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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO" INSTITUTO DE FíSICA
Análise Perturbativa de Campos
Fermiônicos com Auto-Interação
Quártica Acoplados a um Campo
de Chern-Simons
Van Sérgio Alves (,
Tese de Doutorado submetida ao Instítuto de Físíca da
Universidade de São Paulo
li: çORIENT . .tL'U ' oADOR. Prol. Dr. Marcelo Otavio Cam, a
Gomes {! ? BANCA EXAMINADORA
Prol, DL Carlos Farina de Souza (UFRJ)t>
Ar#.:~f!r. Carlos Eugênio Imbassahy Carneiro (IFUSP)CJqjh~?j
:>;.d-~r:!J::; Pro[ DL Eduardo Cantera Marino (UFRJ)
O:~.. Prol, Dr. Josif Frenkel (IFUSP)'o ~:~('.r.s
,,~ ",0,t' Prol. Dr. Marcelo Otavio Caminha Gomes (IFUSP) .~
~....o Ç.,tJ
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FICHA CATALOGRÁFICA Preparada pelo Serviço de Biblioteca e
Informação do Instituto de Fisica da Universidade de São Paulo
Alves, Van Sérgio
Análise Perturbativa de Campos Fermiônicos com Auto-Interação
Quártica Acoplados a um Campo de Chern-Simons. São Paulo, 1998.
Tese (Doutoramento) - Universidade de São Paulo. Inslttuto de
Física - Departamento de Física Matemática
Orientador: Prol. Dr. Marcelo Otavio Caminha Gomes Area de
Concentração: Física de Partículas e Campos
Unitermos: 1. Análise Perturbativa; 2. Teoria de Campos em 2 + 1
D; 3. Teoria de Chern-Simons; 4. Modelos Fermiônicos; 5. Grupo de
Renormalização.
USP/IF/SBI-062198
f :'-~'-",.-, - - '. ,,',
-
ABSTRACT
In thls work a theory of fermlonk fields coupled through l:\
quartic s(>]f interae
tion and also interacting with a Chern-Sirnons field (CS) ís
perturbutlve)y anaJyzed.
Up two loops. renormalization gmup parametcrs were calculated
using dimensional
renormalization as a tool to render finite the Feynrnan
amplitudes. For the theory
wjth just aue flavo! (N = ])1 we ycrífied that operators with
dimensíon (d) lower
or equal to three have an anomalous dimension which decreases as
a functíon Df the
CS parameter (o:); that indicates a better ultraviolet bchavior.
The theory presents
the origin as the oul:.' fixed poínt "'hkh tllrns Qut to be
infrared stable. For the case
N > 1~ using a method af l'eductioll of coupling parameters.
wr. reuud. in 10l,vcRt order. a Une of fixed points, \Ve "cl'ified
that of o > ar the theory is stabln in tht' infrared.
In the renormalization proct"SS of operators wíth d = .:1. \\'I?
fotmd a Um'ar cümbinatiol1
af (ij;éP1j;), {ij;1j'P and (Ll:7fltl'f.! whose dimcnslou also
dccreasE'E as a fundiou of a.
-
RESUMO
Neste truballlO fazt'tuo!i uma á c a teoria é estável no
infra-vermelho. ::\0 proccsso dc rcnormalização de operadores com
ri = 4,
encontramo!'i uma combinação lineal' dos operadores ('ÔfP'1!-'),
(vnf'f e (-0''(II'/f;)2 cuja
dimensão também diminui como função de Ct.
,
f
-
j
'll!-l:i!gre 8p SgjUOJ Sl"Iljtqtu
rg!'q-eD g -eUBAl!S V
'"eP9+"e:>!paa
-
Agradecimentos
Ao Prof, Dr. Marcelo Otavio Caminha Gomes pela orientação e
pelas discussões
no decorrer deste trabalho,
Ao Prof. Dr. Adilson José da SiJva,
Aos meus pais, irmãos e sobrinhos: i\'lanoel Augusto. Maria
José, Claúdia Lúcia.
Jan Claúdio j Laura Cinthya; Carlos Augusto. Ronaldo Bentes j
Daniellc. Marcellc1
Edésio .1únior: Van Claúdio e Pedro Henrique, pelo apoio c amor
que nos une,
A Silvallil Perez por estar presente em todos os momentO$)
Aos amigos. em especial ao Sérgio Vizeu. Luis lvlalucafJH!,
Francisco Pena. Rênio
l\{endes, Luiz Cláudio. Paulo Valente, Paulo Barros. Alexandre.
Akira, IGeber, Cris
pino e Angela.
Aos colegas do Departamento de Física da Cniversidade Federal do
Pará, nas
figuras da Prafa. Fátima BaraúIla~ Paulo de Tarso e em especial
ao Prof. Dr..José
filIaria FUardQ Bassalo, pelo apoio e confiança.
A CAPES pelo apoio financeiro.
-
Conteúdo
Introdução 8
1 O Modelo de Gross-Neveu Acoplado Com um Campo de Chern
Simons 14
1.1 Apresentação do 2\Iodclo . . . . . . . . .. , . , , , . , .
, , .. , . , , H
1.2 Estrutura Gerai da Série Perturbatíva . 15
1.2.1 As Regras dE' Fe~-nman . , . , . 15
1.2,2 Contagem d{' Potência dos Diagrama." de Feynrnan e a
Regula-
I'Ízaçâo . , ... , ... , .. , , , 16
1.3 O Grupo de Renonualízação e à Teoria Efetiya , 22
lA As Funções do Grupo de Rcnonnalização 28
1.4.1 Função de Doís Pontos . . 32
1.4.2 Funções de Quatro Pontos 45
1.5 Pontos Fixos e Dimensões anômalas de OperadOl'efi Compostos
, , , . , 5]
2 O Modelo Fermiônico Com Simetria U{lV) Acoplado Com um
Campo
de ChernwSimons 60
2,1 O l,.,lodelo Como uma Teoria Efetiva e o Grupo de
Rcnormalização . 60
2.2 As Funções do Grupo de Renormalizaçâo . . . . . . . . .
63
2.3 Pontos Fixos e Hedução das Consr,ant(>$ de Acoplamento
67
2:1 Dimensões Anômalas de Operadores Composto." 71
Discussões 77
A Notação no Espaço de Minkowski 79
, 6
,
-
A,I Representação e Propriedades das Matrízes de Dirac. , 79
A,2 Parâmetros de Feynrnan e a Regularização Dimensional 81
B Simetrias do lVlodelo 83
C Diagramas de 1-Loop 88
C.l Função de Dois Pontos 88
C,l.l Ordem 9 , 88
C.1.2 Ordem a . 89
C.2 Tensor de Polarização. 91
C.3 Função de Quatro Pontos 93
D Diagramas de 2-Loops 95
D.1 Funções de Quatro Pomos 95
E Operadores Compostos 112
F Geração Dinâmica de Massa no Modelo Gross~Neveu na
Expansão
122
F *J Quebra de Paridade, . 123
Referências 130
, 7
,
-
Introdução
Nos últimos anos, teorias efetivas de campos tem sido
extensivamente estudadas.
Esse interesse deve-se não apenas a suas potenciaís aplicações,
mas também por nos
proporcionar uma nova maneira de se obter informações [1, 2, 3},
Esses estudos têm
levado a urna mudança conceitual na teoria quântica de campos
[4], e em particular
sobre a questão da rcnormalizabilidade.
Originalmente fi idéia da rcnormalização era remover os
infinitos dos cálculos per
turbativos e surgiu nos anos quarenta como uma resposta para as
diflculdades encon
tradas no tratamento teórico dos resultados experimentais.
obtidos por Lamb [51 e
Rabi [6]: referentes à estrutura fina e hipcrfina do atômo de
hidrogênio. No entanto
a questão do porque a natur~ZH seria descrita por uma teoria
rellormalizávcl não era
enfocada [4], Devemos recordar que anterior ao de::;envolvimento
da teoria de renor
malização , Fermi, na década de trinta; descm'olveu uma teoria
de campos, envolvendo
uma interação corrente x corrente., na tentativa de cxplkar o
decaimento beta. Por
muitos anos a.lguns cálculos que envolvem a teoria das
interações fracas foram feitos
com êxito, usando C&'ia teoria de quatro férmlons que é não
renonnalizável (no sentido
de contagem de potênciM [7])
Embora a renormaHzabilidade não seja um principio físico
fundamental !n o requerimento de que a natureza deva ser descrita
por teorias renormalizáveis impõe
restrições sobre uma ,-ariedarie de teorias físicas que podemos
(~onsidcrar, Essas res
trições não seriam todavia lle
-
s = JdD:r I:gi Oi(X) , ,
onde tJi(x) referem-se a operadores constituidos de campos
básicos e suas derivadas.
gi são as respectivas constantes de acoplamento e a soma é sobre
todos os operadores
que são permitidos por considerações de simetria [2]. A
parametrização da forma
S -t SA, onde A é um corte ultravioleta, nos leva a interpretar
SA como uma ação
efetiva, válida no regime de baixas energias, ou seja, para E
< < A. Podemos então
imaginar SA vindo de uma teoria fundamental da seguinte maneira:
separamos o
campo em partes de baixa (B) e alta (.4) frequência, isto é, cp
= 1>B + tPA' de modo que podemos escrever
! 'nÇJB VifJ..\ eiS(OB.,z,A) = J'DcPB ei S,d4>B) , onde
eiS... {,pR) = IVcjJ.4,c i5{OB,ó A ). Como os campos remanescentes
em 5.\ pertencem
à região onde E < A, podemos expandi-la cm termos de
operadores lot:ais, ou seja,
S.I = JdDT I: 9i Oi(") . •
No sistema de unidades naturais. se um operador Oi possuir
dimensâo de massa
[Oi] = Edi, onde di é a sua dimensão canônica, entâo [9i] =
ED-dó. Definindo uma
constante de acoplamcnto adimensional ),i = Ad;-D .rJi, podemos
estimar, para pro
cessos em uma escala de energia E, a magnitude de cada termo
contido na ação SA
usando apenas argumentos dimensionais. Assim, JdDx Oi"" Ed,-D.
de modo que o iésimo termo será da ordem ),i(*)di-D. Aqui podemos
distinguir três casos: (i) di > D,
este termo torna-se menos importante para baixas energias, e
dizemos que este termo
é não renormalizável (ou irrch~Yantc): (ii) di = D é importante
em todas as escalas de
energia e é dito renormalizáycl (011 marginal): (iii) di < D,
o operador correspondente
é importante para processos em baixas energias e ele é dito
super-nmormalizável (ou
relevante) ;
Interações não renormalizáveis se caracterizam por possuirem uma
constante de
acoplamento com dimensão negativa, em unidades de massa. Se A
for o parâmetro
de escala de massa que caracteriza o acoplamento de um vértice
não renonnalizáycl, ,
9
,
-
então: podemos obter uma teoria efeüra, não como uma expansão
nos operadores)
como nos referimos acimar mas como uma expansão no inverso da
potência A. Assim,
os contra-termos induzidos pelo processo de rCllormaJização vêm
acompanhados de
potências da forma (lm"r.~h)), onde m é a massa da partícula, p
o momento externo.
dh) é o grau de divergência superficial de um gráfico de Feynmau
e n a n-ésima ordem
de perturbação. Embora essa..q teorias gerem um número infinito
de contra-termos, se
(m,p) « A o efeito das potências maiores em (m/i será atenuado,
Partindo desta perspectjva~ modelos nào renormalizáveis tem
adquirido um novo
enfoque, pois eles podem tornar-se fisicamente relevantes no
regime de baixas energias
[1], O ponto é que se a escala de energia for pequena o
bastante, as ambigllidades
devído aos estados virtuais de alta energia nào são
significativos. !'\"O intervalo de
energía onde isso acontece a teoria é tratada como uma tcoria
rellormalizável.
Em outras situações: onde nào há restrições quanto ao número de
campos fer
míônic()s~ o comportamento ultraYÍoleta das funções dc Grc(!O
nas interaçôes quárticas
pode Ser melhorado. Realmente, incorporando os efeitos de
polarização de vácuo e rea
grupanuo a série perturbativa em potência de ;~.". inturaçÕCR do
tipo Gross~::\ieveu [8, 9]
ou tipo Thirring [lO) 11. 12] tornam-se rcnonnalizáveis. ;\ia
linguagem da mecânica
estatística poderíamos dizer que os operadores de quatro
férmiol1R tornam-se relevan
tes. EstE''s resultados tem motivado uma série de invcfltigações
sobre as propriedades
dessas teorias [13, 14, 15, J6, l7J. Ao lado da expansão k. em
(2+1) dimensões tem sído conjecturado [18] que cxi!tte
urna outra possibilidade de melhorar o comportamento
ullravíolcta das amplitudes de
Feynmau l através do açoplumento de férmions com o campo de
Chero-Shnolls. Em
parte) esta conjectura vem do fato de que em duas dimensões
espaeiais o grupo de
rotações 80(2) é abeHano; e assim não existem1 em princípio,
restrições aos valores
que o apio pode assumir, A transmuração de spin poderia então
ocasionar um melhor
comportamento u]travlo]f>la da teoria.
