figura ao lado. A B Solução: L MA B - profwillian.com · Resistência dos Materiais Engenharia Civil – UNIDERP Linha Elástica 2 2- Encontre a equação da linha elástica para

Resistência dos Materiais Engenharia Civil – UNIDERP

Linha Elástica 1 www.profwillian.com

1- Encontre a equação da linha elástica para a

viga engastada com carga concentrada vista na

figura ao lado.

Solução:

P

L

A B

L

A B

x

VA

MA

y

P

Cálculo das reações de apoio:

LPM0LPM0M

PV0PV0V

AA

AA

Equação dos momentos fletores:

Lx0LxP)x(MMxV)x(M AA

Equação diferencial da linha elástica:

Lx0LxP)x(''EIy

Integrando uma vez:

Lx0C

2

LxP)x('EIy 1

2

Integrando Mais uma vez:

Lx0CxC

6

LxP)x(EIy 21

3

Condições de contorno:

6

LPC0y(0)

2

LPC0(0)y'

3

2

2

1

Portanto a equação da linha elástica fica assim:

Lx0xL3EI6

xP)x(y

ou

Lx06

LPx

2

LP

6

LxP)x(EIy

2

323

e a flecha máxima, max, na extremidade livre (B) é:

EI3

LPL2

EI6

LPLL3

EI6

LP)L(y

322

max

EI3

LP 3

max




viga engastada com carga distribuída

triangular vista na figura ao lado.

Solução:

q0

L

A B

x

VA

MA

y

q0

L

A B


3

LqM0

3

L2)

2

Lq(M0M

2

LqV0)

2

Lq(V0V

2

0

A

0

A

0

A

0

A


Lx0L6

xqMxV

3

x

L2

xqMxV)x(M

3

0AA

2

0AA


Lx0L6

xqMxV)x(''EIy

3

0AA

Integrando uma vez:

Lx0CL24

xqxM

2

xV)x('EIy 1

4

0A

2

A


Lx0CxCL120

xq

2

xM

6

xV)x(EIy 21

5

0

2

A

3

A


0C0y(0)

0C0(0)y'

2

1


Lx0L20xL10xEIL120

xq)x(y

Lx0L120

xq

2

x

3

Lq

6

x

2

Lq)x(EIy

ouL120

xq

2

xM

6

xV)x(EIy

323

2

0

5

0

22

0

3

0

5

02

A

3

A


32

03232

0

max L11EIL120

LqL20LL10L

EIL120

Lq)L(y

EI120

Lq11 4

0max




viga engastada com carga distribuída triangular

vista na figura ao lado.

Solução: q0

L

A B

x

y

q0

L

A B

Equação dos momentos fletores (origem dos eixos em A):

Lx0L6

xq

3

x

L2

xq

3

x

2

L

xq)x(

)x(M3

0

2

0

0


Lx0L6

xq)x(''EIy

3

0

Integrando uma vez:

Lx0CL24

xq)x('EIy 1

4

0


Lx0CxCL120

xq)x(EIy 21

5

0


30

LqC0y(L)

24

LqC0(L)y'

4

02

3

01


Lx0L4xL5xEIL120

q)x(y

ou30

Lqx

24

Lq

L120

xq)x(EIy

5450

4

0

3

0

5

0

e a flecha máxima, max, e declividade máxima, max, na extremidade livre (A) é:

EI24

Lq

EIL24

0q)0('y

LEIL30

qL4

EIL120

qL40L50

EIL120

q)0(y

3

0

4

0

max

50505450

max

EI30

Lq 4

0max

EI24

Lq 3

0max




viga biapoiada com carga distribuída retangular

vista na figura ao lado.

Solução:

q

L

B A

x

VA

y

VB

q

L

B A


2

LqV0LqVV0V

2

LqV0

2

L)qL(LV0M

ABA

BB


Lx02

xqx

2

Lq)x(M

2


Lx0xLx2

q)x(''EIy 2

Integrando uma vez:

Lx0C3

x

2

Lx

2

q)x('EIy 1

32


Lx0CxC12

x

6

Lx

2

q)x(EIy 21

43


24

qLC0LC

12

L

6

L

2

q0y(L)

0C0y(0)

3

11

44

2


Lx0xLx2LEI24

qx)x(y

Lx0x24

qL

12

x

6

Lx

2

q)x(EIy

323

343

e a flecha máxima, max, no centro do vão L é:

EI384

qL52/L2/LL2L

EI24

2/Lq2/Ly

4323

max

EI384

qL5 4

max




viga biapoiada com carga concentrada vista na

figura ao lado.

