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TÓPICOS DE REVISÃOMATEMÁTICA IMÓDULO 4 : ÁlgebraElementar3a Série – Ensino MédioProf. Rogério Rodrigues

NOME : ..................................................... Número : ......Turma : ......

I) PRODUTOS NOTÁVEIS :

a) Quadrado da soma de dois termos :

b) Quadrado da diferença :

c) Produto da soma pela diferença :

d) Cubo da soma :

e) Cubo da diferença :

f) soma de dois cubos :

g) diferença de dois cubos :

h) produto de binômios do primeiro grau :

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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Exercícios propostos :

1) Desenvolva cada produto indicado a seguir :

a) (2x – 3)2 f) (-1 – 2x)2 k) ( )2

b) (x2 + 3y)2 g) ( )2 l) (x2 + x + 1)2

c) (2x2 + x)2 h) ( )2 m) (2a – b + a2)2

d) ( )2 i) ( )2 n) (x3 + x2 + x)2

e) ( )2 j) ( )2 o) ( )2

2) Desenvolva cada produto indicado a seguir :

a) (3x + 1)(3x – 1) e) ( )( )

b) (3p2 – p)(3p2 + p) f) (a + b + 1)(a + b – 1) c) ( )( ) g) (x – y + 2)(x – y – 2)d) ( )( ) h) (b2 – b – 1)(b2 – b + 1)

e) ( )( ) i) ( )( )

3) Desenvolva cada produto indicado a seguir :

a) (2x – 3)3 f) (-1 – 2x)3 k) ( )3

b) (x2 + 3y)3 g) ( )3 l) (x2 + x + 1)3

c) (2x2 + x)3 h) ( )3 m) (2a – b + a2)3

d) ( )3 i) ( )3 n) (x3 + x2 + x)3

e) ( )3 j) ( )3 o) ( )3

4) Dê o resultado de cada produto abaixo indicado :

a) (a + 2)(a2 – 2a + 4)b) (x – 3)(x2 + 3x + 9)c) (2b – 1)(4b2 + 2b + 1)d) (y2 + y)(y4 – y3 + y2)e) (3x2 – 2x)(9x4 + 6x3 + 4x2) f) ( )( )g) ( )( )h) ( )( )

5) Dê o resultado de cada produto abaixo indicado :

a) (x + 2)(x – 3) f) ( )( )b) (x + 3)(x – 2) g) ( )( )

3

c) (a – 1)(a + 4) h) (2x + 5)(2x – 2)

d) (b + 7)(b – 1) i) ( )( )

e) (-p + 2)(-p – 1) j) ( )( )

II) FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS :

Assim como os números podem ser escritos na forma de produto de fatores primos, as expressões algébricas também podem ser escritas na forma de produto, como é o caso de todos os resultados das expressões nos exercícios anteriores .Ao processo que permite transformar uma expressão algébrica em produto chamamos Fatoração . Veja a seguir os casos mais comuns de fatoração algébrica .

1) Fatoração de termo algébrico (monômio):

Um termo algébrico é composto de um coeficiente numérico e uma parte literal (letra). Assim, temos como exemplo, o termo 3x2y3, onde o coeficiente numérico é 3 e a parte literal é x2y3; no caso de 24b5 o coeficiente numérico é 24 e a parte literal é b5. Para fatorar um termo algébrico, basta fatorar o coeficiente e repetir a parte literal .

EXEMPLO:

Veja a forma fatorada de cada termo algébrico a seguir:

a) 32x4 forma fatorada: 25. x4

b) 24x2y forma fatorada: 23.3. x2 yc) –80ab7 forma fatorada: - 24 . 5 . ab7

2) Fator comum:

