Ficha Apoio transformações geométricas Módulo 2 - Funções polinomiais

7/16/2019 Ficha Apoio transformações geométricas Módulo 2 - Funções polinomiais

http://slidepdf.com/reader/full/ficha-apoio-transformacoes-geometricas-modulo-2-funcoes-polinomiais 1/11

1/11

A2 - Funções Polinomiais10.º ano

Transformações geométricas nos gráficos das funções

Translação vertical do gráfico de uma função

Seja f uma função definida pela expressão analítica f ( x ) e c uma constante real não nula.

Seja g a função definida por.

c x f x g )()( .

O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f deslocando este c unidades na vertical.

• Se c > 0, o gráfico desloca-se c unidades para cima.

• Se c < 0, o gráfico desloca-se c unidades para baixo.



2/11

Exemplo 1: Deslocação na vertical e contradomínio de uma função

Considere a função f cuja representação gráfica é a seguinte:

1.1. Indique o contradomínio da função f .

1.2. Indique o contradomínio da função h, sendo:

a) 1)()( x f xh b) 2)()( x f xh

1.3. Indique os valores reais que c pode tomar de modo que a função c x f x p )()( não tenha zeros.

Resolução:

1.1. D’ f = [-1, +[;

1.2. a) D’h = [0, +[; b) D’h = [-3, +[;

1.3. Qualquer valor de c pertencente ao intervalo ]1, +[.

Translação horizontal do gráfico de uma função

Seja f uma função definida pela expressão analítica f ( x ) e c uma constante real não nula.

Seja g a função definida por.

)()( c x f x g .

O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f deslocando este c unidades na horizontal.

• Se c > 0, o gráfico desloca-se c unidades para a esquerda.

• Se c < 0, o gráfico desloca-se c unidades para a direita.



3/11

Exemplo 2: Deslocação na horizontal. Domínio de uma função

Considere a função f , de domínio [-1, +[, cuja representação gráfica é a seguinte:

2.1. Indique o domínio da função h, sendo )5()( x f xh .

2.2. Indique c de modo que a função )()( c x f x p tenha domínio +0.

Resolução:

2.1. Dh = [4, +[;

2.2. D p = ]-1-c, +[D p = +

0 -1-c = 0 c = 1.



4/11

Translação horizontal e vertical do gráfico de uma função generalização

Considere-se as funções f e g , sendo ba x f x g )()( .

O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f adicionando a à variável independente e b àvariável dependente. O gráfico da função g obtém-se do gráfico da função f por um deslocamentohorizontal seguido de um deslocamento vertical, ou seja, efectuando uma translação associada ao vector

).,( bau

Exemplo 3: Deslocação horizontal e vertical

3.1. Descreva como pode obter uma representação gráfica da função:

A partir da função:

Confirme a sua resposta recorrendo à calculadora gráfica.



5/11

3.2. As representações gráficas de h e g têm a mesma forma de representação gráfica da função f

definida por2

2)( x x f .

Escreva uma expressão analítica para as funções h e g.

Resolução:

3.1. )3(2)( x f x g Uma representação gráfica de g obtém-se fazendo um deslocamento da representação gráfica de f , nahorizontal, de 3 unidades para a direita, seguido de um deslocamento na vertical, de 2 unidades parabaixo.

3.2.

Expansão e contracção na vertical do gráfico de uma função

Considere-se c + \ {1}.

O gráfico da função g, sendo )()( xcf x g , que resulta da função f multiplicando por c a variável

dependente, obtém-se do gráfico de f expandindo ou contraindo na vertical, segundo o valor de c. Assim:



6/11

Exemplo 4: Extensão e contracção na vertical do gráfico de uma função

Considere os gráficos A , B , C e D:

e as funções:

)(41 x f y ; )(22 x f y ; )3(3 x f y ; )(34 x f y ;

25

x f y ; )(

2

16 x f y ; 3)(7 x f y ; 1)(8 x f y .

Faça corresponder a cada gráfico uma das funções.

Resolução:

(A) )(2

16

x f y ; (B) )(22 x f y ; (C) )(34 x f y , (D) )(41 x f y

Expansão e contracção na horizontal do gráfico de uma função

Considere-se c + \ {1}.

