FCT/UNL Betão Armado I - Deformação

8/12/2019 FCT/UNL Beto Armado I - Deformao

1/35

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I MESTMEST. ENG. CIVIL. ENG. CIVIL fctfct -- UNLUNL

1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAO

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I

1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOPROGRAMAPROGRAMA1.Introduo ao beto armado

2.Bases de Projecto e Aces3.Propriedades dos materiais: beto e ao4.Durabilidade5.Estados limite ltimos de resistncia traco e compresso6.Estado limite ltimo de resistncia flexo simples

VLcio Nov09 1

7.Estado limite ltimo de resistncia ao esforo transverso8.Disposies construtivas relativas a vigas9.Estados limite de fendilhao10.10.Estados limite de deformaoEstados limite de deformao11.Estados limite ltimos de resistncia flexo composta com esforo normal e flexo

desviada12.Estados limite ltimos devido a deformao estrutural13.Disposies construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite ltimo de resistncia toro

Nov.Nov. 20092009


2/35



NDICENDICE1. Controlo da deformao2. Deformao elstica3. Efeito da fendilhao do beto4. Efeito da fluncia do beto5. Efeito da retraco do beto6. Clculo da deformao em vigas de beto armado

a. Clculo por integrao numricab. Clculo a roximado

VLcio Nov09 2

c. Momentos de Inrcia em secofendilhada e no fendilhada

7. Regras prticas para dispensa do clculo

A deformao de um elemento de beto armado sujeito a esforos de traco ouflexo deve ter em considerao, para alm das caractersticas de deformabilidadedo beto: a existncia de armaduras longitudinais ;

a fendilhao do beto; o comportamento diferido do beto, em resultado da sua fluncia e retraco .


3/35


1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAO1.1. CONTROLO DA DEFORMAOCONTROLO DA DEFORMAOA deformao deve ser controlada para no comprometer o funcionamento e oaspecto da estrutura.A deformao no deve condicionar o funcionamento de equipamentos oumquinas, nem deve proporcionar a acumulao de guas pluviais ou outras.A deformao da estrutura no deve pr em causa a integridade de elementos noestruturais, tais como: paredes divisrias, envidraados, revestimentos ou outrosacabamentos.

VLcio Nov09 3

LIMITES PARA A DEFORMAOEm edifcios correntes, a flecha de uma viga em relao aos seus apoios,determinadas para a combinao de aces quase permanente ,no deve exceder amax= /250.Para reduzir a flecha pode serutilizada uma contra-flecha, a qualtambm no deve exceder /250.

Para no danificar os elementos no estruturais susceptveis de seremdanificados, a deformao que ocorre depois da construo desses elementosdeve ser limitada a amax= /500, para a combinao de aces quase permanente .

a

Contra-flecha


4/35



VLcio Nov09 4


5/35



VLcio Nov09 5

FENDILHAO EM PAREDES DE ALVENARIA DEVIDO AFENDILHAO EM PAREDES DE ALVENARIA DEVIDO ADEFORMAO EXCESSIVA DA ESTRUTURADEFORMAO EXCESSIVA DA ESTRUTURA


6/35


1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAO2. DEFORMAO ELSTICA2. DEFORMAO ELSTICA

a

r raio de curvatura.1 e 2 extenses na fibra superior e inferior

da viga, respectivamente.1/r curvatura.

E1

1====

IyM

E1 1====

E2

2====

IyM

E1 2====

VLcio Nov09 6

MM

r

1

22 - 1

-y1

y2

h

(PTV)PRINCPIO DOSTRABALHOS VIRTUAIS dxM

r

1a

====

hr 12

==== hIE 12

==== IE====

1

+M+M


7/35


1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAO3.3. EFEITO DA FENDILHAO DO BETOEFEITO DA FENDILHAO DO BETO

N N

Tirante

s I

s II = N / As

N

Ncr = f ctm ActNcr

NR(1-)I II

I II

VLcio Nov09 7

c

I =ctm

Em seco no fendilhada:

I = s

I x = c

I x Em seco fendilhada: II = s II x

cI = cI /Ec

s II = s II / Ess I = s I /Es

I IISeja: I = (1-) e II =

Ento: = II + (1-) I

N NZona

fendilhada

Zona no

fendilhada

II = I = (1-)


