FILTROSANALÓGICOS

Conceitos básicos

Filtragem => MODIFICAÇÃO do conteúdo espectral (componentes de freqüência) de um sinal

Considerando os SLITs:

espectro de saída = (resposta em freq. do SLIT)X (espectro de entrada)\______________________/

FILTRO

Filtros: analógicos X digitais

ativos passivos (2a. Parte do curso)

amp-op RLC

RC potência

sinais

OBJETIVO:

. “Dominar” o procedimento de projeto de filtros baseado em filtros protótipos;

. Ser capaz de especificar filtros analógicos (H(s), circuito elétrico) genéricos do tipo PB, PA, PF e RF, com características de Butterworth, Chebyshev, Bessel e Elípticos.

Tópicos a serem abordados:

. Filtros seletivos ideais;

. Filtros reais;

. Estudo de funções em “s”

- f. transf., efeitos de pólos e zeros, transf. em freqüência:

PB => PB, PA, PF e RF

. Funções “especiais” em “s”:

- Butterworth

- Chebyshev

- Elípticas

Tópicos a serem abordados: (cont.)

. Projeto de filtros ativos baseado em filtros protótipos:

- procedimento geral para projeto de filtros ativos

- protótipo de Butterworth;

- protótipo de Chebyshev;

- protótipo elíptico

- transformação em freqüência;

- implementação de filtros ativos usando AmpOP

. Projeto de filtros passivos:

- “circuitos” protótipo

- transformação de “função” e escala

- protótipo de Butterworth e protótipo de Chebyshev;

Filtros seletivos ideais:

• Não causa distorção do sinal na banda de

passagem

• Elimina completamente o conteúdo espectral na

banda de corte

• H(jω) é real (positivo) puro,

• imag(H(jω)) = 0, p/ qq ω

• fase(H(jω)) = 0 na banda de passagem

Passa-baixas e passa-faixa

Filtros no domínio do tempo discreto

Análise de filtros ideais no domínio do tempo

• “Pulso” quadrado no domínio da

freqüência=> “Sinc” no domínio do tempo

• Qual a resposta ao degrau

de um filtro ideal ?

• Integral da resposta ao impulso = resposta

ao degrau => oscilações e “overshoot”

Filtros ideais (domínio do tempo)

Filtros ideais são realizáveis ?

• Resposta ao impulso ≠ 0 , -∞ ≤ t ≤ +∞

• � sistema não causal !

• E se acrescentarmos “fase linear”?

� deslocamento no domínio do tempo

• Qual a duração de h(t) ?

Filtros reais

• Possíveis de serem “realizados”

• Controle da resposta ao impulso (ao degrau)

� minimização de oscilações e “overshoot”

• Custo � “flexibilização” da curva de

resposta em freqüência

Filtros reais – resposta em freqüência

Passa-baixas não ideal

Filtros passivos de 1a. ordem (RC)passa-altas? passa-baixas?

Filtros/sistemas de 2a. ordem

Estudo de funções em “s”

Funções racionais em “s”

Influência de pólos e zeros na resposta em freqüência de H(jw)

Analisaremos dois casos:

Podemos obter H2(s) a partir de H1(s) ?

Transformações em freqüência:

Transformações em freqüência

Exemplos no Matlab

Exemplos de transformações em freq. no Matlab.

» w = (0:0.01:20);

» s = j*w; » hpb = 1./(s + 1);

»

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

freq. w (rd/s)

| hpb(jw

) |

Filtro passa-baixa c/ freq. corte = 1 rd/s

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

sigma - Re[s]

jw -

Im

[s]

Posicao de polos e zeros no Plano "s"

PASSA-BAIXAS -> PASSA-ALTAS: S = ωc/s

» S = 5./s;

» hpa = 1./(S + 1);

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

freq. w (rd/s)

| hp

a(jw

) |

Filtro passa-alta c/ freq. corte = 5 rd/s

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

sigma - Re[s]

jw -

Im

[s]

Posicao de polos e zeros no Plano "s"

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

sigma - Re[s]

jw -

Im

[s]

Posicao de polos e zeros no Plano "s"

