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01/09/13 FATOS MATEMÁTICOS: Cálculo de Limites Exponenciais
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segunda-feira, 13 de fevereiro de 2012
Para estudar a derivada das funções exponenciais e logarítmicas,faz-se necessário aplicar dois limites fundamentais queapresentaremos neste post.
Proposição 1: Se , então
onde é a constante de Euler ou Napier.
Demonstração: Vale ressaltar que o símbolo significa
ou . Mostraremos o caso em que , o outro caso
é análogo. Dado , existe tal que .Assim,
de modo que
Cálculo de Limites Exponenciais
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Note que
e que
Substituindo e em , temos:
Mas vimos no post O Número e que
e como
fazendo na expressão , temos
donde segue o resultado.
Corolário 1:
Demonstração: Basta fazer na Prop. 1.
Vejamos como podemos usar estes resultados no cálculo de limitesexponenciais.
Exemplo 1: Calcule os limites abaixo:
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Resolução:
Para este limite, fazemos a mudança de variáveis, colocando
, ou seja, . Se , também
temos que . Logo, pela Prop. 1, obtemos:
Analogamente, fazendo , segue que
. Se , também temos que .Assim,
Neste caso, observe que
Assim, fazemos a substituição colocando , de
modo que . Como , segue que
. Assim,
Fazendo , segue que . Se
. Logo, pelo Cor. 1, temos:
Outro limite exponencial fundamental importante é dado napróxima proposição.
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Prof. Paulo Sérgio
Tangará da Serra, MT,Brazil
Bacharel em EngenhariaAgrícola pela UFLA,Mestre em MatemáticaPura pela UFSCar e Ateu.Tenho muita admiraçãopor Leonardo da Vinci eLeonhard Euler por suasgrandes realizações emvários campos da ciência.Apesar de não possuir otítulo de doutor, não mesinto inferior a nenhumdeles, pois continuo emminha longa jornada decompreender e divulgar aMatemática e outrasáreas afins.
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O objetivo deste blog édivulgar a Matemática emtodos os seus níveis,buscando deste modomelhorar a Educação dopaís. Peço a compreensãode todos vocês, no caso decopiar qualquer post, queseja educado e cite o blogFatos Matemáticos ou oseu autor.As sugestões serão semprebemvindas e podem serencaminhadas [email protected],Prof. Paulo Sérgio C. Lino
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Proposição 2: Se , então
Demonstração: Fazemos a mudança de variáveis colocando
, de modo que
Note que se . Assim,
Exemplo 2: Calcule os limites abaixo:
Resolução:
Neste caso, basta adicionar e subtrair , para usarmos aProp. 2, isto é,
Este limite segue direto da Prop. 2, ou seja,
Neste caso, usamos um truque algébrico, para que o limitedado fique no formato do limite fundamental, isto é,
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Exercícios Propostos:
Calcule os limites abaixo:
Mostre que a derivada da função é igual a
.
3) Prove que a derivada da função é igual a
.
Gostará de ler também:- Limites Pela Definição;- Cálculo de Limites Algébricos e Irracionais Algébricos;- Cálculo de Limites Trigonométricos;- O Número e.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 13.2.12
Marcadores: Cálculo
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9 comentários:
Aloisio Teixeira 13 de fevereiro de 2012 19:27
Bonito! Interessante generalização do limite de variávelnatural para real...
Responder
Prof. Paulo Sérgio 13 de fevereiro de 2012 20:39
Acho que os conceitos matemáticos devem ser apresentadosseguindo o padrão de qualidade grego, ou seja, dentro deuma lógica impecável. Pode ser que em uma aula deCálculo, ele omita algumas demonstrações, mas suas notasde aula devem ser impecáveis, mostrando aos alunos que aMatemática está muito bem organizada. Obrigado pelocomentário e volte sempre!
Responder
Aloisio Teixeira 13 de fevereiro de 2012 22:04
O equivalente exponencial do quociente de Newton é
.É correto eu afirmar que
? O desenvolvimento foi
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assim:
.Multiplicando o numerador e denominador da segundaparcela por prossegue-se
. Portanto,
. O que acha?
Responder
Prof. Paulo Sérgio 14 de fevereiro de 2012 10:03
Isto está correto, mas não sei para que serve ou em quepodemos usá-la. Analisando estas contas, achei outro modode prová-la. Seja
Aplicando logaritmo em ambos os lados, temos
Aplicando limite em ambos os lados e fazendo e
usando o fato que é uma função contínua,então podemos permutar o limite com o logaritmo, paraobter
donde segue o resultado.
Responder
Aloisio Teixeira 14 de fevereiro de 2012 10:28
Interessante a demonstração por logaritmo. Eu estavepensando em utilizar o limite de para algum tipo deprodutório infinito. É por isto que gosto da matemática pura.
Responder
Bruno de Andrade Barroca 15 de setembro de 2012 20:05
Qual seria a resolução do exercícios propostos cujo resultadoé 1/e.
Responder
Prof. Paulo Sérgio 15 de setembro de 2012 22:31
A dica para a resolução do exercício 1 a) é
Agora faça que o resultado segue.
Obrigado pelo comentário e volte sempre!
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Ernesto Ernane 5 de maio de 2013 11:06
este site me foi muito útil para a a resolução da minhaprimeira prova da faculdade.
Responder
Prof. Paulo Sérgio 5 de maio de 2013 11:34
Fico feliz em saber que o site está lhe ajudando emseus estudos. Se possível divulgue para os demaiscolegas. Obrigado pelo comentário e volte sempre!
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