FenomenosdeTransporteI-Livro

Metalurgia. Fenômenos de Transporte I

Prof. Roberto Parreiras Tavares(DEMET-UFMG)

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i

SUMÁRIOPágina

1- INTRODUÇÃO 01

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 06

2- CONCEITOS FUNDAMENTAIS 07

2.1-Conceitos 07

2.1.1- Fluídos 07

2.1.2- Força e Tensão 08

2.1.3- Energia 11

2.1.4- Mecanismos de Transporte 12

2.2-Unidades 14

EXERCÍCIOS 27

3- VISCOSIDADE 31

3.1-Definição de viscosidade e lei de Newton da Viscosidade 31

3.1.1- Interpretação física de τyx 35

3.1.2- Dimensão da viscosidade 40

3.2-Viscosidade de gases 43

3.3-Viscosidade de líquidos 52

3.3.1- Viscosidade de metais líquidos 54

3.3.2- Viscosidade de escórias 60


EXERCÍCIOS 74

4- ESCOAMENTO LAMINAR E BALANÇO DE MOMENTO 77

4.1-Escoamento laminar e turbulento 77

4.2-Balanços de Massa e de Quantidade de Movimento 80

4.2.1- Balanço de massa 81

4.2.2- Balanço de quantidade de movimento 81

ii

4.3- Aplicação dos Balanços de Massa e Quantidade de Movimento 85

4.3.1- Escoamento entre duas placas horizontais 85

4.3.2- Escoamento de uma película de fluido 97

4.3.3- Escoamento axial em um duto cilíndrico 116

4.3.4- Escoamento em dutos concêntricos 134

4.3.5- Escoamento laminar bifásico 139


EXERCÍCIOS 146

5- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS 151

5.1-Equação da Continuidade 153

5.2-Equação do Movimento 156

5.3-Equação da Continuidade e do Movimento em Coordenadas 165

Cilíndricas e Esféricas

5.3.1- Coordenadas cilíndricas 166

5.3.2- Coordenadas esféricas 166

5.4-Soluções de Equações Diferenciais 167

5.4.1- Escoamento em uma película de fluido 168

5.4.2- Escoamento em um tubo circular 170

5.4.3- Escoamento anelar tangencial 171

5.4.4- Formato da superfície de um líquido com movimento de rotação 176

5.4.5- Escoamento laminar em torno de uma esfera 179

5.4.6- Camada limite 185

5.4.7- Escoamento não estacionário em um tubo circular 188


APÊNDICE 192

EXERCÍCIOS 201

6- ESCOAMENTO TURBULENTO E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 204

6.1- Introdução 205

6.2- Modelos de Turbulência 209

6.2.1- Equações da continuidade e do movimento suavizadas 211

iii

6.2.1.1- Equação da continuidade suavizada 212

6.2.1.2- Equação do movimento suavizada 212

6.3- Fatores de fricção 219

6.3.1- Escoamento em dutos (interno) 221

6.3.1.1- Análise dimensional 224

6.3.1.2- Escoamento em dutos não-cilíndricos 240

6.3.2- Escoamento em torno de objetos (externo) 241

6.3.2.1- Escoamento em torno de esferas 243

6.4- Fatores de Fricção para Leitos de Partículas 248

6.4.1- Equação de Ergun 249

6.4.1.1- Regime laminar 257

6.4.1.2- Regime turbulento 258


EXERCÍCIOS 263

7- BALANÇOS GLOBAIS NO ESCOAMENTO DE FLUIDOS ISOTÉRMICOS 266

7.1-Balanço Global de Massa 267

7.2-Balanço Global de Energia 272

7.2.1- Avaliação do termo de energia cinética 274

7.2.2- Avaliação do termo de energia potencial 278

7.2.3- Teorema de Bernoulli 279

7.2.4- Avaliação das perdas por fricção 282

7.2.4.1- Perdas por fricção em dutos retos 282

7.2.4.2- Perdas por fricção em expansão e contração 288

7.2.4.3- Perdas por fricção em válvulas e conexões 292

7.3-Escoamento em panelas e Distribuidores 298

7.3.1- Vazamento de uma panela 298

7.3.2- Transferência de metal do distribuidor para o molde 309

7.4-Técnicas de medida de vazão de fluidos 316

7.4.1- Medidores de diferença de pressão 316

7.4.1.1- Medidores de orifício 317

7.4.1.2- Tubo de Pitot 324

iv

7.4.1.3- Rotâmetros 328


EXERCÍCIOS 332

1

1 - INTRODUÇÃO

No estudo da termodinâmica metalúrgica, fica bastante clara uma das limitações

dessa ciência: a impossibilidade de prever a velocidade com que os fenômenos

ocorrem. Através de alguns exemplos simples, pode-se observar esta limitação.

Inicialmente será considerado o caso visto na figura 1.1, onde estão representadas

duas barras de um metal, em contato perfeito. Uma das barras está a 1000º C e a outra

a 200º C. A termodinâmica prevê que calor vai ser transportado da barra que está em

temperatura mais alta para a barra que está em temperatura mais baixa e que, no

equilíbrio, as duas barras estarão a uma mesma temperatura. Entretanto, a

termodinâmica não prevê quanto tempo levará para se atingir o equilíbrio nem permite

determinar os perfis de temperatura nas duas barras em um dado tempo.

Figura 1.1 - Transporte de calor entre duas barras metálicas.

Um caso análogo a esse pode ser imaginado considerando duas barras de aço

a uma mesma temperatura; entretanto, com diferentes teores de carbono, conforme

mostrado na figura 1.2. Neste caso, a termodinâmica informa que vai haver um

CALOR

200 C1000 Co o

INÍCIO

TEMPO = ?

PERFIS DETEMPERATURA = ?

T

EQUILÍBRIO

Teq eq

2

transporte de carbono da barra que possui maior concentração para a barra de menor

concentração. Contudo, não fornecerá o tempo necessário para se alcançar o equilíbrio,

nem os perfis de concentração em um certo instante de tempo.

Figura 1.2 – Transporte de massa entre duas barras de aço

Finalmente, considere-se a situação mostrada na figura 1.3, onde se tem uma

panela com aço líquido no seu interior. Sabe-se que ao se abrir a válvula, o aço deve

ser vazado da panela. Mas não se sabe, por exemplo, determinar o tempo de

esvaziamento dessa panela, em função da quantidade de aço nela contido.

Esses três exemplos mostram as três áreas distintas que constituem o que se

chama de Fenômenos de Transporte:

- Transporte de energia (ou calor): exemplo da figura 1.1;

- Transporte de massa: exemplo da figura 1.2;

- Transporte de quantidade de movimento: exemplo da figura 1.3.

MASSA

%C = 0,7

INÍCIO

TEMPO = ?

PERFIS DECONCENTRAÇÃO = ?

% C

EQUILÍBRIO

% Ceqeq% C = 0,1

3

Figura 1. 3 - Esvaziamento de uma panela de aço

O estudo de fenômenos de transporte permitirá, então, responder as perguntas

formuladas nos três exemplos. Além de responder essas questões, a ciência

“Fenômenos de Transporte” ainda encontra inúmeras aplicações dentro da metalurgia.

Algumas delas podem ser identificadas com o auxílio da figura 1.4, onde se tem um

fluxograma geral para a produção de aço laminado em usinas integradas e semi-

integradas.

A seguir, citam-se algumas dessas aplicações:

A) Transporte de calor:

- Trocas térmicas entre gases e sólidos na sinterização e no alto-forno. Esse estudo

permite determinar a taxa de aquecimento dos sólidos, que afeta diretamente a

eficiência do processo;

- Solidificação nas etapas de lingotamento contínuo, indireto e direto. Especialmente

no lingotamento contínuo, o estudo do transporte de calor durante a solidificação é

TEMPO DEESVAZIAMENTO = ?

Aço líquido

PANELA

VÁLVULA

PANELA

VÁLVULA

Aço líquido

4

de fundamental importância, pois através dele pode-se determinar o tamanho do

molde e a produtividade do equipamento;

- Trocas térmicas entre gases e o aço nos fornos de reaquecimento e fornos-poço.

B) Transporte de massa:

Todas as etapas que envolvem reações químicas estão ligadas ao transporte de

massa e à cinética química. Pode-se citar:

- Reações de redução dos óxidos de ferro no alto-forno;

- Reações de dessulfuração na estação de dessulfuração;

- Reações de fabricação do aço, especialmente descarburação;

- Reações de refino do aço, dentre as quais destaca-se a desgaseificação.

C)Transporte de quantidade de movimento:

Toda etapa que envolve movimentação de fluidos está ligada ao transporte de

quantidade de movimento. Logo, tem-se:

- Movimento dos gases ao longo dos leitos de sinterização e alto-forno. Nesse caso,

o estudo do transporte de quantidade de movimento permite dimensionar o exaustor

e o soprador a serem usados nessas instalações;

- Injeção de gases nos processos de fabricação e refino do aço, permitindo determinar

os perfis de velocidade do aço e com isso indicar os pontos mais adequados para

injeção dos agentes de refino;

- Escoamento do aço nos processos de refino sob vácuo, particularmente no reator

RH. Nesse caso, o conhecimento do campo de velocidades do aço, e de como ele

é afetado pela configuração do sistema, pode ser útil na otimização da operação do

5

equipamento e até no seu projeto.

Além dessas, inúmeras outras aplicações podem ser citadas. Estas aplicações se

tornam cada vez mais comuns e importantes à medida que se desenvolvem as técnicas

numéricas para solução das equações que são obtidas.

Finalmente, é importante mencionar que a ciência Fenômenos de Transporte não

tem aplicações restritas à área de metalurgia. Seus conceitos são largamente aplicados

na indústria aeroespacial, química e mecânica. Merece destaque ainda a sua aplicação

na meteorologia.

Figura 1. 4 – Fluxograma geral de fabricação dos aços (Cho, 2005)

6

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

J.E. Cho. Some Aspects of TRIZ Applications in Steel Making Process. Third European

TRIZ Congress, 2005.

.

7

2- CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Para se desenvolver o estudo de transporte de momento, uma conceituação

básica deve ser feita. Uma análise das unidades normalmente usadas na quantificação

das grandezas envolvidas nesse estudo também se torna importante.

2.1 Conceitos

2.1.1 - Fluidos

Como no estudo de transporte de quantidade de movimento está-se envolvido

na maioria dos casos com o movimento dos fluidos, torna-se importante, inicialmente,

definir o que é um fluido. A definição de um fluido pode ser feita através de uma

propriedade comum a todos eles: um fluido não consegue preservar a sua forma a não

ser que esteja contido dentro de um recipiente. Nesse caso, o fluido assume a forma

do recipiente.

Uma definição mais rigorosa estabelece que um fluido é uma substância que se

deforma continuamente sob a ação de uma tensão de cisalhamento, independente de

seu valor. É importante observar que existem substâncias que não são fluidos e que se

deformam sob uma tensão de cisalhamento; entretanto, essa deformação não se dá de

modo contínuo. Esse é o caso dos sólidos.

Pelas definições, observa-se que fluidos são os gases e líquidos. Ainda dentre

os fluidos pode-se fazer uma distinção: fluidos compressíveis e incompressíveis.

Fluidos incompressíveis são aqueles cuja densidade se mantém constante com

8

a variação de pressão. Nas condições normais que acontecem nos problemas de

engenharia, os líquidos são considerados fluidos incompressíveis e gases são

considerados fluidos compressíveis, desde que suas densidades tenham uma variação

significativa. Entretanto, em algumas situações particulares os gases apresentam

comportamento de fluidos incompressíveis.

2.1.2 - Força e Tensão

Uma outra definição importante é a da força. O conceito de força é derivado da

segunda lei do movimento de Newton, que pode ser colocada na seguinte forma:

onde:

Σ Fx = resultante das forças atuando no corpo na direção x;

m = massa do corpo;

ax = aceleração do corpo na direção x.

Uma outra maneira de expressar essa lei é:

onde:

vx = velocidade do corpo na direção x;

t = tempo.

Deve-se observar que as equações (2.1) e (2.2) se confundem quando a massa

é constante, pois:

(2.1) a m = F xx∑

)(2.2 t

)v (m = F x

x ∂∂

∑

(2.3) t d

v = a x

x∂

9

Lembrando da definição de quantidade de movimento:

constata-se que força nada mais é do que a taxa de variação de momento com o

tempo.

As forças que atuam em um dado sistema podem ser classificadas em duas

categorias: forças de volume e forças de superfície. Forças de volume são aquelas

causadas pela gravidade ou campos eletromagnéticos e atuam no fluido como um todo.

Estas forças são normalmente expressas em termos de força por unidade de volume.

Em contraste, forças de superfície representam a ação da vizinhança no

elemento fluido sendo considerado. Estas forças são normalmente dadas em termos

de força por unidade de área.

Um conceito importante é o de tensão. Para definir essa grandeza será

considerado o elemento de volume de fluido visto na figura 2.1.

Figura 2.1 - Forças atuando na superfície de um elemento de volume

Considerando a área hachurada, ΔA e a força exercida pela vizinhança nessa

pequena área, ΔF, pode-se decompor essa em dois componentes: ΔFn é a componente

)(2.4 m.v = movimento de Quantidade x

ΔF

ΔF

ΔFn

t

10

normal à área ΔA e ΔFt é a componente tangencial à área ΔA.

As quantidades ΔFn e ΔFt são chamadas de força normal e força de

cisalhamento, respectivamente. Lembrando que tensão é definida como força por

unidade de área, pode-se considerar dois tipos de tensão de atuando no elemento

fluido:

- Tensão normal:

- Tensão de cisalhamento:

Mais especificamente, uma tensão é identificada pela direção da força e pela

orientação da área sob a qual ela atua. A figura 2.2 mostra um elemento de volume na

forma de um cubo. Nessa mesma figura são mostradas as nove possibilidades de

tensões atuando nesse elemento.

Figura 2. 2 - Tensões atuando em um elemento de volume

Os dois subscritos obedecem à seguinte convenção:

- Primeiro subscrito: direção da normal à superfície sobre a qual a força está atuando;

)(2.5 A)(

)F(Δ = n

0ΔAn Δ →

τ

)(2.6 A)(

)F(Δ = t

0ΔAt Δ →

τ

τ

τ

τ

τ

τ

ττ

τ

τ

xz

xy

xx

yy

yz

yx

zz

zy

zx

x

y

z

11

- Segundo subscrito: direção da força que produz a tensão.

Observa-se facilmente que τxx , τyy e τzz são tensões normais, ao passo que τxy ,

τxz , τyx, τyz , τzx e τzy são tensões de cisalhamento.

2.1.3 - Energia

No estudo do escoamento de fluidos, duas formas de energia são particularmente

importantes: a energia potencial e a energia cinética.

Energia potencial é a energia possuída pelo fluido em virtude de sua massa, sua

posição e o efeito da gravidade. Numericamente, a energia potencial por unidade de

volume do fluido é dada pela seguinte relação:

sendo:

Ep = energia potencial por unidade de volume do fluido;

ρ = densidade do fluido (razão entre a massa e o volume);

g = aceleração da gravidade;

z = altura do fluido, em relação a um nível arbitrário no qual a energia potencial é

tomada como zero.

Já a energia cinética é a energia que o fluido possui em virtude de seu movimento.

O seu valor, por unidade de volume do fluido, pode ser determinado através da seguinte

relação:

(2.7) z g ρ = E p

)(2.8 u ρ 21 = E 2

c

12

onde:

Ec = energia cinética por unidade de volume do fluido;

u = velocidade do fluido.

2.1.4 - Mecanismos de Transporte

Antes de se passar ao estudo das unidades envolvidas na avaliação das

grandezas que aparecem em fenômenos de transporte, uma última conceituação deve

ser feita. Ela está relacionada aos mecanismos de transporte de momento, calor e

massa.

Basicamente, existem dois mecanismos de transporte de momento, calor e massa.

Esses dois mecanismos são denominados:

- difusão;

- convecção.

Para transporte de calor existe ainda um mecanismo adicional denominado radiação.

O mecanismo de difusão depende da existência de um meio físico e ocorre devido

à presença de um gradiente de uma dada grandeza:

- velocidade no caso do transporte de quantidade de movimento;

- temperatura no caso do transporte de calor;

- concentração ou potencial químico no caso de transporte de massa, sem que ocorra

necessariamente uma movimentação macroscópica do meio.

A convecção também depende da existência de um meio e se dá como uma

conseqüência de um movimento macroscópico do fluido.

13

Para caracterizar melhor a distinção entre esses dois mecanismos, considere-se

os exemplos mostrados nas figuras 2.3 e 2.4.

Na figura 2.3, dentro da barra de metal ocorre o transporte de calor por difusão

(também denominada condução) devido ao gradiente de temperatura entre as duas

faces. Observa-se que não existe nenhum movimento macroscópico dos átomos dentro

da barra. Na superfície direita da barra, existe um ventilador soprando ar frio sobre a

barra. Nesse caso, o calor é retirado da barra através do mecanismo de convecção:

existe um movimento macroscópico do fluido (no caso ar).

Figura 2. 3 - Transporte de calor por difusão e convecção

Na figura 2.4.a tem-se um caso de transporte de massa por difusão. Carbono é

transportado de uma superfície para a outra devido ao gradiente de concentração.

Novamente, constata-se que não existe nenhum movimento macroscópico do sistema.

Na figura 2.4.b, o transporte de massa se dá por convecção. O açúcar se dissolve na

água e é transportado às diversas partes do sistema, devido à movimentação da água

decorrente da presença do agitador.

T = 200 C

T = 1000 C

o

o

Ar ventiladorT = 20 Co

Metal

14

Figura 2. 4 – Transporte de massa por difusão e convecção

2.2. Unidades

A representação quantitativa dos fenômenos de escoamento de fluidos requer o

uso de diferentes tipos de equações. Essas equações, descrevendo os fenômenos

físicos, têm que ser dimensionalmente homogêneas. Em outras palavras, todos os

termos têm que ter a mesma dimensão expressa nas mesmas unidades.

Ao longo dos anos, vários sistemas de unidades têm sido adotados pelas

comunidades científica e de engenharia, como por exemplo: sistema inglês, sistema

cgs, sistema mks.

Em 1960, um novo e racional sistema de unidades foi recomendado para uso

internacional, sendo denominado: sistema internacional de unidades. Nesse sistema,

que será adotado ao longo do texto, a unidade de massa é o quilograma, a unidade de

comprimento é o metro e a unidade de tempo é o segundo.

%C = 0,1

%C = 1

Aço

(a) Difusão

Água

Açúcar

(b) Convecção

15

A tabela 2.1 contém uma lista de unidades e dimensões das principais

quantidades envolvidas em fenômenos de transporte, bem como a natureza dessas

quantidades (escalar, vetorial ou tensorial).

Como normalmente ainda se encontra na literatura outros sistemas de unidades

que não o SI (Sistema Internacional), é importante que se saiba fazer as devidas

conversões.

A tabela 2.2 mostra alguns fatores de conversão úteis no estudo de fenômenos

de transporte.

Em relação à temperatura deve-se fazer um comentário mais detalhado. Nas

escalas relativas, tem-se:

- Temperatura em centígrados: oC

- Temperatura em graus Fahrenheit: oF

Nas escalas absolutas, o zero é fixado como sendo a temperatura mais baixa que

o homem acredita que possa existir. Tem-se:

- Centígrado: Kelvin: 0 K = - 273 oC;

- Fahrenheit: Rankine: 0 oR = - 460 oF.

É importante observar que um centígrado equivale exatamente a 1 Kelvin e que um

grau Fahrenheit é igual a 1 Rankine.

A figura 2.5 apresenta um diagrama relacionando as diferentes escalas de

temperatura.

16

Tabela 2.1 - Unidades e dimensões das principais quantidades envolvidas em

Fenômenos de Transporte.

Quantidade Dimensão Unidade (SI) Natureza

Massa M kg escalar

Comprimento L m escalar

Tempo t s escalar

Temperatura T K (oC) escalar

Aceleração L t-2 m.s-2 vetorial

Velocidade angular t-1 s-1 vetorial

Área L2 m2 escalar

Densidade M L-3 kg.m-3 escalar

Viscosidade dinâmica M L-1 t-1 kg.m-1.s-1 escalar

Viscosidade cinemática L2 t-1 m2.s-1 escalar

Energia, trabalho M L2 t-2 J (N.m) escalar

Força M L t-2 N (kg.m.s-2) vetorial

Quantidade de Movimento M L t-1 kg.m/s vetorial

Pressão M L-1 t-2 Pa (N.m-2) escalar

Tensão M L-1 t-2 Pa (N.m-2) tensorial

Potência M L2 t-3 W (N.m.s-1) escalar

Calor específico L2 t-2 T-1 J.kg-1.K-1 escalar

Velocidade L t-1 m.s-1 vetorial

Volume L3 m3 escalar

17

Tabela 2.2 - Fatores de conversão úteis no estudo de fenômenos de transporte.

Unidade Unidade do Sistema

Internacional

1 ft (pé) 0,3048 m

1 in (polegada) 0,0254 m

1 lbm (libra massa) 0,45359 kg

1 BTU (unidade térmica britânica) 1055 J

1 cal (caloria) 4,184 J

1 lbf 4,4482 N

1 kgf 9,8 N

1 hp 745,7 W

Figura 2.5- Relações entre as diferentes escalas de temperatura.

São válidas ainda as seguintes relações:

)(2.10 F 5/9 = ΔK (2.9) F 5/9 = C

o

oo

Δ

ΔΔ

KCo RoFo

0 273 32 492

100 373 212 672

180492R

18032F

100273K

100C ooo −

=−

=−

=

18

As relações acima indicam que o grau Celsius é 1,8 vezes maior que o grau

Fahrenheit. A mesma relação existe entre o Kelvin e o grau Rankine. As relações acima

são úteis quando se pensa em conversão de variações nas temperaturas.

Para conversão de temperatura, tem-se as seguintes relações:

Algumas unidades ainda recebem nomes especiais e é importante que estes

nomes sejam conhecidos, bem como os seus significados. Tem-se:

dina = g cm / s2 (força);

poundal = lbm ft / s2 (força);

Pascal = N/m2 (pressão);

erg = g cm2 / s2 (energia);

Poise = g / cm s (viscosidade).

Para se praticar a conversão de unidades, alguns exemplos serão resolvidos a

seguir.

Exemplo- Um avião viaja a uma velocidade igual a velocidade do som. Qual é a sua

velocidade, expressa em unidades do sistema internacional ? Velocidade do som = 3,96

x 106 ft/h.

Solução - Tem-se os seguintes fatores de conversão:

1 ft = 0,3048 m;

1 h = 3600 s.

(2.13) 32] - F)[T( 95 =C)T(

(2.12) 273 + C)T( = T(K)

(2.11) 460 + F)T(= R)T(

oo

o

oo

19

Usando os fatores de conversão acima, a velocidade em unidades do sistema

internacional será dada por:

Exemplo- 100 lbm de água escoam num tubo a uma velocidade de 10 ft/s. Qual a

energia cinética da água, em unidades do sistema internacional ?

Solução- A energia cinética é dada por:

Os fatores de conversão pertinentes são:

1 lbm = 0,45359 kg;

1 ft = 0,3048 m.

Logo, pelo mesmo procedimento do exemplo anterior, tem-se:

Exemplo- Qual é a energia potencial, em unidades SI, de um corpo de 30 lbm situado

a 10 ft acima do nível de referência ?

Solução - A energia potencial é dada por:

Usando os fatores de conversão já utilizados acima, tem-se:

m/s 335,3 = s)(3600m) (0,3048 10 x 3,96 =

hft 10 x 3,96 = (SI) velocidade 66

u m 21 = E 2

c

J 210,7= sm kg 210,7 = ]/s m) (0,3048 x [10 kg) (0,45359 100

21 = ) s/ ft (10 lb 100

21 = E 22

mc

zgm=E p

)m (0.3048 10 )sm (9,8 kg) (0.45359 30 = ft 10 g lb 30 = E 2mp

J 406,47 = sm kg 406,47 = E 2

2

p

20

Exemplo- Um parâmetro muito usado em transferência de calor é denominado

coeficiente de transferência de calor. Esse parâmetro é normalmente fornecido através

de correlações empíricas. Uma delas é:

onde:

h = coeficiente de transferência de calor (BTU/h ft2 oF);

G = fluxo de massa (lbm / h ft2);

D = diâmetro do tubo (ft).

Deseja-se escrever a mesma equação adotando unidades SI. Qual deve ser a nova

constante no lugar de 0,026 ?

Solução - Em unidades do sistema internacional, tem-se:

GSI ( kg / m2 s) ; DSI (m) ; hSI (J / s m2 oC)

Usando os fatores de conversão da tabela 2.2, tem-se:

Substituindo estes valores na relação, resulta que:

DG 0,026 = h

0,2

0,6

G 737,34 = ft

m )(0,3048 h

s3600 kg 0,45359

lb 1 G =G SI2

22m

SI

D 3,28 = m 0,3048

ft 1 D = D SISI

h 0,176 = F81,

C1 ft

m )(0,3048 h

s3600 J 1055

BTU 1 h = h SIo

o

2

22

SI

)D (3,28)G (737,34 0,026 = h 0,176

SI0,4

0,6SI

SI

21

Finalmente:

Logo, a nova constante é 4,8274.

Finalmente, é importante comentar a respeito da pressão e das várias maneiras

de expressar esta variável. Pressão é normalmente definida como sendo força por

unidade de área, agindo na direção normal à superfície em consideração.

Considere-se, então, a figura 2.6. Dentro do tubo de vidro há um líquido. A força

que o líquido exerce sobre a placa da base esta associada ao seu peso. Logo:

onde:

F = força exercida pelo líquido sobre a placa de base;

m = massa de líquido contido no tubo;

g = aceleração da gravidade.

Figura 2.6 - Dispositivo para definição de pressão

DG 4,8274 = h

SI0,4

0,6SI

SI

(2.14) g m = F

hLíquido

Área

Vácuo

22

A massa de líquido contido no tubo é dada por:

onde:

ρ = densidade do líquido;

V = volume de líquido no tubo.

O volume de líquido contido na coluna cilíndrica pode ser determinado por:

onde:

A = área da base da coluna de líquido;

h = altura da coluna de líquido.

A pressão exercida pelo líquido na área da base é dada por:

Combinando as relações acima, pode-se obter uma expressão genérica para

avaliação da pressão exercida pela coluna de líquido:

Considerando-se uma coluna de 0,5 m de mercúrio (ρ = 13600 kg/m3), tem-se a

seguinte pressão:

Algumas vezes, a pressão é expressa em termos da altura da coluna de líquido

(normalmente, mercúrio ou água). É comum se dizer pressão de 20 mm de mercúrio,

referindo-se à pressão exercida por uma coluna de 20 mm de mercúrio.

)(2.15 V ρ = m

)(2.16 h A = V

(2.17) A

.A.h.g A.V.g

Am.g

AF = P ρρ

===

)(2.18 h g ρ = P

aP 66640 = m) (0,5 )sm (9,8 )

mkg (13600 = P

23

23

Usando-se os resultados acima, pode-se determinar um fator de conversão de mm

de mercúrio para Pascal. Tem-se que:

Um outro ponto importante ligado à pressão está relacionado à maneira de

expressar os valores de pressão. Duas maneiras são normalmente empregadas:

pressão relativa e pressão absoluta. A diferença entre elas é vista esquematicamente

na figura 2.7.

Tem-se que a pressão absoluta é dada por:

ou, pela figura 2.7:

.

Figura 2.7 - Quadro esquemático identificando a diferença entre a pressão absoluta e

relativa

Pa 133,33 = Hg mm 1

logo

Pa 66640 = Hg mm 500

(2.19) aatmosféric pressão + relativa pressão = absoluta pressão

Gás Gás

Manômetro Manômetro

Δh1

Δh2

Vácuo

Atmosfera

Pressão relativa Pressão absoluta

Δh

Vácuo

Barômetro

Pressão atmosférica

hh h 12 Δ+Δ=Δ

24

A pressão atmosférica é determinada por um aparelho denominado barômetro.

No sistema britânico de unidades, é comum encontrar-se pressões fornecidas em

termos das seguintes unidades:

- psia (pounds per square inch absolute)= libra-força por polegada quadrada absoluta;

- psig (pounds per square inch gage) = libra-força por polegada quadrada relativa.

Essas unidades são as comumente utilizadas na especificação de calibração de pneus

Exemplo- Usando o mesmo procedimento adotado para correlacionar mm de Hg e Pa,

determine um fator de conversão de metro de coluna de água para Pascal.

Solução - Pela relação (2.18), tem-se que:

Considerando a densidade da água igual a 1000 kg/m3, tem-se:

Dessa forma, constata-se que 1 m de coluna de água equivale a 9800 Pa.

Exemplo- A pressão atmosférica ao nível do mar equivale a 760 mm Hg. Determine

esse valor em psia e em Pascal.

Solução- Pelo fator de conversão determinado anteriormente, sabe-se que:

1 mm Hg = 133,33 Pa

Logo:

760 mm Hg = 760 x 133,33 Pa = 101330 Pa = 101330 N/m2.

Usando os fatores de conversão da tabela 2.2, encontra-se que:

1 lbf = 4,4482 N

h g ρ = P

aP 9800 = m) (1 )sm (9,8 )

mkg (1000 = P 23

25

1 in = 0,0254 m

Logo:

Exemplo- Um manômetro indica que a pressão dentro de um tanque é 51 psi. A pressão

barométrica é de 28 in de Hg. Calcular a pressão absoluta de CO2 no tanque em Pa.

Solução - Para determinar a pressão absoluta basta converter os dados de pressão

relativa e barométrica para Pa e somar os resultados. A pressão relativa é de 51,0 psi.

Pelo resultado do exemplo anterior, tem-se que:

101330 Pa = 14,7 psi

Logo:

51 psi = 351553 Pa

Já a pressão barométrica (atmosférica) é de 28 in Hg. Mas:

1 in = 0,0254 m = 25,4 mm

Logo:

28 in = 711,2 mm Hg

Do exemplo anterior, sabe-se que:

1 mm Hg = 133,33 Pa

Assim, 28 in Hg = 94824,3 Pa.

Finalmente, a pressão absoluta é dada por:

pressão absoluta = (351553 + 94824,3) Pa = 446377,3 Pa

A seguir serão resolvidos mais dois exemplos relativos à conversão de unidades

e dimensões das variáveis encontradas no estudo de transporte de momento.

psia 14,7 = in

m )0,0254( N 4,4482

lb 1 101330 = Pa 101330

2

22f

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

26

Exemplo- A densidade da água a 25oC é de 62,4 lbm/ft3. Fornecer o valor dessa

densidade em kg/m3.

Solução- Usando os fatores de conversão da tabela 2.2:

1 lbm = 0,45359 kg

1 ft = 0,3048 m.

Assim, determina-se a densidade da água nas unidades do sistema internacional:

Exemplo- Mostrar que o parâmetro P/ρ tem a dimensão de energia por unidade de

massa.

Solução- Consultando a tabela 2.1, tem-se:

pressão: M L-1 t-2 ;

densidade: M L-3 ;

energia: M L2 t-2 .

Assim,

Constata-se, portanto, que pressão/densidade tem a mesma dimensão de energia por

unidade de volume.

mkg 999,55 =

m )(0,3048ft1

lbkg 0,45359 62,4 = ρ 333

3

mOH 2 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

tL =

MtLM =

MassaEnergia

tL =

LMtLM =

ρP =

DensidadePressão

2

22-2

2

2

3-

-2-1

27

EXERCÍCIOS

1- Calcular o volume em m3, de um cilindro com as seguintes dimensões:

- altura ou comprimento: 15 in;

- Diâmetro: 3 in.

2- Se um foguete usa 255 ft3/h de oxigênio líquido, quantos m3/s de oxigênio são

usados?

3- Calcular todas as temperaturas a partir de um dos valores dados:

Unidade a b c d e f g

oF 140 1000

oR 500 1000

K 298 1000

oC -40

4- Um manômetro indica que a pressão relativa dentro de um condensador é de 3,53

metros de coluna d’água. O barômetro indica 30,4 in de Hg. Qual a pressão absoluta

no condensador em psi e em Pa?

5- Pequenos animais (insetos e roedores) podem viver em pressões reduzidas (3,0

psia). Num teste, um manômetro de Hg foi ligado a um recipiente, conforme a figura

a seguir. A leitura do manômetro indica 25,4 in Hg e a pressão barométrica é igual

a 14, 79 psi. Poderão os insetos sobreviver sob tais condições?

28

6- Calcular a energia cinética de 1 tonelada de água movendo a 60 milhas/hora.

Fornecer a resposta em:

a- ft . lbf ;

b- ergs;

c- Joules;

d- hp . seg;

e- Watt. seg

Dado: 1 milha = 1,6 Km

7- Densidades podem ser expressas como funções lineares da temperatura. A

expressão geral tem a seguinte forma:

Sendo que:

ρ : kg/m3 ; T : oC.

Se a equação é dimensionalmente consistente, qual deve ser a unidade de A?

8- Num alto-forno, a queda de pressão do gás pode ser expressa por:

ManômetroΔh

Atmosfera

= 25,4 in Hg

Insetos

T A + ρ = ρ o

29

onde:

ΔP = queda de pressão;

H = altura do leito;

μ = viscosidade do gás;

ρ = densidade do gás;

V = velocidade do gás.

Determinar as unidades das constantes “a” e “b”, usando o sistema internacional.

9- Uma correlação empírica para determinar o coeficiente de transferência de calor de

uma placa vertical para o ar pode ser expressa por:

Onde

h = coeficiente de transferência de calor [=] Btu/h.ft2 oF

ΔT = diferença de temperatura entre a superfície da placa e o ar, [=] oF

L = comprimento da placa [=] ft.

Deseja-se escrever a mesma relação adotando unidades SI. Qual deve ser a nova

constante no lugar de 0,29?

10- Provar que os seguintes números são adimensionais:

onde:

V ρ b + V μ a = HΔP 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

LΔT 0,29 = h

21

νL ΔT β g = Gr

μρ V D = Re

2

3

30

D = diâmetro;

V = velocidade;

ρ = densidade;

μ = viscosidade dinâmica;

g = aceleração da gravidade;

ΔT= diferença de temperatura;

L = comprimento;

ν = viscosidade cinemática;

β = coeficiente de compressibilidade, avaliado pela seguinte relação:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂Tρ

ρ1 - = β

P

31

3-VISCOSIDADE

Uma das principais propriedades dos fluidos, que tem grande importância no seu

escoamento, é a viscosidade. Essa propriedade será definida neste capítulo. Serão

apresentadas também maneiras de se estimar o seu valor para diferentes tipos de

fluidos de interesse na metalurgia.

3.1- Definição de Viscosidade e Lei de Newton da Viscosidade

A viscosidade é uma propriedade física que caracteriza a resistência ao

escoamento de um fluido simples. Para quantificá-la, considere-se a situação vista na

figura 3.1, onde se tem uma certa quantidade de fluido entre duas placas paralelas.

Figura 3.1 - Situação esquemática para definição de viscosidade

No tempo t = 0, a placa inferior começa a se mover a uma velocidade constante

V. A partir desse instante, o fluido que está sobre essa placa também começa a se

mover. Com o tempo, o fluido move-se até atingir o estado estacionário: a distribuição

de velocidade ao longo do fluido se torna constante com o tempo. Essa situação é

mostrada na figura 3.2, onde se tem os perfis de velocidade em função do tempo a

Placa em movimento Velocidade V Fluido

Placa estacionária

32

partir do qual a placa inferior começou a se movimentar.

Figura 3.2 - Evolução do perfil de velocidades em um sistema de placas paralelas

Quando o estado estacionário é atingido, uma força constante F é necessária para

manter o movimento da placa inferior. Essa força pode ser expressa da seguinte

maneira:

onde:

F = força para manter a placa inferior em movimento;

(3.1) LV μ =

AF

FLUIDO EM RESPOUSO

L t = 0

V

PLACA INFERIOR É COLOCADA EM MOVIMENTO

L t < 0

ESCOAMENTO NÃO ESTACIONÁRIO:VELOCIDADE VARIA COM O TEMPOL

t > 0 (pequeno)

V

DISTRIBUIÇÃO FINAL DE VELOCIDADE:ESTADO ESTACIONÁRIO

y

x

y

x

y

x

y

x

L t > 0

V

y = 0

y = L

y = 0

y = L

y = 0

y = L

y = 0

y = L

33

A = área da placa;

V = velocidade da placa inferior;

L = distância entre as placas;

μ = constante de proporcionalidade. Esta constante depende do fluido que está entre

as placas e é denominada viscosidade dinâmica ou molecular.

Observa-se que a força por unidade de área é proporcional à velocidade e

inversamente proporcional à distância entre as placas. Como a força aplicada nesse

caso é tangencial á superfície da placa, tem-se ainda que:

Na interface entre o fluido e as placas prevalece a condição de não-

escorregamento. Isso significa que o fluido que está em contato com a placa assume

a velocidade da placa. Como as placas em questão possuem velocidades diferentes,

há o aparecimento de um gradiente1 de velocidade no interior do fluido.

No estado estacionário, quando o perfil de velocidade é linear, V/L pode ser

associado ao gradiente de velocidade. No caso mostrado na figura 3.2, como o perfil

de velocidades é linear, o gradiente de velocidade pode ser determinado considerando-

se que:

- em y = 0, vx = V;

- em y = L, vx = 0.

Logo:

1 Gradiente é a variação no valor de alguma grandeza com a posição dentro do sistema .

(3.2) tocisalhamen de Tensão = área

Força=τ

)(3.3 0 - LV - 0 =

dyvd =

ΔyvΔ = velocidade de gradiente xx

34

Deve-se observar que, na avaliação do gradiente de velocidade pela equação

acima, há uma correspondência direta entre as velocidades que aparecem no

numerador da fração e as posições indicadas no denominador.

Substituindo as equações (3.2) e (3.3) em (3.1), pode-se escrever que:

A relação (3.4) é a expressão matemática da lei de Newton da viscosidade

aplicada a casos de escoamentos unidimensionais, onde se tem apenas uma

componente de velocidade (vx), variando somente em uma direção (y). Esta lei

estabelece que a tensão de cisalhamento, τyx (y é a direção da normal à superfície

sobre a qual a força atua e x é a direção da força aplicada - veja figura 3.2 ) é

proporcional ao negativo do gradiente de velocidade.

No capítulo 5 será apresentada a forma mais completa da lei de Newton da

viscosidade aplicada a escoamentos tridimensionais.

Um fluido que obedece à lei de Newton da viscosidade é denominado Newtoniano.

Os fluidos comuns na metalurgia (gases, metais e escórias líquidos) são fluidos

Newtonianos. Exemplos de fluidos não-Newtonianos são os polímeros, as partículas de

argila em suspensão na água (usadas no processo de colagem por barbotina), as

pastas e tintas. Estes fluidos não obedecem à equação (3.4). Existe um ramo da ciência

que se dedica ao estudo dos fluidos, buscando determinar equações constitutivas

(similares à equação (3.4)), que regem o seu comportamento. Esse ramo é denominado

reologia.

(3.4) dydv μ - = τ = tocisalhamen deTensão x

yx

35

Ainda em relação à equação (3.4), deve-se observar que quanto maior é a

viscosidade do fluido, μ, maior será a tensão de cisalhamento, ou a força, necessária

para manter a placa inferior em movimento.

3.1.1- Interpretação física de τyx

Na análise da equação (3.4) feita acima, interpretou-se τyx como sendo a tensão

de cisalhamento (atrito) existente devido ao gradiente de velocidade.

A expressão (3.4) pode ser interpretada de um outro modo. Na vizinhança da

superfície que está se movendo em y = 0, o fluido adquire uma certa quantidade de

movimento na direção x. Este fluido, por sua vez, passa uma certa fração desta

quantidade de movimento para a camada adjacente de fluido, fazendo com que ela

adquira também movimento na direção x. Desse modo, pode-se dizer que quantidade

de movimento da direção x é transmitido por difusão na direção y ao longo do fluido.

Como visto no Capítulo 2, para que quantidade de movimento seja transportado por

difusão é necessária a existência de um gradiente de velocidade.

τyx pode, então, ser interpretado como fluxo1 de quantidade de movimento na

direção “x” sendo transportado por difusão na direção “y”. Essa interpretação é bastante

conveniente, pois é análoga ao tratamento que será utilizado para o transporte de calor

e massa. E mais, através dessa interpretação, se torna mais fácil entender o sinal de

τyx.

1 Fluxo de alguma grandeza (quantidade de movimento, calor e massa) representa a quantidade desta

grandeza que é transportada por unidade de tempo e área. Taxa representa a quantidade transportada

por unidade de tempo.

36

Quantidade de movimento por difusão é transportado das regiões de alta para as

de baixa velocidade (similar ao que Robin Hood fazia, tirando dos ricos e passando para

os pobres). Assim, na figura 3.2, quantidade de movimento vai de y = 0 (alta velocidade)

para y = L (baixa velocidade).

É importante lembrar que velocidade é uma grandeza vetorial. Assim, uma

velocidade de - 100 m/s é menor que uma velocidade de 0,01 m/s.

Com esta nova interpretação para τyx, pode-se dizer que a lei de Newton da

viscosidade estabelece que o fluxo de quantidade de movimento por difusão é

proporcional ao negativo do gradiente de velocidade. O sinal de τyx pode ser

determinado considerando-se que o fluxo de quantidade de movimento na direção x

será positivo se ele se der no mesmo sentido do crescimento do eixo y (y é a direção

do gradiente de velocidade). Se o fluxo de quantidade de movimento for no sentido

oposto ao crescimento do eixo y, ele será negativo.

Finalmente, o sinal do gradiente de velocidade pode ser determinado de uma

maneira bastante simples. Se a velocidade vx aumenta quando a posição ao longo do

eixo y aumenta, pode-se dizer que o gradiente de velocidade é positivo. Se a velocidade

vx diminui quando a posição ao longo do eixo y aumenta, o gradiente de velocidade é

negativo.

A seguir serão resolvidos alguns exemplos de aplicação, enfatizando a

interpretação da lei de Newton da viscosidade.

37

Exemplo- Para a figura mostrada abaixo, determine:

- direção e sentido do transporte de quantidade de movimento por difusão;

- direção e sentido do fluxo de quantidade de movimento por convecção.

Aplique a lei de Newton da viscosidade à situação mostrada.

Solução - Conforme visto acima, quantidade de movimento por difusão é transportada

na direção do gradiente de velocidade. Assim, a direção do transporte de quantidade

de movimento por difusão é a direção z.

Como quantidade de movimento é transportada por difusão das regiões de alta (z = H)

para as de baixa velocidade (z = 0), tem-se que o sentido do transporte de quantidade

de movimento por difusão é o negativo de z.

Transporte de quantidade de movimento por convecção ocorre na direção do

movimento macroscópico do fluido (veja Capítulo 2), que nesse caso é a direção y.

Como as velocidades estão no mesmo sentido de crescimento do eixo y, elas são todas

positivas e, portanto, o sentido do fluxo de quantidade de movimento por convecção é

o positivo de y.

Para o sistema visto acima, a lei de Newton pode ser colocada na seguinte forma:

Para o caso em estudo, a velocidade vy aumenta quando z aumenta. Dessa forma o

y

z

z = 0

z = H

dzdv μ - = τ y

zy

38

gradiente de velocidade é positivo e o fluxo de quantidade de movimento por difusão,

τzy, é negativo, pois ocorre no sentido oposto ao crescimento do eixo z.

Exemplo - Repita o exemplo acima para a situação vista abaixo:

Solução - Nesse caso, as velocidades são negativas, pois estão no sentido oposto ao

crescimento do eixo z.

Quantidade de movimento por difusão é transportada na direção x (direção do gradiente

de velocidade), da região de altas (x = H) para as de baixa velocidade (x = 0). (Lembre-

se que velocidade é uma grandeza vetorial !). Desta forma, o sentido do transporte de

quantidade de movimento por difusão é o negativo de x.

Quantidade de movimento por convecção é transportada na direção do movimento

macroscópico do fluido, que na situação vista acima é a direção z, no sentido negativo

deste eixo.

Para este caso, a lei de Newton da viscosidade pode ser colocada na seguinte forma:

O fluxo de quantidade de movimento por difusão é negativo e o gradiente de velocidade

é positivo (vz aumenta quando x aumenta).

x

z

x = H

x = 0

dxdv μ - = τ z

xz

39

Exemplo - Repita os exemplos acima para o caso apresentado na figura a seguir.

Solução - A situação acima é um pouco mais complexa que as anteriores. Nesse caso,

há uma alteração no sentido da velocidade na região mostrada.

Considerando-se a orientação dos eixos, tem-se que a velocidade vy é positiva na

região definida por: 0 < z < b. Na região dada por b < z < H, as velocidades são

negativas. A velocidade máxima no domínio considerado ocorre em z = a. Logo, o

transporte de quantidade de movimento por difusão vai ocorrer na direção z (direção

do gradiente de velocidade), no sentido de z = a para z = 0 e de z = a para z = H. Deste

modo, tem-se que:

- Região: 0 < z < a : fluxo de quantidade de movimento por difusão é negativo -

sentido contrário ao do crescimento do eixo z;

- Região: a < z < H : fluxo de quantidade de movimento por difusão é positivo -

mesmo sentido do crescimento do eixo z.

O transporte de quantidade de movimento por convecção ocorre na direção do

deslocamento macroscópico do fluido, que nesse caso é a direção y. Tem-se que:

- Região: 0 < z < b : fluxo de quantidade de movimento por convecção é positivo -

velocidades positivas;

- Região: b < z < H : fluxo de quantidade de movimento por convecção é negativo

y

z

z = 0

z = a

z = bz = H

40

- velocidades negativas.

Para o sistema em estudo, a lei de Newton pode ser colocada na seguinte forma:

Analisando-se o sinal do gradiente de velocidade, obtém-se que:

- Região: 0 < z < a :velocidades aumentam com o aumento em z - gradiente é positivo;

- Região: a < z < H : velocidades diminuem com o aumento em z - gradiente é

negativo.

Os exemplos anteriores demonstram que os mecanismos de transporte, difusão

e convecção, podem estar presentes simultaneamente. O fato de haver transporte de

quantidade de movimento por difusão não elimina a possibilidade de existência de

transporte por convecção e vice-versa.

3.1.2- Dimensão da viscosidade

Através da lei de Newton de viscosidade expressa através da equação (3.4), pode-

se determinar a dimensão da viscosidade dinâmica ou molecular, μ. Tem-se que:

Substituindo-se na lei de Newton da viscosidade, encontra-se que:

dzdv μ - = τ y

zy

t = t L

L : ddv velocidade de Gradiente

t L

M : τ tocisalhamen de Tensão

1-

y

x

2yx

t1 μ =

t LM

2

41

Logo,:

No sistema internacional, a viscosidade é expressa em termos das seguintes

unidades:

μ : kg.m-1.s-1 = Pa s.

