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Figuras geomtricasS

e olhar ao seu redor, voc ver que os objetos tm forma, tamanho e outras caractersticas prprias. As figuras geomtricas foram criadas a partir da observao das formas existentes na natureza e dos objetos produzidos pelo homem.

Introduo

Nesta aula voc vai conhecer ou recordar os diversos tipos de figuras geomtricas. Todos os objetos, mesmo os mais complexos, podem ser associados a um conjunto de figuras geomtricas. Voc ter mais facilidade para ler e interpretar desenhos tcnicos mecnicos se for capaz de relacionar objetos e peas da rea da Mecnica s figuras geomtricas.

Nossa aula

Figuras geomtricas elementaresPonto Pressione seu lpis contra uma folha de papel. Observe a marca deixada pelo lpis: ela representa um ponto. Olhe para o cu, numa noite sem nuvens: cada estrela pode ser associada a um ponto. O ponto a figura geomtrica mais simples. No tem dimenso, isto , no tem comprimento, nem largura, nem altura.

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No desenho, o ponto determinado pelo cruzamento de duas linhas. Para identific-lo, usamos letras maisculas do alfabeto latino, como mostram os exemplos:

A

B

C

L-se: ponto A, ponto B e ponto C.

Linha Podemos ter uma idia do que linha, observando os fios que unem os postes de eletricidade ou o trao que resulta do movimento da ponta de um lpis sobre uma folha de papel. A linha tem uma nica dimenso: o comprimento. Voc pode imaginar a linha como um conjunto infinito de pontos dispostos sucessivamente. O deslocamento de um ponto tambm gera uma linha. Linha reta ou reta Para se ter a idia de linha reta, observe um fio bem esticado. A reta ilimitada, isto , no tem incio nem fim. As retas so identificadas por letras minsculas do alfabeto latino. Veja a representao da uma reta r :rv v

Semi-reta Tomando um ponto qualquer de uma reta, dividimos a reta em duas partes, chamadas semi-retas. A semi-reta sempre tem um ponto de origem, mas no tem fim.A

O ponto A d origem a duas semi-retas.

s

v

v

Av

Av

Segmento de reta Tomando dois pontos distintos sobre uma reta, obtemos um pedao limitado de reta. A esse pedao de reta, limitado por dois pontos, chamamos segmento reta. de reta Os pontos que limitam o segmento de reta so chamados de extremidades. des No exemplo a seguir temos o segmento de reta CD, que representado da seguinte maneira: CD.Cv

D

t

Os pontos C e D (extremidades) determinam o segmento de reta CD.

v

Plano Podemos ter uma idia do que o plano observando uma parede ou o tampo de uma mesa. Voc pode imaginar o plano como sendo formado por um conjunto de retas dispostas sucessivamente numa mesma direo ou como o resultado do deslocamento de uma reta numa mesma direo. O plano ilimitado, isto , no tem comeo nem fim. Apesar disso, no desenho, costuma-se represent-lo delimitado por linhas fechadas:

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Para identificar o plano usamos letras gregas o caso das letras: a (alfa), gregas. b (beta) e g (gama), que voc pode ver nos planos representados na figura acima. O plano tem duas dimenses, normalmente chamadas comprimento e largura. Se tomamos uma reta qualquer de um plano, dividimos o plano em duas partes, chamadas semiplanos semiplanos.

Posies da reta e do plano no espaoA geometria, ramo da Matemtica que estuda as figuras geomtricas, preocupa-se tambm com a posio que os objetos ocupam no espao. A reta e o plano podem estar em posio vertical, horizontal ou inclinada. Um tronco boiando sobre a superfcie de um lago nos d a idia de uma reta horizontal. O pedreiro usa o prumo para verificar a verticalidade das paredes. O fio do prumo nos d a idia de reta vertical. Um plano vertical quando tem pelo menos uma reta vertical; horizontal quando todas as suas retas so horizontais. Quando no horizontal nem vertical, o plano inclinado. Veja as posies da reta e do plano.