Solução: Reações de apoio:

L

PaV0PVV0F

L

)aL(PV0)aL(PLV0M

BBAy

AA)B(z

P

L

B

a

As equações de momentos fletores são:

Lxa)ax(PxL

)aL(P)x(M

ax0xL

)aL(P)x(M

2

1

Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):

Lxa)ax(PxL

)aL(P)x(''yEI

ax0xL

)aL(P)x(''yEI

2

1

E, assim, resolvê-las através de duas integrações.

Primeira integração:

LxaC2

)ax(P

2

x

L

)aL(P)x('yEI

ax0C2

x

L

)aL(P)x('yEI

2

22

2

1

2

1

Segunda integração:

LxaCxC6

)ax(P

6

x

L

)aL(P)x(yEI

ax0CxC6

x

L

)aL(P)x(yEI

42

33

2

31

3

1

As condições de contorno para a viga são:

3

12

2

33

22

43311

4321

2121

)aL(L6

P)aL(

6

PLCC

0LC6

)aL(P

6

L

L

)aL(P)L(yEI0)L(y

0CC0C)0(yEI0)0(y

CC)a(y)a(y

CC)a('y)a('y

A linha elástica é:

Lxax)aL(L6

P)aL(

6

PL

6

)ax(P

6

x

L

)aL(P)x(yEI

ax0x)aL(L6

P)aL(

6

PL

6

x

L

)aL(P)x(yEI

333

2

33

1




viga engastada com carga distribuída

retangular vista na figura ao lado

Solução:

L

A B

q

L

A B

x

VA

MA

y

q


2

qLM0

2

LLqM0M

LqV0LqV0V

2

AA

AA


Lx02

qx

2

qLqLx)x(M

2

qxMxV)x(M

222

AA


Lx0qLx2

qL

2

qx)x(''EIy

22

Integrando uma vez:

Lx0C2

qLx

2

xqL

6

qx)x('EIy 1

223

Integrando mais uma vez:

Lx0CxC6

qLx

4

xqL

24

qx)x(EIy 21

3224


0C0y(0)

0C0(0)y'

2

1


Lx06

qLx

4

xqL

24

qx)x(EIy

3224


EI8

qL

EI

6

LqL

4

LqL

24

qL

)L(y4

3224

max

EI8

qL4

max



7- Calcule o máximo deslocamento entre A e B da viga biapoiada com balanços,

feita de madeira (E=12,5 GPa) com seção transversal retangular vista ao lado da

mesma:

B A

3 kN

6,0 m

12 cm

30 cm

2,0 m

C

3 kN

2,0 m

D

246

4443

26

mkN3375107,2105,12IE

m00027,0cm27000cm12

3012I

m/kN105,12MPa12500GPa5,12E

Solução:

Vamos calcular as reações de apoio:

kN3V033VV0F

kN3V023836V0M

BBAy

AA)B(z

Vamos encontrar as equações de momento fletor:

m10x8)8x(3)2x(3x3)8x(V)2x(Vx3M

m8x2)2x(3x3)2x(Vx3M

m2x0x3M

BA3

A2

1


m10x8)8x(3)2x(3x3)x(''yIE

m8x2)2x(3x3)x(''yIE

m2x0x3)x(''yIE

3

2

1



m10x8C2

)8x(3

2

)2x(3

2

x3)x('yIE

m8x2C2

)2x(3

2

x3)x('yIE

m2x0C2

x3)x('yIE

3

222

2

2

22

2

1

2

1


m10x8CxC6

)8x(3

6

)2x(3

6

x3)x(yIE

m8x2CxC6

)2x(3

6

x3)x(yIE

m2x0CxC6

x3)x(yIE

63

333

2

52

33

2

41

3

1




44CCC44C

24CCC24C

04C2C82

6

2

804C28C

2

6

2

8

0C8C6

)28(3

6

83)8(yIE0)8(y

4C2C0C2C6

23)2(yIE0)2(y

CC)8(y)8(y

CC)8('y)8('y

CC)2(y)2(y

CC)2('y)2('y

6544

3212

22

33

12

33

52

33

2

1441

3

1

6521

3232

5421

2121

Então:

