UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS DE SINOP DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL INTRODUO AO CLCULO

Polinmios

Prof.: Rogrio Dias Dalla Riva

Polinmios1.Introduo 2.Tcnicas de fatorao 3.Fatorao de polinmios de terceiro grau ou de grau superior 4.Teorema do zero racional

1. Introduo

Nesta aula, vamos apresentar alguns assuntos de interesse, relativo aos polinmios, que vo subsidiar a disciplina de Clculo I.

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2. Tcnicas de fatorao

O Teorema Fundamental da lgebra afirma que todo polinmio de grau n

anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0tem precisamente n zeros. (Os zeros podem ser repetidos ou imaginrios.) O problema de achar os zeros de um polinmio equivalente ao de decompor o polinmio em fatores lineares.4

2.1. Frmula quadrtica

b b 2 4ac ax + bx + c = 0 x = 2a b + b 2 4ac b b 2 4ac x x 2a 2a 2

=0

Exemplo:5 1 x 5x + 6 = 0 x = 2 x 2 5 x + 6 = 0 ( x 3 ) ( x 2) = 02

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2.2. Produtos especiais

x 2 a 2 = ( x a )( x + a ) x 3 a3 = ( x a )( x 2 + ax + a 2 ) x 3 + a3 = ( x + a )( x 2 ax + a 2 ) x 4 a 4 = ( x a )( x + a )( x 2 + a 2 )

Exemplos:x 2 9 = ( x 3)( x + 3) x 3 8 = ( x 2)( x 2 + 2 x + 4) x 3 + 64 = ( x + 4)( x 2 4 x + 16) x 4 16 = ( x 2)( x + 2)( x 2 + 4)6

2.3. Produtos especiais

( x + a ) = x 2 + 2ax + a2 2 ( x a ) = x 2 2ax + a2 3 x + a ) = x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a3 ( 3 x a ) = x 3 3ax 2 + 3a 2 x a3 ( 4 ( x + a ) = x 4 + 4ax 3 + 6a2 x 2 + 4a3 x + a 4 4 ( x a ) = x 4 4ax 3 + 6a2 x 2 4a3 x + a 42

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2.3. Produtos especiais

Exemplos:

( x + 3)

2

= x 2 + 6x + 92

(x

2

5

)

= x 4 10 x 2 + 25

( x + 2 ) = x 3 + 6 x 2 + 12x + 83

( x 1) = x 3 3 x 2 + 3 x 13

( x + 2 ) = x 4 + 8 x 3 + 24 x 2 + 32x + 164

( x 4 ) = x 4 16 x 3 + 96 x 2 256 x + 2564

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2.3. Produtos especiais

( x + a ) = x + naxn n

n 1

n(n 1) 2 n 2 n(n 1)(n 2) 3 n 3 + a x + a x + + na n 1x + a n 2! 3!

Exemplo:5(5 1) 2 5 2 5(5 1)(5 2) 3 5 3 ( x + a ) = x + 5ax + a x + a x 2! 3! 5(5 1)(5 2)(5 3) 4 5 4 5(5 1)(5 2)(5 3)(5 4) 5 5 5 + a x + a x 4! 5!5 5 5 1

( x + a )5 = x 5 + 5ax 4 +

5(4) 2 3 5(4)(3) 3 2 5(4)(3)(2) 4 5(4)(3)(2)(1) 5 a x + a x + a x+ a 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1

( x + a )5 = x 5 + 5ax 4 + 10a 2 x 3 + 10a3 x 2 + 5a 4 x + a5Nota: Define-se n! = n(n-1)(n-2)(n-3) 1 0! = 1 e 1! = 1 9

2.4. Fatorao por grupamento

acx 3 + adx 2 + bcx + bd = ax 2 (cx + d ) + b(cx + d ) = (ax 2 + b )(cx + d )

Exemplo:3 x 3 2 x 2 6 x + 4 = x 2 (3 x 2) 2(3 x 2) = ( x 2 2)(3 x 2)

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2.5. Exemplos

Exemplo 1: Aplique a Frmula Quadrtica para achar todos os zeros dos seguintes polinmios. (a) 4x2 + 6x + 1, (b) x2 + 6x + 9 e (c) 2x2 6x + 5.b b 2 4ac 6 36 16 6 20 6 2 5 3 5 = = = = (a ) x = 2a 8 8 8 4 b b 2 4ac 6 36 36 6 (b ) x = = = = 3 2a 2 2 b b 2 4ac 6 36 40 6 4 = = (c ) x = 2a 4 4