No contexto da mecânica quãntica ob.letos tom Sphl fracionário,
denominados
de anyons) e sua correspondente estatística foram inieiahnente
estudadas por Lei
nam; e Myrheim [19J e posteriormente por Wilczek [20J. Como
sabemos, a estatística
das partículas tem um papel fundamental na determinaçào das
propriedades de um
, 10
-
sistema de muítos corpos. Partículas convencionais são
classificadas em bósons ou
férmions, se elas obedecem a estatística de Bose-Einstcín ou de
Ferrni-Dirac, respec
tivamente. É bem conhecido que a função de onda de muitos corpos
é simétrica pela
permutação de duas partículas bosônicas e anti-simétrica para
férmions idênticos. Es
ses estudos, referidos anteriormente, sobre as propriedades de:
partículas imersas num
espaço bi~dimensjona!: tem nos mostrado que existe um mecanismo
que pode converter
bÓSOJls em férmions, quando se acopla uma intéração via
potencial de Chern-Sunons
[21, 22]. A título de ilustração, podemos interpretar a
interação neste sístema como
tubos de fluxos magnéticos, de raio infinitesimal. acompanhando
cada partícula. Este
mecanismo é baseado no efeito Aharanov-Bõhm [231 26], isto é.
fi. função de onda de
dois anyons adquire uma fase ei1l'Ct quando as duas "partículas"
são trocadas. O fator
de fase eirru (O < a: < 1) define a estatística
fracionária dos anyons, de maneira que existe um tipo de
interpolação estatística, ou seja, para a = Ocorrespondc a
férmions
livres (de spin ~) e para (] = 1 corrcsponde a oosons livres (de
spin O). ema revisão
sobre anyons pode SCr cuenntrada na referência [24].
O conceito de L~tatística fracionária tem sido últil no estudo
da física da matéria
condensada, particularmente na tentativa de se obter boas
explicações teóricas para o
efeito Hall quântico :25], que ocorrem em sistemas que exibem
uma geometria planar
e podem em principio ser descritos por modelos de teoria
quântica de campos (além de
possíveis conexões no entendimento da teoria da
sllpercondutividade COm alto valor
da temperatura crítica ,26. 27. 28. 20. 30. 31]).
I\o contexto da temia quântica de campos, a transmutação
Fermi-Bose pode ser
simulada pela introdução de um campo de gauge de Chern-Simons
132, 33], que intera~
ge com a matéria via uma corrente conservada. Deste modo o termo
de Chern-Simons
(CS) produz uma interação de longo akance entre as partíeula::;
carregadas, que pode
ser interpretada como mudando a estatística, transformando
bósons e férmions em
anyollS. Uma outra pl't'uliaridade consist.e na existência de
campos vetarias massivos
sem a quebra da simetria de gauge [34, 3ã}. De fato, o termo de
CS quando acoplado
com um termo de :Vla.'-"'\YE'll fornece uma massa para o fÓtOll
1 já na aproximação de
árvore.
Na ausência do termo de ~\iraxwell, não existem graus de
liberdade dinâmicos
, 11
f
-
associados ao campo de gaugc, embora. a interação de longo
alcance que muda a
estatística persista, Neste caso, o termo de as pode ser
interpretado corno um campo auxiliar, já que o seu propagador não
possui um conteúdo de partícula. Este termo
surge naturalmente em sistemas planaresr mais especificamente,
quando se calcula o
tensor de polarização para fêrmions massiyos. Realmente. ao
usarmos a representação
de duas componentes~ surgc uma parcela antí-símétrica que
corrcspond(' ao tenno
de Chern-Simons induzido' [361, Como mostrado em [101 o te'mo de
CS pode ser
gerado dinamicamente~ em teorias com férmions de massa nula)
quando se acopla
minimamente um campo de gauge .-1;! com a matéria) apenas se a
simetria de paridade
é quebrada.
Do que foi dito aciIna j é natural imaginar que para O< (}:
< 1 exista um ac na qual quando Q -4 ar ocorra uma transição de
fase, de um sistema tipo férmion para tipo
bóson, ou \'íce-yersa. For outro lado, é sabído que operadores
de campos adquírem
uma dimensão anômala deyido às coneções radiativas. Podemos
entào obter ínfor
mações sobre a influência do tenno de CS. no que se refere a
renorrnalizabiHdade da
teoria j através do cálculo das dimensões anômalas dos op
-
com N linhas externas do tipo férmion deverão satisfazer,
Calcularemos as funções
do grupo de renormalização até a ordem de 2-1oops, e mostraremos
que neste ca'5O (de
um único sabor) existe apenas um ponto fixo infravermelho
p.stávcl~ que ê o trivial.
Obteremos também as dimensões anômalas do campo básico yf; e de
alguns opera
dores compostos. No segundo Càpítulo estenderemos a discussão
para a situação de
N (N > 1) campos fermiônicos áÇQplaclos com o tenno de CS,
Neste caso teremos
duas constantes de acoplamento, e para estudarmos a natureza dos
pontos fixos utiliza
remos o método da redução das cantantes de acoplamento proposto
por Zimmermann
[38]. Mostraremos que existe uma linha de pontos fixos, além
daquele trivial, o que
não ocorre para o caso onde N = L Discutiremos as dimensões
anômalas para alguns
operadores compostos e seu comportamento como uma função de 0:.
Devemos espe
rar algumas diferenças qualitatíuls e quantitativas em relação
ao caso de um único
sabor I pois como sabemos, quando N torna-se grande, mudanças
drásticas ocorrem
em teorias quárticas fcrrniônicas. tais como a questão da
rcnormalizabilidade. c em
particular) com uma int.eraçâo tipo Thirring, haverá geração
dinâmica de massa para
os férmions [11]. Nas discussoos apresentaremos um resumo dos
resultados obtidos e
possíveis extensões a este trabalho. Nos apéndices enéontram-se
a notação e tabelas
de integrais que utilizaremos no decorrer deste trabalho, assim.
como os cálculos de
alguns diagramas rcfcnmtes aos modelos considerados.
13
,
-
Capítulo 1
o Modelo de Gross-Neveu Acoplado Com um Campo de
Chern-Simons
1.1 Apresentação do Modelo
o modelo de Gross-~eYeu maSSl\U em (2 + 1) dimensões ;u-:opiarlo
com um campo de Chern-Slrnons é dado pt:>la segumte densidade de
Lagrangeana.
1 - . - -") 1 "l ~ -
-__;:-Jl"OF ' ~
U p - ' ,'. G{.,f;w)- - (1.1)4'irG: ItV~"l!) "(I'",,,}.!'>
ln)~í'....L 'l!1",JI..h!1"'~ fi 2.\ (Dw4")',~ ~ I 'f/
onde Fllv ;;;; Df.!Al' - 81'Aw l' é um campo fermiônko de massa
rn cum duas componen
tes, A/l o campo de Chern-Simons e À o parâmetro de fixação de
gangc. Xcstc caso l a
interação de Gross-~eveu é a mais geral auto-int.eração
qlHírtica fermiônica invarian
te de Lorentz, uma vez Q1H' a interação vetorial tipo ThitTing
não é independente e
satisfaz a relação; (tPj.J'1/'f : = -3 : (..p1jJ)2 :. )Jo
próximo capítulo analizaremos o
caso de N campos fcrmiônÍCos.
Note que em D = 3 11 teoria âCima1 possui o acop)amemo G com
dimensão
::v1a..
-
de contra~termos necessários para tornar as amplitudes de
Feynman firiitas aumenta
com a ordem de perturbação em G,
O modelo descrito por {l.1} é jnvariante peja simetria de
conjugação de carga
(C). No entantQ~ a presença do termo de Chem-Simons. assim Como
o termo de
massa, quebram explicitalIlfmte as simetrias de paridade (P) c
reversão temporal (7),
contrariamente ao caso das simetrías PT e C'PT que não sâo
violadas [34] (para
maiores detalhes veja o apêndice B). O modelo apresenta também
uma simetria de
gauge local, pois pelas transformações
Ap(x) -> Ap(x) + ope(",),
e
~(x} --+ et9 (x; '
-
~r~
,1 I ) 3 , 1. , 4] (-i G),[:x:= 2 , > 4 2. 'J ) 3I Figura LI:
Regras de Feynman para os vértice da teoria (1,1). A linha ondulada
representa o propagador de CS e a linha cheia o propagador
fermiônlco,
j.~f\(k) = 2no: tÍ'Q>.k~ _ iA kPk o
(1.:l)k' k,j
o que nos mostra que este propagador nào possui um conteúdo de
partícula. urna vez
que não apresenta pólo, :\0 decorrer deste trabalho iremo~
adotar {} gauge de Landau
À -+ O. A escolha deste gauge leva a um melhor comportamento
infravermelho das
funções de Green 134, 44),
De maneira análoga podemos obter o propagador do férmíon. que é
dado por
SP(k) = V i
(IA)-m
1.2.2 Contagem de Potência dos Diagramas de Feynman e a
Regularização
o comportamento ultra-vioLet.A. de um gráfico de fl\ynman .l é
gun::rnado. de acordo com o critério de contagem de potências. pelo
grau de divergência superficial d(',!},
Os diagramas calculados com as regras de Feynman acima
possuem)
d{'y) = DL - 11._1 - nF . (1.5)
lG
-
onde L é o número de loops: nA e nF são os números de linhas
interna.., do tipo Ap e
fermiônica: respectivamente, e D é a dimensão do
espaço-tempo.
Podemos escrever (1.5) em termos do número de linhas externas
dos campos 'IjJ e
Ali! NF , IV..\. respectivamente. usando a relação de Eu~er e as
relações topológicas
I , 1 \" 2 ,,·1 ", "FnL =n.-\+np-"" + l ~ Ai nA=~l~,
jYFif.llP:=L.,.Vll , a
onde F = Ve+ l,~, é o mImem total de yértices em um diagrama de
Fcynman, v: e 1/:; sâo os números de linhas do campo .4p e do campo
ti: chegando no vértíce u, respectivamente. Usando as relações
adma: a equação (L5} toma a forma
d(-y) D .... (D:: 1 111'.1 + NF + 2)V~1 + 1/';)] - Dl' a
3 ..··N" Sy+li; (1.6)
para D = 3.
Os diagramas são dito;:;: superficialmente divergentes quando
db) ~ 0, então
de acordo com (1.6) são superficialmente divergentes; por
exemplo) 0., diagramas mostrados nas figuras 1.2~ 1 ,3~ IA e 1,5.
Para remo"er essas divergências devemos usar
algum esquema de renorm
-
t::\ + o + r , ~ , +~+ ia) ib) (c) (d)
CÀ, e~+ + + -6r + (e) iQ (9) (h)
R O + ...+ (q (j)
Figura 1.2: Diagramas com N,4, = O e :\'F = 2: que contribuem
para a função de dois pontos do férmion. Os diagramas (b), (1),
(9), (h), (i) e (j) representam de fato uma família de
diagramas.
e 1'1F = 4) \ os Cúntra~tennos induzidofl serão pro!)orcionais
a; constante, que corres
pondem aos diagramas dr ordem Gn e G(l2 (são loga:ritirnicamcnte
divergentes); m
e P, gerados pelos diagramas de ordem G)· e VQ {são linearmente
divergentes}: m 2 , m p e r l gerados: pelos diagramas de ordem G3
(são quadraticamente divergentes). Como podemos obsenl1r. diagramas
logaritimieamente din~rgcntes {d{"y) ;;;; O) indu
zirão contraw term05
-
)\+ I+I[+XX+A+
{'I {bl {oi {di ('I
A+ )CD( +XXX +>
-
~+~+~+
(') (b) (o)
~+~+ ... (.)(O)
Figura 1.4: Diagramas com NA = 2 e X p = O, que contribuem para
a função de dois pontos do campo AI"
integrais e que subtraia ús infinitos de maneira
sistemática.
A questão de qual regulador devemos usar não tem a príori uma
resposta em
teoria quântica de campos, Em princípio qualquer método pura
retirar os infinitos
pode ser utilizado~ entretanto. na prática alguns mêtodos são
mais convenientes que
outros. l\"este trabalho adotaremos a regularização dimensional
[47] juntamente com
o esquema de subtração minimal [47] [48]. Em muitas situçÕ€s
este é o método mais conveniente pois nào destrói nenhuma relaçâo
algébrica entre as funções de Green, em
particular as identidades de VVard. _\lêm de preservar a
invariância de Poincaró na
teoria regularizada e também as simetrias de gauge. nos permíte
calcular as funções do
grupo de renormalização de maneira relatl\'amente simples. como
veremos na próxima
seção. Outros métodos como o 'cut-oW' e o dE' Pauli-Viliars
desuoem a invariância
de gauge. embora () segundo preservE' àS identidades de \\~ard
na QED. Entretanto,
como observado em [49] a regularização com um simples
:'cut-off"' leva a ambiguídades
associado ao fluxo de momento nos gráficos de FeYllman. Xo
contexto das teorias
efetivas, o uso da reguJarizaçào dimensional ê quase que
obrigatório para garantir que
contra-term'JS de ordem mais elevadas possam ser desprezados
(50).