Uma unidade de viscosidade bastante popular é a referente ao sistema cgs

(centímetro-grama-segundo). Nesse sistema, a viscosidade é dada em g/cm s. Essa

unidade é denominada Poise, P, em homenagem ao cientista francês Poiseuille, que

desenvolveu estudos na área de mecânica dos fluidos.

O centipoise, cP, é uma unidade derivada do Poise e eqüivale a um centésimo

dessa unidade:

1 cP = 10-2 P

Uma outra grandeza de importância no estudo do transporte de quantidade de

movimento é a viscosidade cinemática, definida pela seguinte relação:

onde:

ν= viscosidade cinemática e ρ = densidade do fluido.

A viscosidade cinemática tem dimensão de M2 / t (verifique isso como um

exercício) e é conhecida também como difusividade de quantidade de movimento.

Antes de ver os métodos para estimativa de viscosidade de fluidos de interesse

na metalurgia, é importante ver a similaridade existente entre a lei de Newton da

viscosidade e leis similares que regem o transporte de calor e massa por difusão.

O transporte de calor por difusão é governado pela seguinte relação:

t L

M μ =

(3.5) ρμ = ν

)(3.6 dydT k - = qy

42

onde:

qy = fluxo de calor por difusão;

k = condutividade térmica do material ao longo do qual o calor é transferido;

T = temperatura.

Essa relação é conhecida como lei de Fourier.

Para o transporte de massa por difusão, tem-se a seguinte expressão:

sendo:

jy = fluxo de massa por difusão;

D = difusividade de massa;

C = concentração ou potencial químico da espécie química que se difunde.

Essa expressão é a representação matemática da lei Fick para difusão de massa.

É imediata a similaridade entre as leis de Newton da viscosidade, de Fourier e de

Fick. Todas elas estabelecem que o fluxo (de quantidade de movimento, calor ou

massa) é proporcional ao gradiente de uma dada variável (velocidade, temperatura e

concentração ou potencial químico). As constantes de proporcionalidade são

específicas para cada situação:

- Transporte de quantidade de movimento: μ (viscosidade);

- Transporte de calor: k (condutividade térmica);

- Transporte de massa: D (difusividade de massa).

A principal diferença entre a lei de Newton e as leis de Fourier e de Fick está

relacionada com a natureza das variáveis envolvidas. Na lei de Newton, o gradiente

(3.7) dydC D - = j y

43

envolve uma variável vetorial, que é a velocidade.

Nas leis de Fourier e Fick, o gradiente é de uma variável escalar, temperatura e

concentração (ou potencial químico), respectivamente. Como conseqüência desta

diferença, o fluxo de quantidade de movimento, τyx, é uma grandeza tensorial: um índice

está associado à direção da velocidade, e outro à direção do gradiente. Os fluxos de

calor e de massa, qy e jy, são grandezas vetoriais, e o seu índice está relacionado com

a direção do gradiente de temperatura ou concentração (ou potencial químico).

3.2- Viscosidade de Gases

No estudo da transferência de quantidade de movimento, uma das características

do fluido que deve ser conhecida é a sua viscosidade.

Um grande volume de dados de viscosidade de fluidos encontra-se tabelado na

literatura. Entretanto, nem sempre os valores de que se necessita são encontrados,

especialmente quando se lida com gases, mistura de gases e metais líquidos em altas

temperaturas.

Nesses casos, alguma alternativa para determinação da viscosidade (nem que

seja de modo aproximado) deve ser buscada.

Para gases já existem algumas teorias que permitem uma estimativa da

viscosidade. Uma dessas é a teoria cinética dos gases. Por essa teoria, considera-se

um gás ideal possuindo as seguintes características:

- As moléculas são rígidas como bolas de bilhar, possuindo um diâmetro “d” e massa

“m”;

- As moléculas não exercem forças umas sobre as outras, exceto quando elas

44

colidem;

- As colisões são perfeitamente elásticas e obedecem as leis clássicas de conservação

de quantidade de movimento e energia;

- As moléculas estão uniformemente distribuídas. Elas estão em contínuo movimento

e estão separadas por distâncias que são grandes comparadas com seu diâmetro;

- Todas as direções para a velocidade são igualmente prováveis. A magnitude da

velocidade de uma molécula pode possuir qualquer valor entre zero e infinito.

Assumindo que as moléculas possuem uma distribuição de velocidade dada pela

equação de Maxwell (isto é, a energia térmica do gás é dada pela energia cinética de

todas as moléculas que se movem) e através de um longo desenvolvimento (Geiger e

Poirier, 1980) pode-se determinar que a viscosidade é dada pela seguinte expressão:

onde:

μ = viscosidade do gás em Poise (g/cm s);

m = massa de uma molécula (g);

KB = constante de Boltzmann (1,38 x 10-16 erg/molécula K);

T = temperatura (K);

d = diâmetro de uma molécula (cm).

(Verifique a consistência das unidades da equação acima).

Uma conclusão importante que pode ser obtida através da equação acima é a de

que a viscosidade de um gás é independente da pressão e depende apenas da

temperatura. Esta conclusão está em boa concordância com dados experimentais até

pressões de dez atmosferas. Entretanto, a dependência com a temperatura está apenas

)(3.8 d

T K m

π 32 = μ

2B

3/2

45

qualitativamente correta: a viscosidade de um gás cresce com a temperatura.

Quantitativamente, dados reais obtidos para vários gases indicam que μ varia com Tn,

onde “n” está entre 0,6 e 1,0, ao invés de 0,5 como é indicado pela equação (3.8).

Uma teoria mais elaborada substituiu o modelo de bolas de bilhar por um modelo

mais realístico. Este novo modelo considera um campo de forças, englobando forças

de atração e repulsão entre as moléculas. Esta teoria faz uso da energia potencial de

interação entre um par de moléculas no gás. Esta função, normalmente denominada

potencial Lennard-Jones, mostra um comportamento de interação molecular: fraca

atração para grandes separações e forte repulsão para pequenas separações. A figura

3.3 explicita este comportamento.

A função potencial, ψ(r), é descrita pela seguinte relação:

onde:

ε = energia característica (erg/molécula);

σ = diâmetro de colisão (Angstrom).

A posição de equilíbrio das moléculas é dada pelo ponto δ, onde a energia

potencial é mínima e vale -ε. O parâmetro ε é chamado de energia característica.

(3.9) rσ -

rσ ε 4 = Ψ(r)

612

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

46

Figura 3.3 – Função potencial de Lennard-Jones, descrevendo a interação de duas

moléculas não polares (Jastrzebski, 1976).

Usando o potencial Lennard-Jones, Chapman e Enskog desenvolveram a seguinte

equação para cálculo de viscosidade de gases não polares a baixas pressões:

)(3.10 Ω σ

T M 102,6693x = μμ

25-

0

Atração

Repulsão

δ Distância interatômica, r

Força, F

0

Atração

Repulsão

σ δ

ε

Energia potencial, Ψ(r)

Rep

ulsã

oAt

raçã

o

Distância interatômica, r

Rep

ulsã

oAt

raçã

o

47

Sendo que:

μ = viscosidade do gás (Poise);

σ = diâmetro de colisão da molécula (Angstrom);

M = massa molecular do gás (g/mol);

Ωμ = integral de colisão da teoria de Chapman-Enskog;

T = temperatura (K).

A constante da equação (3.10) já incorpora fatores de conversão para que o

resultado de viscosidade seja obtido em Poise, quando os valores de σ, M e Ωμ são

fornecidos nas unidades listadas acima.

A integral de colisão é função do parâmetro adimensional de temperatura KB . T/ε.

Para usar a equação (3.10), são necessários os valores de σ e ε/KB. Esses parâmetros

são conhecidos para várias substâncias, sendo que uma lista parcial é fornecida na

tabela 3.1.

Para determinar a integral de colisão, pode-se usar a tabela 3.2. Se o gás fosse

composto de esferas rígidas de diâmetro σ (ao invés de moléculas reais com forças de

atração e repulsão), o parâmetro Ωμ seria igual a um. Desse modo, pode-se dizer que

a função Ωμ quantifica o desvio do comportamento de esferas rígidas.

A relação (3.10) é, então, útil para determinar a viscosidade de gases não polares

a baixas densidades. Entretanto, ela não pode ser aplicada com confiança para gases

constituídos por moléculas polares ou muito grandes, em especial para H2O, NH3,

CH3OH e NOCl.

Uma alternativa ao uso da tabela 3.2 consiste no uso de correlações matemáticas

obtidas a partir de ajuste de função aos dados desta tabela. Desta forma, evita-se

48

interpolações, uma vez que os valores do parâmetro ε/KB T nem sempre são os

indicados nesta tabela. As correlações obtidas através deste ajuste são:

- para KB T/ ε < 2:

- para KB T/ ε > 2:

Uma limitação da equação (3.10) é que ela fornece resultados bons apenas para

temperaturas acima de 100 K. Para a metalurgia, isso não representa uma restrição

importante, pois na maioria dos casos de lida com temperaturas bem acima deste valor.

Em metalurgia, é bastante comum se ter misturas de gases. Para estas misturas,

a viscosidade pode ser estimada a partir da seguinte relação:

onde:

i = número de componentes da mistura;

xi = fração molar do componente i na mistura;

μi = viscosidade do componente i na mistura;

Mi = massa molecular do gás i.

)(3.11 ε

T K log 0,4662 - 0,2071 = Ω log Bμ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

(3.12) ε

T K log 0,1497 - 0,0689 = Ω log Bμ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

)(3.13 M x

M μ x = μ

ii

n

=1i

iii

n

=1iMISTURA

∑

∑

49

Tabela 3.1- Parâmetros de Lennard-Jones ((Bird, Stewart e Lighfoot, 1960; Geiger e

Poirier, 1980), Cussler (1997))

Substância )A(o

σ εTk B

Substância )A(o

σ εTk B

Ar 3,542 93,3 CH3COCH3 4,600 560,2

He 2,551 10,22 CH3COOCH3 4,936 469,8Kr 3,655 178,9 n-C4HIO 4,687 531,4

Ne 2,820 32,8 Isso-C4H1O 5,278 330,1

Xe 4,047 231,0 C2H5OC2H5 5,678 313,8

Ar 3,711 78,6 CH3COOC2H5 5,205 521,3

Br2 4,296 507,9 n-C5H12 5,784 341,1

CCl4 5,947 322,7 C(CH3)4 6,464 193,4

CF4 4,662 134,0 C6H6 5,349 412,3

CHCl3 5,389 340,2 C6H12 6,182 297,1

CH2Cl2 4,898 356,3 n-C6H14 5,949 399,3

CH3Br 4,118 449,2 Cl2 4,217 316,0

CH3Cl 4,182 350 F2 3,357 112,6

CH30H 3,626 481,8 HBr 3,353 449

CH4 3,758 148,6 HCN 3,630 569,1CO 3,690 91,7 HCl 3,339 344,7

CO2 3,941 195,2 HF 3,148 330

CS2 4,483 467 HI 4,211 288,7

C2H2 4,033 231,8 H2 2,827 59,7

C2H4 4,163 224,7 H2O 2,641 809,1

C2H6 4,443 215,7 H202 4,196 289,3

C2H5CI 4,898 300 H2S 3,623 301,1

C2H5OH 4,530 362,6 Hg 2,969 750

CH3OCH3 4,307 395,0 I2 5,60 474,2

CH2CHCH3 4,678 298,9 NH3 2,900 558,.3

CH3CCH 4,761 251,8 NO 3,492 116,7

C3H6 4,807 248,9 N2 3,98 71,4

C3H8 5,118 237,1 N20 3,828 232,4

n-C3H7OH 4,549 576,7 O2 3,467 106,7

CH3COCH3 4,600 560,2 PH3 3,981 251,.5

S02 4,112 335,4

50

Tabela 3.2- Valores da Integral de Colisão, baseados no potencial de Lennard-Jones

(Bird, Stewart e Lighfoot, 1960; Geiger e Poirier, 1980)

εTk B

Ω εTk B

Ω εTk B

Ω εTk B

Ω0,30 2,785 1,30 1,399 2,6 1,081 4,6 0,94220,35 2,628 1,35 1,375 2,7 1,069 4,7 0,93820,40 2,492 1,40 1,353 2,8 1,058 4,8 0,93430,45 2,368 1,45 1,333 2,9 1,048 4,9 0,93050,50 2,257 1,50 1,314 3,0 1,039 5,0 0,92690,55 2,156 1,55 1,296 3,1 1,030 6 0,89630,60 2,065 1,60 1,279 3,2 1,022 7 0,87270,65 1,982 1,65 1,264 3,3 1,014 8 0,85380,70 1,908 1,70 1,248 3,4 1,007 9 0,83790,75 1,841 1,75 1,234 3,5 0,9999 10 0,82420,80 1,780 1,80 1,221 3,6 0,9932 20 0,74320,85 1,725 1,85 1,209 3,7 0,9870 30 0,70050,90 1,675 1,90 1,197 3,8 0,9811 40 0,67180,95 1,629 1,95 1,186 3,9 0,9755 50 0,65041,00 1,587 2,00 1,175 4,0 0,9700 60 0,63351,05 1,549 2,1 1,156 4,1 0,9649 70 0,61941,10 1,514 2,2 1,138 4,2 0,9600 80 0,60761,15 1,482 2,3 1,122 4,3 0,9553 90 0,59731,20 1,452 2,4 1,107 4,4 0,9507 100 0,58821,25 1,424 2,5 1,093 4,5 0,9464 200 0,5320

400 0,4811

Os cálculos de viscosidades de gases puros e misturas de gases geralmente

encontrados em metalurgia podem ser realizados através da planilha viscosidade-

gases.xls (CD que acompanha este livro).

Usando a planilha acima, resolva os exemplos apresentados abaixo.

Exemplo- Avalie a viscosidade do hidrogênio a 1 atm de pressão e a 1000 K.

Solução- Usando a planilha acima, obtém-se:

Ωμ = 0,7183

Logo:

51

μ = 1,94 x 10-4 P.

Exemplo- Calcule a viscosidade do CO2 a 200, 300 e 800 K. Compare com os seguintes

dados experimentais:

200 K: μ = 1,015 x 10-4 P;

300 K: μ = 1,495 x 10-4 P.

Solução- Para as temperaturas de 200, 300 e 800 K tem-se, respectivamente:

Ωμ (200 K) = 1,5729

Ωμ (300 K) = 1,302

Ωμ (800 K) = 0,945

As viscosidades obtidas são:

(200 K) = 9,971 x 10-5 P;

(300 K) = 1,475 x 10-4 P;

(800 K) = 3,319 x 10-4 P;

Exemplo- Estime a viscosidade de um gás de alto-forno com a seguinte composição:

N2 = 50 % CO = 24 % CO2 = 22 % H2 = 4 %;

a uma temperatura de 100 oC.

Solução- Pelos resultados da planilha, tem-se

μ (N2) = 2,121 x 10-4 P;

μ (CO) = 2,169 x 10-4 P;

μ (CO2) = 1,821 x 10-4 P;

μ (H2) = 1,035 x 10-4 P;

A viscosidade da mistura é, então:

52

μ (mistura) = 2,04 x 10-4 P;

3.3- Viscosidade de Líquidos

Ao se lidar com o transporte de quantidade de movimento em líquidos, usualmente

defronta-se com o problema de que a estrutura dos líquidos é bem menos conhecida

que a estrutura de gases e sólidos. Entretanto, existe mais similaridade entre sólidos

e líquidos que entre líquidos e gases. Essa afirmação é baseada na pequena variação

de volume que ocorre quando se passa de sólido para líquido (3 a 5% no caso de

metais) e no pequeno valor do calor de fusão quando este é comparado com o calor de

vaporização.

Dados de raios-X mostram também que nos líquidos existe uma organização a

curta distância.

Várias teorias têm sido formuladas para explicar algumas das propriedades dos

líquidos. Contudo, todas elas apresentam problemas.

Uma dessas teorias propõe a seguinte relação para cálculo de viscosidade de

líquidos:

onde:

μ = viscosidade do líquido (Poise);

A = constante (Poise)

T = temperatura absoluta;

R = constante dos gases (cal/mol . K);

(3.14) T R

GΔ exp A = μ vis ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

53

ΔGvis = energia de ativação da viscosidade (cal/mol).

A constante A é objeto de muitos estudos teóricos desenvolvidos sobre a estrutura

dos líquidos. Nenhuma dessas teorias fornece valores satisfatórios. A teoria que fornece

os melhores valores é a de Eyring, que propõe a seguinte equação para avaliação da

constante A:

onde:

No = número de Avogadro;

h = constante de Planck (6,624 x 10-27 erg . s);

Vm = volume molar(cm3/mol).

Para líquidos que apresentam interações apenas do tipo van der Waals a energia

de ativação do fluxo viscoso pode ser obtida da energia de vaporização:

sendo:

ΔEvap= energia de vaporização (cal/mol).

Essa energia de vaporização pode ser relacionada com a entalpia de vaporização

através da seguinte expressão:

onde:

ΔHvap = entalpia de vaporização (cal . mol).

Tb = temperatura de ebulição (K)

Infelizmente as relações (3.16) e (3.17) não são válidas para metais líquidos e não

)(3.15 V

h N = Am

o

)(3.16 EΔ 0,41 = GΔ vapvis

)(3.17 T R - HΔ = EΔ bvapvap

54

devem ser usadas, a não ser como último recurso.

É surpreendente como líquidos completamente diferentes, em termos de ligação,

apresentam viscosidade com valores próximos.

A tabela 3.3 mostra faixas de valores de viscosidade para diversos líquidos.

Tabela 3.3- Viscosidade para diferentes tipos de líquidos (Geiger e Poirier, 1980).

Faixa de viscosidade

(Poise)

Materiais

1 - 100 Escórias: CaO - SiO2 - Al2O3

50 % NaOH - 50 % H2O

Óleos

0,1 - 1,0 H2SO4

0,01 - 0,1 Sais fundidos

Metais pesados (Pb, Au, Zn)

Metais alcalinos (Ca, Mg)

Metais de transição (Fe, Ni, Co)

Água (20 oC)

Querosene (20 oC)

0,001 - 0,01 Acetonas

3.3.1. Viscosidade de metais líquidos

As interações existentes nos metais líquidos não são do tipo van der Waals e,

desse modo, as relações de (3.14) a (3.17) não se aplicam a esses materiais.

55

Chapman desenvolveu uma teoria considerando as interações entre os átomos

nos metais e obteve uma relação entre três grandezas adimensionais:

- μ*: viscosidade reduzida;

- T*: temperatura reduzida;

- V*: volume reduzido.

Essas grandezas são definidas através das seguintes expressões:

onde:

δ = distância interatômica no cristal a 0K (cm);

ε = parâmetro de energia, característica do metal (erg);

No= número de Avogadro;

M = massa atômica (g/mol);

R = constante dos gases (8,314 x 107 g . cm2 / s2 . mol . K);

T = temperatura absoluta (K);

KB= constante de Boltzmann; 1,38 x 10-16 erg/K;

n = número de átomos por unidade de volume (átomos/cm3).

O relacionamento entre os três parâmetros acima é mostrado na figura 3.4.

(3.18) T R M

N δ μ = μ o2

*

)(3.19 ε

T K = T B*

(3.20) δ n1 = V 3

*

56

Figura 3.4 - Curva para a estimativa da viscosidade de metais líquidos (Geiger e Poirier,

1980)

A relação vista graficamente na figura 3.4 pode ser expressa através do seguinte

polinômio:

A tabela 3.4 fornece valores de δ e ε/KB para diversos metais. Os valores de ε/KB

quando colocados como função da temperatura se ajustam bastante bem a uma curva

do tipo:

onde:

Tf = temperatura de fusão do metal (K).

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

8

5

6

7

1/T*

μ*V*2

(3.21) T1 0,0156 +

T1 0,0262 -

T1 0,4488 + 0,0088- = V μ *

3

*

2

*2** ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(3.22) T 5,20 = Kε

fB

57

Tabela 3.4- Valores dos parâmetros δ e ε/KB para diversos metais (Geiger e Poirier,

1980).

Metais δ (Angstron) ε/KB (K)

Na

K

Li

Mg

Al

Ca

Fe

Co

Ni

Cu

Zn

Rb

Ag

Cd

In

Sn

Au

Hg

Pb

Pu

3,84

4,76

3,14

3,20

2,86

4,02

2,52

2,32

2,50

2,56

2,74

5,04

2,88

3,04

3,14

3,16

2,88

3,10

3,50

3,10

1970

1760

2350

4300

4250

5250

10900

9550

9750

6600

4700

1600

6400

3300

2500

2650

6750

1250

2800

5550

58

A planilha viscosidade-metais.xls, contida no CD que acompanha o livro, permite

que se faça a estimativa de valores de viscosidade de metais líquidos, bastando digitar

o metal (símbolo), a sua densidade e a temperatura de interesse. Os exemplos a seguir

demonstram o uso da planilha e o cálculo de viscosidade de metais líquidos usando as

relações acima.

Exemplo- Estime a viscosidade do titânio líquido 1850 oC. Os seguintes dados estão

disponíveis:

Tf = 1800 oC M = 47,9 g/mol densidade = 4,5 g/cm3 δ = 2,89 A.

Solução- Usando a equação (3.22), determina-se ε/KB :

A temperatura reduzida é:

Pela equação (3.21), encontra-se que:

Resta ainda determinar o valor de V*. Uma vez que:

Logo:

Assim:

10779,6 = 273) + (1800 5,20 = Kε

B

5,0787 = T1 0,1969 =

10779,6273 + 1850 = T *

* ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3,6383 = V μ *2*

cm / átomos 10 x 5,6584 = 47,94,5 10 x 6,023 =

Mρ N = n 32223

o

0,7322 = )10 x (2,89 )10 x (5,6584

1 = δ n1 = V 38-223

*

59

A partir da relação (3.18), pode-se escrever:

Exemplo- Avalie a viscosidade do ferro líquido a 1873 K. Densidade do ferro: 7 g/cm3.

Solução- Usando a planilha, obtém-se:

T* = 0,1718;

n = 7,549 x 1022;

V* = 0,8278;

μ* = 6,9795.

E, finalmente:

μ = 5,38 cP

Para o caso de ligas, não há modelos de aplicação geral. É comum representar estes

dados de viscosidade, superpondo-se linhas de isoviscosidade ao diagrama de fase da

liga. Exemplo deste tipo de abordagem é apresentado na figura 3.5.

6,7864 = (0,7322)3,6383 =

V3,6383 = μ 22*

*

cP 3,92 = P 0,0392 = )10 x (6,023 )10 x (2,89

(2123) )10 x (8,314 (47,9) 6,7864 =

N δT R M μ = μ

2328-

7

o2

*

60

Figura 3.5 – Viscosidade da liga ferro-carbono (Geiger e Poirier, 1980)

3.3.2- Viscosidade de escórias

Um outro material que freqüentemente aparece nos processos metalúrgicos e que

apresenta bastante interesse é a escória.

Para se ter uma idéia da importância da viscosidade da escória, pode-se citar o

exemplo do alto-forno. Neste reator, uma escória pouco viscosa (ou muito fluida) é

essencial para que se consiga uma boa produtividade e um ferro gusa menos

contaminado de elementos indesejáveis. Desse modo, torna-se importante estudar a

determinação de viscosidade de escórias, especialmente daquelas que são formadas

nos processos siderúrgicos.

A viscosidade é uma propriedade intrínseca de uma determinada escória, sendo

que o conhecimento de sua estrutura ou do arranjo de suas moléculas ajuda no

61

entendimento dos fatores que afetam a viscosidade. Em geral, escórias são formadas

por cátions e ânions resultantes da ionização de óxidos básicos e ácidos em solução

líquida. Pode-se considerar que óxidos ácidos são aqueles que, quando dissolvidos na

escória, adquirem íons de oxigênio adicionais formando complexos aniônicos, enquanto

os óxidos básicos fornecem os íons oxigênio e o seu cátion possa a se mover

livremente através da estrutura iônica da escória. Os óxidos ácidos mais comuns são

SiO2 e Al2O3, que se comportam de maneira similar. Os óxidos básicos mais

importantes são o CaO e o MgO.

A estrutura da sílica líquida é similar à da sílica sólida, onde cada íon Si+4

compartilha um elétron com cada um dos quatro íons O-2, que formam um tetraedro em

torno do íon Si+4. No estado sólido, a eletro-neutralidade é mantida com cada íon O-2

compartilhando seu outro elétron entre dois tetraedros ou íons Si+4. A estrutura é um

arranjo cristalino regular de grupos SiO4-4 , como é mostrado na figura 3.6.

Quando a sílica é fundida, o arranjo continua, mas não em toda a sua extensão

sendo que algumas ligações são rompidas, conforme se vê na figura 3.6b. Mesmo

assim, continuam existindo muitas ligações Si-O e a viscosidade do líquido SiO2 é muito

elevada (1,5 x 105 Poise a 1940ºC).

62

Figura 3.6 - Estrutura da sílica sólida e líquida (Geiger e Poirier, 1980)

Quando CaO, ou outro óxido bivalente similar é dissolvido na sílica líquida, os íons

Ca+2 são acomodados nos interstícios da estrutura da sílica e os íons O-2 entram dentro

da rede cristalina, conforme se vê na figura 3.7. Cada íon O-2 do óxido CaO causa a

separação de dois tetraedros, pois com a presença de mais um íon O-2 cada tetraedro

pode ter um oxigênio que seja somente dele. Assim o aumento da dissolução de CaO

resulta numa quebra progressiva da rede tridimensional original, implicando numa

queda acentuada da viscosidade da solução, conforme se vê na figura 3.8.

Essa figura mostra também que o aumento da temperatura contribui para uma

maior quebra de ligações e consequentemente diminui a viscosidade da solução

63

Figura 3.7- Efeito da dissolução da CaO na estrutura da sílica líquida (Geiger e Poirier,

1980)

Figura 3.8 - Viscosidade da solução CaO-SiO2 (Geiger e Poirier, 1980)

64

A figura 3.8 não pode ser aplicada diretamente para escórias de alto-forno devido

à presença de outros óxidos importantes como o Al2O3 e o MgO. A seguir serão vistos

alguns métodos usados na determinação da viscosidade das escórias.

A- Diagrama de isoviscosidade

Na literatura (Carvalho et alii, 1977; e Slag Atlas, 1981), há uma série de

diagramas ternários e pseudo-ternários, para vários sistemas e temperaturas, que

permitem a obtenção de valores de viscosidade para diversos tipos de escória.

Para se usar esses diagramas é necessário saber marcar o ponto referente à

composição da escória. Através da figura 3.9, pode-se ver como assinalar o ponto

referente a uma dada composição da escória.

Figura 3.9 - Diagrama ternário usado na locação de pontos de composição

65

O ponto A representa o componente A puro e qualquer ponto na linha AC

representa uma mistura de A e C sem o componente B. As linhas paralelas ao lado

oposto do vértice A representam linhas de igual concentração de A, sendo que quanto

mais próxima elas estiverem desse vértice, maior será o teor de A .Nesse diagrama,

tem-se que os pontos 1 e 2 apresentam a seguinte composição:

- ponto 1: A = 40%; B = 20%; C = 40%

- ponto 2: A = 30%; B = 40%; C = 30%

É importante salientar que a soma dos teores dos componentes da escória, que estão

incluídos no diagrama, deve ser igual a 100.

A figura 3.10 mostra um diagrama de isoviscosidade adequado para determinação

de viscosidade de escórias de altos-fornos.

Figura 3.10 - Diagrama de isoviscosidade para o sistema CaO-SiO2-Al2O3-MgO.

Temperatura de 1500ºC. Teor de sílica - 35%. (Carvalho et alii, 1977)

66

B) Método da Sílica Equivalente

Um outro método usado para determinação de viscosidade de escórias é o da

sílica equivalente. A base para o desenvolvimento desse método é discutida a seguir.

A alumina (Al2O3), quando dissolvida na escória, forma ânions (AlO3)-3 e o seu

comportamento com relação à viscosidade é similar ao da sílica. Todavia, a base é

(AlO3)-3 (diferente de SiO4-4) e dois íons Al+3 podem substituir dois íons Si+4 somente se

um íon Ca+2 está disponível para manter a eletroneutralidade. Portanto, com relação à

viscosidade, a alumina é equivalente a uma certa quantidade de sílica Xa (denominada

sílica equivalente), que depende da relação Al2O3/CaO e da quantidade total de Al2O3,

como mostra a figura 3.11. Os dados de sílica equivalente foram correlacionados com

a viscosidade para o sistema CaO - MgO - Al2O3 - SiO2 para várias temperaturas, como

mostra a figura 3.12. Para se calcular a viscosidade de uma escória, primeiro deve-se

converter a porcentagem dos constituintes para fração molar e determinar Xa (sílica

equivalente) pela figura 3.11. O MgO é equivalente ao CaO, até cerca de 10% de MgO.

O FeO e o MnO também são equivalentes ao CaO até 5%. Todas essas frações

molares devem ser somadas para se obter XCaO. Passa-se, então, à figura 3.12 e

obtém-se a viscosidade da escória, especificando-se a temperatura desejada.

C) Fórmula de Viscosidade

Outra possibilidade que pode ser adotada para cálculo de viscosidade de escórias

é o uso da equação de viscosidade, que é dada pela seguinte expressão (Castro et alii,

1989):

(3.23) )OAl (% 0,008013 - MgO)(% 0,11818 - CaO) (% 0,09633 - T

25144 + 10,3469- = μ ln 32

67

onde:

μ = viscosidade da escória (kgm-1. s-1);

T = temperatura (K);

% i = porcentagem em massa do óxido “i” na escória.

Para se poder aplicar a equação (3.23), o teor de SiO2 deve estar entre 35 e 45%.

Figura 3.11 – Sílica equivalente à alumina , para várias frações molares de alumina e

para várias relações Al2O3/CaO (Geiger e Poirier, 1980).

68

Figura 3.12 - Viscosidade do sistema líquido CaO-SiO2-Al2O3-MgO (Geiger e Poirier,

1980)

69

Exemplo- Estimar a viscosidade de uma escória com a seguinte composição:

CaO = 41,46 % SiO2 = 35 % MgO = 5,62 % Al2O3 = 17,92 %.

Temperatura = 1500oC.

Usar os três métodos apresentados acima.

Solução - Diagrama de isoviscosidade. A temperatura e o teor de SiO2 estão dentro do

limite de validade da figura 3.10. Logo, marcando-se o ponto referente à composição

da escória nesse diagrama, pode-se determinar a viscosidade da escória. O resultado

é visto no diagrama ternário abaixo. O valor obtido é de 4 P.

Para aplicar o método da sílica equivalente, calcula-se, inicialmente, a fração molar dos

óxidos na escória. Tem-se:

XCaO = 0,4516

XSiO2 = 0,3558

XAl2O3 = 0,1074

XMgO = 0,0852.

70

A relação XAl2O3 / XcaO será dada por:

Tomando a curva correspondente a 0,20, obtém-se uma sílica equivalente de: Xa =

0,1654. (Observe a figura a seguir).

O valor de (XSiO2 + Xa) é, então: 0,3558 + 0,1654 = 0,5212. Este valor é lançado no

gráfico da figura 3.12, para a temperatura de 1500 oC, obtendo-se uma viscosidade de

4,03 P (log μ = 0,605), conforme mostrado na figura a seguir.

0,2001 = 0,0852 + 0,4516

0,1074 = X + X

XMgOCaO

OAl 32

X = 0,1654 a

71

Finalmente, usa-se a fórmula de viscosidade, dada pela equação (3.23). Substituindo

valores, obtém-se:

Observa-se que os três métodos forneceram resultados bem semelhantes.

P 3,802 = sm

kg 0,3802 = μ

0,9670 - = (17,92) 0,0080126 - (5,62) 0,118176 - (41,46) 0,096334 - 177325144 + 10,3469- = μ ln

log μ = 0,605

72

Vários modelos mais elaborados têm sido desenvolvidos para previsão de valores

de viscosidades de diferentes tipos de escórias. Os métodos apresentados acima

representam apenas algumas das alternativas que se tem para avaliação de

viscosidades deste tipo de fluido, de grande importância na metalurgia.

73


E. L. Cussler. Diffusion – Mass Transfer in Fluid Systems. Cambridge University Press,

1997, 105-107 p.

G.H. Geiger; D.R. Poirier. Transport Phenomena in Metallurgy. Addison-Wesley

Publishing Company, Massachusetts, 1980, 616 p.

J.L.R. Carvalho et alii. Dados Termodinâmicos para Metalurgistas. Edições Engenharia,

Belo Horizonte, 1977, 394 p.

L.F.A. Castro et alii. Tecnologia de Fabricação do Gusa Líquido em Altos-fornos.

Volume 9 - Escórias de Alto-forno, 1989.

Slag Atlas, Verlag StahlEisen M.B.H., Dusseldorf, 1981.

Z.D. Jastrzebski. The Nature and Properties of Engineering Materials, John Wiley, New

York, 1976.

74

EXERCÍCIOS

1- O perfil de velocidade de um fluido em um dado sistema é expresso por:

Faça um esboço desse perfil de velocidades (y varia entre 0 e 0,5 m).

Usando a equação do perfil de velocidade, determinar:

- direção e sentido do fluxo de quantidade de movimento por convecção;

- direção e sentido do fluxo de quantidade de movimento por difusão;

- fluxo de quantidade de movimento por difusão em y=0 m;

- tensão de cisalhamento em y = 0 e y=0,5 m;

O fluido apresenta as seguintes características:

ρfluido = 3 g/cm3 μfluido = 2 x 10-3 lbm/ft.s

2- Para a figura a seguir, indicar a direção e sentido do transporte de quantidade de

movimento por convecção e difusão. Enuncie a lei de Newton da viscosidade para

o caso mostrado. Explicar todas as respostas dadas.

)m[=] y m/s,[=] v( 1 -y 6,25 + y 6,25 - = v x2

x

Placa superior

Placa inferior

zz = a

z = b

z = 0

z = L

x

75

3- Calcular as viscosidades do CO2 e N2 no intervalo de 600 a 2000K com incrementos

de 200K. Fazer um gráfico de μN2 e μCO2 versus temperatura (K).

4- Determinar as viscosidades de oxigênio, nitrogênio e metano gasosos a 20 oC e

pressão atmosférica. Fornecer o resultado em centipoise. Comparar com os dados

experimentais abaixo:

μN2 = 0,0175 cP;

μO2 = 0,0203 cP;

μCH4 = 0,0109 cP.

5- a) Calcular a viscosidade do ar a 20º C, considerando-o como uma mistura de 79%

de N2 e 21% de O2.

b)Comparar o resultado com o valor experimental: 0,01813 cP.

6- Determinar a viscosidade do cromo líquido a 2000º C. Os dados são:

- ponto de fusão: 1898º C;

- massa atômica: 52,01 g/mol;

- densidade: 7,1 g/cm3;

- δ: 2,72 A.

7- Estimar a viscosidade do titânio líquido a 1900ºC. Os seguintes dados são

disponíveis:

- temperatura de fusão: 1800ºC;

- massa atômica: 47,9 g/mol;

76

- densidade: 4,50 g/cm3;

- δ: 2,89 A.

8- Avaliar a viscosidade do ferro a 1800º C. Dados:

- temperatura de fusão: 1536ºC

- massa atômica: 55,85 g/mol

- densidade: 7 g/cm3.

9- Estimar a viscosidade da seguinte escória:

% SiO2 = 45

% CaO = 35

% Al2O3 = 20

a 1500ºC. Usar os três métodos discutidos e comparar os resultados.

10- Calcular a viscosidade da seguinte escória de alto-forno:

% SiO2 = 40

% CaO = 35

% Al2O3 = 18

% MgO = 7

a 1400ºC.

Comparar os resultados obtidos pelos diferentes métodos de cálculo.

77

4 - ESCOAMENTO LAMINAR E BALANÇO DE QUANTIDADE

DE MOVIMENTO

Neste capítulo será desenvolvido o cálculo da distribuição de velocidade de um

fluido que escoa através de sistemas de geometria simples, em fluxo laminar. Para tal,

serão usados os conceitos de viscosidade e de balanço de massa e quantidade de

movimento. Inicialmente, será feita a distinção entre escoamento laminar e turbulento.

4.1. Escoamento laminar e turbulento

Quando um fluido se move através de um sistema, dois regimes diferentes de

escoamento podem ocorrer. A experiência feita por Reynolds em 1883 demonstra esses

dois tipos de escoamento.

Considere-se, inicialmente, um tubo transparente com água escoando através

dele. Um jato filiforme de tinta é injetado paralelo ao curso do escoamento da água.

Para baixas velocidades do fluido, a tinta escoará em linha reta, sem se misturar com

as camadas adjacentes de água, conforme mostrado na figura 4.1a. Esse tipo de

escoamento é chamado de laminar.

À medida que a velocidade da água é aumentada, atinge-se a situação mostrada

na figura 4.1b. A partir de um certo ponto, a água fica toda colorida pela tinta. Esse é

o escoamento turbulento.

78

Figura 4.1 – Vista esquemática da experiência de Reynolds

O significado do escoamento laminar é que o movimento do fluido é feito através

de camadas infinitesimais de fluido que se movem em trajetórias bem definidas. No

escoamento turbulento, o movimento das partículas do fluido é irregular e as

velocidades são variáveis com o tempo, conforme se observa na figura 4.2, obtida

experimentalmente usando um anemômetro a laser.

Figura 4.2 - Medidas de velocidade no centro de um tubo de 22 mm de diâmetro interno.

Número de Reynolds = 6500 (Guthrie, 1992)

INJEÇÃO DE CORANTE

INJEÇÃO DE CORANTE

a- Escoamento laminar

b- Escoamento turbulento

79

O ponto onde ocorre a transição de um regime de escoamento para o outro é

determinado experimentalmente e varia de acordo com a configuração do sistema.

Normalmente, o critério para se saber o tipo de escoamento que prevalece no fluido

é estipulado através de uma grandeza adimensional denominada número de Reynolds.

Esse número é definido genericamente através da seguinte relação:

onde:

L = dimensão característica (definida de acordo com a configuração do sistema);

V = velocidade média do fluido ao longo da seção transversal do tubo;

ρ = densidade do fluido;

μ= viscosidade dinâmica do fluido.

(Verificar que Re é um número adimensional).

No caso de tubos, a dimensão característica é o diâmetro. Dessa forma, o número

de Reynolds em tubos é definido por:

onde:

D = diâmetro do tubo.

O valor do número de Reynolds para o qual ocorre a transição de escoamento

laminar para turbulento em tubos é de aproximadamente 2100. Esse número foi

determinado empiricamente. Sistemas com outras configurações apresentam transição

em outros valores de números de Reynolds.

(4.1) μρ V L = Re

(4.2) μρ V D = Re

80

4.2. Balanços de Massa e de Quantidade de Movimento

Nesse item, será desenvolvida a metodologia que é normalmente utilizada na

obtenção de perfis de velocidade de fluidos, escoando sob regime laminar em sistemas

de geometria simples. O uso inicial de geometrias simples tem a finalidade de reduzir

a complexidade matemática e enfatizar os conceitos de Fenômenos de Transporte.

A determinação dos perfis de velocidade de fluidos é feita através do

desenvolvimento de balanços de massa e de quantidade de movimento e da aplicação

da equação de Newton da viscosidade.

Nos problemas de engenharia, que envolvem o escoamento de um fluido, é

importante determinar uma relação matemática entre a força motriz necessária ao

escoamento do fluido e a vazão do fluido no sistema em análise. Trata-se, portanto, de

uma relação de causa (força motriz) e efeito (vazão do fluido). Além desta relação,

outras informações adicionais podem também ser obtidas:

- velocidade máxima;

- velocidade média;

- tensão de cisalhamento nas paredes do duto por onde o fluido escoa.

O tratamento matemático desse tipo de problema é feito através do

desenvolvimento de balanços de massa e quantidade de movimento aplicados ao

sistema em estudo. As diferenças principais destes balanços em relação àqueles que

são feitos na termodinâmica e na cinemática clássicas são:

- Os balanços são desenvolvidos considerando o aspecto tempo, ou seja, são

avaliadas as taxas de entrada e saída de massa e quantidade de movimento. Na

termodinâmica, o balanço de massa não considera a variável tempo, adotando-se

81

uma referência arbitrária, normalmente vinculada à quantidade de produto gerado ou

de matérias-primas utilizadas;

- Os balanços são aplicados a porções infinitesimais do sistema e não ao sistema

como um todo, como ocorre na termodinâmica e na cinemática. Esses balanços

infinitesimais são, então, integrados para se obter informações globais sobre o

sistema.

4.2.1- Balanço de massa

O balanço de massa é estabelecido a partir do princípio de conservação de massa

(na natureza, nada se cria, nada se perde, tudo se transforma).

Para um sistema no estado estacionário (parâmetros não sofrem alteração com

o tempo), o balanço de massa pode ser genericamente expresso da seguinte forma:

4.2.2- Balanço de quantidade de movimento

O balanço de quantidade de movimento pode ser entendido genericamente como

um balanço das forças atuando no sistema.

Considerando novamente um sistema no estado estacionário, o balanço de

quantidade de movimento pode ser expresso da seguinte forma genérica:

[ ] [ ] (4.3) 0 = massa de saÍdade Taxa - massa de entrada de Taxa

[ ] [ ]

[ ] (4.4) 0 = sistemano atuando forças de Somatório

+ momento de saídade Taxa - momento de entrada de Taxa

82

Essa equação é dimensionalmente correta, uma vez que, conforme já foi visto no

Capítulo 2, a taxa de entrada ou saída de quantidade de movimento tem a mesma

dimensão de força.

Conforme já discutido nos Capítulos 2 e 3, quantidade de movimento pode entrar

e sair de um dado sistema por dois mecanismos:

- Difusão, associado à existência de um gradiente de velocidade. Nesse caso, o fluxo

de quantidade de movimento é estimado através da lei de Newton da viscosidade;

- Convecção, associado ao movimento macroscópico do fluido.

As forças atuando no sistema são essencialmente de dois tipos:

- Forças de pressão, que atuam nas superfícies;

- Força de gravidade, que atua no volume do elemento considerado.

Antes de prosseguir, é importante esclarecer que a equação (4.4) representa uma

outra forma de escrever a bem conhecida relação:

que é uma forma simplificada da expressão:

onde:

ΣFx= somatório de forças atuando no corpo na direção x;

m = massa do corpo;

ax = aceleração na direção x;

vx = velocidade na direção x;

t = tempo.

(4.5) a m = F xx∑

( )(4.6)

t d v m d

= F xx∑

83

Quando a massa do corpo é constante, as equações (4.5) e (4.6) se equivalem.

A equação (4.6) - segunda lei de Newton - estabelece que a taxa de variação de

quantidade de movimento (m.v) é igual ao somatório de forças atuando no elemento,

que é exatamente o mesmo que a equação (4.4) informa.

De um modo geral, o procedimento para estabelecer os balanços de massa e

quantidade de movimento e resolver os problemas de escoamento de fluidos em regime

laminar é o seguinte:

a) Uma vez definido o sistema a ser analisado, escolher eixos coordenados para

representar a geometria do sistema;

b) Selecionar um elemento de volume no qual serão estabelecidos os balanços;

c) Escrever o balanço de massa, na forma da equação (4.3), para o elemento de

volume selecionado;

d) Escrever o balanço de quantidade de movimento, na forma da equação (4.4), para

o mesmo elemento de volume acima;

e) Dividir as equações acima pelo volume do elemento e fazer esse volume tender

a zero. Usar, então, o conceito de derivada para obter equações diferenciais, que

representem os princípios de conservação de massa e quantidade de movimento

no sistema em estudo;

f) Integrar as equações acima. Na equação do balanço de quantidade de

movimento, substituir a expressão para o fluxo de quantidade de movimento pela

equação que representa a lei de Newton da viscosidade, para obter uma equação

diferencial para a distribuição de velocidade;

g) Integrar as equações diferenciais acima para obter as distribuições de fluxo de

quantidade de movimento e de velocidade no sistema.

84

As informações obtidas através do emprego do procedimento acima permitem

determinar outros parâmetros de interesse, além do perfil de velocidades do fluido:

- Velocidade média;

- Velocidade máxima;

- Vazão volumétrica;

- Queda de pressão;

- Forças atuando nas superfícies.

Nas integrações mencionadas acima, várias constantes de integração aparecem.

Estas constantes são avaliadas usando as chamadas condições de contorno, que nada

mais são do que estabelecimentos de fenômenos físicos que ocorrem em determinadas

posições do sistema. A seguir são listadas algumas das condições de contorno mais

comumente usadas:

- Nas interfaces sólido-fluido, a velocidade do fluido se iguala à velocidade com que

o sólido se move. Essa condição é usualmente designada como condição de não

escorregamento e é válida para os fluidos Newtonianos (aqueles que obedecem à

lei de Newton da viscosidade), tais como gases, água, metais e escórias líquidos,

que são os fluidos que normalmente estão presentes nos sistemas metalúrgicos;

- Nas interfaces líquido-gás, a tensão de cisalhamento (ou o fluxo de quantidade de

movimento) na fase líquida é aproximadamente zero e pode ser assumida como zero

em cálculos práticos. Essa condição decorre do fato dos gases oferecerem pouca

resistência ao movimento do líquido, devido à sua baixa viscosidade (cerca de 3 a

4 ordens de grandeza inferior à dos líquidos);

85

- Em interfaces líquido-líquido, o fluxo de quantidade de movimento e a velocidade são

funções contínuas.

4.3- Aplicações dos Balanços de Massa e Quantidade de Movimento

Neste item, o procedimento descrito acima será utilizado para resolver alguns

problemas elementares de escoamento laminar. Em todas as situações abaixo serão

estudados escoamentos em regime estacionário (independentes do tempo), aplicados

a fluidos de densidade e viscosidade constantes, escoando em regime laminar. Estas

restrições serão removidas nos capítulos 5 e 6, onde serão analisadas situações mais

complexas e também casos que envolvam escoamento turbulento.

4.3.1- Escoamento entre duas placas planas horizontais

O sistema a ser analisado é visto esquematicamente na figura 4.3 a seguir. Trata-

se de um escoamento entre duas placas planas horizontais. Apesar de nenhum sistema

de interesse prático apresentar esta configuração, o interesse em analisar este caso

vem da sua simplicidade, o que facilitará a aplicação dos balanços de massa e de

quantidade de movimento

86

Figura 4.3 - Escoamento entre duas placas paralelas planas e horizontais

No sistema visto na figura 4.3, o escoamento do fluido é causado pela

movimentação da placa superior, que se move para a direita com uma velocidade V.

A placa inferior permanece parada.

