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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA TURMA –
PDE/2012
Título O SOFTWARE GEOGEBRA NO ESTUDO DA RETA NA TERCEIRA SÉRIE
DO ENSINO MÉDIO
Autor Eliana Gomes da Silva Kotsko
Disciplina/Área (ingresso no PDE) Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização
Colégio Estadual Barão de Capanema
Município da escola Prudentópolis
Núcleo Regional de Educação Irati
Professor Orientador Izabel Passos Bonete
Instituição de Ensino Superior UNICENTRO
Relação Interdisciplinar Geografia e Sociologia
Resumo O uso de recursos tecnológicos
disponíveis atualmente para o
desenvolvimento de práticas pedagógicas
diferenciadas propicia ao professor
oportunidades para agilizar o aprendizado
dos alunos, bem como momentos de
reflexão na e sobre a sua prática. Se
usados de maneira coerente e correta,
permitem a construção de conhecimentos
matemáticos em todos os níveis da
educação básica.
Pensando assim, sugere-se o uso
e a aplicação do GeoGebra, um software
livre, de fácil acesso, intuitivo e lúdico, na
abordagem da Geometria Analítica, em
especial, no Estudo da Reta, de modo a
potencializar e melhorar a aprendizagem
dos alunos na terceira do ensino médio, -
propondo atividades motivadoras e
dinâmicas sobre o tema que articulem a
resolução de problemas matemáticos
contextualizados com o uso das
ferramentas do software GeoGebra.
Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) Geometria Analítica, Estudo da Reta, Mídias educacionais, GeoGebra
Formato do Material Didático Unidade Didática
Público Alvo Esta Unidade Didática foi desenvolvida para ser trabalhada com alunos da terceira série do Ensino Médio.
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃODO PARANÁ – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED PROGRAMA DE
DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIDADE DIDÁTICA
O SOFTWARE GEOGEBRA NO ESTUDO DA RETA NA TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
Produção didático-pedagógica apresentada a SEED/SUED – PR, como requisito para o cumprimento das atividades previstas dentro do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE do Estado do Paraná, orientado pela Professora Ms. Izabel Passos Bonete da UNICENTRO/Irati.
PRUDENTÓPOLIS2012
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE: Eliana Gomes da Silva Kotsko
Área/Disciplina PDE: Matemática
NRE: Irati
Professor Orientador IES: Izabel Passos Bonete
IES vinculada: UNICENTRO
Escola de Implementação: Colégio Estadual Barão de Capanema
Público objeto da intervenção: Alunos da terceira série
SumárioINTRODUÇÃO........................................................................................................................... 6FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA............................................................................................... 8
1. OS RECURSOS TECNOLÓGICOS NO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA................................................................................................................8 ................................................................................................................................................83. GEOMETRIA ANALÍTICA............................................................................................. 12
ESTRATÉGIAS DE AÇÃO.......................................................................................................16Atividade 01 – Conhecer o software GeoGebra....................................................................19Atividade 02 – Plano Cartesiano Ortogonal e Distância entre Dois Pontos.........................21Atividade 03 – Coordenadas do Ponto Médio de um Segmento e Condição de Alinhamento de Três Pontos....................................................................................................................... 24Atividade 04 - Baricentro, Ortocentro e Área de polígonos.................................................26Atividade 05 – Equação da Reta, Coeficiente Angular e Coeficiente Linear......................29Atividade 06- Distância entre Ponto e Reta e Retas Paralelas e Concorrentes.....................32Atividade 07: Ângulo entre Duas Retas Concorrentes ........................................................34
AVALIAÇÃO.............................................................................................................................36REFERÊNCIAS.........................................................................................................................37APÊNDICE................................................................................................................................39
TUTORIAL: USANDO O GEOGEBRA............................................................................. 40
INTRODUÇÃO
O ensino e a aprendizagem de Geometria Analítica no Ensino Médio não têm
alcançado satisfatoriamente os objetivos planejados. Tal afirmação se faz verdadeira
quando se analisam as avaliações diárias feitas pelo professor regente ou ainda,
quando se observam outras fontes de verificação como a Prova Brasil e o Enem, que
apontam várias falhas na assimilação e construção do conhecimento dos conteúdos
relacionados com este tema curricular.
Muitos autores entendem que esta insatisfação se dá, principalmente, devido
a metodologia de ensino adotada por muitos professores em sua prática pedagógica.
Se essa for tradicional, a Matemática é concebida como algo rigoroso, abstrato e
formal, ou seja, a metodologia de ensino é feita de uma forma dissociada da
realidade, o aprendizado é visto como algo fragmentado e cumulativo e entende-se
que a apresentação de cada novo conceito não necessite de uma sequência de
conteúdos.
MACHADO (1993, p.28), afirma que o significado curricular de cada disciplina
não pode resultar de apreciação isolada de seus conteúdos, mas sim do modo como
se articulam. Então a Geometria Analítica não deve ser abordada separadamente da
Aritmética e da Álgebra.
Entende-se que a valorização de definições, as abordagens de enunciados e as demonstrações de seus resultados são inerentes ao conhecimento geométrico. No entanto, tais práticas devem favorecer a compreensão do objeto e não reduzir-se apenas às demonstrações geométricas em seus aspectos formais. (PARANÁ, 2008 p.57).
Para mudar esse quadro, cabe ao professor questionar essa ideologia
tradicional, realçar e apontar novas alternativas didático-pedagógicas para as aulas
de Matemática. Desta forma, para que o aluno construa seu conhecimento
geométrico, é necessário que o professor preocupe-se em fazer uso de uma
metodologia que desperte o interesse do aluno e esteja relacionada com
experiências vivenciadas por ele, como uso de mídias tecnológicas. Refletindo sobre
isso, D’Ambrosio (1998, p.87) diz que a educação para a cidadania deve ser objetivo
da educação atual, e para isso, exige uma “apreciação” de um conhecimento
moderno impregnado de ciência e tecnologia.
Nesta perspectiva, a participação do professor de Matemática é imprescindível
para auxiliar o aluno a atingir essa apreciação pelo conhecimento moderno. O uso de
recursos tecnológicos disponíveis atualmente para o desenvolvimento de práticas
pedagógicas diferenciadas propicia ao professor oportunidades para agilizar o
aprendizado dos alunos, bem como momentos de reflexão na e sobre a sua prática.