8/35



N N

TiranteN

Ncr

NR(1-)I II

I II

cI = cI /Ec

s II = s II / Ess I = s I /Es

VLcio Nov09 8

A variao de comprimento do tirante dada pela soma das variaesde comprimento de cada uma das zonas: = II + (1-) I

m = / = s II + (1-) s I

N NZona

fendilhadaZona no

fendilhada

II = I = (1-)

A zona no fendilhada (1-) correspondeao comprimento que tem umcomportamento igual ao da seco

no fendilhada.A zona fendilhada corresponde aocomprimento que tem um comportamentoigual ao da seco fendilhada.

Como I = s I x e II = s II x ento:


9/35


1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAO designa-se por coeficiente de distribuio, corresponde percentagem do

elemento de beto armado que tem um comportamento semelhante ao de umaseco fendilhada: 2

s

sr 1

====

= 0 se a zona em anlise no possui seces fendilhadas, isto , se N N cr nocaso de traco pura, ou se M M cr no caso de flexo simples.

VLcio Nov09 9

repetio, na extenso mdia e toma o valor:

= 1.0 para um nico carregamento de curta durao; = 0.5 para cargas repetidas ou de longa durao.

s a tenso na armadura traccionada calculada para a seco fendilhada e para acombinao quase permanente de aces ;sr a tenso na armadura traccionada calculada para a seco fendilhada e parao efeito das aces que provocam a fendilhao, isto , para N cr no caso detraco pura, ou M cr no caso de flexo simples.

2cr

MM

1

====2

cr

NN

1

====Devido linearidade entre as tensess e sr e os esforos N ou M, podeser apresentado nas formas:


10/35


1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOEM VIGAS

Podemos generalizar o modelo de comportamento anterior paraa flexo em vigas, uma vez que a curvatura por flexo tambmpode ser traduzida em termos de deformaes no ao e no beto:

dr 1 cs ====

IEM====

Ento, na zona no

fendilhada (zonaI): II IE

M

r

1

c====

e na zona fendilhada(zona II ): IIII IE

Mr 1

c====

VLcio Nov09 10

Zona nofendilhada

II = I = (1-)

Zonafendilhada

MM

x

M

1/r

Mcr

MR

1/r I 1/r II1/r

m

Mcr = f ctm wc


11/35



dxMr 1

a ====A flecha numa viga pode ento ser determinada por:1/r m = [ 1/III + (1-) 1/II ] M/Ec

1/r m

=

1/r II

+ (1-) 1/r

I

II IEM

r 1

c====

IIII IEM

r 1

c====com e

Em cada seco, a curvatura mdia dada por:

VLcio Nov09 11

Mcr M Mcr

Zona no fendilhada: M < M cr Zona fendilhada: M Mcr

Nas zonas no fendilhadas (M < M cr ) =0.

1

+M+M

Esta integrao pode ser efectuada usando mtodos numricos.

2cr

M

M1

====Nas zonas fendilhadas (M Mcr

)


12/35


1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAO4.4. EFEITO DA FLUNCIA DO BETOEFEITO DA FLUNCIA DO BETOFluncia (creep em ingls) a deformao do beto ao logo do tempo sob cargaconstante.

c

c0

cc,t

cc

c,t = c0 + cc

O beto, sujeito a uma tenso no instante t0 sofreuma deformao instantnea c0, a qual aumentacom o tempo, atingindo o valor c,t no instante t. a deforma o or fluncia entre t e t.

VLcio Nov09 12

0

cc(t,t0)= (t,t0) x c0

A tempo infinito t a deformao toma o valor c .

O coeficiente de fluncia (t,t0) a relao entre a deformao por fluncia e a

deformao instantnea: (t,t0) = cc / c0

cc(t,t0)= (t,t0) x c/Ec

O coeficiente de fluncia funo do mdulo de elasticidade tangente Ec = 1.05 Ecm

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I MESTMEST ENG CIVILENG CIVIL ff


13/35



c,t

= c0

+ (t,t0) x

c0

c,t= (1+(t,t

0))

c0

c,t = (1+(t,t0)) c/Ec c,t = c / [1.05 Ecm /(1+ (t,t0))]

Considere-se, por simplificao: Ec,eff = Ecm /(1+ (,t0))