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Figuras geomtricas planasUma figura qualquer plana quando todos os seus pontos situam-se no mesmo plano. A seguir voc vai recordar as principais figuras planas. Algumas delas voc ter de identificar pelo nome, pois so formas que voc encontrar com muita freqncia em desenhos mecnicos. Observe a representao de algumas figuras planas de grande interesse para nosso estudo:

'

'

As figuras planas com trs ou mais lados so chamadas polgonos.

Slidos geomtricosVoc j sabe que todos os pontos de uma figura plana localizam-se no mesmo plano. Quando uma figura geomtrica tem pontos situados em diferentes planos, temos um slido geomtrico geomtrico. Analisando a ilustrao abaixo, voc entender bem a diferena entre uma figura plana e um slido geomtrico.

Os slidos geomtricos tm trs dimenses comprimento, largura e altura. dimenses: Embora existam infinitos slidos geomtricos, apenas alguns, que apresentam determinadas propriedades, so estudados pela geometria. Os slidos que voc estudar neste curso tm relao com as figuras geomtricas planas mostradas anteriormente. Os slidos geomtricos so separados do resto do espao por superfcies que os limitam. E essas superfcies podem ser planas ou curvas. Dentre os slidos geomtricos limitados por superfcies planas, estudaremos os prismas o cubo e as pirmides Dentre os slidos geomtricos limitados prismas, pirmides. por superfcies curvas, estudaremos o cilindro o cone e a esfera que so cilindro, esfera, tambm chamados de slidos de revoluo revoluo.

muito importante que voc conhea bem os principais slidos geomtricos porque, por mais complicada que seja, a forma de uma pea sempre vai ser analisada como o resultado da combinao de slidos geomtricos ou de suas partes. Prismas O prisma um slido geomtrico limitado por polgonos. Voc pode imagin-lo como uma pilha de polgonos iguais muito prximos uns dos outros, como mostra a ilustrao:

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O prisma pode tambm ser imaginado como o resultado do deslocamento de um polgono. Ele constitudo de vrios elementos. Para quem lida com desenho tcnico muito importante conhec-los bem. Veja quais so eles nesta ilustrao:

Verificando o entendimentoAnalise o modelo de plstico n 31 ou, na falta dele, uma caixa de fsforos fechada. Compare com a ilustrao acima e responda: Quantas faces, arestas e vrtices tem esse prisma? ..................................................... faces. ..................................................... arestas. ..................................................... vrtices. As respostas corretas so: 6 faces (no desenho vemos apenas 3 faces; as outras 3 esto ocultas); 12 arestas (as linhas tracejadas, no desenho, representam as arestas que no podemos ver diretamente); 8 vrtices (os vrtices so os pontos em que as arestas se encontram).

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Note que a base desse prisma tem a forma de um retngulo Por isso ele retngulo. recebe o nome de prisma retangular retangular. Dependendo do polgono que forma sua base, o prisma recebe uma denominao especfica. Por exemplo: o prisma que tem como base o tringulo, chamado prisma triangular triangular. Quando todas as faces do slido geomtrico so formadas por figuras geomtricas iguais, temos um slido geomtrico regular regular. O prisma que apresenta as seis faces formadas por quadrados iguais recebe o nome de cubo cubo. Pirmides A pirmide outro slido geomtrico limitado por polgonos. Voc pode imagin-la como um conjunto de polgonos semelhantes, dispostos uns sobre os outros, que diminuem de tamanho indefinidamente. Outra maneira de imaginar a formao de uma pirmide consiste em ligar todos os pontos de um polgono qualquer a um ponto P do espao. importante que voc conhea tambm os elementos da pirmide: O nome da pirmide depende do polgono que forma sua base. Na figura ao lado, temos uma pirmiquadrangular, de quadrangular pois sua base um quadrado. O nmero de faces da pirmide sempre igual ao nmero de lados do polgono que forma sua base mais um. Cada lado do polgono da base tambm uma aresta da pirmide. O nmero de arestas sempre igual ao nmero de lados do polgono da base vezes dois. O nmero de vrtices igual ao nmero de lados do polgono da base mais um. Os vrtices so formados pelo encontro de trs ou mais arestas. O vrtice principal o ponto de encontro das arestas laterais.

