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1 Estudo das idades dos alunos de uma turma do 8º ano 1. RECOLHA DE DADOS Registo das idades de todos os alunos da turma. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Idades 14 13 16 13 15 14 14 15 15 15 14 14 13 13 13 13 14 14 13 13 Total da População: 20 Total da Amostra: 20 2. ORGANIZAÇÃO DE DADOS População estatística é um conjunto de indivíduos sobre o qual incide um estudo estatístico Recenseamento, ou Censo, ou Levantamento exaustivo estudo estatístico em que se observam todos os elementos da população. Amostra é uma parte representativa da população sobre a qual incide a observação de um estudo estatístico. Sondagem - estudo estatístico feito a partir de uma amostra Organizar dados é transformar os dados em bruto num resumo ordenado que facilita a sua leitura e a compreensão da situação em estudo.

Ficha Informativa - OTD

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Estudo das idades dos alunos de uma turma do 8º ano

1. RECOLHA DE DADOS

Registo das idades de todos os alunos da turma.

Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Idades 14 13 16 13 15 14 14 15 15 15 14 14 13 13 13 13 14 14 13 13

Total da População: 20 Total da Amostra: 20

2. ORGANIZAÇÃO DE DADOS

População estatística – é um conjunto de indivíduos sobre o qual incide um estudo estatístico Recenseamento, ou Censo, ou Levantamento exaustivo – estudo estatístico em que se observam todos os elementos da população. Amostra – é uma parte representativa da população sobre a qual incide a observação de um estudo estatístico. Sondagem - estudo estatístico feito a partir de uma amostra

Organizar dados é transformar os dados em bruto num resumo ordenado que facilita a sua leitura e a compreensão da situação em estudo.

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IIII III

Frequência relativa (fr) de um acontecimento é o cociente entre a frequência absoluta desse acontecimento e o número total de observações.

N

ff r

TABELAS Tabela de frequências absolutas recorrendo à contagem dos dados recolhidos.

Idades dos alunos da turma do 8º ano

Idades x

Contagem Frequência absoluta

( f )

13 8

14 IIII II 7

15 IIII 4

16 I 1

TOTAL ( N ) 20

Observando a tabela pode-se tirar rapidamente conclusões: Por exemplo: Ter 13 anos é o acontecimento mais frequente. Verifica-se 8 vezes.

Ter 16 anos é o acontecimento menos frequente. Verifica-se apenas 1 vez.

Esta tabela chama-se distribuição de frequências ou tabela de frequências absolutas.

Frequência absoluta ou efectiva de um acontecimento é o número de vezes que esse acontecimento

se verifica.

Na 1ª coluna da tabela escrevem-se os diferentes dados obtidos

A soma das frequências absolutas é o tamanho da amostra ou da

população

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Tabela de frequências absolutas e relativas.

Para elaborar esta tabela é necessário saber calcular a frequência relativa.

Por exemplo: Para saber a frequência relativa do número de alunos da turma com 13 anos é necessário

efectuar o seguinte quociente:

nº de alunos com 13 anos 80,4

nº total de alunos 20

Observação: A frequência relativa de um acontecimento também se pode exprimir em percentagem (fr%).

Basta multiplicar o valor da frequência relativa por 100, isto é fazer:

Idades dos Alunos de uma Turma do 8º Ano

Idades

x

Frequência absoluta ( f )

Frequência relativa ( fr )

Frequência relativa [ fr (%)]

13 8 4,020

8 %401004,0

14 7 35,020

7 %3510035,0

15 4 2,020

4 %201002,0

16 1 05,020

1 %510005,0

TOTAL 1 100%

Significa que existem 8 em 20 alunos, que têm 13 anos.

100% rr ff

A soma das frequências relativas dever ser 1 ou 100%. Por vezes, não obtemos exactamente estes valores devido aos arredondamentos efectuados quando as dízimas resultantes são infinitas ou com muitas casas decimais.

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3. APRESENTAÇÃO DE DADOS

GRÁFICOS A informação recolhida sobre as idades de todos os alunos da turma pode ser também representada sob a

forma de gráficos.

GRÁFICOS DE BARRAS

Gráfico de barras que representa a distribuição de frequências absolutas (ou de frequências relativas) referente às idades dos alunos da turma.

Idades dos Alunos de uma Turma do 8º Ano

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

13 14 15 16

Idades

de A

lun

os

COMO CONSTRUIR UM GRÁFICO DE BARRAS? Constrói-se um sistema de eixos

No eixo horizontal marcam-se os valores referentes às idades dos alunos da turma, por ordem

crescente.