Conforme mencionado acima, a primeira etapa para se estabelecer os balanços

de massa e quantidade de movimento consiste em escolher os eixos coordenados para

representar a geometria do sistema. Obviamente, qualquer escolha de eixos ortogonais

está correta; entretanto, existe uma escolha mais conveniente, que vai simplificar o

problema. Na figura 4.3, duas possibilidades de escolhas de eixos são exibidas, uma

em preto e outra em cinza. Como o fluido escoa em decorrência do movimento da placa

superior, só há força motriz para criar escoamento na direção horizontal. A escolha dos

eixos em cinza faria com que existissem duas componentes de velocidade. A soma

vetorial destas duas componentes teria como resultante uma velocidade horizontal. A

escolhas dos eixos em preto levaria à existência de apenas uma componente de

velocidade na direção x. Obviamente, esta escolha é mais prática, pois nesse caso só

haverá uma componente de velocidade, o que simplifica o tratamento matemático do

problema. Deve-se mencionar, contudo, que nem sempre é possível escolher um

VPlaca superior

Placa inferior

Fluidoz

x

z

x

87

posicionamento de eixos coordenados que forneça apenas uma componente de

velocidade. Nesses casos, têm-se problemas onde o escoamento tem características

bi ou tridimensionais.

Uma vez definido o sistema de eixos coordenados, pode-se definir o elemento de

volume que será tomado como referência para estabelecimento dos balanços de massa

e quantidade de movimento. Esse elemento é escolhido de acordo com os eixos

coordenados e é mostrado na figura 4.4.

Figura 4.4 – Elemento de volume para estabelecimento dos balanços de massa e de

quantidade de movimento

Com a escolha de eixos acima, tem-se que o transporte de quantidade de

movimento por convecção ocorre na direção x, que é a direção do movimento

macroscópico do fluido. O transporte de quantidade de movimento por difusão ocorre

na direção z, que é a direção do gradiente de velocidade. É fácil se constatar que há

um gradiente de velocidade na direção z. No ponto z = 0 (placa inferior), a velocidade

do fluido é nula. Em um outro ponto z qualquer, o fluido estará se movendo. Desse

modo, há um gradiente de velocidade na direção z (a velocidade do fluido varia com a

posição z). É importante enfatizar que não é necessário saber onde a velocidade é

VPlaca superior

Placa inferior

Fluidoz

x

x x + Δx

z + Δzz

x

y + Δyy

z = 0

z = δ

88

maior ou menor, basta saber que vai haver variação de velocidade na direção z, e isso

é bastante simples de se verificar.

Pode-se, então, considerando a análise feita acima, estabelecer os balanços de

massa e quantidade de movimento.

Balanço de massa

Considerando a direção do movimento macroscópico do fluido, pode-se enunciar

o balanço de massa da seguinte maneira:

Os pontos onde se considera entrada e saída de massa são determinados em

função da orientação dos eixos, e não em função do sentido de escoamento do fluido.

Nesse caso, o fluido está realmente escoando da esquerda para a direita; entretanto,

as entradas e saídas de massa permaneceriam sendo nos pontos x e x + Δx,

respectivamente, mesmo se o fluido escoasse da direita para a esquerda. O fato dos

pontos de entrada e saída de massa serem definidos em função da escolha da

orientação dos eixos coordenados elimina a necessidade de se saber de antemão o

sentido de escoamento do fluido. Em muitas situações, o sentido de escoamento não

é tão óbvio.

As taxas de entrada e saída de massa podem ser avaliadas pelas expressões abaixo:

[ ] [ ] )(4.7 0 = Δx + x = x em massa de saídade Taxa - x = x em massa de entrada de Taxa

[ ] )(4.8 |ρ) vΔz y ( = x = x em massa de entrada de Taxa x=xxΔ

[ ] )(4.9 |ρ) vz y( = x Δ + x = x em massa de saídade Taxa Δx+x=xxΔΔ

89

Nas equações acima, o produto Δy Δz corresponde à área do elemento de volume

perpendicular á direção do escoamento do fluido (direção x), vx é a componente de

velocidade e ρ é a densidade do fluido. O produto destes fatores tem a dimensão de

massa por unidade de tempo (taxa ou vazão de massa). O produto Δy Δz vx é

denominado vazão volumétrica e tem dimensão de volume por unidade tempo.

(Verifique as dimensões acima como um exercício).

O balanço de massa pode, então, ser colocado na seguinte forma:

Seguindo a seqüência de procedimentos listada no item 4.2, tem-se que o próximo

passo corresponde a dividir a equação acima pelo volume do elemento, Δx Δy Δz. Tem-

se:

Fazendo-se o limite quando Δx tender a zero, obtém-se:

O sinal “-“na equação acima vem da definição de derivada primeira, dada por:

0)(4.1 0 = |ρ) vΔz y ( - |ρ) vΔz y ( Δx+x=xxx=xx ΔΔ

(4.12) 0 = Δx

|ρ) v( - |ρ) v(

(4.11) 0 = ΔzΔy Δx

|ρ) vΔz y ( - |ρ) vz y(

Δx+x=xxx=xx

Δx+x=xxx=xx ΔΔΔ

(4.13) 0 = xρ) v( - = 0 =

Δx|ρ) v( - |ρ) v(

lim xΔx+x=xxx=xx0Δx ∂

∂⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→

(4.14) Δx

|(f) - |(f)lim =

dxdf x=xΔx+x=x

0Δx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→

90

onde f é uma função qualquer (na equação (4.13), a função é o produto vx ρ). Observe

que os limites de avaliação da função f na definição de derivada são os opostos

daqueles que aparecem na equação (4.13).

Como foi assumido inicialmente que a densidade do fluido não varia com a direção

x (ela foi considerada constante), pode-se rescrever a equação (4.13) da seguinte

forma:

Como a densidade do fluido não é nula, obtém-se finalmente que:

A equação precedente estabelece que a velocidade vx na situação sendo estudada não

depende da posição x (vx não é função de x). É comum se referir a esta situação como

sendo a de um escoamento plenamente desenvolvido. A equação (4.16) representa a

informação obtida pela aplicação do princípio de conservação de massa.

Balanço de quantidade de movimento

No caso do balanço de quantidade de movimento, deve-se lembrar que

quantidade de movimento pode ser transportada por dois mecanismos: difusão e

convecção. Ambos devem ser considerados quando se estabelece o balanço.

Considerando que quantidade de movimento por difusão é transportado na direção do

gradiente de velocidade (direção z) e que o transporte de quantidade de movimento por

convecção ocorre na direção do movimento macroscópico do fluido, pode-se expressar

o balanço de quantidade de movimento da seguinte forma:

(4.15) 0 = xv ρ x

∂∂

(4.16) 0 = xvx

∂∂

91

É importante enfatizar mais uma vez que os pontos de entrada e saída de

quantidade de movimento por convecção e por difusão são determinados em função

da escolha da orientação dos eixos coordenados, e não em função do conhecimento

do sentido real do transporte de quantidade de movimento por estes mecanismos. Não

é necessário conhecer de antemão os sentidos de escoamento de quantidade de

movimento para se estabelecer os balanços de quantidade de movimento. Estes

sentidos serão naturalmente determinados durante o desenvolvimento da análise do

problema.

As diversas taxas que aparecem na equação acima podem ser avaliadas através

das expressões a seguir:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] (4.17) 0 = volume de elemento no atuando forças de Somatório +

+ Δz +z =z em difusão por movimento de quantidade de saídade Taxa -

- z =z em difusão por movimento de quantidade de entrada de Taxa +

+ Δx + x = x em convecção por movimento de quantidade de saídade Taxa -

- x = x emconvecção por movimento de quantidade de entrada de Taxa

[ ]8)(4.1 |)v ρ vΔz y (

= x = x em conveccão por movimento de quantidade de entrada de Taxa

x=xxxΔ

[ ])(4.20 |)Δy x(

= z =z em difusão por movimento de quantidade de entrada de Taxa

zz=zxτΔ

[ ])(4.19 |)v ρ vΔz y (

= xx = x em conveccão por movimento de quantidade de saídade Taxa

xx=xxx Δ+ΔΔ+

92

Como o escoamento ocorre em virtude apenas do deslocamento da placa

superior, não há forças (associadas à diferença de pressão ou gravidade) atuando no

sistema na direção do escoamento (direção x). Deve-se observar que a força da

gravidade está presente; entretanto, ela atua na direção vertical (direção z) e não tem

nenhuma componente na direção do deslocamento do fluido. Na equação (4.17), o

somatório de forças se refere apenas às forças que possuem componentes na direção

de escoamento do fluido. É importante lembrar que quantidade de movimento é uma

grandeza vetorial. O balanço de quantidade de movimento (ou balanço de forças) sendo

estabelecido nesse caso refere-se à direção x.

Nas equações (4.18) e (4.19), o produto Δy Δz vx ρ representa a vazão de massa.

Quando estes fatores são multiplicados pela velocidade vx , obtém-se quantidade de

movimento por unidade de tempo, que corresponde à taxa de quantidade de

movimento.

Nas equações (4.20) e (4.21), τzx representa o fluxo de quantidade de movimento

por difusão (veja capítulo 3). Quando este fluxo é multiplicado pela área normal à sua

direção, Δx Δy, obtém-se a taxa de quantidade de movimento por difusão.

Substituindo as expressões de (4.18) a (4.21) na equação (4.17), obtém-se a

equação geral do balanço de quantidade de movimento para o problema em análise:

Dividindo pelo volume do elemento, encontra-se que:

[ ]1)(4.2 |)Δy x(

= Δz+z =z em difusão por movimento de quantidade de saídade Taxa

Δz+zz=zxτΔ

(4.22) 0 =] |)Δy x( - |)Δy x[( +] |)v ρ vΔz y ( - |)v ρ vz y[ Δz+zz=ZXzz=zxΔx+x=xxxx=xxx ττ ΔΔΔΔΔ

93

Fazendo o limite da equação (4.24) quando o volume do elemento tende a zero

(Δx e Δz → 0), tem-se:

Usando-se o conceito de derivada primeira, permite-se escrever:

Do balanço de massa, sabe-se que:

Como o fluido possui densidade constante, pode-se escrever que:

De onde resulta que:

A equação diferencial acima pode ser integrada através de separação de

variáveis, para se obter:

(4.24) 0 = Δz

]|)( - |)[( +

Δx]|)v ρ v( - |)v ρ v[(

ou

(4.23) 0 = ΔzΔy Δx

]|)Δy x( - |)yx[ +

ΔzΔy Δx]|)v ρ vΔz y ( - |)v ρ vΔz y [

Δz+zz=zxzz=zxΔx+x=xxxx=xxx

Δz+zz=zxzz=zxΔx+x=xxxx=xxx

ττ

ττ ΔΔΔΔΔ

(4.25) 0 = Δz

]|)( - |)[( lim +

Δx]|)v ρ v( - |)v ρ v[(

lim Δz+zz=zxzz=zx0Δz

Δx+x=xxxx=xxx0Δx ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→→

ττ

(4.26) 0 = z

)( - x

)v ρ v( - zxxx

∂∂

∂∂ τ

(4.27) 0 = xvx

∂∂

(4.28) 0 = x

)v( v ρ 2 = x

)v v( ρ xx

xx

∂∂

∂∂

(4.29) 0 = dz

)d( zxτ

94

onde C1 é uma constante de integração.

Pela lei de Newton da viscosidade, pode-se estabelecer que:

Combinando as equações (4.31) e (4.32), obtém-se:

Separando variáveis e integrando novamente, permite escrever que::

onde C2 é uma nova constante de integração. A integração acima foi feita assumindo-se

que a viscosidade do fluido é constante.

A equação (4.35) fornece uma equação genérica para o perfil de velocidade entre

as duas placas planas paralelas e horizontais. Para se ter o perfil específico para o caso

em estudo, deve-se determinar os valores das constantes C1 e C2. Estas duas

constantes são determinadas a partir do uso das condições de contorno. Pelo que foi

mencionado no item 4.2, sabe-se que nas interfaces sólido-líquido, a velocidade do

fluido se iguala à velocidade do sólido. Dessa forma, pode-se afirmar que:

(4.31) C + 0 =

(4.30) dz 0 = )d(

1zx

zx

τ

τ ∫∫

(4.32) dzvd μ - = x

zxτ

)(4.33 C = dzvd μ - = 1

xzxτ

)(4.35 C +z μ

C - = v

(4.34) dz μ

C - = vd

21

x

1x ∫∫

95

Aplicando as condições de contorno acima na equação do perfil de velocidade,

resulta que:

Das equações acima, pode-se determinar os valores de C1 e C2 :

Finalmente, o perfil de velocidades para o fluido entre as placas pode ser

determinado susbtituindo as expressões para C1 e C2 na equação (4.35), obtendo-se:

(verifique que o perfil acima atende às condições de contorno).

Como já tinha sido observado na figura 3.2, trata-se de um perfil linear.

A partir do perfil de velocidades acima, uma série de informações a respeito do

sistema pode ser obtida.

Inicialmente, pode-se determinar o perfil da tensão de cisalhamento (ou fluxo de

quantidade de movimento por difusão) no sistema. Pela lei de Newton da viscosidade,

tem-se:

Observa-se que τzx é constante, não variando com a posição entre as placas.

)2 (C.C.δ =z em V = v : 2 contorno de Condição

1) (C.C. 0 =z em 0 = v : 1 contorno deCondição

x

x

)2 (C.C. C +δ μ

C - = V

1) (C.C. C + 0 μ

C - = 0

21

21

δμ V - = C

0 = C

1

2

(4.36) δz V = vx

96

Além do perfil da tensão de cisalhamento, pode-se determinar também as vazões

volumétrica e de massa de fluido entre as placas. Para tal, será considerado que as

placas possuem largura W. Essa largura W é a dimensão na direção y, perpendicular

ao plano do papel. As vazões são calculadas somando-se as quantidades de fluido que

escoam em cada porção infinitesimal dz ao longo da distância entre as placas. Pelas

parcelas do balanço de massa, sabe-se que, em cada camada infinitesimal, a

quantidade de fluido que escoa é dada por:

onde dQ é a vazão volumétrica infinitesimal ao longo de uma camada de dimensões W

dz.

A soma de parcelas infinitesimais corresponde a se fazer uma integração das

parcelas acima na região compreendida entre z = 0 e z = δ. Dessa forma, integrando

(4.38) entre os limites especificados, encontra-se:

Como a velocidade do fluido varia em função da posição (equação (4.36)), pode-

se substituir o perfil de velocidades na expressão (4.39), para obter:

)(4.37 δV μ - =

dzvd μ - = x

zxτ

(4.38) )vdz (W = dQ x

)(4.39 )vdz (W = dQ x

δz=

z=0

δz=

z=0∫∫

)(4.40 2δ V W = )vdz (W = Q x

δz=

z=0∫

97

A vazão de massa, Γ, é dada por:

A velocidade média é determinada dividindo-se a vazão volumétrica pela área total

disponível para o escoamento. Nesse caso, essa área é dada pelo produto da largura

das placas (W) pela distância entre elas (δ). Assim:

Esse resultado já era esperado, pois no caso de uma variação linear, a velocidade

média é certamente dada pela média das velocidades nos extremos (0 e V).

4.3.2. Escoamento de uma película de fluido.

No item anterior, tratou-se de um problema de pouca aplicação prática, mas de

extrema simplicidade, o que facilita o desenvolvimento dos balanços de massa e de

quantidade de movimento. Nesse item, tratar-se-á de um caso que se aproxima mais

de situações que podem ser encontradas na realidade. Trata-se do escoamento de uma

película de fluido em um plano inclinado, figura 4.5. Situações similares à esta podem

ser encontradas no vazamento de metais do interior de fornos através dos chamados

canais de corrida, nos transbordos de usinas hidroelétricas, ou até da água escorrendo

pela rua em dias de chuva. O tratamento a ser adotado será similar ao empregado no

item 4.3.1.

(4.41) 2δ ρ V W =ρ Q = Γ

(4.42) 2V = V

98

Figura 4.5 - Vista esquemática do escoamento de um fluido em um plano inclinado

No sistema visto na figura 4.5, o escoamento do fluido é causado pela componente

da gravidade na direção paralela ao plano inclinado. A superfície inferior permanece

parada e a superior está em contato com a atmosfera.

Conforme mencionado anteriormente, a primeira etapa para se estabelecer os

balanços de massa e quantidade de movimento consiste em escolher os eixos

coordenados para representar a geometria do sistema. Novamente, qualquer escolha

de eixos ortogonais está correta; entretanto, há uma escolha mais conveniente, que vai

simplificar a formulação do problema.

Na figura 4.6 são exibidas duas possibilidades de escolhas de eixos, uma em preto

e outra em cinza. Como o fluido escoa em decorrência da componente da gravidade na

direção paralela ao plano inclinado, só há força motriz para criar escoamento nesta

direção. Dessa forma, a escolha dos eixos em azul faria com que existissem duas

componentes de velocidade. A soma vetorial destas duas componentes teria como

resultante uma velocidade paralela ao plano inclinado.

Filme de líquido

Reservatório de líquido

Entrada de líquido

Distúrbios na entrada

Distúrbios na saída

L

99

A escolha dos eixos em preto levaria à existência de apenas uma componente de

velocidade na direção y. Obviamente, esta escolha é mais prática, pois nesse caso só

haverá uma componente de velocidade, o que facilita o tratamento matemático do

problema. É importante mencionar que nem sempre é possível escolher um

posicionamento de eixos coordenados que forneça apenas uma componente de

velocidade.

Uma vez definido o sistema de eixos coordenados, pode-se definir o elemento de

volume que será tomado como referência para estabelecimento dos balanços de massa

e quantidade de movimento. Esse elemento é escolhido de acordo com os eixos

coordenados e também está mostrado na figura 4.6.

Figura 4.6- Escolha de eixos coordenados para o estudo de escoamento em um plano

inclinado e elemento de volume para o estabelecimento dos balanços de

massa e de quantidade de movimento

Com a escolha de eixos acima, tem-se que o transporte de quantidade de

Interface com o ar

Superfície do plano inclinado

Fluido

z

y

y + Δy

z + Δz

z

y

x + Δx

x

Gravidade

α

y

z

z = 0

z = H

x

x

100

movimento por convecção ocorre na direção y, que é a direção do movimento

macroscópico do fluido. O transporte de quantidade de movimento por difusão ocorre

na direção z, que é a direção do gradiente de velocidade. É fácil se constatar que há

um gradiente de velocidade na direção z. No ponto z = 0 (superfície inferior), a

velocidade do fluido é nula. Em um outro ponto z qualquer, o fluido está se movendo.

Desse modo, há um gradiente de velocidade na direção z (a velocidade do fluido varia

com a posição z). Mais uma vez, é importante mencionar que não é necessário saber

onde a velocidade é maior ou menor nem o sentido do escoamento, basta saber que

vai haver variação de velocidade na direção z, e isso é simples de se verificar.

Pode-se agora, considerando a análise feita acima, estabelecer-se os balanços

de massa e quantidade de movimento.

Balanço de massa





Nesse caso, considerando-se o sentido da força da gravidade, o fluido deverá

realmente escoar de cima para baixo, que é o sentido oposto ao do crescimento do eixo

y; entretanto, as entradas e saídas de massa permaneceriam sendo nos pontos y e y

+ Δy, respectivamente. O fato dos pontos de entrada e saída de massa serem definidos

[ ] [ ] )(4.43 0 = Δy +y =y em massa de saídade Taxa - y =y em massa de entrada de Taxa

101

em função da escolha da orientação dos eixos coordenados elimina a necessidade de

se saber de antemão o sentido de escoamento do fluido. Esse sentido aparecerá

naturalmente no desenvolvimento do tratamento matemático do problema em função

do sinal da velocidade. Velocidades positivas estão no mesmo sentido de crescimento

do eixo. Velocidades negativas estão no sentido inverso do crescimento do eixo.

As taxas de entrada e saída de massa podem ser avaliadas pelas expressões

abaixo:

Nas equações acima, o produto Δx Δz corresponde à área do elemento de volume

perpendicular à direção do escoamento do fluido (direção y), vy é a componente de

velocidade na direção y e ρ é a densidade do fluido.

O produto destes fatores tem a dimensão de massa por unidade de tempo (taxa

ou vazão de massa). O produto Δx Δz vy é denominado vazão volumétrica e tem

dimensão de volume por unidade tempo.


Novamente, seguindo a seqüência de procedimentos listada no item 4.2, tem-se

que o próximo passo corresponde a dividir a equação acima pelo volume do elemento,

Δx Δy Δz. Tem-se:

[ ] 4)(4.4 |ρ) vΔz x( = y =y em massa de entrada de Taxa yy=yΔ

[ ] 5)(4.4 |ρ) vΔz x( = y Δ +y =y em massa de saídade Taxa Δy+yy=yΔ

6)(4.4 0 = |ρ) vΔz x( - |ρ) vΔz x( Δy+yy=yyy=y ΔΔ

102

Fazendo o limite quando Δy tende a zero, obtém-se:

É importante recordar ainda que o sinal negativo na equação precedente origina-se da

definição de derivada primeira.

Como foi assumido inicialmente que a densidade do fluido é constante, pode-se

rescrever a equação (4.13) da seguinte forma:

Como a densidade do fluido não é nula, finalmente pode-se escrever que:

A equação demonstra que a velocidade vy , na situação sendo estudada, não

depende da posição y (vy não é função de y).

A equação (4.51) representa a principal conclusão obtida pela aplicação do

princípio de conservação de massa.

(4.48) 0 = Δy

|ρ) v( - |ρ) v(

(4.47) 0 = ΔzΔy Δx

|ρ) vΔz x( - |ρ) vΔz x(

Δy+yy=yyy=y

Δy+yy=yyy=y ΔΔ

(4.49) 0 = yρ) v(

- = 0 = Δy

|ρ) v( - |ρ) v(lim

yΔy+yy=yyy=y0Δy ∂

∂⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→

(4.51) 0 = yvy

∂∂

(4.50) 0 = yv ρ y

∂∂

103


Antes de se equacionar o balanço de quantidade de movimento, deve-se observar

que quantidade de movimento pode ser transportado por dois mecanismos: difusão e

convecção. Ambos os mecanismos devem ser incluídos no desenvolvimento do

balanço. Considerando que quantidade de movimento por difusão é transportado na

direção do gradiente de velocidade (direção z) e que o transporte de quantidade de

movimento por convecção ocorre na direção do movimento macroscópico do fluido

(direção y), pode-se expressar o balanço de quantidade de movimento da seguinte

forma:

Mais uma vez é de extrema importância enfatizar que os pontos de entrada e

saída de quantidade de movimento por convecção e por difusão são determinados em

função da escolha da orientação dos eixos coordenados, e não em função do

conhecimento do sentido real do transporte de quantidade de movimento por estes

mecanismos. Não é necessário conhecer de antemão os sentidos de escoamento de

quantidade de movimento para se estabelecer os balanços de quantidade de

movimento. Estes sentidos serão naturalmente determinados durante o

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] (4.52) 0 = volume de elemento no atuando forças de Somatório +

+ Δz +z =z em difusão por movimento de quantidade de saídade Taxa -

- z =z em difusão por movimento de quantidade de entrada de Taxa +

+ Δy +y =y em convecção por movimento de quantidade de saídade Taxa -

- y =y em convecção por movimento de quantidade de entrada de Taxa

104

desenvolvimento da análise do problema em função do sinal das velocidades.

Intuitivamente, sabe-se que o fluido deverá estar descendo pelo plano inclinado. Esta

informação não é necessária ao equacionamento correto do problema

As diversas taxas que aparecem na equação acima podem ser avaliadas através das

expressões a seguir:

No sistema em análise, a força motriz para o escoamento é a componente da

gravidade atuando na direção do escoamento (direção y). Dessa forma, o somatório das

forças que possuem componentes na direção de escoamento do fluido vai incluir

apenas a componente da gravidade na direção y. Deve-se, mais uma vez, lembrar que

quantidade de movimento é uma grandeza vetorial. O balanço de quantidade de

movimento (ou balanço de forças) sendo estabelecido nesse caso refere-se à direção

y, que é a direção de escoamento do fluido. O somatório de forças atuando no

elemento de volume é, então, dado por:

Nas equações (4.53) e (4.54), o produto Δx Δz vy ρ representa a vazão de massa.

[ ])(4.57 α)] cos g (- ρΔz Δy Δx [

= volume de elemento no atuando forças de Somatório

[ ]3)(4.5 |)v ρ vΔz x(

= y =y em convecção por movimento de quantidade de entrada de Taxa

yy=yyΔ

[ ])(4.54 |)v ρ vΔz x(

= yy =y em convecção por movimento de quantidade de saídade Taxa

yyy=yy Δ+Δ

Δ+

[ ])(4.56 |)Δy x(

= zz =z em difusão por movimento de quantidade de saídade Taxa

zzz=zy Δ+Δ

Δ+

τ

[ ])(4.55 |)Δy x(

= z =z em difusão por movimento de quantidade de entrada de Taxa

zz=zyτΔ

105

Quando estes fatores são multiplicados pela velocidade vy obtém-se quantidade de

movimento por unidade de tempo, que corresponde à taxa de quantidade de

movimento.

Nas equações (4.55) e (4.56), τzy representa o fluxo de quantidade de movimento

por difusão. Quando este fluxo é multiplicado pela área normal à sua direção, Δx Δy,

obtém-se a taxa de quantidade de movimento por difusão.

Na equação (4.57), o produto Δx Δy Δz representa o volume do elemento (lembre-

se que a gravidade é uma força que atua no volume - ver Capítulo 2). O fator -g cos α

representa a componente da gravidade na direção y, que é a direção do escoamento

do fluido. O sinal negativo decorre do fato da componente da gravidade ter sentido

oposto ao da orientação positiva do eixo y.



Dividindo pelo volume do elemento, resulta que:

Fazendo o limite da equação (4.60) quando o volume do elemento tende a zero

(4.58) 0 =α)] cos g (- ρΔz Δy x[ +] |)Δy x( - |)Δy x[

+] |)v ρ vΔz x( - |)v ρ vΔz x[

Δz+zz=zyzz=zy

Δy+yy=yyyy=yy

ΔΔΔ

ΔΔ

ττ

(4.59) 0 = ΔzΔy Δx

α)] cos g (- ρΔz Δy x[ +] |)Δy x( - |)Δy x[

+ΔzΔy Δx

]|)v ρ vΔz x( - |)v ρ vz x[

Δz+zz=zyzz=zy

Δy+yy=yyyy=yy

ΔΔΔ

ΔΔΔ

ττ

(4.60) 0 =α)] cos g (- [ρ + Δz

]|)( - |)[( ++

Δy]|)v ρ v( - |)v ρ v[( Δz+zz=zyzz=zyΔy+yy=yyyy=yy ττ

106

(Δy e Δz → 0), tem-se:

Usando-se o conceito de derivada primeira, obtém-se:



Combinando as equações (4.51), (4.62) e (4.63), obtém-se:




No sistema em análise, o valor da constante C1 já pode ser determinado pela

(4.62) 0 = α cos g ρ - z

)Τ( - y

)v ρ v( - zyyy

∂∂

∂∂

(4.61) 0 =α)] cos g (- [ρ

+ Δz

]|)( - |)[( ++

Δy]|)v ρ v( - |)v ρ v[(

limΔz+zz=zyzz=zyΔy+yy=yyyy=yy

0z,y

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+→ΔΔ

ττ

(4.51) 0 = yvy

∂∂

)(4.63 0 = y

)v( v ρ 2 =

y)v v(

ρ yy

yy

∂∂

∂∂

(4.64) 0 = α cos g ρ + dz

)d( = α cos g ρ -

dz)d(

- zyzy ττ

(4.66) C +z α cos g ρ - =

(4.65) dz α cos g ρ - = )d(

1zy

zy

τ

τ ∫∫

107

condição de contorno na interface com o ar (z = H). Como mencionado anteriormente,

nessa interface tem-se que:

Aplicando esta equação em (4.66), obtém-se:

Substituindo o valor de C1 acima na equação (4.66), resulta que::

Pela lei de Newton da viscosidade, pode-se escrever que:


Separando variáveis e integrando novamente, tem-se:


que a viscosidade do fluido é constante.

A equação (4.71) fornece uma equação geral para o perfil de velocidade do fluido

)1 (C.C. H =z em 0 τ : 1 contorno de Condição zy ≅

H α cos g ρ = C

1) (C.C. C + H α cos g ρ - = 0

1

1

(4.67) z) - (H α cos g ρ = zyτ

(4.68) dzvd

μ - = yzyτ

(4.69) z) - (H α cos g ρ = dzvd

μ - = yzyτ

)(4.71 C + )2z -z (H

μα cos g ρ - = v

(4.70) dz μ

z) - (H α cos g ρ - = vd

2

2

y

y ∫∫

108

escoando por gravidade sobre um plano inclinado. Para se ter o perfil específico para

o caso em estudo, deve-se determinar o valor da constante C2. Esta constante é

determinada a partir do uso de uma condição de contorno. Pelo que foi mencionado no

item 4.2, sabe-se que nas interfaces sólido-líquido, a velocidade do fluido se iguala à

velocidade do sólido. Dessa forma, pode-se afirmar que:

Aplicando a condição de contorno acima na equação do perfil de velocidade, tem-

se:

Da equação acima, pode-se determinar o valor de C2 :

Finalmente, o perfil de velocidade para o fluido entre as placas pode ser expresso

por:

(verifique o perfil de velocidades acima atende às condições de contorno especificadas).

A equação (4.72) indica que o perfil de velocidades é parabólico, com todas as

velocidades negativas. No ponto z = 0, como indicado pela condição de contorno 2, a

velocidade é nula. As velocidades são negativas por que o eixo y foi orientado para

cima, e o fluido escoa para baixo, devido à gravidade. É importante observar que o

sentido do escoamento apareceu naturalmente no desenvolvimento do problema,

bastando, durante o desenvolvimento dos balanços, manter a coerência com a

)2 (C.C. 0 =z em 0 = v : 2 contorno de Condição y

(C.C.2) C + )20 - 0 (H

μα cos g ρ - = 0 2

2

0 = C2

(4.72) )2z -z (H

μα cos g ρ - = v

2

y

109

orientação dada aos eixos.



O perfil da tensão de cisalhamento (ou fluxo de quantidade de movimento por

difusão) no sistema é expresso através da equação (4.69). Observa-se que τzy varia

linearmente com a posição z, sendo nulo na interface com o ar (em conformidade com

a condição de contorno 1). Para todos os outros pontos, τzy é positivo. Isso significa que

quantidade de movimento por difusão é transportado no sentido positivo do eixo z.

Quantidade de movimento por difusão vai das regiões de alta velocidade para as de

baixa. No caso em estudo, a maior velocidade está em z = 0 (velocidade nula). Para 0

< z ≤ H, as velocidades são negativas e, portanto, menores que em z = 0. Lembre-se

que velocidade é uma grandeza vetorial.

Além do perfil da tensão de cisalhamento, pode-se determinar também as vazões

volumétrica e de massa do fluido no sistema. Para tal, será considerado que o plano

inclinado possui largura W. Essa largura W é a dimensão na direção x, perpendicular

ao plano do papel. As vazões são calculadas somando-se as quantidades de fluido que

escoam em cada porção infinitesimal dz ao longo da altura do filme de líquido. Pelas

parcelas do balanço de massa, sabe-se que, em cada camada infinitesimal, a

quantidade de fluido que escoa é dada por:

onde dQ é a vazão volumétrica infinitesimal ao longo de uma camada infinitesimal de

dimensões W dz.

A soma de parcelas infinitesimais corresponde a se fazer uma integração das

parcelas acima na região compreendida entre z = 0 e z = H. Assim, integrando (4.73)

(4.73) )vdz (W = dQ y

110

entre os limites especificados, obtém-se:



O sinal “-“na equação acima é conseqüência da orientação dada aos eixos. A vazão de

massa é dada por:

A equação para a vazão volumétrica pode ser colocada na seguinte forma:

Nessa equação fica fácil de se identificar a força motriz para o escoamento (- g

cos α), o termo associado à resistência ao escoamento (v = μ / ρ), que é viscosidade

cinemática do fluido, e um termo associado à geometria do sistema (W H3 / 3).

Observe a similaridade entre a equação (4.77) e a famosa lei de Ohm da

eletricidade, que estabelece que a corrente é a razão entre a força eletromotriz e a

resistência. Na equação (4.77), a vazão volumétrica Q tem papel análogo à corrente

dos circuitos elétricos. A viscosidade cinemática representa a resistência. É importante

notar que, para uma dada força motriz de escoamento, a propriedade do fluido que vai

determinar se a sua vazão vai ser grande ou pequena é a viscosidade cinemática (dada

)(4.74 )vdz (W = dQ x

Hz=

z=0

Hz=

z=0∫∫

(4.75) 3

H μ

α cos ρg W - =dz )2z -z (H

μα cos g ρ W( - = )vdz (W = Q

32Hz=

z=0x

Hz=

z=0∫∫

(4.76) 3

H μ

α cos ρg ρ W - =ρ Q = Γ3

( ) (4.77) 3

H W ν

α) cos g (-= 3

H W

ρμ

α) cos g (- = Q33

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

111

por μ / ρ), e não a viscosidade dinâmica. Daí a importância da viscosidade cinemática

de um fluido.


disponível para o escoamento. Nesse caso, essa área é determinada pelo produto da

largura das placas (W) pela distância entre elas (H). Assim:

A figura 4.7 mostra esquematicamente o perfil de velocidade para o sistema

analisado neste item.

Figura 4.7 - Vista esquemática do perfil de velocidades de um fluido escoando em um

plano inclinado

Pode-se, finalmente, determinar a força exercida pelo fluido sobre a superfície do

plano inclinado na direção paralela a esta superfície. Essa força é avaliada fazendo a

(4.78) 3

H μ

α cos ρg - = H W

Q = V2

Interface com o ar


Fluido

z

y Gravidade

α

z = 0

z = H

Perfil de velocidades

112

integral dupla da tensão de cisalhamento, τzy , avaliada na superfície do plano (posição

z=0) ao longo da sua largura, W, e comprimento, L. Tem-se:

O valor da força acima corresponde exatamente à componente do peso do fluido

na direção paralela ao plano inclinado, resultado que seria necessário para que o

escoamento ocorresse em estado estacionário, como admitido inicialmente.

Todas as relações obtidas nesse item são válidas apenas quando se tem

escoamento laminar. Para escoamento lento de filmes viscosos de pequena espessura,

estas condições são satisfeitas. Foi encontrado experimentalmente que à medida que

a velocidade do filme aumenta, a espessura H aumenta e a viscosidade cinemática

diminui, a natureza do escoamento se altera. De acordo com resultados experimentais

(Bird, Stewart e Lightfoot, 1960), o escoamento em um plano inclinado é laminar quando

prevalece a condição indicada na equação (4.81), expressa em termos do número de

Reynolds, Re:

Exemplo- Um óleo de viscosidade cinemática igual a 2 x 10-4 m2/s e densidade de 800

kg/m3 escoa na forma de um filme sobre uma parede vertical. Qual deve ser a vazão

de massa do fluido, por unidade de largura da parede, de modo a se ter uma espessura

do filme igual a 2,5 mm?

Solução- Pela equação de vazão de massa acima, tem-se:

(4.80) W L H α cos g ρ = F

(4.79) dxdy H α cos g ρ = dxdy | = F

z

W=x

=0x

Ly=

y=0z=0zy

W=x

=0x

Ly=

y=0z ∫∫∫∫ τ

(4.81) 6 μ

V ρ H = Re ≤

113

Para uma parede vertical, α = 0. Considerando W = 1 m (largura unitária), a equação

da vazão de massa pode ser escrita da seguinte forma, já introduzindo a definição de

viscosidade cinemática:

Substituindo valores, obtém-se:

ρ = 800 kg/m3;

v = 2 x 10-4 m2/s;

H = 2,5 mm = 2,5 x 10-3 m.

O resultado acima só será correto se o escoamento for laminar. Para verificar esta

hipótese, calcula-se o número de Reynolds, pela equação (4.81):

Mas sabe-se que:

Logo, Reynolds é dado por (para W = 1 m):

Como Reynolds está abaixo do limite para transição de laminar para turbulento, o

cálculo desenvolvido é válido.

3H

μα cos ρg ρ W = Γ

3

3H

νg ρ = Γ

3

smkg 0,2042 =

3)10 x (2,5

)10 x (29,8 800 = Γ

3-3

4-

νV H =

μV ρ H = Re

W H ρΓ = V

1,276 = )10 x (2 (800)

0,2042 = ν ρΓ = Re

4-

114

Exemplo- Escória líquida passa sobre mate dentro de um forno de produção de cobre

para recuperar o cobre nela contido. Essa operação se desenvolve dentro de um forno

de revérbero com 25 metros de comprimento e 9 m de largura. Assumindo que o mate

está estacionário e que a escória flui continuamente (vazão volumétrica 6,3 x 10-4 m3/s),

determinar:

- Equação de distribuição de velocidade na camada de escória;

- Fração de material que permanece no forno por um tempo superior a duas vezes o

tempo de residência médio.

A espessura da camada de escória é de 0,6 m.

Uma vista esquemática do sistema em análise é mostrada na figura abaixo.

Solução- Inicialmente, assume-se que o regime de escoamento é laminar. Como não

foi fornecida a inclinação do plano, deve-se usar o dado referente à vazão volumétrica

para resolver o problema.

A partir da equação (4.76), pode-se escrever a seguinte equação para a vazão

volumétrica de escória:

115

Rearranjando a equação acima, tem-se:

Substituindo a expressão acima, na equação (4.72), que fornece o perfil de velocidade

de um fluido escoando em um plano inclinado, tem-se:

Substituindo valores, obtém-se a equação para o perfil de velocidades: H = 0,6 m; W

= 9 m; Q = 6,3 x 10-4 m3/s;

O tempo de residência médio da escória no forno é dado por:

onde L é o comprimento do plano inclinado e V a velocidade média.

Pela equação (4.78), a velocidade média é dada por:

Dessa forma, para o material ter pelo menos dobro do tempo de residência médio no

forno, a sua velocidade deverá ser menor que ou igual à metade da velocidade média.

O ponto onde ocorre essa velocidade é determinado através da equação:

3H

μα cos ρg W = Q

3

W HQ 3 =

μα cos ρg

3

)2z -z (H

W HQ 3 = )

2z -z (H

μα cos g ρ = v

2

3

2

y

)z 0,5 -z (0,6 10 x 9,72 = )2z -z (0,6

(9) (0,6))10x (6,3 (3) = v 24-

2

3

-4

y

VL = t

sm/ 10 x 1,17 = (0,6) (9)

10 x 6,3 = H W

Q = V 4--4

210 x 1,17 = )z 0,5 -z (0,6 10 x 9,72 = v

-424-

y

116

A solução da equação acima permite determinar o ponto z que satisfaz a igualdade. O

valor obtido é:

Como a altura total da camada de escória é de 0,6 m, a fração de material cujo tempo

de residência no forno é pelo menos duas vezes o tempo médio é dada por:

4.3.3- Escoamento axial em um duto cilíndrico

Um dos tipos de escoamento de fluido mais comum é aquele que ocorre em um

duto cilíndrico ou tubo. Para se tratar um sistema com esta geometria, torna-se

interessante introduzir um novo sistema de coordenadas, as coordenadas cilíndricas.

O uso de coordenadas cartesianas (x, y e z), como feito nos itens anteriores, tornaria

bastante complicado o estudo do escoamento em tubos.

O sistema de coordenadas cilíndricas é apresentado na figura 4.8.

Pela figura 4.8, evidencia-se que a coordenada z corresponde à direção axial. A

coordenada r corresponde à distância à origem dos eixos no sistema de coordenadas

cilíndricas. A coordenada θ representa o ângulo de rotação em relação a uma linha de

referência. A posição de um determinado ponto em um sistema de coordenadas

cilíndricas pode, então, ser especificada em termos dos valores das coordenadas r, θ

e z. É importante enfatizar que a coordenada r corresponde à distância à origem e

nunca assume valores menores que 0. O valor do ângulo θ pode variar entre 0 e 2 π.

m 0,1102 =z

% 18,4ou 0,184 = 0,6

0) - (0,1102 = Fração

117

Figura 4. 8 - Sistema de coordenadas cilíndricas

O uso de coordenadas cilíndricas em problemas de escoamento em tubos é feito

com a finalidade de simplificar a parte matemática do estudo. Estes mesmos problemas

poderiam ser tratados usando coordenadas cartesianas, mas a parte matemática seria

mais elaborada.

Nesse item será, então, estudado o escoamento axial em um duto cilíndrico

vertical, considerando a existência de uma diferença de pressão ao longo do seu

comprimento. Este sistema é visto esquematicamente na figura 4.9. A mesma

seqüência de etapas adotada nos itens anteriores será empregada aqui.

Determinado o sistema de eixos coordenados, pode-se definir o elemento de

volume que será tomado como referência para desenvolvimento dos balanços de

massa e quantidade de movimento. Esse elemento está destacado em cinza na figura

4.9.

z

rθ

y

x

r

θ

118

Figura 4.9 - Vista esquemática do sistema para estudo do escoamento em dutos

cilíndricos

Com a escolha feita para os eixos coordenados, o transporte de quantidade de

movimento por convecção só ocorrerá na direção z (direção axial), que é a direção do

movimento macroscópico do fluido. Só existe força motriz (gravidade e diferença de

pressão) para o deslocamento nesta direção. Dessa forma, não há movimento na

direção radial nem na direção angular (movimento de rotação). O transporte de

quantidade de movimento por difusão ocorre na direção r, que é a direção do gradiente

de velocidade. A existência desse gradiente pode ser evidenciada observando que,

r

z

θ

Entrada de momentopor convecção

Saída de momentopor convecção

Entrada de momentopor difusão

Saída de momentopor difusão

z

z+Δz

P|z

P|z+Δz

R

119

junto à parede do tubo (posição r = R), o fluido está parado. Em qualquer outro ponto

no interior do tubo ( r ≠ R), o fluido está se movendo. Nesse ponto, é importante mais

uma vez mencionar que não há necessidade de se saber onde a velocidade é maior ou

menor, basta saber da existência do gradiente na direção r.

A partir da análise preliminar acima, pode-se agora desenvolver os balanços de

massa e de quantidade de movimento.

Balanço de massa





Nesse caso, ainda não se sabe o sentido de escoamento, pois este sentido vai

depender do valor da diferença de pressão existente. O fato dos pontos de entrada e

saída de massa serem definidos em função da escolha da orientação dos eixos

coordenados elimina a necessidade de se saber a priori o sentido de escoamento do

fluido.

As taxas de entrada e saída de massa podem ser avaliadas pelas expressões

abaixo:

[ ] [ ] )(4.82 0 = Δz +z =z em massa de saídade Taxa - z =z em massa de entrada de Taxa

[ ] 3)(4.8 |ρ) v Δr r π (2 = z =z em massa de entrada de Taxa zz=z

[ ] (4.84) |ρ) v Δr r π (2 = z Δ +z =z em massa de saídade Taxa Δz+zz=z

120

Nas equações (4.83) e (4.84), o produto 2 π r Δr corresponde à área do elemento

de volume perpendicular à direção do escoamento do fluido (direção z), vz é a

componente de velocidade e ρ é a densidade do fluido. O produto destes fatores tem

a dimensão de massa por unidade de tempo (taxa ou vazão de massa). O produto 2 π

r Δr vz é denominado vazão volumétrica e tem dimensão de volume por unidade tempo.


Pela mesma seqüência de procedimentos usada anteriormente, tem-se que o

próximo passo corresponde a dividir a equação acima pelo volume do elemento, 2 π r

Δr Δz. Tem-se:

Fazendo-se o limite quando Δz tender a zero, obtém-se:

Mais uma vez, é conveniente lembrar que o sinal negativo na equação acima vem

da definição de derivada primeira, dada por:

onde f é uma função qualquer (na equação (4.88), a função é o produto vz ρ). Observe

que os limites de avaliação da função f na definição de derivada são os opostos

(4.85) 0 = |ρ) v Δr r π (2 - |ρ) v Δr r π (2 Δz+zz=zzz=z

(4.87) 0 = Δz

|ρ) v( - |ρ) v(

(4.86) 0 = Δz Δr r π 2

|ρ) v Δr r π (2 - |ρ) v Δr r π (2

Δz+zz=zzz=z

Δz+zz=zzz=z

)(4.88 0 = zρ) v( - = 0 =

Δz|ρ) v( - |ρ) v(

lim zΔz+zz=zzz=z0Δz ∂

∂⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→

(4.89) Δz

|(f) - |(f)lim =

dzdf zz=Δz+zz=

0Δz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→

121

daqueles que aparecem na equação (4.88).

Como foi assumido inicialmente que a densidade do fluido é constante, pode-se

rescrever a equação (4.88) da seguinte forma:

Como a densidade do fluido não é nula, obtém-se finalmente que:

A equação acima estabelece que a velocidade vz na situação sendo estudada não

depende da posição z (vz não é função de z).


Inicialmente, deve-se lembrar que quantidade de movimento pode ser transportado

por dois mecanismos: difusão e convecção. Ambos devem ser considerados quando

se estabelece o balanço. Considerando que quantidade de movimento por difusão é

transportado na direção do gradiente de velocidade (direção r) e que o transporte de

quantidade de movimento por convecção ocorre na direção do movimento

macroscópico do fluido (direção z), pode-se expressar o balanço de quantidade de

movimento da seguinte forma:

(4.90) 0 = zv ρ z

∂∂

(4.91) 0 = zvz

∂∂

122

É importante enfatizar novamente que os pontos de entrada e saída de quantidade

de movimento por convecção e por difusão são determinados em função da escolha da

orientação dos eixos coordenados, e não em função do conhecimento do sentido real

do transporte de quantidade de movimento por estes mecanismos. Não é necessário

conhecer a priori os sentidos de escoamento de quantidade de movimento para se

estabelecer os balanços de quantidade de movimento. Estes sentidos serão

determinados durante o desenvolvimento da análise do problema.

As diversas taxas que aparecem na equação acima podem ser avaliadas através

das expressões a seguir:

[ ] (4.94) |)v ρ v Δr r π (2 = Δz+z =z em convecção por momento de saídade Taxa Δz+z=zzz

[ ] )(4.96 |) zr (2 = rr = r em difusão por momento de saídade Taxa rr=rrz Δ+ΔΔ+ τπ

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] )(4.92 0 = volume de elemento no atuando forças de Somatório +

+ Δr + r = r em difusão por momento de saídade Taxa -

- r = r em difusão por momento de entrada de Taxa +

+ Δz +z =z em convecção por momento de saídade Taxa -

- z =z em convecção por momento de entrada de Taxa

[ ] (4.93) |)v ρ v Δr r π (2 = z =z em convecção por momento de entrada de Taxa zz=zz

[ ] )(4.95 |)zr(2 = r = r em difusão por momento de entrada de Taxa r=rrzτπ Δ

[ ]

(4.97) 0 = )|P - |(P Δr r π 2 + g) ρΔz Δr r π (2 +

volume de elemento no atuando forças de Somatório

Δz+zz

=

123

Na equação (4.97), o somatório de forças se refere apenas às forças que possuem

componentes na direção de escoamento do fluido. É importante lembrar que quantidade

de movimento é uma grandeza vetorial. O balanço de quantidade de movimento (ou

balanço de forças) sendo estabelecido nesse caso refere-se à direção z.

