FENÔMENOS DE TRANSPORTES

PROF.: KAIO DUTRA

AULA 6 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS

Conservação da MassaO primeiro princípio físico para o qual nós aplicamos a relaçãoentre as formulações de sistema e de volume de controle é oprincípio de conservação da massa: a massa do sistemapermanece constante.

Formulação de volume de controle da conservação de massa:

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Conservação da Massa O primeiro termo representa a taxa de variação da massa dentro do volume

de controle; o segundo termo representa a taxa líquida de fluxo de massapara fora através da superfície de controle. A Equação indica que a soma dataxa de variação da massa dentro do volume de controle com a taxa líquidade fluxo de massa através da superfície de controle é zero. A equação daconservação da massa é também chamada de equação da continuidade.

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Conservação da MassaAo usar a Equação da Continuidade, um cuidado deve sertomado na avaliação do produto escalar · : elepode ser positivo (escoamentos para fora (b), α = 0) ou negativo(escoamento para dentro, α = 180°).

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Conservação da Massa – Casos especiais Considere primeiramente, o caso de um

fluido incompressível, no qual a massaespecífica permanece constante. Quando ρé constante, ele não é uma função doespaço e nem do tempo.Consequentemente, para fluidosincompressíveis:

A integral de sobre todo o volume decontrole é simplesmente o volume total dovolume de controle. Assim, dividindo por ρ,escrevemos:

Para um volume de controle nãodeformável, de forma e tamanho fixos, ovolume é constante. A conservação demassa torna-se:

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Conservação da Massa – Casos especiaisAs dimensões do integrando na Equação da continuidade é L³/t. A

integral sobre uma seção da superfície de controle é comumentechamada taxa de fluxo de volume ou vazão em volume, ou aindavazão volumétrica. Desse modo, para um escoamentoincompressível, a vazão volumétrica para dentro de um volume decontrole deve ser igual à vazão volumétrica para fora do volume decontrole.

A vazão volumétrica Q, através de uma seção de uma superfície decontrole de área A, é dada por:

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Velocidade Média:

Exemplo 1Considere o escoamento permanente

de água em uma junção de tubosconforme mostrado no diagrama. Asáreas das seções são: A1 = 0,2 m², A2 =0,2 m² e A3 = 0,15 m². O fluido tambémvaza para fora do tubo através de umorifício em com uma vazão volumétricaestimada em 0,1 m³/s. As velocidadesmédias nas seções 1 e 3 são V1 = 5 m/se V3 = 12 m/s, respectivamente.Determine a velocidade do escoamentona seção 2.

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Equação da Quantidade de movimento para um Volume de Controle

A segunda lei de Newton, para um sistema movendo-se em relação aum sistema de coordenadas inerciais pode ser escrita pela equaçãoabaixo:

Onde define-se que a taxa de variação da quantidade de movimentocom o tempo é igual a força que a modifica.

Onde a quantidade de movimento linear do sistema é dada por:

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𝑑𝑃 = 𝑉𝑑𝑚

Equação da Quantidade de movimento para um Volume de Controle

Desta forma a taxa de variação da quantidade de movimento linearcom o tempo pode ser escrita da seguinte forma:

Substituindo a taxa de variação da massa com o tempo na equaçãodo momento, temos:

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𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑉

𝑑𝑚

𝑑𝑡

Equação da Quantidade de movimento para um Volume de Controle

As foças geradoras de perturbação na quantidade de movimento sãode duas formas (superfície (S) e campo (B)):

Então teremos:

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Equação da Quantidade de movimento para um Volume de Controle

A Equação abaixo estabelece que a força total atuando sobre ovolume de controle é igual à taxa de variação da quantidade demovimento dentro do volume de controle (a integral de volume) e/ouà taxa líquida na qual a quantidade de movimento está entrando ousaindo do volume de controle através da superfície de controle.

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Equação da Quantidade de movimento para um Volume de Controle

A equação da quantidade de movimentoé uma equação vetorial. Geralmenteescreveremos as três componentesescalares, como medidas nascoordenadas xyz do volume de controle.

Obs.: O sinal do produto escalar davelocidade com a área deve ser conformea equação da continuidade, ondeescoamentos para fora são positivos,escoamentos para dentro são negativos.