m10x844x246

)8x(3

6

)2x(3

6

x3)x(yIE

m8x244x246

)2x(3

6

x3)x(yIE

m2x044x246

x3)x(yIE

333

2

33

2

3

1

O deslocamento entre A e B (centro, x=5m) é:

m008,03375

27

IE

27)5(y2744524

6

)25(3

6

53)5(yIE 2

33

2

Resposta: O deslocamento entre A e B é de 8 mm para cima.

8- Encontre a equação da linha elástica para a viga biapoiada e carga concentrada,

conforme mostra a figura abaixo. Encontre, também, o deslocamento vertical em C.

Considere as seções transversais de inércia EJ=250 kN.m2 constante ao longo de todo

o comprimento da viga.

B A

1 kN

1 m 1 m

C

1 m

Solução: Vamos calcular as reações de apoio:

kN5,0V01VV0F

kN5,0V0112V0M

BBAy

AA)B(z


m3x2)2x(5,0)1x(1x5,0M

m2x1)1x(1x5,0M

m1x0x5,0M

3

2

1




m3x2)2x(5,0)1x(1x5,0)x(''yIE

m2x1)1x(1x5,0)x(''yIE

m1x0x5,0)x(''yIE

3

2

1



m3x2C)2x(25,0)1x(5,0x25,0)x('yIE

m2x1C)1x(5,0x25,0)x('yIE

m1x0Cx25,0)x('yIE

3

222

3

2

22

2

1

2

1


m3x2CxC)2x(3

25,0)1x(

3

5,0

3

x25,0)x(yIE

m2x1CxC)1x(3

5,0

3

x25,0)x(yIE

m1x0CxC3

x25,0)x(yIE

63

333

3

52

33

2

41

3

1


6521

3232

5421

2121

CC)2(y)2(y

CC)2('y)2('y

CC)1(y)1(y

CC)1('y)1('y

25,0C25,0C25,0C0CC25,0

0C2C)12(3

5,0

3

225,0)2(yIE0)2(y

0C0C0C0)1(y

31252

52

33

2

654

Então:

m3x2x25,0)2x(3

25,0)1x(

3

5,0

3

x25,0)x(yIE

m2x1x25,0)1x(3

5,0

3

x25,0)x(yIE

m1x0x25,03

x25,0)x(yIE

333

3

33

2

3

1

O deslocamento em C (x=3m) é:

m001,0250

25,0

IE

25,0)3(y

325,0)23(3

25,0)13(

3

5,0

3

325,0)3(yIE

3

333

3

Resposta: O deslocamento em C é de 1 mm para cima.



9- Calcule o deslocamento vertical em C após encontrar a equação da linha elástica

para a viga biapoiada e carga concentrada, conforme mostra a figura abaixo.

Considere as seções transversais de inércia EI=2500 kN.m2 constante ao longo de

todo o comprimento da viga.

B A

2 kN

2 m 1 m

C

2 m

D

Solução:


kN2

5V02VV0F

kN2

1V0124V0M

BBAy

AA)B(z

B A

2 kN

2 m 1 m

C

2 m

VA VB Vamos encontrar as equações de momento fletor (o eixo x inicia-se em A):

m5x4)4x(2

5x

2

1)x(M

m4x0x2

1)x(M

2

1


m5x4)4x(2

5x

2

1)x(''yEI

m4x0x2

1)x(''yEI

2

1



m5x4C4

)4x(5

4

x)x('yEI

m4x0C4

x)x('yEI

2

22

2

1

2

1


m5x4CxC12

)4x(5

12

x)x(yEI

m4x0CxC12

x)x(yEI

42

33

2

31

3

1


4321

2121

CC)4(y)4(y

CC)4('y)4('y

3

4C04C

12

4)4(yEI0)4(y

0C0C0)0(y

11

3

11

431



Então:

m5x4x3

4

12

)4x(5

12

x)x(yEI

m4x0x3

4

12

x)x(yEI

33

2

3

1

O deslocamento em C (x = 2 m) é:

m0008,02500

2

EI

2)2(y

223

4

12

2)2(yEI

1

3

1

Resposta: O deslocamento em C é de 0,8 mm para cima.