A idéia deste esquema é baseada no fato de que as dh'ergéncias
ultravioletas primi
-20
f
-
+A+A+ ", (b (o)
A+M+A+
(d) (.) (~
Figura 15: Diagramas com X. \ = 1 e .\"F = 2, que contribuem
para a função de três pOntos.
ti'ras dos diagramas de Fe-ynmúu. qm' adn":m uos "loops" de:
integração. são t-liminadas
quando se vai para uma dimensão D do pspaço-tempo pequena. o
bastante para tornar
tal amplitude conycrgemc. As integrais clt! Feynrnan sào então
definidas como funções
analíticas elo espaço-tempo D-dim~n5ionàl. e os infinitos
aparecem como síngularida
des da forma ~. onde € = 3 - D. quando D -t 3 [51]. Assim. numa.
determinada
ordem de perturbação. a função de Green G(€) conterá pólos em
tê, de modo que pode
ser expandida ('!ll 5crit~ de Laurem
G, G'-i Gi G(r) = -f+-'-. + ... +-+G(f) (1.7)é'-' E
onde G(f} é finito para é _.., 0, Os contra·termoR sâo então
construídos (k manpira a
subtrair os tel'llloS de pólo em G(e:}. deixando G(E) corno a
função de Green subtraída.
Como COIl1{'lHildo adma. na regularização dimensional os pólos
ocorrelll nas inte
grais de Fe)'nmaIl quando D (dimensào do espaço-ternpo na teoria
regularizada) for
igual a trÊ's. Por outro tado. de acordo com [52]; os pólos de
um gráfico genérico ;'
apar()cem na fonna r( - d~'l). isto é. para "alores onde - d~) =
0, -1. -2. _... Usando
(1.5) para L = 1 rucontramo.s d(-.} = 3 - nA - np. Entretanto,
para construirmo!' um
diagrama de l-Ioop dl'\"emos ter no mínimo 11..--1 +nF::::: 2. o
que nos leyaria a dh') = L . 21
•
-
portantn livre de pólo. Por outro lado, as divergências
logaritimicas (dh-J = O), que
em geral estão contidas nos gráficos de I-Ioop; são ímpares na
variável de integração, e
portantol se anulam por integração simétrica. Consequentcmente.
uma característica
desta regularização em três dimensões f: o faLo que as integrais
de Feynman em l-loop,
que são formalmente diycrgentes por contagem de potência. são de
fato finitas uma
vez que nenhum póio ocorre quando D = 3. A"iSim, ao usarmos esta
regularização os
diagramas efetivamente diYf~rgentes são aqueles fi. partir de
2~loops.
1.3 O Grupo de Renormalização e a Teoria Efetiva
1;ma prescrição de renorma1ização consiste em usarmos um
procedimento de regu
larização que isole os infinitos dos diagramas de Feynman c uma
maneira sísternátka
de remo\'(:r as divergências e definir os parâmetros
renormalízados da teoria, isto ér especificar uma escala d€'
momento /1. na qual as sublrações dos infinitos são feit.a..s.
Entretanto, quando adotamos o formalismo de contra-termos e
sltbtrações. existe umá
liberdade em como separar a Lagraugcana nào renormalizada numa
part(~ renorma
lizada e a outra que contêm os contra-termos. Embora esta
arbitrariedade não lev~
a nenhuma consequência física, pois todos os procedimentos
dc\'crão levar ao méSmO
resultado, eles podem diferir na definição dos parâmetros da
teoria. Existe portanto
uma simetria associada com a invariância das amplitudes
renormalizadas quando se
muda o ponto de subtração p. ou seja) um grupo de
t.ransformações envolvendo 11 que
deixam os resultados físicos inalterados, Essas transformações
são chamadas de grupo
de renormalização (GR). e dependendo da escolha das condições de
renormalização
empregada, existe uma "ariedade de formas de equações do GR
{53], "Cma das prin
cipais utilidades da equaçào do GR é na discussão do
comportamento assintótico de
uma teoria quântica de (;ampos para pequenos e grandes
momentos,
Para modelos renoTInalizáycis. a equação d(~ fHoot't-\"Veinberg
{-lIL 48] é a equação
do G R que é derivada do esquema de subtração minimal. Esta
equação é frequen
temente chamada de equação independente da massa. pois as
funções do grupo de
renormalizaçãú que aparecem na equaçào sào Independentes dOR
parâmetros de massa
da teoria.
Por simplicidade, ignoremos inicialmente a uno
n~norIHalizabilidade da teoria, tma
22
f
-
ginando que a renormalização da massa e das constantes de
acoplamento em (1.1)
sejam suficientes para tornar as funções de Green bem definidas,
Para derivarmos
a equação de t'Hooft-\\'einberg é conveniente introduzirmos as
constantes de acopla
mentos e o parâmetro de renonnalização tt através das relações G
-t G jJt e O: -t (X p/,
G possui dimensão de luyerso de massa e ( = 3-Dê tomado zero no
final dos cálculos.
Partimos em seguida da relação usual entre as funções de vértice
fermiônicas não re
normalizadas de N pontos (gráficos IPI), r{N) {Pi, G, 0:, m,c),
com a renorrnaHzada
r~"i)(Pil G Rr ctn, mnd1). onde Pi representa os N momentos
Pb]12. "·,PN, dada por
(N) , _ -!f (N),r (p"G,a,m,€) - z~ (I",e)rn (p"Gn,CfR,m",,,) ,
(L8)
onde o subescrito R significa uma quantidade renormaHzada. e
USJlmos também o fator
de renormaUzaçào Z~ para (:ada linba externa fermiônicR.
Obviamente r~~) possuí um limite finito quando f -+ O...\. equação
do GR é obtida de maneira muito simples
se notarmos que rCl\
-
no ponto de subtração 11, Em (1.11) fJa e fla são as funções
beta do acoplamento G c a, respectivamente,
É fácil \"erificar que se definirmos G ......., f j.l. onde 9
faz o papel de constante de acoplamento adimensional e A é um
parâmetro massivo, r OV)(pil9, 0:, m, J-L) satisfará a equação
18 8\
lA- + g--)' r(NI(p .g.fr.m li) = O ( 1.12) DA "Dg L . . 1
Somando (1.10) c (1.12) tomos
[A!A +f.L;p +mÓ: +!39: +1'10;0' -N'l'] r(N)(pi>g, a.m, 1') =
O, (1.13)m g onde agora /J -t i3 ,... 9 = J.L~, Observe que {} que:
fizemos f01 fixar .:3g em ordem mais baixa como sendo igual li g.
!'\enhurna Qlltra implicação ocorre com as funções
do GR uma vez que A entra !la expansão penurb}Hi"a apenas na
combinação Ã, de maneira que todas as contribuições do termo de
derivada em relação li ,\ são
eliminadas. Entretanto. a introdução do parâmetro massivo :\ nos
pcrmjtirá construir
uma teoria efcti"a de uma. maneira consistente. ~OiC! também que
() procedimento
acima é dependente da. razão entre dojs parâmetros HI.a5sivos X.
de maneira que as funções do grupo de renormalização terão a forma
/:1 = .B(g,a:,X), J = ó(g,a, ';:) e ; = ')'(g. a, X).
Por outro lado. modelos não renormalizáveÍs requerem uma
consideração espedal
uma vez que a forma da lagrangeana efeth'a muda com a ordem de
perturbação.
Assim, rigorosamente falando, a equação (1.8) c portanto (L13)
só serão verdadeiras
no caso onde 9 = O, Para 9 # O a teoria é não rcnormalizá\'el e
o lado direito de (L13) não é de fato verificada em todas as ordens
d(~ pertllrbação. uma vez que
existem contribuições para r(2} c r(4) que nào podem ser
absorvidas em redefinições
dos parâmetros de massa, fl1nção de onda e constante de
acoplamento, corno vimos
na seção 1.4. Neste caso r(2) receberá contribuições. além
daquelas já contidas em
(1.8). da forma
,g ,) 3 r(2} ,..., Dl ~\np- + !J.. (D, mp' + D, pp') + O(Y ) T
... •/\.2 - " A' ,
24
f
-
que advêm da contribuição dos diagramas 1.2(/) e 1.2(j)
respectivamente (Dl, D. e
D3 contém as divergências ~). Analogamente, para r(4) temos
g'l g3 . g4 r(4) ~ Bl ;\," p+ E, :\3(m p+p') + 0(:\4) + ...
corrcspolldendo aos diagramas 1.3(g), 1.3(i}, etc ....
Portanto) o lado direito de (1.13) seria proporcional a esses
novos contra-termos
para N = 2 e N = 4, respectivamente. tornando a equação do G R
muito díficil de ser
analisada, Contudo: se nos limitarmos à análise na região onde o
parâmetro massivo
A seja muito maior que qualquer momento externo e a massa do
fél'mion (m,Pj « A), de maneira que os efeitos desses novos
contra-termos possam ser efetivamente
desprezados, as funções de GrC€ll ainda satisfariam
(aproximadamente) a seguinte
equação
A~ +Il~ +"m~ -+.8g~ +iJo~ -N7] r(NI(pi,g, cun, j') '" ° ,
(1.14)[ uA uf! um ug Vü onde o símbolo ~ significa igualdade na
região onde todos os contra-termos djf{'rentes
daqueles já contidos em (1.1) podem ser desprezados.
No entanto, é bem
-
Em outras palavras. o teorema nos diz que a função beta do
acoplamento de C8
é identicamente nula (ôo =O) de maneira que podemos escrever
(1.14) como
O 8 iJ a ]A +11 /1 +6711 +P'[)g -N7 r(N)(J!i,g,a,m,IJ) "'0 ,
(1.15)[ oA 0 8171
m
Usando a equação acima juntament.e com ajuda da auális~
dimensional podemos
obter o comportamento assintótico de r(N)" Designando por
dimf{NJ a dimensào
canônica7 de r(Nj e como ela é urna função homogênea nas
variáveis dimensionais Pü
1 A e jl., então por uma mudança de escala da forma (Pi, m j A,
p) ---r S (Pi, m,A! fl).,
temos
(N) (. " .) _ d;mr(X; r[N) (p"\ )r sp" sm. .~L\. sp, g, a - S tl
fn .. : /1, g, (t (1.16)
Usando o teorema de Euler para funçôes homogêneas podemos obter
que a equação
do GR que r(N) dcvcni satisfazer pela mudum,:a de escala adma
será
,\~ + J1~ +.,"'- +m~l r(NI = (dimrl,vJ) r lN) . ( 1.17) [ 8A 8/1
iJs Bm Esta por sua vez pode SE'T combinada com (1.15) para
obtermos urna outra equaçâo
que relacione n escala 8 com uma mudança em m e [f (mas não em
/-1.), isto é,
dim rI"~) + 3 "'- + m (ó(q) - I)~ - N "I(q. O)] r'i'l) = O
(1.18)[-s"'- . am, .,iJs 9 ôg 1Por definição,
(2-)DIi;~ , ) a,N) ( ) ldD. dD ~iL:.,p'" \Pl+P'1'T· .. +PN
'COXp"p2, .. ·,P.\' = Xl'" x",e ~ x {OITt:'(xd._.W(T~)~(X.Y+!)
..:t3(:t'j\")IO>CON ,
o ,
onde ú subescrito CON quer dizer conexa. Púr análise dimensional
fiO obtêm facilmente que dimG~)~ "'" ]I: dv - DiV + D. Como a
dimensão de r(!I,'1 é a mesma que a das função de Grecn conexas,
porêm com as linllas externas amputadas, então
d· rU\'l d' a(N) ,,- II "d1111 = Im GON + l\' ;;;;;; J~ V ,
com dlJl =
, 26
,
-
que expressa o fato de que uma mudança em 8 déve ser compensada
por uma mudança
em m j 9 e um fator multipJicatívo. A discussão da equação acima
é simplificada se
introduzirnlos a constante de acoplamento efetiva (também
chamada de carga gene
ralizada) 0(9, s) e a massa efetiva m(g, s), definidas como
a- am s %8 (9, s) ~ ,13(1/) s as (9,8) ~ m(ó -1) (1.19)
com as condições
!l(g, 1) ~ 9 m(g, 1) = m. (1.20)
Usando estas definições, a solução de (1.18) pode ser escrita
como [8, 40]
r(N)(S Pi, m, g, D:, /1,) = sélmrpq e~N f ~ '(YJ.,xj r(X'(pi'
m(m, s), IHg; '
-
de onde vemos que a dimensão canônica dírnr(N) é modificada por
um fator adicional
de -''1(g*,cr) para cada N campos. de modo que 7(g*,rx)
desempenha o papel da
dimen.lião anômala do campo 1/) [58}.
A solução de (1.19) requer o conhecimento de lJ(g), que pode ser
obtida através
da teoria de perturbação, Os pontos fixos da teoria são
particularmente importantes
uma vez que na criticalidadc (m O) fi. teoria é invariante de
escala, conforme (1.22).
Suponha então que o valor da constante de acoplamento efetiva !J
est.eja próximo de
um dos zeros não trivial de beta (a origem é sempre um zero de
beta), então podemos
escrever, supondo que beta possua zeros simples
Er s :5 (09, s) = P(!!) '" (9 - g*)6'(g*) (1.23)
cuja solução é
9 ... g* = (~) 8'(g')
sendo c uma constante de integração. Portanto. dependendo do
sinal de p'(g*) temos
as seguintes situações: 1) para .8/(g") < 0, então 9 -). r/
quando s -). 00, ou se,la. o ponto fixo é estáyel no uitnn"Íoleta:
2) para !f(y") > O. temos que li ---) g'" St'
S -+ ú~ e o ponto fixo é estável no infravermelho. A natureza
desses pontos fixos estão
exemplificada.s na figura 1.6.
