1 MAPLima

FI001 Aula 14

Em Mecanica Classica o ponto zero de energia nao tem significado fısico. A

evolucao temporal de variaveis dinamicas, tais como, x(t),p(t) ou L(t), nao e

alterada se usarmos V (x) ou V (x) + V0 (constante no espaco e no tempo).

Isso porque F = �rV (x) e ) V0 uma constante aditiva, nao e importante.

Como sera a situacao analoga em Mecanica Quantica?

Suponha

8><

>:

|↵, t0; ti ! V (x)

^|↵, t0; ti ! V (x) = V (x) + V0

ambas com |↵i em t = t0.

Nos sabemos evoluir kets no tempo

^|↵, t0; ti = exp�� i

⇥ p2

2m+ V (x) + V0

⇤ (t� t0)

~ |↵i =

= exp⇥� iV0(t� t0)

~⇤|↵, t0; ti.

A presenca de V0 faz com que os estados |↵, t0; ti e ^|↵, t0; ti fiquem

diferentes! Eles diferem por uma fase global exp⇥� iV0(t� t0)

~⇤.

Aula de hoje: Potenciais e transformações de Gauge

2 MAPLima

FI001 Aula 14 Para um estado estacionario, somar um potencial constante V0 na

Hamiltoniana implica em uma mudanca na dependencia temporal

do tipo

8><

>:

Se V (x) �! exp⇥� iE(t�t0)

~⇤

Se V (x) + V0 �! exp⇥� i(E+V0)(t�t0)

~⇤

ou seja, mudar de V (x) ! V (x) + V0 implica em E ! E + V0.

Efeitos observaveis, como evolucao temporal de valores esperados

(exemplos: hxi, hpi, etc.), dependem das chamadas frequencias de

Bohr (diferencas em energia) e portanto nao mudam mediante a

adicao de um potencial constante na Hamiltoniana.

Esse de fato, e um primeiro exemplo de transformacao de Gauge:

V (x) ! V (x) + V0

8><

>:

|↵, t0; ti ! exp⇥� iV0(t�t0)

~⇤|↵, t0; ti

E ! E + V0

(x0, t) ! exp⇥� iV0(t�t0)

~⇤ (x0, t)

representação das coordenadas

Potencial constante (independente do tempo e da posição)

3 MAPLima

FI001 Aula 14

Potencial dependente só do tempo

⇤O pacote de onda de cada partıcula e dividido em dois.

O que aconteceria, se V0 fosse espacialmente uniforme, mas dependente do

tempo? |↵, t0; ti = U(t, t0)|↵i, com U(t, t0) = exp⇥� i

~

Z t

t0

H(t0)dt

0⇤. Mas,

se H(t) = H + V0(t), entao

|↵, t0; ti = exp⇥� i

~H(t� t0)⇤exp

⇥� i

~

Z t

t0

V0(t0)dt

0⇤|↵i

e ) terıamos |↵, t0; ti| {z } �! exp⇥� i

~

Z t

t0

V0(t0)dt

0⇤|↵, t0; ti| {z }

V (x) V (x) + V0(t)

Pergunta importante: Sera que a adicao de um potencial espacialmente

constante, mas variavel no tempo, causa algum efeito mensuravel no sistema?

Para responder isso, imagine um experimento com um feixe de partıculas que

e separado⇤em dois: Parte passa por uma regiao de potencial V1(t) e a outra

parte por um potencial V2(t) que variam de forma diferente no tempo. Em

seguida juntamos os feixes e realizamos uma experiencia de interferencia.

Sera que perceberıamos diferencas nos resultados deste novo experimento,

conforme variassemos a dependencia temporal dos potenciais?