No eixo vertical, marcam-se as frequências absolutas (ou relativas), também por ordem crescente.

As barras têm de que ter todas a mesma largura e altura igual à frequência absoluta.

A forma de construção descrita anteriormente refere-se a um gráfico de barras vertical, no

entanto, este também pode ser construído com barras horizontais.

Um gráfico de barras deverá ter sempre um título que ilustre a situação.

Idades dos Alunos de uma Turma do 8º Ano

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

13 14 15 16

Idades

% d

e a

lun

os

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5

GRÁFICOS CIRCULARES

Gráfico Circular com base na tabela de frequências relativas que ilustra as idades dos alunos da turma.

COMO CONSTRUIR UM GRÁFICO CIRCULAR?

Para construir um gráfico circular é necessário determinar a amplitude dos ângulos correspondentes a cada sector. Para isso, usa-se a relação de proporcionalidade entre a amplitude da circunferência (360º) e a frequência relativa em percentagem. Usando, então a regra de 3 simples, determinam-se as amplitudes de cada dado.

Exemplo: Idade: 13 anos

ˆ40

100 360

x

40 360ˆ ˆ 144

100x x

ˆ 144ºx

Repara que:

100

º360 40 ˆ

x

º360100

40 ˆ x

ˆ 0,4 360ºx

Observação: As amplitudes de cada sector costumam-se organizar numa tabela. O mais usual é

prolongar a tabela de frequências relativas (quando já elaborada).

CONCLUSÃO

100

º360%ˆ

rfx

ou ainda

º360ˆ rfx

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Idades dos alunos de uma Turma do 8º ano

Idades x

Frequência relativa ( fr )

Frequência relativa [ fr (%)]

Amplitude do ângulo

13 4,020

8 %401004,0 º1443604,0

14 35,020

7 %3510035,0 º12636035,0

15 2,020

4 %201002,0 º723602,0

16 05,020

1 %510005,0 º1836005,0

TOTAL 1 100% 360o

A soma das amplitudes dos ângulos dever ser 360o

Com um compasso desenha uma circunferência, marcando o seu centro. Desenha um dos seus raios.

Com a ajuda de um transferidor marca o ângulo correspondente a cada sector.

Para concluir, pinta cada sector com uma cor diferente, e assinala a percentagem correspondente.

Deves ainda legendar e dar um título ao gráfico.

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7

Idades dos Alunos de uma Turma do 8º Ano

40%

35%

20%

5%

13

14

15

16

Pictograma

Os pictogramas são gráficos muito semelhantes aos gráficos de barras. Nos pictogramas as barras são substituídas por sequências de símbolos alusivos ao acontecimento a que se refere o estudo. O gráfico seguinte é um pictograma (pode ver-se o número de jornais vendidos no quiosque durante uma semana):

Neste pictograma pode ver-se que a segunda-feira é o dia mais forte da semana e que no fim-de-semana o

Sr. Joaquim não vende tantos jornais.

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Cuidados a ter na construção de um pictograma:

> Indicar sempre o significado de cada símbolo;

> Utilizar símbolos sugestivos;

> Utilizar sempre o mesmo símbolo no gráfico;

> Desenhar os símbolos em linhas ou colunas;

> Espaçar igualmente os símbolos;

> Expressar as diferentes frequências através do número de símbolos e não aumentando ou

diminuindo o seu tamanho.

4. INTERPRETAÇÃO DE DADOS

Medidas de Tendência Central: MODA/ MÉDIA/ MEDIANA

EXEMPLOS

5 alunos têm as seguintes idades: 12, 13, 11, 17, 17 Média: x

145

1717111312

x A média dos alunos é 14 anos.

Moda: 0m 170m A moda é 17 anos.

Observação: Se nenhum dado se repetir mais vezes que o outro, não existe moda (distribuição

AMODAL) Se dois ou mais valores se repetirem o mesmo número de vezes, esses valores serão a

moda (distribuição BIMODAL, TRIMODAL, …) A moda tanto se pode determinar no caso dos dados serem numéricos, ou não numéricos.

Para calcular a média (ou média aritmética) de um conjunto de valores: Adicionam-se todos os valores. Divide-se esta soma pelo número de valores considerados.

Só é possível calcular a média quando os valores são numéricos.

Moda de um conjunto de dados é o valor mais frequente (ou aquele que mais aparece).

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DADOS AGRUPADOS POR CLASSES

Numa turma do 8º ano, fez-se um estudo sobre a altura dos seus 27 alunos. Os dados recolhidos, em

centímetros, foram os seguintes:

150 161 158 143 172 167 170 160 165

156 144 155 157 162 159 147 155 166

148 159 159 148 152 163 161 153 162

Amplitude da distribuição é a diferença entre os valores máximo e mínimo observados. Classe é um intervalo de números racionais [a, b [, fechado à esquerda e aberto à direita, sendo a amplitude da classe dada pela diferença b – a.