10- Encontre a equação da linha elástica para a viga biapoiada com carga

concentrada, conforme mostra a figura abaixo. Encontre, também, o maior

deslocamento vertical entre A e B. Considere a inércia à flexão EI=250 kN.m2

constante ao longo de todo o comprimento da viga.

B A

2 kN

1 m 1 m

Solução:


kN1V02VV0F

kN1V0122V0M

BBAy

AA)B(z


m2x1)1x(2x1M

m1x0x1M

2

1


m2x1)1x(2x)x(''yIE

m1x0x)x(''yIE

2

1



m2x1C2

)1x(2

2

x)x('yIE

m1x0C2

x)x('yIE

2

22

2

1

2

1


m2x1CxC6

)1x(2

6

x)x(yIE

m1x0CxC6

x)x(yIE

42

33

2

31

3

1


4321

2121

CC)1(y)1(y

CC)1('y)1('y

2

1C

2

1C02C

6

)12(2

6

2)2(yIE0)2(y

0C0C0)0(y

122

33

2

43

Então:

m2x12

x

3

)1x(

6

x)x(yIE

m1x02

x

6

x)x(yIE

33

2

3

1

O deslocamento vertical máximo logo abaixo da força, ou seja, em x = 1 m é:

m00133,0750

1

2503

1

IE3

1)1(y

3

1

2

1

6

1)1(yIE 1

3

1

Resposta: O deslocamento máximo é de 1,33 mm.



11- Encontre a linha elástica e o deslocamento em C da viga biapoiada com balanço

(EI=constante) vista abaixo:

Solução:

Solução:


2

P3V0PVV0F

2

PV0aPa2V0M

BBAy

AA)B(z


a3xa2)a2x(2

P3x

2

P)x(M

a2x0x2

P)x(M

2

1


a3xa2)a2x(2

P3x

2

P)x(''vEI

a2x0x2

P)x(''vEI

2

1



a3xa2C2

)a2x(

2

P3

2

x

2

P)x('vEI

a2x0C2

x

2

P)x('vEI

2

22

2

1

2

1


a3xa2CxC6

)a2x(

2

P3

6

x

2

P)x(vEI

a2x0CxC6

x

2

P)x(vEI

42

33

2

31

3

1


4321

2121

CC)a2(v)a2(v

CC)a2('v)a2('v

3

PaC

3

PaC0)a2(C

3

Pa2

0)a2(C6

)a2(

2

P)a2(vEI0)a2(v

0C0C0)0(v

2

2

2

11

3

1

3

1

431



Então:

a3xa2x3

Pa)a2x(

4

P

12

Px)x(vEI

a2x0x3

Pa

12

Px)x(vEI

23

3

2

23

1

O deslocamento em C (x=3a) é:

EI

Pa)a3(v

Pa123312

Paa3

3

Pa)a2a3(

4

P

12

)a3(P)a3(vEI

3

2

3332

33

2

Resposta: O deslocamento em C é EI

Pa3



12- A viga de madeira está submetida à carga mostrada. Determinar a equação da

linha elástica. Supondo Emad = 12 GPa, determinar também a deflexão e a inclinação

na extremidade B.