1.4 As Funções do Grupo de Renormalização
Os coeficientes Ó, ,B (! '} na equação (1.14) são obtidos
taltuh:mdo a ação dos
operadores diferenciais sobre as funções de yértkcs de dois e
quatro pontos. Para a
função de dois pontos, rP1(p) = _[SP(p)],l = i(p - m) -;- l:,
onde E representa as
inserções de auto-energia. ternos que até a segunda ordem nos
acoplamentos
r(21(p) í(p - rn) + :~ p.'li21 + Q p/l1'1 + ,,'(I .... T} p."
1;2) 2
+ ~~(J -T}p."'Ij21+ ~2(1 T}I"'Iá'l, (1.24)
" e b -, l i2). •00de o }l:TIlte dO'E ---7 esta su entend'HI"O.
...:a expressa0 aCima I l 1- = 1~ ... ~;)~
denotam amplitudes de Fej'nmzm rpgularizadas. 05 diagramas
associados a IJ2}, lf), ,
28
f
-
l P(g}
-g, g, g
Figura 1.6: Exemplos da natureza dos pontos fixos. A origem c o
ponto 92 são pontos fiXos infravermelho cst.áycL enquanto que 91
representa um pouto fixo ultra,"ioleta
•estável.
e li2 ) estão mostrados nas figuras 1.6. L7 e 1.8
respecüyamentc, r é um operador que remove o termo de pólo nas
amplitudes sobre a qual ele ar,ua. Como mencionado
anteriormente. as amplitude I~21 e [fi que estão assodadas à
diagramas de I-Ioop são
finitas.
Analogamentt\ a funçào de quatro pontos, ate a terceira ordem
nos acoplamentos
é dada por (omitimos aqui as contribuições que por contagem de
potência sâo fhítas,
assim como os índkes espinoriais)
4 , . 9 ,g ~ Hl ,g 2 (·1), 9 :! 2f ! t)r( I(p"p,,)Ja,p,) 11
[-',\ ~ ,\ ap I, -r A,/1 l, -r ,\ n (I-T)I' I"
I .'+ ,~, a (I - T) I'" 1,;") + :~I (1 - TJ p" Ij,j)1 (1.25)
sendo novamente que as ampHtudes de l-~oop J~~; e 41) são finitas
devido ao uso da regularização dim~~sional,
De uma maneira geral, de acordo com (1.7). se I:'\'l representar
uma amplitu
de regularizada de ]\f linhas externas do tipo fcrmiônka. então.
f"squematlcamente.
I (N' 'I (N) fi' (I') d' ,i •'= po Oi + TUta l c mun€lfH que a
operaçao ,
29
-
(1 - T) flX< iN) (1- T) ex~lnl-' (póloiN ) + finita~N»), (1 -
T) (pÓIO!N) + finita!N) + x In /l Res!N) + O(f)) finita~N) + :1: lu
f-L Res;N) , (1.26)
onde Re8~N) representa o resíduo de diagramas de N pontos, que
são dados pelos
coeficientes do termo ~.
Para a função de dois pontos eles possuem a seguinte
estrutura
Resl') = m A3+ Fi B3 Resl') = -i (m' A, + m Fi B4 + O(p'))
e
Res;') = - (m'.45 + TIl' )I B, + O(p'))
onde A~s e B:-~ são constantes numéricas.
Para a função de quatro pontos temos,
Res(4) ·C R O)-2 3, eS-t -(mC, + O(p)) , e Res~1) = i(m'C, +
0(7")) ,3 (1.27)
onde C? são constantes numéricas.
Deste modo, (1.24) e (1.25) podem ser escritas como
r(2)(p) i(p - m) + ~ J1fI~2) + Cl:jlf1J2) + (1'2 [finita~2)
+ 2 InlL(rn .43+ )lB3 )] + ~ Q [finita\2) - 2i Infl(m'.4, + m
FiB,)] +
o
g- [fi· (" ? I (' 4 ' ., B )]+ 1\2 mta;:; - ~ n f-L m . 5 + m p
5 (1.28)
e
ri') (Pl, P2, P3, p.,) fl,f -i 9 + 9 o: I{ ](4) + L flf ](-1) +
9 0;2 [finita(-l)A A 1 }\2 2.\ 3 2
[ ,
2i C3 In 11] + ~2 o: [finita~·1) - 2 m C4 In III
:~: [finita(') + 2i m' C5 In 1'1] (1.29)
-
30
f
-
Usando as expansões
(5 = LÓiJyinj (1.30) iJ
J'''i L "ii,j gj a (l.31) i,j
e
(3 = í:, (3i,j gi aj , (1.32) i,j
substituindo (1.28) e (1.29) em (1.l4) e agrupando os termos
proporcionais a m e p obtemos9
.51,0 = .50,1 = "It.{l = ~rO.l O: (1.33)
60., = -2;(A, +B,) • ")(1,2 ~-iBJ, (1.34)
_ mm61.1 A (A, +B,) , tU = ~ A B4 (1.35)
m2m'82,0 = 2í={A.+B.) , ")2,0 = i .1\2 B5 (1.36)
13'.0 = 1, (30.1 = /3 , = /3'.0 - /30.' = O , (1.37)"
tA,? = -4i B3 ~ 2 Cil , (1.38)
4 TTl B.= ?,' m C. _ (1.39)/h,l - A" .\." e
2 2m m(3.,0 = 2A2 C. +4í .\.' Bs (1AO)
--;:-.,..----c---:----- !iNote que at.é a Ordl'fll qut' estamos
indo 000 existe mistura entre as comrihuições de f3 com l' e
Ó, OU séja, as funções J ~, '} são completamente determinadas
pela função de nktice de dois pontos, ,
31
,
-
Assim, para encontrarmos as funções do grupo de renormalização
precisamos dos
coeficientes Ah Ri e Ci (i = 3,4,5). Isto será feito nas
pr6ximas seções,
".
('I (bl (el
Figura L 7: Diagramas de ordem 0:2 que contribuem para para a
auto--energia do férmion.
1.4.1 Função de Dois Pontos
Ordem Q,2
Nesta ordem temo!'> três diagramas que contribuem para a
auto-energia do férmioll:
que estão mostrados na figura 1.7, Como eles divergem
linearmente no ultra-violeta;
podemos usar a segulllte decoIúposi~ão para a paroela de
póio1
Parte de Pólo = (A3(;) m + B,(i) ]i) (1.41) c
onde i = a! b, c representam as três contríbuições para a
autú~energia, Para i = a, que
corresponde ao diagrama (a) da figura 1.7. temos a seguinte
forma analítica)
> J. d'k, d'k, [ i 'lJ121 (a) -4;r~f >. t o ------- ~.tt
'Y PIi /la 11l~g(2iT)J(2r.y . p-Vl-m'
í) k' kO.)' i I IX Tr f -- (1.42)( f2 - m V2 - Vl - m kr k"f
T
onde o sÍLal negativo refer-se ao ;'lo{)p~~ fcrmiônico. c o
símbolo Reg significa. que a
expressão acima deve estar regularizada, Para obtermos apenas a
parcela d(! pólo
podemos escrever (1.42) tomO.
-32
-
Ij'l(a) o" L iJkJ d'k, Á fi I I' )]41nCPj,ÂCvllaJ I?_)'(") ),"
k,Tr 'Y (/I,.;m)"(1I2- fé, +mReg ~_i1 _í!"
[-;"(il- /I, + mh']x
(kl- m2) I(k, - kll' - m'] [(11 - k,)2 - ",2, (kf)' 1
(m A,(a)+ f' B,(a)) - , (L43)c
onde no lado direito introduzimos o operador T que extrai a
part.e de pólo gerada
pela regularização. Os coeficientes .43 e B3 são então dados
por
A, (a) 1 (2) 2i-;r2 h d3k1 d3k2 >. fi -2Tr [, (0)[1=0 = --
cpp> (0'"T (O)' (2 )' k l k l< m- rn Reg _n, 1': Tr [-,1'(-1,
+ mh' Trb"(V, ~ m);"(f, -~! .; m))]
x (144)(h:~ - m') [(k, - k,)' - m'] (kf ~;;") (k[)2
e
B,(a) 1 {2) _ 2if,2 1 d'Jkl d3k 2 ~.\ ,0 0 2 Tr{I, (a) I) -
---,,- (PI'Á (vii" T (,,_')' (2 )' ", ", c _p P Ikg _" r. Tr
[-;"(,6 - ~l .; m)-/p Tr (-j"(V, + mb"(V, -1ft .; m))] _
x 2) I{k k )"' ." 1('" "l' 2" (k')' (1.40)(k'2" - m '2 - 1· -
m-j l' - - - m. ~l-'j
A implementação da regularização dimensioIlal adorada por nós se
efetua da se
guinte maneira' usamos as identidades ",1J~,v = g/I/; -
ü.JwiJ'l" e t: "cpop - rOfíP _ ~p~O, , I 1. ,po,., - Un B VaUS
e as propriedades das operações de traço diretamente em D =. 3.
ou seja, todas as
possíveis contrações com o tensor (''''I' e com as matrizes
"1'/1 serão feitas em três di
mensões. Após isso: os integrandos serào promoüdos para D
dimensões e calculados
com as regras usuais [39. 40]. Este procedimento é- prático e
livre de ambíguidadcs no
que se refere â parcela diycrgente, pelo menos atê a ordem
levada em consideração,
Dificuldades surgem quando se tenta estender para dimensões
arbitrárias um obje
to e.%\cncialmentc tridimensional. como é o caso do tensor
C,
-
Por exemplo: o uso de regras estendidas tal como 'YJt"f/l = D;
podem induzir apenas
termos finitos no cálculo dos diagramas.
Seguindo então este procedimento. as equações (1.44) c {lA5)
tomam a forma
A3(a) 1 ('2) \ _... 2ü,2 f dnk 1 dO},;}. € - 2m TI' 13
(n,l>=o - -;;:;-7 (270)" (271)"
-8m3k; - 8m(ki)' - 8mk[(k, ,Ir,) + 8m(!-, ,k2 )' x (1.46)(ki -
m') [(k, - k,F - m'J [kl m'J (k1)'
e
E3(a) ~ _1..... Tr(/21( ) ~) _ 2Í7" f dOk dDk2p2 ;) a p ~-'17
--' --' < 1'- (2,.)" (2,,)D
Xurncrador x (1.47)
(k1- m') [(k2 - k,F - m'J [(1' - k,)' - m'J (/rI)' onde
~umerador = -16 cN /). (vOu kf kf p>' kí kg po - 16m2k~(kl
']1) ~ 8ki(k, . kz)(k1 . p)
+ 8m'(k[' 1')' + 8(k[ ,k,)(k, ,)))' - 8(k, 'jJfki 8(1'[, k,)'p'
+ 8kfkijJ' + S(k, 'k,)'(k[ '1') , (1,48)
É oportuno neste momento adotarmos o seguinte procedimento para
o cálculo do
termo de pólo das integrais. O primeiro passo é usar a
param('trízaçào (A.20) oU
(;\.21 L dependendo do caso, para reduzir os denominadores
eont.rmdo a \'ariárj~l de integração em um unkü denominaàor. -ema
n~z feito isto. \) denominador será uma
fun~ão quadrática da variável ue integração. Em. seguida
mmpletamos o quadrado
do denominador de modo que o mesmo toma a forma [{k2 ± ft13)2 -
~l, onde ft ê uma função dos parâmetros de Fcynman t' p rcprE'senta
() momento externo do primeiro loop: cm geral uma função de k1.
Fazemos a mudança de variável k2 ---4 k2 ~
ft fi e eliminamos os termos Ímparcs no nllmerador~ que por
integração simétrica são nulos. Após a inrogra
-
mudança de variável (caso haja necessidade) da forma kI ----)o k
l =t= hp, onde h é também uma função dos parâmetros de Feynmau e p
é o momento externo do segundo
loop. Eliminamos os termos Ímpares. integramos em k1 e somente
no final fazemos as
integrações paramétricas.
Para ilustrar o procedimento acima faremos o cálculo detalhado
do presente caso.
