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EMENTA:
Fatoração e Produtos Notáveis.Trinômio de 2º grau.Triângulo Retângulo. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo.Lei dos Senos. Lei dos Co-senos.O Ciclo Trigonométrico.Funções do 1º e 2º graus e Funções
Trigonométricas.Vetores e Geometria Analítica.
• Vetores e Geometria AnalíticaPaulo WinterleE.d Makrom
Introdução à Algebra LinearPaulo WatanabeSteimbruchEd.Makrom.
Operações Algébricas com Vetores.Módulo: distância entre dois pontos.Equações da Reta.Produto Escalar, Vetorial e Misto.Equações da Elipse e Hipérbole.
Avaliações
MT = P1+P2+PM+PS.....Pn n
PM= prova mensal sugerida pela escola.PS= prova semestral sugerida pela escola.P1,P2...Pn= provas sugeridas pelo professor. MT ≥ 6,0
LISTAS DE EXERCÍCIOS
Após certo número de aulas serão passadasaos alunos listas de exercícios.As mesmas serão individuais com peso-1,ou sejaa cada aula o professor passará uma lista a soma
das listas terá valor igual a 1 , na soma da nota.
Deste modo a nota máxima de uma prova será 9,0.
PrimosSão números divisíveis por um e por ele mesmo.Fundamentos da matemática [email protected](mandar novamente)[email protected]@hotmail.com
Estatuto do CA da Fatec São Paulo
[email protected]@terra.com.brListas de exercício.Lista = 10 (0,2 * 10) cópia
Fatoração
A fatoração surge como um recurso da Matemática para facilitar os cálculos algébricos; através dela conseguimos resolver situações mais complexas.
Fatoração
Fatorar: É transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.
Ex: ax + ay = a(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:
1) Fator comum em evidência;2) agrupamento;3) trinômio do quadrado perfeito;4) trinômio do tipo x2 + Sx +P;5) Diferença de dois quadrados;6) Soma de dois cubos;7) Diferença de dois cubos.
Fator Comum em Evidência
Na fatoração por fator comum em evidência, utilizamos a idéia de fazer grupos de polinômios, ao fatorar escrevemos a expressão na forma de produto de expressões mais simples.
Fator Comum em Evidência
O polinômio x² + 2x possui forma fatorada, veja:
x² + 2x .: podemos dizer que o monômio x é comum a todos os termos, então vamos colocá-lo em evidência e dividir cada termo do polinômio x² + 2x por x.
Temos: x (x + 2)
Fator Comum em Evidência
Concluímos que x (x + 2) é a forma fatorada do polinômio x² + 2x.
Para termos certeza dos cálculos, podemos aplicar a distribuição na expressão x (x + 2) voltando ao polinômio x² + 2x.
Fator Comum em Evidência
Exemplos de fatoração utilizando fator comum em evidência:
Exemplo 1 8x³ - 2x² + 6x (fator comum: 2x) 2x (4x² - x + 3)
Fator Comum em Evidência
• Exemplo 2 a6 – 4a² (fator comum: a²) a² (a4 – 4)
• Exemplo 3 4x³ + 2x² + 6x
• (notamos que o monômio 2x é comum a todos os termos) 2x (2x² + x + 3)
Fator Comum em Evidência
• Exemplo 4 6x³y³ – 9x²y + 15xy² (fator comum: 3xy) 3xy (2x²y² – 3x + 5y)
• Exemplo 5 8b4 – 16b² – 24b (fator comum: 8b) 8b (b³ – 2b – 3)
Fator Comum em Evidência
• Exemplo 6 8x² – 32x – 24 (fator comum: 8) 8 (x² – 4x – 3)
• Exemplo 7 3x² – 9xy + 6x + 21x³ (fator comum: 3x) 3x (x – 3y + 2 + 7x²)
Fator Comum em Evidência
Exemplo 8
5a²b³c4 + 15 abc + 50a4bc² (fator comum: 5abc)
5abc (ab²c³ + 3 + 10a³c)
Fator Comum em EvidênciaAplicação do fator comum em evidência na resolução de uma equação
produto (exemplo 9).
Exemplo 9 (3x – 2) (x – 5) = 0
Temos:
3x – 2 = 0 3x = 2 x’ = 2/3 x – 5 = 0
x’’ = 5
Fator Comum em Evidência
• Aplicação do fator comum em evidência na resolução de uma equação incompleta do 2º grau (exemplo 10).
