ureo quando apresenta a seguinte propriedade: se dele retira-se o quadrado ABFE, o retngulo CDEF restante ser semelhante ao retngulo original.

Observe, no modelo matemtico seguinte, que os tringulos 1 e 2 so semelhantes. Como os retngulos ABCD e CDEF so semelhantes, temos:ab a a a a b b T2 q

Da, fazendo

,obtemos k = k + 1 (nmero de ouro)

b q a

T1

Portanto,

b

Provavelmente, voc no sabe que os cartes de crdito ou de dbito que tanto usamos so retngulos ureos, ou seja, a razo entre seus lados igual ao nmero de ouro:

Assim, temos (nmero de ouro)

, o que nos d


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Funo AmA ideia de proporcionalidade est naturalmente embutida no raciocnio humano. Sua importncia se d pela sua ampla perspectiva de aplicao no estabelecimento de relaes em todas as reas do conhecimento. Diversas leis naturais, diversos fenmenos fsicos, biolgicos ou sociais podem ser explicados e quantificados atravs do conceito de proporcionalidade. Talvez nenhuma outra funo matemtica expresse to bem essa ideia quanto a funo afim. Denio Toda funo f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a 0 e b so constantes reais, dita funo afim ou funo do 1 grau, cuja representao grfica uma reta. Nessa funo, o coeficiente de x (a) chamado de coeficiente angular e o termo independente de x (b), de coeficiente linear. Observao Para a > 0, o grfico de f um reta crescente e para a < 0, uma reta decrescente. Subtraindo membro a membro essas igualdades, obtemos:a( x2 x1) = y2 y12 2 1 1

Sendo assim, o coeficiente angular de f, a, pode ser interpretado como sendo a taxa de variao de f(x) = y, em relao a x, no intervalo fechado [x1, x2 ], isto :2 1

(constante)

2

1

J calculando o valor numrico de f( ), obtemos: f(0) = a 0 + b f(0) = b

Isso nos mostra que o coeficiente linear b representa o valor da funo quando a varivel assume o valor zero. Frequentemente, b est associado ao valor inicial da funo (ou valor fixo), enquanto que a est relacionado ao valor varivel (ou unitrio). Questo Comentada|C4H15, H16| Uma empresa de telefonia oferece dois tipos de planos para seus clientes. Plano A: taxa de R$ 35,00 e custo de R$ 0,50 por minuto utilizado. Plano B: taxa de R$ 50,00 por uma franquia de 100 minutos e adicional de R$ 0,80 por minuto que exceder franquia. O intervalo de tempo, em minutos utilizados, em que o Plano B mais econmico que o plano A, : a) (10, 40) b) (25, 75) c) (50, 130) d) (60, 100) e) (75, 125) Soluo Comentada: De acordo com o enunciado, a funo que representa o custo do plano A : CA(t) = 35 + 0,30 t

A funo que representa o custo do plano B :

Taxa de variao Sendo x1 e x2 dois elementos distintos do domnio de f, tais que f( x1 ) = y1 e f( x2 ) = y2, temos:

Devemos ter CB < CA. H dois casos a considerar: 1 caso: t 100 50 < 35 + 0,30 t t > 502 caso: t >100 0,80 (t 100) + 50 < 35 + 0,30 t

0,50 t < 65

t < 130

60

Graficamente, temos:custo (R$) B A

50 35 50 130 tempo (min)

Levando-se em considerao a produo de 1999 e a de 2003, assinale a alternativa que apresenta uma funo que determina as projees para a produo de solvente dos prximos anos. a) y = 299,2 (t 1999) + 481 b) y = 74,8 (t 1999) + 481 c) y = 74,8 (t 1999) 35978,8 d) y = 0,013 (t 1999) + 481 e) y = 0,013 (t 1999) 35978,8 |C4H16| 06. O grfico a seguir mostra o resultado do reflorestamento de uma rea. No eixo horizontal est a varivel t em anos, sendo t = 0 em 1996, t = 1 em 1997, t = 2 em 1998, e assim por diante. No eixo vertical, a varivel y apresenta o nmero de milhares de rvores plantadas.

Logo, CB < CAResposta correta: c

50 < t < 130.

Para Fixar|C5H19| 05. Analise o grfico a seguir.O BOOM DOS SOLVENTES: O CRESCIMENTO DA PRODUO

PRODUO (em mil m3) y 800 780,2

700

600

500

481,0

400 1999 2000 2001 2002 2003

t

Se a taxa de reflorestamento anual se mantiver constante, pode-se afirmar que o nmero de rvores plantadas atingir 46 500 no ano de: a) 2021 b) 2023 c) 2025 d) 2028 e) 2030

O Estado de So Paulo, So Paulo, 27 jun. 2004. p. B 4.