4 MAPLima

FI001 Aula 14

A interferencia sera do tipo cos (�1 � �2) e/ou sin (�1 � �2), onde

�1 � �2 =1

~

Z t2

t1

dt�V2(t)� V1(t)

�. Embora nenhuma forca atue na

partıcula, pois rV (t) = 0, existe um efeito mensuravel. Efeito

puramente quantico, pois quando ~ ! 0

(cos (�1 � �2)

sin (�1 � �2)oscilam

muito, destruindo qualquer efeito interessante.

V1(t)

V2(t)

Dimensao do

pacote menor

que a gaiola

Pode criar diferenca

de potencialzona de

interferencia

Separa o feixe

O Experimento

Gailola metalica: gerando V1(t) e V2(t) depois que a

partıcula esta dentro dela e desligando antes dela sair

Experimento de correlação. Potencial dependente só do tempo

5 MAPLima

FI001 Aula 14

Gravidade em Mecânica Quântica Sera que existe algum efeito gravitacional quantico? Veremos que sim, mas

antes exploremos as diferencas entre mecanica classica e quantica.

Considere um corpo em queda livre

minercialx = �mgravr�grav = �mgravgz

como minercial = mgrav ! x = �gz

Uma vez que a massa nao aparece na equacao acima, gravidade em mecanica

classica e considerada uma teoria puramente geometrica.

A situacao em Mecanica Quantica nao e bem assim:

⇥�~22m

r2 +m�grav

⇤ = i~@

@t! a massa nao cancela!

De fato, a massa aparece junto com ~, na forma~m. Isso tambem pode ser

visto na formulacao de integrais de caminho de Feynman

hxn, tn|xn�1, tn�1i =r

m

2⇡i~�texp

⇥i

Z t2

t1

dtLclassica(x, x)

~⇤com

Lclassica(x, x)

~ =12mz2 �mgz

~ ! note ~ e m juntos e na formam

~ .

6 MAPLima

FI001 Aula 14 No limite nao quantico, caımos na trajetoria classica definida pelo

princıpio de mınima acao

�

Z t2

t1

dtLclassica(t)

~ = �

Z t2

t1

dt⇥ 12mz2 �mgz

~⇤= 0 e m se cancela.

Lembra do teorema de Ehrenfest?

md2

dt2hxi = d

dthpi = �hrV (x)i se rV (x) = mgz entao

md2

dt2hxi = �mgz (nao depende de ~ nem de m)

Para ter efeito quantico nao trivial precisamos ter dependencia com

~ e consequentemente com m tambem.

•Ate 1975, nao se sabia de nenhum experimento direto que permitisse

usar o termo m�grav na equacao de Schrodinger.

•Queda livre de partıculas elementares ! equacao de Ehrenfest e

suficiente para mostrar que nao teremos efeitos quanticos.

• Experimento sobre “peso de protons” de V. Pound et al. tambem

nao estabeleceu efeitos gravitacionais quanticos (eles mediram

deslocamentos de frequencias que nao dependem de ~ explicitamente).

Gravidade em Mecânica Quântica

7 MAPLima

FI001 Aula 14

Efeito gravitacional na escala microscopica e difıcil de detectar. Porque?

As forcas envolvidas sao muito pequenas. Para ilustrar, considere o estado

ligado do atomo de hidrogenio. Sabemos que o tamanho tıpico do atomo

e estimado por a0 ⌘ raio de Bohr =~2

e2me. Como seria “a0” se a forca de

ligacao fosse gravitacional? Para calcular isso, troque o proton por um

neutron, o que equivale a trocar � e2

r2por � Gmemn

r2. Obterıamos com

isso, um raio de Bohr gravitacional “a0” =~2

Gm2emn

. A forca gravitacional

entre o neutron e eletron e cerca de 1039vezes menor que a forca eletrica

entre o proton e o eletron, poise2

Gmemn⇡ 2.3⇥ 10

39.

Isto fornece um raio de Bohr gravitacional de 1031cm ⇡ 10

13anos-luz.