Solução:

Vamos encontrar as equações de momento fletor (adotando a origem do eixo x em B):

m6x32

)3x(2)5,1x(4x6)x(M

m3x5,1)5,1x(4x6)x(M

m5,1x0x6)x(M

2

3

2

1


m6x3)3x()5,1x(4x6)x(''yIE

m3x5,1)5,1x(4x6)x(''yIE

m5,1x0x6)x(''yIE

2

3

2

1



m6x3C3

)3x()5,1x(2x3)x('yIE

m3x5,1C)5,1x(2x3)x('yIE

m5,1x0Cx3)x('yIE

3

322

3

2

22

2

1

2

1


m6x3CxC12

)3x(

3

)5,1x(2x)x(yIE

m3x5,1CxC3

)5,1x(2x)x(yIE

m5,1x0CxCx)x(yIE

63

433

3

52

33

2

41

3

1


6532

3232

5421

2121

CC)3(y)3(y

CC)3('y)3('y

CC)5,1(y)5,1(y

CC)5,1('y)5,1('y



5,661CCC

5,157CCC

5,661C0C65,15712

)36(

3

)5,16(26)6('yIE0)6(y

5,157C0C3

)36()5,16(263)6('yIE0)6('y

654

321

66

433

3

33

322

3

Então, as inclinações são:

m6x35,1573

)3x()5,1x(2x3)x('yIE

m3x5,15,157)5,1x(2x3)x('yIE

m5,1x05,157x3)x('yIE

322

3

22

2

2

1

E as deflexões são:

m6x35,661x5,15712

)3x(

3

)5,1x(2x)x(yIE

m3x5,15,661x5,1573

)5,1x(2x)x(yIE

m5,1x05,661x5,157x)x(yIE

433

3

33

2

3

1

A rigidez EI é:

236

43493

2

6

2

m.kN12800100667,110×12EI

m100667,1mm100667,112

400200I

m

kN 10×12 =

mm

kN 12 = GPa 12 = E

A inclinação em B é:

o

B1

2

1

705,0rad0123,012800

5,157)0('y

5,1575,15703)0('yIE

O deslocamento máximo (em B) é:

mm6,51m0516,012800

5,661y0y

5,6615,66105,15700yIE

max1

3

1

Resposta: A deflexão e a inclinação na extremidade B são, respectivamente, B = –0,705o e

yB = 51,6 mm.

51,6 mm

–0,705o



13- Após determinar a equação da linha elástica da viga abaixo, especificar quantas

vezes a deflexão máxima é maior que a deflexão no centro do vão L (distância entre

A e B). Considerar EI constante e, também, a = L/4.

Solução:

Reações de apoio:

L

PaV0PVV0F

L

)aL(PV0)aL(PLV0M

BBAy

AA)B(z


Lxa)ax(PxL

)aL(P)x(M

ax0xL

)aL(P)x(M

2

1


Lxa)ax(PxL

)aL(P)x(''yEI

ax0xL

)aL(P)x(''yEI

2

1



LxaC2

)ax(P

2

x

L

)aL(P)x('yEI

ax0C2

x

L

)aL(P)x('yEI

2

22

2

1

2

1


LxaCxC6

)ax(P

6

x

L

)aL(P)x(yEI

ax0CxC6

x

L

)aL(P)x(yEI

42

33

2

31

3

1




3

12

2

33

22

43311

4321

2121

)aL(L6

P)aL(

6

PLCC

0LC6

)aL(P

6

L

L

)aL(P)L(yEI0)L(y

0CC0C)0(yEI0)0(y

CC)a(y)a(y

CC)a('y)a('y

E a deflexão no centro é:

22

2/L

2

33

2

a4L3EI48

Pay

2

LC

6

)a2

L(

P2

L

L6

)aL(P

2

LyEI

Ou, com a = L/4

4

11

EI484

PL

4

13

EI484

PL

16

L4L3

EI484

PL)4/L(4L3

EI48

)4/L(Py

332222

2/L

EI768

PL11y

3

2/L

E a deflexão máxima ocorre onde y2’(x)=0, ou seja:

0)aL(L6

P)aL(

6

PL

2

)ax(P

2

x

L

)aL(P)x('yEI 3

22

2

com a = L/4

L

4

54x

Assim:

3

2 PL768

55L

4

54yEI

EI768

PL55y

3

max

Então:

0164,111

55

EI768

PL11

EI768

PL55

y

y3

3

2/L

max

Resposta: A deflexão máxima é apenas 1,64% maior que a deflexão no centro.