Nas equações (4.93) e (4.94), o produto 2 π r Δr vz ρ representa a vazão de

massa. Quando estes fatores são multiplicados pela velocidade vz, obtém-se

quantidade de movimento por unidade de tempo, que corresponde à taxa de quantidade

de movimento.

Nas equações (4.95) e (4.96), τrz representa o fluxo de quantidade de movimento

por difusão (veja capítulo 3). Quando este fluxo é multiplicado pela área normal à sua

direção, 2 π r Δz, obtém-se a taxa de quantidade de movimento por difusão.

Na equação (4.97), a primeira parcela do lado direito da igualdade refere-se à

força da gravidade (que é uma força que atua no volume do elemento considerado).

Nessa parcela, 2 π r Δr Δz representa o volume do elemento. Quando este produto é

multiplicado pela densidade, ρ, obtém-se a massa do elemento de volume. Finalmente,

multiplicando esta massa pela aceleração da gravidade (g), obtém-se a força da

gravidade. A segunda parcela do lado direito é a força decorrente da diferença de

pressão. Esta força atua perpendicularmente (pressão é sempre associada a uma força

normal) à área 2 π r Δr do elemento de volume. O produto da área pela diferença de

pressão vai fornecer a força associada a esta diferença de pressão.



(4.98) 0 = )|P - |(P Δr r π 2 + g) ρΔz Δr r π (2 +

]|)Δz r π (2 - |)Δz r π [(2 + ]|)v ρ v Δr r π (2 - |)v ρ v Δr r π [(2

Δz+zz

Δr+r=rrzr=rrzΔz+zz=zzzz=zz ττ

124

Dividindo pelo volume do elemento, obtém-se:

É importante destacar que na segunda parcela da equação (4.100), o raio r que

aparece no numerador e no denominador não pode ser cortado. No numerador, este

raio é avaliado em duas posições diferentes, r e r + Δr. O termo (r τrz)|r+Δr é equivalente

a ( r + Δr) (τrz)|r+Δr. Dessa forma, a maneira mais simples de fazer o desenvolvimento

matemático, que será apresentado a seguir, consiste em deixar o termo r no

denominador e no numerador.

Tomando o limite da equação (4.100) quando o volume do elemento tende a zero

(Δr e Δz → 0), tem-se:

Usando-se o conceito de derivada primeira, como já feito anteriormente, obtém-

se:


00)(4.1 0 = Δz

)|P - |(P + g) (ρ +

Δr r]|) (r - |) [(r

+ Δz

]|)v ρ v( - |)v ρ v[(

(4.99) 0 = Δz Δr r π 2

)|P - |(P Δr r π 2 + g) ρΔz Δr r π (2 +

+ Δz Δr r π 2

]|)Δz r π (2 - |)Δz r π [(2 +

Δz Δr r π 2]|)v ρ v Δr r π (2 - |)v ρ v Δr r π [(2

Δz+zzΔr+r=rrzr=rrzΔz+zz=zzzz=zz

Δz+zz

Δr+r=rrzr=rrzΔz+zz=zzzz=zz

ττ

ττ

(4.102) 0 = zP - g ρ +

r r) (r -

z)v ρ v( - rzzz

∂∂

∂∂

∂∂ τ

)10(4.1 0 =

Δz)|P - |(P

+ g) (ρ

+Δr r

]|) (r - |) [(r +

Δz]|)v ρ v( - |)v ρ v[(

limΔz+zz

Δr+r=rrzr=rrzΔz+zz=zzzz=zz

0z,r

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

→ΔΔ

ττ

125


Logo:

As derivadas parciais acima podem ser transformadas em ordinárias, pois τrz só

depende de r e a pressão só varia com z.

Considerando um comprimento L do tubo, o gradiente de pressão que aparece na

equação (4.104) pode-se escrito da seguinte forma:

onde Po e PL são as pressões em pontos z = zo e z = zL, respectivamente.

Substituindo a equação (4.105) em (4.104), obtém-se finalmente a equação

diferencial que rege o escoamento do fluido em um tubo.



(4.103) 0 = z

)v( v ρ 2 = z

)v v( ρ z

zzz

∂∂

∂∂

(4.104) 0 = zP - g ρ +

r r) (r

- rz

∂∂

∂∂ τ

(4.91) 0 = z

)v( z

∂∂

(4.105) L

P - P = zP - Lo

∂∂

(4.106) 0 = L

P - P + g ρ + r r

) (r - Lorz

∂∂ τ

(4.108) C + 2r

LP - P + g ρ = ) (r

(4.107) dr r L

P - P + g ρ = ) d(r

1

2Lo

rz

Lorz

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫∫

τ

τ

126


A equação (4.108) é válida para a seguinte faixa de valores de r:

Para esta equação ser válida em r = 0, o valor de C1 deve ser obrigatoriamente

igual a 0. Isso é verdadeiro desde que τrz, ρg e (Po - PL)/L sejam números finitos1. Essa

condição é normalmente atendida e, dessa forma, pode-se assumir que C1 seja igual

a 0.

Com esse valor de C1, pode-se rescrever a equação (4.108) da seguinte forma:

Pela lei de Newton da viscosidade, pode-se escrever que:


Separando variáveis e integrando novamente, tem-se:

1 Lembre-se que o produto de qualquer número finito por zero é zero. O produto de infinito por zero

é indeterminado.

R r 0 ≤≤

(4.109) 2r

LP - P + g ρ = )( Lo

rz ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τ

)(4.110 drvd μ - = z

rzτ

(4.111) 2r

LP - P + g ρ =

drvd μ - = Loz

rz ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τ

(4.113) C + 4r

LP - P + g ρ

μ1 - = v

(4.112) 2dr r

LP - P + g ρ

μ1 - = vd

2

2Lo

z

Loz

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫∫

127


viscosidade e densidade do fluido constantes.

A equação (4.113) fornece uma equação genérica para o perfil de velocidade

dentro de um duto cilíndrico. Para se ter o perfil específico para o caso em estudo,

deve-se determinar o valor da constante C2. Esta constante é determinada a partir do

uso de uma condição de contorno. Sabe-se que nas interfaces sólido-líquido, a

velocidade do fluido se iguala à velocidade do sólido. Dessa forma, pode-se afirmar

que:

Aplicando esta condição de contorno na equação do perfil de velocidade, tem-se:

Da equação acima, pode-se determinar o valor de C2 e finalmente obter a

expressão para o perfil de velocidades:


A equação (4.114) representa um perfil parabólico.

Alguns comentários podem ser feitos em relação à equação do perfil de

velocidades acima.

Como a viscosidade do fluido tem um valor sempre maior que zero e o termo (R2

- r2) é maior que ou igual a zero, o sentido da velocidade do fluido, para baixo ou para

cima (velocidades positivas ou negativas, respectivamente), depende unicamente do

sinal do termo entre colchetes. Nota-se que:

R = r em 0 = v : contorno de Condição z

(C.C.) C + 4R

LP - P + g ρ

μ1 - = 0 2

2Lo⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

)(4.114 4

)r - R( L

P - P + g ρ μ1 = v

22Lo

z ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

128

Este termo representa a força motriz para a ocorrência do escoamento. Quando

não há diferença de pressão, o escoamento ocorre só em virtude da força da gravidade

e as velocidades serão positivas (fluido desce). Nesse caso, o perfil de velocidades será

dado por:

Pela equação acima, evidencia-se que no caso de um fluido escoando apenas

devido à gravidade, as velocidades são inversamente proporcionais à viscosidade

cinemática do fluido. Essa propriedade é que realmente define a resistência que um

fluido oferece ao escoamento. Quanto maior a viscosidade cinemática, maior será a

resistência ao escoamento e menores serão as velocidades. Um ponto interessante a

ser observado é que o aço e a água possuem viscosidades cinemáticas

aproximadamente iguais (verifique isso usando os dados do Capítulo 3).

A equação (4.114) pode ser facilmente modificada para o caso de dutos

inclinados. Se β é o ângulo que o tubo faz com a vertical, o perfil de velocidades é dado

por:

parado) (fluido nulas svelocidade 0 = L

P - P + g ρ

sobe)(fluido negativas svelocidade 0 < L

P - P + g ρ

desce) (fluido positivas svelocidade 0 > L

P - P + g ρ

Lo

Lo

Lo

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

)(4.115 4

)r - R( νg =

4)r - R( g =

4)r - R(

μ g ρ = v

222222

z

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ρμ

(4.116) 4

)r - R( L

P - P + β cos g ρ μ1 = v

22Lo

z ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

129

Quando β = 90o, o tubo está na horizontal e o efeito da gravidade é anulado. A

única força motriz para o escoamento nesse caso seria a diferença de pressão.



Pela equação (4.114), observa-se que a velocidade máxima do fluido ocorre no

centro do tubo (r = 0) e é dada por:

Usando-se esta expressão para a velocidade máxima, pode-se rescrever o perfil

de velocidades na seguinte forma:

A equação (4.109) fornece o perfil do fluxo de quantidade de movimento por

difusão ou tensão de cisalhamento ao longo do raio do tubo. Na parede do duto (r = R),

essa tensão é dada por:

O perfil da tensão de cisalhamento pode, então, ser expresso da seguinte forma:

A figura 4.10 mostra esquematicamente os perfis de velocidade e tensão de

cisalhamento ao longo do raio do tubo, conforme indicado pelas equações (4.118) e

(4.117) 4R

LP - P + g ρ

μ1 = v

2Lomax

z ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

(4.118) Rr - 1 =

vv

2

x mz

z ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(4.119) 2R

LP - P + g ρ = )( Loparede

rz ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τ

)(4.120 Rr =

)()(

parederz

rz

ττ

130

(4.120), respectivamente.

Figura 4.10 - Perfis de velocidade e tensão de cisalhamento ao longo do raio de um

duto cilíndrico

Além dos perfis de velocidade e da tensão de cisalhamento, pode-se determinar

também as vazões volumétrica e de massa de fluido no interior do tubo. O

procedimento a ser adotado é similar ao empregado nos casos analisados

anteriormente. As vazões são calculadas somando-se as quantidades de fluido que

escoam em cada porção infinitesimal de área ao longo do raio do tubo. Como a

velocidade só depende da posição radial, esse elemento infinitesimal de área

corresponderia a um pequeno anel de espessura radial dr. Pelas parcelas do balanço

de massa, sabe-se que, em cada uma camada infinitesimal, a quantidade de fluido que

escoa é dada por:

onde dQ é a vazão volumétrica infinitesimal ao longo de um anel de área equivalente

r

z

v

vz

zmáx

0

1

r

z

τ rz

0

1

τ rzparede

Perfil de velocidades parabólico Perfil linear do fluxo de momentoou tensão de cisalhamento

r=R r=R r=R r=R

(4.121) )v dr r π (2 = dQ z

131

a 2 π r dr.

Integrando-se a equação (4.121) entre o centro e parede do tubo, pode-se

determinar a vazão volumétrica do fluido:



A expressão (4.124) é conhecida como equação de Hagen-Poiseuille.

Como já visto anteriormente, a vazão de massa é dada pelo produto da vazão

volumétrica pela densidade do fluido:


disponível para o escoamento. Nesse caso, essa área é a área da seção transversal

do tubo (π R2).

Logo:

Um outro parâmetro que pode ser avaliado a partir dos dados acima é a

)(4.122 )v dr r π (2 =dQ z

R=r

=0r

R=r

=0r∫∫

(4.124) L

P - P + g ρ μ 8R π =Q

(4.123) dr 4

)r - R( L

P - P + g ρ μ1 r π 2 =dQ

Lo4

22Lo

R=r

=0r

R=r

=0r

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫∫

(4.125) L

P - P + g ρ μ 8R ρ π = Q ρ = Γ Lo

4

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

(4.126) L

P - P + g ρ μ 8

R = V Lo2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

132

componente vertical (direção z) da força que o fluido exerce sobre a parede do tubo.

Essa força corresponde ao produto da tensão de cisalhamento na interface fluido-

parede pela área superficial da parede do tubo ao longo de um comprimento L. Dessa

forma, tem-se:

Na equação (4.128), a primeira parcela do lado direito da igualdade corresponde

à força associada ao peso do fluido, e o segundo termo é a força ligada à diferença de

pressão. O que a equação (4.128) mostra é que a força de atrito entre o fluido e a

parede é igual à soma do peso do fluido e a força associada à diferença de pressão, ou

seja, as forças que causam o escoamento se igualam à força que resiste ao movimento

do fluido. Em termos globais, o somatório de forças atuando no fluido é nulo e o fluido

se move com velocidade constante (de acordo com a segunda lei de Newton!).

Todas as relações obtidas nesse item são válidas apenas para o caso de

escoamento laminar. Para tubos, esse é o regime de escoamento quando se satisfaz

a condição abaixo:

onde D é o diâmetro do tubo.

No desenvolvimento feito, foram também desprezados os efeitos de entrada e

saída do fluido no duto. Na realidade, os efeitos da entrada se manifestam em

comprimentos inferiores a Le , estimado através da seguinte expressão:

(4.129) 2100 < μρ V D = Re

(4.130) Re D 0,035 = Le

(4.128) )P - P( R π + g ρ L R π = F

(4.127) 2R

LP - P + g ρ L R π 2 = )( L R π 2 = F

Lo22

z

Loparederzz ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

τ

133

Exemplo- Água escoa através de um tubo horizontal com diâmetro de 1,59 x 10-3 m e

sob uma diferença de pressão de 904,82 Pa/m. Determinar a vazão de massa da água

no tubo.

Dados: - densidade da água = 1000 kg/m3;

- viscosidade da água = 0,001 Pa.s.

Solução- Usando a equação (4.125) para a vazão de massa, tem-se para tubos

horizontais que:

Substituindo dados na relação acima, obtém-se:

Finalmente, deve-se verificar a validade do cálculo acima. Para tal, avalia-se o número

de Reynolds. Combinando-se as expressões para a vazão de massa, velocidade média

e a definição do número de Reynolds para tubos, tem-se:

Como Re < 2100, o cálculo desenvolvido é válido.

Exercício de demonstração - Use os conceitos de balanço de massa e quantidade de

movimento desenvolvidos neste capítulo, para demonstrar que, para o sistema visto na

figura abaixo, o perfil de velocidades e a vazão volumétrica do fluido escoando entre as

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

LP - P

μ 8R ρ π = Γ Lo

4

[ ] skg/ 10 x 1,42 = 904.82 (0,001) 8

)2

10 x 1,59( (1000) π = Γ 4-

4-3

113,7 = (0,001) )10 x 1,59( π

)10 x (1,42 4 = μ D πΓ 4 = Re

3-

-4

134

placas são expressos por:

onde W é a largura das placas.

4.3.4- Escoamento em dutos concêntricos

Em muitas situações de interesse prático, tem-se o escoamento de fluidos em

tubos concêntricos. Um exemplo típico de aplicação desse tipo de sistema é o da

refrigeração da lança de injeção de oxigênio no processo LD de fabricação de aço.

Nesse caso, oxigênio é transportado através de um tubo central, que é envolvido por

um outro tubo de diâmetro maior, dentro do qual circula a água de resfriamento.

A figura 4.11 mostra uma vista esquemática da configuração a ser estudada. O

fluido está escoando na região localizada entre os tubos de diâmetro menor e o de

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

LP - P

μδ W

32 =Q

δy - 1

μ 2δ

LP - P = v

Lo3

22Lo

x

x=0 x=L

xy

2δ

x = δ

x = - δ

P Po L

Fluido

Placas paralelas e horizontais

135

diâmetro maior. Novamente, vai se analisar a situação onde o fluido apresenta

velocidades apenas na direção z. As forças motrizes para ocorrência do escoamento

são a força da gravidade e a diferença de pressão. O sistema é análogo àquele

apresentado na figura 4.9. Desse modo, o elemento de volume a ser considerado será

similar ao usado nos balanços desenvolvidos no item 4.3.3. Este elemento está

destacado em cinza na figura 4.11.

Figura 4.11 - Vista esquemática do sistema de tubos cilíndricos concêntricos e do

elemento de volume usado nos balanços de massa e de quantidade de

movimento

Como o elemento de volume acima é análogo ao do caso estudado no item

anterior, não há necessidade de se refazer os balanços de massa e de quantidade de

movimento. O ponto de partida para o tratamento deste problema pode ser a equação

(4.108), que fornece o perfil de tensão de cisalhamento ou fluxo de quantidade de

movimento no fluido. Essa equação é reproduzida abaixo:

kR

R

r

z

Δr

z = z

z = z

o

L

P

P

o

L

Fluido

Elementode volume

136

No caso analisado anteriormente, essa equação era válida no seguinte domínio

de valores de posição radial:

A condição de τrz finito em r = 0 serviu, então, de condição de contorno para se

determinar o valor de C1.

No sistema de tubos concêntricos, a região de interesse para análise é definida

pela seguinte expressão:

Obviamente, esta região não inclui o ponto r = 0 e, desse modo, a condição de

contorno acima não pode ser aplicada na determinação de C1. O valor dessa constante

será obtido através da substituição da lei de Newton da viscosidade na equação (4.108)

e de sua integração para obter o perfil de velocidades.


Separando variáveis e integrando, tem-se:

onde C2 é uma nova constante de integração. A integração acima foi feita novamente

)(4.108 C + 2r

LP - P + g ρ = ) (r 1

2Lo

rz ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τ

R r 0 ≤≤

R r kR ≤≤

)(4.131 r

C + 2r

LP - P + g ρ =

drvd μ - = 1Loz

rz ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τ

(4.133) C + r ln μ

C - 4r

LP - P + g ρ

μ1 - = v

(4.132) dr r μ

C - 2dr r

LP - P + g ρ

μ1 - = vd

21

2Lo

z

1Loz

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫∫

137

assumindo-se viscosidade e densidade do fluido constantes.

As constantes C1 e C2 são determinadas a partir de condições de contorno.

Considerando-se que nas interfaces sólido-líquido, a velocidade do fluido se iguala à

velocidade do sólido, pode-se definir as duas condições de contorno necessárias. Tem-

se que:

Aplicando estas condições de contorno na equação do perfil de velocidade, obtém-

se:

Das equações acima, pode-se determinar os valores de C1 e C2 :

Substituindo as expressões de C1 e C2 na equação do perfil de velocidades,

obtém-se após alguns rearranjos:


R = r em 0 = v : 2 contorno de Condição

kR = r em 0 = v : 1 contorno deCondição

z

z

C + (R) ln μ

C - 4

)(R L

P - P + g ρ μ1 - = 0

C + (kR) ln μ

C - 4

)(kR L

P - P + g ρ μ1 - = 0

21

2Lo

21

2Lo

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

(4.135) R ln k ln

)k - (1 + 1 μ 4

R L

P - P + g ρ = C

(4.134) k ln

)k - (1 4R

LP - P + g ρ = C

22Lo

2

22Lo

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

(4.136) Rr ln

1/k ln)k - (1 +

Rr - 1

μ 4R

LP - P + g ρ = v

222Lo

z⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

138

Conhecendo-se o perfil de velocidades, outras grandezas de importância podem

ser determinadas.

Inicialmente, pode-se determinar a posição onde ocorre e o valor da velocidade

máxima (ou mínima, dependendo do sentido do escoamento). Para tal, basta derivar

a equação do perfil de velocidade e igualar a expressão obtida a zero. Com tal

procedimento, obtém-se:

- Posição radial onde ocorre a velocidade máxima (ou mínima):

- Valor da velocidade máxima (ou mínima):

Por procedimento similar ao empregado nos itens anteriores, pode-se avaliar a

vazão volumétrica do fluido:

A velocidade média é determinada pela seguinte expressão:

É interessante observar que as equações obtidas para os dutos concêntricos

tendem para aquelas de escoamento em tubos quando k se aproxima de zero.

(Verifique esta afirmativa como exercício).

As relações desenvolvidas nesse item são válidas para escoamento laminar.

Nesse caso, o escoamento laminar predomina quando o número de Reynolds, definido

(4.137) (1/k) ln 2

)k - (1 R = r2

x ma

(4.138) (1/k) ln 2

)k - (1 ln (1/k) ln 2

)k - (1 + (1/k) ln 2

)k - (1 - 1 μ 4

R L

P - P + g ρ = v2222

Lozmax ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

)(4.139 (1/k) ln

)k - (1 - k - 1 μ 8

R L

P - P + g ρ = dr v r π 2 = Q2 2

44

Loz

R=r

kR=r ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫

)(4.140 (1/k) ln

)k - (1 - )k - (1)k - (1

μ 8R

LP - P + g ρ =

)k - (1 R πQ = v

2

2

42Lo

22z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

139

pela equação abaixo, é inferior a 2000:

onde D é o diâmetro do tubo externo.

4.3.5- Escoamento laminar bifásico

Em algumas situações de interesse prático, tem-se o escoamento de dois líquidos

imiscíveis de densidades diferentes. Como são dois fluidos diferentes (duas fases), é

costume se denominar este tipo de escoamento de bifásico. Um exemplo típico desse

tipo de escoamento é do vazamento de ferro gusa e escória pelo canal de corrida de

um alto-forno. Nesse caso, o ferro gusa mais denso escoa pela parte inferior do canal,

e a escória mais leve se desloca sobre o gusa.

O que aparece de novo nesse tipo de sistema são as condições de contorno que

devem ser aplicadas na interface entre os dois fluidos. Essas condições se baseiam na

continuidade dos perfis de velocidade e do fluxo de quantidade de movimento (ou

tensão de cisalhamento). Desse modo, pode-se afirmar que na interface entre os dois

líquidos tem-se:

- velocidade no líquido 1 = velocidade no líquido 2;

- fluxo de quantidade de movimento no líquido 1 = fluxo de quantidade de movimento

no líquido 2.

Essas duas condições de contorno devem ser usadas para se determinar o perfil

de velocidades nos líquidos nesse tipo de sistema.

Considerando-se o sistema ilustrado na figura 4.12, pode-se desenvolver

(4.141) 2000 < μ

ρ V k) - (1 D = Re z

140

balanços de massa e quantidade de movimento para determinar o perfil de velocidades

dos líquidos.

Figura 4.12 - Escoamento de dois líquidos entre placas planas e paralelas

O escoamento está ocorrendo na direção x, e apenas em decorrência da diferença

de pressão. Como o sistema acima é similar a casos já tratados, pode-se partir de

informações já obtidas anteriormente.

Pelo balanço de massa, sabe-se que (ver equação (4.16) deduzida enteriormente):

Do exemplo de demonstração resolvido acima, pode-se escrever que:

x=0 x=L

xy

y = h

y = - h

P Po L

Fluido A: ρ , μ

Placas paralelas e horizontais

Fluido B: ρ , μInterface

a a

b b

(4.142) 0 = xvx

∂∂

(4.144) C +y L

P - P = τ

(4.143) C +y L

P - P = τ

B1

LoByx

A1

LoAyx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

141

Como os perfis de tensão de cisalhamento nos dois líquidos não são

necessariamente iguais, deve-se escrever uma equação para cada líquido, com as

respectivas constantes de integração, C1A e C1

B.

Pelas condições fornecidas inicialmente, sabe-se que na interface entre os líquidos

(posição y = 0), os dois fluxos de quantidade de movimento (ou tensão de cisalhamento)

acima são iguais. Logo:

Nesse caso, as duas constantes de integração são iguais e pode-se continuar o

desenvolvimento adotando-se apenas uma constante C1.

Usando a lei de Newton da viscosidade, pode-se escrever que:

Integrando as equações acima assumindo viscosidades constantes, obtém-se:

As constantes de integração acima são determinadas com as seguintes condições

de contorno:

(C.C.1) C = C = C

(C.C.1) τ = τ : 0 =y

1B1

A1

Byx

Ayx

(4.145) CyL

PPy

vμ 1

LoAx

aAyx +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

=∂

∂−=τ

(4.146) CyL

PPy

vμ 1

LoBx

aByx +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

=∂

∂−=τ

)(4.148 C + μC -

2y

LP - P

μ1 - = v

(4.147) C + μC -

2y

LP - P

μ1 - = v

B2

b

12

Lo

b

Bx

A2

a

12

Lo

a

Ax

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

142

Das condições de contorno acima, pode avaliar as constantes de integração:

Com estas constantes, pode-se determinar finalmente os perfis de velocidades na

duas camadas de fluidos:

Quando as viscosidades dos líquidos forem iguais (μa = μb), as expressões acima

se igualam àquelas obtidas para escoamento de um único fluido entre placas paralelas

horizontais.

As expressões para vazão de massa, volumétrica e velocidade média são

determinadas de modo análogo ao que foi feito nos itens anteriores. Pode-se

demonstrar que as velocidades médias nas camadas são dadas por:

)(C.C.4 0 = v : h =y

(C.C.3) 0 = v : h - =y

(C.C.2) v = v : 0 =y

Bx

Ax

Bx

Ax

(4.150) μ + μμ 2

μ2

h L

P - P = C

(4.149) μ + μμ - μ

2h

LP - P - = C

C = C = C

ba

a

a

2Lo

2

ba

baLo1

2B2

A2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(4.152) hy -

hy

μ + μμ - μ

+ μ + μμ 2

2h

LP - P

μ1= v

(4.151) hy -

hy

μ + μμ - μ

+ μ + μ

m 2

2h

LP - P

μ1= v

2

ba

ba

ba

b2

Lo

b

Bx

2

ba

ba

ba

a2

Lo

a

Ax

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

143

Finalmente, torna-se interessante determinar onde a velocidade será máxima.

Para tal, basta derivar os perfis de velocidades e igualar o resultado a zero.

Das equações acima, constata-se que a derivada será zero quando o termo entre

colchetes for zero. Assim, o ponto de velocidade máxima será dado por:

Uma análise da equação acima permite concluir que:

- se μa > μb: yv máx > 0, o que significa que a maior velocidade ocorrerá na camada de

fluido B, que é o líquido menos viscoso;

- se μa < μb: yv máx < 0, significando que a maior velocidade ocorrerá na camada de

fluido A, que é o líquido menos viscoso;

- se μa = μb: yv máx = 0. A maior velocidade ocorrerá no centro da distância entre as

placas.

É interessante observar que a maior velocidade ocorrerá sempre na camada de

(4.154) μ + μμ 7 + μ

12h

LP - P

μ1= v

(4.153) μ + μμ + μ 7

12h

LP - P

μ1= v

ba

ba2

Lo

b

Bx

ba

ba2

Lo

a

Ax

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(4.156) 0 = μ + μμ - μ

2h +y -

LP - P

μ1 =

yv

(4.155) 0 = μ + μμ - μ

2h +y -

LP - P

μ1 =

yv

ba

baLo

b

Bx

ba

baLo

a

Ax

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

(4.157) μ + μμ - μ

2h = y

ba

bav x m ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

144

fluido de menor viscosidade.

145


R.B. BIRD; W.E. STEWART; E.N. LIGHTFOOT. Transport Phenomena. John Wiley &

Sons, New York, 1960, 780 p.

R.I.L. GUTHRIE. Engineering in Process Metallurgy. Oxford Science Publications,

Oxford, 1992, 528 p.

146

EXERCÌCIOS

1- Um método para determinação do raio de tubos capilares consiste na medida da

vazão de fluido através desse tubo. Avaliar o diâmetro do capilar que apresentou os

seguintes dados de escoamento:

- comprimento do capilar: 50,02 cm;

- viscosidade cinemática do fluido: 4,03x10-5 m2/s;

- densidade do fluido: 0,9552x103 kg/m3;

- queda de pressão ao longo do tubo capilar (horizontal): 4,829x105 N/m2;

- vazão de massa através do tubo: 2,997x10-3 Kg/s.

2- Dois cilindros concêntricos horizontais possuem um comprimento de 8,23m. O

diâmetro externo do cilindro interno é 1,26 cm. O diâmetro interno do cilindro externo

é 2,79 cm. Uma solução aquosa é bombeada entre os dois cilindros. A densidade

dessa solução é 1286,3 kg/m3 e a sua viscosidade é 0,0565 kg/m.s. Determinar a

vazão volumétrica do fluido quando a queda de pressão é 3,716x104 N/m2.

3- Um líquido está escoando por gravidade através de um tubo vertical com

comprimento de 1 ft e diâmetro interno de 0,1 in. A densidade do líquido é 1,26 g/cm3

e a vazão de massa é 0,005 lb/min. Determinar a viscosidade do fluido em unidades

do sistema internacional. Testar a validade dos resultados obtidos.

4- Desenvolver expressões para o escoamento de um fluido entre duas placas paralelas

verticais. As placas são separadas por uma distância 2 δ. Considerar estado

147

estacionário e fluido de densidade e viscosidade constantes. Incluir a diferença de

pressão. Obter relações para:

- distribuição de velocidade;

- vazão volumétrica do fluido.

Relacionar a velocidade média a velocidade máxima.

5- Água está colocada entre duas placas paralelas, planas infinitas distantes 3 cm uma

da outra. Se as placas se movem em sentidos opostos com velocidades de 0,18 m/s

e 0,21 m/s, deduzir a expressão do perfil de velocidade e calcular a velocidade média

da água. Fazer um diagrama do sistema em análise.

Dados:

- densidade da água: 1 g/cm3;

- viscosidade da água: 1 cP.

6- Em experiências de absorção de gás, um fluido viscoso escoa de baixo para cima

através de um tubo circular. No final do tubo ocorre um transbordamento e o fluido

escoa, de cima para baixo sobre a superfície externa do tubo. Deduzir a expressão

de distribuição de velocidade no fluido que escoa sobre a superfície externa do tubo.

Propor uma equação para avaliação da vazão volumétrica de fluido.

148

7- Um arame de aço de raio R é resfriado em um tanque de óleo, conforme mostrado

na figura a seguir. Este tipo de resfriamento ocorre em vários processos de

tratamentos térmicos de metais. A partir das equações de balanço de massa e

quantidade de movimento, determinar uma equação para o perfil de velocidades do

fluido que escoa no trecho L indicado na figura. Neste trecho, o diâmetro do tubo no

interior do tanque é KR. Considerar estado estacionário, fluido de densidade e

viscosidade constantes e que a pressão no interior do tanque é uniforme. A

velocidade do arame é V.

aR

R

r

zz = zo

z = zL

Fluido

Transbordo

Ar

Reservatório de óleo

Arame

L

149

8- Uma técnica utilizada na determinação da vazão de fluidos em dutos cilíndricos

consiste em medir a diferença de pressão entre dois pontos ao longo da tubulação,

conforme visto na figura a seguir.

Através de balanços de massa e de quantidade de movimento, obter uma equação

matemática que expresse o perfil de velocidade do fluido em função da posição radial

no tubo. A partir dessa equação, desenvolver uma expressão matemática

relacionando a vazão volumétrica do fluido com a diferença de pressão entre os

pontos 1 e 2, expressa em termos da diferença da altura da coluna de água no

manômetro. Aplicar a fórmula desenvolvida para determinar a vazão volumétrica de

N2, nas seguintes condições:

- diâmetro do tubo: 10 polegadas;

- diferença de altura da coluna de água no manômetro: 6 mm;

- densidade da água: 1 g/cm3;

- densidade do nitrogênio: 1 kg/m3;- distância entre os pontos 1 e 2: 8 ft;

h

1 2

Fluido

L

D

Água

150

- temperatura: 298 K;

- propriedades do nitrogênio (para avaliação da viscosidade):

- massa atômica: 28,02 g/mol - σ = 3,681 A - ε / kB = 91,5 K

Expressar os resultados em unidades do sistema internacional.

9- Em uma máquina de lingotamento contínuo, tem-se a configuração vista

esquematicamente na figura abaixo. Determinar o perfil de velocidades no interior da

camada de escória lubrificante, em função das velocidades UMOLDE e ULINGOTAMENTO.

Assumir escoamento laminar, μ e ρ constantes. Considerar que se atinge o estado

estacionário instantaneamente para cada valor de velocidade do molde, que é

oscilatório.

A partir do resultado acima, como você faria para avaliar o consumo desta escória,

considerando que o molde possui quatro faces iguais de largura W ?

Aço - Veio

Molde Escória

VISTA DE CIMA

A A'

CORTE A-A'

x

y

δ

Aço - Veio

Molde

Ulingotamento

Pressão P

Pressão P

W

W

Umolde

x = direção vertical

Esc

ória

Escória

151

5- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ESCOAMENTO DE

FLUIDOS

No capítulo anterior, a distribuição de velocidades para escoamento em sistemas

simples e unidimensionais foi determinada a partir de balanços de quantidade de

movimento em um determinado elemento de volume desse sistema. A distribuição de

velocidade foi, então, usada para calcular outras quantidades, tais como velocidade

média, vazão volumétrica e força exercida pelo fluido na superfície do sólido.

Entretanto, não é necessário formular um balanço de quantidade de movimento sempre

que se começa a analisar um novo problema de escoamento. Na realidade, existe uma

forma mais segura e rápida de abordar esses problemas. Ela consiste no uso das

equações gerais de conservação de massa e quantidade de movimento. Essas

equações são, então, simplificadas para se ajustar ao problema em estudo.

As equações diferenciais mencionadas acima regem o escoamento laminar de

fluidos em sistemas tridimensionais e transientes.

A equação da continuidade é obtida a partir da aplicação do princípio de

conservação de massa a um pequeno elemento de volume no fluido.

A equação do movimento é uma generalização do balanço de quantidade de

movimento que foi aplicado no capítulo anterior. A combinação dessa equação com a

equação da continuidade permite resolver todos os problemas abordados no capítulo

anterior e problemas mais complexos.

Antes de se iniciar o desenvolvimento das equações da continuidade e do

movimento, é interessante distinguir os três tipos de derivadas parciais do tempo.

Considere-se que se deseja fornecer a concentração de peixes em um

152

determinado rio. Como os peixes estão se movendo, a sua concentração “c” será

função da posição ( x, y e z) e do tempo t. Desse modo, pode-se definir três derivadas

em relação ao tempo.

a) Derivada parcial em relação ao tempo, ∂C/∂t

Nesse caso, observa-se a variação da concentração de peixes com o tempo em

um ponto fixo no espaço. Desse modo, ∂C/∂t significa derivada parcial de “c” com

respeito a “t”, mantendo, x, y e z constantes.

b) Derivada total em relação ao tempo, dc/dt

Considere-se que agora, ao invés de se analisar um ponto fixo, toma-se um barco

a motor e começa-se a movimentar ao longo do rio. Ao se fornecer a variação da

concentração com o tempo, os números vão refletir também o movimento do barco.

Logo, a derivada total com o tempo é dada por:

onde ∂x/∂t, ∂y/∂t e ∂z/∂t são componentes da velocidade do barco.

c) Derivada segundo o movimento.

Suponha-se que agora ao invés de se tomar um barco a motor, entra-se numa

canoa sem remo e segue-se a correnteza. A variação de concentração de peixes com

o tempo vai depender também da velocidade da correnteza. Essa derivada é

denominada derivada seguindo o movimento e é dada por:

(5.1) tz

zc +

ty

yc +

tx

xc +

tc =

dtdc

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(5.2) zc v +

yc v +

xc v +

tc =

dtdc

zyx ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

153

sendo que vx, vy e vz são as componentes da velocidade local do fluido.

Pode-se agora iniciar o desenvolvimento das equações da continuidade e do

movimento.

5.1. Equação da continuidade

A equação geral do balanço de massa é:

Essa equação é aplicada a um elemento de volume estacionário Δx Δy Δz, ao

longo do qual o fluido está se movendo, conforme se vê na figura 5.1.

Figura 5.1 - Elemento de volume para balanços de massa e de quantidade de

movimento

Expressando cada um dos termos acima e considerando as três direções, tem-se:

- taxa de acumulação de massa:

[ ] [ ] [ ] (5.3) massa de acumulação de Taxa = massa de saídade Taxa - massa de entrada de Taxa

z

y

x

z

z+Δz

x y

Δz

x+Δx

y+Δy

Δx

Δy

)(5.4 ΔtΔρΔz Δy Δx

154

- taxa de entrada de massa em x:

- taxa de saída de massa em x + Δx:

- taxa de entrada de massa em y:

- taxa de saída de massa em y + Δy:

- taxa de entrada de massa em z:

- taxa de saída de massa em z + Δz:

Combinando todos esses termos no balanço geral de massa, obtém-se:

Dividindo toda essa expressão pelo volume do elemento em análise, resulta que:

Fazendo Δx, Δy e Δz tender a zero e lembrando o conceito de derivada, tem-se:

Essa é uma das formas de se apresentar a equação da continuidade. Por outro

(5.5) |)v ρΔz y ( xxΔ

(5.6) |)v ρΔz y ( Δx+xxΔ

(5.7) |)v ρΔz x( yyΔ

(5.8) |)v ρΔz x( Δy+yyΔ

(5.9) |)v ρΔy x( zzΔ

(5.10) |)v ρΔy x( Δz+zzΔ

[ ]

[ ] [ ] (5.11) |)v ρΔy x( - |)v ρΔy x( + |)v ρz x( - |)v ρΔz x( +

|)v ρΔz y ( - |)v ρΔz y ( = ΔtΔρΔz Δy Δx

Δz+zzzzΔy+yyyy

Δx+xxxx

ΔΔΔΔΔ

ΔΔ

[ ] [ ] [ ].12)(5

Δz|)v (ρ - |)v (ρ

+ Δy

|)v (ρ - |)v (ρ +

Δx|)v (ρ - |)v (ρ

= ΔtΔρ Δz+zzzzΔy+yyyyΔx+xxxx

(5.13) )v (ρ z

- )v (ρ y

- )v (ρ x

- = tρ

zyx ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

155

lado, sabe-se ainda que:

Substituindo as relações (5.14), (5.15) e (5.16) em (5.13), obtém-se:

Isolando do lado esquerdo os termos que envolvem derivada da densidade,

obtém-se:

Nota-se que o lado esquerdo dessa expressão representa a derivada seguindo o

movimento da densidade. Assim, em notação compacta, pode-se rescrever a relação

(5.18) da seguinte forma:

onde o operador gradiente ∇ significa:

A equação (5.19) descreve a taxa de variação da densidade vista por um

observador que se movimenta junto com o fluido.

É importante mencionar que a equação da continuidade, em qualquer forma que

(5.14) xρ v +

xv ρ = )v (ρ

x xx

x ∂∂

∂∂

∂∂

)(5.15 yρ v +

yv ρ = )v (ρ

y yy

y ∂∂

∂∂

∂∂

)(5.16 zρ v +

zv ρ = )v (ρ

z zz

z ∂∂

∂∂

∂∂

)(5.17 0 = zρ v +

zv ρ +

yρ v +

yv ρ +

xρ v +

xv ρ +

tρ

zz

yy

xx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

)(5.18 zv +

yv +

xv ρ - =

zρ v +

yρ v +

xρ v +

tρ zyx

zyx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

( ) (5.19) .v ρ - = DtDρ

∇

(5.20) z

+ y

+ x

= ∂∂

∂∂

∂∂

∇

156

seja apresentada, representa simplesmente o princípio de conservação de massa.

Deve-se ainda observar que o desenvolvimento feito não está restrito a elementos de

volume retangulares, o mesmo tratamento pode ser feito com elementos de forma

arbitrária.

Uma forma especial da equação de continuidade, que será bastante usada, é a

que é aplicada a um fluido de densidade constante. Nesse caso, tem-se:

para um fluido cuja densidade é diferente de zero.

Diz-se que essa equação é aplicada a fluidos incompressíveis. É claro que

nenhum fluido é verdadeiramente incompressível, mas muito freqüentemente em

engenharia essa suposição de densidade constante é bastante razoável e não causa

erro significativo nos cálculos.

5.2. Equação do movimento

Para o mesmo elemento de volume Δx.Δy.Δz visto na figura 5.1, pode-se

desenvolver o balanço de quantidade de movimento. A forma geral do balanço de

quantidade de movimento para o estado estacionário é:

Nota-se que a expressão (5.22) é uma extensão da relação (4.4) para o estado

não-estacionário. Desse modo, proceder-se-á de maneira similar à que foi desenvolvida

no o capítulo anterior.

(5.21) 0 = zv +

yv +

xv zyx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

[ ] [ ]

[ ] (5.22) momentode acumulação de Taxa = forças de Somatório

+ movimento de quantidade de saídade Taxa - movimento de quantidade de entrada de Taxa

157

Nesse caso, além de considerar o estado não-estacionário, será analisada a

possibilidade do fluido se mover através das seis faces do elemento de volume em

qualquer direção arbitrária.

É importante enfatizar que a equação (5.22) é vetorial com componentes em todas

as três direções. Por simplicidade será considerada apenas a direção x, as outras duas

(y e z) podem ser tratadas analogamente. O desenvolvimento do balanço de quantidade

de movimento nestas outras duas direções fica como um exercício.

Inicialmente serão consideradas as taxas de entrada e saída de quantidade de

movimento na direção de x, no elemento de volume visto na figura 5.1. Como se sabe,

quantidade de movimento entra e sai do elemento de volume por dois mecanismos: por

convecção (devido ao movimento global do fluido) e por difusão (devido aos gradientes

de velocidade).

Avaliando-se cada uma das parcelas que aparecem na equação (5.22), tem-se

(apenas na direção x):

- taxa de acumulação de quantidade de movimento na direção x:

- taxa de entrada de quantidade de movimento por difusão em x:

- taxa de entrada de quantidade de movimento por difusão em y:

- taxa de entrada de quantidade de movimento por difusão em z:

- taxa de saída de quantidade de movimento por difusão em x +Δx:

)(5.23 Δt

)v Δ(ρΔz Δy Δx x

(5.24) |)z y ( xxxτΔΔ

(5.25) |)z x( yyxτΔΔ

(5.26) |)y x( zzxτΔΔ

(5.27) |)z y ( x+xxx ΔΔΔ τ

158

- taxa de saída de quantidade de movimento por difusão em y + Δy:

- taxa de saída de quantidade de movimento por difusão em z + Δz:

Para avaliar as parcelas associadas ao mecanismo de convecção, é importante

lembrar que quantidade de movimento é dado pelo produto de massa por velocidade.

Logo, taxa de quantidade de movimento por convecção pode ser determinada pelo

produto da taxa de massa (já determinada no balanço de massa) pela velocidade

(componente x da velocidade, nesse caso). Assim, tem-se:

- taxa de entrada de quantidade de movimento por convecção em x:

- taxa de entrada de quantidade de movimento por convecção em y:

- taxa de entrada de quantidade de movimento por convecção em z:

- taxa de saída de quantidade de movimento por convecção em x +Δx:

- taxa de saída de quantidade de movimento por convecção em y + Δy:

- taxa de saída de quantidade de movimento por convecção em z + Δz:

- forças que atuam no elemento de volume na direção de x:

(5.28) |)z x( y+yyx ΔΔΔ τ

(5.29) |)y x( z+zzx ΔΔΔ τ

)(5.30 |)v ρ vΔz y ( xxxΔ

(5.31) |)v ρ vΔz x( yxyΔ

2)(5.3 |)v ρ vΔy x( zxzΔ

(5.33) |)v ρ vΔz y ( Δx+xxxΔ

(5.34) |)v ρ vΔz x( Δy+yxyΔ

(5.35) |)v ρ vΔy x( Δz+zxzΔ

159

- forças de pressão:

- força da gravidade:

Em relação aos termos de entrada e saída de quantidade de movimento por

convecção, uma explicação torna-se útil. Por exemplo: no termo Δy Δz vx ρ vx , vx

representa a componente da velocidade na direção x, Δy Δz vx ρ representa a taxa de

entrada de massa através da face de área Δy Δz. O produto desses dois parâmetros

fornece a taxa de entrada de quantidade de movimento. Explicação análoga vale para

os termos similares nas direções y e z.

Combinando todos esses termos na equação geral do balanço de quantidade de

movimento, obtém-se a seguinte relação válida para a direção x:

Dividindo pelo volume do elemento em estudo (Δx Δy Δz), obtém-se:

(5.36) )|P - |(Pz y x+xx ΔΔΔ

(5.37) g z y x xρΔΔΔ

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

(5.38) g ρΔz Δy Δx + )|P - |(PΔz Δy +

+ |)v ρ vΔy x( + |)v ρ vΔy x( +

+ |)v ρ vΔz x( - |)v ρ vΔz x( + |)v ρ vΔz y ( - |)v ρ vΔz y ( +

+ |)Δy x( - |)y x( + |)Δz x( - |)Δz x +

+ |)Δz y ( - |)z y( = Δt

)v Δ(ρΔz Δy Δx

xΔx+xx

Δz+zxzzxz

Δy+yxyyxyΔx+xxxxxx

Δz+zzxzzxΔy+yyxyyx

Δx+xxxxxxx

ΔΔ

ΔΔΔΔ

ΔΔΔΔΔ

ΔΔΔ

ττττ

ττ

160

Fazendo Δx, Δy e Δz tender para zero e lembrando o conceito de derivada, obtém-

se a seguinte expressão:

Para as direções y e z, tem-se expressões análogas a esta:

- Direção y:

- Direção z:

Considerando apenas a componente x da equação do movimento, pode-se fazer

os seguintes desmembramentos:

Os termos dentro das chaves na equação acima correspondem àqueles da

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ](5.39) g ρ +

Δx)|P - |(P

+ Δz

|)v ρ v( + |)v ρ v( +

+ Δy

|)v ρ v( - |)v ρ v( +

Δx|)v ρ v( - |)v ρ v(

+

+ Δz

|)( - |)( +

Δy|)( - |)(

+ Δx

|)( - |)( =

Δt)v Δ(ρ

xΔx+xxΔz+zxzzxz

Δy+yxyyxyΔx+xxxxxx

Δz+zzxzzxΔy+yyxyyxΔx+xxxxxxx ττττττ

)(5.40 g ρ + xP - )v ρ v(

z - )v ρ v(

y - )v ρ v(

x -

z -

y -

x - = )v (ρ

t xxzxyxxzxyxxx

x ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ τττ

(5.41) g ρ + yP -)v ρ v(

z - )v ρ v(

y - )v ρ v(

x -

z -

y -

x - = )v (ρ

t yyzyyyxzyyyxy

y ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ τττ

)(5.42 g ρ + zP -)v ρ v(

z - )v ρ v(

y - )v ρ v(

x -

z -

y -

x - = )v (ρ

t zzzzyzxzzyzxz

z ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ τττ

)43.5( ρgxP

zv

ρvyv

ρvxv

ρv

zv

ρzρv

yv

ρyρv

xv

ρxρvv

xyxtv

ρ tρv

xx

zx

yx

x

zz

yy

xxx

xzyxxxxx

+∂∂

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

−

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂

∂+

∂∂ τττ

161

equação (5.40). (Lembre-se da regra de derivação de um produto). A derivada em

relação ao tempo na equação (5.40) foi desmembrada nos dois termos do lado

esquerdo da igualdade na equação (5.43). Transpondo termos na equação acima,

obtém-se:

Lembrando da equação da continuidade (relação (5.17)), constata-se que os

termos dentro do retângulo inserido na equação acima se anulam. Dessa forma, a

equação (5.44) pode ser escrita da seguinte forma:

Lembrando da definição de derivada seguindo o movimento (equação (5.3)), nota-

se que o termo entre colchetes do lado esquerdo da equação (5.45) equivale à derivada

seguindo o movimento da componente de velocidade vx. Assim, pode-se escrever que:

A equação (5.46) enfatiza o significado da equação de balanço de quantidade de

movimento como um balanço de força. Considerando que a equação acima foi

desenvolvida para um dado elemento de volume, pode-se dizer que o termo do lado

(5.45) g ρ + xP -

z +

y +

x - =

zv v +

yv v +

xv v +

tv ρ x

zxyxxxxz

xy

xx

x

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂∂

∂⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

∂∂

∂∂ τττ

(5.46) g + xP -

z +

y +

x - =

DtvD x

zxyxxxx ρτττρ∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂∂

∂

(5.44) g ρ + xP -

zv ρ +

zρ v +

yv ρ +

yρ v +

xv ρ +

xρ v +

tρ v -

- z

+ y

+ x

- = zv v +

yv v +

xv v +

tv ρ

x

zz

yy

xxx

zxyxxxxz

Xy

xx

x

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂∂∂

∂∂ τττ

162

esquerdo representa o produto de massa pela aceleração (para um referencial se

movendo com o fluido). Do lado direito, tem-se o somatório das forças associadas à

fricção (devido à viscosidade), pressão e gravidade (segunda lei de Newton).