Se usados de maneira coerente e correta, permitem a construção de
conhecimentos matemáticos em todos os níveis da educação básica. Segundo as
DCE-PR (PARANÁ, 2008 p.65), “no contexto da Educação Matemática, os ambientes
gerados por aplicativos informáticos dinamizam os conteúdos curriculares e
potencializam o processo pedagógico" e ainda "os recursos tecnológicos como
software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da Internet, entre outros, têm
favorecido as experimentações matemáticas e potencializado formas de resolução
de problemas”.
Muitos conceitos, principalmente os da Geometria, precisam ser mais
exemplificados e dinamizados em sala de aula, fazendo assim, que o aprendizado
decorra de maneira mais fácil e prazerosa para os agentes envolvidos.
Se o professor usar de uma Geometria Dinâmica, conjecturas são feitas a
partir da criação de objetos geométricos e, desse modo, pode-se introduzir os
conceitos matemáticos destes, a partir de uma nova visão (BELLEMAIN, 2001). O
uso correto do computador como auxiliador nesse processo torna a aprendizagem
mais atrativa e menos abstrata.
Por isso, essa unidade didática propõe o uso do GeoGebra, um software livre
que explora conceitos de Geometria e Álgebra, de maneira dinâmica, para dar
fundamentação a um ensino contextualizado e interessante para o aluno.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
1. OS RECURSOS TECNOLÓGICOS NO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
As mudanças tecnológicas que vem ocorrendo atualmente em nosso país e
no mundo todo são extremamente ativas e velozes. Estas rápidas e constantes
transformações devem também estar presentes em todo plano que o indivíduo está
inserido: no cotidiano, no comércio, na indústria e, principalmente na educação.
O uso da informática na educação e na prática pedagógica do educado tem o
computador como um auxiliador ou uma ferramenta para ajudar o professor e
educando na missão de ensinar e aprender de maneira satisfatória, interessante e
participativa. Tais objetivos podem ser alcançados também com o uso de softwares
educacionais.
Software educacional é todo aquele programa que possa ser usado para algum objetivo educacional, pedagogicamente defensável, por professores e alunos, qualquer que seja a natureza ou finalidade para o qual tenha sido criado. (LUCENA, 1992, p.29).
O conhecimento e o uso de tecnologias permitiram que diversos povos
acelerassem o seu desenvolvimento, sobressaindo-se e até tornando-se
dominadores sobre os demais que não dispunham destes recursos (KENSKI, 2007).
O conhecimento de recursos diferenciados e inventivos sempre esteve presente nos
intercâmbios sociais do homem, buscando transformar sua vida e torná-la mais
confortável e melhor.
As tecnologias são tão antigas quanto a espécie humana. Na verdade, foi a engenhosidade humana, em todos os tempos que deu origem as mais diferentes tecnologias. O uso do raciocínio tem garantido ao homem um processo crescente de inovações. Os conhecimentos daí derivados, quando colocados em prática, dão origem a diferentes equipamentos, recursos, produtos, processos, ferramentas, enfim, tecnologia, assim como domínio de certas informações, distinguem os seres humanos. (KENSKI, 2007, p.15).
Atualmente, quando se fala em educação e tecnologia, constatam-se
inúmeros recursos tecnológicos disponíveis aos professores para a sua prática
pedagógica. Tais recursos podem agilizar e potencializar o aprendizado do aluno,
desde que usados de maneira coerente, correta e consciente, pois a escola atual
está mergulhada num grande universo de evolução tecnológica, sendo que essa é
acompanhada pelos nossos alunos com muito interesse e dinamismo.
É de fundamental importância, que o professor procure cada vez mais inovar
sua prática docente e acompanhe essa evolução, reafirmando seu compromisso com
a formação de alunos, para tornarem-se cidadãos éticos, criativos e livres. Para isso,
é imprescindível que o conhecimento construído atualmente nas escolas seja:
[…] ágil, funcional, participativo, libertador – no sentido de remover barreiras que impeçam a plena criatividade de uma pessoa, sua compreensão dos processos e autonomia de pensamento para resolver situações problemas das mais variadas naturezas. (SOUZA, 2001, p. 21).
A tecnologia quando voltada para a educação se refere a tudo que se utiliza
para facilitar o trabalho pedagógico e garantir resultados planejados e esperados
pelo professor na organização e execução de uma atividade.
Para Kenski (2007), a tecnologia pode estar em diferentes frentes quando se
refere a sua utilização na socialização e na inovação. Ela pode ser considerada
responsável em fazer com que os educandos sejam mais exigidos na criatividade e
atenção, pois demanda entendimentos mais complexos e dinâmicos fazendo com
que o raciocínio lógico abstrato seja sempre utilizado. Porém, não basta ter acesso a
estas novas tecnologias é fundamental que se saiba utilizar corretamente dela para
se explorar sua utilização em muitas atividades, aprimorando-se assim o
conhecimento.
As ferramentas tecnológicas estão cada vez mais presentes no cotidiano das
aulas, principalmente nas de Matemática. As calculadoras, computadores, softwares,
enfim vários são os recursos que podem ser disponibilizados para a melhoria
do processo de aprendizagem dos alunos e da prática pedagógica do professor.
Muitos conceitos, para serem bem compreendidos, precisam ser
exemplificados e dinamizados pelo professor em sala de aula, então o uso correto
das tecnologias como auxiliador nesse processo torna a aprendizagem mais atrativa
e menos abstrata, fazendo com que o aluno fique mais motivado e interessado na
aprendizagem dos conceitos e dos conteúdos abordados pelo professor.
O uso de ambientes virtuais, nos dias de hoje é bastante proveitoso, pois as
tecnologias e mídias são de grande importância para a fixação e abstração de
conceitos. As DCE-PR (PARANÁ, 2008), salientam que os recursos tecnológicos
beneficiam as experimentações matemáticas e possibilita o planejamento de
resolução de problemas.
É imprescindível que, ao se utilizar o computador e os softwares educacionais
não se faça destes uma “máquina” de ensinar, ou seja, que sejam utilizados apenas
para informatizar métodos tradicionais de ensino, mas que sejam utilizados como
ferramenta pedagógica, não sendo simplesmente o instrumento que ensina o
aprendiz, mas a ferramenta com a qual este desenvolve, descreve, busca novas
estratégias e soluciona situações–problemas.
Na abordagem Construcionista o computador não é o detentor do conhecimento, mas uma ferramenta tutorada pelo aluno e que lhe permite buscar informações em redes de comunicação à distância, navegar entre nós e ligações, de forma não-linear, segundo seu estilo cognitivo e seu interesse momentâneo.(ALMEIDA, 2000, p.23).