Verificando o entendimentoAgora a sua vez: resolva o exerccio seguinte. Analise a pirmide abaixo e responda:

a) Qual o nome do polgono que forma a base da pirmide? ................................................................................... b) Que nome recebe este tipo de pirmide? ................................................................................... c) Quantas faces tem esta pirmide? ................................................................................... d) Quantas arestas tem esta pirmide? ................................................................................... e) Quantos vrtices tem esta pirmide? ...................................................................................

Verifique se voc respondeu corretamente: a) O polgono da base um tringulo. triangular. tringulo b) Esta uma pirmide triangular c) Esta pirmide tem quatro faces. d) Esta pirmide tem seis arestas. e) Esta pirmide tem quatro vrtices. Quando a base da pirmide um tringulo equiltero e as faces laterais so formadas por tringulos equilteros, iguais aos da base, temos o slido geomtrico chamado tetraedro O tetraedro , portanto, um slido geomtrico regular tetraedro. regular, porque todas as suas faces so formadas por tringulos equilteros iguais.

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2Dica Tringulo equiltero a figura plana que tem trs ngulos internos iguais.

Slidos de revoluoAlguns slidos geomtricos, chamados slidos de revoluo podem ser revoluo, formados pela rotao de figuras planas em torno de um eixo. Rotao significa ao de rodar, dar uma volta completa. A figura plana que d origem ao slido de revoluo chama-se figura geradora A linha que gira ao redor do eixo formando geradora. a superfcie de revoluo chamada linha geratriz geratriz. O cilindro o cone e a esfera so os principais slidos de revoluo. cilindro, Cilindro O cilindro um slido geomtrico, limitado lateralmente por uma superfcie curva. Voc pode imaginar o cilindro como resultado da rotao de um retngulo ou de um quadrado em torno de um eixo que passa por um de seus lados. Veja a figura ao lado. No desenho, est representado apenas o contorno da superfcie cilndrica. A figura plana que forma asbases do cilindro o crculo Note que o encontro de crculo. cada base com a superfcie cilndrica forma as arestas. Cone O cone tambm um slido geomtrico limitado lateralmente por uma superfcie curva. A formao do cone pode ser imaginada pela rotao de um tringulo retngulo em torno de um eixo que passa por um dos seus catetos. A figura plana que forma a base do cone o crculo. O vrtice o ponto de encontro de todos os segmentos que partem do crculo. No desenho est representado apenas o contorno da superfcie cnica. O encontro da superfcie cnica com a base d origem a uma aresta.

Dica Tringulo retngulo o tringulo que apresenta um ngulo interno de 900.

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Esfera A esfera tambm um slido geomtrico limitado por uma superfcie curva chamada superfcie esfrica Podemos imaginar a formao da esfera a partir da esfrica. rotao de um semicrculo em torno de um eixo, que passa pelo seu dimetro. Veja os elementos da esfera na figura abaixo.

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O raio da esfera o segmento de reta que une o centro da esfera a qualquer um de seus pontos. Dimetro da esfera o segmento de reta que passa pelo centro da esfera unindo dois de seus pontos.

Slidos geomtricos truncadosQuando um slido geomtrico cortado por um plano, resultam novas figuras geomtricas: os slidos geomtricos truncados. Veja alguns exemplos de slidos truncados, com seus respectivos nomes:

Slidos geomtricos vazadosOs slidos geomtricos que apresentam partes ocas so chamados slidos vazados. geomtricos vazados As partes extradas dos slidos geomtricos, resultando na parte oca, em geral tambm correspondem aos slidos geomtricos que voc j conhece. Observe a figura, notando que, para obter o cilindro vazado com um furo quadrado, foi necessrio extrair um prisma quadrangular do cilindro original.

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Verificando o entendimentoResolva o exerccio a seguir: Analise o prisma quadrangular vazado ao lado e indique o nome do slido geomtrico extrado para dar lugar ao furo.