• Exemplo 10 2x² - 200 = 0
• Temos: 2x² = 200 x² = 200/2 x² = 100 √x² = √100 x’ = 10 x’’ = – 10
Agrupamento
Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum).
Agrupamento
• Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração:
termo comum em evidência.
Observe no exemplo a seguir:
ax + ay + bx + by
Agrupamento
• ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b.
Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Agrupamento
a.(x+y) + b.(x+y)
• Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum.
• Assim colocando-o em evidência:
(x+y).(a+b)
Agrupamento
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)
Agrupamento
• Observe mais alguns exemplos de fatoração por agrupamento:
• Exemplo 1 2xy – 12x + 3by – 18b 2x(y – 6) + 3b(y – 6) (2x + 3b)( (y – 6)
Agrupamento
• Exemplo 2 6x²b + 42x² – y²b – 7y² 6x²(b + 7) – y²(b + 7) (6x² – y²) (b + 7)
• Exemplo 3 x² – 10x + xy – 10y x(x – 10) + y(x – 10) (x + y) ( x – 10)
Agrupamento
• Exemplo 4 a³b + a² + 5ab³ + 5b² a²(ab + 1) + 5b²(ab + 1) (a² + 5b²) (ab + 1)
• Exemplo 5 2xy – 4x + 3xy – 6x + 4xy – 8x 2x(y – 2) + 3x(y – 2) + 4x (y – 2) (2x + 3x + 4x) (y – 2) 9x (y – 2)
Trinômio do quadrado perfeito
• Trinômio do quadrado perfeito é o 3º caso de fatoração de expressão algébrica.
• Ele só pode ser utilizado quando a expressão algébrica for um trinômio (polinômio com três monômios) e esse trinômio formar um quadrado perfeito.
Trinômio do quadrado perfeito
• O que é trinômio • Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos
semelhantes, veja exemplos: • 3x2 + 2x + 1
20x3 + 5x – 2x2
2ab +5b + 3c
• Nem todos os trinômios acima podem ser fatorados utilizando o quadrado perfeito.
Trinômio do quadrado perfeito
• O que é quadrado perfeito• Para melhor entender o que é quadrado
perfeito, veja:
• Podemos considerar um número sendo quadrado perfeito? Sim, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 25 é um quadrado perfeito, pois 52 = 25.
Trinômio do quadrado perfeito
• Agora, devemos aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado ao lado com lados x + y, o valor desse lado é uma expressão algébrica.
Trinômio do quadrado perfeito
• Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:
• 1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado2 , então como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.
A1 = (x + y)2
Trinômio do quadrado perfeito
A1 = (x + y)2
O resultado dessa área A1 = (x + y)2 é um quadrado perfeito.
Trinômio do quadrado perfeito
• 2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:
• A2 = x2 + xy + xy + y2, como xy e xy são semelhantes podemos somá-los
• A2 = x2 + xy + xy + y2, como xy e xy são semelhantes podemos somá-los .
• A2 = x2 +2xy + y2
• O resultado da área A2 = x2 +2xy + y2 é um trinômio.
As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:
A1 = A2 (x + y)2 = x2 +2xy + y2
Então, o trinômio x2 +2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2.
Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:
O trinômio x2 +2xy + y2 fatorado fica (x + y)2.
Como identificar um trinômio do quadrado perfeito
Como já foi dito, nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado perfeito. Agora, quando é dado um trinômio como iremos identificar que é quadrado perfeito ou não?
Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:
• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.
Veja um exemplo:Veja se o trinômio 16x2 + 8x + 1 é um quadrado
perfeito, para isso siga as regras abaixo:
Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x2 + 8x + 1 é quadrado perfeito.
Então, a forma fatorada do trinômio é : 16x2 + 8x + 1 é (4x + 1)2, pois é a soma das
raízes ao quadrado.
Veja alguns exemplos:
Exemplo 1:
Dado o trinômio m2 – m n + n2 , devemos tirar as raízes dos termos m2 e n2 , as raízes serão:
m e n, o dobro dessas raízes será 2. m . n que é diferente do termo m n (termos do meio), então esse trinômio não é quadrado perfeito.