A primeira parametrização de Feynman para ,,43(0.) e B3{a) é
1 = edx=_--;l::"'_7M (1.49)(kl- m') [(k, - k,)' - m2] Jo . [(k,
- xk,)' - -"]'
onde
.6. = m 2 - x(l - x)k~ . (1.50)
Fazemos a translação k2 ----)o 1.'2 + 1''''1, eliminamos os
termos ímpares e fazemos a integração em k2 usando (A.23) e
(.\.2--1-). de modo que
A3(a) _(2-.q.) lo' ,1 1II - f ,jD!.T d.?: --. .,
2Df 3 o {27f)D (kf - m2 ) kj
D D, (D.,"., .,]x 1(1- 2)-"'- +r2- 2)ki""--(2+"·-2r) (1.51 ) [
e
DB3(a) 1 7f2-.Jt lo' f d k1 kl • P- T - -- dx --
,,~--;-='-----===, p' 2lJ-] o (2".)D [(p-k,)'-m'] (kl)'
x [41(1- ~) ({D - 2)(k,.p) - ki) -" 'f-' + 8.7:(1 - ",) D ( o
22) ".,]x r(2- 2 ) (k,.p)kj-(k,) -",-- . (1.52)
Prosseguindo o nosso eálculo, poderíamos introduzir duas llm'as
illtcgrais para
métricas uma vez que há agora três denominadores diferentes que
dependem de k1
em cada um dos termos das expressões acima. Entretanto. como o
resultado não
depende de m e estamos interessados apenas na parte de pólo das
amplitudes, podemos
modificar a depelldôncia sobre m em alguns denominadores. Por
exemplo, no caso
de A3(a) podemos substituir, sem mudar o resultado finaL
I~i-mZ)k:!,·" , ----)o (kf mZ)Z'
" 35
I
-
Similarmente para B3(a) podemos tomar m = O em (1.50). Isto
facilita os cálculos
das parcelas de p6lo c nos permite usar apenas uma integral
paramétrica ao invés de
duas. Seguindo esta receita tf>JlIOR que a segunda
parametrização para A3{0.) será
1 = !:(,,±~) r' dy (1 - y) y"-' (1.53)!J.O - m')" f(o·) lo a,,+2
[1.'1 - !J.d"+2 ' 2 Y m2onde a = 1- x(l- x)y - y C ~l = J- .
Fazendo a integração em k1 )a
_2-D f1rI:'4(~) T " r(3 - D) lo dx lo dy (1 - y) Ll.f-S <
c y-"[D D 2 yl-'JDl x --o + - (2+x - 2x )-6 . (1.54)a3-z 2
0.4-1l
Substituindo n valor de (L usando que f(3-D) = ~+finito. e
fazendo as integrações
paramétricas ohternos
,
...,(0) = ... 2 (1.55)
Para Bs(aL como dis.'\cmos anteriormente, tomamos m = O em
(1.50). de maneira
que podemos escrever
B,(a) <
1 - ~T ')
P' 1 [ o
dx J~~~' (2r.)D !(p
k, . pktl' - m']
x , .[x(,
.I
1)] r(1 ~) f(D 2)(1.:, . p) k;] (kfrf
-
B,(a) ~ -7 7f2-D r(3 Dl r dx ( dy (1- yJ2-.i! "':'-' [(1- 5y)
r(1- !)221J( - 3 lo lo [x(o' - lll'-.i!
2 r(2~(!~~5)1~ ljl (1- y) (1-7 U)] " (1.58) Fazendo as
integrações paramétricas e retendo apenas a parcela de pólo
encontraM
mos
! Ba(a) = - 24 (1.59)
Para i = b; que corresponde ao diagrama (b) da figura 1.7 temos
a seguinte forma
analítica,
. _:2 J, d3kl. d'Jk2 [~,:< i L1 i )1Iá"(b) .:lil {/.lu), f
o1Jp . ' 'I ')Reg (27.)' (21f)3 " p- f, - 111 p- fl:- ~,- m "
," ] kÀ 1-' J, -I"' L d'kI' 1 '2 _ . ·~·1 "'''1 '2), .Px
P-.l"1-1 ru. 7 k' k' - -4,," l"vÀ (na" T H'lj. 7rJ (2)' (21f)' k,
kJ2 - 1
b"(p- 1', + m)r"(p- Ji,- 1', + mh"(p- It, +m)f] x [Cp - k,)'- lO
l' [(j,::::k, - ,",1' - m') k[ k~--
1 '
(m A,(h)+ pB,(b» - (1.60), onde~ como anteriormente,
introduzimos o operador T que retira a parte de pólo
gerada pela regularização.
As constantes .43 (b) e B,(b) ,,10 dadas por,
D dD_~3(b) _1_ ' J2) b = - 2i;;-2 Jd k) k2 ( o T, I, ()Iv"'o 7
(",)1) (2-)fl_Tn nl _1f fi.
8m'(k, "k,) - 8mk;(k, ""2) - lGmklA:;x ........ ......:::
(L61)(ky - m2 )2 [(k j + k2 )2 - m2] kf /;;~
e
B,(b) ~ -\ Tr(Ij2l(b) Ji) = _2;,,' JIIDk, dDI;"21' " 7
_""C""""""". ( )r (2n)D(27f)D
~llmcrador (1.62)
x [(1' _ k:)' m']' [Cp - k, - k,J" - m'] k; k~ ,
:n
,
-
onde
Numerador -2'""Ã 'a3pk\'k~pÀk~k1pP - 8k;(k, . k,)(k, . p) +
16(k, . k,)(k, . p)'
8k;ki(k, . pl + Uk;(k, . p)'+ 81.;(1., . p)(k,· p) + 4(k, .
k,)(k, . p)(k,· p)
16(k, .p)'(k, . p) - 2k;(k, . p)' - 2(k, .1.,)'1" - 8(k, .
k,)(k, . p)p'
+ 2k;kip' - 8(k, · p)k~p' + 8(kl . p)(k,· p)P' . (1.63)
Note que o primeiro termo do numerador de (1,61) é finito: de
maneira que pode
mos escrever, seguindo o mesmo procedimento anterior
.-I3 (b) '-'7/ dDk, dDk, (k,·k,)+2ki16,,, - , (2")D (2rr)D (kl
"")' I(k, + Iv,)2 m2] ~ 3 2~D 1 t
7 ":D ., r(3 - Dl r dx r dy(l y) _ lo lo ,,' li]D-:l y-~ I . lf!
,.?x..::1) T ~3_(1 ~ _:,) ~Q (1.64)3- 12[ a ?;t; a"' ~
onde .6..1 = [1 .!I~-'t-xll m2 e 11 = 1 - .1:(1 ~ .T}Y _m y.
Substituindo o "alo1' úe a e faz.endo
as integrações paramétricas encontramos que o termo de pólo
é
.4,,(b) ~ I
(..65)4
Analogamente,
B3(b) .'-D l' l' l' [.. L] (b )- 7 ?'~f)-1 r(3 - Dl d.r dy d.'
(I - !ipf-x ~ 30·- I~ < _ o o o a"'-;r a
r(5- Q) ( b) .,.*]+ ( ~),(I-x) 4(D+4)--16 "'~ . ( 1.66) r-l--,
fi a"·,.
onde A1 = ~m2 - ~p2(1 - ~). a = 1- zx(l- x} - 2. li = 1 Y
zx(l-.7") c c = 1 - y - x z. Portanto.
, B,(hl = -12 (1.67)
, 38
-
Para. i = c, que corresponde ao diagrama (c) da :figura 1.7
temos a segujnte forma
analítica,
a', d'k [- 2 lá ) (c) = 41[2 (1l{J), f uvp 1nCff, (2;;)13
(2iT)~; "/ )i=...~:..=..;j.; Ar" P-"·]l;·=~··Jf;---=--!li- "r
i A v] k_~t kf _ _ ' :! h _d'_k_, _d"_k_2 .À ~fI X ~.i~";--:
P- 1''1 h2 - 4", '"SÁ '"VP T Ri'g (_»' (_>_']f )3 '" k,m k'
L-' _1{- 1 [,P(JÓ- If, + mh"(JÓ- fi, - fi, + mh~(JÍ- fi, +mhV ]
x [Cp _ k,)' ---< m2 ] [Cp _ k, _ k,)' -m-:'"IT7[(p-_"-_
-
onde l!..l = O-;;(l-Z.If) m 2 e a =1- z x z (l-xy). Fazendo as
integrações paramétricas e retendo apenas a parcela de pólo.
-
péo~ , ,-. ~+k2 ~:il:2- ' , I '~' (:J'
(a) (b) (o)
,,//2$", , ! J ) }ri 1 1 k,+~ " 2 " /(ft~
(d) (e) (0
k,*,
~I p-k1 )l P:k, ~:1I1"
-,,
Figura 1.8: Diagramas de ordem 9 (t que contribuem para a
auto-energia do férmion.
Ordem 9
-
~ -i (m'.4,(a) +m pB4(a)) -; , (1.79)
onde levamos em consideração o sinal negativo referente ao loop
fermiônico. Obsen'e
que a expressão acima possui uma estrutura dp. produto, de modo
que o uso da
regulari:!;ação dimensional o torna finito. isto é. essa
amplitude nào contém pólo em
D = 3. Portanto~
-4,(0.) = B,(a) = O (1.80)
o mesmo argumento é válido para o diagrama (b) da figura 1.8: ou
seja, temos também
.4.,(b) = B,(b) = O • (1.81)
Com relação a figura (c) este' também nào contribui pois a
eolTespondcnte ex
pressão analítica é finita. Vejamos como 15S0 ocorre. De acordo
com a figura (c}
temos
P} c = E T D r d3 k, _d'k, Tr[-;"(#'+1I!h"(f',+ /I,+m)] ~~
(1.82)4 (.) /lVP Dm JReg (21f}1 (27i)3 (J..'} ~ m2 ) [(k t + k:d 2
- m:lJ kr'
Usando as fórmulas das operações de traço que se encontram no
apêndice A temos
que
Tr'')" (!I"+m)'/(#,+ #2+»1)J ~2i m éJ!là "Ià + 2g'W (m 2 + kJ •
k'1 - k~ I 1 ,~P I~J' _ ') 1,11 J.I' _ 2 '." k"+ 'ih~"'2 -1'>2"1
Ii!:t (1.83)
Portanto1
D r d"k, d"k, m = o . 1J'}(c) = -4iTã;' lHeg(21fp (2,,)' (Á'i -
",2)[(k, + k?)1~ m'] (LM)
uma vez que temOS na ~xpressào acima uma estrutura de produto de
integrais de
l-}oop. Cúnsequentemente,
• -12
f
-
A,(c) = B4(C) = o , (1.85 )
o mesmo argumento acima é aplicado no caso do diagrama (ti) pois
o momento externo não flui através do diagrama. logo
.4,(d) - B,(d) = O (1.86)
No caso do diagrama (c). devido ao teorema de FurrYl este
eancet~Hje por conJu
gação de carga. Assim,
A4(e) = B.(c) = O (l.87)
Para o diagrama (f) temos
1 _J' ~v_,1k',. __d',. ~d'k [ i i ilfl(f) - 'i1, 'r, f..w), ,. '
• ! !,Rl'g: u"r~ l2-;;-)3 , ]$- Itj 11/ f2- /f1 m /(2 m k'f
4"" ÁT{ d"", rf'k, ,·(F-i
-
Tr[-y"(p- li, + m)(II,- Ji, + m)Y'(II2 + m) PI kr x ... [Cp -
k,)' m'] {(A:, k,)2 m2] (ki - m') ki
1 1 (1.90)81l" e .
k,
, ,.,Q, , " ,, , ,
.. ... .. "
... r ; ~ ,, ,
! I ) I I ,. )..., p+Kt ~ ~·kz (a) (b)
Figura 1.9: Diagramas de ordem g2 que contribuem para a.
auto-energia do férmion.
Ordem g'
Nesta ordem apenas dois diagramas contribuem, Eles est.ào
mostrados na figura
1.9. Como eles possuem uma divcrgéncia cúbica a parccla de pólo
terá a decompo
siçãoll
(.4,(;) m' + E,(;)m' 71)Parte de Pólo = (1.91)
< onde i = a, b representam as duas contribuições para a
auto-energia. Assim,
1('1 lá')(a) + Il21(b)5 = , , "'/I-4"T r d k, d k, p+, + m
l iR" (2 .. )' (2;r)' [Cp + k1l' m'J(kj m')[(k, - k,)" - m'] x
{(~, + m) (82- li, + m) - Tr[(/I, + m)(II,- li, + mm
(A" m' + B" m' (1.92)
<
Após um longo cálculo encontramos que as constantes As e B$ são
dadas por
11 Aqui tambêm serão desprezados contrariermos do tipo mp"1 e
pp?, pois eles silQ amortecidos pelo fator 'b.
, 44
,
-
3i1 1(1)1 - - - 2 (1.93).45 - --Tr 5 p=O - 161r- ')m3
e
1 (') 5; (1.94)B, = 2m'p2 Tr(I. p) = - 48,,'
1.4.2 Funções de Quatro Pontos
Devido à estrutura tensoriai da função de vértice r(.j),
adotaremos o seguinte pro
cedimento para o cálculo dos coeficientes Cal C4 e Cs em (1.29).
Como precisamos
apenas da parte constante do resíduo1 os cálculos serão feitos
para momento externo
igual a zero. Suponha que temos um gráfico genérico como aquele
mostrado na figura
abaixo.
A UI .. ? ",,
B
", b
c
u, d
Figura 1.10: Gráfico genérico com quatro linhas externas
fermiônicas.