Das expresses anteriores:

Designa-se por mdulo de elasticidade efectivo o valor do mdulo de elasticidadeque tem em considerao a deformao total por fluncia do beto:

Nas expresses anteriores, usadas para determinao da deformao, deve ser

e para Ec = 1.05 Ecm

VLcio Nov09 13

A fluncia depende, principalmente: da idade do beto t0 em que aplicado a tenso, da idade do beto t em que medida a deformao,

da geometria da seco ( h0), da humidade relativa RH, da classe de resistncia do cimento

Igualmente, na quantificao do coeficiente de homogeneizao paradeterminao das caractersticas geomtricas das seces de beto armado,

deve ser usado o mdulo de elasticidade efectivo: e = Es / Ec,eff

II IEr eff ,c==== IIII IEr eff ,c====e

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I MESTMEST ENG CIVILENG CIVIL ff UNLUNL


14/35



0100

50

30

1

2

3

5

10

20

t 0

S

N R

100 300 500 700 900 1100 1300 1500

C20/25C25/30C30/37C35/45C40/50C45/55C50/60 C55/67C60/75

C70/85C90/105C80/95

1

2 3

4

5

(,t0) o valor final docoeficiente de fluncia.

t0 a data docarregamento em dias.

h0 a espessuraequivalente da seco=

Ambiente interior RH = 50%COEFICIENTE DEFLUNCIA

VLcio Nov09 14

,,,,,,,

(,t 0

) h 0 (mm)

t 0

01,02,03,04,05,06,0100

50

30

1

2

3

5

10

20

(, t 0)

S

N R

C20/25C25/30C30/37C35/45

C55/67C70/85C90/105C80/95

C45/55C40/50

C60/75C50/60

100 300 500 700 900 1100 1300 1500h 0 (mm)

c , c rea da secotransversal de beto eu o permetro da parteda parte da secoexposta secagem.

N, R e S so diferentesclasses de resistncia docimento (ver EC2 3.1.2(6)).

Ambiente exterior RH = 80%

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I MESTMEST ENG CIVILENG CIVIL ff UNLUNL


15/35


1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAO5.5. EFEITO DA RETRACO DO BETOEFEITO DA RETRACO DO BETOA retraco (shrinkage em ingls) do beto consiste na reduo gradual de volumedo elemento de beto, devido secagem, auto-dessecao e carbonatao damassa de beto endurecida.A deformao por retraco independente do estado de tenso.

A retraco por auto-dessecao, ou retraco autognea, est associada hidratao do

A retraco plstica do beto ocorre na fase de beto fresco, no sendo de considerar paraefeito da deformao dos elementos de beto, e pode ser controlada atravs de uma cura,compactao e composio do beto convenientes.

VLcio Nov09 15

c men o, esenvo ven o-se pr nc pa men e nos pr me ros as a cura o e o.

A retraco por secagem do beto evolui lentamente e resulta da migrao da gua atravsdo beto endurecido. a parcela mais importante na deformao por retraco do beto.

A retraco por carbonatao corresponde reaco entre o dixido de carbono do ar coma pasta de cimento hidratado ao longo do tempo.

O valor da extenso por retraco cs pode ser dado pela soma das duas principaisparcelas: a retraco por secagem cd e a retraco autognea ca .

cs = cd + ca

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I MESTMEST ENG CIVILENG CIVIL f tf t UNLUNL


16/35



cd() = kh cd,0

O valor final da retraco por secagem dado por:

cd,0 designa-se por retraco livre por secageme funo da humidade relativa do ambiente.

cd.0 x103

BetoHumidade Relativa (em 0/0)

20 40 60 80 90 100C20/25 0,62 0,58 0,49 0,30 0,17 0,00C40/50 0,48 0,46 0,38 0,24 0,13 0,00

h0

k h

VLcio Nov09 16

kh depende da espessura equivalente h 0. 200300

500

,0,850,750,70

ca() = 2.5 (f ck 10) 10-6

O valor final da extenso por retraco autognea :

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I MESTMEST ENG CIVILENG CIVIL f tf t UNLUNL


17/35


1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAODEFORMAO POR RETRACOConsidere-se uma viga de beto sujeitaa uma deformao por retraco cs .Se no houver armadura, a retraco uniforme na altura da viga.