14- Encontre a deflexão em C na viga biapoiada de aço vista na figura abaixo.

Considere as seções transversais de inércia constante EI constante ao longo de todo o

comprimento, 2a, da viga.

Adotando o eixo x iniciando-se em A, as equações de momentos fletores para a viga acima são:

a2xa2

axawxaw

4

3)x(M

ax02

xwxaw

4

3)x(M

2

2

1

Solução:

E as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho) são:

a2xa2

axawxaw

4

3)x(''yEI

ax02

xwxaw

4

3)x(''yEI

2

2

1



a2xaC2

ax

2

aw

2

xaw

4

3)x('yEI

ax0C6

xw

2

xaw

4

3)x('yEI

2

22

2

1

32

1


a2xaCxC2

ax

6

aw

6

xaw

4

3)x(yEI

ax0CxC24

xw

6

xaw

4

3)x(yEI

42

33

2

31

43

1


0)a2(y0)0(yayaya'ya'y 212121

Resolvendo, as constantes são:

24

waC;0C;wa

48

17C;wa

16

3C

4

43

3

2

3

1

O deslocamento em C ocorre em x=a:

4343

C1

343

1

wa48

5awa

16

3

24

aw

6

aaw

4

3EI)a(yEI

xwa16

3

24

xw

6

xaw

4

3)x(yEI

Assim:

EI48

aw5 4

C



15- Encontre a deflexão em C da extremidade direita (seção abaixo da carga de 20

kN) da viga de aço A-36 (E=200 GPa) biapoiada com balanços vista na figura abaixo.

Considere as seções transversais de inércia constante EI ao longo de todo o

comprimento da viga. Adote o momento de inércia da seção transversal da viga

I = 3628,125 cm4.

Equação diferencial da linha elástica (origem do eixo x na extremidade esquerda):

m0,6x5,4120x20)x(''EIy

m5,4x5,1875,4x75,7)x(''EIy

m5,1x0,0x3)x(''EIy

3

2

2

1

Integrando uma vez:

3

2

3

2

2

2

1

3

1

Cx120x10)x('EIy

Cx875,4x875,3)x('EIy

Cx)x('EIy

Solução:


segunda integração:

63

23

3

52

23

2

41

4

1

CxC2

x120

3

x10)x(EIy

CxC2

x875,4

3

x875,3)x(EIy

CxC4

x)x(EIy


0)5,4(y0)5,1(y

5,4y5,4y5,4'y5,4'y

5,1y5,1y5,1'y5,1'y

21

3232

2121

2

48

2

8

m.kN25,7256EI

m10125,3628m

kN102EI


457,3125C35,859375;C36,421875;C

;304,125C;23,15625C;25,125C

654

321

O deslocamento na extremidade direita ocorre em x = 6 m:

25,7256

5625,725625,723125,457)6(304,125

2

6120

3

610EI)6(yEI

3125,457x304,1252

x120

3

x10)x(EIy

C

23

C3

23

3

Assim:

m01,0C



16- A haste compõe-se de dois eixos para os quais o momento de inércia de AB é I e

de BC é 2I. Determinar a deflexão máxima da haste devido ao carregamento. O

módulo de elasticidade do material da haste é E.

P


Lx2

LxP)x(M

2

Lx0xP)x(M

2

1


2

Ly

2

Ly

2

L'y

2

L'y

0)L(y

0)L('y

21

21

2

2

Solução:

E as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho) são:

Lx2

LxP)x(''yEI2

2

Lx0xP)x(''yEI

2

1

E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:

Lx2

LC

2

x

2

P)x('yEI

2

Lx0C

2

xP)x('yEI

2

2

2

1

2

1


Lx2

LCxC

6

x

2

P)x(yEI

2

Lx0CxC

6

xP)x(yEI

42

3

2

31

3

1


6

PLC;

16

PL3C;

4

PLC;

16

PL5C

3

4

3

3

2

2

2

1

A deflexão máxima, A, ocorre na extremidade do balanço em x = 0:

16

PL3

16

PL30

16

PL5

6

0PEI)0(yEI

16

PL3x

16

PL5

6

xP)x(yEI

2223

A1

223

1

Assim:

EI16

PL3 2

A



17- A haste compõe-se de dois eixos para os quais o momento de inércia de AB é I e

de BC é 3I. Determinar a deflexão máxima da haste devido ao carregamento. O

módulo de elasticidade é E.

