FIBONACCI A sequência de Fibonacci pode ser encontrada em inúmeras situações na natureza e em texturas de computação gráfica. Esta série é construída de maneira que cada termo é a soma dos dois termos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … . Fibonacci é o nome pelo qual ficou conhecido o matemático italiano Leonardo Bonacci (também conhecido por Leonardo de Pisa ou Leonardo Pisano). Não deve ser confundido com Leonardo da Vinci (que nasceu 200 anos depois da morte de Fibonacci). O pai de Fibonacci, Gugliemo Bonacci, era uma espécie de oficial de alfândega na região que hoje é a Algéria. Provavelmente o nome Fibonacci é uma abreviação de “figlio di Bonacci” (filho de Bonacci). Leonardo foi educado no norte da África e teve muito contato com comerciantes da costa mediterrânea, o que o levou a perceber as enormes vantagens do sistema numérico indo-arábico. Fibonacci foi uma das primeiras pessoas a introduzir o sistema numérico indo-arábico na Europa (image as crianças fazendo contas com algarismos romanos!). O sistema indo-arábico é o sistema posicional que usamos hoje, baseado em dez dígitos com decimais e com um símbolo para o zero. Especula-se que os islâmicos desenvolveram a algébra e avançaram no uso do sistema numérico para poder aplicar as complicadas regras de partilha de herança que o Corão (ou Alcorão) decretava. O livro de Fibonacci (Liber Abbaci – Livro do Ábaco ou Livro de Cálculo – de 1202) ensinou as regras de fazer contas que hoje todo mundo aprende na escola. O livro também continha equações e problemas desafio. Em particular, havia um problema cuja solução era uma sequência que hoje conhecemos como a sequência de Fibonacci:

Começe com um par de coelhos (um macho e outro fêmea) nascidos em 1/Janeiro. Assuma que todos os meses são iguais em comprimento e que também: (1) coelhos começam a produzir filhotes 2 meses após seus próprios nascimentos; (2) depois de atingirem a idade de 2 meses, cada par produz um par (um macho e uma fêmea), e depois um outro par (também um macho e uma fêmea) a cada mês daí para frente; (3) nenhum coelho morre. A pergunta é: quantos pares de coelhos existirão depois de 1 ano? A resposta é a sequêncai de núemros: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Isto é: ao final de 1 anos, haverá 144 pares de coelhos!

A sequência de Fibonacci está intimamente ligada à proporção áurea ou razão áurea (golden rate). Duas quantidades a e b estão em proporção áurea se a razão a/b é a mesma que a razão da sua soma com relação à maior das duas quantidades

(Fig. 1). A razão áurea (chamada ϕ) pode ser calculada: 𝜑𝜑 1+√52

= 1.6180339887⋯ . A divisão de um termo da sequência

de Fibonacci e o seu predecessor é aproximadamente a razão áurea, e no limite é igual a ϕ : lim𝑛𝑛→∞

𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑛𝑛+1)𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑛𝑛)

= 𝜑𝜑. Outro

resultado (há vários) é que duas potências sucessivas de ϕ obedecem à recorrência de Fibonacci: 𝜑𝜑𝑛𝑛+1 = 𝜑𝜑𝑛𝑛 + 𝜑𝜑𝑛𝑛−1. A sequência de Fibonacci está misteriosamente ligada a elementos e fenômenos da natureza: número de espirais em uma pinha (Fig. 2); pétalas em flores (e.g. 2 pétalas não são comuns, mas 3 pétalas são mais comuns, 5 pétalas são muito comuns, …, margaridas (daisies) são comuns com 13, 21, 34, 55 ou 89 pétalas); ramos de árvores dividem-se sequndo a sequência de Fibonacci (Fig. 3), talvez porque é uma maneira de gerar uma melhor acomodação e uma melhor exposição ao sol; galáxias, furacões e conchas marinhas apresentam a forma da espiral de Fibonacci. Para construir a espiral de Fibonacci, começamos com um quadrado de lado 1 e sucessivamente vamos construindo novos quadrados cujos lados correspondem à sequência de Fibonacci; depois traçamos uma curva passando pelos centros dos quadrados (Fig. 4). Esta espiral tem várias propriedades (além de aproximar-se à espiral áurea). A relação entre a sequência de Fibonacci e o corpo humano pode ser encontrada em algum lugar1.

Fig. 2 8 espirais numa direção e 13 na outra em uma pinha Fig. 3 Ramos de árvores Fig. 4 Fig. 5

1 Persaud-Sharma, D. & O’Leary, J.P. 2015. Fibonacci Series, Golden Proportions, and the Human. Austi J Surg, Vol 2, No, 5. [http://digitalcommons.fiu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1026&context=com_facpub]

Fig. 1 A razão áurea