PASSA-BAIXAS -> PASSA-FAIXA: S = (s2 + ωo2)/sB

» S = (s.^2 + 100)./(2*s);

» hpf = 1./(S + 1);

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

freq. w (rd/s)

| hpf(

jw)

|

Filtro passa-faixa c/ freq. central = 10 rd/s e B = 2 rd/s

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

sigma - Re[s]

jw -

Im

[s]

Posicao de polos e zeros no Plano "s"

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

sigma - Re[s]

jw -

Im

[s]

Posicao de polos e zeros no Plano "s"

PASSA-BAIXAS -> REJEITA-FAIXA: S = sB/(s2 + ωo2)

» S = (6*s)./(s.^2 + 100);

» hrf = 1./(S + 1);

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

freq. w (rd/s)

| hrf

(jw

) |

Filtro rejeita-faixa c/ freq. central = 10 rd/s e B = 6 rd/s

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

sigma - Re[s]

jw -

Im

[s]

Posicao de polos e zeros no Plano "s"

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

sigma - Re[s]

jw -

Im

[s]

Posicao de polos e zeros no Plano "s"

Funções especiais em “s”:

• Características especiais de resposta em freqüência

• Adequadas ao projeto de filtros

• Tipos principais:

– Butterworth

– Chebyshev

– Elípticos

– Bessel

Filtros Butterworth – passa-baixas

• Resposta em freqüência maximamente

plana na banda de passagem

• Ganho monotônico nas bandas de passagem

e de corte

• Ganho = 1 em ω = 0

• Função de ganho ao quadrado:

|H(ω)|2 = 1/[1 + (ω / ωc)2N)]

Aumentando N � banda de transição mais acentuada

Como obter H(s) tal que a função de magnitude ao quadrado tenha as características de Butterworth?

• p/ s = jω, |Hc(ω)|2 = H(s)H(-s)

• H(s)H(-s)= 1 / [1 + (s / jωc)2N)]

• [1 + (s / jωc)2N)] � equação de um círculo

no plano “s”

• � existem 2N pólos igualmente espaçados

em ângulo no círculo de raio ωc no plano

“s”

Para N = 3, os pólos estão espaçados de 60o

• Os pólos possuem posição simétrica em relação ao eixo imaginário e nenhum pólo aparece sobre o eixo imaginário

• Os pólos da função quadrática sempre aparecem aos pares: sk e - sk

• Para se obter H(s) escolhe-se um pólo de cada par. Filtro estável � pólos no semi-plano esquerdo

Parâmetro característico dos filtros Butterworth � ordem N

Parâmetro característico dos filtros Butterworth � ordem N

Filtros Chebyshev – passa-baixas

• Qual o problema com os filtros de Butterworth?

� banda de passagem com “variação” de ganho

elevada, “baixa” atenuação na banda de corte

• Abrindo mão da monotonicidade na banda de

passagem � filtros de Chebyshev �

comportamento “equiripple” ao invés de

monotônico

• Em geral dá origem a filtros de menor ordem para

a mesma especificação

Filtros Chebyshev – passa-baixas

Filtros Chebyshev – passa-baixas – tipo I

• Função de ganho ao quadrado:|Hc(ω)|2 = 1/[1 + ε2 V

N2(ω / ωc)]

• VN(x) � polinômio de Chebyshev de ordem N

definido porV

N(x)=cos(Ncos-1(x))

• VN

2(x) varia entre 0 e 1 para 0 < x < 1. Para x > 1, cos-1(x) é imaginário e V

N(x) cresce

monotonicamente

• ε� controla o ripple na banda de passagem

• |Hc(ω)|2 varia entre 1 e 1/[1 + ε2]

Filtros Chebyshev –passa-baixas –

tipo Ipólos sobre

elipse no plano “s”

Parâmetros característicos:

N e ε

Filtros Elípticos – passa-baixas

• comportamento “equiripple” na banda de

passagem e na banda de corte

• Em geral dá origem a filtros de menor

ordem do que os filtros de Butterworth e

Chebyshev para a mesma especificação

• Minimiza a banda de transição para uma

dada ordem

Filtros Elípticos – passa-baixas

• Função de ganho ao quadrado:

|Hc(ω)|2 = 1/[1 + ε2 UN

2(ω)]

