FATORAO NICA EM CORPOS , CICLOTMICOS E O de graduao fatorao nica em corpos ciclotmicos e o ltimo teorema de fermat francielle kuerten boeing joinville, 2013

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  • TRABALHO DE GRADUAO

    FATORAO NICA EM CORPOSCICLOTMICOS E O LTIMOTEOREMA DE FERMAT

    FRANCIELLE KUERTEN BOEING

    JOINVILLE, 2013

  • FRANCIELLE KUERTEN BOEING

    FATORAO NICA EM CORPOSCICLOTMICOS E O LTIMO

    TEOREMA DE FERMAT

    Trabalho de Graduao apresentado aoCurso de Licenciatura em Matemticado Centro de Cincias Tecnolgicas,da Universidade do Estado de SantaCatarina, como requisito parcial paraa obteno do grau de Licenciatura emMatemtica.

    Orientadora: Prof.a Me. VivianeMaria BeuterCoorientadora: Prof.a Dra. IvaneteZuchi Siple

    JOINVILLE, SC2013

  • B669fBoeing, Francielle Kuerten

    Fatorao nica em Corpos Ciclotmicos e o ltimoTeorema de Fermat/ Francielle Kuerten Boeing. 2013.

    153 p.: il.

    Bibliografia:Trabalho de Graduao - Universidade do Estado de

    Santa Catarina, Centro de Cincias Tecnolgicas, Curso deLicenciatura em Matemtica, Joinville, 2013.

    Orientadora: Viviane Maria BeuterCoorientadora: Ivanete Zuchi Siple

    1. ltimo Teorema de Fermat. 2. Corpos Ciclotmicos.3. Fatorao nica. 4. Primos Regulares. 5. Teoremade Kummer.

    I. Beuter, V. M. II. Siple, I. Z. III. Fatorao nicaem Corpos Ciclotmicos e o ltimo Teorema de Fermat.

    CDD: 512.2

  • Aos meus pais.

  • Agradecimentos

    Agradeo, primeiramente, aos meus pais, Edio e Raquel, quetornaram tudo isso possvel e, juntamente com minha irm, Michelle,sempre confiaram em mim e me apoiaram em tudo. Agradeo, tambm,s minhas tias, Maria e Neide, e aos meus sogros, Rita e Vanderlei, queme deram casa, comida e carinho durante o perodo de graduao.

    Ao meu namorado, Luis Gustavo, que me deu a ideia inicialpara o tema deste trabalho e, tambm, por me ajudar e apoiar nosmomentos mais difceis, alm de sempre acreditar em mim.

    Agradeo queles que tornaram essa caminhada muito maisdivertida, principalmente minha prima Amanda e aos meus amigosBruno, Tamara, Alexandre, Srgio, Alessandra, Sabrina e professoraTatiana.

    Ao professor Marnei, que me ensinou a importncia da res-ponsabilidade, dedicao e comprometimento nestes cinco semestres deorientao de monitoria.

    Agradeo, tambm, professora Viviane, que aceitou me ori-entar neste trabalho, mesmo j contribuindo em dois trabalhos de gra-duao e outras atividades. Por toda a ajuda e por ser mais que umaorientadora, por ser uma amiga. Do mesmo modo, agradeo profes-sora Ivanete, por suas ideias geniais e por aceitar me coorientar mesmoem licena maternidade e professora Elisandra, que aceitou participarda banca mesmo estando, tambm, em licena maternidade.

    Por fim, agradeo aos demais membros da banca, professor JosRafael e professor Oscar, que aceitaram avaliar este trabalho, especial-mente ao professor Oscar, que se deslocou de Florianpolis para Join-ville e contribuiu de maneira grandiosa para a melhoria deste trabalho.

  • O cientista no estuda a naturezapor sua utilidade; ele o faz porque sedeleita com ela, e esse deleite vemde sua beleza.

    Henri Poincar

  • Resumo

    BOEING, Francielle Kuerten. Fatorao nica em CorposCiclotmicos e o ltimo Teorema de Fermat. 2013. 77folhas. Trabalho de Concluso de Curso (Graduao em Licen-ciatura em Matemtica) - Universidade do Estado de Santa Ca-tarina, Joinville, 2013.

    Neste trabalho explora-se algumas das dificuldades existentespara a realizao da demonstrao do ltimo Teorema de Fer-mat (UTF), bem como as contribuies matemticas de diversosatores envolvidos nessa trama. De Fermat a Wiles muitas con-tribuies e estudos foram realizados para a demonstrao doUTF. Para revelar a beleza dessa histria, que intrigou muitaspessoas por diversas dcadas, apresentam-se alguns episdios en-volvendo os trabalhos realizados por Ernst Kummer, que criounovos conceitos e se utilizou desses temas para demonstrar o teo-rema para um caso especial, apesar de que, aqui, utilizamos umalinguagem mais atual para estud-lo, a generalizao realizadapor Richard Dedekind. Apresentam-se, tambm, o conceito defatorao nica, noes de extenses algbricas, mdulos e al-guns fundamentos elementares da Teoria dos Nmeros Algbri-cos, com enfoque principal no corpo dos nmeros ciclotmicos.

    Palavras-chave: ltimo Teorema de Fermat. Corpos Ciclot-micos. Fatorao nica. Primos Regulares. Teorema de Kum-mer.