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Equação da Quantidade de movimento –Análise Diferencial

Já vimos que a segunda lei de Newtonpara um sistema é dada por:

Para um sistema infinitesimal demassa dm, a segunda lei de Newtonpode ser escrita:

Introduzindo a aceleração de umelemento de fluido de massa dm emmovimento em um campo develocidade, podemos escrever asegunda lei de Newton na seguinteforma vetorial:

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Equação da Quantidade de movimento –Análise Diferencial

As forças que atuam sobre um elementofluido podem ser classificadas como forçasde campo e forças de superfície; forças desuperfície incluem tanto forças normaisquanto forças tangenciais (decisalhamento).

Se as tensões no centro do elementodiferencial forem tomadas como σxx, τyx eτzx, então as tensões atuando na direção xem cada face do elemento (obtidas poruma expansão em séries de Taylor emtorno do centro do elemento) serãoconforme mostrado na figura.

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Equação da Quantidade de movimento –Análise Diferencial

Para obter a força de superfícieresultante na direção x, dFSx,devemos somar as forças nestadireção:

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Equação da Quantidade de movimento –Análise Diferencial

Quando a força da gravidade é a única força de corpo atuante, a forçade corpo por unidade de massa é igual:

Expressões semelhantes podem ser deduzidas para as componentes daforça nas direções y e z:

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Equação da Quantidade de movimento –Análise Diferencial

Então temos duas expressões para as componentes de dF, teremos:

Igualando as duas expressões, teremos a expressão para a quantidadede movimento:

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Equação de Navier-StokesPara um fluido newtoniano,

a tensão viscosa édiretamente proporcional àtaxa de deformação porcisalhamento. Aplicandoexpressões complexas querelacionam tensão eviscosidade obtém-se asfamosas Equações de Navier-Stokes.

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Equação de Navier-StokesAs equações de Navier-Sotkes são bastante simplificadas quando

aplicadas ao escoamento incompressível com viscosidade constante.Sob estas condições, as equações se reduzem a:

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Equação de Navier-Stokes Esta forma das equações de Navier-Stokes é provavelmente

(junto com a equação de Bernoulli) o conjunto de equaçõesmais famoso em mecânica dos fluidos, e tem sidolargamente estudado.

Por exemplo, teoria de lubrificação (descrição docomportamento de rolamento de máquinas), escoamentoem tubos, e até mesmo o movimento do seu café quandovocê o mexe, são explicadas por essas equações.Infelizmente, elas não podem ser resolvidas analiticamente.

Para situações mais complexas, tais como um sistema declima global como o El Niño ou a sustentação em uma asa,as soluções para a equação de Navier-Stokesfrequentemente devem ser encontradas com a ajuda decomputadores.

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FrancêsClaude Louis Marie Henri Navier

IrlandêsGeorge Gabriel Stokes

Equação de Navier-StokesEmbora estas equações foram escritas no século

19, ainda não foi comprovado que, as trêsdimensões existem sempre soluções , ou que, seelas existem, então não contêm qualquersingularidade (ou infinito ou descontinuidade).

Existe um prêmio de U$ 1.000.000 que foioferecido em Maio de 2000 pelo o Instituto deMatemática Clay para qualquer um que fizerprogressos substanciais na direção de umamatemática teórica que possa ajudar a entendereste fenômeno.

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FrancêsClaude Louis Marie Henri Navier

IrlandêsGeorge Gabriel Stokes

Exemplo 2A água sai de um bocal estacionário eatinge uma placa plana, conformemostrado. A água deixa o bocal a 15m/s; a área do bocal é 0,01 m².Considerando que a água é dirigidanormal à placa e que escoatotalmente ao longo da placa,determine a força horizontal sobre osuporte.

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Exemplo 3Uma placa plana com um orifício de 50 mm de diâmetro estáinstalada na extremidade de um tubo de 100 mm de diâmetro.Água escoa através do tubo e do orifício com uma vazão de 0,05m³/s. O diâmetro do jato a jusante do orifício é 38 mm. Calcule aforça externa necessária para manter a placa de orifício no lugar.Despreze o atrito na parede do tubo.

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Exercícios

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Fx=-954,7N

Exercícios

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F=132N

Exercícios

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Exercícios

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ExercíciosA figura mostra um redutor em uma tubulação. O volume interno do

redutor é 0,2 m3e a sua massa é 25 kg. Avalie a força total de reação quedeve ser feita pelos tubos adjacentes para suportar o redutor. O fluido é agasolina (SG=0,72).

Fx=4679N.

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