(Tamanho algumas vezes maior que o raio estimado do universo - 1028cm)

Gravidade em Mecânica Quântica

8 MAPLima

FI001 Aula 14

Interferência Quântica Induzida por Gravidade Experimento de correlação com nêutrons (massa mn)

C

Pacote de onda

de um neutron

D

A

B Pacote e reunido em

Medida de Interferencia

`1

`2

Pacote e dividido

em A: pedaco por ABD

outro por ACD

dois casos

8>>>>>><

>>>>>>:

1) ABCD em um plano horizontal: potencial gravitacional igual

em ambos os percursos.

2) ABCD rodado de � em torno de AC. Potencial gravitacional

no percurso AB e igual ao do CD, mas no percurso BD e

diferente do potencial do percurso AC.

�A

CB

D

`1

`2

� grav=mng2sin�

9 MAPLima

FI001 Aula 14

Segundo slide 2 (4), a diferenca de fase sera: exp⇥�iTmng`2 sin �

~⇤, onde

• T e o tempo para percorrer a distancia BD (⇡ tempo em AC);

• � pode variar de 0 a⇡

2ou de 0 a � ⇡

2;

•Note que:

(T = `1

vpacote

p = ~k = ~ 2⇡� = mnvpacote ) vpacote =

2⇡~mn�

Assim T =`1

vpacote=

`1mn�

2⇡~ =�`1mn

~ ) a diferenca de fase fica

�ACD � �ABD =�`1mn

~mng`2 sin �

~ =m2

ng`1`2� sin �

~2

Uma outra forma de ver isso:

(em AC ! Eq.(1) : p2

2mn= E

em BD ! Eq.(2) : p02

2mn+mng`2 sin � = E

Eq.(2)-Eq.(1) ! p02 � p2

2mn= �mng`2 sin � ! (p0 � p)(p0 + p)

2mn= �mng`2 sin �

Tome

(p = h

� = ~�

p0 = ~�+�

) calcule (p0 � p) e (p0 + p) e insira acima

Interferência Quântica Induzida por Gravidade

�A

CB

D

`1

`2

� grav=mng2sin�

~ = h/2⇡ e � = �/2⇡

10 MAPLima

FI001 Aula 14

Interferência Quântica Induzida por Gravidade

�A

CB

D

`1

`2

� grav=mng2sin�

Veja: R. Colella, A. W. Overhause, e S. A. Werner, Phys. Rev. Lett. 34, 1472 (1975).

(p0 � p)(p0 + p)

2mn= �mng`2 sin � ! ~2

� 1

�+�� 1

�

�� 1

�+�+

1

�

�= �2m2

ng`2 sin �

mas

8>><

>>:

( 1�+�

� 1�

�= � �

�(�+�)= � �

�2(1+�/�)⇠ � �

�2

�1

�+�+ 1

�

�= 2�+�

�(�+�)= 1

�(2+�/�)(1+�/�)

⇠ 2�

) � =m2

ng`2 sin ��3

~2

A diferenca de fase fica`1�

� `1�+�

= `1� 1�� 1

�+�

�= `1

�

�(�+�)⇠ `1�

�2

�ACD � �ABD =m2

ng`1`2� sin �

~2

<latexit sha1_base64="JUt5z6j40Lmm50YRRvIMz46lFHU=">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</latexit>

11 MAPLima

FI001 Aula 14

Partícula carregada sujeita à um campo eletromagnético Um pouco sobre cargas interagindo com campos eletromagneticos

1) Comeca com a Forca de Lorentz md2x

dt2= F = e

⇥E+

v ⇥B

c

⇤.