A e B referem-se aos propugadores c vértices (escalar ou
vetorial) associados às
duas linhas de fêrmions: c C representa os outros fatores. Em
dois loops a amplitude
antisimetrizada deste diagrama é pscrita como
J dDk dDk., J = (")~ (0_);' (.4 ® B) C = pólo Ij ® Í; + finito
(1.95)_1:' _11 onde explicitamos apenas a estrutura tensorial da
parcela divergente e o simbolo 0
indica produto direto antisimetrizado. isto é,
A ® B = AOi'1c~ BU3d4 - A'HUl Bn;;(I~ e S ® 6 = 6alO!! "uso.:. -
6cla~ ÓOJ02 ,
45
I
-
Multiplicando ambos os lados de (2.17) por 5 ® 5 obtemos
facilmente que
pólo = ~ I ,~D~~ ,~D~;, ITr(A) Tr(B) - Tr(AB)] C . (1.96)
Observe que até a ordem qut" estamos indo; terceira ordem nos
acoplamentos,
existem muitos diagramas. Sistematicamente, em cada ordem de
perturbação sepa
raremOS os diagramas em duas c1asst>S: com ou sem loop
fermiônlco. I\'o caso dos
diagrama,,
-
e
~ {/wÀ fofie k; k!l
c = 2 x4" (kr _ m')' [(k, + k,)' m'l (k1 =- m2) kl k1
onde 2 é o fator comblnatorial!2, Fazendo as operaç(}($ De traço
e usando (L96), o
termo de pólo para este diagrama é
2 f dDk, dDk, -4(kI ,k,)'+4k1k1 (1.97)pólo = -4r. 7 (2r.)D
(2r.)D (kl m')' [(k, + k,)2 m'] (k1- m') k1
Usando a pararnetrização
1 rI 1 - x (1.98)
[(kI + k,)' - m'J (lei - m')2 = 2 lo dx i(k, + ,T k,)' "']" onde
L1 = m2 - x(l - J.:} k~, fazendo a translação 1.'1 -7 k j -
;1:1.'2' e eliminando os
termos ímpares, obtemos. após integrarmos em k1
11 124-- D D dDk-,pólo -i7r(2 -) dx (1- ;r) ---
~..............•..
f,1f~2 2 o - (2ii)D (k~ - rn'.!) .;j,:t
.).1_2D yl 1] blo' li ~ -i7---1(3 - Dl dx(l- xl c/y '(_m')D-',
(1.99)
'j(D_2 o o a:J:~ a
onde a ;;;;;;;; 1 - y - yx (1 ---- :r) e b = 1 - 'ly. Fazendo as
integrações paramétricas c
retendo apenas a parcela de pólo. encontramos
'I 1po 0;;;;;;;;-- (1.100)4, Colecionando es5f'S rf'.'mltados
(\"eja a.5 tabelas L 1 e 1,2) para o termo de pólo
obtemos
7 C3 - -2' (1101)
Ordem g2a
Como exemplo de um diagrama que
-
.\: ,
"'~ o""
~
Figura 1,12: Gráfico que contribue na ordem 920:.
De acordo com ela A, B e O são dados por
11=1'"(- ~,+m),
B = 1"(1', +m) ,
e
0-4 2- hÁ Tl'[(~, +m)(F,+ fo',+m)] - x "'e'" 2 (kl'.. m') [('" +
k,)' _ m'] (kj- m')' kl
onde 4 é o fator combínatorial e levamos em consideraçã.o o
sinal negativo devido ao
loop fermiônico. Usando a parametrização
1 {' 1 [(k, + k,)' - m'] (kl- m') = Jo d,' [(k, + x k,P ....
Z;p
onde.6. = m2 - x(l - x) k~, fazendo a translação k1 -t k1 -
xk'l' eliminando os termos
Ímpares e fazendo a integração no momento: obtemos
2'-D I [D D dlJkpólo T" { d" -1'(1--)1' m
1T i-I 10 2 2 (27.)0 (kl- rn')'
DI dDkz m3 _ 1- m: r(2 - 2) -(Z-r.)-0 "("k,"')
-'_'"'m-==.'C')'··'::;).::'?_c;r
,3-ZD , [, -i/ (l _ ) b mT ~ Df(3 D) {dx r dy Y' Y (_m')I)-2
-r;:D 1 lo lo 03- (j
, ,_ll '1 ) b -J+ x(! -:r) dy 11 '\ D Y (_ m')JJ-3 (1.1Q2)Infi
0.4-1 a ,
48
-
onde) como anteriormente) a = 1- y - y x (1 - x) e b = 1 - 2y.
Fazendo as integrações
parametricas e retendo apenas a parcela de pólo, temos
poo= ~m ,'I ' (L103)21ff
Reunindo esses l'Csultados do termo de pólo obtemos
c, = Ih (1.104)271" "
Ordem g3
Um dos diagramas que contribuem nesta ordem é O mostrado na
figura 1.13.
k~ -10;, c ) ),
'" ), , "
!) ")
l!f'~ 1:}
Figura 1.13: Gráfico que contribue na ordem 93 .
De acordo com a figura acima A, B e C são dados por
A=(~,+m)(- i
-
dDk! dD10. Numerador ......._
(1.105)pólo = 47 / (2r.)D (Zr.)D (kl- m')' i(k, + k,)' rn'] (kJ
m')
onde
Numerador = 2 m 4 - 2ki k~ + 6m2 k~ - 2 m 2 (1ft' k2 ) - 2 k2 1
(k1 • k'J,) 2 rn2 k~ ,
Novamente utilizando a parametrização (1.98) obtemos1 após
eliminarmos 05 ter
mos ímpares em k1
pólo ;7 2·-D rldX(1-Xl[~f(2-DlJ dDk, 9m'-k~(3-5x)
,,'f Ju 2 2 (2,,)" (kj _ m')~' ~ , ( D) f d"k,
_-_n_f_'+_m_2_k-'~..:(..,1--:-:-;r_._--:3,-,r.",,'),:;-,;-(k-,·§c-l'_(:...1_-_2'_Xl:...x_']
T [3-- - 2 (27r")LJ (k§ - m2) L.\3-~
7 m'2 8rr2
-
1.5 Pontos Fixos e Dimensões anômalas de Operadores
Compostos
Os pontos fixos são obtidos pela condição fi = 0, e de acordo
com (1.110) temos as seguintes soluções (para n =f:. O)
9 ~ O, e 9~ A [b±Jb2 4ac] (Llll)m 2a
onde a= 1~~21 b = ~;a. c c = 1 + 23°(1:2, Vemos portanto que
apenas a origem é um ponto fixo, pois pela condição m < < A,
a solução não trivial foge do tratamento perturbativo que estamos
adotando. Assim, de acordo com a seção 1.3. a origem é
um ponto fixo infra-vermelho estável, já que [J'(g = O) = 1 +
~1°Q'2 > O. Assim, a teoria apresenta apenas a origem como ponto
fixo. contrariamente ao
observado na referência [18]. Naquele trabalho o autor obtrve um
valor para 0:2 , que
ele designou por a;, no qual a teoria apresenta um ponto fixo
diferente do trivial. E ao estudar a influência do termo de CS no
operador composto (W1.;,·)2. verificou que
2o mesmo apresenta Ullla dimensão tal. que para Q = n; se
tornara marginal. Deve
se notar que em [18] foi considerada a teoria sem massa e usada
uma regularização
diferente da que temos ador.ado. Nossos resultados são
diferentes porque em ordem
mais baixa em g, a influência do acoplamento de CS nas funçõ(~s
de vértice de quatro
pontos nos leva a um sinal positivo na função beta. como podemos
observar por
(L110),
Vemos de (1.109), que a dimensão do campo básico ó. no ponto
fixo 9 = 0, é
d.p = 1 - ~~, onde - ~; é a dimensão anômala. Isto indica que as
funções de Grecn
de campos fermiônicos possuem um melhor comportamento
ultravioleta quando se
aumenta a.
Determinaremos agora a dimensão de alguns operadorC's
compostosl.1 no pont.o fixo
9 = O. Como estamos interessados apenas no comportament.o de
escala das funções
de Green com a inserção do operador composto. podemos
com;iderá-los formalmen
te integrados, isto é, operadores que entram com momento nulo
nos diagramas de
•., Por operador composto queremos dizer um operador con5truido
a partir do produto de campos elementares e suas derivadas 110
mesmo ponto.
, 51
,
-
F'cynrnan. USáremos a notação .6.i = I d3x 01' para indicar esta
opera
-
onde Zij{J.tl e) é a. matriz de constantes de renormalização de
função de ond~ definidas
como .6.i = Zij ARj- Em ana10gia com (1.8), temos a seguinte
equação do grupo de
renormaJização
[(A:A + /1~Jl +m§:m + 13: .... N".) ÓI; + "l'j(g.(1)
1r~:ij(l';,a,m,f1) = O9
(1.114)
onde 'Yij(a) = tl ~/l In Zij é a matriz de dimensões anômalas
dos operadores ,Ó,i_
O comportamento de escala das funções de Green com uma inserção
de !li é obtida
de maneira semelhante ao feito na seção 1.3. Por uma questão de
e
-
D",,('rl = 2 - NF •
Para Np = 2: a inserção df',,r;rte operador corresponde a
introduzi-lo em cada linha
int,erna de férmion nos diagramas de auto-energia (aJ, (e), (d)
e (e) da figura 1.2. Todos
possuem uma divergência logaritimica~ embora, neste caso, a
contribuição para o
termo de pólo venha apenas da ordem 0.2 ! pois na ordem 0', o
diagrama correspondente
é de l~loop e portanto finito devido ao uso da regularização
dimensionaL Para N p = 4,
todos OS diagramas (com g = O) são convergentes. Logo) a
inserção do operador 6.1 nas funções de dois e quatro pontos não
produz mistura COm outros operadores. Desta
forma, a expressão renormalízada para para fi. função de dois
pontos com uma inserção
de ti, é dada por
r (2) (1 < l(2) 2 'fi' (2) • l n 1,ó,j p~ P = 1 + (l11 2.1. 1
+ ti l mta;3.:.1j + 2 11 P nes •
onde usamos (1.26) e Refi são os coeficientes do termo} dos
diagrámàS de ordem a 2
com uma inserção de .6.1• Substituindo a e.,,-:pressão acima em
(1.114) obtemos
2Res~2"i(g=O,ü)+itil =0. (1.116)
Notando que a derivada com relação à massa corresponde à
inserção do operador
lfnfJ para o momento transferido igual 1:1 zero, podemos, para
efeitos práticos, calcular o Res usando o resultado obtido na seção
1.4.1, isto é
Res; i"à (A3m+BS jI) = iAs = ~a2. unl 4
Portanto~
.,+... ,,8 2 (,i A! = ~ ~Ii.l.l = - - -o (1.117)
3
é a dimensão do operador ~1: sendo ___ ~Ct'2 a dimensão
anômala.
O operador .6.2 = I d"'.r;;: ih: possui D!:,.z ('"'I) = 3 l\fF ,
portanto. os diagramas com quatro linhas externas são com:ergentes~
enquanto que para NF = 2 os gráficos
sâo linearmente divergentes, lsto significa que os diag-ramas
(n), (6) (~ (c) da figura L 71 ,
54
f
http:mta;3.:.1j
-
com uma inserção deste operador em todas as linhas internas
fermiônícas, produzirão
contra-termos da forma
f d'x (A", mi/nJ, + E",;j, ~1Í)) , onde o simbolo A 62 e B~'!
representam as parcelas divergentes das amplitudes mos
tradas na figura L 7 com uma inserção de D.z<
Observe que existe uma mistura entre os operadores ~l e .6.2 ,
Uma simplificação
pode ser feita se considerarmos o casú para m = O. Nesta
situação, a partir do cálculo
da dimensão anômala do operador 1/;. podemos facilmente obter a
dimensão de .6.2 ,
pois o uso direto de (1.112) fornece
)'", = 21(9 = 0,? +u,1bi1'1/J+a"m2 ,f;w+a,m,f; ?J1jJ),
f d'xN["b827/J] = f d',r(b, ("b1/Jl' -t-bz#1'1l:+b"m'J,7/J+b4
m"b ~1/J), sendo que o simboJo lS indica a prescrição
correspondente fi subtração do termo de
pólo. Com m = O, precisl1remos obter apena':> al1 U:';1 b1 e
bz • Observe entretanto, que a
inserção do operador .6.3 = J d3 x 7:~[P'll) nas funçÕi:s de
quatro pontos são todas finitas (até O(a2 }), portanto &1 = O.
Por um cálculo direto (veja apêndice E) podemos obter
as igualdades para os termos de pólo mostradas na figura 1.14.
Então, utílízando
{1.114) encontrl;Ullos que as dimensões dos operadores ..:à_1 =
J d3 x ('01,&)2 e ~3 são dadas por
H'Note que este operador' coma.·' o numero de Unha.
-
la) - ,= O. para •• (1f'1f')Q:,. +-&+-B _C,-7 _.
(O) - li .. 21:' para • lIt (qll1f)A+A+)Sj+·.. (o) ~+A+~
+Y+G+9
. 3c' para. 111 wa2 1,j1+~+~+~= '"
Figura 1.14: Diagramas com }\iF = 2~ 4 com inserções de
operadores compostos.
2 ,,24 -!..?~· ",2+ ",2-4+dIII = ,- ;02.... 3~ - ""2 1
(1.119)
e
" 2 20 2(l.l~ = 4+4')020;- - 2C3o = 4+ 3ã: , (1.120)
onde O coeficieme C, foi calculado na equação (1.101).