Fique de Olho

LEI DOLBEAR

Essa observao foi quantificada e publicada pela primeira vez em 1897 pelo inventor americano E. A. Dolbear, em um artigo chamado O grilo como termmetro, que forneceu a frmula emprica: T = 10 + Essa frmula, por vezes, chamada de Lei de Dolbear, e foi formulada originalmente em graus Fahrenheit (mas acima, os valores esto em Celsius) e, claro, varia de espcie para espcie. De acordo com a frmula acima, se os grilos cantarem a uma taxa de 110 vezes por minuto, a temperatura de 20 C. Se cantarem 145 vezes por minuto, a temperatura de 25 C. Cada estrilado feito quando o grilo fricciona sua asa dianteira direita contra sua asa dianteira esquerda, que coberta de serras. Nesse processo, a criao do som ocorre de maneira similar ao ato de passar sua unha sobre os dentes de um pente. Em insetos, a esse comportamento d-se o nome de estridulao, j s pessoas que fazem barulho com as unhas e os dentes de um pente, d-se apenas o nome de chatos.

Certamente todos ns j passamos, em algum momento, pelo incmodo de ouvir o estridente criquilar de um grilo. E, provavelmente, tenhamos verificado que num fim de tarde muito quente, os grilos cantam com uma frequncia maior do que noite, com temperatura mais fresca.


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Exercitando para o Enem|C3H11| 01. Quando um carpinteiro diz que o caimento do telhado de 36%, ele est afirmando que, para cada metro na horizontal, o telhado dever subir 36 cm na vertical, ou seja, 36% de um metro. Aps serem levantadas as paredes de uma casa, um carpinteiro executou a cobertura, optando por um telhado de duas guas, DA e DB, ambas com o mesmo caimento e de mesmo comprimento.

Se para imprimir a letra i foram usados 1 200 pontos, para a impresso da letra T, com a mesma qualidade, sero necessrios: a) 1 300 pontos. b) 1 400 pontos. c) 1 500 pontos. d) 1 600 pontos. e) 1 800 pontos. |C3H12| 04. Um garoto que se encontra no ponto A, em frente faixa de pedestres e junto ao meio fio de uma avenida, v a sua namorada num ponto P, no lado oposto de uma ciclovia, de largura 1,80 m e paralela avenida, conforme a ilustrao abaixo. do conhecimento do garoto que o caminho mais curto que o conduz at a sua namorada inseguro: assim, ele primeiro atravessa a avenida e a ciclovia, com segurana, e em seguida caminha em direo sua namorada. Sendo A, D e P pontos alinhados, a distncia, em metros, percorrida pelo garoto ao atravessar a avenida e a ciclovia :

Se a largura AB da casa de 8,50 m e a altura CD do telhado de 170 cm, ento o caimento escolhido foi de: a) 50% b) 40% c) 20% d) 5% e) 4% |C1H3| 02. Consideremos a renda per capita de um pas como a razo entre o Produto Interno Bruto (PIB) e sua populao. Em 2004, a razo entre o PIB da China e o do Brasil, nesta ordem, era 2,8; e a razo entre suas populaes, tambm nesta ordem, era 7. Com base nessas informaes, pode-se afirmar corretamente que em 2004, a renda per capita do Brasil superou a da China em: a) menos de 50% b) exatamente 50% c) exatamente 100% d) exatamente 150% e) mais de 150% |C4H16| 03. Algumas impressoras utilizam o processo de preencher a regio a ser impressa com pontos, sendo, evidentemente, a qualidade da impresso diretamente proporcional ao nmero de pontos empregado. Observe o diagrama abaixo, que representa as letras i e T. a) b) c) d) e) 7,2 5,4 9,0 4,0 3,6

|C4H16| 05. Na figura tm-se dois lotes de terrenos planos, com frentes para duas ruas e cujas divisas so perpendiculares Rua Bahia. Se as medidas indicadas so dadas em metros, qual a rea da superfcie dos dois lotes juntos? a) 350 m2 b) 380 m2 c) 420 m2 d) 480 m2 e) 570 m2

A RU

AL

AG

S OA 15

10 lote A 8

lote B

10

x+4 RUA BAHIA

|C4H18| 06. Aps um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metlicas, como mostra a figura abaixo.

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Sabendo que os muros tm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nvel do cho as duas barras se interceptam? a) 1,50 m b) 1,75 m c) 2,00 m d) 2,25 m e) 2,50 m |C5H-20| 07. O grfico que melhor descreve o volume de gua no recipiente cbico seguinte, em funo da altura (h) do nvel de gua, :

|C5H21| 08. A figura a seguir representa um fio AB de comprimento igual a 100 cm, formado de duas partes homogneas sucessivas: uma de alumnio e outra, mais densa, de cobre. Uma argola P que envolve o fio deslocada de A para B.