2) Das Equacoes de Maxwell, percebemos a importancia de � e A e

temos

8>>>>>><

>>>>>>:

r.B = 0 ! B = r⇥A

r⇥E = � 1c@B@t ! r⇥

�E+ 1

c@A@t

�= 0

) E+ 1c@A@t = �r� ! E = �r�� 1

c@A@t

3) Equacoes de Movimento de Newton mx = e�Ex + y

Bz

c� z

By

c

�!

mx = e�� @�

@x� 1

c

@Ax

@t+

y

c

⇥@Ay

@x� @Ax

@y

⇤� z

c

⇥@Ax

@z� @Az

@x

⇤

4) Lagrangeana: construıda de tal forma qued

dt

� @L@qi

�=

@L

@qiforneca a

equacao de movimento. Verifique que a expressao serve:

L =1

2mx2 +

e

cx.A(x, t)� e�(x, t)

12 MAPLima

FI001 Aula 14

Partícula carregada sujeita à um campo eletromagnético 5) Momento canonico px ⌘ @L

@x= mx+

e

cAx(x, t)

Ou seja, p = mx+e

cA(x, t) (nao e simplesmente mv)

6) Construa a Hamiltoniana Classica

H = p.x� L =1

2m

�p� e

cA�2

+ e�

7) Utilize a estrategia desenvolvida no curso para construir o analogo quantico.

Para ilustrar, suponha inicialmente que E e B possam ser derivados de A

e � independentes do tempo. Isto e:

�(x, t) = �(x) e A(x, t) = A(x), com

8><

>:

E = �r�

B = r⇥A

H = 12m

�p� e

cA�2

+ e�

Na mecanica quantica, A e � sao funcoes do operador posicao x da partıcula.

Sendo assim, como [xi, pj ] = i~�ij ! [pi, Aj ] 6= 0. Isso exige cuidado para

lidar com H. Por exemplo, a parte envolvendo o operador

�p� e

cA�2

= p2 � e

c

�A.p+ p.A| {z }

�+

e2

c2A2

note simetria em A e p e que H e Hermiteano

<latexit sha1_base64="LN41IvhPZNMaDGTguP/2zt/Q2BM=">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</latexit>

13 MAPLima

FI001 Aula 14 Comecemos com o enfoque de Heisenberg

dxi

dt=

[xi, H]

i~ =1

i~2m�⇥

xi,p2 � e

c(p.A+A.p) +

e2

c2A2

⇤ (usei que [xi,�] = 0)

Usando que

8><

>:

[xi,p2] = 2i~pi[xi, (p.A+A.p)] = i~ @

@pi(piAi +Aipi) = 2i~Ai

[xi,A2] = 0

temos:dxi

dt=

pi � ecAi

mo que mostra que p (nosso gerador de translacoes) nao

e o mesmo que mdx

dt. Definiremos ⇧|{z} ⌘ m

dx

dt= p|{z}�

eA

c

O momento canonico tem a propriedade [pi, pj ] = 0. E o cinematico?

[⇧i,⇧j ] = [pi �e

cAi, pj �

e

cAj ] = �e

c{[pi, Aj ] + [Ai, pj ]} =

i~ec

{@Aj

@xi� @Ai

@xj| {z }}

onde usamos que [pi, G(x)] = �i~ @G@xi

.�r⇥A

�k= Bk

De um modo geral podemos escrever: [⇧i,⇧j ] =i~ec

✏ijkBk, onde

para i 6= j 6= k, ✏ijk = 1 se cıclico em 1,2,3 e ✏ijk = �1, se nao cıclico.

0 se i = j

Partícula carregada sujeita à um campo eletromagnético

momento cinemático

momento canônico

14 MAPLima

FI001 Aula 14

Partícula carregada sujeita à um campo eletromagnético A Hamiltoniana pode ser reescrita como

H =1

2m

�p� e

cA�2

+ e� =⇧2

2m+ e�

Ja sabemos que mdx

dt= ⇧ = p� e

cA. Quanto vale m

d2x

dt2=

d⇧

dt?