Para Borba (1999), no contexto da Educação Matemática, as metodologias de
aprendizagem que utilizam aplicativos de informática podem tornar dinâmicos os
conteúdos curriculares e potencializar o processo de ensino e da aprendizagem
voltados à “Experimentação Matemática” com possibilidades do surgimento de novos
conceitos.
As Tecnologias de Informação e Comunicação podem ser usadas como meio
auxiliador para combater o insucesso escolar, motivando os alunos e sendo um
agente facilitador em todo o processo de ensino
2. O SOFTWARE GEOGEBRA
Diante das mudanças tecnológicas pelas quais vem passando a sociedade, a
necessidade do uso de computadores e softwares pelos professores, como
ferramenta pedagógica, vem sendo cada vez mais indispensável nas escolas.
Atualmente há disponível diversos softwares matemáticos a serem utilizados
pelos professores para enriquecer e melhorar o processo ensino aprendizagem.
Dentre eles: Cabri-Géomètre, Oficina de Funções, GeoGebra, Winplot, Régua e
Compasso, entre outros.
Alguns softwares são gratuitos, outros não. Os que são gratuitos, o acesso
aos mesmos é facilitado, tanto pelos alunos como pelos professores. Um exemplo de
software educacional livre e gratuito é o GeoGebra (disponível em
www.geogebra.org, onde há também um tutorial com as orientações do site para
instalá-lo), que funciona tanto no sistema Linux, Windows e Machintoch.
Trata-se de um software de Matemática Dinâmica desenvolvido por Markus
Hohenwarter, um Alemão da Universidade de Salzburg para educação nas escolas.
Reúne geometria, álgebra e cálculo e, possui todas as ferramentas tradicionais de
um software de geometria dinâmica. Foi traduzido para o português por J. Geraldes.
Um software de Geometria Dinâmica é um ambiente que permite simular
construções geométricas por quem o está utilizando. Ao contrário do que acontece
com a régua e o compasso tradicional, as construções que são realizadas com este
tipo de software são dinâmicas e interativas, o que faz do programa uma excelente
ferramenta de aprendizagem da geometria.
O nome “Geometria Dinâmica” (GD) hoje é largamente utilizado para especificar a Geometria implementada em computador, a qual permite que objetos sejam movidos mantendo-se todos os vínculos estabelecidos inicialmente na construção. Este nome pode ser melhor entendido como oposição à geometria tradicional de régua e compasso, que é “estática”, pois após o aluno realizar uma construção, se ele desejar analisá-la com alguns dos objetos em outra disposição terá que construir um novo desenho. (ISOTANI, 2005, p.45).
Por meio dele, é possível representar pontos, vetores, segmentos, retas,
circunferências, transportar distâncias, encontrar paralelas e perpendiculares e
construir gráficos.
As construções geométricas virtuais construídas com o GeoGebra não ficam
estáticas: movem-se sob alguns comandos. O GeoGebra tem a vantagem didática
de apresentar ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo
objeto que interagem entre si: sua representação geométrica e sua representação
algébrica. Além disso, oferece também um suporte à entrada de equações e
coordenadas, associando o primeiro ao segundo, e vice-versa. Portanto, o GeoGebra
é a união de um sistema de geometria dinâmica e de um sistema de computação
algébrica.
As ferramentas que existem neste software permitem concebê-lo como um
aliado poderoso para trabalhar com algumas barreiras relativas à aprendizagem da
Matemática que orientam a prática docente, como: as generalidades, as diversidades
de aprendizagem, motivação, os aspectos abstratos e invariantes da Matemática e
etc.
É mais uma ferramenta que pode oferecer a oportunidade de dinamizar e
consolidar o trabalho pedagógico em Matemática.
3. GEOMETRIA ANALÍTICA
Os primeiros estudos sobre Geometria partiram de uma hipótese falsa:
imaginava-se que a Terra era plana. Logo, era lógico que o homem desenvolvesse
procedimentos e teorias a partir dessa hipótese. É necessário dizer que esse fato
não impediu o desenvolvimento da Geometria, ainda porque as aplicações desta
ciência sempre ou quase sempre se fizeram e se fazem em regiões limitadas que
são aproximadamente planas.
A Geometria, que do grego significa medida da Terra, tem suas raízes na
Antiguidade e acredita-se que tenha surgido das necessidades práticas do homem e
das observações da natureza. Como ciência, teve seu marco inicial na cultura
clássica grega com Euclides, na escola de Alexandria durante o reinado de Ptolomeu
I, entre os séculos IV e III a.C., com a publicação de sua obra Os elementos,
composta por treze volumes.
A publicação deu-se por volta de 325 a.C. e o seu trabalho era tão alentado,
que levou os historiadores da época, a imaginar que uma obra tão vasta não fosse
de autoria de um só homem. Mas as controvérsias não tiraram o mérito de quem
propôs o primeiro processo com um encadeamento lógico para os estudos
matemáticos. O sistema proposto por Euclides era inédito e, hoje, recebe o nome de
método axiomático, isto é, um sistema que se desenvolve a partir de poucos
conceitos básicos (ponto, reta e plano) e de algumas premissas simples e aceitas,
normalmente, como verdadeiras pelo senso comum, ou admitidas como verdadeiras,
mesmo quando não forem tão evidentes.
Todo desenvolvimento da Geometria, como de resto da Matemática, se baseia
em procedimentos de indução e dedução. A indução ocorre quando, de sucessivos
exemplos e casos particulares estudados e bem-sucedidos, se pode concluir uma
regra geral para casos semelhantes; vale dizer, é o caminho que nos conduz do
particular para o geral. Por outro lado, o processo de dedução constrói o
conhecimento do geral para o particular. Isto quer dizer que de princípios, os mais
gerais possíveis, do tipo axiomas ou postulados – que valem para entes
fundamentais como pontos, retas e planos – obtém-se, por processos inteligentes,
geométricas quaisquer como triângulos, polígonos etc.
A Geometria Analítica foi construída a partir da representação dos pontos da
reta por números reais e os pontos do plano por pares ordenados de números reais.
Assim as linhas no plano (reta, circunferência, elipse, etc.) são descritas por meio de
equações. Com isso, é possível tratar algebricamente muitas questões geométricas,
como também interpretar de forma geométrica algumas situações algébricas.