As equações (5.45) ou (5.46) são aplicáveis a qualquer tipo de fluido, Newtoniano

ou não.

Para se colocar as equações do movimento (componente x derivada acima, e as

componentes y e z) em uma forma útil para determinação de distribuição de velocidade,

deve-se substituir as tensões de cisalhamento ou fluxos de quantidade de movimento

por difusão por expressões que os relacionem com as velocidades. Estas expressões

são dadas a seguir para fluidos Newtonianos e representam a lei de Newton da

viscosidade para sistemas tridimensionais:

As relações de (5.48) a (5.52) foram apresentadas sem prova por que os

argumentos envolvidos são extremamente longos. A dedução destas equações pode

(5.47) zv +

yv +

xv μ

32 +

xv μ 2 - = zyxx

xx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

τ

)(5.48 zv +

yv +

xv μ

32 +

yv μ 2 - = zyxy

yy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

τ

)(5.49 zv +

yv +

xv μ

32 +

zv μ 2 - = zyxz

zz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

τ

(5.50) xv +

yv μ - = = yx

xyyx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

ττ

(5.51) zv +

yv μ - = = yz

zyyz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

ττ

(5.52) xv +

zv μ - = = zx

xzzx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ττ

163

ser encontrada em Lamb (1932). Estas equações representam expressões mais

completas da lei de Newton da viscosidade, que se aplicam em situações nas quais o

fluido se move em mais de uma direção.

Quando um fluido se move na direção x entre duas placas paralelas e

perpendiculares à direção y, vx é função apenas de y e desse modo:

que é a equação simplificada da lei de Newton da viscosidade usada no Capítulo 4.

Substituindo as expressões de (5.47) a (5.52) na equação (5.45), obtém-se:

A equação (5.54) é a expressão geral do balanço de quantidade de movimento na

direção x. Expressões análogas podem ser obtidas nas direções y e z.

Considerando um fluido de densidade constante, a equação da continuidade pode

ser escrita da seguinte forma:

Substituindo (5.21) na equação (5.54), pode-se escrever que:

(5.53) yv μ - = x

yx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

τ

(5.54) g ρ + xP -

xv +

zv μ

z-

xv +

yv μ

y

zv

yv

xvμ

32 +

xv 2

x =

zv v +

yv

v + xv v +

tv ρ

xzxyx

zyxxxz

xy

xx

x

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

−∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

−∂∂

−

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+∂

∂+∂

∂∂∂−

∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

∂∂

∂∂ μ

(5.21) 0 = zv +

yv +

xv zyx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

164

Rearranjando a expressão acima e assumindo viscosidade constante, obtém-se:

Agrupando os termos com derivadas cruzadas:

Usando novamente a equação da continuidade (equação (5.21)), obtém-se que:

(5.55) g ρ + xP

- xv +

zv μ -

z +

xv +

yv μ -

y +

xv μ 2 -

x -

= zv v +

yv

v + xv v +

tv ρ

x

zxyxx

xz

xy

xx

x

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

(5.56) g ρ + xP -

z x

v μ + xv μ +

y xv μ +

zv μ +

yv μ +

xv μ +

= zv v +

yv

v + xv v +

tv ρ

x

z2

2x

2y

2

2x

2

2x

2

2x

2

xz

xy

xx

x

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

)(5.57 g ρ + xP -

zv +

yv +

xv

x μ +

zv μ +

yv μ +

xv μ +

= zv v +

yv

v + xv v +

tv ρ

x

zyx2x

2

2x

2

2x

2

xz

xy

xx

x

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

165

Essa é a equação do movimento na direção x, para um fluido Newtoniano de

densidade e viscosidade constantes.

Para as direções y e z, as expressões são:

- Direção y:

- Direção z:

Essas relações são mostradas nas tabelas 5.1, 5.2 e 5.3 (anexo no final do

capítulo), onde se tem um sumário das equações da continuidade e do movimento em

coordenadas cartesianas. Nestas tabelas, são apresentadas também as equações para

as tensões de cisalhamento para um fluido Newtoniano.

5.3- Equação da continuidade e do movimento em coordenadas cilíndricas e

)(5.58 g ρ + xP -

zv μ +

yv μ +

xv μ +

= zv v +

yv

v + xv v +

tv ρ

x2x

2

2x

2

2x

2

xz

xy

xx

x

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

)(5.59 g ρ + yP -

zv μ +

yv μ +

xv μ +

= zv v +

yv v +

xv v +

tv ρ

y2y

2

2y

2

2y

2

yz

yy

yx

y

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

)(5.60 g ρ + zP -

zv μ +

yv μ +

xv μ +

= zv v +

yv v +

xv v +

tv ρ

z2z

2

2z

2

2z

2

zz

zy

zx

z

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

166

esféricas

Em algumas ocasiões, os problemas são formulados de maneira mais simples em

coordenadas cilíndricas e esféricas. Desse modo, torna-se interessante conhecer as

equações da continuidade e do movimento em termos de coordenadas cilíndricas e

esféricas.

5.3.1. Coordenadas cilíndricas

O relacionamento entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é apresentado

nas equações a seguir (ver figura 4.8):

As equações gerais da continuidade e do movimento, bem como as expressões

para tensões de cisalhamento para um fluido Newtoniano, em coordenadas cilíndricas

são apresentadas nas tabelas 5.4, 5.5 e 5.6, no anexo ao final do presente capítulo.

5.3.2. Coordenadas esféricas

O relacionamento entre as coordenadas retangulares e esféricas é visto na figura

5.2. As relações matemáticas entre estas coordenadas são fornecidas nas expressões

abaixo:

(5.61) cos r = x θ

(5.63) z =z

(5.62) senr =y θ

(5.64) cos senr = x φθ

167

As equações gerais da continuidade e do movimento, bem como as expressões

para tensões de cisalhamento para um fluido Newtoniano, em coordenadas cilíndricas

são apresentadas nas tabelas 5.7, 5.8 e 5.9, no anexo ao final deste capítulo.

Figura 5.2 - Relação entre coordenadas retangulares e esféricas

5.4. Soluções de equações diferenciais

Nesse item, as equações da continuidade e do movimento serão usadas para

resolver alguns problemas que foram abordados no capítulo 4 e mais alguns novos

exemplos.

Nesta seção são tratados problemas de escoamento laminar através da

(5.65) sen senr =y φθ

(5.66) cos r =z θ

z

y

x

R

θ

φ

Posição(x,y,z) ou (r,θ,φ)

168

simplificação das equações gerais da continuidade e do movimento apresentadas

anteriormente. Isto é feito descartando-se alguns termos nessas equações gerais que

são zero (ou aproximadamente zero). Para determinar os termos a serem descartados,

deve-se antes fazer uma análise do comportamento do sistema: padrões de

escoamento, distribuição de pressão, etc. Uma das vantagens desse procedimento é

que uma vez terminado o processo de descarte, tem-se, automaticamente, uma lista

completa das suposições que foram feitas no seu desenvolvimento.

5.4.1. Escoamento de uma película de fluido

Esse sistema é visto esquematicamente na figura 5.3. De acordo com a orientação

dada aos eixos, só existe velocidade na direção z. É óbvio também que este problema

é resolvido mais facilmente usando coordenadas retangulares.

Figura 5.3 - Escoamento em um plano inclinado

Para um fluido de densidade e viscosidade constantes, considerando estado

xz

Interface com o ar


Fluido

Gravidade

α

169

estacionário, velocidade apenas na direção z e escoamento só devido à gravidade, as

equações da continuidade e do movimento fornecem:

- Equação da continuidade:

- Equação do movimento (apenas componente z - direção do movimento

macroscópico).

Nesse caso, tem-se que:

A equação (5.68) pode ser integrada duas vezes para fornecer o seguinte perfil:

Para determinação de C1 e C2, usa-se as seguintes condições de contorno:

Tem-se, então, que:

Finalmente, o perfil de velocidade é dado por:

Esta equação é similar à obtida através dos balanços de massa e quantidade de

(5.67) 0 = zvz

∂∂

)(5.68 0 = g ρ + xv μ z2

z2

∂∂

(5.69) cos g = g z β

)(5.70 C + x C + x μ 2β cos g ρ - = v 21

2z

0 = vδ = x :2 contorno de Condição

0 = xv μ - = τ 0 = x :1 contorno de Condição

z

zxz ∂

∂

δμ

βρ 22

1

2

cos g = C

0 = C

(5.71) )x - δ( μ 2β cos g ρ = v 22

z

170

movimento no elemento de volume considerado no Capítulo 4.

5.4.2. Escoamento em um tubo circular

Este sistema é visto esquematicamente na figura 4.9. Como se trata de um

sistema cilíndrico, o uso de coordenadas cilíndricas é o mais adequado para abordagem

do problema.

Considerando estado estacionário, que só existe velocidade do fluido na direção

z e que o fluido possui densidade e viscosidade constantes, obtém-se:


Com a informação da equação da continuidade, tem-se:

- Equação do movimento (apenas componente z):

Tem-se ainda que:

Considerando a variação linear da pressão com z, tem-se:

Desse modo, tem-se:

Transpondo temos e integrando-se essa equação, obtém-se:

)(5.72 0 = zvz

∂∂

(5.73) 0 = g ρ + zp -

rvr

r

r1 μ z

z

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

(5.74) g = g z

(5.75) L

P - P = zp - L0

∂∂

(5.76) g ρ + L

P - P - = rv r

r

rμ L0z ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

171

Assumindo que os gradientes de velocidade e de pressão sejam finitos, para que

a equação acima seja válida em r = 0, o valor de C1 deve ser zero. Usando-se esta

informação, pode-se integrar a equação (5.77) para obter:

A condição de contorno para determinação de C2 é:

Desse modo:

E assim o perfil de velocidade será dado por:

que é igual à relação (4.114), obtida no Capítulo 4.

A seguir, serão tratados mais alguns problemas diferentes daqueles analisados

no Capítulo 4.

5.4.3. Escoamento anelar tangencial

Alguns tipos de equipamentos usam o sistema visto na figura 5.4 para

determinação da viscosidade de líquidos, especialmente escórias. Nesse tipo de

aparelho, é medido o torque necessário para girar o bastão (cilindro interno) a uma

)(5.77 C + μ 2

r g ρ + L

P - P - = rv r 1

2L0z ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

(5.78) C + μ 4

r g ρ + L

P - P - = v 2

2L0

z ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0 = v R = r :contorno deCondição z

(5.79) 4R g +

LP - P = C

2L0

2 μρ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

(5.80) Rr - 1

μ 4R g ρ +

LP - P = v

22L0

z⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

172

dada velocidade. O conjunto é colocado dentro de um forno, que permite manter a

temperatura do sistema constante em um valor pré-determinado.

Nesse sistema, têm-se dois cilindros concêntricos (um cadinho e um bastão

cilíndrico), sendo que o interno está girando a uma velocidade Ωi e o cilindro externo

está parado. Considerando escoamento laminar de um fluido de densidade e

viscosidade constante, pode-se determinar a distribuição de velocidade e, a partir dela,

a de tensão de cisalhamento. Com estas informações, pode-se relacionar o torque

necessário para girar o bastão e a viscosidade do fluido.

No desenvolvimento a ser feito, será considerado que a única componente de

velocidade é vθ, que varia apenas com a posição r. Não existe também gradiente de

pressão na direção θ. O movimento do fluido é induzido apenas pela rotação do bastão.

Figura 5.4 - Escoamento anelar tangencial entre dois cilindros concêntricos

A variação da velocidade com a componente z também será desprezada. Esta

R

kR

r

z

Fluido

Ωi

kRR

Fluido

Ωi

173

aproximação é razoável quando se tem um sistema com uma relação altura/diâmetro

elevada.

Desse modo, usando as equações da continuidade e do movimento em

coordenadas cilíndricas, obtém-se:


- Equação do movimento (componente θ):

Para obtenção da equação acima, foi também assumido estado estacionário.

O perfil de velocidade pode ser determinado através da integração da equação

(5.82). Tem-se:

Transpondo termos e integrando novamente, obtém-se:

ou:

As condições de contorno para avaliação de C1 e C2 são:

Assim, encontra-se que:

( ) (5.81) 0 = v ρθr1

θ∂∂

(5.82) 0 = )v (rr

r1

r θ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

(5.83) C = )v (rr

r1

1θ∂∂

)(5.84 C + 2r C = v r 2

2

1θ

)(5.85 r

C + 2r C = v 2

1θ

0 = v R = r :2 contorno de Condição

R k Ω = v R k = r :1 contorno de Condição

θ

iθ

174

Combinando (5.86) e (5.87), tem-se:

Rearranjando, resulta que:

Substituindo o valor de C2 em (5.87), obtém-se:

Portanto,

Combinando esses resultados, o perfil de velocidade será dado por:

Rearranjando, pode-se, finalmente, expressar o perfil de velocidade da seguinte

forma:

Essa é a distribuição de velocidade na direção θ.

(5.87) RC +

2R C = 0

(5.86) R k

C + 2R k C = R k

21

21iΩ

( ) (5.88) k - 1 R k

C = Rk -

R k1 C = R k 22

2i ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Ω

( ) (5.89) k - 1

R k = C 2

22i

2Ω

( ) (5.90) k - 1

R k + 2R C = 0

2

2i

1Ω

( ) (5.91) k - 1

k 2 - = C 2

2i

1Ω

( ) ( ) )(5.92 r1

k - 1R k Ω + r

k - 1k Ω - = v 2

22i

2

2i

θ

( ) (5.93) r - rR

k - 1k Ω = v

2

2

2i

θ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

175

A tensão de cisalhamento τrθ é dada pela seguinte relação extraída da tabela 5.5:

Mas:

e:

Logo:

ou por derivação:

Em r = kR, a tensão de cisalhamento é dada por:

O torque, Ψ, necessário para rodar o cilindro interno é dado pelo produto da força

(tensão x área) que atua nesse cilindro pelo braço de alavanca (kR). A força está

associada à fricção com o fluido, cuja viscosidade está sendo determinada. Nesse caso,

onde H é a altura do bastão em contato com o fluido.

Pela relação (5.100), nota-se que é possível determinar a viscosidade do fluido

através da avaliação do torque necessário para mover o bastão. Há uma relação linear

(5.94) θv

r1 +

rv

r r μ - = τ rθ

rθ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

(5.95) 0 = θvr

∂∂

( ) (5.96) 1 - rR

k - 1k Ω =

rv

2

2

2

2iθ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

( ) (5.97) 1rR

k - 1k

r r - = 2

2

2

2i

r ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω∂∂μτ θ

( ) (5.98) )r2 (-

k - 1R k r - =

32

22i

rΩμτ θ

( ) (5.99) k - 1

2 = | 2i

kR=rrΩμτ θ

( ) (5.100) k - 1

H R k 4 = R) (k )|( H) R k (2 = 2

i22kR=rr μπτπ θ

ΩΨ

176

entre estas duas grandezas. Esse tipo de viscosímetro é denominado Couette-

Hatschek.

5.4.4- Formato da superfície de um líquido com movimento de rotação

Um fluido de densidade e viscosidade constantes está contido em um recipiente

cilíndrico de raio R, conforme visto na figura 5.5.

Figura 5.5. - Formato da superfície de um líquido em rotação

O recipiente está rodando em torno de seu próprio eixo, com velocidade angular

Ω. A orientação do cilindro é tal que: gr = gθ = 0 e gz = -g. Nesse caso, deseja-se usar

as equações do movimento e da continuidade para determinar o formato da superfície

do líquido no estado estacionário.

Obviamente, o sistema visto na figura 5.5 é melhor descrito em coordenadas

cilíndricas. Assumindo que vz = vr = 0 e que vθ é função apenas de r, as equações do

zo

R

z

r

P=P nasuperfície

o

P = P(r,z)no fluido

Ω

177

movimento fornecerão:

- Componente r:

É importante lembrar que a derivada de vθ com θ é nula (equação da

continuidade).

- Componente θ:

- Componente z:

Foi considerado também que não há gradiente de pressão na direção θ.

A integração da equação diferencial da componente θ fornece:

As condições de contorno para avaliação de C1 e C2 são:

Usando-se estas condições de contorno, obtém-se:

Desse modo, a velocidade vθ é dada por:

(5.101) rP =

rv ρ θ

2

∂∂

(5.102) 0 = r

)v(r r1

r μ θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

(5.103) 0 = g - zP - ρ

∂∂

)(5.104 r

C + 2r C = v 2

1θ

RΩ = v R = r :2 contorno de Condição

finita = v 0 = r :1 contorno deCondição

θ

θ

0 = C

2 = C

2

1 Ω

(5.105) rΩ = vθ

178

Essa expressão pode ser substituída na equação da componente r para

determinar o perfil de pressão. Fazendo isso, obtém-se:

Assumindo que a pressão é uma função analítica da posição, pode-se escrever

que:

Substituindo (5.106) e (5.107) em (5.108), obtém-se:

Integrando-se ambos os lados da equação (5.109), tem-se:

A condição de contorno para avaliação de C3 é:

Logo:

A distribuição de pressão será, então, dada por:

A superfície é o lugar geométrico dos pontos onde P = Po. Assim, a equação que

descreve o formato da superfície é:

)(5.107 g ρ - = zP

(5.106) r Ω ρ = r

v ρ = rP 2θ

2

∂∂

∂∂

(5.108) dz zP + dr

rP = dP

∂∂

∂∂

(5.109) dz g - dr r = dP 2 ρρ Ω

(5.110) C +z g - 2r = P 3

22 ρρ Ω

P = P : zz,0r : contorno de Condição oo==

(5.111) z g + P = C oo3 ρ

(5.112) )z -(z g - 2r = P - P o

22

o ρρ Ω

(5.113) r g 2 = z -z 2

2

o ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω

179

Nota-se que essa é a equação de uma parábola, onde o ponto de nível mais baixo

ocorre exatamente no centro do cilindro.

5.4.4. Escoamento laminar em torno de uma esfera

Nesse item será analisado o escoamento de um fluido incompressível em torno

de uma esfera sólida, conforme mostrado na figura 5.6. O fluido se aproxima da esfera

de baixo para cima, ao longo do eixo z, com velocidade uniforme e igual a v∞

(velocidade em um ponto bem afastado da esfera).

Figura 5.6 - Movimento laminar do fluido em torno da esfera

O perfil de velocidades está sendo determinado para o caso de um fluido

Newtoniano, com densidade e viscosidade constantes. Além disso, está sendo

assumido estado estacionário. O uso de coordenadas esféricas torna o problema mais

Em cada ponto,há pressão e forçasde fricção atuandona superfície

Fluido se aproxima de baixo com velocidade

180

simples.

Pela geometria do sistema, observa-se claramente que o problema não envolve

a componente φ. Desse modo, com as considerações feitas acima, as equações da

continuidade e do movimento fornecem os seguintes resultados:


- Equações do movimento:

- Componente r:

- Componente θ:

É importante observar que na equação do movimento todos os termos associados

ao transporte convectivo de quantidade de movimento foram desprezados. Isto foi feito

porque se está considerando fluxo laminar com velocidades extremamente baixas do

fluido.

As equações (5.113), (5.114) e (5.115) foram resolvidas analiticamente por

Streeter, citado por Bird, Stewart e Lightfoot (1960), para obtenção da distribuição do

fluxo de quantidade de movimento e dos perfis de pressão e velocidade. Os resultados

obtidos são:

(5.114) 0 = θ) senv( θθ senr

1 + )v r( r

r1 ρ θr

22 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

(5.115) g ρ + rP - θ cot v

r2 -

θv

r2 - v

r2 -

θv senθ

θθ senr1 +

rv r

r

r1 μ rθ2

θ2r2

r2

r22 ∂

∂⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

(5.116) g ρ + θP

r1 -

θ sen rv -

θv

r2 +

θv senθ

θθ senr1 +

rv r

r

r1 μ θ22

θr2

θ2

θ22 ∂

∂⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

181

onde:

Po = pressão no plano z = 0, bem longe da esfera;

V∞ = velocidade de aproximação do fluido.

As condições de contorno que foram adotadas para obtenção dessa solução são:

r = R vr = vθ = 0

r = ∞ vz = v∞

As equações de (5.117) a (5.120) são válidas para números de Reynolds

(D.v∞.ρ/μ) menores que um.

Com esses resultados pode-se avaliar a força exercida pelo fluido sobre a esfera.

Essa força é determinada integrando a força normal e tangencial que atua sobre a

superfície da esfera. Essa avaliação é apresentada a seguir.

A força normal atuando no sólido é devido à pressão dada pela equação (5.118),

com r = R e z = R cos θ. Tem-se que :Fn = força normal < 0 para 0 < θ < π/2 ; e Fn >

0 para θ > π/2.

Desse modo, a componente vertical dessa força é dada por:

(5.120) θ senrR

41 -

rR

43 - 1 v - = v

(5.119) θ cos rR

21 +

rR

23 - 1 v = v

(5.118) θ cos rR

Rv μ

23 -z g ρ - P = P

(5.117) θ senrR

Rv μ

23 =

3

θ

3

r

2

o

4

rθ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞

∞

∞

∞τ

182

O elemento de área é visto na figura 5.7.

Figura 5.7 - Elemento de área na superfície de uma esfera

Substituindo a expressão para a pressão, obtém-se:

Lembrando que z = R cos θ, e integrando a equação acima, obtém-se:

( )

força daz área de Elemento Componente

(5.121) dφ dθ θ senR θ cos |P- = F 2R=r

π=θ

=0θ

2π=φ

=0φn ∫∫

(5.122) dφ dθ θ senR θ cos θ cos Rv μ

23 -z g ρ - P- = F 2

o

π=θ

=0θ

2π=φ

=0φn ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞∫∫

(5.123) V R μ π 2 + g ρ R π 34 = F 3

n ∞

R sen θ

R sen θ dφ

R dθ

183

Nessa equação, o primeiro termo do lado direito corresponde ao empuxo e o

segundo termo é uma força de arraste, denominada arraste de forma.

Em cada ponto da superfície existe também a tensão de cisalhamento atuando

tangencialmente . A componente z dessa força é dada por:

Substituindo a relação τrθ (equação (5.117)), obtém-se:

Integrando obtém-se:

Essa força é denominada arraste por fricção.

Assim, a força total exercida pelo fluido sobre a esfera é dada por :

ou finalmente:

É comum se designar os dois termos do lado direito da equação acima da seguinte

maneira:

( )

força daz área de Elemento Componente

(5.124) dφ dθ θ senR θ sen|Τ = F 2R=rrθ

π=θ

=0θ

2π=φ

=0φt ∫∫

(5.125) dφ dθ θ senR θ senθ senRv μ

23 = F 2

π=θ

=0θ

2π=φ

=0φt ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞∫∫

)(5.126 v R μ π 4 = F t ∞

)(5.127 V R μ π 4 + V R μ π 2 + g ρ R π 34 = F + F 3

tn ∞∞

)(5.128 V R μ π 6 + g ρ R π 34 = F + F 3

tn ∞

(5.129) g ρ R π 34 = F 3

s

184

Essa é a força que seria exercida mesmo se o fluido não estivesse em movimento

(força de empuxo).

Essa força surge devido ao movimento do fluido. A equação (5.130) é conhecida

como lei de Stokes e é válida para número de Reynolds inferior a 1.

Exemplo: Desenvolver uma relação que permita avaliar a viscosidade de um fluido

medindo a velocidade de queda de uma esfera nesse fluido, quando se atinge o estado

estacionário. Assumir regime laminar.

Solução: Deixando-se uma esfera cair dentro de um líquido a partir do repouso, ela vai

acelerar até atingir uma velocidade constante (velocidade terminal). Quando este

estágio é atingido, a soma das forças atuando na esfera é zero. A força da gravidade

atua no sólido no sentido da queda enquanto o empuxo e o arraste atuam na direção

oposta, conforme é visto na figura a seguir.

(5.130) V R μ π 6 = F k ∞

4 π R ρ g3 s

3

Peso

4 π R ρ g3

3

Empuxo6 π μ R voo

Esfera

185

Como o somatório de forças é nulo, tem-se:

onde ρs é a densidade do sólido e Vt é a velocidade terminal da esfera.

Desse modo, a viscosidade do fluido é dada por:

Conforme já mencionado anteriormente, a relação acima é válida para Re < 1.

5.4.6. Camada limite

A figura 5.8 mostra o perfil de velocidade de um fluido escoando paralelamente a

uma placa plana.

Figura 5.8 - Perfil de velocidade para fluxo paralelo a uma placa plana

V R μ π 6 + g ρ R π 34 = g ρ R π 3

4 = Peso t3

s3

V 9g ρ) - ρ( R 2

= μt

s2

Placa

Superfície dacamada limiteFluido escoando

com velocidade

186

Antes de atingir a placa, o fluido possui velocidade uniforme v∞. Depois do início

da placa, observa-se que a velocidade cresce de zero junto à parede para valores

próximos de v∞ a uma distância δ da parede. A região na qual vx / v∞ é ≤ 0,99 é

denominada camada limite.

O lugar geométrico dos pontos onde vx/ v∞ = 0,99 é δ, e é definido como espessura

da camada limite. No início da placa (x = 0), δ é igual a zero, crescendo

progressivamente à medida que se caminha para valores mais elevados de x.

Sempre que problemas desse tipo aparecem: escoamento de um fluido em

contato com um sólido estacionário, os efeitos viscosos (de fricção) são sentidos

apenas no fluido perto do sólido, isto é: y < δ. É claro que é nessa região que o

comportamento do fluido deve ser analisado, uma vez que para y > δ, vx é

essencialmente uniforme, constante e igual a v∞.

A observação da figura 5.8 permite constatar que vx é função de y e a

determinação dessa função é a parte principal do problema, pois ela descreverá como

o sólido e o fluido interagem mutuamente. Entretanto vx depende também de x. Isso

resulta do fato de que à medida que o fluido caminha sobre a placa, ele sofre um

retardamento devido à fricção. Desse modo, ∂vx/∂x não é zero. Assim as equações da

continuidade e do movimento para o sistema mostrado na figura 5.8, considerando

estado estacionário e fluido de densidade e viscosidade constantes são:


- Equações do movimento:

- Componente x:

(5.131) 0 = yv +

xv yx

∂∂

∂∂

187

- Componente y:

As equações acima foram resolvidas considerando que vy é pequena comparada

com vx e que o gradiente de vx na direção y é bem maior que na direção x. Na direção

x, foi assumido também que a componente convectiva do transporte de quantidade de

movimento é bem maior que a componente associada à difusão.

As condições de contorno consideradas foram:

As equações de (5.131) a (5.133) foram resolvidas analiticamente por Bird,

Stewart e Lightfoot (1960), fornecendo as posições onde vx/ v∞ = 0,99. Os resultados

são expressos em termos da velocidade v∞, da posição ao longo da placa e da

viscosidade cinemática do fluido. A relação obtida foi:

Dividindo ambos os lados por x, a equação (5.134) se torna adimensional :

(5.132) xP -

yv +

xv μ =

yv v +

xv v ρ 2

x2

2x

2x

yx

x ∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

(5.133) g ρ + yP -

yv +

xv μ =

yv v +

xv v ρ y2

y2

2y

2y

yy

x ∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

0 = v v = v :y c)

0 = v 0 = v :0 =y b)

0 = v v = v :0 = x a)

yx

yx

yx

∞

∞

∞→

(5.134) x v ρμ 5.0 =δ 1/2

1/2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∞

(5.135) x v ρ

μ 5.0 = xδ

1/2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∞

188

Lembrando da definição do número de Reynolds, tem-se:

onde o número de Reynolds é avaliado para cada posição x (a posição x é usada como

o comprimento característico na definição do número de Reynolds).

A espessura da camada limite fornece uma medida da região do fluido que é

afetada pela presença da placa. Nessa região, os efeitos da viscosidade (e da fricção)

são mais significativos. Fora dessa região, a velocidade do fluido é praticamente

uniforme e os efeitos da viscosidade desprezíveis. Pela relação (5.136) observa-se que

a espessura da camada limite tende a ficar menor quando se aumenta o número de

Reynolds.

5.4.7. Escoamento não estacionário em um tubo circular

Nesse item será vista a solução de um problema de escoamento não-estacionário,

no qual as velocidades variam com o tempo. Assim será estudado o seguinte problema:

um fluido de densidade e viscosidade constantes está contido dentro de um longo tubo

horizontal de comprimento L e o raio R. Inicialmente, o fluido está em repouso. Em um

tempo t=0, o sistema é submetido a um gradiente de pressão (P0 - PL)/L. Interessa-se

em determinar como os perfis de velocidade do fluido vão variar em função do tempo.

Obviamente, para solução desse sistema, é mais prático o uso de coordenadas

cilíndricas. Será considerado também que vr = vθ = 0.

Logo: vz = vz (r, t). assim, pela equação da continuidade e do movimento tem-se:


( ) (5.136) Re 5.0 = xδ

x1/2-

189

- Equação do movimento, componente z:

As condições inicial e de contorno para solução desse problema são:

A equação (5.138), submetida às condições iniciais e de contorno acima, foi

resolvida usando séries de potências. Os resultados são apresentados na figura 5.9,

onde se tem um gráfico dos perfis de velocidade adimensional ao longo do raio do tubo

para diversos tempos.

Os problemas bi e tridimensionais no estado estacionário ou transiente são

normalmente resolvidos por métodos numéricos, uma vez que a maioria deles não

apresenta solução analítica. Existe uma série de programas de computador

desenvolvidos com essa finalidade, onde se deve definir apenas a geometria e as

condições de contorno do problema e obtém-se os perfis de velocidade e pressão no

sistema.

(5.137) 0 = zvz

∂∂

(5.138) rv r

r

r1 μ +

LP - P =

tv ρ zLoz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

0 = r para finito = rv 0 > t b)

R = r para 0 = v 0 > t a)

:contorno de Condição

R r 0 para 0 = v 0 = t :inicial Condição

z

z

z

∂∂

≤≤

190

Figura 5.9 - Perfis de velocidade para o escoamento não-estacionário dentro de um

tubo circular (Bird, Stewart e Lightfoot, 1960)

Centro do tuboParede do tubo

191


H. Lamb. Hydrodynamics. New York, 1945

R. B. Bird; W. E. Stewart; E. N. Lightfoot. Transport Phenomena. New York. John Wiley

& Sons, 1960.

192

APÊNDICE

Tabela 5.1- Equações da continuidade e do movimento em coordenadas retangulares.

Continuidade:

Movimento: Em termos das tensões de cisalhamento

- componente x:

- componente y:

- componente z:

0 = )v ( z

+ )v ( y

+ )v ( x

+ t zyx ρρρρ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g + xP -

z +

y +

x - =

zv v +

yv v +

xv v +

tv x

zxyxxxxz

xy

xx

x ρτττρ∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂∂

∂⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

g + yP -

z +

y +

x - =

zv v +

yv

v + xv v +

tv y

zyyyxyyz

yy

yx

y ρτττρ∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂

∂∂

∂∂

g + zP -

z +

y +

x - =

zv v +

yv v +

xv v +

tv z

zzyzxzzz

zy

zx

z ρτττρ∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂∂

∂⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

193

Tabela 5.2- Tensões normais e de cisalhamento para um fluido Newtoniano.

Coordenadas retangulares.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zv +

yv +

xv

32 +

xv 2 - = zyxx

xx μμτ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zv +

yv +

xv

32 +

yv 2 - = zyxy

yy μμτ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zv +

yv +

xv

32 +

zv 2 - = zyxz

zz μμτ

xv +

yv μ - = = yx

xyyx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

ττ

zv +

yv μ - = = yz

zyyz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

ττ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

xv +

zv μ - = = zx

xzzx ττ

194

Tabela 5.3- Equações do movimento em termos dos gradientes de velocidade para

um fluido Newtoniano de densidade e viscosidade constantes.

Coordenadas retangulares.

- componente x:

- componente y:

- componente z:

g + xP -

zv +

yv +

xv =

zv v +

yv v +

xv v +

tv x2

x2

2x

2

2x

2x

zx

yx

xx ρμρ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

g + yP -

zv +

yv +

xv =

zv v +

yv

v + xv v +

tv y2

y2

2y

2

2y

2y

zy

yy

xy ρμρ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂

∂∂

∂∂

g + zP -

zv +

yv +

xv =

zv v +

yv v +

xv v +

tv z2

z2

2z

2

2z

2z

zz

yz

xz ρμρ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

195

Tabela 5.4- Equações da continuidade e do movimento em coordenadas cilíndricas

Continuidade:


- componente r:

- componente θ:

- componente z:

0 = )v ( z

+ )v ( r1 + )v r (

r

r1 +

t zr ρρθ

ρρθ ∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

g + rP -

z +

r -

r1 +

r)(r

r1 - =

zv v +

rv - v

rv +

rv v +

tv r

zrrrrrz

2rr

rr ρττ

θττ

θρ θθθθθ

∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g + P r1 -

z +

r1 +

r)r(

r1 - =

zv v +

rv v + v

rv +

rv v +

tv zr

2

2zr

r θθθθθθθθθθθ ρ

θτ

θττ

θρ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂∂

∂⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g + zP -

z +

r1 +

r) (r

r1 - =

zv v + v

rv +

rv v +

tv z

zzzrzzz

zzr

z ρτθττ

θρ θθ

∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

196

Tabela 5.5- Tensões normais e de cisalhamento para Fluido Newtoniano.

Coordenadas cilíndricas.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •Δ

∂∂ v)(

32 -

zv 2 - = z

zz μτ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

zv +

rv - = = rz

zrrz μττ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

θμττ θ

θθv

r1 +

zv - = = z

zz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

θμττ θ

θθv

r1 +

rv

r r - = = r

rr

zv + v

r1 + )v (r

rr1 = v)( z

r ∂∂

∂∂

∂∂

•Δθ

θ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •Δ

∂∂ v)(

32 -

rv 2 - = r

rr μτ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡•Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂ v)(

32 -

rvv

r1 2 - = r

θμτ θ

θθ

197

Tabela 5.6- Equações do Movimento em termos dos gradientes de velocidade para


Coordenadas cilíndricas.

- componente r:

- componente θ:

- componente z:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zv + v

r2 - v

r1 +

r)v(r

r1

r +

+ g + rP - =

zv v +

rv - v

rv +

rv v +

tv

2r

2

22r

2

2r

rr

z

2rr

rr

θθμ

ρθ

ρ

θ

θθ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zv + v

r2 + v

r1 +

r)v(r

r1

r +

g + P r1 - =

zv v +

rv v + v

rv +

rv v +

tv

2

2r

22

2

2

zr

r

θθθ

θθθθθθθ

θθμ

ρθθ

ρ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zv + v

r1 +

rv r

r

r1 +

+ g + zP - =

zv v + v

rv +

rv v +

tv

2z

2

2z

2

2z

zz

zzz

rz

θμ

ρθ

ρ θ

198

Tabela 5.7- Equações da continuidade e do movimento em coordenadas esféricas

Continuidade:


- componente r:

- componente θ:

- componente φ:

0 = )v ( senr

1 + ) senv ( senr

1 + )v r ( r

r1 +

t r2

2 φθ ρφθ

θρθθ

ρρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g + rP -

r +

- senr

1 + )sen( senr

1 +) r( r

r1 -

= v senr

v + r

v + v - v rv +

rv v +

tv

rr

rrr2

2

r22

rrr

r

ρττ

φτ

θθτ

θθτ

φθθρ

φφθθφθ

φφθθ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g + P r1 -

r cot -

r +

senr1 + ) sen(

senr1 +) r(

r

r1 -

= rv v + v

senrv +

r cot v - v

rv +

rv v +

tv

rr

22

r2

r

θφφθθφ

θθθ

θθφφθθθθ

ρθ

τθτφ

τθ

θτθθ

τ

φθθ

θρ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂∂

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g + P senr

1 - r

cot 2 + r

+ senr

1 + r1 + ) r(

r

r1 -

= cot rv v +

rv v + v

senrv + v

rv +

rv v +

tv

rr

22

rr

φθφφφφθφ

φ

φθφφφφθφφ

ρφθ

τθτ

φτ

θθτ

τ

θφθθ

ρ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

199

Tabela 5.8- Tensões normais e de cisalhamento para um fluido Newtoniano.

Coordenadas esféricas.

φθθ

θθφ

θ ∂∂

∂∂

∂∂

•Δ v senr

1 + ) senv( rsen

1 + )v r(rr

1 = v)( r2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

rv

r r + v

senr1 - = = r

rrφ

φφ φθμττ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •Δ

∂∂ v)(

32 -

rv 2 - = r

rr μτ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

φθθθθμττ θφ

θφφθv

senr1 +

senv

r sen - = =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡•Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

v)( 32 -

r v +

rv + v

senr1 2 - = r θ

φθμτ θφ

φφcot

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

θμττ θ

θθv

r1 +

rv

r r - = = r

rr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡•Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂ v)(

32 -

rvv

r1 2 - = r

θμτ θ

θθ

200

Tabela 5.9- Equações do movimento em termos dos gradientes de velocidade para


Coordenadas esféricas.

- componente r:

- componente θ:

- componente φ:

g + rP - v

senr2 - cot v

r2 - v

r2 - v

r2 - v -

= v senr

v + r

v + v - v rv +

rv v +

tv

r222r2r2

r22

rrr

r

ρφθ

θθ

μ

φθθρ

φθ

θ

φφθθ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

Δ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g + P r1 - v

sen cos

r2 -

sen rv - v

r2 + v -

= rv v + v

senrv +

r cot v - v

rv +

rv v +

tv

2222r

22

r2

r

θφθ

θ

θθφφθθθθ

ρθφθ

θθθ

μ

φθθ

θρ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

Δ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g + P senr

1 - v sen cos

r2 + v

senr2 +

sen rv - v -

= cot rv v +

rv v + v

senrv + v overrv +

rv v +

tv

22r

2222

rr

φθφ

φ

φθφφφφθ

φφ

ρφθφθ

θφθθ

μ

θφθθ

ρ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∇φθθ

θθθ 2

2

2222

22

sen r1 + sen

senr1 +

r r

r

r1 =

201

EXERCÍCIOS

1- Calcular o torque e a potência necessária para girar o cilindro conforme mostrado na

figura abaixo. O comprimento do cilindro é 0,0508 m e ele está girando a 200 rpm.

O lubrificante que separa o cilindro da parte fixa possui uma viscosidade de 2 P e

sua densidade é 800,92 kg/m3.

2- O viscosímetro Stromer consiste essencialmente de dois cilindros concêntricos,

sendo que o interno gira e o externo permanece estacionário. A viscosidade é

determinada medindo-se a velocidade de rotação do cilindro interno sob a aplicação

de um torque conhecido. Desenvolver uma expressão para a distribuição de

velocidade como função do torque aplicado, para escoamento de um líquido

Newtoniano.

3- Determinar vθ (r) entre dois cilindros coaxiais de raios R e kR girando com

velocidades angulares Ω0 e Ω1, respectivamente. Considerar que o espaço entre dois

2 in

0,002 in

Lubrificante

202

cilindros é preenchido com um fluido isotérmico e incompressível em escoamento

laminar. Assumir estado estacionário.

4- Aço líquido a 1600ºC é desoxidado pela adição de alumínio que forma alumina

(Al2O3 ). Pode-se obter melhor qualidade do aço, se as partículas de alumina que

foram formadas flutuarem até a superfície do banho. Determinar o menor tamanho

de partícula que atinge a superfície, dois minutos após a desoxidação, considerando

que a altura do banho é de 1,5m.

Dados :

ρaço = 7100 kg/m3;

ρAl2O3 = 3000 kg/m3.

Verificar a validade do cálculo e comentar.

5- Um arame é resfriado depois de um tratamento térmico passando através de um tubo

que está imerso em um tanque de óleo. Obter a distribuição de velocidade do óleo na

região do tubo, usando as equações da continuidade e do movimento. Considerar

estado estacionário. O sistema é visto na figura abaixo. A pressão do óleo no interior

do tanque é uniforme.

Reservatório de óleo

Arame

L

203

6- a- Um óleo pesado com viscosidade cinemática igual a 3,45x10-4 m2/s está em

repouso em um longo tubo vertical com raio de 0,7 cm. Repentinamente deixa-se

o fluido escoar pela parte de baixo devido à gravidade. Depois de quanto tempo

a velocidade no centro do tubo é equivalente a 90 % de seu valor final?

b- Qual seria o resultado se o óleo fosse substituído por água a 20 oC (υ = 0,01

cm2/s). Usar a figura 5.9 para obter as respostas.

7- Um fluido está sendo injetado em um reservatório onde sofrerá um processo de

purificação. A geometria do sistema é mostrada na figura abaixo. Usando as

equações gerais da continuidade e do movimento, obtenha as equações diferenciais

que regem o escoamento do fluido neste sistema. Justifique as simplificações feitas.

Enuncie as condições de contorno necessárias para a solução das equações.

Restrinja a sua análise à região definida por: 0 < x < L e 0 < z < H. Explique as

condições de contorno. Considerar estado estacionário e fluido de densidade e

viscosidade constantes. As velocidades de entrada e saída do reservatório são

uniformes.

z

x

x = 0 x = L

z = 0

z = H

x = a x = b

V

Pressão P

Fluido

Parede

Parede

Pressão Ps e

204

6 - ESCOAMENTO TURBULENTO E RESULTADOS

EXPERIMENTAIS

Nos capítulos anteriores, apenas problemas de escoamento laminar foram

abordados. Naqueles casos, a equação diferencial que descrevia o escoamento era

conhecida e os perfis de velocidade e outros parâmetros de importância podiam ser

determinados para sistemas simples. A única limitação que aparecia estava relacionada

com a complexidade matemática quando se tinha situações onde várias componentes

de velocidade estavam presentes.

Entretanto, um grande número de problemas de engenharia envolve escoamento

turbulento. Apesar das equações da continuidade e do movimento continuarem sendo

válidas, a existência de flutuações de velocidade com freqüências extremamente

elevadas (figura 4.2) dificulta a abordagem do problema de maneira similar à que foi

feita no Capítulo 5. A quantificação destas flutuações exigiria recursos computacionais

bem acima da capacidade que se tem disponível hoje, mesmo com todos os avanços

que têm ocorrido nesta área. Desse modo, para problemas que envolvem turbulência,

é mais comum se tentar outros tipos de abordagem: uma delas é a abordagem

empírica.

Neste capítulo será feito um estudo do escoamento turbulento, através de uma

abordagem que permitirá contornar a sua grande complexidade matemática. Antes de

se desenvolver esta abordagem, serão apresentados alguns fundamentos dos modelos

de turbulência que têm sido propostos, visando determinar perfis de velocidade no

regime turbulento de modo semelhante o que foi feito para o escoamento laminar.

205

6.1- Introdução

No Capítulo 4 foi visto que a transição do regime de escoamento laminar para o

turbulento é determinada experimentalmente e varia de acordo com configuração do

sistema em análise. Normalmente, o critério para se saber o tipo de escoamento que

prevalece no fluido é estipulado através de uma grandeza adimensional denominada

número de Reynolds. Para o caso de escoamento em tubos, o número de Reynolds é

avaliado através da seguinte equação:

onde:

D = diâmetro do tubo;

= velocidade média do fluido no tubo;

ρ = densidade do fluido;

μ = viscosidade dinâmica do fluido.

O valor do número de Reynolds para o qual ocorre a transição de escoamento

laminar para turbulento em tubos é de aproximadamente 2100. Esse número foi

determinado empiricamente. Sistemas com outras configurações apresentam transição

de regime laminar para turbulento em outros valores de números de Reynolds.

Para se poder ter uma idéia de como na prática industrial predomina o

escoamento turbulento, considere-se o exemplo do processo de lingotamento contínuo,

onde aço líquido é alimentado em um molde de cobre refrigerado com água. Essa

alimentação é feita através de um tubo refratário, denominado válvula submersa.

(6.1) μρ V D = Re

V

206

Considerando que esta máquina produza placas com dimensões de 1,2 x 0,25 m,

com uma velocidade de lingotamento de 1 m/min, pode-se avaliar a vazão volumétrica

de aço na válvula submersa. Essa vazão será tal que permitirá manter constante o nível

de aço no molde. Desse modo, a vazão através da válvula corresponderá à vazão de

aço sendo produzido na forma de placas.

Essa vazão é dada por:

Considerando que a válvula submersa tenha um diâmetro de 70 mm, pode-se

avaliar a velocidade média do aço no seu interior e, a partir desta velocidade, estimar

o número de Reynolds. Tem-se:

Sabe-se que para uma válvula, o número de Reynolds será dado por:

Usando as propriedades do aço líquido:

ρ = 6700 kg/m3;

μ = 0,0065 Pa.s;

obtém-se o seguinte valor para o número de Reynolds:

Pelo valor acima, constata-se que o escoamento no interior da válvula se dá com

sm 0,0042 =

minm 0,25 =

minm 1 x m 0,25 x m 1 = aço de Vazão

33

m/s 1,083 =

4)(0,070 π

0,0042 =

4d π

0,0042 = A

Q = aço do Velocidade22

válvulaválvula⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

μρ V d = Re válvula

78.142 = 0,0065

6700 x 1,083 x 0,070 = μ

ρ V d = Re válvula

207

um número de Reynolds bem acima do que caracteriza a transição de regime laminar

para turbulento. Logo, o escoamento na válvula é turbulento. Se este mesmo exemplo

fosse repetido para outros sistemas de interesse do metalurgista, constatar-se-ia que

na grande maioria dos predominam regimes turbulentos.