P

Solução:


Lx2

L)

2

Lx(P)x(M

2

Lx00)x(M

2

1


Lx2

L)

2

Lx(P)x(''yEI3

2

Lx00)x(''yEI

2

1



Lx2

LC

2

2

Lx

P)x('yEI3

2

Lx0C)x('yEI

2

2

2

11


Lx2

LCxC

6

2

Lx

P)x(yEI3

2

Lx0CxC)x(yEI

42

3

2

311


144

PL5C

2

Ly

2

Ly

24

PLC

2

L'y

2

L'y

48

PL5C0)L(y

8

PLC0)L('y

3

321

2

121

3

42

2

22

O deslocamento máximo (extremidade livre, x = 0) é:

144

PL5y)0(y

144

PL5

96

PL50

24

PL)0(yEI

144

PL5x

24

PL)x(yEI

3

max1

332

1

32

1



18- Após determinar a equação da linha elástica da viga abaixo, especificar a

inclinação em A e a deflexão máxima. Considerar EI constante.

Solução:

Reações de apoio:

PV0PPVV0F

PV0Pa)aL(PLV0M

BBAy

AA)B(z


Lx)aL()aLx(P)ax(PPxM

)aL(xa)ax(PPxM

ax0PxM

3

2

1


Lx)aL()aLx(P)ax(PPx)x(''yIE

)aL(xa)ax(PPx)x(''yIE

ax0Px)x(''yIE

3

2

1




Lx)aL(CxC6

)aLx(P

6

)ax(P

6

xP)x(yIE

)aL(xaCxC6

)ax(P

6

xP)x(yIE

ax0CxC6

xP)x(yIE

63

333

3

52

33

2

41

3

1


6532

3232

5421

2121

CC)aL(y)aL(y

CC)aL('y)aL('y

CC)a(y)a(y

CC)a('y)a('y

Lx)aL(C2

)aLx(P

2

)ax(P

2

xP)x('yIE

)aL(xaC2

)ax(P

2

xP)x('yIE

ax0C2

xP)x('yIE

3

222

3

2

22

2

1

2

1



)aL(2

PaC)aL(

2

PaC

)aL(2

PaC

0LC6

)aLL(P

6

)aL(P

6

LP)L(yIE0)L(y

0C0C0CC)0(yIE0)0(y

21

3

3

333

3

65441

Então, as inclinações são:

Lx)aL()aL(2

Pa

2

)aLx(P

2

)ax(P

2

xP)x('yIE

)aL(xa)aL(2

Pa

2

)ax(P

2

xP)x('yIE

ax0)aL(2

Pa

2

xP)x('yIE

222

3

22

2

2

1

E as deflexões são:

Lx)aL(x)aL(2

Pa

6

)aLx(P

6

)ax(P

6

xP)x(yIE

)aL(xax)aL(2

Pa

6

)ax(P

6

xP)x(yIE

ax0x)aL(2

Pa

6

xP)x(yIE

333

3

33

2

3

1

A inclinação em A é:

)aL(2

Pa)aL(

2

Pa

2

0P)0('yIE

2

1

EI2

)aL(Pa)0('y A1

O deslocamento máximo (centro, x=L/2) é:

2

L)aL(

2

Paa

2

L

6

P

2

L

6

P

2

LyIE

33

2

)a4L3(EI24

Pay

2

Ly 22

max2



19- O eixo suporta as cargas das três polias mostradas. Determinar a deflexão em seu

centro e sua inclinação em A e B. Os mancais exercem apenas reações verticais sobre

ele e EI é constante.