Essa integração entre Geometria e Álgebra, foi responsável por grandes
progressos na Matemática e outras ciências em geral, sendo considerada como um
dos maiores progressos da Matemática.
O grande mentor dessa ideia foi Renè Descartes (1596-1650), filósofo e
matemático francês que, embora licenciado em Direito, ao alistar-se no exército de
Maurício de Nassau, na Holanda, conheceu Isaac Beekman, médico holandês que o
estimulou a realizar pesquisas no campo da Física e da Matemática.
As apreciações precedentes sobre a Geometria Analítica parecem confundir o assunto com um ou mais de seus aspectos. Mas a essência real desse campo da Matemática reside na transferência de uma investigação geométrica para uma investigação algébrica correspondente. (EVES, 2008 p.383).
A maior contribuição de Descartes foi publicada na sua famosa obra Discours
de la Méthode pour Bien Conduire as Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences
(Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e Procurar a Verdade nas
Ciências). Nela, Descartes procura defender o uso da razão Matemática na
condução das ciências, em detrimento das práticas puramente experimentais. Essa
obra era acompanhada de três apêndices, sendo que o último deles, que foi
intitulado La Geométrie, (que é a sua única publicação Matemática) apresenta as
ideias que fundamentaram o estudo da Geometria Analítica.
Outro estudioso que contribuiu para no surgimento da Geometria Analítica foi
Pierre de Fermat (1601-1655) que, de forma paralela e independente de Descartes,
realizou estudos relacionados a equações que representavam curvas matemáticas
em um plano.
[...] a maioria dos historiadores que consideram as contribuições decisivas feitas no séc. XVll pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat como a origem essencial do assunto. Sem dúvida, só depois da contribuição dada por esses dois homens à Geometria Analítica é que esta ganhou os contornos iniciais da forma com que estamos familiarizados. (EVES, 2008).
A ideia do sistema de coordenadas polares foi introduzida em 1691 por Jakob
Bernoulli. Com essa descoberta, os geômetras tiveram de romper com os sistemas
cartesianos quando as situações indicavam um referencial mais conveniente. Em
1731, Antoine Parent foi o primeiro a escrever analiticamente sobre curvas não-
planas no espaço. Depois Leonard Euler prosseguiu com o assunto publicando
Introductio in Analysis Infinitorum (Introdução à Análise dos Infinitos, 1748). Essa
obra foi escrita em dois volumes e o segundo volume foi inteiramente dedicado a
Geometria Analítica.
A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições
deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de
eixos ortogonais, não foi usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo,
sabiam que a ideia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste, em
particular, Fermat foi mais feliz, porém Descartes superou Fermat na notação
algébrica.
A geometria analítica proporciona aos alunos do Ensino Médio a oportunidade
de tratar algebricamente as propriedades e os elementos geométricos, conhecendo
uma forma de pensar que transforma problemas geométricos na resolução de
equações, sistemas ou inequações revela a importância desse conteúdo na
formação do aluno.
Como conteúdo matemático estudado no ensino médio da educação básica a
Geometria Analítica é contemplada dentro do Conteúdo Estruturante ‘Geometrias’ na
proposta das Diretrizes Curriculares para a Educação Básica da Rede Pública
Estadual (PARANÁ, 2008).
O Conteúdo Estruturante Geometrias no Ensino Médio visa “garantir ao aluno
o aprofundamento dos conceitos da geometria plana e espacial em um nível de
abstração mais complexo” (PARANÁ, 2008, p. 56). Considera-se que os alunos
nesse nível de ensino, possuem capacidade para realizar análises dos elementos
que estruturam a geometria euclidiana, por meio da representação algébrica
explorada na geometria analítica plana. Logo, são imprescindíveis que, na
abordagem da geometria analítica sejam discutidos conceitos relativos a distâncias
entre pontos, retas e circunferências; equações da reta, do plano e da circunferência;
cálculos de área de figuras geométricas no plano e estudo de posições.
ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
A Unidade Didática será implementada em uma das terceiras séries do
Colégio Estadual Barão de Capanema, localizado no município de Prudentópolis-Pr,
contemplando 34 (trinta e quatro) horas, como apoio ao estudo da Geometria
Analítica, em especial, no estudo da reta. A proposta tem por objetivo dinamizar e
ilustrar a aprendizagem de Geometria Analítica utilizando as tecnologias
educacionais. Tal trabalho terá o acompanhamento e supervisão da equipe
pedagógica e direção da escola, assim como da orientadora da IES correspondente.
As atividades ilustradas objetivam fazer com que o aluno venha a
experimentar, induzir, interpretar, visualizar, abstrair e enfim, generalizar e
contextualizar os conceitos propostos, de modo que o processo de argumentação e
dedução das leis da Geometria Analítica aconteça de forma natural e prazerosa.
Como ferramenta para alcançar tais objetivos, será utilizado o software educacional
GeoGebra.
No total serão 07 (sete) atividades, sendo que a primeira atividade “Conhecer
o software GeoGebra” será desenvolvida nas primeiras 12 (doze) horas da
implementação desta proposta. Para que ocorra um melhor aprendizado dos alunos
sobre o uso do software, a turma será dividida em dois grupos, os quais serão
convidados a participarem em contra turno de um mini-curso no Laboratório de
Informática da escola. Na oportunidade poderão conhecer o tutorial do GeoGebra e
suas ferramentas e explorar atividades básicas, que estarão descritas na primeira
atividade deste material.
Tal divisão da turma, inicialmente, justifica-se tendo em vista que o número de
computadores disponíveis na escola não possibilita o uso de uma máquina para cada
aluno, além de que é fundamental que todos os alunos fiquem familiarizados com o
software. Tal situação não representará problema no desenvolvimento das demais
atividades da proposta, pois os trabalhos serão desenvolvidos em duplas. Segundo
Valera (2003, p. 58):
A combinação do trabalho individual e do trabalho de grupo poderia ser uma alternativa para proporcionar aos alunos a oportunidade de conhecer ideias novas e diferentes, confrontá-las e discuti-las, relacioná-las com o seu entorno, evitando assim, o desinteresse devido ao tratamento rotineiro e mecânico.