Nome do slido: ............................

O slido geomtrico extrado do prisma quadrangular para dar lugar ao furo um cilindro.

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Comparando slidos geomtricos e objetos da rea da MecnicaAs relaes entre as formas geomtricas e as formas de alguns objetos da rea da Mecnica so evidentes e imediatas. Voc pode comprovar esta afirmao analisando os exemplos a seguir.

Verificando o entendimentoTente voc mesmo descobrir outras associaes. Analise os objetos representados a seguir e escreva, nos espaos indicados, o nome do slido geomtrico ao qual cada objeto pode ser associado. a) pino a) ................................................................

b) chaveta woodruff

b) ................................................................

c) fixador

c) ................................................................

Verifique se voc respondeu corretamente: a) cilindro; b) cilindro truncado; c) tronco de prisma retangular, com furo cilndrico. H casos em que os objetos tm formas compostas ou apresentam vrios elementos. Nesses casos, para entender melhor como esses objetos se relacionam com os slidos geomtricos, necessrio decomp-los em partes mais simples. Analise cuidadosamente os prximos exemplos. Assim, voc aprender a enxergar formas geomtricas nos mais variados objetos. Examine este rebite de cabea redonda:

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Imaginando o rebite decomposto em partes mais simples, voc ver que ele formado por um cilindro e uma calota esfrica (esfera truncada).

Verificando o entendimentoAgora tente voc! Escreva os nomes das figuras geomtricas que formam o manpulo representado abaixo. a) ............................................................... b) ............................................................... c) ............................................................... d) ...............................................................

As respostas corretas so: a) esfera truncada; b) tronco de cone; c) cilindro; d) tronco de cilindro vazado por furo quadrado. Existe outro modo de relacionar peas e objetos com slidos geomtricos. Observe, na ilustrao abaixo, como a retirada de formas geomtricas de um modelo simples (bloco prismtico) da origem a outra forma mais complexa.

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Nos processos industriais o prisma retangular o ponto de partida para a obteno de um grande nmero de objetos e peas. Observe a figura abaixo. Trata-se de um prisma retangular com uma parte rebaixada que corresponde ao modelo de plstico n 1. Veja como foi obtido o rebaixo:

A prxima ilustrao mostra o desenho de um modelo que tambm deriva de um prisma retangular.

Verificando o entendimentoCom a prtica, voc conseguir imaginar a decomposio do prisma retangular em outros modelos prismticos, sem o auxlio do desenho das partes extradas. Faa uma tentativa! Imagine que este bloco com furo passante foi obtido a partir de um prisma retangular. Que slidos geomtricos correspondem s partes retiradas?

............................................................................... ............................................................................... ...............................................................................

Voc deve ter respondido que foram retirados 2 prismas truncados das laterais e, para formar o furo retangular, 1 prisma quadrangular.

Exerccio 1 Escreva o nome destes slidos geomtricos, nos espaos indicados.

Exerccios A U L A

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a) ....................................... b) ....................................... c) .......................................

Exerccio 2 Ligue cada slido geomtrico figura plana que lhe deu origem.

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Exerccio 3 Observe a guia representada a seguir e assinale com um X os slidos geomtricos que a compem.

a) (

)

b) (

)

c) (

)

d) (

)

Exerccio 4 Escreva o nome dos slidos geomtricos em que pode ser decomposto o manpulo abaixo.

Exerccio 5 Que slido geomtrico foi retirado de um bloco em forma de prisma retangular, para se obter esta guia em rabo de andorinha andorinha?

Exerccio 6 Analise o desenho a seguir e assinale com um X o nome dos slidos geomtricos que foram retirados de um prisma retangular, para se obter este modelo prismtico.

a) b) c) d)

( ( ( (

) 2 troncos de prisma e 1 prisma retangular ) 2 troncos de pirmide e 1 prisma retangular ) 2 troncos de prisma e 1 prisma quadrangular ) 3 troncos de prisma retangular