No exemplo 1, os zeros na parte a so irracionais, e os zeros na parte c so imaginrios. Em ambos os casos a quadrtica se diz irredutvel, porque no pode ser decomposta em fatores lineares, com coeficientes racionais. 11

2.5. Exemplos

Exemplo 2: Ache os zeros dos seguintes polinmios quadrticos. (a) x2 - 5x + 6, (b) x2 - 5x - 6 e (c) 2x2 + 5x - 3. Os zeros so (a) x = 2 e x = 3, (b) x = -1 e x = 6 e (c) x = 1/2 e x = -3.

(a ) x 2 5 x + 6 = ( x 2)( x 3) (b ) x 2 5 x 6 = ( x + 1)( x 6) (c ) 2 x 2 + 5 x 3 = (2 x 1)( x + 3)12

3. Fatorao de polinmios de terceiro grau ou de grau superior

Pode ser difcil achar os zeros de polinmios de grau trs ou grau superior. Entretanto, conhecido que seja um dos zeros de um polinmio, pode-se utilizar este zero para reduzir o grau do polinmio. Por exemplo, se x = 2 um zero do polinmio x3 4x2 + 5x 2, sabemos que (x 2) um fator e, por diviso, podemos fatorar o polinmio como segue: x3 4x2 + 5x 2 = (x 2)(x2 2x + 1) = (x 2)(x 1)2 Como alternativa, muitos preferem utilizar a diviso sinttica para reduzir o grau de um polinmio.13

3.1. Diviso sinttica para um polinmio cbico

Dado x = x1 um zero de ax3 + bx2 + cx + d. x1 a b c dPadro vertical:

Somar termosPadro diagonal:

a

0

Multiplicar por x1

Coeficientes para o fator quadrtico

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3.1. Diviso sinttica para um polinmio cbico

Por exemplo, efetuando a diviso sinttica no polinmio x3 4x2 + 5x -2, utilizando o zero x = 2, obtemos o seguinte: 2 1 -4 2 1 -2 5 -4 1 -2 2 0Padro vertical:

Somar termosPadro diagonal:

Multiplicar por x1

(x 2)(x2 - 2x + 1) = x3 4x2 + 5x - 215

3.1. Diviso sinttica para um polinmio cbico

Ao utilizar a diviso sinttica, leve em conta todos os coeficientes mesmo que alguns sejam zero. Por exemplo, se sabemos que x = -2 um zero de x3 + 3x + 14, podemos aplicar a diviso sinttica como segue: -2 1 0 -2 1 -2 3 4 7 14 -14 0Padro vertical:

Somar termosPadro diagonal:

Multiplicar por x1

(x + 2)(x2 - 2x + 7) = x3 + 3x + 14

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4. Teorema do zero racional

Uma forma sistemtica de achar os zeros racionais de um polinmio consiste em aplicar o Teorema do Zero Racional. Se um polinmio anxn + an-1xn-1 + + a1x + ao tem coeficientes inteiros, ento todo zero racional da forma x = p/q, onde p um fator de a0 e q um fator de an.17

4. Teorema do zero racional

Exemplo 3: Ache todos os zeros reais da expresso 2x3 + 3x2 8x + 3. Fatores do termo constante: 1, 3 Fatores do coeficiente lder: 1, 2 Os zeros racionais possveis so os fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente lder. 1, -1, 3, -3, 1/2, -1/2, 3/2, -3/218

4. Teorema do zero racional

Testando esses zeros possveis, vemos que x = 1 um deles. 2(1)3 + 3(1)2 8(1) + 3 = 2 + 3 8 + 3 = 0 1 2 3 2 2 5 -8 5 -3 3 -3 0Padro vertical:

Somar termosPadro diagonal:

Multiplicar por x1

(x 1)(2x2 + 5x - 3) = 2x3 + 3x2 - 8x + 3

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4. Teorema do zero racional

Finalmente, fatorando a quadrtica 2x2 + 5x 3 = (2x - 1)(x + 3), temos 2x3 + 3x2 8x + 3 = (x 1)(2x 1)(x + 3) e podemos concluir que os zeros so x = 1, x = 1/2 e x = -3.

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