PROFESSOR MIGUEL ANGELO HENRIQUES ANO LETIVO 2014/2015 PÁGINA 1

T E S T E D E A V A L I A Ç Ã O

Disciplina | Matemática A

Ensino Secundário Ano | 11º - A e B Duração | 90 min

Curso | CCS e CCT Componente de Formação | Geral Data ___/___/_____

Nome | Nº

GRUPO I o OS CINCO ITENS DESTE GRUPO SÃO DE ESCOLHA MÚLTIPLA. EM CADA UM DELES, SÃO INDICADAS QUATRO OPÇÕES, DAS

QUAIS SÓ UMA ESTÁ CORRETA. o NÃO APRESENTE CÁLCULOS, NEM JUSTIFICAÇÕES. o SE APRESENTAR MAIS DO QUE UMA OPÇÃO, A RESPOSTA SERÁ CLASSIFICADA COM ZERO PONTOS, O MESMO

ACONTECENDO SE A LETRA TRANSCRITA FOR ILEGÍVEL.

1. Considere a esfera definida pela condição (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 + (𝑧 − 4)2 ≤ 14. Sabendo que

[AB] é um diâmetro dessa esfera e que A tem coordenadas (1,1,1) , indique as coordenadas de B.

2. Indique qual das seguintes condições, define o conjunto de pontos do plano, representado a

sombreado na figura ao lado.

(A) (𝑥 − 4)2 + 𝑦2+≤ 16 ∧ 𝑦 ≥ −𝑥

2+ 4

(B) (𝑥 − 4)2 + 𝑦2+≤ 16 ∧ 𝑦 ≤ −𝑥

2+ 4

(C) (𝑥 − 4)2 + 𝑦2+≤ 4 ∧ 𝑦 ≥ −2𝑥 + 4

(D) Nenhuma das anteriores.

3. Na figura ao lado, os centros da circunferência e do quadrado coincidem

e o lado deste é igual a 2cm. Sabendo que os quatro triângulos são

equiláteros, qual é, em centímetros quadrados, o valor da área a

sombreado?

(A) 𝜋(√3 + 1)2− 4√3 (B) 4𝜋 − 4√3

(C) 4𝜋 − 2√3 (D) 𝜋(√3 − 1)2+ 4√3

(A) (5,3,6) (B) (4,6,5) (C) (3,5,7) (D) (2,4,8)

COLÉGIO INTERNACIONAL DE VILAMOURA INTERNATIONAL SCHOOL

F I C H A D E D I A G N O S E

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4. Considere as retas definidas pelas equações 𝑦 = 3𝑥 e (𝑥, 𝑦) = (4,6) + 𝜆(0,2), 𝜆 ∈ ℝ.

Qual dos seguintes pontos pertence a ambas as retas?

5. Sabendo que para uma função f, 𝐷𝑓 = ℝ e 𝐷′𝑓 =] − 2; +∞[, qual das seguintes afirmações é

necessariamente falsa?

6. Na tabela seguinte, estão as classificações dos alunos de uma turma do 10.º ano na disciplina de

Matemática A. O número de alunos que tiveram classificação de 10 valores e o número de alunos

que tiveram classificação de 12 valores estão representados pela letra a.

Classificação (em valores) 9 10 12 14 15 18

Número de alunos 2 a a 5 3 2

Admitindo que a mediana das classificações dos alunos da turma é 13 valores, qual dos seguintes

pode ser o valor de a?

7. De uma função quadratica sabe-se que 𝑔(−2) = 𝑔(4) = 0 e que 𝑔(3) > 0.

Qual é o contradominio da função 𝑔?

8. Se 𝑚 e 𝑛 são números reais tais que 0 < 𝑚 < 𝑛, a equação |𝑥 − 𝑛| = 𝑚 tem:

(A) Uma raiz positiva e outra negativa.

(B) Duas raizes positivas.

(C) Duas raizes negativas.

(D) Uma única solução.

(A) 𝑃1(3,1) (B) 𝑃2(4,6) (C) 𝑃3(4,12) (D) 𝑃4(2,6)

(A) 𝑓(1) = 5 (B) 𝑓(−5) = 1 (C) 𝑓(−1) = −1 (D) 𝑓(5) = −5

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

(A) ]−∞; 0] (B) [𝑔(4);+∞[

(C) [𝑔(1);+∞[ (D) ]−∞; 𝑔(1)]

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9. Na figura ao lado está representado o gráfico da função 𝑓.

Qual pode ser a sua expressão analitica?