Vemos portanto que para os operador(~s que foram considerados,
suas dimensões
diminnem com (l. se as SItaS respcctinls dimensões canônicas
forem menores ou iguais
a três l em acordo com [13). Entretanto, se a dimensão canônica
for maior que três,
a dimensão dos operadorC's aunwnt.a com Q, de modo que nào se
verifica um melhor
comportamento ultravlo]eta para esse:; operadores não
renormalizáveis .
• 56
,
-
No próximo capítulo estenderemos esta discussão para o caso de
interações qnártícas
contendo N sabores. Corno mencionada na introdução, devemos
esperar algumas
mudanças em relação ao caso N = 1, já que quando N torna-se
grande as teorias
qllártica... fermiônicas tornam-se renormalizáveis, e em
particular, com uma interação
tipo Thirring~ haycrá uma geraçâo dinâmica de massa para os
férmíons para o valor
N < Nr; = ~~~; onde D = 2.4 representa o número de
componcntE:'_'> do campa €spinorial. Isto indica que uma
transição de fase ocorre, com quebra de simetria de paridade
para férmions de duas componentes l ou de simetria quiraI para
férmions com quatro
componentes, para aquele valor de Nc [11]_
" 57
-
Ordem go:'); Ordem g'2oTipo de Diagrama (i,j) Ordem li' :
3i ai ,_2!(1, O) ,.,2, - 41f2l ,,,
.L -(0,2) 2, I ,,,
Si :li(1,1) -, ,
:Ji -(1,2) I , i_...L(2,0) ;;:r;7.t:
LSi -(2, 1) - 2:rf
,;--(3,0) 'hr2(
--~----
Tabela LI: Djagramas sem o loop fermiônlco. A primeira coluna
lista diferentes tipos de diagramas (i,j), onde i ej são os números
de linha.., GN e CS ligando as duas linhas fenniônicas.
respectivument(>,
, 58
f
-
Número de Diagramas Ordem de Perturbação Termo de Pólo
_ig(>2 12 2,
g2a 7 -li :u
9' 8 ~ "
Tabela 1.2: Parte de pólo de diagrama.") com o loop rermión1co.
A segunda coluna lista o número de diagramas que fornecem
contribuiçào para o termo de pó)o da função de quatro pontos.
-'39
f
-
Capítulo 2
o Modelo Fermiônico Com Simetria U (N) Acoplado Com um Campo de
Chern-Simons
2.1 o Modelo Como uma Teoria Efetiva e o Grupo de
Renormalização
o modelo que descreve a auto-interaçno quártica fermíônica mais
geral, com simetria interna '0(1'>;) e 11lyariantc de Lorentz,
acoplado com um tampo de Chern-Simons
é dado pela Lagrangeana
1,\ - - 'J - 'J 1 " C = 4"u ,"V FpvAÁ + 1»(i íI!+ f.)w -
G,(1/J~I)-·· G,(7n",i) - 2); (8pA")· , (2.1)
onde uma soma nos índices repetidos de Cúr está implídta. isto
é, 1;; = 1/:1, com i = 1.2, ",,/V, Como anteriormente, }~IJ = af,A"
- OvAl! onde Ai< é o campo de Chern-Simons e 'Ik' é um campo
fermiôntco sem ma,')Sa, agora com N componentes, e
À é o parâmetro de fixação de gauge.
De fato, as interações quál'tiea'1 contidas em (2.1) representam
a mais geral auto
interação invariante de Lorcntz com .;\' componentes, uma vez
que. como mü::.1.rado em
[la] 1 as interações (0Àa~f e (ijrfJl.)..GtpF! nào são
linearmente independentes, devido às identidades de Fierz:
? (1 + 1~) ("b,;f + (.""i',;)2 + ("b>'"VI)' = O
,
60
<
-
e
2 (2+ "~)(1ÍÍ>P)' + 1~ (1ÍÍ"N;)' + (1ÍÍ),"1/,)' +
(Jr('),"1/J)' = O, onde N\ a = 1,2, ".,N2 -1, são os geradores do
grupo SU(N). Observe que apenas
duas dessas interações são linearmente independentes, e estas
poderiam ser as definidas
em (2.1). Este modelo é invariante por conjugação de carga,
apresentando quebra de
simetria de paridade e reversão temporal. devido ao termo de
Chern-Simons. No
entanto, as transformações PT e C'PT são simetrias do modelo
i34].
Analogamente à discussão feita no capitulo anterior, concluimos
que a teoria des
crita pela Lagrangeana acima possui duas constantes de
acoplamento; G1 e G21 com
dimensão de Massa-I. Portanto, esta teoria é também não
renormalízáveJ perturba
tivamente. Dai, segue imediatamente que a contagem de potências
dos diagramas de
Feynman é semelhante a (1.26), isto é,
dh) = 3 - _Y, - NF -+ '-, +" . (2.2) onde VI e '\/2 referem-se
ao número de ,'értices do tipo G j e O2 : respcttivamentfL
fls.s regras de Fcynman puta 05 yértices da teoria (2.1) estão
mostradas na figura
(2.J)) onde adotamos a notação condensada
.6. ®.6. =6alnJóO~04 Iac Ibd - óOI''l480Z(l:3 Iad1br;, (2.3)
e
r ~· r = o" ~ I I - o." o. I I (2.4)'ól - !(1'!U3 !PO~CM ac bd
10\61 I{lCl1C1J ad tx:., onde 6 com índices gregos c 1 com
Índiccslatinos referem-se às matrizes idem idades, no
espa
-
~Y~
, , , , , , , •, , , ,'X', , , 3, , ;; , , ,• , , ) ,
(-i91 ) [bUI«, I) bllZ"4IllC"lW. S , ) ) ,•, , -,'X', , , , , ,,
, , ) ) , , , ,
(.'9,)["1' $''' Iõ>C"Ibd.,,1I 'Z>" li!idelt
-
onde, como anteriormente2 : introduzimos as constantes de
acoplamento adimensionais
G1 -4 1LJlt e G'J. -4 :r/L\ e o simbolo ;;;::: significa
igualdade na região onde os contratermos diferentes dos tcrmas já
canUdos em (2.1) podem scr desprezados. Como
a invariância de U(N) não é quebrada, todos os campos
fermiônicos Wi possuem a
mesma dimensão i e isso explica a presença de um só "l na
cÀpressão acima. Note que
também usamos o teorema de Coleman-Hill para obtermos (2,5).
2.2 As Funções do Grupo de Renormalização
Os coeficientes Ih, fia e "( da equação (2.5) são obtidos de
maneira análoga ao feito na secão 1.4, isto é, calculando a ação
dos operadores diferenciais sobre as funções
de Green de dois e quatros pontos. Entretanto. observe que neste
caso (teoria Catu
massa nula). a função de dois pontos r(2l(p) não receberá
contribuições do termo dI?
pólo para diagramas que possuam pelo menos um vértice
quadrílinear:1• De fato, os
diagramas de '"tuci-pule" (v".ia apêndjce C) e os resíclllrn;
(coeficientes do termo~) do:-.
diagramas de ordem'! gu e g2, Hão pl'Opordouais à massa do
férmion (veja equação
(1.28). Deste modo. a função '1 é a mesma obtida no eapitnlo
anterior~ se fizermos
m...-..t Oem (1.109) e íntroduzirmos um fator N~ dcyido ao loop
fermÍônko. no c,ílculo
do diagrama 1.7(a), isto é,
B = B,(a) + B,(b).,. B,(e) = _yv + 1) (2.6)14
o que nos leva
(N+l) o' .1(0) = (2.7)24
o cálculo das funções ,81(gt, g21 0:) e lh(.Q11.Q2, a) é um
pouco mais complicado, C' requer o conhecimento de [(4) (p!. P2,
p;hp..d, Inicialmente note que n(~nhllma contribuição virá da
parcela de pólo para as amplitudes de Feynman de ordem J/"a e
rl,
2Mudamos ligeiramente a notação para as funções de vêrtices
r(Sp), onde NF é (} númprD de linhas externas do tipo férmion, para
nào nos confundirmos com N, quI:' neste caso n:~presenta o n1,Ímero
de espédes de campos fermíônk,os,
3 A não ser a cOntribuição dos t €nnos (J (t A if e g'2 B tfo.,
onde A, e B $5.0 COllstantcri, CJue são desprezíveis para p <
< A .
.). Aqui 9 desigrLli 91 ou 92 ou çombinaçues destes .
•
63
http:lh(.Q11.Q2
-
pois os resíduos desses diagramas são também proporcionais à
massa do férmion (veja
equação (1.29)). Omitindo as contribuições que por contagem de
potência são finitas,
e usando (1.26), temos que até a terceira ordem nos
acoplamentos
rI4)' ( )' [.9', , .9, [' r 9' ,101 9, 'lUIPl,P2jP3,P~ = fi
-1~\·~®-..l.·· 1"}"' ® +~rO:J1 J +'Ill:ll 2
+ ~~ n' [finitol - 2i In,,(D, il® il + D,r ® r)]
+ :~a2[finita, 2illl,,(D,t,®t,+D,r®rl]] (2.8)
onde explicitamos a estrutura tensorial apenas na aproximação de
árvore e nas parcelas
divergentes) conforme notação empregada. As amplitudes li'l) e
I~4) correspondem
aOs diagramas de l-looPr que são finitos com o uso da
regularização dimensional. As
constantes Dl c DJ , C D:! e D4 silo os n:síduos nos pólos cw ~.
proporcionais a ~ 0 Ll
e r ® r~ respecti\'ament€', Substituindo (2.8) em (:V}}.
juntamente com as E'xpansões
3'(9'.9,.(1) = L il(lJ.., , g;g.J"k . (2.9) i.j,k
e
iPl"( ) = "'" i..J k I (2.10)91' g:t' Ct L.., P('l).';,k !h !lO!
Ü l,j,k
onde a soma é restrita f\ i+1+k 3. usando (2.7) e agrupando os
termos pmporcionai::;
a .ó. ® ~ e r ® r 1 obtemos as seguintes igualdades
!.'l ® .::1 (1 - I1(1)1,(M;) - r'0 r ;)(2ll.o.ú = () ,
r ® r (1 - .3(2io,j,ç} - LI. ®.6, ,t3(IiQ.l.o = o ,
B(1)o,o,1 = ,:)(2)Q,O,1 = o .
;.'; ® Ll. (.... 2; D, - i til'".,., + 4 B) + r ® r{2i D, - i
/il'l ..,.,) = Il ..
..
64
f
-
LI. ® LI. (···2iD3 - ; 8(,),...,) + r ® r (-2iD, - iPI2)",.,
+4B) = O,
Note que como para X #- 1 os produtos diretos antisimetrizados ~
® ~ e r ® r são linearrnünt.e independentes. podemos concluir
(lue
3\.ih.il.l' = ,8(2)0,1.0 = 1 , (2,11)
P(l)Q_U! = 8(2h.v.n = ,6(1)0.(1.1 = fJ(2)OJU = O ~ (2,12)
,o"~, __-JD,_A-iBP, /1.0.:! - - -.c., fJ(2)l,O.2 = -"2 D'). .
(2.13)
13(1hl.1.~ = -2 D?. ,3(2)lJ,U = ···2D.J, - 4i B. (2,14)
Assim; encontramos as. seguintes expressões
3tCfl;.,.Q2.0} = -'lI -"2 {DI ..;..2iB}m (,2 - 'lD3g;zn2 1
(2,15)
e
fJ2(gl;YZ'O) = 92 - 2D2 .QI a2 - 2(D4 +2iB)9z a) , (2,16)
Para o cálculo dos coeficientes Dl_ Dz, D;} e D4 adotaremos um
procedimentQs
semelhante ao feito na sctào lA. Suponha quo temos um diagrama
de Feynmall
genérico com quatro linh.as externas. (;omo aquele mostrado na
figura 1.10, com a di
ferença que agora temos índires df' simetria inrerna. Entiio, em
2-100])$. li ampHtndeV
anLishnetrizada é escrita como
I = f d D ", dDk, pólo, .". ® .". + pólo, r ® r(217)D (27f)D
(..j ® B) C +- finito (2,17)1
50s cálculos serão feitos para momento externo igual a 7.cro,
uma vez que o resíduo é uma constante, isto é, os dia.gramas
diw;rgem logaririmiétlrm:mte no 1lItra-yiolera.
G
-
onde, como anteriormente. expHcitamos somente a estnltura
tensoriai da parcela di
vergente, c o símbolo 0 índica produto direto antisimetrlzado l
isto é,
.4. ® B = Anln~ Bfr3(}4 J lU; laJ - A010~ B'lJll2 Iad I,x: .
idultiplicando ambos os lados de (2.17) por .C;. 0..1
obtemo!'>
' , " 'T f dDk l dDk, [,•., () () ,( ) - ('i'v polo, = (2.)
(2;)5 h' Tr A Tr B - NTr(A B)J C,2N 2N -1 polo, (2.18)
onde o traço é somente sobre os índices de Lorentz.