No Capítulo 4 foi visto que, para o escoamento laminar em tubo, a distribuição de

velocidades e a relação entre as velocidades média e máxima são dadas por:

onde vz,máxima corresponde à velocidade no centro do tubo e R é o seu raio.

Foi visto também que a queda de pressão é diretamente proporcional à vazão

volumétrica (equação (4.124)).

Para escoamento turbulento, tem sido mostrado experimentalmente que o perfil

de velocidades e a relação das velocidades média e máxima são dados por:

A velocidade média referida acima é obtida considerando-se as flutuações de

velocidade com o tempo. Essas expressões são válidas para números de Reynolds na

faixa de 104 a 105. Nessa faixa do número de Reynolds, a queda de pressão é

(6.3) 21 =

vv

(6.2) Rr - 1 =

vv

xima máz,

z

2

máximaz,

z

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(6.5) 54 =

vv

(6.4) Rr - 1 =

vv

máximaz,

z

71

xima máz,

z

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

208

proporcional à vazão volumétrica elevada a 7/4. Uma comparação entre os perfis de

velocidade para escoamento laminar e turbulento é apresentada na figura 6.1.

Figura 6.1 - Comparação qualitativa entre as distribuições de velocidade nos

escoamentos laminar e turbulento (Bird, Stewart e Lighfoot, 1960)

Nota-se claramente na figura 6.1, a transformação de um perfil parabólico,

característico do escoamento laminar, para um perfil mais achatado, no caso do

escoamento turbulento. Nesse último, as variações de velocidade concentram-se na

região próxima à parede do tubo. Na sua parte central, as velocidades são praticamente

uniformes. Para o escoamento turbulento, como visto na equação (6.5), os valores de

velocidade média e máxima são bastante próximos e tendem a ficar cada vez mais

próximos, quanto mais elevado é o número de Reynolds. Isso também pode ser

Turb

ulen

to

Centro do tubo Parede

Posição radial

209

observado na figura 6.1.

De um modo geral, os problemas que envolvem escoamento turbulento têm sido

tratados através de duas abordagens. Uma delas, bastante mais elaborada do ponto

de vista matemático, consiste em se utilizar modelos de turbulência para se determinar

os perfis de velocidade do fluido no sistema em análise. A partir deste perfil, são

deduzidas outras grandezas de importância. Esse tipo de tratamento é de uso bastante

difundido em problemas de projeto de novas instalações, protótipos e até na área de

previsão do tempo. Uma outra abordagem consiste no uso de resultados experimentais,

onde as quantidades de interesse são obtidas empiricamente. Neste caso, busca-se,

a partir das experiências, obter relações matemáticas que sejam úteis na determinação

das grandezas que caracterizem o escoamento. Esta segunda abordagem é bem mais

simples que a anterior e é normalmente denominada abordagem de engenharia. A

maior parte dos problemas que aparecem no dia-a-dia do engenheiro, que lida com

escoamento de fluidos, pode ser tratada através desta segunda abordagem.

No próximo item será feita uma apresentação sucinta da primeira abordagem,

enfatizando os fundamentos dos modelos de turbulência e os resultados que são

normalmente obtidos com seu uso.

6.2- Modelos de Turbulência

Vários modelos de turbulência têm sido propostos ao longo do tempo. Uma

característica básica e comum a todos estes modelos é a de trabalhar com uma

velocidade suavizada com o tempo (time-smoothed velocity). Esta velocidade é

determinada através de uma média das velocidades instantâneas, avaliada ao longo de

210

um dado período de tempo. Este intervalo de tempo é grande, quando comparado com

o tempo associado às flutuações de velocidade, mas pequeno em relação às variações

com o tempo, que ocorrem em virtude de uma alteração na queda de pressão no

sistema, por exemplo.

A definição desta velocidade suavizada é vista graficamente na figura 6.2 e

expressa matematicamente através da equação:

onde to é o intervalo de tempo usado para se fazer a integração e vz é o valor

instantâneo da velocidade.

Os valores instantâneos da velocidade podem, então, ser escritos como uma

soma da velocidade suavizada e de uma flutuação de velocidade:

onde vz/ é a flutuação de velocidade.

Figura 6.2 - Oscilação de uma componente de velocidade em torno de um valor médio

(Guthrie, 1993)

(6.6) dt v t1 = v z

t+t

toz

o

∫

(6.7) v + v = v /zzz

Oscilação da velocidade

Valor médio

211

Expressões similares às equações (6.6) e (6.7) podem ser escritas para as outras

componentes de velocidade e para a pressão, que também sofre flutuações no

escoamento turbulento.

Pela definição de flutuação da velocidade, pode-se constatar que:

ou seja, a média das flutuações de velocidade ao longo de um dado intervalo de tempo

é nula. Entretanto, a média dos quadrados das flutuações não será nula:

Na realidade, é comum se utilizar a relação:

como uma forma de quantificar a intensidade de turbulência. Para escoamento em

tubos, o valor do parâmetro acima varia usualmente entre 0,01 e 0,10 (Bird, Stewart e

Lighfoot, 1960).

6.2.1- Equações da continuidade e do movimento suavizadas

Usando a equação (6.7), pode-se rescrever as equações da continuidade e do

movimento, em termos das velocidades suavizadas. Estas novas equações são, então,

resolvidas para se determinar os perfis de velocidade.

(6.8) 0 = dt v t1 = v /

z

t+t

to

/z

o

∫

(6.9) 0 dt )v( t1 = v 2/

z

t+t

to

/2z

o

≠∫

(6.10) vv

z

/2z

212

6.2.1.1- Equação da continuidade suavizada

Considerando um fluido com densidade constante e em regime estacionário, pode-

se escrever a equação da continuidade da seguinte forma:

Introduzindo a definição dada pela equação (6.7) (e as suas formas similares para

as outras componentes de velocidade), obtém-se:

Pode-se, então, fazer a média da equação acima ao longo de um intervalo to, de

modo análogo ao que se fez com a velocidade (equação (6.7)). Esse procedimento

corresponde a uma suavização (time-smoothing) da equação da continuidade. Através

deste procedimento e usando a equação (6.8), obtém-se que:

Essa equação é absolutamente idêntica à equação da continuidade deduzida no

Capítulo 5, mas escrita em função das velocidades suavizadas.

6.2.1.2- Equação do movimento suavizada

Um procedimento análogo ao adotado no item anterior pode ser aplicado para se

obter as equações do movimento suavizadas.

(6.11) 0 = )v( z

+ )v( y

+ )v( x zyx ∂

∂∂∂

∂∂

(6.12) 0 = ) v + v( z

+ ) v + v( y

+ ) v + v( x

/zz

/yy

/xx ∂

∂∂∂

∂∂

)(6.13 0 = )v( z

+ )v( y

+ )v( x zyx ∂

∂∂∂

∂∂

213

O desenvolvimento a seguir será feito para a componente x da velocidade, mas

procedimentos similares podem ser aplicados para as outras componentes.

Considerando um fluido com viscosidade constante, tem-se a seguinte equação

do movimento para a componente x da velocidade:

Novamente usando a definição da velocidade instantânea (equação (6.7)), pode-

se escrever a equação acima na seguinte forma:

A equação acima pode ser suavizada tirando-se uma média ao longo de um

intervalo to. Usando-se as equações (6.8) e (6.9), obtém-se:

A equação acima é similar à equação (6.14); entretanto, aparecem os três novos

termos adicionais destacados no retângulo. Estes termos estão associados às

flutuações de velocidade, características do escoamento turbulento.

Por conveniência, é comum se introduzir a seguinte notação:

)(6.14 g ρ + xP - v μ + )v v (ρ

z - )v v (ρ

y - )v v (ρ

x - =

t)v (ρ

xx2

xzxyxxx

∂∂

∇∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

5)(6.1 g ρ + )P + P(x

- )v + v( μ +)] v + v)(v + v([z

-

- )v + v)(v + v([y

-)] v + v)(v + v( [ρx

- = t

)]v + v( [ρ

x//

xx2/

xx/zz

/xx

/yy

/xx

/xx

/xx

∂∂

∇∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ

ρ

(6.16) )v v (ρz

- )v v (ρy

- )v v (ρx

-

- g ρ + xP - v μ +)v v (ρ

z - )v v (ρ

y - )v v (ρ

x - =

t)v (ρ

/x

/z

/x

/y

/x

/x

xx2

xzxyxxx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∇∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

214

Estes termos correspondem aos fluxos de quantidade de movimento turbulento,

que são normalmente denominados tensões de Reynolds (lembrar que todos os termos

na equação (6.16) têm dimensão de fluxo de quantidade de movimento ou tensão).

Os temos adicionais da equação (6.16) é que criam toda a dificuldade de se resolver

as equações do movimento no escoamento turbulento. Para se avaliar estes termos,

têm sido propostos diferentes modelos de turbulência. Até hoje, não surgiu um modelo

que seja de aplicação universal; entretanto, com os modelos já desenvolvidos tem-se

conseguido respostas adequadas a uma série de problemas de interesse prático.

Uma das primeiras propostas para avaliação dos fluxos de quantidade de

movimento turbulento foi feita por Boussinesq (Bird, Stewart e Lightfoot, 1960).

Adotando uma analogia com a equação de Newton da viscosidade, foi sugerido que

fosse avaliada através da seguinte equação:

onde μ(t) é a viscosidade turbulenta. Expressões similares para as outras tensões

podem ser definidas.

A viscosidade turbulenta não é uma propriedade do fluido e deve ser avaliada ou

estimada para cada sistema em particular.

Nota-se que a proposta de Boussinesq não resolve o problema de avaliação do

fluxo turbulento de quantidade de movimento, apenas o transforma em um outro

)(6.17 )v v (ρ = τ /x

/x

(t)xx

(6.18) )v v (ρ = τ /x

/y

(t)yx

(6.19) )v v (ρ = τ /x

/z

(t)zx

(6.20) yv μ - = τ

x(t)(t)yx ∂

∂

215

problema: o de determinar a viscosidade turbulenta μ(t).

O aspecto interessante dessa proposta é que ela faz com que a equação do

movimento para escoamento turbulento fique idêntica à equação para o regime laminar,

apenas substituindo a viscosidade molecular, μ, por uma viscosidade efetiva, μeff,

expressa pela soma das viscosidades molecular (ou laminar) e turbulenta:

Uma série de outras propostas para avaliação do fluxo turbulento de quantidade

de movimento foram feitas.

Dentre elas, pode-se citar (Bird, Stewart e Lighfoot, 1960):

- Proposta de Prandtl (comprimento de mistura):

onde l é o comprimento de mistura, avaliado em função da distância do ponto à parede.

- Proposta de von Kármán:

onde κ2 é uma constante igual a 0,36 (determinada a partir de medidas de perfis de

velocidade em tubos).

- Proposta de Deissler (empírica):

onde y é a distância da parede e n é uma constante avaliada empiricamente (0,124).

(6.21) μ + μ = μ (t)eff

(6.22) dyvd

dyvd l ρ - = τ

xx2(t)yx

(6.23) dyvd

)yd/vd()dy/vd( κ ρ - = τ

x22

x2

3x2

2(t)yx

(6.24) dyvd)

νy v n exp(- - 1 y v n ρ - = τ

xx2

x2(t)

yx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

216

Dentre estas propostas, a que tem sido mais utilizada é a de Boussinesq. Nesse

caso, uma série de abordagens tem sido desenvolvida para permitir a avaliação da

viscosidade turbulenta. Estas abordagens podem ser classificadas em três categorias

de acordo com o número de equações diferenciais adicionais que são usadas para

avaliação da viscosidade:

- Modelo de zero equação. Nesse caso, é estipulado um valor constante para a

viscosidade turbulenta no interior do sistema em estudo. A escolha do valor a ser

adotado é geralmente arbitrária e visa obter concordância entre valores previstos

pelo modelo matemático e valores experimentais. Este tipo de abordagem foi usado

inicialmente no modelamento de turbulência e funciona razoavelmente bem em

sistemas onde predomina o transporte de quantidade de movimento por convecção

(Guthrie, 1993);

- Modelo de uma equação. Nesse tipo de modelo, resolve-se uma equação diferencial

adicional (além das de conservação de massa e quantidade de movimento). É ainda

necessário especificar o valor de um parâmetro, denominado comprimento de

mistura, para se poder calcular a viscosidade turbulenta;

- Modelo de duas equações. Nesses modelos, empregam-se duas equações

diferenciais adicionais para se estimar a viscosidade turbulenta. Não é necessária

a especificação arbitrária de nenhum parâmetro. Nesta categoria, encontram-se os

populares modelos κ-ε (nas suas diversas formas), de emprego bastante difundido.

Estes modelos têm tido um sucesso bastante grande na previsão de características

de escoamentos turbulentos em várias áreas de aplicação, inclusive na metalurgia.

Entretanto, nenhum deles fornece resultados quantitativamente corretos em uma

faixa ampla de aplicações. Geralmente, há um tipo de modelo que funciona melhor

217

para um dado tipo de aplicação.

O modelo κ-ε proposto por Launder e Jones (1972) é um dos que tem fornecido

os melhores resultados em aplicações metalúrgicas. As figuras de 6.3 a 6.5 mostram

exemplos de perfis de velocidades obtidos com o uso destes modelos aplicados ao

processo RH de refino, aos distribuidores e aos moldes de lingotamento contínuo.

Figura 6. 3 - Perfil de velocidades no plano de simetria de um desgaseificador RH.

218

Figura 6. 4 – Perfil de velocidades em um distribuidor de lingotamento contínuo

(Tavares e Castro, 1999)

Figura 6.5 - Perfil de velocidades em um molde de lingotamento continuo (Huang e

Thomas (1996)

X

Y

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

a- Sem modificadores de fluxo

c- Com uma barragem

b- Com um dique

d- Com um dique e uma barragem

Válvula de alimentaçãoVálvula de alimentação Válvula de alimentação

219

A abordagem descrita acima é bastante trabalhosa e invariavelmente envolve o

uso de técnicas numéricas complexas e recursos computacionais, para solução das

equações diferenciais de conservação de massa e quantidade de movimento. Conforme

mencionado anteriormente, o uso desta abordagem é geralmente restrito a aplicações

mais elaboradas, nas quais a obtenção dos perfis de velocidade é absolutamente

essencial para a solução do problema.

Em muitos problemas de aplicação prática na engenharia, pode-se empregar

técnicas mais simples (do ponto de vista matemático), mas que conseguem fornecer

respostas adequadas. Este tipo de abordagem vai ser apresentado no próximo item.

6.3- Fatores de fricção

Muitos problemas de escoamento em engenharia caem em uma das categorias

abaixo:

- Escoamento em dutos ou canais (escoamento interno);

- Escoamento em torno de objetos (escoamento externo).

Para escoamento de fluidos em dutos ou canais, pode-se citar os seguintes

exemplos: bombeamento de petróleo em oleodutos, escoamento de água em canais

abertos e a extrusão de polímeros em matrizes. Exemplos de escoamento em torno de

objetos são: o movimento do ar em torno de um automóvel ou de uma asa de avião, o

movimento da água em torno de partículas sofrendo sedimentação (operações de

tratamento de minérios) ou o movimento de inclusões no aço líquido.

Em problemas de escoamento em canais ou dutos, geralmente se está

interessado em obter uma relação entre a queda de pressão e a gravidade e a vazão

220

volumétrica do fluido. Em problemas de escoamento em torno de objetos submersos

normalmente se quer saber a relação entra velocidade de aproximação do fluido e a

força de arraste do fluido sobre a partícula. Foi visto nos capítulos anteriores que,

quando se conhece as distribuições de velocidade e pressão em um dado sistema, as

informações mencionadas acima podem ser obtidas com relativa facilidade. Para

regimes turbulentos, a determinação dos perfis de velocidade implica em um esforço

muito grande. O tratamento que vai ser dado a seguir visa simplificar o tratamento

matemático do escoamento turbulento, mas ainda possibilitando responder as questões

mencionadas acima.

A resposta às questões listadas no parágrafo anterior envolve a avaliação da força

que atua na interface entre o fluido e o sólido, seja este a parede de um duto, ou canal,

ou a superfície de um corpo submerso no fluido.

Para ambos os sistemas de interesse (escoamento interno e externo), foi proposto

arbitrariamente que a força de fricção ou de atrito, atuando entre o fluido e o sólido em

contato com ele, fosse avaliada através da seguinte equação:

onde:

Fk = força de atrito entre o sólido e o fluido;

A = área característica;

K = energia cinética do fluido por unidade de volume;

f = fator de fricção.

Deve-se observar que a equação (6.25) não é uma lei de mecânica dos fluidos,

mas sim uma definição para o fator de fricção. Obviamente para um dado sistema, f não

está definido até que a área característica, A, seja especificada. A definição dessa área

(6.25) f K A = F k

221

varia de acordo com a configuração do sistema, escoamento interno ou externo.

6.3.1- Escoamento em dutos (interno)

Para escoamento em dutos, a área característica na equação (6.25) é a superfície

molhada (área da região em contato com o fluido). A energia cinética do fluido, por sua

vez, é avaliada em função da velocidade média do fluido. Dessa forma, para um tubo

cilíndrico de diâmetro D e comprimento L, a força de fricção pode ser estimada pela

seguinte equação:

onde:

π D L = área de contato fluido-sólido;

½ ρ V2 = energia cinética do fluido por unidade de volume.

A equação acima ainda não é útil para se calcular a força de fricção, pois não se

conhece o valor de f.

O fator de fricção é um parâmetro avaliado experimentalmente.

É bastante simples imaginar um aparato que permita a determinação experimental

do fator de fricção, f. A figura 6.6 mostra um exemplo de montagem que pode ser

empregada com esta finalidade.

(6.26) f )V ρ 21( L) D (π = F 2

k

222

Figura 6.6 - Montagem experimental para a avaliação do fator de fricção

Considerando que no sistema acima o escoamento do fluido esteja sendo causado

apenas pela diferença de pressão, e que o fluido esteja se deslocando com velocidade

constante, pode-se afirmar que o somatório de forças atuando no fluido é nulo (segunda

lei de Newton). Dessa forma, a seguinte expressão representando o balanço de forças

é valida:

Avaliando experimentalmente a diferença de pressão, P0 - PL, para uma dada

vazão de fluido (ou uma velocidade média) e medindo o diâmetro e o comprimento do

tubo, pode-se aplicar a equação (6.27) para se estimar o fator de fricção. Logicamente,

a densidade do fluido sendo utilizado na experiência deve ser conhecida.

A equação (6.27) pode ser colocada na seguinte forma, para facilitar o cálculo de

f:

Pressão P Pressão P0 L

z = 0 z = L

D

(6.27) f )V ρ 21( L) D (π = F = )P - P(

4D π

fluido e sólidoentre fricção de Força = pressão de diferença à associadaForça

2kL0

2

223

Com a equação (6.29) pode-se, então, calcular o valor de f a partir de medidas

experimentais da queda de pressão.

É interessante observar que quanto mais alto for o valor de f, mais intensa será

a força de fricção na interface sólido-fluido.

Certamente uma série de fatores deve afetar o valor de f. Para se determinar, de

modo quantitativo, os efeitos destes diversos fatores, um número muito elevado de

experimentos seria necessário. Para reduzir o número de experimentos, antes de se ir

para o laboratório, normalmente se desenvolve um tratamento denominado análise

dimensional. Existem várias maneiras de se proceder esta análise. A técnica que vai ser

apresentada aqui é baseada num teorema denominado Teorema π de Buckingham.

Este teorema (apresentado aqui sem demonstração) estabelece que é possível agrupar

as variáveis que afetam o valor de f em grupos adimensionais, que representam o

problema tão bem quanto as variáveis originais; entretanto, o número de grupos

adimensionais necessários é inferior ao de variáveis originais. Obviamente, a aplicação

da técnica de análise dimensional não é restrita ao caso de avaliação experimental de

fatores de fricção. Ela pode ser empregada em diversos campos da engenharia,

inclusive para estabelecimento de critérios de similaridade entre plantas industriais e

modelos físicos em escala de laboratório. Outros exemplos de aplicação da análise

dimensional são encontrados em Szekely e Themelis (1970).

(6.29) V ρD

L)P - P(

21 = f

(6.28) f = )V ρ 2

1( L) D (π

)P - P( 4D π

2

L0

2

L0

2

224

A seguir será apresentado o desenvolvimento de uma análise dimensional

(baseada no teorema π de Buckingham, aplicada à determinação de fatores de fricção

em tubos.

6.3.1.1- Análise dimensional

O primeiro passo no desenvolvimento de uma análise dimensional consiste em se

listar todas as variáveis que possivelmente afetam o valor do fator de fricção. Não existe

problema em listar mais variáveis do que as que realmente têm efeito. As experiências

vão determinar se isso de fato ocorre.

a) Listagem das variáveis

Na hora de listar as variáveis, o conhecimento sobre o sistema em análise ajuda

bastante, mas intuição e sentimento sobre o fenômeno em estudo são bastante úteis.

Suponha-se que foram, inicialmente, selecionadas as seguintes variáveis como

aquelas que afetam o valor do fator de fricção em tubos:

- variáveis: D, L, ρ, μ, e ε.

A variável ε acima corresponde à rugosidade do tubo. Este parâmetro depende

basicamente do material empregado na fabricação do tubo e dá uma idéia da sua

aspereza. Ela representa a altura média dos picos e profundidade média dos vales, que

podem ser vistos na superfície interna do tubo, quando esta é observada com algum

dispositivo que permite ampliá-la. O valor da rugosidade é normalmente determinado

através de um aparelho denominado perfilômetro. Na literatura especializada, é

bastante comum se encontrar valores de rugosidade para tubos de diferentes materiais.

V

225

A figura 6.7 mostra esquematicamente a definição da rugosidade.

Figura 6. 7 - Representação esquemática da rugosidade de um tubo

A tabela 6.1 apresenta alguns valores de rugosidade para materiais comumente

utilizados na fabricação de tubos.

Material Rugosidade (mm)

Aço comercial

Ferro galvanizado

Ferro fundido

Concreto

0,046

0,15

0,259

0,3-3

Listadas as variáveis, a próxima etapa consiste em determinar as suas dimensões.

b) Dimensão das variáveis

A partir do que foi apresentado no Capítulo 3, pode-se determinar as dimensões

Tubo

Vista ampliada da parede

Picos

Vales

Rugosidade - altura média de vales e picos

226

das variáveis listadas acima:

D [=] L;

L [=] L;

ρ [=] M L-3;

μ [=] M L-1 t-1;

[=] L t-1;

ε [=] L.

Nas dimensões acima, M designa massa, L designa comprimento (não confundir

com o comprimento do tubo) e t refere-se ao tempo.

Através da equação (6.29), determina-se a dimensão do fator de fricção. Tem-se:

Como se vê, f é uma grandeza adimensional.

c) Classificação das variáveis

Depois de determinadas as suas dimensões, as variáveis devem ser classificadas.

Essa classificação é feita de acordo com os grupos abaixo:

- variáveis geométricas;

- variáveis cinemáticas;

- variáveis dinâmicas.

A tabela 6.2 fornece uma lista de variáveis normalmente envolvidas em problemas

aladimension[=] )t L( )L(M

L L

)tL(M[=] f

(6.29) V ρD

L)P - P(

21 = f

2-23-

2-1-

2

L0

V

227

de Fenômenos de Transporte e a sua classificação, de acordo com as categorias

acima.

Nota-se que as variáveis que apresentam dimensões envolvidas apenas com

comprimento, são denominadas variáveis geométricas. As que apresentam dimensões

que envolvam a variável tempo, sem envolver massa, são as cinemáticas. Finalmente,

as variáveis que apresentam dimensões envolvendo massa, são definidas como

dinâmicas.

De acordo com esses critérios de classificação, tem-se:

- variáveis geométricas: D, L, ε;

- variáveis cinemáticas: ;

- variáveis dinâmicas: ρ e μ.

É interessante notar, que, de acordo com a lista de variáveis formulada, existem

6 variáveis independentes, D, L, ρ, μ, e ε (cujos valores podem ser selecionados na

hora de se fazer o experimento) e 1 variável dependente, f (cujo valor foge ao controle

de quem faz a experiência e que depende dos valores adotados para as variáveis

independentes).

V

V

228

Tabela 6.2- Classificação das diferentes variáveis.

Geométricas

Variável Símbolo Dimensão Unidade (S.I.)

Comprimento L L m

Área A L2 m2

Volume V L3 m3

Cinemáticas

Tempo t t s

Velocidade V L t-1 m/s

Viscosidade cinemática ν L2 t-1 m2/s

Vazão volumétrica Q L3 t-1 m3/s

Aceleração a L t-2 m/s2

Dinâmicas

Densidade ρ M L-3 kg/m3

Massa M M kg

Viscosidade dinâmica μ M L-1 t-1 kg/m.s

Vazão de massa Γ M t-1 kg/s

Quantidade de movimento - M L t-1 kg.m/s

Pressão p M L-1 t-2 N/m2

Tensão de cisalhamento τ M L-1 t-2 N/m2

Força F M L t-2 N

Energia E M L2 t-2 J

Potência P M L2 t-3 W

229

d) Seleção de variáveis

Para se desenvolver a análise dimensional propriamente dita, seleciona-se

inicialmente 3 variáveis independentes, que são denominadas variáveis básicas. O

número de variáveis básicas deve ser igual ao número de dimensões necessárias para

se expressar as grandezas das variáveis envolvidas no problema. No caso em estudo,

este número de dimensões é 3 (dimensões: M, L e t). Nessa seleção de variáveis, deve-

se ter uma variável de cada um dos grupos da tabela 6.1: geométricas, cinemáticas e

dinâmicas.

Um exemplo de seleção é:

- variável geométrica: D;

- variável cinemática: ;

- variável dinâmica: ρ.

É importante enfatizar que qualquer outra seleção, que obedecesse ao critério de

uma variável de cada grupo, atenderia às especificações para desenvolvimento da

análise dimensional.

e) Montagem dos grupos adimensionais

O número de grupos adimensionais que são necessários para se especificar o

problema é avaliado através da seguinte relação:

Existem 7 variáveis envolvidas (6 independentes e 1 dependente) e são 3 as

(6.30) básicas variáveis de Número -

- envolvidas variáveis de Número = aisadimension grupos de Número

V

230

variáveis básicas. Desse modo, o número de grupos adimensionais é:

Desse total, 3 grupos serão independentes e 1 será um grupo dependente.

Nesse ponto é interessante fazer um comentário sobre a grande redução de

número de experimentos necessários, que se obtém quando se faz a análise

dimensional. Inicialmente, tinha-se 6 variáveis independentes. Caso se decidisse

realizar as experiências adotando seis valores diferentes para cada uma destas

variáveis, o número de experimentos necessários para cobrir todas as possíveis

combinações de valores seria de 66 (46 656). Quando se emprega a análise

dimensional, o número de grupos adimensionais independentes, no caso em estudo,

é 3. Considerando novamente 6 valores diferentes para cada um destes grupos, seriam

necessários 36 (729) experimentos para cobrir todas as possíveis combinações. Há uma

redução de 64 vezes no número de experiências necessárias !! Esse é um dos grandes

benefícios da análise dimensional.

Os grupos adimensionais são montados usando-se as três variáveis básicas

selecionadas acima, combinadas com cada uma das variáveis restantes. Nestes

grupos, as variáveis básicas são elevadas a expoentes a se determinar, e as variáveis

que restaram são elevadas a um expoente unitário. Denominando genericamente os

grupos adimensionais como π, tem-se:

4 = 3 - 7 = aisadimension grupos de Número

(6.34) f ρ V D = π Grupo

(6.33) ε ρ V D = π Grupo

(6.32) L ρ V D = π Grupo

(6.31) μ ρ V D = π Grupo

qon4

jih3

fed2

cba1

231

Nas equações acima, a, b, c, d, e, f, h, i, j, n, o e q são os expoentes a serem

determinados. Estes expoentes são calculados de modo a fazer com que os grupos

acima sejam adimensionais.

Considerando-se inicialmente o primeiro grupo adimensional, pode-se substituir

as dimensões das variáveis nele envolvidas. Tem-se:

O grupo acima deve ser adimensional. Desse modo, a, b e c devem ser tais que

π1 não tenha dimensão de L, M e t, ou seja:

Igualando-se as equações (6.35) e (6.36), obtém-se um sistema de 3 equações

onde as incógnitas são os expoentes a, b e c. Tem-se:

A solução do sistema acima fornece:

(6.35) )tL(M )L(M )t (L L = π Grupo -1-1c-3b-1a1

(6.36) t M L = π Grupo 0001

0 = 1 - b - : t

0 = 1 + c : M

0 = 1 - c 3 - b + a : L

t M L = )tL(M )L(M )t (L L = π 000-1-1c-3b-1a1

1- = c

1- = b

1- = a

232

Com estes valores, obtém-se:

Comparando as equações (6.37) e (6.1), observa-se que o grupo π1 corresponde

ao inverso do número de Reynolds.

Por procedimento semelhante ao adotado acima para determinar os expoentes a,

b e c, pode-se determinar os outros expoentes que aparecem nos demais grupos

adimensionais. Os resultados são:

(Demonstre esses resultados como um exercício)

Com estes valores, obtém-se os seguintes grupos adimensionais:

O grupo π3 é normalmente conhecido como rugosidade relativa.

Os grupos independentes são π1, π2 e π3. O grupo π4 é o grupo dependente.

Desse modo, pode-se dizer que π4 é uma função de π1, π2 e π3, ou seja:

(6.37) ρ V D

μ = μ ρ V D = π Grupo 1-1-1-1

0 = q = o = n

0 =j = i 1- = h

0 = f = e 1- = d

(6.40) f = π Grupo

(6.39) Dε = π Grupo

(6.38) DL = π Grupo

4

3

2

(6.41) )Dε ,

DL ,(Re função = f

233

A função acima deve ser determinada experimentalmente.

Os primeiros resultados correlacionando as grandezas acima foram obtidos por

Moody (Bird, Stewart e Lightfoot, 1960), que os colocou na forma do diagrama visto na

figura 6.8.

Figura 6. 8 – Fator de fricção para tubos: Diagrama de Moody (Bird, Stewart e Lightfoot,

1960)

Pelo diagrama, contata-se que o fator de fricção é uma função do número de

Reynolds e da rugosidade relativa. O grupo L/D não apresentou efeito significativo no

seu valor. Isso é verdade para tubos com comprimentos cerca de 50 vezes maiores que

o diâmetro(1). Os tubos hidraulicamente lisos são aqueles que apresentam rugosidade

nula (ε = 0).

Mais recentemente, Haaland, citado por Gaskell (1992), conseguiu uma

Número de Reynolds

Fato

r de

fric

ção,

f

Laminar Transição Turbulento

Rug

osid

ade

rela

tiva,

ε/D

234

representação matemática dos resultados apresentados na figura 6.8. A função obtida

é:

A seguir serão resolvidos alguns exemplos de aplicação da equação acima, para

avaliação de queda de pressão necessária para se obter uma dada vazão de um fluido

em um tubo. Será visto também um procedimento que pode ser adotado para se

estimar a vazão do fluido para uma dada queda de pressão.

Exemplo- Estimar a queda de pressão necessária para se obter uma vazão de 0,25 l/s

em tubo horizontal de ferro galvanizado com 1,27 cm de diâmetro. O comprimento do

tubo é 6 m. O fluido sendo transportado é a água.

Propriedades da água: ρ = 1000 kg/m3 ; μ = 1 cP = 10-3 Pa.s.

Solução- Este exemplo pode ser resolvido desenvolvendo-se um balanço de forças para

o sistema em estudo, considerando que o fluido estará escoando com velocidade

constante.

Para um tubo horizontal, pode-se colocar o balanço de forças na seguinte forma:

Para obtenção do valor da diferença de pressão, é necessário avaliar a velocidade

média do fluido no tubo e o fator de fricção. Tem-se:

(6.42) Re6,9 +

3,7ε/D log 3,6- =

f1 1,11

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

f )V ρ 21( L) D (π = )P - P(

4D π

fluido e sólidoentre fricção de Força = pressão de diferença à associada Força

2L0

2

4D πQ =

AQ = V 2

235

Tem-se que:

Q = 0,25 l/s = 2,5 x 10-4 m3/s;

D = 1,27 cm = 0,0127 m

Logo:

Para determinar o fator de fricção deve-se calcular o número de Reynolds e a

rugosidade relativa. Pela tabela 6.1, tem-se para tubos de ferro galvanizados que:

ε = 0,15 mm = 1,5 x 10-4 m. Logo:

Com estes valores, pode-se determinar o valor de f usando a equação (6.42):

Voltando à equação para a queda de pressão, obtém-se:

sm/ 1,974 =

4)(0,0127 π

10 x 2,5 = V 2

-4

0,0118 = 0,0127

10 x 1,5 = Dε

25069,8 = (0,001)

(1000) (1,974) (0,0127) = μρ V D = Re

4-

0,0105 = f

25069,86,9 +

3,70,0118 log 3,6- =

f1 1,11

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Pa 6443,3 = (0.0105) (1,974) (1000) 0,0127

6 2 = f V ρ DL 2 = )P - P( 22

L0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

236

Em algumas situações, o valor de queda de pressão medida ao longo de uma tubulação

é utilizado para se estimar a vazão de fluido que escoa em seu interior. O exemplo a

seguir ilustra esta situação e mostra uma das possíveis abordagens que pode ser

adotada nestas circunstâncias.

Exemplo- Estimar a vazão do fluido em uma tubulação vertical, onde foi medida uma

diferença de pressão de 70000 Pa. O fluido está subindo e o comprimento do tubo é 6

m.

Dados: - propriedades da água: ρ = 1000 kg/m3 ; μ = 10-3 Pa.s.

- diâmetro do tubo: 0,0254 m;

- material do tubo: ferro fundido.

Solução- Inicialmente desenvolve-se um balanço de forças. Para um tubo vertical, com

o fluido subindo, pode-se colocar o balanço de forças na seguinte forma:

Nota-se que a diferença de pressão atua em sentido contrário às forças de fricção e da

gravidade.

Neste balanço de forças, os valores de V e de f são desconhecidos. Tem-se, portanto,

duas incógnitas e apenas uma equação. A outra equação necessária para solução do

problema é a expressão (6.42). Esta última equação relaciona f e Re (que está

relacionado com a velocidade média do fluido). Deve-se notar que avaliando a

velocidade média, pode-se calcular a vazão de fluido no tubo.

As máquinas de calcular mais modernas permitem a solução simultânea das duas

equações acima, fornecendo os valores de f e V. O mesmo poderia ser feito utilizando

L g ρ 4D π + f )V ρ 2

1( L) D (π = )P - P( 4D π 2

2L0

2

237

uma planilha eletrônica. O método que vai ser apresentado não lançará mão destes

recursos. A metodologia a ser seguida poderá ser implementada utilizando-se apenas

uma máquina de calcular científica comum.

Para facilitar a solução do problema, o primeiro passo consiste em transformar a

equação do balanço de forças em uma equação relacionando o número de Reynolds

e o fator de fricção. Para tal, basta expressar a velocidade média em termos do número

de Reynolds. Tem-se que:

Substituindo esta expressão no balanço de forças, obtém-se:

Fazendo-se as devidas simplificações e transposições de termos, obtém-se:

Substituindo dados na expressão acima, tem-se:

A outra equação é a do fator de fricção. Para um tubo de ferro fundido, tem-se na tabela

6.1 que ε = 0,259 mm = 2,59 x 10-4 m. Logo, substituindo valores em (6.42), obtém-se:

Para se resolver simultaneamente as duas equações não-lineares acima, o método

mais simples é o iterativo. Nesse método, parte-se de um valor inicial de f, por exemplo,

ρ Dμ Re = V

L g ρ 4D π + f

ρ Dμ Re ρ

21 L) D (π = )P - P(

4D π 22

L0

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

[ ]L g ρ - )P - P( μ Lρ D

21 = f Re L02

32

[ ] ,0715.294.593 = (6) (9,8) (1000) - (70000) )(0,001 (6)

(1000) )(0,025421 = f Re 2

32

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Re6,9 +

3,7)/(0,0254)10 x (2,59 log 3,6- =

f1

1,114-

238

e através de sucessivas iterações, vai-se obtendo valores de Re e f, que vão se

aproximando da solução do problema. Esse processo é ilustrado a seguir.

Considere-se um valor inicial de f igual a 0,006. Esse valor inicial não altera o resultado

final, mas afeta o número de iterações necessárias para se chegar a uma solução

adequada.

Usando-se o valor de f acima, calcula-se Re pela equação do balanço de forças. Tem-

se:

Com o número de Reynolds acima, volta-se à equação do fator de fricção e avalia-se

um novo valor de f. Com esse procedimento uma iteração foi completada. O valor obtido

é:

Com esse novo valor de f, vai-se na equação do balanço de forças e determina-se um

valor atualizado para o Reynolds. Esse procedimento é repetido até se obter valores de

f e Re que não apresentem mais variações significativas. A tabela a seguir mostra um

sumário dos resultados para sucessivas iterações.

50.488,6 = 0,006

,0715.294.593 = f

,0715.294.593 = Re

,0715.294.593 = f Re2

0,0098 = f

50.488,66,9 +

3,7)/(0,0254)10 x (2,59 log 3,6- =

f1

1,114-

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

239

Iteração f Re

1

2

3

4

5

0,006

0,009828

0,009902

0,009903

0,009903

50.488,6

39.449,0

39.301,4

39.299,4

39.299,4

(Faça os cálculos para verificar os resultados mostrados na tabela acima).

A partir da quarta iteração os valores de Reynolds e de f começaram a se repetir. Desse

modo, a solução do problema corresponde a um número de Reynolds igual a 39.299,4.

Com esse valor, determina-se a velocidade média do fluido e a sua vazão volumétrica.

Tem-se:

Com essa velocidade, determina-se a vazão volumétrica de fluido:

ou seja, Q = 0,784 l/s.

m/s 1,547 = (1000) (0,0254)(0,001) (39.299,4) =

ρ Dμ Re = V

/sm 10 x 7,84 = (1,547) 4

)(0,0254 π = V 4D π = Q 34-

22

240

6.3.1.2- Escoamento em dutos não-cilíndricos

Todo o desenvolvimento acima foi feito para dutos cilíndricos. Constatou-se

empiricamente que os valores de f obtidos para tubos cilíndricos (figura 6.8 e equação

(6.42)) são válidos para tubulações não-cilíndricas, desde que se defina o número de

Reynolds usando-se o diâmetro hidráulico equivalente, avaliado pela expressão abaixo:

onde:

A = área da seção transversal do duto efetivamente usada para o escoamento;

PM = perímetro molhado (comprimento da linha de contato fluido-parede do duto).

Aplicando-se a definição acima a um duto de seção retangular, como visto na

figura 6.9, tem-se:

Para um tubo cilíndrico, o diâmetro hidráulico equivalente se iguala ao diâmetro

do tubo. (Provar isso como um exercício).

Figura 6. 9 – Vista da seção transversal de um duto não-circular para a definição de Dh

A aproximação acima funciona bastante bem no regime turbulento. No

(6.43) P

A4 = D

Mh

H) 2 + W (2H W4

= Dh

W

H

Duto não circular

241

escoamento laminar é necessário que se introduza uma correção adicional no fator de

fricção, além da de usar o diâmetro hidráulico equivalente na definição do Reynolds.

O valor de f para dutos não-cilíndricos com um fluido escoando em regime laminar é,

então, avaliado por:

onde φ é um parâmetro que depende da geometria do sistema. Para dutos com seção

transversal retangular, φ é avaliado através do gráfico da figura 6.10.

Figura 6. 10 - Parâmetro φ - correção do fator de fricção para o escoamento laminar em

dutos retangulares (Gaskell, 1992)

Na figura 6.10, z1 corresponde à dimensão da face menor e z2 da face maior do

retângulo.

É interessante observar que o balanço de forças para dutos não-cilíndricos pode

ser todo ele feito usando o diâmetro hidráulico equivalente; entretanto, o cálculo da

velocidade é feito usando-se as dimensões reais da tubulação.

6.3.2- Escoamento em torno de objetos (externo)

(6.44) Re φ

16 = f

242

Conforme mencionado anteriormente, para o caso de escoamento externo, a força

de arraste que o fluido exerce sobre o objeto pode também ser avaliada pela equação

(6.25), reproduzida abaixo:

entretanto, as definições de A e K são diferentes.

Para esse sistema, a área característica, A, é tomada como sendo a área obtida

pela projeção do sólido em um plano perpendicular à velocidade de aproximação do

fluido.

Essa definição é ilustrada esquematicamente na figura 6.11, para o caso em que

o objeto é uma esfera.

Figura 6.11 - Definição da área característica para o escoamento em torno de objetos

A energia cinética por unidade de volume do fluido é avaliada usando-se a

velocidade relativa entre o sólido e o fluido. Para tal, considera-se um ponto do fluido

(6.25) f K A = F k

PlanoperpendicularProjeção

Esfera

243

suficientemente afastado do sólido, para não ter a sua velocidade afetada por ele.

De modo similar ao que acontece no caso de escoamento interno, o fator de

fricção é também avaliado experimentalmente. Estas experiências demonstraram que

para o escoamento externo, o valor do fator de fricção depende do formato do objeto

em torno do qual o fluido escoa. Além disso, o valor de f é também afetado pelo valor

do número de Reynolds associado ao escoamento. Isso será demonstrado a seguir.

6.3.2.1- Escoamento em torno de esferas

Um dos objetos de interesse para estudo do escoamento externo é a esfera. O

valor do fator de fricção para esferas pode ser determinado através de experiências

bem simples. Nestas experiências avalia-se a velocidade terminal de esferas se

deslocando em um fluido estagnado. A velocidade terminal corresponde à velocidade

que a esfera atinge quando o somatório de forças atuando sobre ela se anula.

Quando uma esfera é colocada no interior de um fluido, duas forças de volume

atuam sobre ela: o peso e o empuxo. Estas duas forças vão sempre existir,

independentemente da esfera estar parada ou se movimentando. Ambas atuam na

direção vertical, mas em sentidos opostos: o peso para baixo e o empuxo para cima.

O empuxo corresponde ao peso do fluido que foi deslocado pelo corpo sólido.

Se a esfera se movimentar no interior do fluido, surge uma força de fricção, FK,

que atua na sua superfície. Essa força pode ser avaliada através da equação (6.25). É

importante observar que a força de fricção tem sempre o sentido oposto ao da

velocidade da esfera. Caso a esfera seja mais densa que o fluido, ela irá descer. Dessa

forma, a força de fricção atua no mesmo sentido do empuxo: para cima. Quando a

244

esfera é mais leve que o fluido, ela sobe. A força de fricção, nesse caso, tem o mesmo

sentido do peso: para baixo. Estas duas situações são explicitadas na figura 6.12.

Figura 6. 12 – Forças atuando em uma esfera no interior de um fluido

Dessa forma, o balanço de forças para uma esfera se movendo com velocidade

constante na direção vertical em um fluido estagnado pode ser expresso por

(considerando-se uma esfera mais densa que o fluido):

Na equação (6.46), πD3 / 6 corresponde ao volume da esfera, ρs é a sua densidade

e vt a sua velocidade terminal. Conhecendo-se a densidade do fluido, a densidade da

Esfera

Esfera

Densidade da esfera > densidade do fluido

Densidade da esfera < densidade do fluido

Peso

Peso

Empuxo

Força de fricção

Empuxo

Força de fricção

Esfera desce

Esfera sobe

)(6.46 f )v ρ 21(

4D π + g ρ

6D π = g ρ

6D π

(6.45) fricção de Força + Empuxo = Peso

2t

23

s

3

245

esfera e o seu diâmetro, a determinação experimental da velocidade terminal pode ser

usada para calcular o fator de fricção, f.

A figura 6.13 mostra resultados experimentais de fator de fricção para esferas.

Através dessa figura, constata-se que a dependência de f com o número de Reynolds

pode ser expressa matematicamente através de três expressões, válidas em faixas

específicas do número de Reynolds:

Figura 6.13 - Fatores de fricção para escoamento em torno de esferas (Bird, Stewart e

Lightfoot, 1960)

A região de números de Reynolds inferiores a 1, corresponde ao escoamento

laminar, para a qual vale a lei de Stokes, vista no Capítulo 5. (Exercício: usando a lei

(6.49) 500 > Re para 0,44 f

(6.48) 500 Re < 1 para Re18,5 = f

(6.47) 1 Re para Re24 = f

3/5

≈

≤

≤

Fato

r de

fricç

ão, f

Laminar Intermediária Lei de Newton

tμ

246

de Stokes deduzida no Capítulo 5, demonstre a equação (6.47)).

Exemplo- Calcular a velocidade terminal de uma inclusão de alumina no aço líquido.

Dados:

- diâmetro da inclusão: 200 μm;

- densidade da inclusão: ρs = 2300 kg/m3;

- densidade do aço: ρ = 6700 kg/m3.

- viscosidade do aço: μ = 6,5 cP.

Repetir o cálculo para inclusões de 100 e 50 μm.

Solução - Como a inclusão é menos densa que o aço, o balanço de forças pode ser

colocado na seguinte forma:

Na equação acima, os valores de vt e f são desconhecidos. Por uma abordagem similar

à que foi adotada no caso de escoamento em tubos, pode-se, através do balanço

acima, obter uma relação entre o número de Reynolds e o fator de fricção. Para tal,

basta expressar o valor de vt na equação em função do número de Reynolds:

Assim, obtém-se:

Fazendo-se simplificações e transpondo termos, obtém-se:

f )v ρ 21(

4D π + g ρ

6D π = g ρ

6D π

fricção deForça + Peso = Empuxo

2t

2

s

33

ρ Dμ Re = vt

f ρ Dμ Re ρ

21

4D π + g ρ

6D π = g ρ

6D π

22

s

33

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

247

Substituindo dados, obtém-se:

Como não se sabe o valor de Re, não se pode determinar qual das equações de f em

função de Reynolds (equações (6.47) a (6.49)) é adequada à situação. Adota-se, então,

um procedimento de tentativa-e-erro. Inicialmente, postula-se que a equação (6.47), por

exemplo, seja a correta. Com essa hipótese, verifica-se se o valor de Re obtido vai estar

dentro da faixa de validade dessa relação. Se não estiver, seleciona-se umas das

outras correlações, até se determinar uma que forneça um número de Reynolds dentro

da sua faixa de validade.

Usando-se a primeira equação, expressão (6.47), obtém-se:

Como a expressão usada inicialmente só é correta para Re até 1, o resultado acima

está incorreto.

Adota-se, então, a segunda correlação (equação (6.48)). Tem-se:

Este valor de Reynolds está dentro da faixa da validade da relação usada, sendo,

portanto, a solução do problema.