COMO CONSTRUÍMOS AS CLASSES? Identificamos os valores, máximo e mínimo observados e a diferença entre eles: Exemplo: Máximo: 172 Mínimo: 143 Máximo – Mínimo = 172-143 = 29

Adopta-se por 6 classes de amplitude 5.

Mediana: x~

11 12 13 17 17

13~ x A mediana é 13 anos.

OBSERVAÇÃO

Se o número de dados for par, a mediana é igual à média aritmética dos dois valores centrais. Exemplo: 11 12 13 15 17 17

142

1513~

x A mediana é 14 anos.

Só é possível calcular a média quando os valores são numéricos

Organizam-se os dados por ordem crescente (ou decrescente).

Como o número de dados é ímpar (5), a mediana é igual ao valor do dado que ocupa a posição central

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Histograma

Um histograma é um gráfico formado por um conjunto de rectângulos adjacentes, tendo cada um deles

por base um intervalo de classe e por altura a respectiva frequência.

Na construção de um histograma deve ter-se em conta que:

Os dados estão agrupados em classes;

A área da barra é proporcional à frequência;

Os valores da variável encontram-se no eixo horizontal;

No eixo vertical encontram-se as frequências das classes;

As barras são desenhadas verticalmente e correspondem a cada uma das classes em que os valores são agrupados;

Não há espaços entre as barras

Classes (altura em cm)

Frequência absoluta

( f )

[143 , 148 [ 3

[148 , 153 [ 4

[153 , 158 [ 5

[158 , 163 [ 9

[163 , 168 [ 4

[168 , 173] 2

Total (N) 27

Alturas dos Alunos de uma Turma do 8º Ano

AGRUPAR OS DADOS EM CLASSES

As classes devem ter todas a mesma amplitude (tamanho). Convenciona-se que os intervalos das classes são fechados à esquerda e abertos à direita.

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Marca da Classe é o valor representante de cada uma das classes e corresponde ao valor central da classe. No caso de a classe ser representada pelo intervalo [a, b[, chama-se marca da classe ao valor calculado da

seguinte forma: 2

a b.

A média de um conjunto de dados agrupados corresponde à média das marcas das classes.

A classe modal corresponde à classe com maior frequência.

A classe mediana corresponde à classe que inclui o valor central.

Polígono de Frequências

O polígono de frequências resulta da união sucessiva, através de segmentos de recta, dos pontos médios

dos lados superiores dos diferentes rectângulos de um histograma.

Alturas dos Alunos de uma Turma do 8º Ano

Page 12: Ficha Informativa - OTD

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Diagrama de caule-e-folhas

Exemplo: Num determinado teste realizado a 50 estudantes, obtiveram-se as seguintes pontuações:

75 98 42 75 84 87 65 59 63 86 78 37 99 66 90 79 80 89 68 57

95 55 79 88 76 60 77 49 92 83 71 78 53 81 77 58 93 85 70 62

80 74 69 90 62 84 64 73 48 72

Fazer uma representação em caule-e-folhas destes dados.

Diagramas de Extremos e Quartis

Os quartis dividem a distribuição em quatro partes iguais, de modo que cada um das partes tenha o mesmo número de observações. A Mediana (Q2), como já vimos, divide o conjunto de dados em dois grupos com o mesmo número de elementos. O 1º Quartil (Q1) é a mediana do primeiro grupo e o 3º Quartil (Q3) é a mediana do segundo grupo.

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Por exemplo: A um grupo de alunos foi feita a seguinte pergunta: “Quantos irmãos tens?” Vamos observar as respostas e determinar os quartis: 0 0 1 1 2 2 2 2 2 3 4 5 5

O Diagrama de Extremos e Quartis é uma representação gráfica que nos dá informação do valor dos quartis e dos extremos, inferior e superior, da função.

Mínimo Q1 Q2 Q3 Máximo

Amplitude e Amplitude Interquartis

Amplitude de uma amostra é a diferença entre o maior e o menor valor observado. Amplitude Interquartil é a diferença entre o 3º quartil e o 1º quartil. Se o valor da amplitude interquartil for grande significa que existe uma grande dispersão entre os valores centrais, caso contrário essa dispersão é pequena.

BM ESTUDO!!

2x Q 3

3 43,5

2Q

1

1 1

2Q

0 1 2 3 3,5 4 5