Uma expressão algébrica é uma soma de termos algébricos ou apenas um termo algébrico.Quando uma expressão algébrica tem mais de um termo algébrico, é possível que esses termos tenham, quando fatorados, fatores comuns.Tais fatores comuns podem ser colocados em evidência, ou seja, podem constituir um dos fatores da expressão fatorada. Nesse caso, dividindo-se cada termo da expressão pelo fator comum, obtém-se as parcelas da expressão que vai constituir o outro fator. Em geral, o fator comum nos coeficientes numéricos é o MDC desses coeficientes. Veja os exemplos:

a) 3a + 3b = 3.(a + b), onde o 3 é fator comum e foi destacado na expressão.b) 2x – 6y = 2x - 2.3y = 2.(x - 3y), onde o 2, MDC(2 , 6), é fator comum.c) 12b2a + 18ba3 = 2.6.b.b.a + 3.6.b.a .a2 = 6ba(2b + 3a2)d) 10m3n - 15m2n2 + 5mn3 = 5mn(2m2 – 3mn + n2)e) –12x2y3 + 84xy3 – 36x3y3 – 48x4y2 = -12xy2(xy – 7y – 3x2)

3) Fatoração por agrupamento:

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Em alguns casos , a expressão algébrica apresenta pares de termos com fatores comuns . Então, em cada par , evidencia-se o fator comum, reduzindo a expressão a um menor número de termos ainda com fatores comuns .

EXEMPLOS:

a) x2 + bx + ax + ab.

Como se pode observar, os dois primeiros termos têm x como fator comum e os dois últimos têm a como fator comum.Veja como fica a fatoração :

x2 + bx + ax + ab = x(x + b) + a(x + b) A expressão ficou com dois termos x(x + b) e a(x + b) cujo fator comum é (x + b) . Colocando-se (x + b) em evidência, tem-se

x2 + bx + ax + ab = x(x + b) + a(x + b) = (x + b)(x + a)

b) 6a2b - 4a2 – 3ab + 2a = 2a2 (3b – 2) – a (3b – 2) = (3b – 2) (2a2 – a) .

Neste caso, o fator comum aos dois primeiros termos é 2a2 e o fator comum aos dois últimos é -a .

4) Trinômio quadrado perfeito:

Assim como todas as expressões do tipo (a + b)2 ou (a – b)2 podem se transformadas, respectivamente, em expressões do tipo a2 + 2ab + b2 ou a2 - 2ab + b2, o processo inverso também é possível . Para isso , dois termos da expressão devem ser quadrados perfeitos e o terceiro deve corresponder ao duplo produto das raízes quadradas daqueles dois termos.Veja os exemplos:

a) 4x2 + 12x + 9

Observe que o primeiro e o terceiro termo são quadrados perfeitos e suas raízes quadradas são, respectivamente, 2x e 3 . O duplo produto dessas raízes é dado por 2.2x .3 = 12x, equivalente ao segundo termo . Então, a forma fatorada será (2x + 3)2, já que todos os sinais da expressão original são positivos .

b) m2n4 – 4m2n2 + 4m2

Neste caso, os quadrados perfeitos são m2n4 e 4m2, cujas raízes quadradas são mn2

e 2m , respectivamente. O duplo produto será 2.mn2.2m = 4m2n2 e, como o seu sinal é negativo, temos como forma fatorada (mn2 – 2m)2.

c) 10x3y + x4 + 25x2y2

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Aqui, os quadrados perfeitos são o segundo e o terceiro termo e suas raízes são x2 e 5xy, respectivamente. O primeiro termo é exatamente o duplo produto dos outros e todos os sinais são positivos. Então, 10x3y + x4 + 25x2y2 = (x2 + 5xy)2.

5) Diferença de dois quadrados:

Trata-se do correspondente ao produto da soma pela diferença e a expressão deve apresentar uma diferença entre dois quadrados perfeitos. Veja os exemplos:

a) 16x2 – 4y2 Como as raízes quadradas dos termos são 4x e 2y, temos como forma fatorada a expressão (4x + 2y)(4x – 2y) .

b) m4n2 – 4m2 = (m2n + 2m)(m2n – 2m).

c) .