μD g ρ )ρ - (ρ

34 = f Re 2

3

s2

72,9383 = (0,0065)

)10 x (200 (9,8) (6700) 2300) - (6700 34 = f Re 2

3-62

3,039 = Re

72,9383 = Re24 Re = f Re 22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2,664 = Re

72,9383 = Re18,5 Re = f Re 3/5

22 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

248

A partir deste valor do Reynolds, avalia-se a velocidade terminal da inclusão:

Por procedimentos análogos, determina-se as velocidades para as inclusões de 100 e

50 μm. Obtém-se:

- inclusão de 100 μm : vt = 0,00369 m/s;

- inclusão de 50 μm : vt = 0,00092 m/s.

6.4- Fatores de Fricção para Leitos de Partículas

Nas seções anteriores, foram vistas algumas correlações para avaliação do fator

de fricção em alguns sistemas de importância na engenharia. O escoamento através

de leitos de partículas representa também um sistema de interesse para o metalurgista.

Leitos fixos, compostos de sólidos granulados ou aglomerados de finas partículas,

aparecem em vários processos metalúrgicos, desde o processo de sinterização até o

alto-forno. Nesses sistemas, é de interesse se poder prever a queda de pressão que

o fluido sofre ao atravessar o leito com uma dada vazão. Essa informação pode ser

usada, por exemplo, no dimensionamento de equipamentos para injeção (ou sucção)

de gases através destes leitos

Ao longo da discussão que será apresentada a seguir, será considerado que o

leito de partículas é uniforme e que não são formadas chaminés, isto é, não há

escoamento preferencial por certos caminhos. Será assumido também o diâmetro das

partículas que compõem o leito é pequeno comparado com o diâmetro da coluna que

sm/ 0,0129 = (6700) )10 x (200

(0,0065) (2,664) = ρ Dμ Re = v 6-t

249

contém o leito. Será analisado apenas o caso do escoamento de um gás através desse

leito.

6.4.1- Equação de Ergun

Antes de se desenvolver uma metodologia para estimativa da queda de pressão

de gases ao atravessar leitos de partículas, serão definidas algumas grandezas que são

usualmente utilizadas para caracterizar um leito.

A figura 6.14 mostra um vista esquemática de um leito de partículas.

Figura 6.14 - Vista esquemática de um leito de partículas

Observa-se que o leito é composto pelas partículas e pelos vazios que se formam

entre elas. Dessa forma, pode-se escrever que:

Um parâmetro importante na caracterização de um leito é a sua fração de vazios.

Dividindo os dois lados da equação acima pelo volume do leito, obtém-se:

Partículas

Vazios

Leito de partículas

)(6.50 vazios de volume + partículas das Volume = leito do Volume

250

A fração de vazios é definida através da seguinte equação:

Desse modo, tem-se:

Uma série de fatores interfere no valor da fração de um leito. Dentre eles, os mais

importantes são certamente a distribuição granulométrica e o tamanho médio das

partículas que o compõem.

Uma outra variável de importância em leitos é a sua área superficial. Essa área

é definida através da equação abaixo:

Pode-se rescrever a equação acima da seguinte forma:

Considerando inicialmente partículas esféricas de tamanho uniforme, tem-se que:

(6.51) leito do volume

vazios de volume + leito do volume

partículas das volume = 1


vazios de volume = = vazios de Fração ω

(6.54) - 1 = leito do volume

partículas das volume

(6.53) + leito do volume

partículas das volume = 1

ω

ω


partículas das al superficiarea = a


partículas das volume partículas das volume

partículas das al superficiárea = a ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(6.57) d6 =

6d πd π =

partículas das volumepartículas das al superficiárea

3

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

251


A relação acima vale somente para partículas esféricas. Não é comum se ter

partículas esféricas em leitos de interesse na metalurgia. Para se tratar com partículas

não esféricas é comum se utilizar o conceito de esfericidade.

A esfericidade procura medir o quanto a forma de uma partícula se aproxima do

formato de uma esfera. A sua definição pode ser entendida através da figura 6.15.

Figura 6.15 - Definição de esfericidade de uma partícula

A esfericidade é definida como a relação entre as áreas superficiais da esfera e

da partícula, ambas como o mesmo volume:

Como a esfera é o sólido com menor área superficial por unidade de volume, os

valores de esfericidade são sempre menores que um. Logicamente, a esfericidade de

uma esfera é 1.

A equação (6.59) pode ser colocada na seguinte forma:

(6.58) ) - (1 d6 = a ω

Volume = V Volume = V

Esfera Partícula

Área superficial = A Área superficial = Aesfera p

Esfericidade = AesferaAp

(6.59) particula da rea á

esfera da área = φ = deesfericida

252

Combinando (6.60) e (6.58), obtém-se uma expressão para avaliação da área

superficial de um leito composto por partículas não esféricas. Tem-se:

Exemplo- Estime a esfericidade das partículas de um minério de ferro tipo chapinha. As

suas dimensões aproximadas são vistas na figura abaixo. O formato da partícula foi

simplificado para facilitar os cálculos.

Solução - Inicialmente, calcula-se o volume da partícula de minério de ferro:

A área superficial da partícula é:

A área acima corresponde à área das seis superfícies laterais da partícula.

Determina-se agora a área superficial da esfera de mesmo volume da partícula. O raio

da esfera de mesmo volume é calculado igualando-se o volume da partícula à equação

para cálculo de volume da esfera:

(6.60) φ

esfera da área = partícula da área

(6.61) ) - (1 d6 = a ωφ

15 mm

4 mm10 mm

mm 600 = 4 x 10 x 15 = V 3p

mm 500 = 2 x 4) x 15 + 4 x 10 + 10 x (15 = A 2p

mm 600 = R π 34 = V 33

253

A solução da equação acima fornece:

Calcula-se agora a área superficial da esfera com raio de 5,23 mm:

Logo, a esfericidade da partícula de minério de ferro será dada por:

Na equação (6.61), o diâmetro d corresponde ao diâmetro da esfera de mesmo

volume da partícula. Como a determinação desse diâmetro é trabalhosa, costuma-se

trabalhar com o tamanho da partícula definido em termos de aberturas das peneiras

onde as partículas são tratadas. Dessa forma, pode-se também considerar situações

onde o tamanho das partículas não seja uniforme. Nesse caso, define-se um tamanho

médio a partir da análise granulométrica. Essa abordagem é a mesma usada em

Tratamento de Minérios.

Quando se tem partículas não esféricas, com uma certa distribuição

granulométrica, o valor do tamanho médio das partículas é determinado através da

seguinte relação:

onde:

n = número de peneiras usadas no peneiramento e onde ficou material retido;

mm 5,23 = π 4600 x 3 = R

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

mm 344 = R π 4 = A 22esfera

0,688 = 500344 =

AA

p

esfera

(6.62)

d/100 (%i)

1 = d

i

n=i

=1i∑

254

d = diâmetro das partículas;

di = diâmetro médio do material retido na peneira i;

(% i) = porcentagem de material retido na peneira i.

O diâmetro médio do material retido na peneira i é determinado através da média

geométrica da abertura da peneira onde o material ficou retido e da peneira

imediatamente superior, por onde o material passou. A média geométrica é calculada

pela raiz quadrada do produto das aberturas dessas peneiras.

O exemplo abaixo ilustra o cálculo do tamanho médio de partículas a partir de sua

análise granulométrica.

Exemplo- A tabela abaixo apresenta a análise granulométrica de um minério de ferro.

A partir destes dados, determine o tamanho médio do minério.

Abertura das peneiras (mm) Porcentagem retida (%)

Superior Inferior

25,4

19,1

15,9

12,7

6,3

4,8

19,1

15,9

12,7

6,3

4,8

1

0,44

2,27

18,37

68,66

5,95

4,31

Solução- Com os dados da tabela acima, pode-se construir a tabela a seguir:

255

Abertura das peneiras (mm) Tamanho médio do

material retido (mm)

Porcentagem

retida (%)

Superior Inferior

25,4

19,1

15,9

12,7

6,3

4,8

19,1

15,9

12,7

6,3

4,8

1

22,03

17,43

14,21

8,94

5,5

2,19

0,44

2,27

18,37

68,66

5,95

4,31

0,0002

0,0013

0,0129

0,0768

0,0108

0,0197

Σ = 0,1217

Diâmetro médio = d = 8,215 mm

Com os desenvolvimentos e definições acima, pode-se finalmente determinar

relações para estimativa da queda de pressão em leitos atravessados por gases.

O tratamento para escoamento em leitos é feito a partir do conceito de diâmetro

hidráulico equivalente. Para tal, basta imaginar um leito de partículas como sendo um

duto de formato bastante irregular, através do qual o gás vai escoar.

Lembrando da definição do diâmetro hidráulico equivalente, tem-se:

onde A representa área da seção transversal por onde o fluido escoa e PM o perímetro

molhado.

Resta agora traduzir as variáveis acima em função das características do leito.

id100/)i(%

(6.43) P

A4 = D

Mh

256

Para tal, multiplicar-se-á o denominador e o numerador da equação acima pela altura

do leito, L. Tem-se:

Analisando a equação acima, constata-se que o produto A L corresponde ao

volume disponível para o gás passar. Em um leito, esse volume é o volume de vazios.

No denominador, o produto PM L corresponde à área molhada, que é a área de contato

do gás com as partículas (a área de contato com as paredes do recipiente que contem

o leito é muito pequena comparada com a área superficial das partículas). A área de

contato gás-partículas é a área superficial destas partículas (despreza-se as áreas de

contato entre as partículas). Pode-se, então, colocar a equação (6.63) na seguinte

forma:

Dividindo agora a equação (6.64) pelo volume do leito, tem-se:

Combinando a equação acima com as expressões (6.52) e (6.61), pode escrever

a equação acima na seguinte forma:

A equação (6.66) expressa o diâmetro hidráulico equivalente de um leito em

(6.63) L P

L A4 = D

Mh

(6.64) partículas das al superficiárea

vazios de volume 4 = Dh

(6.65)

leito do volumepartículas das al superficirea á

leito do volumevazios de volume4

= Dh

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(6.66) ) - (1 3φ d 2 =

) - (1 φ d

64

= Dh ωω

ω

ω

257

função de suas características. De posse da equação acima, pode-se utilizar as

expressões de queda de pressão em tubos para os regimes laminar e turbulento e

expressá-las em função do diâmetro hidráulico equivalente do leito.

6.4.1.1- Regime laminar

A equação (4.126) permite estimar a queda de pressão de um gás com

escoamento laminar em um tubo, em função da velocidade média do gás. Desprezando

a força da gravidade (para gases, isso é razoável devido à sua baixa densidade), pode-

se escrever a equação (4.126) da seguinte forma, já em termos do diâmetro hidráulico

equivalente:

Substituindo a definição do diâmetro hidráulico equivalente (equação (6.68)),

obtém-se:

Os valores de queda de pressão previstos pela equação acima foram comparados

com dados experimentais. Foi constatado que os efeitos das variáveis estavam

corretos; entretanto, a constante que melhor se ajustava aos resultados era 150 ao

invés de 72. Isso certamente se deve ao fato do caminho percorrido pelo gás ser mais

(6.67) D

V μ 32 = R

V μ 8 = L

P - Ph

2h

L0

(6.69) φ d

)ε - (1 V μ 72 = L

P - P

(6.68)

) - (1 3φ d 2

V μ 32 = D

V μ 32 = L

P - P

222

2L0

22h

L0

ω

ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

258

longo que a altura do leito, L, considerada na avaliação da queda de pressão. Dessa

forma, a equação que é utilizada para estimativa de quedas de pressão em leito de

partículas com escoamento laminar é:

A expressão acima é conhecida como equação de Blake-Kozeny.

É ainda comum substituir a velocidade do gás através do leito, V, pela chamada

velocidade a vazio, Vo, expressa através da seguinte equação:

A velocidade a vazio seria a velocidade do gás se toda a seção transversal do leito

estivesse disponível para o seu escoamento. Substituindo (6.73) em (6.72), obtém-se

finalmente:

6.4.1.2- Regime turbulento

A equação (6.27) possibilita estimar a queda de pressão de um gás com

escoamento turbulento em um tubo. Esta equação pode ser escrita da seguinte forma,

já em função do diâmetro hidráulico equivalente:

Substituindo a definição do diâmetro hidráulico equivalente (equação (6.68)),

(6.70) φ d

) - (1 V μ 150 = L

P - P222

2L0

ω

ω

)(6.71 V = V o

ω

(6.72) φ d

) - (1 V μ 150 = L

P - P223

2oL0

ω

ω

(6.73) D1 f V ρ 2 =

L)P - P(

h

2L0

259

obtém-se:

O fator de fricção para leitos foi avaliado experimentalmente e o valor obtido foi:

Substituindo esse valor em (6.76) e já usando a definição de velocidade a vazio,

obtém-se:

A expressão acima é conhecida como equação de Burke-Plummer e permite

estimar a queda de pressão de um gás ao atravessar um leito, em condições onde o

escoamento seja turbulento.

No final da década de 1940, Ergun unificou as expressões de Blake-Kozeny e

Burke-Plummer, mostrando que a queda de pressão em leitos era composta de duas

contribuições: uma associada aos atritos viscosos, que predominava na região laminar,

e outra, associada aos efeitos de inércia, que predominava no regime turbulento. Na

realidade, a queda de pressão do gás ao longo de toda a faixa de regimes de

escoamento pode ser expressa pela soma da equações de Blake-Kozeny e Burke-

Plummer. Logo:

Essa equação é conhecida como equação de Ergun e pode ser usada para

determinar a queda de pressão em leitos, sendo válida para os regimes laminar e

(6.74) f φ d

) - (1 V ρ 3 =

) - (1 3φ d 2f V ρ 2 =

L)P - P( 22

L0

ωω

ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(6.75) 3

1,75 = f

)(6.76 φ d

) - (1 V ρ 1,75 = L

)P - P(3

2oL0

ωω

(6.77) φ d

) - (1 V ρ 1,75 + φ d

) - (1 V μ 150 = L

P - P3

2o

223

2oL0

ωω

ω

ω

260

turbulento.

Pela equação acima, observa-se que os parâmetros que favorecem uma

diminuição da queda de pressão do gás ao atravessar o leito (tornam o leito mais

permeável) são:

- maior fração de vazio, ω;

- maior diâmetro médio das partículas, d;

- maior esfericidade, φ;

- menores viscosidade, μ ; densidade, ρ, e velocidade do gás, Vo.

261


D.R. GASKELL. An Introduction to Transport Phenomena in Materials Engineering,

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262

Metallurgical Industry, 1996, p. 129-145.

263

EXERCÍCIOS

1- Calcular a velocidade terminal de ascensão de uma inclusão com 20 μm de diâmetro,

sólida, em aço líquido estagnante.

Dados:

ρINCLUSÃO = 2,7 x 103 kg/m3

ρAÇO = 7,1 x 103 kg/m3

μAÇO = 5,5 x 10-3 kg/m.s

A inclusão pode ser considerada esférica. Verificar a validade dos cálculos.

2- Uma técnica empregada para determinar a viscosidade de fluidos consiste em medir

a velocidade terminal de uma esfera que cai dentro do fluido. Determinar, então, a

viscosidade do fluido onde foram obtidos os seguintes dados:

DESFERA = 1 cm;

ρ = 1,261 g/cm3;

ρESFERA = 7,1 g/cm3.

Sabe-se, também, que no período de velocidade constante, a esfera percorre 2 metros

em 7 segundos.

3- Uma esfera de aço oca, com 5 mm de diâmetro e massa de 0,05 g é solta na

superfície de uma coluna de líquido e atinge uma velocidade terminal de 0,5 cm/s.

A densidade do líquido é 0,9 g/cm3 e a aceleração da gravidade no local é 980,7

cm/s2. A esfera está bem afastada das paredes do duto. Determinar:

264

- força de arraste;

- fator de fricção;

- viscosidade do fluido.

4- Calcular a esfericidade de um cubo com dois centímetros de lado.

5- Calcular o diâmetro médio do material que apresenta a seguinte análise

granulométrica:

Abertura das peneiras (mm) Porcentagem

retida (%)

Superior Inferior

25,4

19,1

15,9

12,7

6,4

4,8

19,1

15,9

12,7

6,4

4,8

1

0,22

4,3

15,36

72,95

3,89

3,28

6- Uma esfera de aço (raio = 8,87 cm) é jogada em escória líquida para determinar a

viscosidade desse fluido. A densidade do aço é duas vezes maior que a da escória

e a velocidade terminal da esfera é 1,524 m/s (determinada experimentalmente).

Calcular a viscosidade cinemática da escória.

265

7- Gás atravessa um leito de seção quadrada de 3,048 m de lado e 14,11 m de

comprimento. As pressões de entrada e saída do gás são 104 109,97 e 103 420,5

N/m2, respectivamente. A vazão mássica de gás é 90,72 kg/h. Avaliar a fração de

vazio do leito (entre 0 e 0,6) para as condições abaixo:

- diâmetro de partícula = 3,048 cm;

- viscosidade do gás = 2,067 x 10-5 kg/m.s;

- densidade do gás = 0,12 kg/m3 (densidade média).

8- Calcular a diferença de pressão necessária para fazer água subir em um tubo

vertical de 10 m de comprimento a uma vazão de 0,5 l/s. O diâmetro do tubo é de

1,5 cm e sua rugosidade de 0,1 mm.

9- Avaliar a vazão de água em um tubo horizontal de 1 polegada de diâmetro, ao longo

do qual foi medida uma diferença de pressão de 50.000 Pa. A rugosidade do tubo

é de 0,5 mm. O comprimento do tubo é 5 m.

266

7 - BALANÇOS GLOBAIS NO ESCOAMENTO DE

FLUÍDOS ISOTÉRMICOS

Na maioria dos problemas de engenharia que envolvem o escoamento de

fluidos, um dos objetivos (talvez o mais importante) é obter uma relação entre a vazão

volumétrica do fluído e os fatores que causam o seu escoamento, tais como diferença

de pressão, gravidade forças eletromagnéticas.

Para obtenção da relação da mencionada acima, dois métodos podem ser

utilizados: o microscópico e o macroscópico. No método microscópico, ilustrado

esquematicamente na figura 7.1a, o volume de controle é infinitesimal e é localizado

longe das fronteiras do sistema. A aplicação desse método resulta em equações

diferenciais e os parâmetros fisicamente observáveis, tais como a entrada e saída de

fluido e condições nas superfícies de contorno, entram como condições de contorno do

problema. Esse foi o método de estudo aplicado nos capítulos 4 e 5.

Figura 7.1- Elementos de volume para as abordagens: a) microscópica e b)

macroscópica para um problema de escoamento de fluidos

Entrada Saída

Elemento infinitesimala)

Entrada Saída

b)

Elemento de volume

267

No caso da abordagem macroscópica, ilustrada na figura 7.1b, o volume de

controle é tomado como sendo o volume total de sistema e, portanto, as condições de

entrada e saída são incluídas nas equações básicas.

Em geral, o estabelecimento do balanço global (tratamento macroscópico)

resulta em equações algébricas para sistemas no estado estacionário e equações

diferenciais de primeira ordem no estado não-estacionário. Este método simplifica

consideravelmente as manipulações matemáticas necessárias, mas as soluções

resultantes fornecem menos informações a respeito do sistema.

O método macroscópico foi empregado no Capítulo 6, quando se desenvolveu

balanços globais de forças aplicados ao escoamento de fluidos em dutos (escoamento

interno) e em torno de objetos (escoamento externo). Neste capítulo, continuar-se-á a

empregar a abordagem macroscópica, mas agora utilizada no estabelecimento de

balanços globais de massa e energia aplicados ao escoamento de fluidos em dutos. As

ferramentas que serão desenvolvidas neste capítulo têm aplicação prática muito grande

nas engenharias de modo geral e, em particular, na engenharia metalúrgica.

7.1. Balanço Global de Massa

Para desenvolvimento do balanço global de massa será considerado o sistema

visto na figura 7.2.

268

Figura 7.2 - Sistema para o desenvolvimento do balanço global de massa

No desenvolvimento do balanço global de massa serão feitas ainda as seguintes

suposições:

- as velocidades médias nos planos 1 e 2 são paralelas às paredes do duto;

- a densidade e outras propriedades físicas não variam ao longo da seção transversal

nos planos 1 e 2.

A equação de conservação de massa estabelece que:

Em símbolos essa equação se torna:

sendo:

- A1, A2 = áreas das seções transversais nos planos 1 e 2;

- ρ1, ρ2 = densidades do fluido nos planos 1 e 2;

1

2

A , V , ρ1 1 1

A , V , ρ2 2 2

Massa total, mT

(7.1) massa] de acumulação de total [Taxa =

=massa] de saídade total [Taxa -massa] de entrada de total [Taxa

(7.2) t d

m d = V ρ A - V ρ A T222111

269

- = velocidades médias do fluido nos planos 1 e 2;

- mT = massa total de fluido no sistema;

- t = tempo.

Pode-se, também, definir a seguinte variável:

que representa a vazão de massa de fluído em um dado plano. Com o uso dessa

variável, a equação (7.2) se transforma em:

No estado estacionário:

logo:

Exemplo- Aço líquido é vazado de uma panela através de um bocal colocado no seu

fundo. O diâmetro desse bocal é 7,62 cm. Calcular o tempo necessário para esvaziar

a panela. Considerar, como uma primeira aproximação, que a velocidade do aço no

bocal pode ser relacionada com a altura de aço na panela através da seguinte equação:

onde h = altura de metal na panela e CD é o coeficiente de descarga (nesse caso,

considerado como sendo equivalente a 0,9) Mais a frente, serão determinados os

(7.3) V ρ A = m•

(7.4) t d

m d = m- m T21

••

(7.5) 0 = t d

m d T

(7.6) 0 = m - m 21

••

h g 2C = V Dbocal

21 V ,V

270

fatores que afetam o valor de CD.

Dados:

- diâmetro da panela: 3,0 m;

- altura inicial de líquido: 3,3 m;

- densidade do aço: 7000 kg/m3.

Solução- A situação em estudo pode ser vista esquematicamente na figura abaixo:

O plano de referência 1 é colocado na superfície do aço líquido na panela e o plano 2

é colocado na saída do bocal de vazamento.

Assim:

A equação do balanço de massa pode, então, ser colocada na seguinte forma:

Sabe-se ainda que:

Usando a expressão para velocidade média no bocal, tem-se:

Aço líquido h

Bocal

1

2

DP

d

0 = m1

•

t dm d = m - T

2

•

V A = m 2222 ρ•

h g 2C A = m D222 ρ•

271

Considerando que a densidade do aço seja constante em todo o sistema, pode-se

escrever a seguinte equação para a massa total de aço na panela:

onde Ap é a área da seção transversal da panela (considerada constante ao longo da

altura da panela).

Diferenciando a equação para a massa de aço na panela, obtém-se:

Combinando-se as equações desenvolvidas acima, pode-se escrever que:

Separando variáveis na equação acima, tem-se:

A equação acima pode ser integrada, considerando os seguintes limites:

onde:

- hi é a altura inicial de aço na panela;

- te é o tempo de esvaziamento da panela.

A integração fornece:

Substituindo os limites de integração, tem-se:

h A = m PT ρ

h d A = m d PT ρ

h g 2C ρ A - = m - = t dh d ρ A =

t dm d

D222PT

•

t d g 2C AA - =

hh d

DP

21/2

t = t para 0 = h

0 = t para h = h

e

i

[ ] [ ] t g 2C AA - = h 2 t

0 DP

21/2 0 h

e

0

272

Finalmente, o tempo de esvaziamento da panela será dado pela seguinte expressão:

As áreas das seções transversais do bocal e da panela (considerados circulares) são

dadas por:

Dessa forma:

Substituindo dados, tem-se:

Esse tempo equivale aproximadamente a 24 minutos.

7.2. Balanço Global de Energia

Para desenvolvimento de um balanço global de energia será considerado o

sistema visto na figura 7.3. A aplicação do princípio de conservação de energia fornece

a seguinte equação:

t g 2C AA - = h 2 - eD

P

20

1/2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛gh 2

CAA = t 0

1/2

D2

Pe

4D = A

4d = A

2P

P

2

2

π

π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛gh 2

CdD = t 0

1/2

D2

2P

e

s4131 = 9,8

3,3 x 2 (0,0762))9,0((3) =

gh 2

dCD = t

1/2

2

20

1/2

D2

2P

e ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

273

Figura 7.3 - Sistema para aplicação do balanço global de energia

Considerando o sistema visto na figura 7.3, pode-se colocar a equação acima na

seguinte forma:

onde:

- Etotal = energia total do fluido, dada pela soma das energias interna, potencial e

cinética;

- H = entalpia do fluido por unidade de massa;

- EP = energia potencial do fluido por unidade de massa;

- Ec = energia cinética do fluido por unidade de massa;

- *.m = vazão de massa de fluido no sistema;

- Q = taxa líquida de entrada de calor no sistema;

- M = trabalho mecânico realizado pelo fluido sobre a bomba (ou qualquer outro

(7.7) energia] de acumulação de total [Taxa =

=energia] de saídade total [Taxa -energia] de entrada de total [Taxa

A , V , ρ1 1 1

A , V , ρ2 2 2

Bomba

z

z

1

2

Q

(7.8) M- S + Q + m) E + E + (H - = ) E (t d

dRcPtotal ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

•

274

dispositivo de manuseio de fluidos);

- SR = geração líquida de energia no sistema, devido a reações químicas ou outras

fontes.

Na equação acima, o operador Δ significa (saída - entrada). Dessa forma, - Δ vai

significar (entrada - saída).

Nesse capítulo, serão consideradas apenas situações onde se tem estado

estacionário. Nesse caso, pode-se escrever que:

Considerando sistemas onde não ocorrem reações químicas e onde não há outras

fontes de energia, tem-se:

Desse modo, com a transposição de termos, a equação (7.8) se torna:

A seguir, será visto como cada uma dos termos acima pode ser avaliado em

termos de parâmetros mensuráveis.

7.2.1. Avaliação do termo de energia cinética

A taxa de entrada de energia cinética no sistema através da área A1 (normal ao

(7.9) 0 = ) E (t d

dtotal

(7.10) 0 = S R

(7.11) 0 = M+ Q - m) E + E + (H cP ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

•

275

escoamento) pode ser avaliada através da seguinte equação:

Considerando um duto cilíndrico, o elemento diferencial de área, dA1, será

determinado através da seguinte expressão

:

Combinando-se as equações (7.12) e (7.13), obtém-se:

onde R1 é o raio do duto na seção 1.

Para integrar a equação acima, é importante lembrar que as velocidades do fluido

variam ao longo da seção transversal do duto. Para tal, dois casos limites serão

considerados: escoamento laminar e escoamento altamente turbulento.

a) Escoamento laminar

Conforme obtido no Capítulo 4, para o escoamento laminar são válidas as

seguintes equações para o perfil de velocidades ao longo da seção transversal do duto

e para a sua velocidade média:

Combinando as duas equações acima, pode-se obter uma expressão relacionando

(7.12) v )dA v ( 21 = E m 2

1111

A

0c1

1

1 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫

•

ρ

(7.13) r d r 2 = Ad 1 π

(7.14) v dr) r 2 v ( 21 = E m 2

111

R

0c1

1

1 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫

•

πρ

(4.126) L

P - P + cos g 8R = V Lo

2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ βρ

μ

(4.116) 4

)r - R( L

P - P + cos g 1 = v22

Loz ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ βρ

μ

276

o perfil de velocidades com a velocidade média:

Substituindo a equação (7.15) na expressão para a energia cinética, tem-se:

A integração da equação acima fornece:

(prove este resultado como um exercício).

Conforme visto acima, tem-se que:

Logo, pode-se escrever que:

A equação acima permite a determinação da energia cinética do fluido por unidade

de massa em função da sua velocidade média. Esta expressão é válida para

escoamento laminar.

b) Escoamento turbulento

No regime turbulento, o perfil de velocidades do fluído em uma dada seção

transversal da tubulação, é bastante diferente daquele perfil parabólico, que prevalece

do regime laminar. Isso pode ser constatado na figura 7.4.

(7.15) R

)r - R( V 2 = v 2

22

z

(7.16) R

) r - R( V 2 r d r 2 R

) r - R( V 2 21 = E m

2

22

1

2

2

22

11

R

0c1

1

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∫

•

πρ

(7.17) R V = E m 21

3 11c1 1

ρπ•

(7.18) V R = m 11211 ρπ

•

(7.19) V = E 2 1c1

277

Figura 7.4 - Comparação qualitativa entre as distribuições de velocidade nos

escoamentos laminar e turbulento (Bird, Stewart e Lightfoot, 1960)

Para regime altamente turbulento, observa-se que as velocidades ficam

aproximadamente constantes na região central do duto. Os gradientes de velocidade

ficam confinados a uma região bastante estreita, próxima às paredes do duto. Desse

modo, pode-se fazer a seguinte aproximação:

Isso significa que o valor de velocidade média representa bastante bem o perfil de

velocidades do fluido.


A integração da equação acima fornece:

Turb

ulen

to

Centro do tubo Parede

Posição radial

(7.20) V = vz

( ) ( ) (7.21) V r d r 2 V 21 = E m 1

2 11

R

0c1

1

1 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫

•

πρ

278

(prove este resultado como um exercício).

Aplicando novamente a equação (7.18), determina-se que:

A equação acima permite a determinação da energia cinética do fluido por unidade

de massa em função da sua velocidade média, para o caso de escoamento turbulento.

As equações para regime laminar e turbulento podem ser escritas em uma mesma

forma geral, como apresentado a seguir:

sendo β1= 1/2 para o regime laminar e β1 = 1 para o regime turbulento.

7.2.2. Avaliação do termo de energia potencial

A energia potencial é definida em relação a um dado plano de referência arbitrário.

A taxa de entrada de energia potencial no plano 1 pode ser estimada através da

seguinte equação:

onde z1 é a altura do ponto médio da seção transversal do duto no plano 1, em relação

ao plano de referência.

Eliminando a vazão de massa nos dois lados da equação (7.25), tem-se a seguinte

(7.22) R V 21 = E m 2

13

11c1 1ρπ

•

(7.23) V 21 = E 2

1c1

(7.24) V 21 = E 2

11

c1 β

(7.25) zgm = E m 11p11

••

279

expressão para estimativa da energia potencial por unidade de massa do fluido:

7.2.3. Teorema de Bernoulli

Retomando a equação geral do balanço de energia para o estado estacionário e

dividindo-a pela vazão de massa do fluido (que é constante ao longo do sistema -

conservação de massa), pode-se escrever que:

onde:

representam a taxa líquida de entrada de calor e o trabalho mecânico realizado pelo

fluido, ambos por unidade de massa de fluído que escoa no sistema.

Lembrando agora das definições da Termodinâmica, tem-se:

onde:

- E = energia interna por unidade de massa do fluido;

- P = pressão do fluido.


(7.26) z g = E 1p 1

(7.27) 0 = M+ Q - E + E + H **cP ΔΔΔ

(7.29) m

M = M

(7.28) m

Q = Q

1

*

1

*

•

•

(7.30) P + E = Hρ

280

Considerando um comprimento infinitesimal do sistema, a equação acima pode

ser colocada na seguinte forma diferencial:

Deve-se observar que o termo M* desaparece nessa equação, pois ele está

normalmente associado a bombas ou a algum outro equipamento para transporte do

fluido. Estes equipamentos não vão existir em um elemento de volume infinitesimal,

A forma mais comum do balanço de energia aplicado ao escoamento de fluidos

é conhecida como balanço de energia mecânica (que é uma forma do teorema de

Bernoulli). Esta forma será desenvolvida a seguir.

A variação de energia interna por unidade de massa do fluido, à medida que ele

passa por um pequeno segmento do duto, é dada por:

onde δEf é a energia mecânica por unidade de massa do fluído que é convertida em

calor devido à fricção. A equação (7.33) vem da primeira lei da Termodinâmica.

Lembrando das regras de derivação, tem-se:

Combinando (7.32), (7.33) e (7.34), obtém-se:

(7.31) 0 = MQ- E + E + P + E **cP +ΔΔ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

ρ

(7.32) 0 = Q - dEdE + P d + dE *CP δ

ρ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(7.33) E + 1 d P - Q = E d f* δ

ρδ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(7.34) P d 1 + 1 d P = P dρρρ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(7.35) 0 = Q - Ed + Ed + dp 1 + 1 Pd + E + 1 Pd - Q *cPf

_ δρρ

δρ

δ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

281

Cancelando termos, tem-se:

A integração dessa equação ao longo de todo o sistema (com o termo M*

aparecendo novamente) fornece a chamada Equação de Bernoulli, numa forma que

pode ser aplicada à maioria dos problemas de escoamento de fluídos:

Deve-se observar que a equação acima está escrita em termos da unidade de

massa do fluído que está escoando.

O termo Ef acima está associação às perdas por fricção ao longo da tubulação.

A equação (7.37) pode ser rescrita em duas formas básicas, dependendo do fluído

que está escoando. Uma delas aplicada a fluidos incompressíveis. Nesse caso, ρ é

constante ao longo do sistema e pode passar para fora da integral, resultando em:

A outra forma é aplicada a fluidos compressíveis. Considerando o caso de um gás

ideal isotérmico, pode-se obter a seguinte equação para avaliação da densidade em

função da pressão:

onde MM é o peso molecular do gás. (Demonstre esta equação a partir da lei dos gases

(7.36) 0 = E + Ed + Ed + dp 1fcP δ

ρ

(7.37) 0 = E + M+ 2

V - 2

V + )z- (z g + p d 1f

*

1

2 1

2

2 2

12

2

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ ββρ

(7.38) 0 = E + M+ 2

V - 2V + )z(z g + P - P

f*

1

2 1

2

2 2

1212

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ββρ

(7.39) T R

MP = Mρ

282

ideais).

Substituindo (7.39) em (7.37) e integrando, obtém-se:

As expressões (7.38) e (7.40) são as formas mais comuns da equação de

Bernoulli.

7.2.4. Avaliação das perdas por fricção

Para aplicação prática das equações (7.38) e (7.40), torna-se necessário

desenvolver métodos de estimativa das perdas por fricção, Ef, nas várias partes de um

sistema por onde o fluido escoa.

Logicamente, as perdas por fricção poderiam ser determinadas experimentalmente

medindo-se todas as outras grandezas que aparecem nas equações (7.38) ou (7.40),

e deixando apenas o seu valor como incógnita nas equações. Entretanto, o que

normalmente se procura fazer é estimar Ef a partir das características do sistema e usar

as expressões acima para determinar uma outra quantidade, tal como o trabalho

necessário para bombear o fluido a uma dada velocidade ao longo da tubulação. Esse

item é, então, dedicado à avaliação das perdas por fricção que ocorrem nas diversas

partes de um sistema onde ocorre escoamento de um fluído.

7.2.4.1. Perdas por fricção em dutos retos

Será considerado inicialmente o caso de um fluído de densidade constante

(7.40) 0 = E + M+ 2

V - 2

V + )z - z( g + PP ln

PT R

f*

1

2 1

2

2 2

121

2

M⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ββ

283

escoando a uma dada velocidade em um duto horizontal, conforme mostrado na figura

7.5.

Figura 7.5 – Fluido escoando em um duto horizontal com seção transversal constante

Assumindo que o fluído escoa devido a uma diferença de pressão, pode-se

estabelecer através do balanço de forças que:

onde:

- FK = força de atrito entre o fluído e a parede do duto;

- P1 - P2 = diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 (o fluido escoa do ponto 1 para

o 2);

- A = área da seção transversal do duto.

A equação acima é estabelecida considerando que quando o fluído escoa com

velocidade constante, o somatório de forças atuando sobre ele é nulo.

Aplicando-se agora um balanço de energia para o fluído escoando no sistema

visto na figura 7.5, obtém-se:

Pressão P Pressão P1 2

D

L

(7.41) A )P - P( = F 21K

284

Para se chegar à equação acima, considerou-se que o duto tem seção transversal

constante (assim ), está na posição horizontal ( 21 ZZ = ) e que não há

equipamentos para bombeamento do fluido entre os pontos 1 e 2 (M* = 0).

Combinando as equações (7.41) e (7.42), tem-se:

Do Capítulo 6, tem-se que a força de atrito entre o fluido e as paredes do duto

pode se expressa através da seguinte equação:

Para um duto de seção transversal circular, tem-se:

Combinando-se as equações (7.43), (6.26) e (7.44), pode-se obter uma expressão

para estimativa das perdas de energia por fricção em seção retas de tubulações:

(Demonstre que uma equação idêntica à expressão acima seria obtida se fosse

considerado um duto vertical).

A equação (7.45) acima pode também ser usada para dutos não circulares,

bastando substituir o diâmetro D pelo diâmetro hidráulico equivalente, definido pela

(7.42) 0 = E + P - Pf

12

ρ

(7.43) A

F = E Kf ρ

(6.26) f )V 21( L) D ( = F 2

k ρπ

(7.44) 4

D = A2

π

(7.45) V DL f 2 =

4D

f )V 21( L) D (

= E 2 2

2

f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πρ

ρπ

21 V V =

285

equação (6.43).

Exemplo- Um ventilador sobra ar ao longo de um duto retangular com as seguintes

dimensões: seção: 0,20 m x 0,30 m e comprimento de 50,0 m. O ar entra a 20 oC e 750

mm Hg de pressão. A vazão de ar ao longo da tubulação é: 0,5 m3/s. Considerar duto

hidraulicamente liso (rugosidade = 0) e na posição horizontal. Qual deve ser a potência

do ventilador para obter a vazão acima, considerando que na saída o ar está à mesma

temperatura e pressão da entrada?

Solução - O sistema sendo analisado é visto esquematicamente na figura abaixo.

Nesse caso, apesar de se estar soprando um gás, como a temperatura e a pressão não

variam, pode-se considerar a forma da equação de Bernoulli aplicada a um fluido

incompressível. Tem-se:

Como as pressões são as mesmas nos pontos 1 e 2, tem-se que:

12

50 m

ar

0 = E + M+ 2

V - 2

V + )z(z g + P - Pf

*

1

2 1

2

2 2

1212

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ββρ

12 PP =

286

Por se tratar de um conduto horizontal, tem-se:

O ventilador capta o ar que está em repouso, logo:

Com essas considerações, a equação de Bernoulli fica reduzida à:

Para determinar M* resta, então, avaliar a velocidade no ponto 2 e Ef.

Para calcular a velocidade no ponto 2 e Ef é necessário conhecer a densidade do ar,

a área da seção transversal do duto e o número de Reynolds para esse escoamento.

A densidade do ar pode ser calculada através da seguinte relação:

sendo:

Substituindo valores, obtém-se:

A área da seção transversal do duto é:

12 zz =

0 = V 1

0 = E + M+ 2

V f*

2

2 2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

β

T R MP = Mρ

m / kg 1,1844 = 293 x 8,310,02884 x 992,44 99 =

T R MP = 3Mρ

m 0,06 = 0,3 x 0,2 = A 2

mol / J 8,31 = R

)N de % 79 e O de % 21 ndo(considera mol / kg 0,02884 = P

K 293 = 273 + 20 = T

Pa 992,44 99 = Pa 101330 x 0,9868 = atm 0,9868 = Hg mm 750 = P

22M

287

Assim, a velocidade no ponto 2 é:

Para determinar o número de Reynolds, ainda é necessário conhecer a viscosidade do

ar e o diâmetro hidráulico equivalente da tubulação.

A viscosidade do ar nessa temperatura é:

(Relembre o cálculo de viscosidade de gases no Capítulo 3 – Equação (3.10)).

O diâmetro hidráulico equivalente é calculado através da seguinte equação:

Com esses valores, pode-se calcular o número de Reynolds:

Como a tubulação é hidraulicamente lisa, pode-se determinar o fator de fricção a partir

da seguinte equação, usando ε = 0:

Assim, as perdas por fricção são dadas por:

Voltando à equação de Bernoulli e transpondo termos, obtém-se:

s/ m 8,33 = 0,060,5 =

AQ = V 2

m.s / kg 10 x 1,8 = -5μ

m 0,24 = 0,3) + (0,2

0,3 x 0,2 x 2 = Dh

665,46 200 = 10 x 1,18

1,1844 x 8,33 x 0,24 = x V x D = Re

5-2h

μρ

Re6,9 +

3,7ε/D log 3,6- =

f1 1,11

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

s / m 112,757 = )(8,33 x 0,2450 x 0,0039 x 2 = V

DL f 2 = E 2222

hf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

E - 2V - = M f

2

2 2*

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

β

288

Como o fluxo é altamente turbulento (Re >> 2100), β2 = 1, logo:

O valor de M* é negativo pois ele representa o trabalho feito pelo fluido sobre o sistema.

Nesse caso é o sistema (ventilador) que realiza trabalho sobre o fluído.

O valor (M*) representa o trabalho feito pelo ventilador por unidade de massa do fluido

sendo transportado. Logo:

Usando o fator de conversão (veja Capítulo 2 – Tabela 2.2), obtém-se:

7.2.4.2. Perdas por fricção em expansão e contração

As perdas por fricção associadas à presença de expansões ou contrações ao

longo das tubulações são normalmente calculadas através de correlações empíricas,

usando um parâmetro denominado fator de perda por fricção, ef .

Essas perdas são estimadas através da seguinte relação:

O parâmetro ef é determinado através de correlações experimentais, que

expressam o seu valor em função do tipo de expansão ou contração (repentina ou

s / m 147,45 = 112,757 - 1 x 2)(8,33 - = M 22

2 * −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

W 87,32 = 1,1844 x 0,5 x 147,45 = Q M = |M| * ρ

hp 0,117 = 745,787,32 = |M|

(7.46) V e 21 = E 2

ff

289

gradual), da relação das áreas antes e após a contração/expansão e do valor do

número de Reynolds.

a) Contrações

A figura 7.6 mostra esquematicamente uma contração repentina em uma

tubulação.

Figura 7.6 – Vista esquemática de um contração

Para o caso de contrações repentinas (como a que é vista na figura 7.6) e regime

altamente turbulento, o valor do fator de perda por fricção pode ser avaliado através da

seguinte equação:

onde α é definido pela seguinte expressão:

Quando se usa a equação (7.47) para previsão do fator de perda por fricção, a

velocidade que aparece na equação (7.46) deve ser estimada usando a área da seção

após a contração (menor área).

Para o caso de contrações, além da relação de áreas expressa através do

parâmetro α, o acabamento dado à região de transição da maior para a menor seção

1

2

CONTRAÇÃO

(7.47) ) - (1 0,45 = e f α

(7.48) tubulação da ltransversa seçãomaior da área tubulação da ltransversa seçãomenor da área = α

290

também vai afetar o valor do fator de perda por fricção. Este efeito é visto na figura 7.7.

Figura 7. 7 – Correção dos valores de ef em função do acabamento da contração

(Geiger e Poirier, 1973)

Como se vê na figura, o arredondamento da região de entrada da contração faz

com que o fator de perda por fricção seja 1/3 daquele previsto para quinas vivas

(equação (7.47)).

Em outros textos (Gaskell, (1992); White (1979)) existem mais correlações para

previsão dos valores de ef em diversas configurações de contração e para diversos

números de Reynolds.

b) Expansão

Para uma expansão repentina e em escoamento altamente turbulento, o fator de

perda por fricção pode ser estimado a partir da seguinte correlação:

(7.49) ) - (1 = e 2f α

291

Quando se usa a equação acima para avaliação do fator de perda por fricção, a

velocidade que aparece na equação (7.46) deve ser estimada usando a área da seção

antes da expansão (menor área).

Os valores de ef no caso de expansões se aplicam igualmente bem a todos os

tipos de acabamentos dados na região de transição da menor para a maior seção

(exceto para expansões graduais, como será visto a seguir), uma vez que a formação

de vórtices depois das expansões não se altera se as quinas são ou não arredondadas.

Para escoamento através de expansões graduais, as perdas por fricção são

significativamente reduzidas, devido à eliminação de vórtices. Resultados experimentais

mostram que, para esse caso, ef é função do ângulo de abertura e da relação das áreas

A1/A2, como se vê na figura 7.8.

Figura 7.8 – Valores de fator de perda por fricção para expansões graduais e

escoamento turbulento (Geiger e Poirier, 1973)

292

7.2.4.3. Perdas por fricção em válvulas e conexões

Para avaliar as perdas por fricção para escoamento através de válvulas e

conexões, utiliza-se a técnica do comprimento equivalente. As perdas por fricção são

dadas pela seguinte relação:

onde:

- f= fator de fricção avaliado para um número de Reynolds de um tubo com o mesmo

diâmetro da válvula ou da conexão;

- Le = comprimento equivalente da válvula ou conexão. É o comprimento do tubo (de

mesmo diâmetro da conexão ou válvula) que causaria a mesma perda por fricção

provocada pela válvula ou conexão.

É interessante observar que a equação (7.50) é similar à expressão (7.45), usada

para prever perdas por fricção em seções retas de tubulações.

Os valores da relação Le/D para alguns tipos de conexão e válvulas são fornecidos

na tabela 7.1.

Os dados mostrados na tabela 7.1 são válidos para escoamento turbulento.

Desse modo, quando se tem no mesmo sistema várias válvulas e conexões, os

comprimentos equivalentes (Le/D) de todas elas são somados e a equação (7.50) é

utilizada para obter as perdas por fricção.

(7.50) V DL f 2 = E 2 e

f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

293

Tabela 7.1- Relação Le/D para alguns tipos de válvulas e conexões (Geiger e Poirier,

1973)

COMPONENTE Le/D

Joelho de 45º 15

Joelho de 90º, raio padrão 31

Joelho de 90º, raio médio 26

Joelho 90º, quadrado 65

Retorno de 180º 75

Válvula gaveta, aberta 7

Válvula gaveta, ¼ fechada 40

Válvula gaveta, ½ fechada 190

Válvula gaveta, ¾ fechada 840

Uniões Desprezível

Exemplo- Qual é a potência necessária para bombear a água através do sistema

mostrado na figura a seguir ? Água (ρ = 1000 kg/m3 e μ = 1 cP) deve ser descarregada

no tanque superior com uma vazão de 6 x 10-3 m3/s. Toda a tubulação tem diâmetro

interno de 10,16 cm (4 polegadas). A rugosidade da tubulação é 0,1 mm.

Caixa d´água

Joelho de 90raio padrão

o

Bomba

1,524 m

0,1m

91,44 m

36,576 m

24,384 m12,192 m

Joelho de 90raio padrão

o Joelho de 90raio padrão

o

1

2

294

Solução- Os pontos 1 e 2 assinalados na figura serão tomados como base para o

balanço de energia. Como a água é um fluído incompressível, a equação de Bernoulli

aplicada ao sistema em estudo pode ser colocada na seguinte forma:

Para os pontos escolhidos para o balanço, tem-se:

Para se calcular a variação de energia cinética e as perdas por fricção, deve-se

determinar as velocidades nos pontos 1 e 2 e ao longo da tubulação. Para tal, usa-se

a vazão fornecida. O balanço global de massa estabelece que:

Como a densidade da água é constante, tem-se:

As seções transversais no ponto 2 e ao longo da tubulação são as mesmas, logo as

velocidades da água nestas duas regiões serão iguais. Considerando também que a

área do reservatório (ponto 1) é bem maior que a do ponto 2 (saída da tubulação),

pode-se, para efeito de estimativa da variação de energia cinética, assumir que:

sendo, portanto, desprezível.