As próximas 20 horas serão pautadas e separadas em 06 (seis) atividades
relacionadas aos conteúdos da Geometria Analítica. Em um primeiro momento, serão
trabalhados os conceitos referentes ao Estudo da Reta, utilizando o livro didático e o
quadro negro. Na sequencia, os alunos serão orientados a dirigirem-se ao
Laboratório de Informática e com o auxilio do GeoGebra verificarem os resultados
obtidos. A observação concreta e dinâmica do que acontece na resolução destas
atividades propostas, contribui para a aprendizagem e compreensão dos conceitos.
Após cada atividade realizada, os alunos serão motivados a explanarem quais
as diferenças entre a prática desenvolvida em sala de aula e a prática realizada no
Laboratório de Informática.
Vale lembrar, que as ferramentas educacionais não ensinam por si só, é de
fundamental importância que o educador esteja apto para propor e elaborar essas
situações de aprendizagem, ou seja, o professor deve coordenar as ações dos
alunos durante a realização das sequências, levando-os a adquirir e significar o
conhecimento matemático, pois segundo Valente (1993: p. 01) “para a implantação
dos recursos tecnológicos de forma eficaz na educação são necessários quatro
ingredientes básicos: o computador, o software educativo, o professor capacitado
para usar o computador como meio educacional e o aluno”, sendo que nenhum se
sobressai ao outro. O autor acentua que, “o computador não é mais o instrumento
que ensina o aprendiz, mas a ferramenta com a qual o aluno desenvolve algo e,
portanto, o aprendizado ocorre pelo fato de estar executando uma tarefa por
intermédio do computador” (p.13).
As atividades, as quais são ilustradas por figuras confeccionadas pela autora,
serão apresentadas para os alunos da maneira descrita nas atividades a seguir.
Atividade 01 – Conhecer o software GeoGebra
Objetivos:
- Conhecer as ferramentas do software GeoGebra.
- Utilizar corretamente as ferramentas do GeoGebra na resolução de exercícios
básicos.
Numero de horas: 12 horas (em contra turno)
Material: Tutorial “Usando o GeoGebra” elaborado pela professora PDE (Apêndice)
1) Trace uma reta que passa pelos pontos A e B.
2) Trace um segmento de reta que passa pelos pontos A(3,2) e B(-1,0).
3) Construa um segmento de reta definido por dois pontos cuja medida é de 10
unidades.
4) Construa um segmento AB e seu ponto médio.
5) Construa uma reta r e uma reta s paralela a r.
6) Construa uma reta r e uma reta s perpendicular a r.
7) Construa um segmento de reta qualquer e ache seu ponto médio.
8) Construa duas retas r e s paralelas. Agora construa uma reta t paralela e
equidistante a r e s.
9) Construa um hexágono (polígono com seis lados), identificando seus ângulos.
10) Construa um triângulo e identifique seu incentro denominando-o de P.
Nota: Incentro é o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo. Movimente os
vértices e verifique a manutenção da propriedade.
11) Construa um quadrilátero inscrito em uma circunferência.
12) Altere as características do quadrilátero, como cor, espessura da linha, nome
dos pontos, nome.
13) Faça a reflexão de um ponto através de uma reta.
14) Construa um polígono qualquer e determine sua área.
15) Construa um polígono regular com 7 lados.
16) Construa uma circunferência qualquer e determine sua área.
17) Crie uma circunferência de raio 5 cm.
18) Construir uma circunferência a partir de três pontos e em seguida determine seu
centro.
Atividade 02 – Plano Cartesiano Ortogonal e Distância entre Dois Pontos
Objetivos:
- Utilizar o software educacional GeoGebra na construção dos exercícios dados.
- Visualizar as coordenadas dos pontos no plano cartesiano e aplicar no
GeoGebra.
- Calcular a distância entre dois pontos e provar tal conceito com o GeoGebra.
Número de horas: 04 horas
01) Eco Ville Ronda é uma cidade planejada por urbanistas de maneira que suas
ruas são exatamente paralelas e se cortam em perpendiculares. Exatamente no
centro da cidade existe uma igreja que foi uma das primeiras construções da cidade.
No momento em que este município foi dividido em quatro quadrantes, por meio de
duas retas perpendiculares numeradas que se cortam no ponto (0,0), a localização
da igreja foi considerada como ponto (0,0), ponto de origem do sistema cartesiano
ortogonal da cidade. O sentido positivo do eixo y é o norte, e o sentido positivo do
eixo x é o leste. Então:
a) Construa o plano cartesiano ortogonal da cidade, considerando o quilômetro como
unidade de medida nos eixos cartesianos ortogonais e localize a escola, cujas
coordenadas são 2 km a leste e 3 km a norte da igreja.
b) Edificações que, nesta cidade estiverem a mais de um quilômetro a oeste e mais
de um quilômetro ao sul da igreja, estarão localizadas no quadrante:
02) Dois moradores de Eco Ville Ronda, Vinícius e Carol encontram-se na Igreja.
Lembrando-se o que aprenderam na escola sobre os pontos cardeais e aproveitando
para relembrar coordenadas cartesianas, propuseram a seguinte brincadeira: só
poderiam dar um passo de cada vez para o Norte, Sul, Leste ou Oeste.
Representando cada passo pelo deslocamento de uma unidade para cada uma das
direções mencionadas e sabendo que Carol deu 3 passos para o sul e depois 4
passos para o leste e parou e, Vinícius deu 8 passos para o Norte e depois 3 passos
para o Oeste, mais 2 passos para o sul e parou, pode-se afirmar que, após a
caminhada, a distância entre Vinícius e Carol, é de:
03) Uma grande planície dos campos gerais é cortada por duas estradas retilíneas, a
PR 200 e a PR 419 que se cruzam perpendicularmente dividindo-a em quatro
quadrantes. Duas majestosas Araucárias estão num mesmo quadrante e tem a
seguinte localização: a primeira dista 200 metros da PR 200 e 150 metros da PR
419, enquanto a segunda está a 550 metros da PR 200 e 500 metros da PR 419.
a) Construa o plano cartesiano ortogonal que representa a situação, localizando as
Araucárias por meio de pontos e indique as coordenadas de cada uma;
b) Calcule a distância entre as duas Araucárias.
04) Observe o desenho que representa a localização das comunidades A, B, C, D e
E e de uma antena de transmissão de TV, ponto T.
a) Dê as coordenadas de localização das comunidades A, B, C, D e E e, da
antena de transmissão de TV, representada pelo ponto T.
b) Localize no plano de coordenadas a comunidade F(-3/2,-2), G(3,-1/2), H(0,-2)
e I(4,0).
c) Sabendo que o raio de alcance do sinal da TV é 200 Km e que cada unidade
representada no plano de coordenadas cartesianas corresponde a 50 km,
quais as cidades que recebem o sinal?