• Exemplo 2:
Dado o trinômio 4x2 – 8xy + y2, devemos tirar as raízes dos termos 4x2 e y2 , as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.
• Exemplo 3:
Dado o trinômio 1 + 9a2 – 6a. Devemos, antes de usar as regras do quadrado perfeito, colocar o trinômio em ordem decrescente de expoentes, ficando assim: 9a2 – 6a + 1. Agora, tiramos a raiz dos termos 9a2 e 1, que serão respectivamente 3a e 1. O dobro dessas raízes será 2 . 3a . 1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), então concluímos que o trinômio é quadrado perfeito e a forma fatorada dele é :
(3a – 1)2.
Trinômio do tipo x² + Sx + P
A fatoração do trinômio do tipo x2 + Sx + P é o 4° caso de fatoração que vem logo após o trinômio do quadrado perfeito, pois também é utilizado quando a expressão algébrica é um trinômio.
Trinômio do tipo x² + Sx + P
•Quando é necessário fatorar uma expressão algébrica e essa é um trinômio (três monômios), e verificamos que esse não forma um trinômio do quadrado perfeito, devemos então utilizar a fatoração do tipo x2 + Sx + P.
Trinômio do tipo x² + Sx + P• Dada a expressão algébrica x2 + 12x + 20,
sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito. Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatorar essa expressão algébrica é x2 + Sx + P. Mas, como iremos aplicar essa fatoração na expressão :
x2 + 12x + 20? Veja a resolução abaixo:
• Sempre devemos observar os coeficientes dos dois últimos termos, veja: x2 + 12x + 20. Os números 12 e 20 são os coeficientes dos dois últimos termos, agora devemos achar dois números que quando somamos o valor será igual a + 12 e quando multiplicamos o resultado será igual a + 20, chegaremos a esses números através de tentativas.
Os números somados e multiplicados que dão como valor 12 e 20, respectivamente, é 2 e 10.
2 + 10 = 12 2 . 10 = 20
• Então, fatoramos utilizando os números encontrados que no exemplo é 2 e 10, portanto a forma fatorada de x2 + 12x + 20 será: (x + 2) (x + 10).
• Veja alguns exemplos que utilizam a mesma linha de raciocínio do exemplo acima:
Exemplo 1 x2 – 13x +42, para fatorarmos essa expressão algébrica devemos achar dois números que a sua soma seja igual a -13 e seu produto igual a 42. Esses números serão -6 e -7, pois: - 6 + (- 7) = -13 e – 6 . (- 7) = 42.
Portanto, a fatoração ficará igual a: (x – 6) (x – 7).
Diferença de dois quadrados
• Diferença de dois quadrados é o 5º caso de fatoração. Para compreendermos melhor como e quando utilizarmos é necessário que saibamos que diferença na matemática é o mesmo que subtração e que quadrado é elevar um número, letra ou termos ao quadrado.
Diferença de dois quadrados
A fatoração pela diferença de dois quadrados só poderá ser usada quando:
- Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios). - Os dois monômios sejam quadrados. - A operação entre eles for de subtração.
• Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo:
• a2 - 1, a expressão algébrica tem apenas dois monômios, os dois estão ao quadrado e entre eles há uma operação de subtração.
• 1 – a2 9
• 4x2 – y2
►Como escrever a forma fatorada dessas expressões algébricas.
Dada a expressão algébrica 16x2 – 25, veja os passos que devemos tomar para chegarmos a forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração.
• A forma fatorada será (4x – 5) (4x + 5).
• Veja alguns exemplos:
•Exemplo 1: A expressão algébrica x2 – 64 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 8, então a sua forma fatorada é (x – 8) (x + 8).
Exemplo 2: Dada a expressão algébrica 25x2 – 81, a raiz dos termos 25x2 e 81 é respectivamente 5x e 9. Então, a forma fatorada é (5x – 9) (5x + 9).
Exemplo 3: Dada a expressão algébrica 4x2 – 81y2, a raiz dos termos 4x2 e 81y2 é respectivamente 2x e 9y. Então, a forma fatorada é (2x – 9y) (2x + 9y).
Soma de dois cubos
A Soma de dois cubos é o 6º caso de fatoração de expressões algébricas, para que entenda como e quando devemos utilizá-lo observe a sua demonstração abaixo:
Soma de dois cubos
• Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos x2 - xy + y2, agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas.