2 Solução:

Reações de apoio:

P2VP2V BA

As equações de momento fletor são:

a4xa3)a3x(P2)a2x(P2)ax(P2Px)x(M

a3xa2)a2x(P2)ax(P2Px)x(M

a2xa)ax(P2Px)x(M

ax0Px)x(M

4

3

2

1


a4xa3)a3x(P2)a2x(P2)ax(P2Px)x(''EIy

a3xa2)a2x(P2)ax(P2Px)x(''EIy

a2xa)ax(P2Px)x(''EIy

ax0Px)x(''EIy

4

3

2

1


a4xa3C2

)a3x(P2

2

)a2x(P2

2

)ax(P2

2

xP)x('EIy

a3xa2C2

)a2x(P2

2

)ax(P2

2

xP)x('EIy

a2xaC2

)ax(P2

2

xP)x('EIy

ax0C2

xP)x('EIy

4

2222

4

3

222

3

2

22

2

1

2

1


a4xa3CxC6

)a3x(P2

6

)a2x(P2

6

)ax(P2

6

xP)x(EIy

a3xa2CxC6

)a2x(P2

6

)ax(P2

6

xP)x(EIy

a2xaCxC6

)ax(P2

6

xP)x(EIy

ax0CxC6

xP)x(EIy

84

3333

4

73

333

3

62

33

2

51

3

1




8743

4343

7632

3232

6521

2121

CC)a3(y)a3(y

CC)a3('y)a3('y

CC)a2(y)a2(y

CC)a2('y)a2('y

CC)a(y)a(y

CC)a('y)a('y

0Ca3C6

)a2a3(P2

6

)aa3(P2

6

)a3(P)a3(EIy

0CaC6

aP)a(EIy

73

333

3

51

3

1

das duas últimas equações (fazendo C1=C3 e C5=C7) vem que:

3

8765

2

4321

a6

P5CCCC

PaCCCC

A deflexão no centro (centro, x=2a) é:

3233

2 a6

P5a2Pa

6

)aa2(P2

6

)a2(P)a2(EIy

EI6

Pay)a2(y

3

a22

As inclinações em A e B são:

A1

22

1 )a('yPa2

aP)a('EIy

EI2

aP 2

A

B33

222

3 )a3('yC2

)a2a3(P2

2

)aa3(P2

2

)a3(P)a3('EIy

EI2

aP 2

B

20- O eixo suporta as cargas das duas polias mostradas. Determinar a deflexão na

extremidade livre. Os mancais exercem apenas reações verticais sobre ele e a rigidez

EI é constante.

5P P Solução:

Reações de apoio:

P2VP4V BA

As equações de momento fletor são:



a3xa2)a2x(P4)ax(VPx)x(M

a2xa)ax(VPx)x(M

ax0Px)x(M

A3

A2

1


a3xa2)a2x(P4)ax(VPx)x(''EIy

a2xa)ax(VPx)x(''EIy

ax0Px)x(''EIy

A3

A2

1


a3xa2C2

)a2x(P4

2

)ax(V

2

xP)x('EIy

a2xaC2

)ax(V

2

xP)x('EIy

ax0C2

xP)x('EIy

3

22

A

2

3

2

2

A

2

2

1

2

1


a3xa2CxC6

)a2x(P4

6

)ax(V

6

xP)x(EIy

a2xaCxC6

)ax(V

6

xP)x(EIy

ax0CxC6

xP)x(EIy

63

33

A

3

3

52

3

A

3

2

41

3

1


6532

3232

5421

2121

CC)a2(y)a2(y

CC)a2('y)a2('y

CC)a(y)a(y

CC)a('y)a('y

0Ca3C6

)a2a3(P5

6

)aa3(P4

6

)a3(P)a3(EIy

0CaC6

aP)a(EIy

63

333

3

41

3

1

das duas últimas equações (fazendo C1=C3 e C4=C6) vem que:

3

654

2

321

a4

PCCC

a12

PCCC

A deflexão na extremidade (x = 0) é:

4

Pa)0(y

4

Pa0

12

Pa0

6

P)0(EIy

4

Pax

12

Pax

6

P)x(EIy

3

.ext1

323

1

323

1

Resposta: A deflexão na extremidade livre é –Pa3/4.

Documents

figura ao lado. A B Solução: L MA B - profwillian.com · Resistência dos Materiais Engenharia Civil – UNIDERP Linha Elástica 2 2- Encontre a equação da linha elástica para