Havendo armadura, esta reagiria comuma fora igual fora de compressoque a retraco do beto lhe impe:

N = -cs Es As

cs

N Nd

+

VLcio Nov09 17

Surgindo no beto, por equilbrio, umafora e um momento:N = cs Es As ; M =cs Es As (d-x)

NNx

MM=

IEM

r 1

ccs====

Sendo a curvatura dada por:

(((( ))))IE

xd AE

c

sscs ====

Ou seja:I

S

r

1ecs

cs====

onde e = Es/Ec,eff ; S = As (d-x) o momento esttico da armadura em relao linha neutra e I o momento de inrcia da seco fendilhada, ou no fendilhada.

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I MESTMEST ENG CIVILENG CIVIL fctfct UNLUNL


18/35


1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAO6.6. CLCULO DA DEFORMAO EM VIGAS DE BETO ARMADOCLCULO DA DEFORMAO EM VIGAS DE BETO ARMADO

dxMr 1am

====

Nas zonas no fendilhadas

1/r m = 1/r II + (1-) 1/r IOnde a curvatura mdia dada por:

Resumindo, o clculo da flecha numa viga pode serobtido usando o princpio dos trabalhos virtuais:

2cr M1 ==== o coef. de distribuio:

VLcio Nov09 18

cr .

II IEM

r 1

eff ,c====

IIII IEM

r 1

eff ,c====eCom:

IS

r 1

ecscs ====s curvaturas anteriores pode ser adicionadaa curvatura devido retraco do beto:

Onde Ec,eff tem em conta a fluncia do beto

A fluncia do beto deve tambm ser considerada na determinao de II e III,respectivamente os momentos de inrcia da seco no fendilhada e da secofendilhada, onde deve ser usado o coeficiente de homogeneizao efectivo

e = Es/Ec,eff



19/35



Designa-se por deformao ou flecha instantneaflecha instantnea a que no tem em consideraoos efeitos diferidos do comportamento do beto: fluncia e retraco.Neste caso t=t0, Ec,eff = Ecm e:

II IEM

r 1

cm

====IIII IE

Mr 1

cm

====

dxMr

1a

0,m0 ====1/r m,0 = 1/r II + (1-) 1/r I

VLcio Nov09 19

Designa-se por deformao ou flecha a longo prazoflecha a longo prazo , ou valor mximo, a que temem considerao os valores mximos dos efeitos diferidos.Neste caso t = t, = (, t0), Ec,eff = Ecm/(1+), cs = cs () e:

dxMr

1a

,m ====1/r m, = 1/r II + (1-) 1/r I



20/35


1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOa. Clculo por integrao numricaA integrao anterior pode ser calculada usando um mtodo numrico:

considere-se a viga representada na figura, aqual pode ser dividida num determinadonmero de seces equidistantes. Quantomaior for o nmero de seces consideradasmenor ser o erro do resultado. determina-se a carga para a combinao

1

+M

1 2 4 53

x

VLcio Nov09 20

, cr , e cs

a integrao numrica pode ser efectuada

usando, por exemplo, o mtodo de SimpsonSeco As M II III S 1/r I 1/r II 1/r m f

12

345

M dxf dxMr 1

am

========

+M

1 2 4 53

f dx = x/3 {f 1 ++ 4 (f 2+ f 4 + f 6 + ) +

+ 2 (f 3+ f 5 + f 7 + ) + f n}

para cada seco determinam-se: As, M, M, II,III, para a retraco S, , 1/r I, 1/r II e 1/r m.



21/35



VLcio Nov09 21

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I MESTMEST ENG CIVILENG CIVIL fctfct -- UNLUNL


22/35


1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOb. Clculo aproximadoEste mtodo aproximado considera apenas as caractersticas de certas secesque se consideram determinantes no clculo da flecha.As Seces DeterminantesSeces Determinantes no clculo da flecha correspondem s seces demximos momentos, as quais coincidem com as seces de mxima curvatura de

flexo.VIGA SIMPLESMENTE APOIADA VIGA EM CONSOLA Nos casos em apenas existeuma Seco DeterminanteSeco Determinanteconsidera-se as caractersticas

VLcio Nov09 22

+M

MD-

MMD

+

M

VIGA ENCASTRADA APOIADA

D1

MD,1

D2MD,

2-+

M

VIGA BI-ENCASTRADA

D1

MD,1

D2

MD,2- -

MD,2

D2

essa sec o.