• (x + y) (x2 - xy + y2) utilize a propriedade distributiva
x3 - x2y + xy2 + x2y –xy2 + y3 unir os termos semelhantes
x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados.
Assim, podemos concluir que x3 + y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde x e y poderão assumir qualquer valor real.
A forma fatorada de x3 + y3 será: (x + y) (x2 - xy + y2).
• Exemplo1: a3 + 1000 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
a3 + 103, assim: x = a e y = 10 Agora basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.
(x + y) (x2 - xy + y2) (a + 10) (a2 – a10 + 102) (a + 10) (a2 – 10a + 100)
Portanto, a fatoração de a3 + 103 será: (a + 10) (a2 – 10a + 100).
• Exemplo 2: 27x3 + 1 é a soma de dois cubos. Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
(3x)3 + 1 assim: x = 3x e y = 1 Agora basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.
(x + y) (x2 - xy + y2)
(3x + 1) ((3x)2 – 3x .1 + 12)
(3x + 1) (9x2 – 3x + 1) • 27x3-9x2+3x+9x2-3x+1
• Exemplo 3: 8x3 + y3 é a soma de dois cubos. Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
(2x)3 + y3 assim: x = 2x e y = y Agora basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.
(x + y) (x2 - xy + y2)
(2x + y) ((2x)2 – 2xy + y2)
(2x + y) (4x2 – 2xy + y2) • 8x3-4x2y+2xy2+4x2y-2xy2+y3
Diferença de dois cubos
A DIFERENÇA de dois cubos é o 7º caso de fatoração de expressões algébricas, o seu raciocínio é o mesmo da soma de dois cubos, raciocínio esse que esclarece como e quando devemos utilizá-lo, observe a demonstração abaixo:
Diferença de dois cubos
• Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrairmos ficará: x – y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos: x2 + xy + y2, assim, devemos multiplicar as duas expressões encontradas.
Diferença de dois cubos
(x - y) (x2 + xy + y2) é necessário utilizar a propriedade distributiva;
x3 + x2y + xy2 - x2y –xy2 - y3 unir os termos semelhantes;
Diferença de dois cubos
• x3 - y3 é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos.
Assim, podemos concluir que x3 - y3 é uma forma geral da diferença de dois cubos onde x e y podem assumir qualquer valor real.
Diferença de dois cubos
A forma fatorada de x3 - y3 :
Será (x - y) (x2 + xy + y2).
Exemplo1
• Veja alguns exemplos: • Se tivermos que fatorar a seguinte expressão
algébrica 8x3 – 27, devemos observar que ela tem dois termos. Lembrando dos casos de fatoração, os únicos casos que fatoram dois termos são: a diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e a diferença de dois cubos.
Exemplo1
• No exemplo abaixo os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma subtração, então devemos utilizar o 7º caso de fatoração (diferença de dois cubos), para fatorarmos deveremos escrever a expressão algébrica:
8x3 – 27 da seguinte forma:
(x - y) (x2 + xy + y2). Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos:
8x3 – 27
Exemplo1
A raiz cúbica de 8x3 é 2x e a raiz cúbica de 27 é 3. Agora, basta substituir valores, no lugar de x colocaremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma fatorada
(x - y) (x2 + xy + y2) , ficando assim:
Exemplo1
(2x – 3) ((2x)2 + 2x . 3 + 32)
(2x – 3) (4x2 + 6x + 9)
Então, (2x – 3) (4x2 + 6x + 9) é a forma fatorada da expressão algébrica 8x3 – 27.
Exemplo 2
Para resolvermos a fatoração utilizando a diferença de dois cubos devemos seguir os mesmos passos do exemplo anterior.
Fatorando a expressão algébrica r3 – 64 temos:
As raízes cúbicas de r3 é r e de 64 é 4, substituindo teremos no lugar de:
x o r e no lugar de y o 4.
Exemplo 2
(r – 4) (r2 + 4r + 16) é a forma fatorada de: r3 – 64.
Produtos Notáveis
• Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.
Produtos Notáveis
• Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.
Produtos Notáveis
• (a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²• (a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²• (a+b+c).(a+b+c)=• a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
• Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
Produtos Notáveis
• Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes. Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.