Atividade 03 – Coordenadas do Ponto Médio de um Segmento e Condição de Alinhamento de Três Pontos
Objetivos:
- Encontrar as coordenadas do ponto médio de um segmento e visualizá-las no
GeoGebra.
- Verificar a condição de alinhamento de três pontos e provar no GeoGebra.
Número de horas: 03 horas
01) No problema da antena de transmissão de TV, levando em conta que a antena
precisa ser mudada de lugar, de modo que fique equidistante das cidades A e E,
quais seriam as novas coordenadas da emissora?
02) Será construída uma grande rodovia para ligar duas cidades X e Y. Considere a
cidade Y localizada na origem do sistema cartesiano ortogonal que representa a
situação, e que a cidade X localiza-se a 200km a leste e a 200km ao sul de Y.
Considere ainda, que entre essas duas cidades existe uma grande represa que
impede a construção da rodovia em linha reta. Para contorná-la, a rodovia deverá ser
feita em dois trechos, passando pela cidade Z, que está a 160 km a leste e 170 km
ao sul de Y.
a) Nestas condições, podemos dizer que estas três cidades não estão alinhadas?
Justifique sua resposta.
b) E qual será o comprimento em linha reta, do trecho entre a cidade Z e X?
c) A cidade Z é equidistante de X e Y?
03) Observando o mapa responda:
Figura 1 – Mapa do Estado do ParanáFonte: http://www.guiageo-parana.com/mapa-rodoviario.htm
a) Qual a cidade mais próxima do ponto médio da distância em linha reta entre as
cidades de Toledo, Cianorte e Tibagi até a capital do Estado.
b) Justifique que as cidades Curitiba, Tibagi e Cianorte não estão alinhadas.
c) Determine a cidade mais próxima que divide a distância entre Curitiba e Toledo na
proporção 1/3
d) Calcule o comprimento de cada mediana do triangulo de vértices em Cianorte
Toledo e Curitiba.
Atividade 04 - Baricentro, Ortocentro e Área de polígonos
Objetivos:
-Calcular o Baricentro do triângulo.
-Encontrar o Ortocentro do triângulo.
-Calcular a área do triângulo.
-Desenhar no GeoGebra o baricentro e o ortocentro dos triângulos.
-Verificar, no GeoGebra, a área encontrada dos polígonos.
Número de horas: 03 horas
01) Observando ainda o mapa do Paraná:
Figura 2 – Mapa do Estado do ParanáFonte: http://www.guiageo-parana.com/mapa-rodoviario.htm
a) Qual o comprimento de cada mediana do triângulo de vértices nas cidades de
Curitiba, Cianorte e Toledo?
b) Qual a cidade mais próxima do Ortocentro formado pelo triângulo acima.
c) Qual o comprimento das mediatrizes desse triângulo?
d) Qual a cidade mais próxima ao baricentro desse triângulo?
02) Um senhor comprou um terreno em forma triangular. Ao medi-lo, um agrimensor,
utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou os pontos A(3,5) B(2,2) e
C(6,5) como vértices dos marcos do terreno, com medidas em quilômetros. A área
desse terreno é:
03) Para que a transmissão das ondas de celular de uma determinada operadora
seja ideal, foram colocadas antenas em vários lugares ilustrados pelos pontos A, B,
C e D no plano cartesiano abaixo.
Sendo o quilômetro a unidade de comprimento, desprezando a altura das antenas e
supondo que o alcance máximo de cada antena é 20 km, responda:
a) O ponto médio do segmento BC recebe sinal dessa operadora?
b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD que não recebe o sinal da
operadora?
04) Um proprietário fez as medições de seu terreno, e obteve um polígono com as
seguintes coordenadas, conforme figura abaixo, dadas as coordenadas em hectares.
Sabendo-se que irá utilizar 1/3 do terreno para plantio de pasto para o gado, qual a
área disponível para essa atividade?
Atividade 05 – Equação da Reta, Coeficiente Angular e Coeficiente Linear
Objetivos:
- Encontrar a equação da reta que passa por dois pontos.
- Calcular o coeficiente angular e linear da reta dada.
- Verificar os conceitos de equação da reta e coeficientes linear e angular no
GeoGebra.
Número de horas: 03 horas
01) Determine a equação das retas indicadas nas figuras e identifique os coeficientes
angular e linear em cada equação:
a)
b)
c)
02) Um móvel percorre uma distancia d, conforme ilustra o gráfico abaixo:
Pergunta-se:
a) Qual é o coeficiente angular da reta que representa a função?
b) Dê a equação da reta.
c) Quantos metros de distância este automóvel terá percorrido após 6min30s?
d) Qual o tempo necessário para esse automóvel percorrer 20m?
Atividade 06- Distância entre Ponto e Reta e Retas Paralelas e Concorrentes.
Objetivos:
-Calcular a distância entre ponto e reta e verificar no GeoGebra.
-Verificar a posição relativa entre duas retas dadas e provar com o GeoGebra.
Numero de horas: 04 aulas
01) O mapa de uma comunidade foi colocado no sistema de cartesianas ortogonais,
onde a posição de uma cidade P é dada pelas coordenadas (1,3). Um helicóptero
descreve uma trajetória retilínea segundo a equação x/2 +y=10.
a) Em qual ponto da trajetória o avião se encontra mais próximo da comunidade?
b) Segundo a condição do item anterior, qual é à distância da comunidade ao avião?
02) Uma grande loja de departamentos será construída em uma cidade. Sabe-se que
estará a 2km em linha reta da principal rodovia que corta a cidade que está
localizada sobre a reta e equação 6x+8y=0 e a 2km de um centro comercial
localizado na posição (0,1). No sistema de coordenadas cartesianas, essa loja está
localizado no primeiro quadrante. A que distância estará essa loja do centro
comercial?
Para resolver a próxima questão, vamos falar um pouco sobre coordenadas UTM
(Universal Transversa de Mercator), que é um sistema de coordenadas baseado no
plano cartesiano (eixo x,y) e usa o metro (m) como unidade para medir distâncias e
determinar a posição de um objeto. Diferentemente das Coordenadas Geográficas
(ou Geodésicas), o sistema UTM, não acompanha a curvatura da Terra e por isso
seus pares de coordenadas também são chamados de coordenadas planas.