6) Soma de dois cubos:

Da mesma forma como fizemos com os três casos anteriores , para a soma de dois cubos , temos a seguinte equivalência:

(a + b)(a 2 – ab + b2) a 3 + b3 Observe bem as condições às quais está submetida uma expressão para que seja equivalente a uma diferença de dois cubos.Veja cada exemplo a seguir:

a) 27 + x3

Como 27 e x3 são cubos perfeitos, temos que 27 + x3 = 33 + x3, que na forma fatorada ficará (3 + x)(9 – 3x + x2) .

b) m6 + n3 = (m2)3 + n3 = (m2 + n)(m4 – m2n + n2)

7) Diferença de dois cubos:

Como no caso anterior , temos a seguinte equivalência:

(a - b)(a 2 + ab + b2) a 3 - b3

Os exemplos a seguir elucidarão mais este caso.

a) x3 - 8 = x3 - 23 = (x – 2)(x2 + 2x + 4)

b)

8) Outros casos:

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Outras equivalências poderão ser utilizadas na fatoração de uma expressão algébrica:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (a - b)3

Exercícios propostos:

1) Fatore cada expressão algébrica a seguir:

a) 2x3 – 4x4 + 8x2

b) m6 + m4 + 2m3 – 3m2

c) –10b3c4 - 15b3c5 + 20b4c4 - 5b4c5

d) 3ax5 – 9bx3 + 12cx2

e) 15x2y – 20x2y2 + 4x4yf) -10ax – 4ay – 15bx – 6byg) 2ax + 5bx + 2ay + 5byh) 15 a2b + 3ac +10abm + 2cmi) ax + ay – 3bx – 3byj) 6ax – 8abx + 6bx – 8b2xk) ax4 + ax3b + cx + cbl) 9 a4 + 24 a2b2 + 16b4

m) 81x4y2 – 54x3y3 + 9x2y4

n) a2x2 + abxy + b2y2

o) 2ax + x2 + a2

p) x2 – 2x – 15 q) y2 + 10y + 16 r) m2 + 16m + 55 s) x2 – 3x – 70 t) m2 – m – 6 u) 1 – 49 a2b2

v)

x) 100 – 121x2

z) (a + b)2 - (a – b)2

2) Fatore cada expressão a seguir :

a) x3 + 8y3

b) a3 – 64b3

c) a3m3 + m3

d) 125 – 8x3

e) 1000b3 – 64c3

f) a3b3c3 - a6b6c6

g)

h)

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i)

j)

3) Fatore completamente cada expressão a seguir :

a) nx2 + 5nx + 6nb) 6x6 – 24y4

c)

d) x8 – y8

e) y2 - x2 + 2x - 1 f) x2 - a2 - 2ab - b2

g) 7 a3b + 14 a2b + 7ab h) x2n - y2m

i) x4y2(x – y)3 - x3y3(x – y)3 + x2y3(x – y)4

II) SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS:

Assim como no caso das frações numéricas, é possível também simplificar frações algébricas; basta fatorar os termos da fração e simplificar aqueles fatores que estão no numerador e no denominador e são idênticos.

EXEMPLOS:

a)

Neste caso, o numerador é uma diferença de dois quadrados e o denominador tem X como fator comum (evidência).

b)

Aqui, o numerador é uma diferença de dois cubos e o denominador tem 2 como fator comum .

c)

Neste caso , o numerador é um quadrado da diferença e o denominador tem 5 como fator comum e a expressão que constitui o outro fator é uma diferença de dois quadrados.

d)

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Neste caso, o numerador é fatorável por agrupamento e o denominador é uma diferença de dois quadrados.

III) MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE EX- PRESSÕES ALGÉBRICAS:

Assim como entre os números , o MDC e o MMC de expressões algébricas sãodefinidos do seguinte modo:

Exemplos:

a) Dadas as expressões x2 – 10x + 25 e x2 – 25, temos: Expressões fatoradas: (x – 5)2 e (x + 5)(x – 5) MDC: x – 5 MMC: (x + 5)(x – 5)2

b) Dadas as expressões m2 – 2m – 3 e mn + 2m – 3n – 6 Expressões fatoradas: (m – 3)(m + 1) e (m – 3)(n + 2) MDC: m – 3 MMC: (m – 3)(m + 1)(n + 2)

IV ) OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ALGÉBRICAS :

As frações algébricas são somadas, multiplicadas e divididas como as frações numéricas.Veja os exemplos a seguir:

a) (frações de mesmo denominador)

b)

(denominadores reduzidos através do MMC)

c) (numerador vezes numerador e

denominador vezes denominador)

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O MÁXIMO DIVISOR COMUM DE DUAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS É O PRODUTO DOS FATORES COMUNS COM OS MENORES EXPOENTES .