10. De uma função quadrática 𝑔, sabe-se que:

A reta de equação 𝑥 = −2 é eixo de simetria do gráfico de 𝑔;

𝐷𝑔′ = ]−∞, 6] ;

1 é um zero de 𝑔 ;

Qual das expressões seguintes pode definir a função 𝑔:

11. Considere a função ℎ representada na figura.

Das seguintes afirmações apenas uma é falsa. Qual?

(A) O contradomínio da função é [−4,+∞[.

(B) Os zeros de ℎ(𝑥 + 1) são −1 e 3.

(C) A função ℎ não é par.

(D) A função |ℎ(𝑥)| + 1 não tem zeros.

12. O conjunto de pontos a sombreado da figura correspondem à condição:

(A) (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 ≤ 4 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥 − 4

(B) (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 ≤ 4 ∧ 𝑦 ≥ 𝑥 − 4

(C) (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 ≥ 4 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥 − 4

(D) (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 ≤ 4 ∧ 𝑦 ≥ 𝑥 − 4

(A) { 6 − 1,5𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2

1,5𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 2 (B) {

6 + 1,5𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2

−1,5𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 2

(C) {−6 − 1,5𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2

1,5𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 2 (D) {

−6 + 1,5𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2

−1,5𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 2

(A) −3

8(𝑥 + 3)2 + 6 (B)

2

3(𝑥 + 2)2 + 6

(C) −1

8(𝑥 + 2)2 + 6 (D) −

2

3(𝑥 + 2)2 + 6

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13. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xOy, uma reta AB e uma circunferência com

centro na origem e raio igual a 5.

13.1. Suponha que a abcissa do ponto B é igual a 3.

Qual é a equação da reta AB?

(A) 𝑦 = −1

2𝑥 +

5

2 (B) (𝑥, 𝑦) = (−5,0) + 𝑘(2,1) , 𝑘 ∈ 𝑅

(C) 𝑦 = 2𝑥 + 10 (D) (𝑥, 𝑦) = (3,4) + 𝑘(1,2) , 𝑘 ∈ 𝑅

13.2. Admita agora que o ponto B se desloca ao longo da

circunferência, no primeiro quadrante. Para cada posição do ponto

B, seja d o comprimento do segmento [AB].

Qual dos seguintes gráficos pode representar o comprimento d

do segmento [AB] em função da abcissa do ponto B?

14. Considera o triângulo [ABC]. P, Q e R são os pontos médios dos respetivos segmentos de reta.

Então pode afirmar-se que:

(A) 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑅𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ (B) 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗

(C) 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ (D) 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

R Q

PA B

C

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GRUPO II o NAS RESPOSTAS AOS ITENS DESTE GRUPO, APRESENTE TODOS OS CÁLCULOS QUE TIVER DE EFETUAR E TODAS AS

JUSTIFICAÇÕES NECESSÁRIAS. o ATENÇÃO: QUANDO, PARA UM RESULTADO, NÃO É PEDIDA A APROXIMAÇÃO, APRESENTE SEMPRE O VALOR EXATO.

1. Na figura ao lado está representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz, onde, tal como a figura

sugere:

O vértice O coincide com a origem do referencial;

O vértice R pertence ao semieixo positivo Ox;

O vértice P pertence ao semieixo positivo Oy;

O vértice S pertence ao semieixo positivo Oz.

A abcissa de R é 2.

Mostre que o raio da superfície esférica que contém os oito vértices do cubo é √3 e

determine uma equação dessa superfície esférica.

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2. Na figura ao lado está representado um retângulo [ABCD] com 10 cm de comprimento (AD) e 12

cm de largura (AB). O ponto P desloca-se sobre o lado [AD] e o ponto Q desloca-se sobre o lado

[AB] de tal forma que 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ = 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ . A área a sombreado é formada pelos triângulos [APQ] e [CDP].

Seja 𝑥 a distância entre os pontos P e A, 𝑥 ∈ [0,10].

2.1. Mostre que a área da região sombreada é dada pela função:

𝑆(𝑥) =𝑥2

2− 6𝑥 + 60.

2.2. Determine os valores de 𝑥 para o qual a área da zona sombreada é inferior a 50 cm2.

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COTAÇÕES

Grupo I ......................................(15 × 10 pontos) ................................ 150 pontos

Grupo II ................................................................................................ 50 pontos

1. ……………………………………………….. 20 pontos

2.1. ………………………………………………..15 pontos

2.2. ………………………………………………..15 pontos

TOTAL ................................................................................................ 200 pontos