  • Abstract

    BOEING, Francielle Kuerten. Unique Factorization on Cyclo-tomic Fields and Fermats Last Theorem. 2013. 77 folhas. Tra-balho de Concluso de Curso (Graduao em Licenciatura emMatemtica) - Universidade do Estado de Santa Catarina, Join-ville, 2013.

    This work explores some of the difficulties that exist on thedemonstration of the Fermats Last Theorem, as well as themathematical contributions of various actors involved in thisplot. From Fermat to Wiles, lots of contributions and studieswere made to the Fermats Last Theorems demonstration. Toreveal the beauty of this plot, that intrigued many people formany decades, here are shown some episodes involving the workdone by Ernst Kummer, who created new concepts and usedthese new topics to demonstrate the Theorem for a special case,though here we use a language that is more actual to study it,the generalization made by Richard Dedekind. Also, here areshown the concept of unique factorization, notions of algebricextensions, modules and some elementary fundamentals of theAlgebric Number Theory with focus on the Field of CyclotomicNumbers.

    Key-words: Fermats Last Theorem. Cyclotomic Fields. UniqueFactorization. Regular Primes. Kummers Theorem.

  • Lista de tabelas

    Tabela 1 Fonte: Stewart, 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

  • Lista de abreviaturas e siglas

    UTF ltimo Teorema de Fermat

    Mximo Divisor Comum

  • Lista de smbolos

    N Conjunto dos nmeros naturais

    Z Conjunto dos nmeros inteiros

    Q Conjunto dos nmeros racionais

    R Conjunto dos nmeros reais

    C Conjunto dos nmeros complexos

    Z[] Anel dos inteiros ciclotmicos

    Q() Corpo Ciclotmico

    () Anel de inteiros de sobre

    L Anel de inteiros algbricos do corpo de nmeros L

    () Conjunto dos inversveis do anel

    () Ncleo do homomorfismo/transformao

    () Imagem do homomorfismo/transformao

    Ideal gerado pelo elemento

    () Norma de em relao a Q()

    () Trao de em relao a Q()

    () Norma do ideal

    || Cardinalidade de

  • Sumrio

    INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1 O LTIMO TEOREMA DE FERMAT . . . . . . . . . . . . 271.1 PIERRE DE FERMAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2 TEOREMAS E DEFINIES PRELIMINARES . . . . 291.3 O PROBLEMA DE DIOFANTE . . . . . . . . . . . . . 321.4 O MTODO DA DESCIDA INFINITA . . . . . . . . . 35

    1.4.1 Caso = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.4.2 A Reduo do Problema . . . . . . . . . . . . . . 40

    1.5 LEONHARD EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2 DOMNIOS EUCLIDIANOS, FATORIAISE NOETHERIANOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.1 DOMNIOS EUCLIDIANOS . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.1.1 Elementos Associados e MDC . . . . . . . . . . . 532.2 DOMNIOS FATORIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3 DOMNIOS NOETHERIANOS . . . . . . . . . . . . . . 59

    3 TEORIA DOS NMEROS ALGBRICOS . . . . . . . . . . 653.1 EXTENSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3.1.1 Extenses Algbricas . . . . . . . . . . . . . . . . 733.1.2 Anel dos Inteiros Algbricos . . . . . . . . . . . . 79

    3.2 CORPOS CICLOTMICOS . . . . . . . . . . . . . . . 823.2.1 Norma e trao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    4 DOMNIOS DE DEDEKIND . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.1 DOMNIOS DE DEDEKIND . . . . . . . . . . . . . . . 964.2 IDEAIS FRACIONRIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3 NORMA DE UM IDEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

  • 5 TEOREMA DE KUMMER . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.1 GRUPO DE CLASSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.2 TEOREMA DE KUMMER . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    CONCLUSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    REFERNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    Apndices 141

    APNDICE A Anis de Polinmios . . . . . . . . . . . . . . . 143

    APNDICE B Polinmios Simtricos . . . . . . . . . . . . . . 147

    APNDICE C Mdulos e Espaos Vetoriais . . . . . . . . . . 149

  • 23

    INTRODUO

    O ltimo Teorema de Fermat foi um dos maiores problemasda histria da Matemtica, descoberto em 1670, que intrigou os gran-des matemticos por mais de trezentos anos, at ser provado pelo inglsAndrew Wiles, em 1995. O modo como o problema foi proposto por Fer-mat, de forma desafiadora, mas to simples de se entender, fez com quequalquer pessoa sentisse vontade de fazer uma tentativa de solucion-lo.

    Fermat trocava correspondncias com outros matemticos, egostava de lanar-lhes desafios. Quando escreveu em uma das margensde seu livro Aritmetica de Diofante, que a equao

    + = (1)

    no apresentava solues inteiras no triviais quando era um inteiromaior que 2, provavelmente no imaginava a dimenso que o problemaalcanaria.

    O problema parecia simples e Fermat dizia j possuir uma de-monstrao para o mesmo, que ele dizia ser maravilhosa. Mas com opassar dos anos, as pessoas foram percebendo que ao mesmo tempo emque o problema parecia simples, a soluo parecia muito distante desua poca.

    Muitos grandes matemticos fizeram tentativas de solucionar oproblema ao longo da histria. O prprio Fermat deu a primeira contri-buio para a soluo de seu problema em outra margem de um de seuslivros, onde ele ensinava o mtodo conhecido como a descida infinita,que consiste em mostrar que a partir de uma primeira soluo para asoluo natural no trivial da Equao (1), sempre pode-se encontraroutra com nmeros menores que os da soluo anterior,