Analogamente: multiplicando ambos os lados de (2,17) por r 0 r
encontramOS
f dDkJ dD
k2 r, ~2 .' ~,' ,,'"-6Npólol + 6N(2fY + 1) pólo, T (".)D (.,,)/J
l'\ T'l..! ,.)Tr(B y ) _lO _li
NTr('·hóB-.O)] C. (2.19)
Resolvendo (} sistema dE' equaçõC!\ (2.18) e (:l.lO) obtemos
1 pólo, O.\T!:\':> 1\ [(2S+1}!t-r 12:. (2.20)
e
1póln. = ....... ... [31, + (.,y - 1) 1.] (2.21)--, 24N(N' - 1)
.. , , sendo
D
11 = 'T f t~-~ d "),;) [N' Tr(.4) Tr(B) - NTr(A B)] C. (2.22)2"
(2"
e
f dDk dDk· 1, = T (2"/ (2;r); [.'v'"' Tr(A-fQ) Tr(B-,.o) -
:YTrp-fO B '/)] C. (2.23) É oportuno ressaltar que as expressões
(2.20), (2.21). (2.22) e (2.23) são absolu
tamente gerais) válidas para todos os diagramas de quatros
pontos, quer t.enhamos ,
66
f
-
vértices tipo Gross-Nevcu ou Thirring. Obviamente as formas para
A, B e C depen
dem de cada diagrama. Por ontro lado, nesta ordem de
perturbação) existem muitos
diagramas com os dois tipos de yértices quadrilineares. c como
anteriormente, sepa
raremos os diagramas em duas classes: coro ou sem loop
fenníõnico. No caso dos.
diagramas sem o loop, agruparemos de acordo com o número de
linhas auxiliares de
GN c Thirring ou de CS ligando as duas Linhas fE'rmiôllicas,
Os resultados obtidos encontram~se resumidos nas tabelas 2.1 e
2.2, que mostram
as contribuições das classes de diagramas para a parcela de
pólo. Alguns dos diagramas
encontram~se listadas no apêndice D.
Colecionando os resultados para os coeficientes Dl! D2, D3,
obtemos
7 5 V Dl = 2+ 3_IV (" D 2 =_.L 1 (2,24)2 ' 3 '
e
:2 X (O0-)D3=9+3N r D, = -3 3 -,-i)
Substituindo essr.s \"alores, juntamentE' COm (2.6). fiS funções
betas (2.15) c (2.16)
ficam
43+37N)., ( , ,iJ,(.q"g"o
-
onde a, b, c e d são os coeficientes de ,910'2 e g2o? das
equações (2,26) e (2.27), isto é,
a = 43+r N, b = 2(9 +3N), c = 5 + ~~V e d = ! (~ + N)_ Como
podemos observar por uma substituição direta desses coeficientes; a
solução (}:f-~) < Opara qualquer valor de ]\;~, o que nos
levaria a um Cf imaginário. o que não é arejtávcl fisicarncmte,
Enquanto
que a solução uf+) nos fornE'ce o seguÍnt
-
O fJ a- l-C')[:\OA +J1aí-;+3 àiJu -N'i r' (Pi,90,11) =0,
(2,32)
onde ,Si denotam .as funções betas eorrespondentcH aoi'
acoplamamos !lj, que assim
como 'Y dependem dos parâmetros 9j, enquanto qur rj €' i Hão
funções de uma única
variável go- A função de Green tu'.') é obtida a partir de r
U"-; pela substituição de (2,30), Consequentememe,
af'(N) "ar(N) dg· àr(N) n arUV) dg',-;;-~=I: -'= +I: -'.
000 j=O àgj diJu aoo j=l 00, dO.
Por outro lado,
, àr(N) Dr(N) , ôr(N) I:3j~,- =,Bo-~ + I:f3j-"'~' jt."'U agj Dgo
j=! agj
e pela independência linear das funçõe..
-
Portanto, para renormalizar o modelo devemos adicionar a
interação _~,).
endontramos as ~guintes soluções
I lr;-c= H 1 1".-:\+) - ~ Po - 3 3v140 > O e Po =-3-:iv14ô
h:VH ao seguinte
resultado)
bp~ + Po (a + rI) - c = O-
1'\ote que a redução para uma descrição em tcnnos de 91 só €i
possível. se a equação
acima possuir raizes reais. isto (~. se {} discriminame ~ = íll
+ d):! + ·Ut(- ~ o. Por substituição dos coeficientes fl. b. c E'
ri, Vemíl.";. quI' isso é possh-el para qualquer va'or
de N. Logo, tL'rcmos as seguintes soluções
í±)_ -(a+d)±I(a+d)2·Hbc]! (2.35)1'0 - 2b
Desta forma. a função beta do sistema reduzido será dilda
por
,
70
f
-
l
1"(91) = gJ!1 ~ 0;' (a + bp~"))l, (2.36)
e os pontos fixos da teoria reduzida são facilmente obtidos
_u 2 < u; -+ 1 - 0"2 (fI + bp~+l} > 0-+ LR estável #'(91)
= 1 ~ ,,2 (a +bp~~)) {
.0:2 > Q~ -+ 1 - (1:2 (a + b Pb+) < O -t LR instávcl
onde
2 1 2 a: = = (2.37)
, a+bp~+) a~d+[(a+dF+4bcJt'
e ~+) é dado por
(+1 ~ ~25", 20:\' + 13865 + 2512 N + 5,14 N'Jl 1'0 - 36(N+3)
"
Note que ao substituirmos os yalores de a. b, c e d na expressão
(2,37), encontra
remos a equação (2.29),
2.4 Dimensões Anômalas de Operadores Compostos
A generalização da discussão feita 110 primeiro capítulo, para
operadores compos
tos, ê imediata para o caso de N campos. :-\ diferença ocorre
apenas quando tratamos
dos operadores com dimensão quatro, ou seja . .6.3 = Jd3:r;
ibD2'1j;, ~4 = J d3x (i})r/;)2 e As = Jcfx (t'),,!t~tjJ)'i., como
veremos mais adiante. Realmente, com relação ao campo básico '!f;,
e a inserção do operador ~2 = J d3 .r à Ih/J nas fUllÇOE"1:> de
Green com N p = 2,4, as cquaçôcR (2.6) e (2.7) nos leyam a (ycja
apêndice E),
ri,v =1 - N+1 ? do., = 3 ~ N 3+ 1 ,,-, (2.38)24 a-No que se
refere aos operadores com dimensào quatro, o processo de
renorma.Hzação
nos fornece o seguinte sistema de equações
f d"x N[(1í4'fl = Jd'", (a~ (J:,,)' + a; WD'~, + a;
(,p.)'I',p)') , ,
71
f
-
I d'a: NI,p/'Pc'l = I d"x (IIdi[.1/J)' + b~ 1fiD'c) + b;
(,b7"7f;)') ,
Jtfx Nf(ti:'''I)';;,_yl] = Jd3;r {(~ (1bt/;)2 + (;~ .bD:! /I- +
C; (~J"YP1/Jf} latoverJ'fi " za,Dcacordocorna scçaoantenOLe-"
nne'd' car{Juea'11= +D la-ta:), = D '
d. = D" 0'2 e c~ = j + D4 (1'2. Paralelamente, OR coeficientes ~
= b:J = O, uma vez que a inserção do operador 11:81v nas funções:
de quatro pontos (para ambos os
vértices quadrilineares) são finitas na ordem 0:2, por se tratar
de diagramas de 1-1oop.
Através de um cálculo dír€'to podemos mostrar também que ~ = O,
b~ = 1 _ ~2 e
c:, = 6':, (1 + t) (para maiores detalhes veja o apêndice E).
Deste modo, podemos escrever o conjunto de equaçôes acima na forma
matricial
l-;j0-af, Q Of D.3R \ ! ' '" () \ f D.3
D.4R I = (1 1 +D, (y., a(,.) D,ll'a(f) I I "4T) l O !:,,'R ) .'c
(1 + ';) rra(f) D, a' ate) 1 + D"u'a(c) J \.6.,
(2,39)
onde a(f) = {IJ:l'(_q. Se prererirmos~ podemos usar a notação
compacta
VjR = Zjk f;' = (1 + Z)jk O, , (2.40)
sendo que
,10.2 O O Z" = 0::." . 1) I O Dl ()'2 Dzn z (2.41)
(
OI';'! (1 + i~') O:: D',! ü 2 D,. 0;2 onde D" Dz, D" c D, sâo
dados por (2.24) e (2.25). Em (2.39) c (2.40) o subescrito
R signific1t renormalizado.
Para ('Sercvenuos (2.39) lHl forma diagonal precisamos faz(:r
uma mudança de
representação. Escolhendo que os noyos operadores O} satisfaçam
a relação ~
72
f
-
o; = L Gij Oj , (2.42)j
de maneira que eles sejam renormalizados multiplicativamentc,
isto é,
o;R = Zj O; ~ (2.43) encontramos que
(C ZC-1 )'j = Zjli'j, (2.44)
sendo que Gij é a matriz que diagonaliza Zij. Usando que Zij =
Óij + Zij: podemos concluir
Zj = liij + :tj , (2.45 )
com :tj Óij = (G Z C- 1 )íj. Essas operações nos levam aos
seguines resultados
)" O O
(,,2< _ 1) 2 Zj = () O )" O I . (2.46)
f
O O ),3
e
CII C'2 G13
C;j = I C21 C22 C" I . (2.47)
C31 C32 C33
sendo
1 1 1 ),1 = -'3 ' ),2= 12 [-v8+17+16Nj, ),3= 12[v8+17+16Nj,
(2.48)
C11 = 1 . C12 = O, C13 = O. (2.49)
, 73
f
-
c _ (IV +4) (w + 23v1e + 18IV vIe) (2.50)
21- 2(92+95N+18N2) ,
Coo ~ 288 7i" ' (3 + N) [l (2.51)
-- (92 + 95:V + 18 :y2) vIe .
-8",,' (25 + 20iV + vIe) n C23 =
------;-:-::-----'-c:-:-:-~='----"io (2.52)
(92 + 95 N + 18 N') vIe
C _ (N+4)(-W+23v1e+18IVvIe) (2.53)
31 - 2 (92 + 95 IV + 18 IV') ,
_ 81Ta'(25+20IV-vle)[lC32 = -C22 , C33 - (2.54)
(92 + 95 :V + 181'1") vIe onde
~) = 3865 + 2512N + 544N2 , (2.55)
\II = 2195 + lGGG N + ..J.32 JV2 . (2.56)
e
0= 214 + 115 N + 18 JV2 . (2.57)
Na forma diagonal. a inserção dos operadores .3..~ nas funções
de vértices r(.N) nos
levam às equações
r(J'I"P) - z. r(NF) - r(NF ) --L- Z· r(IYp)l:t.:R
- ti: - .:l; , 1 l:t.; , (2.58)I de modo quo. das obedecem à
seguinte equação do grupo de renormalização (para
91 ~ 9, ~ O)
(f1~ - Nn + 7"") r(';Fi ~ O. (2.59)Df-1 ' D.;/(
, 74
,
http:c:-:-:-~='----"io�(2.52
-
onde 'Y é a dimensão anômala do campo básico 'IjJ e 1'.ó.: é a
dimensão anômala dos
campos compostos .6.~, obtidos a partir de (2.42). Aplicando o
operador T em (2.58),
que extrai a parccla de pólo gerada pela regularização: a
equação (2.59) toma a forma
2 Res - ~YF -: + ;'i'.:1'-, = O , (2.60)
onde Res são os auto-valores da matriz Mi' dada por (2.46).
Observe que por (2.42) e (2.47) o operador "'\ = .6.3 , de modo que
(2.60) fica
7-N 1'.:1~ = -2Res + 2'}' = 12 0:'2, (2.61)
onde usamos (2.7). Assim, a dimensão do operador.6.~ será dll~ =
4+ 7--;' a:2. e para N = 1 o resultado reproduz (1.119).
Para os operadores.6.6 = C:n ..3.3 +C:.!2 ~4 +C23 !l5 e ~7 = C31
!l3+C:~2 .6..1+C33 !li)
a equação (2.60) fica
";"ó = -2Res + 4'( = ~(v'8 - 17 j\, -18)02 , (2.62)
e
1i", = -2Res + 47 = -'6(v'8 + 17 N + 18) ,,'. (2.63)
Observe que dl:!,.r; aumenta para qualqucr valor de N. Assim,
para O:' < 0:'.. existem
dois operadores ..3.3R e !l7R, cujas dimensôes diminuem com .Y.
Eles são portanto os
candidatos naturais para implementarmos um esquema de
perturbação consistente.
em torno da teoria de férmions com invariância conformc.
intcragindo através de um
campo de Chern-Simons .
-. '0
f
-
Tipo de Diagramas (ij)
(I, O)
(0,2)
(I, I)
(1,2)
pólol = Dl
5
" _1 ,
O
~ ,
pólo2 = D2
O
_16,
8 3,
O
pólo j = D3
O
1 ,
ª,
O
pólo:2 = D4
_1c,
16,
O
_2 3,
Tabela 2.1: Diagramas sem o loop fermiônico. A primeira mluna
lista diferentes tipos de diagramas (i,j), onde i e j são as linhas
de GN (alI Th) e CS ligando as duas linhas fermiônicas,
respectivamente. A segunda e terceira colunas fornecem a
decomposição do term