Para saber mais sobre essas coordenadas acesse
http://www.carto.eng.uerj.br/cgi/index.cgi?x=utm.htm
03) A NASA observou que dois cometas estão próximos a Terra numa mesma
altitude, e que suas trajetórias podem ser descritas por uma reta nas coordenadas
UTM. Será que precisamos ficar preocupados com o risco de colisão entre eles,
sabendo que as coordenadas dos cometas são respectivamente:
Cometa 01: -x+2y+4=0
Cometa 02: -2x+4y-4=0
Justifique sua resposta.
04) Sejam as retas r:-5x+y+1=0 s:-30x+6y-18=0 e t: x/5+y+1=0, qual a posição
relativa de:
a) s e t
b) r e s
c) r e t
Atividade 07: Ângulo entre Duas Retas Concorrentes
Objetivos:
- Calcular o ângulo entre duas retas, conhecendo-se a equação das retas.
-Utilizar o GeoGebra para visualizar o ângulo formado pelas retas, conhecendo-se
suas equações.
Número de horas: 05 horas
01) O mapa do Estado do Paraná é apresentado no sistema cartesiano ortogonal,
conforme a figura. Prove que a soma dos ângulos internos do triângulo formado
pelos pontos localizados nas cidades A, B e C é igual ao ângulo raso.
Figura 3 – Mapa do Estado do ParanáFonte: http://webgeo.pr.gov.br/website/atlas/viewer.htm
02) Ao projetar as ruas de um loteamento, um urbanista deve respeitar as leis do
Plano Diretor Municipal e, para tanto, precisa inserir as ruas de modo que o ângulo
formado entre elas, seja maior ou igual a 45° (quarenta e cinco graus). Sabendo-se
que as ruas são retas, verifique se os cruzamentos definidos pelas retas de
equações abaixo estão de acordo com as leis municipais.
a) Cruzamento 1 - Rua A: 2x + y - 7=0
Rua B: y - 4=3(x - 5)
b) Cruzamento 2 - Rua C: 4x – 6 = y
Rua D: y - 3= -1/4(x + 5)
c) Cruzamento 3 - Rua E: x + (31/2)y – 12 = 0
Rua F: 3y – 21/2 = 0
VAMOS CONHECER MAIS SOBRE NOSSO MUNICÍPIO
Reúna-se com um grupo de colegas da sala de aula e pesquisem na
Prefeitura Municipal quais são as leis do Plano Diretor do Município, quando
foi criado e quem participou ou é responsável pela sua criação.
Traga para sala de aula, discuta com os colegas e professora o que está
realmente sendo aplicado em nossa cidade, quais os pontos positivos e
negativos e o que poderiam melhorar.
Elejam um redator da sala para anotar as conclusões dessa discussão e
enviem para o Prefeito Municipal.
AVALIAÇÃO
A avaliação deve ser compreendida como um dos fatores mais importantes e
indispensáveis no processo educacional. Pode ser considerada como um
instrumento para verificar se o aluno assimilou o conteúdo abordado ou como uma
ferramenta para que o educador possa aperfeiçoar a sua prática, por meio de
discussões e reflexões na e sobre a sua ação.
Na presente proposta a avaliação do desempenho dos alunos levará em
conta os objetivos a serem atingidos em cada atividade, e portanto, será diária e
contínua, ocorrendo durante toda a implementação da Unidade Didática.
Neste sentido, para a avaliação dos alunos, será observado o conhecimento
assimilado em relação ao conteúdo proposto, os procedimentos matemáticos
utilizados pelos alunos na resolução das atividades, a postura dos alunos frente à
contextualização dos problemas de Geometria Analítica e a reflexão dos alunos
sobre seus êxitos e dificuldades. Para tanto, serão observadas as falas dos alunos
com relação a suas certezas, dúvidas e erros; as ações e discussões efetuadas
durante as tarefas individuais, em pequenos grupos ou no grande grupo e pelos
desempenhos nas atividades propostas, tarefas feitas em casa, diárias e trabalhos
escritos.
Para a avaliação da prática docente buscar-se-á registrar todo o
desenvolvimento da proposta por meio de relatórios, para ser utilizado como material
de discussão e reflexão sobre a atuação docente e sobre a metodologia aplicada no
processo de ensino e aprendizagem dos alunos.
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, M.E. Informática e formação de professores. Volumes 1 e 2. Série de
Estudos Educação a Distância. Brasília, MEC/OEA, 2000.
BELLEMAIN F. Geometria dinâmica: diferentes implementações, papel da
manipulação direta e usos na aprendizagem. In: INTERNATIONAL
CONFERENCE ON GRAPHICS ENGINEERING FOR ARTS AND DESIGN, 4., 2001,
São Paulo. São Paulo: USP, 2001. p. 1314-1329.
BORBA M. C. Calculadoras Gráficas e Educação Matemática. Rio de Janeiro,
MEM, USU, 1999.
D’ AMBROSIO, U. Educação Matemática: Da Teoria a prática. Campinas, SP.
Papirus. 4 ed, 1998.
EVES, H. Introdução à história da Matemática. Trad. Hygino h.Domingues.
Campinas: Unicamp, 2008.
ISOTANI, S. Desenvolvimento de ferramentas no IGEON: utilizando a Geometria
Dinâmica no ensino presencial e a distância. Dissertação de mestrado . São Paulo:
Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. 2005.
KENSKI, V. M. Educação e Tecnologias: o novo ritmo da informação. Campinas.
Papirus, 2007.
LUCENA, M. Gente é uma Pesquisa: Desenvolvimento Cooperativo da Escrita
Apoiado pelo computador; Dissertação de Mestrado; Departamento de Educação,
PUC RiodeJaneiro:1992. Disponível em:
www.sbc.org.br/bibliotecadifital/dowload.php?paper=854>. Acessado em: abril de
2012.
MACHADO N.J. Interdisciplinariedade e Matemática. Revista Quadrimestral da
Faculdade de Educação - Unicamp - Proposições. Campinas, n. 1[10], p. 23-34, mar.
1993.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação – SEED. Diretrizes Curriculares da
Educação Básica do Estado do Paraná (DCE): Matemática, Curitiba, 2008.
SOUZA, Maria José Araújo. Informática educativa na educação Matemática:
estudo de geometria no ambiente do software Gabri-Géomètre. 2001. Dissertação
(Mestrado em Educação Brasileira) – Universidade Federal do Ceará, Fortaleza,
2001.