Facamos a conta para a componente i = 1, isto e:

d⇧1

dt=

1

i~ [⇧1, H] =1

i~ [⇧1,⇧2

2m+ e�]

Mostre que

8>>><

>>>:

[⇧1,⇧21] = 0

[⇧1,⇧22] =

i~ec

�m

dx2dt B3 +B3m

dx2dt

�

[⇧1,⇧23] = � i~e

c

�m

dx3dt B2 +B2m

dx3dt

�

[⇧1, e�] = �i~e @�@x1

= i~eE1

e obtenha

para a componente 1 :d⇧1

dt= eE1 +

e

2c

��dxdt

⇥B�1��B⇥ dx

dt

�1

Enfim temos: md2x

dt2=

d⇧

dt= e

⇥E+

1

2c

�dxdt

⇥B�B⇥ dx

dt

�]

A versao quantica da forca de Lorentz (teorema de Ehrenfest).

Compare com equacao do slide 11.

15 MAPLima

FI001 Aula 14

Partícula carregada sujeita à um campo eletromagnético Como fica a equacao de Schrodinger com � e A?

hx0|H|↵, t0; ti = i~ @@t

hx0|↵, t0; ti

Comecemos por

1

2mhx0|

�p� e

cA(x)

�2|↵, t0; ti =

=1

2m

�� i~r0 � e

cA(x0)

�hx0|

�p� e

cA(x)

�|↵, t0; ti =

=1

2m

�� i~r0 � e

cA(x0)

��� i~r0 � e

cA(x0)

�)hx0|↵, t0; ti

Note que o gradiente da esquerda “pega”todo mundo (inclusive o A(x0)

da direita). Com isso, a equacao de Schrodinger e dada por:

1

2m

�� i~r0 � e

cA(x0)

��� i~r0 � e

cA(x0)

�hx0|↵, t0; ti+ e�(x0)hx0|↵, t0; ti =

= i~ @@t

hx0|↵, t0; ti

Como seria a nova definicao de j, o fluxo de probabilidade? Lembram

de como definı-lo? Use@⇢

@t+r.j = 0, ⇢ =

⇤ , com = hx0|↵, t0; ti

16 MAPLima

FI001 Aula 14

Partícula carregada sujeita à um campo eletromagnético Para calcular j, o fluxo de probabilidade, comece por

@⇢

@t=@ ⇤

@t + ⇤ @

@t,

e use a equacao de Schrodinger do slide anterior para obter:

@⇢

@t=

1

i~⇥� hx0|⇧

2

2m|↵, t0; ti⇤hx0|↵, t0; ti+ hx0|↵, t0; ti⇤hx0|⇧

2

2m|↵, t0; ti.

Note que a parte em � cancelou, pois �⇤ = �. A tarefa se resume em colocar

a expressao acima na forma:@⇢

@t+r0j = 0. Depois de algum trabalho, temos:

j =~mIm( ⇤r0 )� e

mcA| |2

que poderia ter sido obtido, com

8><

>:

troca p ! p� emcA

~ir

0 � emcA(x0) ! representacao x

Quando escrevemos a funcao de onda na forma (x0, t) =p⇢ exp

� iS~�,

S real, obtivemos Im( ⇤r0 ) =⇢

~r0S. Assim, o j, pode ser escrito por:

j =~m

⇢

~r0S � e

mcA⇢ =

⇢

m

�r0S � e

cA�

Mostre, seguindo o que fizemos para A = 0, que

Zd3x0j =

h⇧im

.

17 MAPLima

FI001 Aula 14

Transformação de Gauge Estamos prontos para estudar transformacao de Gauge. Considere primeiro:

� ! �+ � e A ! A, onde � e constante - nao depende de x e t.

Esta transformacao ja foi estudada antes (mudanca no zero da energia).

Uma transformacao mais interessante e:

8><

>:

� ! �� 1c@�@t

A ! A+r�(x, t)

Cujos campos

8>><

>>:

E = �r(�� 1c@�@t )�

1c

@@t (A+r�) = �r�� 1

c@@tA

B = r⇥ (A+r�) = r⇥A+r⇥r�| {z } = r⇥A

0

ficam inalterados e ) a trajetoria classica da partıcula carregada sob

acao destes campos nao se altera (a forca de Lorenz nao se altera).