Nos casos em queexistem duas ou maisSeces DeterminantesSeces Determinantes ,considera-se a mdia dasflechas calculadas combase em cada uma dasSeces determinantes.Seces determinantes.

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I MESTMEST ENG CIVILENG CIVIL fctfct -- UNLUNL


23/35



FLECHA INSTANTNEA (t=0)a0 = aII0 + (1-) aI0aI0 a flecha instantnea, determinada considerando as caractersticas

da Seco Determinante no fendilhada .

aII0 a flecha instantnea, determinada considerando as caractersticasda Seco Determinante fendilhada .

Seja ac a deformao elstica (*), determinada com base nas caractersticasda seco de beto ( I c= bh3/12 ; Ecm), desprezando a presena das armaduras,

VLcio Nov09 23

possvel determinar aI0 e aII0 fazendo: aI0 = ac / (II/Ic) e aII0 = ac / (III/Ic).

(*)para uma viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuda, por exemplo: a c = (5/384) p l4 / Ecm Ic

determinado na Seco Determinante, com o respectivomomento flector M calculado para a combinao quase

permanente de aces e o momento de fendilhao M cr , e = 1.0.

2cr

MM

1

====

a0 = ac Ic/ Im0

Com Ic / Im0 = 1/ (Im0/Ic) = / (III/Ic) + (1-) / (II/Ic)

sendo II e III calculados na Seco Determinante com = 0 e



24/35

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I MESTMEST. ENG. CIVIL. ENG. CIVIL fctfct UNLUNL


FLECHA A LONGO PRAZO (t=)a = aII + (1-) aI

aI a flecha a longo prazo, determinada considerando as caractersticasda Seco Determinante no fendilhada .

aII a flecha a longo prazo, determinada considerando as caractersticasda Seco Determinante fendilhada .

fcil determinar aI e aII com base em ac, tendo em conta a fluncia em Ec,eff :

VLcio Nov09 24

a = (1+) ac Ic/ Im

Para a flecha a longo prazo, no clculo de dever ser considerado = 0.5.

Sendo IIII IIII eeee IIII IIIIIIII determinados com e = Es/Ec,eff

e Ic / Im = / (III/Ic) + (1-) / (II/Ic)aI = ac / (Ec,eff II / EcmIc) e aII = ac / (Ec,eff III/ EcmIc)Com Ec,eff = Ecm / (1+)



25/35

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO IESTRUTURAS DE BETO ARMADO I MESTMEST. ENG. CIVIL. ENG. CIVIL fctfct UNLUNL


CARACTERSTICAS DA SECO NO FENDILHADACARACTERSTICAS DA SECO NO FENDILHADA( ( I I ) )SECO RECTANGULAR

A seco homogeneizada com e = Es / Ec,eff onde Ec,eff = Ecm/(1+)

e o coeficiente de fluncia.No caso de aces instantneas Ec,eff = Ecm

sese

2

' Aa Adbh ++

d

x

h L N

As a

c. Momentos de Inrcia em seco fendilhada e no fendilhada

VLcio Nov09 25

( )sse ' A Abh ++

=

Com = As/bd , = As/bd:

Para = 0 :

b

( )++

++

==1

dh

da1

dh

21

dx

ke

e

2

+

+

==e

e

2

dhd

h

2

1

dxk

e com = As/As = / vem:

( )'bdbh'abdbd

2bh

xe

ee2

2

++

++=



26/35

fctfct UNLUNL

1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOMomento de Inrcia em seco no fendilhada:

II = bh3/12 + bh (x-h/2)2 + As (d-x)2 + As (x-a)2

II = bh3/12 + bh (x-h/2)2 + bd3 [[[[(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2]

II = bh3/12 { 1 + 3(2x/h-1)2 + 12 ( ( ( (d/h)3 [[[[(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2] }II = Ic { 1 + 3(2x/h-1)2 + 12 ( ( ( (d/h)3 [[[[(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2] }