O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE DUAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS É O PRODUTO DOS FATORES COMUNS E DOS FATORES NÃO COMUNS TOMADOS COM OS MAIORES EXPOENTES .

d)

( a primeira fração foi multiplicada pelo inverso da segunda)

As operações de potenciação e radiciação com frações algébricas seguem o mesmo procedimento já visto com números .

Exercícios propostos:

1) Simplifique cada fração algébrica a seguir:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

m) n) o) p)

2) Determine o MDC e o MMC das seguintes expressões:

a) 6x + 6 ; 12x2 – 12 e 3x + 3 b) ax + bx ; ay2 + by2 e a2y + aby c) 2x + 1 ; 4x + 2 e 4x2 + 2x d) ay – a ; by2 – b e 7y – 7 e) a2 – 1 ; a + 1 e a2 + 2a + 1 f) 5a2 – 5b2 ; a3 – 3a2 e a3 – 6a2 + 9a g) x2 – 1 ; x2 – 2x e x – 1 h) 6x2 – 12x + 6 ; 3x2 – 3 e 6x – 6 i) 12x2 + 12y2 ; 6x2 – 6y2 e 3x2 – 6xy + 3y2 j) x2 – 5x + 6 e x2 – 4

3) Efetue as seguintes operações com frações algébricas:

a) b) c)

d) e) f)

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g) h) i)

j) k)

l) m)

n) o)

p) q)

r) s)

t) u)

v) x)

y) w)

z)

V) EQUAÇÕES LITERAIS:

Em geral, uma equação possui incógnitas e coeficientes das incógnitas. Uma equação é algébrica quando os coeficientes das incógnitas são literais. No presente caso, consideraremos as equações de 1o e 2o graus com coeficientes literais.

Exemplos:

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a) 2ax2 – (a + b)x - b2 = 0 (neste caso , a incógnita é x)

b) (aqui também a incógnita é x )

c) (a – 2b)(y2 – 1) + (b2 – a2)y = 2y – 3 ( de incógnita y )

A resolução das equações algébricas é feita segundo os mesmos procedimentos das equações de coeficientes numéricos.Veja os exemplos a seguir.

a) Resolver a equação de incógnita x .

Resolução:

Reduzindo os termos ao mesmo denominador , tem –se ou

ax + b = a - bx . Isolando no primeiro membro os termos em x , teremosax + bx = a - b . Colocando-se x em evidência , temos x(a + b) = a – b , de onde

. O conjunto solução é então

S = { , com a + b 0 ou a -b, a 0, b 0 }

b) Resolver a equação 4x2 – 8ax + 3a2 = 0 de incógnita x .

Resolução : Trata-se de uma equação do 2o grau em x . Então , temos = (-8 a)2 – 4.4.3 a2 =

= 16 a2 e x = x’ = e x’’ = e , então,

temos S = { , }.

Exercícios propostos:

1) Resolva cada equação literal a seguir, sendo x a incógnita .

a) 6x + 2m = x + 3m b) ax – 2b = 2bx + a c) a(x – 1) – 3a(2 – x) = 2a + axd) 3m(5x + 1) = 10 + 3m e) ax + m2 = mx + a2 f) (a – b)x – 2a + (a + b)x = 0

g) h) i)

j) k)

l) m) k(x + m) -

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2) Determine o conjunto solução de cada equação a seguir.

a) ax2 – mx = 0 ( a 0 ) b) x2 – (2a + b)x + 2ab = 0 c) ax2 + 2x = 0

d) e) x2 - a x - f)

g) h) 3x2 - (3a + b)x + ab = 0

i) (a + 1)x2 - (2 + 3a)x + 2a = 0 j) x2 – (a – 2b)x - 2ab = 0

k) 2x2 - (a + 2b)x + ab = 0 l) x2 – (a + b)x + ab = 0

m) n)

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