Durante esse deslocamento, a massa de cada pedao de comprimento medida. Os resultados esto representados no grfico abaixo.massa (g)

96

16 0

40

100 AP (cm)

a)

A razo entre a densidade do alumnio e a densidade do cobre , aproximadamente, igual a: a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 |C4H15, H16| 09. Pesquisas mostram que, em modalidades que exigem bom condicionamento aerbico, o corao do atleta dilata, pois precisa trabalhar com grande volume de sangue. Em um esforo rpido e sbito, como um saque no tnis, uma pessoa normal pode ter o pulso elevado de 70 a 100 batimentos por minuto; para um atleta, pode se elevar de 60 a 120 bpm, como mostra o grfico abaixo.

b)

c)

d)

Adaptado de Folha de S. Paulo, 06/06/2004.

e)

Se o aumento dos batimentos cardacos de uma pessoa normal ocorre de forma linear, os nmeros de batimentos cardacos do atleta e de uma pessoa normal sero iguais aps quantos segundos do momento do saque? a) 0,8 b) 0,78 c) 0,75 d) 0,64 e) 0,6


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|C6H24| 10. Atravs de experimentos, bilogos observaram que a taxa de canto de grilos de determinada espcie estava relacionada com a temperatura ambiente de uma maneira que poderia ser considerada linear. Experincias mostraram que, a uma temperatura de 21 C, os grilos cantavam, em mdia, 120 vezes por minuto; e, a uma temperatura de 26 C, os grilos cantavam, em mdia, 180 vezes por minuto. Considerando T a temperatura em graus Celsius e n o nmero de vezes que os grilos cantavam por minuto, podemos representar a relao entre T e n pelo grfico a seguir.

Supondo-se que a regio descrita pelo escritor seja um tringulo equiltero de rea 75 km e, no mapa publicado na revista, essa mesma regio tenha rea igual a 3 cm, qual a escala desse mapa? a) 1 : 25 b) 1 : 200 c) 1 : 10.000 d) 1: 500.000 e) 1 : 250.000 |C6H25| 12. Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracan 90.000 torcedores. Trs portes foram abertos s 12 horas e at as 15 horas entrou um nmero constante de pessoas por minuto. A partir desse horrio, abriram-se mais 3 portes e o fluxo constante de pessoas aumentou. Os pontos que definem o nmero de pessoas dentro do estdio em funo do horrio de entrada esto contidos no grfico a seguir:n de pessoas90.000

Supondo que os grilos estivessem cantando, em mdia, 156 vezes por minuto, de acordo com o modelo sugerido nesta questo, estima-se que a temperatura deveria ser igual a: a) 21,5 C b) 22 C c) 23 C d) 24 C e) 25,5 C |C3H11| 11. H 25 anos, o escritor americano Charles Berlitz lanou o polmico livro O Tringulo das Bermudas (The Bermuda Triangle). A obra logo virou best seller e aumentou a fama de sinistro que o local j tinha, desde o incio do sculo 20. Mais recentemente, pesquisadores ingleses concluram que na rea do Tringulo h um depsito natural de gs metano no fundo do mar, que faz a gua ferver e as suas borbulhas empurrarem para a superfcie grandes massas de gua, cuja fora cria redemoinhos to intensos que seriam capazes de sugar navios e avies.

45.000 30.000

12

15

17

horrio

Quando o nmero de torcedores atingiu 45.000, o relgio estava marcando 15 horas e: a) 20 min b) 30 min c) 40 min d) 50 min e) 60 min

Para Fixar01 d 02 b 03 c 04 e 05 b 06 c

Exercitando para o Enem01 b 02 d 03 c 04 a 05 a 06 a 07 a 08 c 09 a 10 d 11 d 12 c

Ateno!! Inscreva-se j e tenha acesso a outros materiais sobre o Enem no www.fdr.com.br/enem2011ExpedientePresidente: Luciana Dummar Coordenao da Universidade Aberta do Nordeste: Srgio Falco Coordenao do Curso: Marcelo Pena e Fernanda Denardin Coordenao Editorial: Sara Rebeca Aguiar Coordenao Acadmico-Administrativa: Ana Paula Costa Salmin Editor de Design: Deglaucy Jorge Teixeira Projeto Grfico e Capas: Dhara Sena e Suzana Paz Editorao Eletrnica: Antnio Nailton Ilustraes: Aldenir Barbosa, Caio Menescal e Joo Lima Reviso: Tony Sales, Rosemeire Melo, Maria Srvia e Rosana Nunes

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fascículo 04 enem 2011