Com = As/bd e = As/ As

VLcio Nov09 26

SECO RECTANGULAR

d xh

As

As

b

a

L N

c

Clculo de tenses:

x

I

M

I

c ====

( )axIM

'I

es =

( )xdIM

Ies =

c

s

s

)xh(

I

M

I

c ====++++

s

s

c-

c+



27/35

fctfct UNLUNL

1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOCARACTERSTICAS DA SECO FENDILHADACARACTERSTICAS DA SECO FENDILHADA( ( II II ) )

SECO RECTANGULAR A seco homogeneizada com e = Es / Ec,eff onde Ec,eff = Ecm/(1+)e o coeficiente de fluncia.No caso de aces instantneas Ec,eff = Ecm

Posio da linha neutra:( )sse

sese

2

' A Abx

' Aa Ad2

bx

x++

++=

d

x

h

As

As

aL N

VLcio Nov09 27

b bx2 + eeee (As + As)x - bx2/2 - eeee (dAs + aAs) = 00.5 x2 + x eeee ( + ) d - eeee ( d + a) d = 0

Com = As/bd e = As/bd ; fazendo = As/As = / vem:

0.5 (x/d)2

+ x/d eeee (1+) - eeee (1+ a/d) = 0

( ) ( )+

+

++== 1

da

12

1dx

ke

2e

+== 121dx

ke

ePara = 0 :

ou:



28/35

fctfct UNLUNL

1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOMomento de Inrcia da seco fendilhada:

III = bx3/3 + eeee As (d-x)2 + eeee As (x-a)2III = bx3/3 + e bd3 [[[[(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2]III = bh3/12 { 4(x/h)3 + 12 e ( ( ( (d/h)3 [[[[(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2] }

III = Ic { 4(x/h)3 + 12 eeee ( ( ( (d/h)3 [[[[(1-x/d)2 + (x/d-a/d)2] }Com Ic = bh3/12

Com = As/bd e = As/ As

VLcio Nov09 28s

s AzM====

SECO RECTANGULAR

d

x

h

As

As

b

a

L N

cu o e ens es:

xIM

IIc ====

( )axIM

'II

es =

( )xdIM

IIes =

Ou:

s

s

cc

s

s

c

Fs

Fc+Fs

z0.9d

Com ( )xd AI

zse

II

=



29/35

1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOd/h= 1.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 eeee II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00

0.02 1.06 0.18 1.07 0.19 1.09 0.19 1.10 0.19 1.12 0.19

0.05 1.14 0.40 1.18 0.41 1.22 0.42 1.26 0.43 1.30 0.44

0.10 1.27 0.68 1.36 0.71 1.44 0.75 1.52 0.78 1.60 0.80

0.15 1.39 0.90 1.53 0.98 1.66 1.04 1.78 1.10 1.90 1.15

0.20 1.50 1.09 1.70 1.21 1.88 1.31 2.04 1.40 2.20 1.48

0.25 1.60 1.25 1.86 1.42 2.09 1.57 2.30 1.70 2.50 1.80

0.30 1.69 1.39 2.01 1.62 2.30 1.82 2.56 1.98 2.80 2.12

0.35 1.78 1.52 2.17 1.81 2.51 2.06 2.82 2.26 3.10 2.44

0.40 1.86 1.63 2.32 1.99 2.73 2.29 3.08 2.54 3.40 2.75

MOMENTOS DE INRCIA

EM SECES RECTANGULARESDE BETO ARMADOem seco no fendilhada: II = (II/Ic) bh3/12

em seco fendilhada: III= (III/Ic) bh3/12

dh

As a x = As/bd = As/ Aseeee = Es / Ec,eff

= As/bd = As/ As

VLcio Nov09 29

0.45 1.93 1.73 2.47 2.17 2.93 2.52 3.34 2.82 3.70 3.06

0.50 2.00 1.82 2.62 2.33 3.14 2.75 3.60 3.09 4.00 3.37

d/h= 0.80 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

eeee II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00

0.02 1.02 0.09 1.03 0.09 1.03 0.09 1.04 0.09 1.04 0.100.05 1.05 0.20 1.07 0.20 1.08 0.20 1.09 0.20 1.11 0.200.10 1.10 0.35 1.13 0.35 1.16 0.35 1.19 0.35 1.22 0.350.15 1.14 0.46 1.19 0.47 1.24 0.47 1.28 0.48 1.32 0.480.20 1.18 0.56 1.25 0.57 1.32 0.58 1.38 0.59 1.43 0.600.25 1.22 0.64 1.31 0.66 1.39 0.68 1.47 0.70 1.54 0.71