Usando o diâmetro da tubulação, pode-se calcular a área no ponto 2 e ao longo do

0 = E + M+ 2

V - 2

V + )z(z g + P - Pf

*

1

2 1

2

2 2

1212

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ββρ

caatmosférii12 P = P = P

m 25,908 = 12,192) - 36,576 + (1,524 = zz 12 −

V A = V A = V A dutodutoduto222111 ρρρ

V A = V A = V A = Q dutoduto2211

V < < < V 21

295

duto:

Logo, as velocidades ao longo da tubulação e no ponto 2 são:

Deve-se agora determinar o valor de β2. Isto é feito avaliando-se o número de Reynolds

no ponto 2, para saber se o escoamento é laminar ou turbulento. Tem-se:

Como Re > 2100, o escoamento é turbulento e β2 é, então, igual a 1.

Pode-se agora avaliar a variação da energia cinética entre os pontos 1 e 2:

Para se determinar a potência da bomba, é, ainda, necessário estimar as perdas de

energia por fricção entre os pontos 1 e 2. Ao longo do trajeto entre estes dois pontos,

tem-se perdas associadas à:

- contração na entrada do duto que está no interior do reservatório;

- fricção ao longo das seções retas de tubulação;

- fricção nos 3 joelhos de 90o.

a) Perda associada à contração

Conforme visto acima, esta perda é estimada a partir da seguinte equação:

m 0,0081 = 4

)(0.1016 = 4

D = A = A 222

dutoduto2 ππ

m/s 0,74 = AQ = V = Vduto

duto2

184 75 = 0,001

1000 x 0,74 x 0,1016 = V D = Re 2duto

μρ

s/m 0,274 = 0 - 1 x 2

(0,74) = 2

V - 2

V 222

1

2 1

2

2 2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ββ

V e 21 = E 2

dutoff

296

sendo que, para contrações repentinas, ef é dado por:

Para a configuração sendo estudada:

Considerando a configuração da região onde o fluido entra no duto, deve-se introduzir

a correção no valor de ef acima, conforme indicado na figura 7.6. Tem-se, então, que:

Logo, as perdas pela contração são:

b) Perda associada às seções retas

As perdas em seções retas são avaliadas pela equação:

Inicialmente, avalia-se o fator de fricção para o escoamento dentro da tubulação.

O fator de fricção é calculado pela seguinte equação:

Substituindo valores:

O comprimento total das seções retas é:

As perdas nas seções retas são, então:

) - (1 0,45 = e f α

0 ≈α

0,90 = 2 x 0) - (1 x 0,45 = e f

s/m 0,246 = (0,74) (0,9) 21 = V e 2

1 = E 2222 dutoff

V D

L f 2 = E 2 duto

dutof ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Re6,9 +

3,7D/

log 3,6- = f

11,11ε

0,0056 = 75184

6,9 + 3,7

(0,1016)/(0,0001) log 3,6- = f

1 1,11

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

m 166,216 = 12,192 + 24,384 + 36,576 + 91,44 + 1,524 + 0,1 = L

s/m 10,034 = (0,74) 0,1016166,216 (0,0056) 2 = V

DL f 2 = E 2222

dutoduto

f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

297

c) Perdas nos joelhos de 90o

As perdas por fricção em conexões são determinadas através da seguinte relação:

Considerando 3 joelhos de raio padrão, tem-se:

e

De posse dos valores determinados acima, pode-se retornar à equação de Bernoulli,

para avaliação da potência da bomba. Tem-se:

O valor negativo de M* deve-se ao fato do fluído estar recebendo trabalho da bomba

e não realizando trabalho sobre ela.

A potência da bomba pode ser determinada multiplicando o valor acima pela vazão de

massa de água na tubulação. Tem-se:

O valor acima corresponde ao valor de energia que a bomba efetivamente transfere

V DL f 2 = E 2

dutoduto

ef ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

31 = DLe ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

( ) s/m 0,570 = (0,74) 31( )3 (0,0056) 2 = V DL f 2 = E 2222

dutoe

f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

s/m 265,02- = M

0,570) + 10,034 + (0,246 + M+ 0,274 + (25,908) 9,8 + 0 =

= E + M+ 2

V - 2V + )z(z g + P - P

22*

*

f*

1

2 1

2

2 2

1212

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ββρ

hp 2,13 = W 1590,12 = 1000 x 10 x 6 x 265,02 = Q |M| = bomba da Potência -3_ ρ

298

para o fluído. A potência da bomba deve ser maior que o valor acima, devido às perdas

que ocorrem no seu interior. Estas perdas são normalmente incorporadas no cálculo

assumindo uma eficiência da bomba. Este valor depende basicamente do tipo e do

projeto do equipamento sendo usado. Para uma eficiência de 50 %, ter-se-ia:

7.3- Escoamento em Panelas e Distribuidores

Em várias situações de interesse prático, o metal contido em panelas e

distribuidores é vazado destes recipientes para lingoteiras ou moldes, onde são

solidificados. Nesses casos, torna-se relevante obter relações que permitam determinar

a taxa de vazamento do metal, em função do seu nível dentro do recipiente que o

contém. A equação de Bernoulli permite fazer o estudo destes sistemas, de maneira a

estabelecer as relações acima.

Inicialmente será estudado o caso de uma panela cilíndrica, sendo vazada através

de um orifício no seu fundo.

7.3.1- Vazamento de uma panela

A configuração do sistema em estudo é visto na figura 7.9.

hp 61,4 = 0/100)5(2,13 = bomba da Potência

299

Figura 7. 9 – Vista esquemático de uma panela contendo metal

Para se estabelecer uma equação relacionando a velocidade do metal no orifício

de vazamento com a altura de metal na panela, pode-se aplicar a equação de Bernoulli

aos pontos 1 e 2, conforme mostrado na figura. Como trata-se de um fluido

incompressível, a equação de Bernoulli fica na seguinte forma:

Para os pontos escolhidos para o balanço, tem-se:

Para se calcular a variação de energia cinética, deve-se relacionar as velocidades

nos pontos 1 e 2. Para tal, pode-se estabelecer um balanço de massa entre os pontos

1 e 2. Tem-se:

Como a densidade do metal é constante, tem-se:

Atmosfera

Atmosfera

Metal

h

PanelaDiâmetro: D panela

OrifícioDiâmetro: D orifício

1

2

(7.38) 0 = E + M+ 2

V - 2V + )z(z g + P - P

f*

1

2 1

2

2 2

1212

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ββρ

(7.51) P = P = P aatmosféric12

(7.52) h - = zz 12 −

(7.53) V A = V A 222111 ρρ

300

As seções transversais nos pontos 1 e 2 são avaliadas através das seguintes

equações:

Substituindo as relações acima na equação (7.54), obtém-se:

Como o diâmetro do orifício é bem menor que o da panela, pode-se afirmar que:

Dessa forma, a variação de energia cinética entre os pontos 1 e 2 pode ser

estimada através da seguinte expressão:

Para o sistema em análise, não há equipamentos para bombeamento do fluído,

logo:

Resta agora avaliar as perdas por fricção entre os pontos 1 e 2. Estas perdas estão

associadas a:

- fricção em seção reta no interior da panela;

- fricção devido à contração na entrada do orifício.

(7.54) V A = V A 2211

(7.55) 4

D = A2panela

1 π

(7.56) 4

D = A2orificio

2 π

(7.57) V DD = V 22

panela

2orificio

1

(7.58) V < < < < V 21

(7.59) 2V

2V -

2V

2

2 2

1

2 1

2

2 2

βββ≈⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

(7.61) 0 =M *

301

A perda por fricção na seção reta no interior da panela pode ser avaliada através

da seguinte equação:

Já a perda por fricção na contração é avaliada através da seguinte expressão:

Para contração, o fator de perda por fricção é dado por:

onde:

Para a situação em estudo:

Considerando que a contração não possui nenhum acabamento especial na região

de entrada, tem-se:

Assim, as perdas por fricção são dadas por:

Como visto acima, a velocidade no ponto 1 é bem menor que a velocidade no

ponto 2. Dessa forma, o termo associado às perdas no interior da panela podem ser

desprezados quando comparados com a perda devido à contração.

Voltando à equação de Bernoulli, incorporando as avaliações acima, tem-se:

(7.62) V D

h f 2 = E 2 1

panelapanelaf ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(7.63) V e 21 = E 2

2ff

(7.64) ) - (1 0,45 = e f α

(7.65) panela da ltransversa seçãoda área orifício do ltransversa seçãoda área = α

(7.66) 0 ≈α

(7.67) 0,45 = 0) - (1 x 0,45 = e f

)8(7.6 V (0,45) 21 + V

Dh f 2 = E 2

22

1panela

panelaf ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

302

Rearranjando termos, pode-se obter uma equação para a velocidade do metal na

saída da panela:

A equação (7.66) é comumente escrita na seguinte forma:

onde CD é denominando coeficiente de descarga e é avaliado por:

É interessante observar que considerando escoamento turbulento na saída da

panela (β2 =1) e desprezando as perdas por fricção, o valor de CD se torna unitário e

tem-se, então, a máxima velocidade do metal no orifício, que é dada por:

Exemplo- Adapte a equação (7.71) acima para a situação mostrada na figura abaixo,

onde se tem um duto refratário acoplado ao orifício da panela. Nesse duto, foi colocada

uma válvula gaveta, cuja abertura pode ser modificada.

)9(7.6 0 = V (0,45) 21 +

2V + (-h) g 2

22

2 2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

β

)70(7. 0,45 +

1

h g 2 = V

2

21

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β

[ ] )71(7. h g 2 C = V 21

D2

)72(7. 0,45 +

1

1 = C

2

21

D

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β

[ ] )73(7. h g 2 = V 21

2

303

Solução - Para se estabelecer uma relação para avaliação da velocidade do metal na

saída da panela, aplica-se novamente a equação de Bernoulli, mas agora com os

pontos 1 e 2 selecionados conforme indicação na figura acima. A mudança na

localização do ponto 2 é feita por conveniência, pois se fosse mantida a sua localização

na saída da panela, não seria possível assumir a sua pressão como igual à pressão

atmosférica. Usando a localização mostrada na figura, pode-se novamente assumir que:

onde Lduto é o comprimento do duto refratário acoplado à panela.

Para se calcular a variação de energia cinética, deve-se relacionar as velocidades nos

pontos 1 e 2. Para tal, desenvolve-se um balanço de massa entre os pontos 1 e 2. Já

considerando uma densidade constante para o metal, tem-se:

Atmosfera

Metal

h

PanelaDiâmetro: Dpanela

1

Lduto

2Diâmetro: Dduto

Válvula gaveta

P = P = P aatmosféric12

) L + h ( - = z - z duto12

V A = V A 2211

304

As seções transversais nos pontos 1 e 2 são avaliadas através das seguintes equações:

Substituindo as relações acima na equação do balanço de massa, obtém-se:

Como o diâmetro do duto é bem menor que o da panela, a variação de energia cinética

entre os pontos 1 e 2 pode ser estimada através da seguinte expressão:

Para o sistema em análise, não há equipamentos para bombeamento do fluído, logo:

Para o caso em análise, as perdas por fricção estão associadas a:

- fricção em seção reta no interior da panela;

- fricção devido à contração na entrada do orifício;

- fricção na seção reta do duto refratário;

- fricção devido á válvula gaveta.

A perda por fricção na seção reta no interior da panela é avaliada através da seguinte

equação:

Já a perda por fricção na contração é avaliada através da seguinte expressão:

4D = A

2panela

1 π

4D = A

2duto

2 π

V DD = V 22

panela

2duto

1

βββ 2

2 2

1

2 1

2

2 2

2V

2V -

2V ≈⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

0 = M *

V D

h f 2 = E 2 1

panelapanelaf ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

V e 21 = E 2

2ff

305


onde:

Para a situação em estudo:

Considerando ainda que a contração não possui nenhum acabamento especial na

região de entrada, tem-se:

A perda por fricção na seção reta no interior do duto é dada por:

A perda na válvula gaveta é estimada através de :

onde o valor do parâmetro Le/D depende da abertura da válvula.

Assim, as perdas totais por fricção são dadas por:

Como visto acima, a velocidade no ponto 1 é bem menor que a velocidade no ponto 2.

Dessa forma, o termo associado à perda no interior da panela pode ser desprezado em

relação às demais perdas. Voltando à equação de Bernoulli, incorporando as

) - (1 0,45 = e f α

panela da ltransversa seçãoda área duto do ltransversa seçãoda área

= α

0 ≈α

0,45 = 0) - (1 x 0,45 = e f

V DL f 2 = E 2

2duto

dutodutof ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

V DL f 2 = E 2

2e

gaveta válvuladutof ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

V DL f 2 + V

DL f 2 + V (0,45)

21 + V

Dh f 2 = E 2

2e

gaveta válvuladuto

2 2

duto

dutoduto

2 2

2 1

panelapanelaf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

306

avaliações acima, tem-se:

Rearranjando termos, pode-se obter uma equação para a velocidade do metal na saída

da panela:

A dificuldade que surge para o uso da equação acima para avaliação da velocidade na

saída da panela está associada ao fato do fator de fricção (fduto) depender do número

de Reynolds, que, por sua vez, depende da velocidade de saída do metal. Dessa forma,

para se avaliar a velocidade é necessário conhecer fduto, mas para avaliar este

parâmetro precisa-se conhecer a velocidade. Esta dificuldade é contornada utilizando-

se um método iterativo. Nesse método, parte-se de um valor inicial de fduto (que não é

correto, pois não se conhece a velocidade do metal) e determina-se a velocidade. Esta

velocidade é também aproximada, pois foi calculada usando um valor incorreto para o

fator de fricção. Com essa nova velocidade, calcula-se o número de Reynolds e um

valor atualizado para o fator de fricção. Com este valor, reinicia-se o processo,

executando-se mais uma iteração. Usualmente, este processo iterativo converge e os

valores de velocidade e de fator de fricção começam a se repetir após sucessivas

iterações. Um exemplo de aplicação deste método é apresentado a seguir. Para tal,

serão usados os seguintes dados:

- altura de aço na panela, h = 3 m;

0 = V DL f 2 + V

DL f 2 + V (0,45)

21 +

2V + ) L + h ( g - 2

2e

gaveta álvula vduto

2 2

duto

dutoduto

2 2

2

2 2

duto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

β

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

DL f 4 +

DL f 4 + 0,45 +

1

) L + h ( g 2 = Ve

gaveta válvuladuto

duto

dutoduto

2

duto

21

2

β

307

- comprimento do duto, Lduto = 1 m;

- rugosidade do duto, εduto = 0,0002 m.

- diâmetro do duto, Dduto = 0,075 m.

- válvula gaveta metade aberta, (Le/D) = 190.

Considerando que o fluído é o aço líquido, tem-se:

- densidade, ρ = 7000 kg/m3;

- viscosidade, μ = 0,007 Pa.s.

Substituindo dados na equação para a velocidade, tem-se:

O fator de fricção é estimado através da seguinte expressão (assumindo escoamento

turbulento):

Substituindo dados:

Inicia-se o processo iterativo com um valor arbitrário de fduto. Assumindo esse valor

como 0,005, e substituindo na equação para a velocidade (equação (A)), tem-se:

( )(A)

190 f 4 + 0,075

1 f 4 + 0,45 + 1) 1 + 3 ( x 9,8 x 2 = V

dutoduto2

21

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

β

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

μρ

ε V D

6,9 + 3,7

D/ log 3,6- = f1

2duto

dutoduto1,11

duto

(B)

0,007)7000 )(V( )0,075(

6,9 + 3,7

0,075 / 0,0002 log 3,6- = f1

2

1,11

duto⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

308

Substituindo este valor na equação B, tem-se:

Com estes dois cálculos, executou-se uma iteração. Repetindo-se este processo,

obtém-se a tabela abaixo:

Iteração Velocidade (m/s) Fator de fricção

1 3,7698 0,006459

2 3,4200 0,006470

3 3,4176 0,006470

4 3,4176 0,006470

Pela tabela acima, constata-se que após a quarta iteração os valores de velocidade e

fator de fricção começam a repetir. Desse modo, a velocidade correta é 3,4176 m/s.

Uma outra forma de resolver o problema pode ser adotada através do uso de planilhas

eletrônicas. Nesse caso, a equação para fduto seria substituída na equação para a

velocidade e se buscaria o zero da seguinte função:

Logicamente, o resultado é idêntico ao obtido através do método iterativo.

Exercício - Usando uma planilha, analise o efeito da abertura da válvula e do

comprimento do duto refratário sobre a velocidade do metal na saída da panela.

Construa gráficos mostrando os resultados obtidos.

m/s 3,7698 = V 2

0,006459 = f duto

( )0 =

190 f 4 + 0,075

1 f 4 + 0,45 + 1) 1 + 3 ( x 9,8 2x - V = função

)Vf(duto

)Vf(duto

2

21

222 ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

β

309

7.3.2- Transferência de metal do distribuidor para o molde

Nesse item vai ser estudado o processo de transferência de metal do distribuidor

para o molde de lingotamento contínuo. O sistema é visto na figura 7.10.

Para a configuração mostrada na figura 7.10, vai ser desenvolvida uma expressão

para determinação da vazão de aço entre os dois reatores, em função da altura de aço

no distribuidor e da posição de abertura da válvula gaveta. Novamente, a equação de

Bernoulli pode ser utilizada para obter esta expressão.

Figura 7.10 - Vista esquemática do sistema de transferência de metal do distribuidor

para o molde de lingotamento continuo

Distribuidor

Molde

Válvula gaveta

h

p

L

Atmosfera

AtmosferaD

Aço líquido

Aço líquido

duto

1

2duto

310

Para a situação em análise, a equação de Bernoulli fica na seguinte forma:

A escolha da localização dos pontos 1 e 2 deve ser feita considerando que nestes

pontos deve-se conhecer os parâmetros que aparecem na equação de Bernoulli, tais

como pressão, velocidade e altura em relação a um dado plano de referência. Destes

parâmetros, o que apresenta maior dificuldade é a pressão. Nesse caso, a escolha mais

conveniente é aquela mostrada na figura 7.10, com os pontos 1 e 2 localizados nas

superfícies do metal no distribuidor e no molde, respectivamente.

Para estes pontos, tem-se que:

Para as posições relativas destes pontos, pode-se escrever a seguinte equação:

Para calcular a variação de energia cinética e as perdas por fricção, deve-se

conhecer as velocidades nas diversas regiões do sistema. A relação entre estas

velocidades é expressa pela equação abaixo (obtida através de um balanço de massa):

Como a densidade do metal é constante, tem-se:

)4(7.7 0 = E + 2

V - 2V + )z(z g + P - P

f1

2 1

2

2 2

1212

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ββρ

)5(7.7 P = P = P aatmosféric12

)6(7.7 ) p - L + h ( - =zz duto12 −

)7(7.7 V A = V A = V A dutodutoduto222111 ρρρ

)8(7.7 V A = V A = V A dutoduto2211

311

As seções transversais nos pontos 1, 2 e no duto são avaliadas através das

seguintes equações:

onde:

- Wdist = largura do distribuidor;

- Tdist = espessura do distribuidor;

- Wmolde = largura do molde;

- Tmolde = espessura do molde.

Substituindo as relações acima na equação (7.74), obtém-se:

Para as dimensões usuais de distribuidores e moldes, pode-se escrever que:

:

Dessa forma, pode-se afirmar que os termos associados à energia cinética são

pouco relevantes, sendo válida a seguinte aproximação:

)9(7.7 T x W = A distdist1

)80(7. T x W = A moldemolde2

)81(7. 4

D = A2duto

duto π

)82(7. V T W 4

D = V dutodistdist

2duto

1π

)83(7. V T W 4

D = V dutomoldemolde

2duto

2π

)4(7.8 V < < < < V duto1

)5(7.8 V < < V duto2

)6(7.8 0 2

V - 2V

1

2 1

2

2 2 ≈⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

ββ

312

Deve-se agora avaliar as perdas por fricção entre os pontos 1 e 2. Estas perdas

estão associadas à:

- a - fricção em seção reta no interior do distribuidor;

- b - fricção devido à contração na entrada do orifício na saída do distribuidor;

- c - fricção na seção reta do duto;

- d - fricção devido à válvula gaveta;

- e - fricção devido à expansão na saída do duto e entrada do molde;

- f - fricção na seção reta do molde.

As perdas por fricção nas seções retas são proporcionais ao quadrado da

velocidade na seção em consideração (veja equação (7.62), por exemplo). Como as

velocidades no interior do distribuidor e do molde são pequenas (especialmente quando

comparadas com a velocidade no duto), pode-se desprezar as perdas relativas aos

itens “a” e “f” listados acima. A seguir serão, então, avaliadas as perdas associadas aos

itens de “b”, a “e”.

b- Fricção devido à contração na entrada do orifício na saída do distribuidor

A perda por fricção na contração é avaliada através da seguinte expressão:


onde:

)7(7.8 V e 21 = E 2

dutoff

)8(7.8 ) - (1 0,45 = e f α

)9(7.8 ordistribuid do ltransversa seçãoda área

duto do ltransversa seçãoda rea á = α

313

Como já comentado anteriormente, para o caso em análise tem-se que:

Considerando que a contração não possui nenhum acabamento especial na sua

região de entrada, tem-se:

Assim:

c- Fricção na seção reta do duto

Estas perdas são avaliadas através da seguinte equação:

d- Fricção devido à válvula gaveta

As perdas devido à presença da válvula gaveta são estimadas através da

expressão:

onde (Le/D)válvula depende da abertura da válvula gaveta.

e- Fricção devido à expansão na saída do duto e entrada do molde

A perda por fricção na expansão é dada por:

Para expansão, o fator de perda por fricção é dado por:

)90(7. 0 ≈α

)91(7. 0,45 = 0) - (1 x 0,45 = e f

)92(7. V x 0,45 x 21 = E 2

dutof ocontraáª

)93(7. V DL f 2 = E 2

dutoduto

dutodutof duto ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

)4(7.9 V DL f 2 = E 2

dutoe

lvula vdutof lvula v

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

)5(7.9 V e 21 = E 2

dutoff

314

onde

Novamente pode-se escrever que:

Assim:

Somando todas as perdas por fricção, tem-se:

Colocando o quadrado da velocidade no duto em evidência, tem-se:

Substituindo estes termos na equação de Bernoulli:

Rearranjando, obtém-se uma expressão para a velocidade do metal no duto:

)6(7.9 ) - (1 = e 2f α

)7(7.9 molde do ltransversa seçãoda área duto do ltransversa seçãodaárea

= α

)8(7.9 0 ≈α

)9(7.9 V x 1 x21 = E 2

dutof oexpansª

)100(7. V x 1 x21 +V D

L f 2 + V DL f 2 + V 0,45x x

21 = E 2

duto2 duto

e

lvula vduto

2 duto

duto

dutoduto

2 dutof ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

)101(7. 1 + DL f 4 +

DL f 4 + 0,45 V 2

1 = E e

lvula vduto

duto

dutoduto

2 dutof ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

)102(7. 0 = 1 + DL f 4 +

DL f 4 + 0,45 V 2

1 + ) p - L + h ( g - e

válvuladuto

duto

dutoduto

2 dutoduto ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

)103(7. 1 +

DL f 4 +

DL f 4 + 0,45

) p - L + h ( g 2 = Ve

válvuladuto

duto

dutoduto

duto

21

duto

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

315

Exemplo- Usar a equação (7.98) para determinar a velocidade do aço no duto que liga

o distribuidor e o molde de lingotamento contínuo. Considerar os seguintes dados:

- comprimento do duto, Lduto = 1m;

- altura de aço no distribuidor, h = 0,80 m;

- diâmetro do duto, Dduto = 0,075 m;

- penetração do duto no interior do molde, p = 0,20 m;

- rugosidade do duto, ε = 0,0002 m;

- posição da válvula gaveta: meio aberta.

Solução- Substituindo dados na equação (7.98) acima, tem-se:

Para determinar a velocidade no duto, resta avaliar o fator de fricção. Este fator é

calculado através da seguinte expressão:

Substituindo dados:

As equações (A) e (B) devem ser resolvidas simultaneamente para que se determine

a velocidade no duto. Usando métodos iterativos, obtém-se:

( )(A)

1 + 190 f 4 + 0,075

1 f 4 + 0,45

) 0,20 - 1 + 0,8 ( x 9,8 x 2 = Vdutoduto

21

duto

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

μρ

ε V D

6,9 + 3,7

D/ log 3,6 - = f1

dutoduto

dutoduto1,11

duto

(B)

0,0077000 V 0,075

6,9 + 3,7

0,075 / 0,0002 log 3,6 - = f1

duto

1,11

duto⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

316

A partir da velocidade, determina-se as vazões volumétrica e de massa de aço. Tem-se:

e

Analise o efeito da abertura da válvula gaveta sobre a vazão de aço.

7.4. Técnicas de medida de vazão de fluidos

Em muitas situações, a operação eficiente e o controle de processos metalúrgicos

e de montagens experimentais requerem informações relativas às quantidades de fluido

que estão escoando. Para medidas de escoamento em dutos fechados, existe uma

grande variedade de equipamentos, tais como: medidores de diferença de pressão,

medidores de área variável, etc. Neste item serão estudados alguns dispositivos de

medida de vazão de fluídos, cujos princípios de funcionamento se encontram

associados à equação de Bernoulli.

7.4.1. Medidores de diferença de pressão

Um grupo de dispositivos de medida de vazão de fluídos permite avaliar essa

vazão a partir da determinação de diferenças de pressão nos sistemas por onde o fluído

escoa. Neste grupo, encontram-se os medidores de orifício (placa de orifício e Venturi)

e o tubo de Pitot.

0,006542 = f e m/s 2,152 = V dutoduto

/sm 0,0095 = 2,152 x 4

(0,075) = V 4D = Q 3

2

duto

2duto ππ

ton/h 239,6 = kg/s 66,55 = )7000.( )0,0095( = x Q = ρΓ

317

7.4.1.1. Medidores de orifício

As figuras 7.11 e 7.12 apresentam dois exemplos de medidores de orifício. Ambos

possuem o mesmo princípio de funcionamento, que consiste em introduzir uma redução

(brusca como no caso da placa de orifício, ou gradual como no Venturi) na seção

transversal do duto por onde o fluído escoa. Essa redução provoca um aumento local

na velocidade do fluido, com o correspondente decréscimo na pressão. Esse

decréscimo de pressão é medido e usado para deduzir a vazão de fluído.

Figura 7.11 - Vista esquemática de uma placa de orifício

Figura 7.12 - Vista esquemática de um Venturi

1

2D1 D2

P - P1 2

P - P

1 2

D DD

Placa de orifício

1

1 2

0 2

Vena contracta

Limite da região do fluidocom velocidades positivas

318

Para a análise a ser desenvolvida será considerada a placa de orifício vista na figura

7.11. Nesse dispositivo, um disco fino com um orifício circular no centro é inserido no

duto, conforme indicado na figura.

Como se vê na figura 7.11, o fluxo se contrai antes do orifício e continua a contrair

por uma pequena distância a partir da posição da placa do orifício, formando uma

região onde a área para escoamento é mínima. A posição onde isso acontece é

denominada “vena contracta”.

Para se entender o princípio de funcionamento deste equipamento, será aplicada

a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2 na figura 7.10. Nesse estudo, serão

desprezadas as perdas por fricção e considerar-se-á a forma da equação de Bernoulli

válida para fluídos incompressíveis. Isso visa simplesmente facilitar o tratamento

matemático do problema. Tratamentos similares podem ser feitos introduzindo as

perdas por fricção e usando a equação de Bernoulli para fluídos compressíveis.

Para os pontos 1 e 2 da figura 7.10, a equação de Bernoulli toma a seguinte forma:

Considerando escoamento turbulento em ambos os pontos, tem-se: β1 = β2 = 1,

logo:

Considerando que o fluído possui densidade constante e aplicando-se um balanço

de massa entre os pontos 1 e 2, obtém-se:

)104(7. 0 = 2

V - 2V +

P - P

1

2 1

2

2 212

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ββρ

)5(7.10 0 = 2

V - 2

V + P - P 2

12 212

ρ

)6(7.10 V A = V A 2211

319

Mas, tem-se que:


ou ainda:

Substituindo a equação (7.105) na equação de Bernoulli, obtém-se:

Explicitando a velocidade no ponto 2, tem-se:

Essa é a velocidade teórica no ponto de vena contracta. Essa expressão não

considera as perdas por fricção e a velocidade calculada através dela não é alcançada

na prática. Além disso, a equação acima não é útil para se determinar a vazão do fluido,

uma vez que não se conhece o diâmetro D2. Seria mais interessante ter uma equação

)8(7.10 4

D = A

)7(7.10 4

D = A

22

2

21

1

π

π

)9(7.10 V D = V D 2221

21

)10(7.1 V DD = V 2

1

22

1 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

)11(7.1 0 = DD - 1

2V + P - P

1

242

212

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ρ

)12(7.1

DD - 1

)P - P( 2 = V

1

24

212

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ρ

320

que avaliasse a velocidade em função do diâmetro da abertura da placa de orifício e

que também levasse em consideração os efeitos da fricção.

Para introduzir os efeitos acima e para permitir a avaliação da velocidade na

região do orifício é introduzido na equação (7.112) um coeficiente de descarga, CD,

determinado empiricamente. Com a introdução deste coeficiente, a equação (7.107)

passa a ser escrita da seguinte forma:

Uma outra forma de escrever a equação acima é:

onde K é denominado coeficiente de escoamento e é avaliado pela seguinte expressão:

onde B é a relação entre os diâmetros do orifício e do duto:

A figura 7.13, determinada experimentalmente, mostra os valores de K em função

do parâmetro B, definido acima, e da posição do medidor de pressão, após a placa de

orifício.

O exemplo a seguir ilustra a determinação do valor de K para uma dada placa de

)13(7.1

DD - 1

)P - P( 2 C = V

1

o4

21Do

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ρ

)14(7.1

)P - P( 2 K = V21

o ρ

)5(7.11 B - 1

C =

DD - 1

C = K4

D

1

o4

D

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

)6(7.11 DD = B

1

o

321

orifício.

Figura 7.13 - Valores do coeficiente de escoamento para a placa de orifício (Geiger e

Poirier, 1973)

Exemplo- Determine o valor do coeficiente de escoamento para uma placa de orifício

com abertura de 20 cm, instalada em duto com diâmetro de 40 cm. O segundo medidor

de pressão está instalado 60 cm após a placa de orifício.

Solução - Pelos dados acima, tem-se que:

0,5 = DD = B

cm 40 = D cm 20 = D

1

o

1o

322

A posição do segundo medidor de pressão, expressa em termos da razão entre sua

distância à placa de orifício e o diâmetro do duto, é:

Usando os dados acima, pode-se usar a figura 7.13 para determinar o valor de K,

conforme indicado na figura a seguir.

Para a configuração da placa de orifício e posição do medidor de pressão propostos,

o valor de K é de aproximadamente 0,65. Dessa forma, a velocidade média do fluido no

orifício será dada por:

e a vazão volumétrica por:

1,5 = cm40cm 60 =

dutododiâmetroplaca aaté pressão de medidor do distância

=

= pressão de medidor segundodo Posição

)P - P( 2 0,65 = V

21o ρ

)P - P( 2

4D 0,65 = V 4

D = Q 212o

o

2o

ρππ

323

A equação (7.113) se aplica ao medidor do tipo Venturi; entretanto, o valor do

coeficiente de descarga, CD, é próximo de um. Para este tipo de medidor, a máxima

contração corresponde exatamente à posição onde P2 é medido.

Como visto na figura 7.13, para uma placa de orifício é de grande importância a

escolha da posição dos medidores de pressão em relação à placa. Usualmente, um

medidor de pressão é colocado de um a dois diâmetros do tubo à frente da placa de

324

orifício, enquanto o outro medidor de pressão é colocado a meio diâmetro do tubo

depois da placa ou, então, no vena contracta, cuja posição pode ser determinada

experimentalmente.

7.4.1.2. Tubo de Pitot

O tubo de Pitot é um instrumento para avaliação de velocidades puntuais de

fluidos. Esta velocidade é determinada através da medida da diferença entre a pressão

estática e a pressão de impacto (chamada de pressão estagnante) em um dado ponto

de escoamento. A abertura de impacto está posicionada perpendicular ao escoamento,

enquanto os orifícios estáticos estão paralelos à direção do escoamento. A figura 7.14

mostra esquematicamente um tubo de Pitot.

Figura 7.14 - Vista esquemática de um tubo de Pitot

Para se obter uma relação entre a diferença de pressão medida e a velocidade do

1 2

P - P1 2

Furos na parede externa

325

fluido em um dado ponto ao longo da seção transversal de um duto, deve-se

estabelecer um balanço de energia (equação de Bernoulli) entre os pontos 1, no início

da abertura de impacto , e 2, conforme indicados na figura 7.14.

Aplicando-se a equação de Bernoulli, assumindo um fluído incompressível e

desprezando as perdas por fricção, tem-se:

Considerando β2 = 1 (escoamento turbulento) e que no ponto 1 a velocidade do

fluido cai para zero, pode-se rescrever a equação (7.112) na seguinte forma:

ou ainda:

Para corrigir os efeitos das aproximações feitas no desenvolvimento da relação

acima (incompressibilidade do fluido e inexistência de perdas por atrito), normalmente

é incorporado na equação (7.114) um coeficiente CP, denominando coeficiente de tubo

de Pitot, e a expressão fica na seguinte forma:

Geralmente, esse coeficiente possui valores na faixa de 0,98 a 1,00.

Um cuidado que se deve ter com o uso de tubos de Pitot está associado à

localização e à forma das aberturas estáticas, de tal modo que elas possam oferecer

uma medida real da pressão estática ao longo da mesma linha de escoamento em que

)7(7.11 0 = 2

V - 2

V + P - P1

2 1

2

2 212

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ββρ

)8(7.11 0 = 2

V + P - P2 212

ρ

)9(7.11 )P - P( 2 = V21

2 ρ

)20(7.1 )P - P( 2 C = V21

P2 ρ

326

é medida a pressão de impacto. Rebarbas ou localizações não paralelas destas

aberturas introduzem erros nas medidas.

Como o tubo de Pitot mede apenas velocidades locais, para se determinar a

velocidade média deve-se obter os valores de velocidade em diversos pontos ao longo

da seção transversal do duto. Para obter a densidade ρ, usualmente se determina a

temperatura antes do tubo de Pitot.

Em algumas situações, a velocidade máxima, Vmáxima (medida no centro do duto)

pode ser relacionada com a velocidade média. Isto evita que se tenha que determinar

a velocidade em vários pontos. Como se viu no Capítulo 4 (equações (4.117) e (4.126)),

para fluxo laminar em dutos circulares, tem-se:

Para escoamento turbulento em dutos circulares e para números de Reynolds

entre 104 e 107, tem-se:

Para números de Reynolds entre 2100 e 104 não existe nenhuma expressão

relacionando V e Vmáxima.

Exemplo - Um tubo de Pitot está instalado em um tubo com sua abertura de impacto ao

longo da linha central. O diâmetro interno do tubo é de 0,3048 m. Ar a 65,5 oC e

82736,4 Pa de pressão relativa escoa através do tubo. A pressão barométrica é

99323,4 Pa. A diferença de pressão medida pelo tubo de Pitot é de 104,55 Pa. A

viscosidade do ar é: 2 x 10-5 kg/m.s. Estime a vazão de massa de ar.

)21(7.1 21 =

VV

xima má

__

)22(7.1 V D log x 0,04 + 0,62 = V

V xima má

xima má

__

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

ρ

327

Solução: Inicialmente, determina-se a densidade do ar nas condições de medida.

A pressão absoluta na região de interesse é:

A densidade do ar é calculada pela seguinte expressão:

sendo:

- MM = massa molecular do ar = 0,02884 kg/mol;

- R = constante dos gases = 8,31 J/mol.K;

- T = temperatura (K).

Substituindo valores, tem-se:

Assumindo Cp = 0,99, pode-se calcular a velocidade máxima do ar (no centro do tubo):

Determina-se agora o número de Reynolds baseado na velocidade máxima. Tem-se:

Assim, tem-se:

e

Pa 059,8 182 = 323,4 99 + 736,4 82 = P2

T R MP = Mρ

mkg/ 1,867 = 273) + (65,5 ).8,31(

)0,02884( . 059,81) (182 = T R

MP = 3Mρ

m/s 10,477 = 1,867104,55 x 2 0.99 = P 2 C = V P2 ρ

Δ

424 301 = 10 x 2

1,886 10,477x x 0,3048 = V D = Re 5-áxima m

áxima m μρ

( ) 0,839 = 424 301 log x 0,04 + 0,62 = V

Váxima m

m/s 8,79 = 10,477 x 0,839 = V

328

Finalmente, a vazão de massa será dada por:

7.4.1.3. Rotâmetros

O rotâmetro é um aparelho indicado para medida de vazões relativamente

pequenas de líquidos e gases.

Esse tipo de medidor é também baseado no princípio de colocar uma restrição ao

escoamento do fluido, criando uma queda de pressão e a correspondente variação de

velocidade através da região onde a área foi reduzida. Entretanto, nesse caso, a queda

de pressão permanece constante e a área para escoamento muda à medida que a

velocidade do fluido se altera. Esse tipo de medidor está ilustrado na figura 7.15.

Figura 7.15 - Vista esquemática de um rotâmetro

kg/s 1,197 = 1,866 x 8,79 x 4

(0,3048) = x V x 4

D = 22

πρπΓ

Flutuador

Entrada de fluído

Saída de fluído

Duto cônico

Escala graduada

329

A vazão do fluido é obtida pela medida da altura de um flutuador ao longo de uma

seção ligeiramente afunilada, com a região de maior diâmetro na parte superior.

Um balanço de forças aplicado ao flutuador determina a sua posição de equilíbrio.

Quando um fluido de densidade ρ se move em torno de um flutuador de densidade ρf

e o mantém em suspensão, as forças atuando no flutuador devem ser balanceadas de

tal modo que nenhuma força líquida atua para movê-lo.

As forças que atuam sobre o flutuador são:

- FG : peso, atuando para baixo;

- FE : empuxo, atuando com o objetivo de suspender o flutuador;

- FA : força de arraste, resultante do atrito entre o fluido e o flutuador. Atua no mesmo

sentido da velocidade do fluido.

No estado de equilíbrio de forças obtém-se:

Transpondo termos e expressando o peso e o empuxo em termos do volume do

flutuador, Vf, e das densidades do fluido, ρ , e do flutuador, ρf, tem-se:

Mas o volume do flutuador é dado por:

onde mf é a massa do flutuador.

Combinando as equações (7.124) e (7.125), tem-se:

)23(7.1 F + F = F AEG

)24(7.1 F = g ) - ( V Aff ρρ

)5(7.12 m = Vf

ff ρ

)6(7.12 F = g ) - ( mAf

f

f ρρρ

330

Para um dado medidor de vazão através da qual um fluido escoa, o lado esquerdo

da equação (7.126) é uma constante. Desse modo, FA é constante quando o flutuador

está em equilíbrio e se a vazão do fluido se altera, o flutuador contrapõe esse efeito

assumindo uma nova posição de equilíbrio. Por exemplo, se o flutuador está numa

posição de equilíbrio correspondente a uma dada vazão de massa e, então, essa vazão

de massa se torna maior, FA cresce e o flutuador sobe. Entretanto, à medida que o

flutuador sobe, a área da seção transversal do tubo aumenta e a velocidade do fluido

entre o flutuador e a parede do tubo diminui, de modo a se atingir um valor de FA que

satisfaça à equação (7.126).

331


D.R. GASKELL. An Introduction to Transport Phenomena in Materials Engineering,

Macmillan Publishing Company, 1992, 637 p.

F.M. WHITE. Fluid Mechanics. McGraw-Hill Book Company, New York, 1979, 701 p.

G.H. GEIGER; D.R. POIRIER. Transport Phenomena in Metallurgy. Addison-Wesley

Publishing Company, Massachusetts, 1980, 616 p.

332

EXERCÍCIOS

1- Tem-se uma instalação de lingotamento contínuo conforme a figura a seguir:

Os diâmetros dos dutos de alimentação do distribuidor e do molde são,

respectivamente, 70 e 60 mm. A rugosidade do refratário é 0,1 mm.

A panela de aço esvaziou e vai ser trocada por uma cheia. Esta operação consome

1 minuto. Neste período não vai haver alimentação de aço no distribuidor, mas a

alimentação de aço no molde vai ser mantida constante e igual a 108 toneladas/hora.

Estimar a queda no nível de aço no distribuidor durante este período.

2- Uma panela está alimentando aço líquido nas lingoteiras, conforme visto na figura a

seguir. Determine o tempo gasto para encher uma lingoteira com capacidade de 2

toneladas de aço. Aço: - densidade: 6,7 g/cm3; - viscosidade: 0,07 P. O orifício no

fundo da panela tem diâmetro de 70 mm. Desconsiderar a espessura do refratário.

PanelaDiâmetro = 3 m

Área da seção transversal horizontal = 0,8 m2

Distribuidor

MoldeSeção transversal = 1,2 m x 0,25 m

0,5 m

0,5 m

0,8 m

0,1 m

0,2 m

Ar

PanelaPanela

ArVálvula gaveta

333

3- Em uma instalação de lingotamento contínuo, uma panela é utilizada para alimentar

aço líquido em um distribuidor, que abastece dois veios de lingotamento de placas,

conforme mostrado a seguir:

Deseja-se manter o nível de aço no distribuidor o mais constante possível. Para tal,

é necessário variar o diâmetro do orifício da panela à medida que esta vai

esvaziando. Obter uma relação matemática entre a área de abertura do orifício da

h = 3 m

45o

: diâmetro = 3,5 mPanela

Lingoteira

Câmara de vácuo

Pressão: 0,01 atm

Aço

Ar

h = 3 m

45o

A o

D = 3,5 mp

Veio 1 Veio 2

Placa 1 Placa 2

Distribuidor

Panela

334

panela e altura de aço no seu interior, de modo a garantir uma altura constante de

aço no distribuidor, até que se tenha apenas 100 mm de aço na panela. Usando a

relação desenvolvida, calcular quais deverão ser as áreas do orifício para as alturas

inicial (3 m) e final (100 mm) de aço na panela.

Assumir escoamento turbulento.

Dimensões das placas: 2 m de largura - 0,25 m de espessura

Velocidade do veio: 1,5 m/min.

4- Determinar a pressão interna, P, que se deve ter na câmara de pressão para que se

obtenha uma vazão de aço líquido compatível com a situação mostrada na figura a

seguir.

Assumir escoamento turbulento. Considerar dutos hidraulicamente lisos.

- densidade do aço: 7000 kg/m3;

- viscosidade do aço: 7 cP.

h= 0,5 m

Câmara de pressão: P

D

h= 0.5 m

Tira de aço(seção transversal 2 mm x 1 cm)

Cinto móvel(velocidade= 1m/s)

Joelho: raio padrão

Aço líquido

D= 1 cm

1 m

335

5- Dimensionar a bomba para o sistema representado na figura a seguir, onde se tem

um spray de água para resfriamento acelerado de uma tira de aço após laminação.

Diâmetro do duto: 2,54 cm

Rugosidade relativa do duto, ε/D = 0,004

Joelhos : 90o de raio padrão. - Vazão de água: 1 l/s.

Fluido: água: - densidade : 1000 kg/m3 - viscosidade: 1cP. - 1 hp = 745,7 W

Considerar que a queda de pressão no bico do spray é de 1,7 atm. 1 atm = 101330

Pa.

6- Tem-se o sistema visto na figura a seguir. Estimar o tempo necessário para esvaziar

o reservatório 1 até o nível de entrada do tubo. A entrada do tubo no reservatório 2

está fechada.

Reservatório

Bomba

2 m

6 m

3 m

6 m

1 m

Tira de aço

"Spray"

Bico do "spray"

2 m

0,5 m

336

Se a rolha do tubo no reservatório 2 for retirada, os tempos de esvaziamento dos

reservatórios serão os mesmos ? Justificar a resposta.

h1 = 10 cm h2 = 15 cm h3 = 15 cm h4 = 20 cm

L = 8 cm H = 10 cm.

Considerar que o tubo de vidro é hidraulicamente liso e que o fator de fricção é dado

por:

7- Uma panela com diâmetro interno de 1 m contém alumínio líquido. A altura inicial de

metal líquido é de 1,5 m e o orifício de vazamento, localizado na base da panela,

possui diâmetro de 0,1 m. Determinar:

- tempo requerido para esvaziar a panela pelo orifício do fundo;

- taxa inicial de vazamento de metal em kg/s

- taxa de vazamento de metal (kg/s) quando a panela está 50 % cheia.

hh

h

2 3

4

h1 L

D = 10 cm

d = 6,8 mm

Água H

Reservatório 1 Reservatório 2

)Re log - (0,8390,0385 +

Re8 = f 2

337

Deduzir todas as relações usadas nos cálculos. Assumir escoamento turbulento e

considerar perdas por fricção.

Propriedades do alumínio: - densidade: 2410 kg/m3 ; - viscosidade: 2,75 x 10-3 Pa.s.

8- Água está sendo sifonada do reservatório visto esquematicamente na figura a seguir.

Determinar a velocidade média da água na saída do sifão para a situação vista na

figura a seguir.

Propriedades do fluido: - densidade: 1 g/cm3; - viscosidade: 1 cP (1 P = 1 g/cm.s).

Tubulação: - diâmetro: 0,0254 m; - rugosidade relativa: ε/D = 0,001.

9- Considerando o modelo físico mostrado na figura a seguir, determine o diâmetro

mínimo do duto, que garanta ser possível obter uma vazão de alimentação de água

de 50 litros/minuto no distribuidor, apenas por gravidade. A rugosidade da tubulação

é de 0,1 mm. Propriedades da água: densidade: 1g/cm3, viscosidade: 1 cP.

Retorno de 180o

1 m1,7 m

1 m

Reservatório: diâmetro = 2 m

338

10- Determine se há risco de transbordamento da água no reservatório abaixo, se a

vazão de alimentação é de 400 l/minuto. Rugosidade do duto = 0,3 mm.

Caixa d'água

Distribuidor

Joelho: raio padrão120 cm

10 cm

200 cm

30 cm

8 cm

Válvula gaveta

Água, Q = 400 l/minuto

Ar

Ar

Altura do reservatório = 1 m

0,8 m

Diâmetro = 2m

Diâmetro = 50 mm

Documents

FenomenosdeTransporteI-Livro