Queremos estudar os efeitos quanticos da transformacao de Gauge.

Para isso, considere um caso particular| {z }

8><

>:

� ! �

A ! A+r�(x)

�(x, t) = �(x) nao depende de t.

18 MAPLima

FI001 Aula 14

Transformação de Gauge

Considere B = Bz. Tal campo pode ser derivado de

8>>>>>><

>>>>>>:

Ax = �By2

Ay = Bx2

Az = 0

pois,

B = r⇥A =�@Az

@y� @Ay

@z

�x+

�@Ax

@z� @Az

@x

�y +

�@Ay

@x� @Ax

@y

�z = Bz

ou de

8>>>>>><

>>>>>>:

Ax = �By

Ay = 0

Az = 0

pela mesma razao, ou seja B = r⇥A = Bz.

Note que os dois A0s se relacionam por Anovo = Avelho +r��Bxy

2| {z }

�

�(x)

19 MAPLima

FI001 Aula 14

Transformação de Gauge

Para B = Bz, considere a forca de Lorentz

F = e�v ⇥B

c

�=

e

c

������

x y zvx vy vz0 0 B

������=

eB

c(vyx� vxy) =

=eB

cv?(sin'x� cos'y| {z }) = �eB

cv?(e')

� e'

@ forca na direcao z e a forca sempre aponta ? a v e no plano xy.

) a partıcula realiza uma espiral (movimento circular no plano xy).

'e'v?

vk

B = Bz

v

x

y

z

v?

e'

e''

'

'

x

y

20 MAPLima

FI001 Aula 14

Transformação de Gauge

Na lousa, mostramos isso, usando a transformação de Gauge para redefinir a Lagrangeana e o momento canônico p.

Considere agora a equacao de Hamiltondpx

dt= �@H

@x

onde H =1

2m

�p� e

cA�2

+ e �|{z} =1

2m

�p2 � e

cp.A� e

cA.p+

e2

c2A2

�

0

dpx

dt= �@H

@x

8><

>:

= 0 se usarmos A = (�By, 0, 0)

6= 0 se usarmos A = (�By2 ,

Bx2 , 0)

Isto mostra que em geral o momento canonico nao e invariante de Gauge.

E importante, entretanto que ⇧ seja invariante de Gauge, pois ele

e responsavel pela trajetoria que depende apenas das condicoes iniciais

e da forca de Lorentz (que nao depende de �).

Como ⇧ e p estao relacionados por ⇧ = p� e

cA ! p e

e

cA devem mudar

de forma a nao alterar ⇧| {z } .lousa

21 MAPLima

FI001 Aula 14

Lousa Slide 20

Da forca de Lorentz md2x

dt2= F = e

⇥E+

v ⇥B

c

⇤e lei de Newton

construımos a Lagrangeana L =1

2mx2

+e

cx.A(x, t)� e�(x, t) e

obtivemos o momento canonico p = mx+e

cA(x, t). No exemplo, em questao,

A(x, t) = A(x) e �(x, t) = 0 ) L =1

2mx2

+e

cx.A(x) com p = mx+

e

cA(x).

A transformacao de Gauge AN(x) = A(x) +r�(x), resulta em um nova

Lagrangeana LN =1

2mx2

+e

cx.�A(x) +r�(x)

�e um novo momento canonico

pN = mx+e

cA(x) +

e

cr�(x). Como fica o novo momento cinematico ⇧N?

⇧N=pN� e

cAN(x)=

�mx+

e

cA(x) +

e

cr�(x)

�� e

c

�A(x) +r�(x)

�=mx=⇧

A Hamiltoniana, que pode ser reescrita como

H=1

2m

�p� e

cA�2+e�=

⇧2

2m+e� ) nao muda (mesmo espectro).

<latexit sha1_base64="mlphfnT2KRP2CzL7sL+S5PhqGr8=">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</latexit>