0.30 1.25 0.71 1.37 0.75 1.47 0.77 1.56 0.80 1.65 0.820.35 1.28 0.78 1.42 0.82 1.55 0.86 1.66 0.89 1.76 0.920.40 1.31 0.83 1.48 0.89 1.62 0.94 1.75 0.99 1.86 1.020.45 1.34 0.88 1.53 0.96 1.70 1.02 1.84 1.08 1.97 1.120.50 1.36 0.93 1.58 1.03 1.77 1.10 1.94 1.16 2.08 1.22

s

b

c,e cma= h-d

d/h= 0.90 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

eeee II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic II/Ic III/Ic0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.000.02 1.04 0.13 1.05 0.13 1.06 0.14 1.07 0.14 1.08 0.140.05 1.09 0.29 1.12 0.29 1.14 0.30 1.17 0.30 1.19 0.300.10 1.17 0.49 1.23 0.51 1.28 0.52 1.33 0.53 1.38 0.540.15 1.25 0.66 1.34 0.69 1.42 0.71 1.50 0.73 1.58 0.750.20 1.32 0.79 1.45 0.84 1.56 0.89 1.67 0.93 1.77 0.960.25 1.38 0.91 1.55 0.99 1.70 1.05 1.83 1.11 1.96 1.16

0.30 1.44 1.01 1.65 1.12 1.83 1.21 2.00 1.28 2.15 1.350.35 1.50 1.10 1.75 1.24 1.97 1.36 2.17 1.46 2.34 1.540.40 1.55 1.19 1.85 1.36 2.10 1.50 2.33 1.62 2.54 1.720.45 1.60 1.26 1.94 1.47 2.24 1.65 2.50 1.79 2.73 1.910.50 1.64 1.33 2.03 1.58 2.37 1.78 2.66 1.95 2.92 2.09


30/35



31/35

1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAOEXEMPLO DE APLICAOEXEMPLO DE APLICAO

+MD

M

VIGA SIMPLESMENTE APOIADA

pqp = 30kN/m

= 5.0mD

Viga: bxh = 0.25x0.45m d=0.40m d/h0.9

Armadura: A500NR = 0

320 As= 9.42cm2

= 0.94%

Seco determinante a meio vo

Beto: C20/25 Ecm= 30GPa f ctm= 2.2MPaMD= pqp 2 / 8 = 93.8kNm Ic= bh3/12 = 1.9x10-3 m4

VLcio Nov09 31

FLECHA A CURTO PRAZO (t=0)

ec a e s ca: ac

= pcm c

= x . x x . x - = . mm

eeee = Es/ Ecm = 200/30 = 6.7eeee = 6.7x0.94% = 0.063 das tabelas: I I/ Ic = 1.12 III/ Ic = 0.35

Momento de fendilhao: M cr = f ctm bh 2/6 = 2200 x 0.25x0.452/6 = 18.6kNmMD > Mcr a viga est fendilhada na zona da Seco Determinante

= 1- (Mcr /MD)2 = 1 1.0 (18.6 / 93.8)2 = 0.96

< /250 = 5000/250 = 20mm OK!a0 = ac Ic/ Im0 = 4.3mm x 2.78 = 12.0mm

Ic / Im0 = / (III/Ic) + (1-) / (II/Ic) = 0.96/0.35 + (1-0.96)/1.12 = 2.78



32/35


Coef. de fluncia =2.5FLECHA A LONGO PRAZO (t=)

eeee = Es/ Ec,eff = 200/8.6 = 23.3 eeee = 23.3x0.94% = 0.22

das tabelas: I I/ Ic = 1.35 III/ Ic = 0.84= 1- (Mcr /MD)2 = 1 0.5 (18.6 / 93.8)2 = 0.98

Ec,eff = Ecm/(1+) = 30 / (1+2.5) = 8.6GPa

VLcio Nov09 32

< /250 = 5000/250 = 20mm OK!