O gráfico da função g, sendo )()( cx f x g , que resulta da função f multiplicando por c a variável

independente, obtém-se do gráfico de f contraindo-o ou expandindo-o na horizontal, segundo o valor de c.Assim:



7/11

Exemplo 5: Expansão e contracção do gráfico de uma função

Descreva como pode obter o gráfico de g a partir de uma função f , sabendo que:

5.1.

x f x g 3

13)( ;

5.2. x f x g 43,0)( .

Experimente, com uma função adequada, as suas respostas.

Resolução:

5.1.

x f x g

3

13)(

A variável independente está multiplicada por

3

1.

Por tal, o gráfico de f expande (estica) na horizontal.A variável dependente está multiplicada por 3.Por tal, o gráfico de f expande (estica) na vertical.



8/11

5.2. x f x g 43,0)(

A variável independente foi multiplicada por 4, um factor superior a 1.Portanto, o gráfico contrai (encolhe) na horizontal.

A variável dependente foi multiplicada por um número do intervalo ]0,1[.Portanto, o gráfico contrai (encolhe) na vertical.

Sendo f definida por x x y x f 3)(3

1

, os écrans representados ao lado

mostram os gráficos de f , g e h.

Simetria do gráfico de uma função relativamente ao eixo Oy. Função par

Sejam:

A representação gráfica da função g obtém-se da representação gráfica de f por simetria relativamente aoeixo Oy.

Por vezes, quando se substitui x por x na expressão analítica que define a função, se verifica uma“reflexão” relativamente ao eixo Oy.

E se a representação gráfica da função f fosse simétrica em relação ao eixo Oy?

Neste caso haveria sobreposição de gráficos e a função seria designada por função par.

Exemplo 6: Função par

Mostre analiticamente e verifique graficamente que a função f definida por24

2)( x x x f é uma funçãopar.

A função f é uma função par se o gráfico de f é simétrico relativamente ao eixo Oy, ou seja,

)()( x f x f , para todo o x do domínio de f .



9/11

Resolução:

Analiticamente

242)( x x x f

O domínio de f é .

Seja x um número real qualquer, então vem que:

)(2 2424)(2)()( x f x x x x x f

Então )()( x f x f para todo o x do domínio de f , logo, f é par.

Graficamente

Graficamente, verifica-se que o gráfico de f é simétrico relativamente aoeixo Oy, logo, f é par.

Simetria do gráfico de uma função relativamente ao eixo Ox

Sejam:

O gráfico da função g é simétrico do gráfico de f relativamente ao eixo Ox.

Também se diz que o gráfico de )()( x f x g é a reflexão do gráfico de f relativamente ao eixo Ox.

Para qualquer função f , o ponto do gráfico )(, x f x em relação ao eixo Ox.

Observação: Note-se que aobservação dom gráfico deuma função permite concluirse uma função é ou não par.



10/11

Exemplo 7: Transformação do gráfico de uma função

Descreva como pode obter a representação gráfica de g a partir da representação gráfica de f , se

)(4)( x f x g .

Dê um exemplo, particularizando para a função f , usando a calculadora gráfica.

Resolução:

)(4)1()(4)( x f x f x g

A representação gráfica de g obtém-se da representação gráfica de f mediante uma expansão vertical pelofactor 4, seguida de uma simetria relativamente ao eixo dos xx.

Por exemplo, sejam:

Simetria em relação à origem do referencial. Função ímpar

Se a função f é ímpar, qualquer ponto do gráfico )(, x f x é o simétrico relativamente à origem de outro

ponto do gráfico )(, x f x .

A função f é uma função ímpar se o gráfico de f é simétrico relativamente à origem do referencial, ou

seja, )()( x f x f , para todo o x do domínio de f .



11/11

Para estudar a paridade de uma função, determina-se a expressão analítica de )( x f e compara-se com

a de )( x f .

Se, para todo o x do domínio de f :

• )()( x f x f , a função é par;

• )()( x f x f , a função é ímpar.

Se, para algum x do domínio de f :• )()( x f x f , a função não é par;

• )()( x f x f , a função não é ímpar.

Observação: uma função pode não ser par nem ímpar.

Exemplo 8: Será uma função par? E ímpar?

Estude a paridade da função:

Verifique com a calculadora gráfica.

Resolução:

x x x f 3

)(

)()()(3

x x x f

x x x f 3

)(

Logo, a função dada é uma função ímpar.

Com recurso à função Trace da calculadora verifica-se que há sobreposições dos dois gráficos.

)()( x f x f é o mesmo que )()( x f x f x x x f

3)(

Documents

Ficha Apoio transformações geométricas Módulo 2 - Funções polinomiais