VALENTE, J. A. Computadores e conhecimento: repensando a educação.
Campinas: UNICAMP. 1993.
VALERA, Alcir Rojas. Uso social e Escolar dos Números Racionais:
Representação Fracionária e Decimal. Marília: UNESP, 2003. Dissertação de
mestrado.
APÊNDICE
TUTORIAL: USANDO O GEOGEBRA
Após instalar o software GeoGebra, inicia-se abrindo uma janela, cuja a
interface (FIGURA 1), é composta por uma barra de menu, uma barra de
ferramentas, a janela algébrica, a janela geométrica, a janela de entrada algébrica ou
de texto, um menu de comandos e dois menu de símbolos
A janela de álgebra é composta por um sistema de eixos cartesianos, para
facilitar as construções geométricas no sistema e, simultaneamente as coordenadas
e equações correspondentes podem ser visualizadas nas janelas de álgebra, como
ilustra a figura abaixo.
Figura 1 – Interface do GeoGebraFonte: Software GeoGebra
A janela de entrada de texto, FIGURA 2, é usada para inserir as
coordenadas, as equações, comandos e funções e está localizada na parte inferior
da interface do programa, assim como o menu de comandos e o menu de símbolos.
Na janela de entradas algébricas é possível criar objetos digitando a notação usual, a
sentença ou respectivo comando.
Figura 2 – Janela de entrada de textoFonte: Software GeoGebra
Por exemplo, para visualizar o ponto A(1,2) é suficiente digitar A=(1,2) e pressionar a
tecla “enter” (FIGURA 3).
Figura
3: Exemplo de visualização do pontoFonte: Software GeoGebra
A barra do Menu fica na parte superior e é composta pelas seguintes opções:
Arquivo, Editar, Exibir, Opções, Ferramentas, Janela e Ajuda. Estas opções de menu
são praticamente iguais aos de um programa qualquer. Logo abaixo desta, fica a
barra de Ferramentas, com um conjunto de ferramentas que possibilitam fazer
construções de objetos matemáticos e uma breve descrição de uso da ferramenta
(FIGURA 4).
Figura 4 – Barras de Menu e FerramentasFonte: Software GeoGebra
FERRAMENTAS DO GEOGEBRA
As ferramentas que compõe o GeoGebra podem criar objetos matemáticos,
instantaneamente, sem usar nenhum outro tipo de construção. Como exemplo, vale
citar a construção de um hexágono regular utilizando-se a ferramenta polígono
regular. Para isso, basta selecionar a ferramenta ‘polígono’, clicar duas vezes na
malha e definir o número de lados e o software cria o polígono (FIGURA 5).
Figura 5 – Criação de um polígono regular (6 lados)Fonte: Software GeoGebra
Com as ferramentas relativas à ‘pontos’ (FIGURA 6) é possível representar
um novo ponto livre ou pertencente a algum objeto matemático, como uma função ou
um segmento. Também é possível produzir um ponto de intersecção ou um ponto
médio entre dois objetos, e até mesmo determinar o centro de um objeto. (OBS:
Verifique que a segunda janela da barra de ferramentas está selecionada, ou seja,
margeada com a cor azul).
Figura 6 – Ferramenta ‘ponto’Fonte: Software GeoGebra
A primeira ferramenta denominada ‘seta’ é utilizada para arrastar um objeto
selecionado, girar em torno de um ponto ou gravar para a planilha de cálculos
(FIGURA 7).
Figura 7 – Mover objetosFonte: Software GeoGebra
Com o terceiro botão da barra de ferramentas (FIGURA 8), é possível
construir retas que passam por dois pontos, segmento de reta definido por dois
pontos, segmento com comprimento fixo, semi-reta definida por dois pontos, vetor
definido por dois pontos e vetor a partir de um ponto.
Figura 8 – RetasFonte: Software GeoGebra
A ferramenta ‘perpendicular’ (FIGURA 9), permite a construção de retas
perpendiculares, paralelas, mediatriz, bissetriz, tangentes, reta polar, reta de
regressão linear e lugar geométrico.
Figura 9 – Tipos de retasFonte: Software GeoGebra
Polígonos regulares e irregulares são facilmente construídos usando-se o
botão ‘polígono’ (FIGURA 10).
Figura 10 – PolígonosFonte: Software GeoGebra
Com o botão ‘círculo’ (FIGURA 11), pode-se fazer círculo definido pelo centro
e um de seus pontos, círculo dados centro e raio, compasso, círculo definido por três
pontos, semicírculo definido por dois pontos, arco circular dados o centro e dois
pontos, arco circular dados três pontos, setor circular dados centro e dois pontos
setor circular dados três pontos.
Figura 11 – CírculosFonte: Software GeoGebra
A construção da hipérbole, da elipse, da parábola e da cônica passando por
cinco pontos, é realizada usando-se a ferramenta ‘cônicas’ (FIGURA 12).
Figura 12 – CônicasFonte: Software GeoGebra
Com o oitavo botão da barra de ferramentas ‘ângulos’ (FIGURA 13), pode-se
verificar os ângulos formados por duas retas, como os agudos, os ângulos com
amplitude fixa, distância entre dois pontos, comprimento de segmentos ou perímetro
de polígonos, área de polígonos e inclinação da reta em relação ao eixo x do plano
cartesiano.
Figura 13 – ÂngulosFonte: Software GeoGebra
A próxima ferramenta (FIGURA 14) permite fazer a reflexão com relação a
uma reta, reflexão com relação a um ponto, inversão, girar em torno de um ponto por
um ângulo, transladar objeto por um vetor, ampliar ou reduzir objeto dados centros e
fator da homotetia.
Figura 14 – ReflexãoFonte: Software GeoGebra
Para dar movimento às construções, exibir ou esconder objetos criados como
pontos, retas, polígonos, etc., inserir um texto ou uma imagem na janela de álgebra e
fazer a relação entre dois objetos, utiliza-se a ferramenta ‘seletor’ (FIGURA 15).
Figura 15 – SeletorFonte: Software GeoGebra
A última ferramenta da barra é a ‘deslocar eixos’ (FIGURA 16), que além de
deslocar os eixos das coordenadas cartesianas, também reduz e amplia os
desenhos feitos na malha, exibe e esconde objetos criados e também possui a
função borracha, que apaga os desenhos feitos.
Figura 16 – Deslocar eixosFonte: Software GeoGebra