Ic / Im = / (III/Ic) + (1-) / (II/Ic) = 0.98/0.84 + (1-0.98)/1.35 = 1.18

a = (1+) ac Ic/ Ima = (1+2.5) x 4.3mm x 1.18 = 4.1 x 4.3mm =17.6mm



33/35

1010 ESTADO LIMITE DE DEFORMAOESTADO LIMITE DE DEFORMAO7.7. REGRAS PRTICAS PARA DISPENSA DO CLCULOREGRAS PRTICAS PARA DISPENSA DO CLCULO

Nos casos correntes, podem ser usadas regras simplificadasregras simplificadas de limitao darelao vo / altura til relao vo / altura til da viga para evitar flechas elevadas.O clculo das flechas s ser necessrio quando no forem respeitadas estasregras ou quando a situao em anlise no se enquadrar nos pressupostosdefinidos para as regras simplificadas.

a = k1 pqp4/ Ec,eff ImPara uma viga, em geral,

VLcio Nov09 33

Considere-se que para a combinao quase permanentecombinao quase permanente de aces M qp= MEd /1.4Ento: s = f yd / 1.4 = 435 / 1.4 = 310MPa para o A500

m ,tendo em conta o momento de inrcia em seco no fendilhada I I, o momento deinrcia em seco fendilhada I II e o coeficiente de distribuio .

1/Im = 1/III + (1-) 1/II

Tomando agora s = e Mqp (d-x) / III com Mqp = pqp 2/ k2ou seja s = e pqp 2 (d-x) / (k2 III) ou pqp 2 = k2 s III / [ e (d-x)]



34/35


em a = k1 pqp4/ Ec,eff Im = k1 k2 2 s,qp (III/Im) / [Ec,eff e (d-x)]

com Ec,eff e = Ec,eff (Es / Ec,eff ) = Es

donde a/ = k1 k2 (/d) (s,qp / Es) (III/Im) / (1-x/d)ou seja, a relao entre o vo e a altura til deve respeitar:

/d = a / 1-x/d I /I / k k / E

Substituindo pqp 2 = k2 s III / [ e (d-x)]

VLcio Nov09 34

Para uma viga simplesmente apoiada k1 = 5/384 e k2 = 8considere-se a / = 1/250 e, como valor aproximado: Im /III= 1.2

Substituindo na expresso anterior:/d = (1/250) (0.65) (1.2) / [(40/384) (310 MPa / 200 000 MPa)] = 19.3

,

Como exemplo, tome-se = 0.5% e e = 20 para determinar (1-x/d) = 0.65

++++==== 121

dx

ee

isto , para /d 19.3 a flecha da viga inferior a /250 e verifica a segurana.Aplicando este princpio a outras situaes obtm-se a tabela seguinte.



35/35


Sistema estruturalBeto fortemente

solicitado = 1,5%

Beto levementesolicitado = 0,5%

Viga simplesmente apoiada,laje simplesmente apoiada armada numa ou em duas direces

14 20

Vo extremo de uma viga contnuaou de uma laje contnua armada numa direco ou de uma laje

18 26

VALORES MXIMOS DEVALORES MXIMOS DE/d/d EM VIGAS E LAJES QUEEM VIGAS E LAJES QUE

GARANTEM O ESTADO LIMITE DE DEFORMAOGARANTEM O ESTADO LIMITE DE DEFORMAOSEM NECESSIDADE DE CLCULO DA FLECHASEM NECESSIDADE DE CLCULO DA FLECHA

Vo interior de uma vigaou de uma laje armada numa ou em duas direces

20 30

Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje fungiforme)(em relao ao maior vo)

17 24

Consola 6 8 Se s 310MPa , ou no caso de ao A400, multiplicar os valores anteriores por 500 / (f yk As,req /As,prov) No caso de vigas em T com b 3 b w os valores acima devem ser multiplicados por 0.8. Em geral, os valores indicados so conservativos, podendo frequentemente o clculo revelar que possvel utilizar elementos mais esbeltos. Para lajes armadas em duas direces, a verificao dever ser efectuada em relao ao menor vo. Para lajes fungiformesdever considerar-se o maior vo. Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem para a flecha a meio vo a uma limitao menos exigente do que a de /250 A i i d li i i f i

Documents

FCT/UNL Betão Armado I - Deformação