• UN(x) � função jacobiana elíptica

Filtros Elípticos – passa-baixasParâmetros característicos:

N, δ1 (ε), δ2 , ωp e ωs

Projeto de filtros ativos baseado em filtros protótipos - procedimento geral para

projeto de filtros ativos

• Características comuns aos filtros

protótipos:

– Passa-baixas

– Freqüência característica = 1 rd/s ( freq. de

corte para filtros de Butterworth e Chebyshev e

“freq. de transição” para filtros elípticos

• “Definidos” por tabelas de polinômios em

“s”

Procedimento geral para projeto de filtros ativos

ωc, ωo B

Procedimento geral para projeto de filtros ativos

• Passo 1: partindo das especificações do

filtro desejado, faça as conversão desta para

as especificações equivalentes para filtros

protótipos.

• Filtros protótipos � ωc = 1 rd/s

Exemplo de mapeamento de freqüências:passa-faixa � passa-baixas

Procedimento geral para projeto de filtros ativos

• Passo 2: projete o filtro protótipo de maneira a atender as especificações:

– Cálculo da ordem N

– Especificação de ε

• Passo 3: verifique se o filtro protótipo atende às especificações:

– “Testar” freqüências características

– Verificação usando computador

Procedimento geral para projeto de filtros ativos

• Passo 4: realize a transformação em

freqüência pertinente

• Passo 5: verifique se o filtro projetado

atende às especificações

Transformação em

freqüência

Transformações em freqüência

PASSA-BAIXAS -> PASSA-BAIXAS: S = S/ωc

PASSA-BAIXAS -> PASSA-ALTAS: S = ωc/s

PASSA-BAIXAS -> PASSA-FAIXA: S = (s2 + ωo2)/sB

PASSA-BAIXAS -> REJEITA-FAIXA: S = sB/(s2 + ωo2)

� aplica-se a qualquer dos filtros normalizados (protótipos)

� o filtro resultante retém as características do filtro original:

. Butterworth: - ωc → - 3 dB

- monotônico

. Chebyshev: - oscilação na banda de passagem (ou de corte)

- ωc → limite da oscilação na banda de passagem

- critério de projeto: amplitude da oscilação na

banda de passagem

. Elíptico: - oscilação nas bandas de passagem e de corte

- ωc → sqrt(ωp ωs)

- critérios de projeto:

amplitude da oscilação na banda de passagem

atenuação na banda de corte

10-1

100

101

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

freq. (rd/s)

Mag.

(dB

)

Filtros Prototipos - Passa-Baixas (B,C,E)

100

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

freq. (rd/s)

Mag.

(dB

)

Filtros Prototipos - Passa-Baixas (B,C,E)

Butterworth: PASSA-BAIXAS -> PASSA-ALTAS: S = ωc/s

100

101

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

freq. (rd/s)

Mag.

(dB

)

Filtros: Passa-Baixas (Norm.) - Passa-altas - Butterworth

Chebyshev: PASSA-BAIXAS -> PASSA-FAIXA: S = (s2 + ωo2)/sB

100

101

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

freq. (rd/s)

Mag.

(dB

)

Filtros: Passa-Baixas (Norm.) - Passa-faixa (wo = 5,B = 10) - Chebyshev

10-2

10-1

100

101

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

freq. (rd/s)

Mag.

(dB

)

Filtros: Passa-Baixas (Norm.) - Passa-faixa (wo = 5,B = 10) - Chebyshev

Elíptico: PASSA-BAIXAS -> REJEITA-FAIXA: S = sB/(s2 + ωo2)

10-1

100

101

102

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

freq. (rd/s)

Mag.

(dB

)

Filtros: Passa-Baixas (Norm.) - Rejeita-faixa (wo = 5,B = 10) - Eliptico

10-1

100

101

102

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

freq. (rd/s)

Mag.

(dB

)

Filtros: Passa-Baixas (Norm.) - Rejeita-faixa (wo = 5,B = 10) - Eliptico